北师大版八年级数学下册 第三章　图形的平移与旋转单元练习题（含答案）

第三章　图形的平移与旋转
一、单项选择题
1．2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神．下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是( )
2．如图，将钝角△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△ADE，连接BD，若AE∥BD，则∠CAD的度数为( )
A．50° B．65° C．70° D．75°
3．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜180°)得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，则旋转角α的度数是( )
A．80° B．75° C．70° D．50°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转45°得到△ACD′，且点D′，D，B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是( )
A．22.5° B．25° C．30.5° D．40°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△A′BC′，连接AA′，当点C落在直线AB上时，∠A′AC′的度数为( )
A．55°或45° B．55°或35° C．35°或25° D．40°或35°
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，连接A′B，若点A′，B，A在同一条直线上，则AA′的长为( )
A． B．2 C．3 D．3
7．在平面直角坐标系中，将点A(3，－2)先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点B，则点B的坐标为( )
A．(1，－6) B．(－5，－3) C．(5，2) D．(－1，2)
8．如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(－3，4)，B(3，4)，将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，当第70次旋转结束时，点D的坐标为( )
A．(10，3) B．(－3，10) C．(10，－3) D．(3，－10)
9. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
10．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，此时点B的对应点D恰好落在BC边上，则CD的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11. 如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A(－3，4)的对应点是A1(2，5)，则点B(－4，2)的对应点B1的坐标是______________．
12. 如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点A在第一象限，OB＝3，点C在OA上，且OC＝2.将△OAB沿射线OA的方向平移至△CA1B1的位置，此时点A1的坐标
是___________________．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E＝___________________．
14．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD＝4，BC＝2，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A，C，E在同一条直线上时，BE＝_____________．
15. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的度数为_______．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2.将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A1BC1，则AC边的中点D与其对应点D1的距离是________．
17．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝___________．
三、解答题
18．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC，其中点B落在DE上，延长AC交DE于点F，AB，DC交于点G，求证：
(1)AB⊥DE；
(2)FB＋BG＝BC.
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3，2)，B(－1，4)，C(0，2).
(1)将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，请画出旋转后对应的△A1B1C1；
(2)平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为(－5，－2)，请画出平移后对应的△A2B2C2；
(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于点__________________成中心对称．
20．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝AD，线段BC绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，连接AC，DE.
(1)求证：AC＝DE；
(2)若BC＝6，CD＝4，∠BCD＝30°，求AC的长．
21．如图①②③中的网格均由边长为1的小正方形组成，其中图①中的图案是我国古代数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个完全相同的直角三角形组成，请根据下列要求解答问题：
(1)图①中的“弦图”是_____________(填“轴”或“中心”)对称图形；
(2)请将图①中的“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图②，③的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求：
①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影；
②图②中所设计的图案必须是轴对称图形而不是中心对称图形，图③中所设计的图案必须既是轴对称图形又是中心对称图形．
22．(一)发现探究：
在△ABC中，AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度得到线段AQ，连接BQ.
【发现问题】如图①，如果点P是BC边上的任意一点，则线段BQ和线段CP的数量关系是________________；
【探究猜想】如图②，如果点P为平面内的任意一点，【发现问题】中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由(请仅以图②所示的位置关系加以证明(或说明))；
(2)拓展应用
【拓展应用】如图③，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，P是边BC上的任意一点，连接AP，将线段AP绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值．
答案：
一、
1-10 DDDAB DADAB
二、
11. (1，3)
12. (，)
13. 3－3
14. 2或2
15. 50°
16.
17.
三、
18. 证明：(1)由旋转的性质可得∠A＝∠D，∠ACD＝∠BCE＝90°.
又∵∠DGB＝∠CGA，∴∠DBG＝∠ACG＝90°，∴AB⊥DE
(2)由旋转的性质可得∠ABC＝∠E，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCF－∠BCF＝∠BCE－∠BCF，即∠BCG＝∠ECF，∴△CBG≌△CEF(AAS)，
∴EF＝BG，∴EF＋BF＝BG＋BF，即BE＝BG＋BF.又∵EC＝BC，∠BCE＝90°，
∴BE＝＝BC，∴FB＋BG＝BC
19. 解：(1)如图所示的△A1B1C1即为所求作
(2)如图所示的△A2B2C2即为所求作
(3) (－1，－2)
20. 解：(1)证明：连接BD，∵∠DAB＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝DB，∠ABD＝60°.∵线段BC绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，
∴CB＝BE，∠CBE＝60°＝∠ABD，∴∠ABC＝∠DBE，∴△ABC≌△DBE(SAS)，
∴AC＝DE
(2)连接CE，∵CB＝EB，∠CBE＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴CE＝BC＝6，∠BCE＝60°，∴∠DCE＝∠BCD＋∠BCE＝30°＋60°＝90°，
∴AC＝DE＝＝＝2
21. 解：(1) 中心
(2)答案不唯一，如：如图②③所示
22. 解：【发现问题】BQ＝CP　【解析】由旋转的性质可得AQ＝AP，∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ－∠BAP＝∠BAC－∠BAP，即∠BAQ＝∠CAP.又∵AB＝AC，∴△ABQ≌△ACP(SAS)，∴BQ＝CP
【探究猜想】仍然成立，证明如下：由旋转的性质可得AQ＝AP，∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ－∠BAP＝∠BAC－∠BAP，即∠BAQ＝∠CAP.又∵AB＝AC，∴△ABQ≌△ACP(SAS)，∴BQ＝CP
【拓展应用】如图，在AB上取一点E，使AE＝AC＝2，连接PE，过点E作EF⊥BC于点F，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°，AB＝2AC＝4，∴EF＝BE＝(AB－AE)＝×(4－2)＝1.由旋转的性质可得AQ＝AP，∠PAQ＝60°＝∠BAC，∴∠PAQ－∠PAC＝∠BAC－∠PAC，即∠CAQ＝∠EAP.又∵AC＝AE，∴△ACQ≌△AEP(SAS)，∴CQ＝EP，∴要使CQ的长度最小，只需使EP的长度最小即可．而当EP⊥BC，即点P和点F重合时EP的长度最小，∴线段CQ长度的最小值为1