上海市西外外国语学校2023届高三预测数学试题（含解析）

上海市西外外国语学校2023届高三预测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．设全集，若集合，则______．
2．若复数（i为虚数单位），则________.
3．体积为的球的表面积为______．
4．已知函数，的最小正周期为1，则______.
5．已知等差数列，，，则__________
6．在的展开式中常数项为________(用数字作答).
7．投掷一颗骰子，记事件，，则_____________．
8．已知向量， ，则在方向上的投影向量等于___________.
9．如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出，的数据）和频率分布直方图，则_________．
10．已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则此双曲线的离心率为___________.
11．若函数的值域为，则实数的取值范围是________
12．已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为_____．
二、单选题
13．以下能够成为某个随机变量分布的是（ ）
A． B． C． D．
14．已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；
C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．
三、多选题
15．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量，则
B．若随机变量，且，则
C．一组数据11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位数为19
D．若，，，则事件A与事件B相互独立
四、单选题
16．在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：
①的最小值为；②的最小值为；
③的最大值为；④的最大值为8.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
五、解答题
17．如图，在直三棱柱中，，，．
(1)求证：；
(2)设与底面ABC所成角的大小为，求三棱锥的体积．
18．已知向量，其中，若函数的最小正周期为.
(1)求的单调增区间；
(2)在中，若，求的值.
19．某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据．（注：视频率为概率，）
每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450
天数 10 10 5
(1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率；
(2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望．
20．已知椭圆．
(1)若，求椭圆的离心率；
(2)设为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点E的纵坐标为1，且，求m的值；
(3)若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线与双曲线仅有一个公共点，求m的取值范围．
21．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若方程有解，求a的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】解绝对值不等式求集合A，应用集合补运算求.
【详解】由题设或，又，
所以.
故答案为：
2．
【解析】由复数的运算法则得，由复数模的概念即可得解.
【详解】由题意，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查了复数的运算和复数模的概念，属于基础题.
3．
【分析】根据给定条件，求出球的半径，再计算表面积作答.
【详解】令球半径为，依题意，，解得，
所以球的表面积.
故答案为：
4．
【分析】根据三角函数周期与角频率的关系求解.
【详解】 ，依题意 ；
故答案为： .
5．
【分析】求出首项和公差，再根据等差数列的通项即可得解.
【详解】设公差为，
由，，
得，解得，
所以.
故答案为：.
6．
【解析】写出的展开式的通项，即可求得常数项.
【详解】的展开式的通项为：
，
当，
解得，
的展开式中常数项是：.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式.
7．/0.5
【分析】先计算出，利用求条件概率的公式求出答案.
【详解】投掷一颗骰子，出现的点数共有6种情况，
因为，故，其中，
故.
故答案为：
8．
【分析】求出，根据投影向量的概念即可求得答案.
【详解】由题意向量，，则，
则在方向上的投影向量为，
故答案为：
9．
【分析】根据茎叶图可得相应的频数，根据频率分布直方图可得相应的频率，根据频率与频数之间的关系列式求解.
【详解】由茎叶图可知：，的频数分别为5，2；
由频率分布直方图可得：每组的频率依次为，
设样本容量为，
则，解得，
故.
故答案为：.
10．/
【分析】根据所截弦长与半径求出圆心到渐近线距离，从而解出的值，最后得到离心率.
【详解】由题意可知双曲线的一渐近线方程为，圆的半径为，
圆心到渐近线的距离为，
即（负舍），，
双曲线的离心率为.
故答案为：.
11．
【分析】分类讨论，先由求出的取值范围，再结合时二次函数的单调性求解值域即可
【详解】当时，，；
当时，是减函数，，要满足，此时应满足 ，即
故答案为
【点睛】本题考查根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题
12．
【分析】首先根据偶函数的定义，得出的值，再由得出，用不等式“1”的妙用，即可得出最小值．
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以，即，
所以，
因为若正实数a、b满足，
所以，即，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：．
13．B
【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.
【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，
显然AC选项不满足概率之和为1，D选项不满足各项概率大于0，
B选项满足要求.
故选：B
14．B
【分析】解出不等式的解集，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案.
【详解】解，当时，即，则，此时解集为，
当时，即，则，此时解集为，
当时，即，则，此时解集为，
故“”成立时，等价于；
当“”成立时，等价于，
故成立时，不一定推出成立，反之成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
15．CD
【分析】对A，根据二项分布的方差公式求解即可；对B，根据正态分布的对称性求解即可；对C，根据百分位数的定义判断即可；对D，根据对立事件的概率公式，结合事件与事件相互独立事件满足判断即可．
【详解】对A，，故A错误；
对B，若随机变量，且，则，故B错误；
对C，数据组共10个数据，故第80百分位数为从小到大第8，9个数据的平均数，即，故C正确；
对D，，故，故事件与事件相互独立，故D正确；
故选：CD．
16．A
【分析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，由题意可得，再逐个分析判断即可.
【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，
因为，所以设，则
，，
所以，
所以，即（为任意角），
所以
（其中），
所以的最大值为，最小值为，
所以①③错误，
因为，
所以
（其中）
因为，
所以，
所以，
所以的最小值为，最大值为14，
所以②正确，④错误，
故选：A
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由证出，再由线面垂直的性质得出，根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）为与底面ABC所成角，再由等体积法求体积即可.
【详解】（1），，，
，
，
又直三棱柱中，平面，
平面，，
又，平面，
平面，
平面，.
（2）平面，
在平面上的射影为，即为与底面ABC所成角，
，，
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由辅助角公式将函数化简，再由函数周期即可求得，再根据正弦型函数的单调区间即可得到结果；
（2）根据题意，由（1）中函数的解析式可得，再由正弦定理可得，再结合平面向量数量积的定义代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
的最小正周期为.
故，
令，解得，
故函数的单调增区间为
（2）设中角所对的边分别是.
，即，解得.
，
，
.
19．(1)
(2)的分布列见解析，
【分析】（1）由表格中的数据，结合对立事件的概率公式，即可求解；
（2）根据题意，得到随机变量的可能值为，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解．
【详解】（1）解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为．
（2）解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，
随机变量的可能值为，
可得：，
，
，
所以随机变量的分布为：
0 1 2
所以的数学期望．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由椭圆的离心率定义即可得出答案；
（2）设，求出E点的坐标，表示出，由数量积的定义求出，即可求出m的值；
（3）设该直线为，直线与双曲线仅有一个公共点，讨论直线与双曲线的渐近线平行和直线与双曲线的渐近线不平行结合P为椭圆上一点即可得出答案.
【详解】（1）当时，椭圆，焦点在上，
则，则.
（2）因为为椭圆的左右顶点，所以，
令中，则，
若，，
，
解得：.
若，，
，
解得：.
（3）若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线，
设该直线为，直线与双曲线仅有一个公共点，
①直线与双曲线的渐近线平行时，
则双曲线的渐近线为：，所以.
因为P为椭圆上一点，所以，所以不满足题意.
②直线与双曲线的渐近线不平行时，
，则，
则，解得：，
解得：，因为，所以.
又因为P为椭圆上一点，所以，则，
则，解得：，
所以，所以，综上所述：.
则m的取值范围为：
21．(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为
(3)
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程；
（2）利用导函数的符号，解不等式即可得到函数的单调区间；
（3）分离参数，转化为函数与直线有公共点问题，求导，利用单调性画函数图象，利用数形结合求解即可.
【详解】（1）由题，，所以，，
所以，又，所以曲线在处的切线方程为：，
即；
（2）令得，所以，令得，所以，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
（3）因为方程有解，即方程有解，
令，，则方程有解，所以，有解，
记，，则函数与直线有公共点，
，令，，
令得，令得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以函数在上单调递增，
记，，令得，
令得，所以函数在上单调递增，
在上单调递减，所以，所以，
作出图象，如图：
由图可知，函数与直线有公共点时，即实数a的范围为.
【点睛】方法点睛：方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.也可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题.
答案第1页，共2页
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