华师大版八年级下册17.4一次函数与反比例函数交点专题练习（含解析）

一次函数与反比例函数交点专题练习
一、综合题
1．如图，已知，是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出不等式时的解集．
【答案】（1）解：把代入得：
所以反比例函数的解析式为：
把代入得
把代入y=kx+b得：
解得：
所以一次函数的解析式为：y=-x-2；
（2）解：将y=0代入y=-x-2得
∴OC=2，C（-2，0）
；
（3）解：或
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第一、三象限内的两点，与x轴交于点C.
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）不等式的解集是　 　；
（3）在y轴上找一点P使最大，求的最大值及点P的坐标.
【答案】（1）把代入可得，
∴反比例函数的解析式为；
把点代入，可得：
∴.
把、代入
可得：，解得：
∴一次函数的解析式为.
（2）-5＜x＜0或x＞3
（3）解：一次函数的解析式为，令，则，
∴一次函数与y轴的交点为，
当P，B，C共线时时，最大，P即为所求，
令，则，
∴，
∴，
∴的最大值为，点P的坐标.
3．如图，平面直角坐标系中，直线为常数，分别与，轴相交于点，，与双曲线为常数，分别交于点，点在第一象限，点在第三象限，作轴于点已知，．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）在轴上是否存在一点，使？若存在，请求出的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在中，，OE=OB=4，
点，的坐标分别为，，
将点，的坐标代入直线的表达式，得，
解得，
直线的表达式为；
当时，，
点的坐标为，
将点的坐标代入得：，
解得，
反比例函数的表达式．
（2）解：存在，点的坐标为或（0，7）．理由如下：
设点的坐标为
则，
∵，
∴，
解得或，
点的坐标为或．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数为常数，的图像交于，B（n，-3）两点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：∵一次函数的图像经过点，B（n，-3）两点，
∴，
解得，，
∴，，
把的坐标代入得
，
解得，
反比例函数的解析式为．
（2）解：如图，∵ A的横坐标为-1，B的横坐标为2，
∴不等式的解集是．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于、两点．
（1）求对应的函数表达式．
（2）过点B作轴于点P，求的面积．
（3）根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）解：直线与双曲线相交于、两点，，解得：，双曲线y2的表达式为：，把代入，得：，解得：，，把和代入得：，解得：，直线y1的表达式为：；
（2）解：，，，；
（3）解：观察图象，关于的不等式的解集是或．
6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，设直线交轴于点.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点是反比例函数图象上的一点，且是以为底边的
等腰三角形，求点的坐标.
【答案】（1）解：∵ 一次函数与反比例函数的图象交于点 ，
∴k2=2×3=-a=6
解之：a=-6，
∴反比例函数解析式为，
点B的坐标为（-6，-1），
∴
解之：
∴一次函数解析式为.
（2）解：∵一次函数解析式为，
∴当y=0时，
解之：x=-4
∴点C（-4，0）
过点P作PD⊥x轴于点D，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴点P的横坐标为-2
当x=-2时y=
∴点P（-2，-3）.
7．如图，在正方形ABCD中，B点的坐标为（2，﹣1），经过点A，D的一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y 的图象交于点D（2，a），E（﹣5，﹣2）．
（1）求一次函数及反比例函数的解析式；
（2）判断点C是否在反比例函数y 的图象上，并说明理由；
（3）当mx+n 时，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：由E（﹣5，﹣2）可得反比例函数关系式为y ，
∴D（2，5），
∵一次函数y＝mx+n的图象经过D、E，
∴ ，解得 ，
∴一次函数函数解析式为y＝x+3，反比例函数的解析式为y ；
（2）解：连接DB，AC交于点F，如图，
∵四边形ABCD是正方形，B（2，﹣1），D（2，5），
∴AC＝BD＝6，DF＝CF＝3，
∴C（5，2），
当x＝5时，y 2，
∴点C在反比例函数y 的图象上；
（3）解：x≤﹣5或0＜x≤2
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝（m＞0）的图象交于点A(2，5)，B(﹣5，n)．
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）求OAB的面积；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集．
【答案】（1）解：将A(2，5)代入中，得到，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
把B(-5，n)代入，得到，
∴B(﹣5，-2)，
∵一次函数经过点A(2，5)和点B(-5，-2)，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为：．
（2）解：设直线AB交y轴于C，如下图所示：
令中，解得，
∴，
∴，(其中分别表示A、B两点横坐标的绝对值)
．
（3）解：不等式kx+b≤的解集相当于是函数y1＝kx+b不在曲线上方对应的x的取值范围，由图可知，解集为：或．
9．如图，直线y＝ax+b与双曲线y交于点A（2，n）和点B（﹣4，﹣2），且该直线与x轴交于点C，点D与点C关于y轴对称．
（1）求直线y＝ax+b和双曲线y的解析式；
（2）连接AD、BD，求△ABD的面积．
【答案】（1）解：把点B（﹣4，﹣2）代入得，，
∴k=8，
∴双曲线的解析式为，
把点A（2，n）代入得，n=4，
∴A（2，4），
把A（2，4），B（-4，-2）代入y=ax+b得
，
解得：a=1，b=2，
∴直线的解析式为y=x+2；
（2）解：直线y=x+2与x轴交点C的坐标为（2，0），
∵点D与点C关于y轴对称，
∴点D的坐标为（2，0），
∵A（2，4），
∴AD⊥x轴，
∴△ABD的面积=×4×(2+4)=12．
10．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D，且点C的坐标为．
（1）分别求出直线、双曲线的函数表达式；
（2）求出点D的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：∵点在的图像上；
∴，
解得，则．
∵在的图像上，
∴，解得，
∴；
（2）解：联立得，
解得，或，
∵点C的坐标是，
∴点D的坐标是．
（3）解：把x=0代入y=x=3，则y=3，
∴B(0，3)
∴．
11．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点.
（1）求上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求 的面积；
（3）观察图象，写出不等式 的解集　 　.
【答案】（1）解：将点A代入 ，得 ，
∴反比例函数解析式为 ，
将点B坐标代入 ，得3m=4，解得m= ，
∴B（3， ），
将点A、B的坐标代入 ，
得 ，解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：
令 中x=0，得y= ，
∴C（0， ），
∴
=
=
（3）
12．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点．点C为函数的图像上一点，过点C作轴，交反比例函数的图像于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果，求点C的坐标；
（3）如果，求点D的坐标．
【答案】（1）解：∵一次函数y＝x+4的图象与反比例函数（x＞0）的图像交于点B（a，5），
∴5=a+4，
∴a=2，
∴点B（2，5），
∴m=2×5=10，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵一次函数y＝x+4的图像与y轴交于点A，
令 则
∴A（0，4），
∵点B（2，5），BC=AB，
∴C（4，6）；
（3）解：设，则，
如图，过B作于H，
∵B（2，5），BC=BD，
轴，
∴CD的中点的坐标为（c，5），
∴
整理得：
解得c1=2，c2=10，
经检验：它们都是原方程的根，但是不符合题意，舍去，
∴D（10，1）．
13．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出关于 的不等式 的解集：　 　；
（3）求 的面积．
【答案】（1）解：把A代入反比例函数 ，
∴m=xy=4，
∴反比例函数表达式为：，
∴4n=4，
解得n=1，
∴ ，
则，
解得，
∴一次函数解析式为： ；
（2）
（3）解：如图，设一次函数的图象与坐标轴交于C，D两点，分别过A，B两点作AE⊥y轴于E，作BF⊥x轴于F，
∵ ， ，
∴AE=BF=1，
∵一次函数解析式为：，
∴OC=OD=5，
∴，，
∴.
14．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx与反比例函数y2=的图象交于A、B两点，点A的坐标为（1，2）．
（1）求ｋ的值和点B的坐标；
（2）根据图象直接写出当ｙ1＞ｙ2时，x的取值范围．
【答案】（1）解：∵A（1，2）在y＝kx的图象上
∴k=2.
由于点A、B关于原点对称
∴B（-1，-2）
（2）解：-11.
15．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数 （x＞0）的图象相交于点A（2，2），将直线y＝kx向下平移，得到直线l.若直线l与该反比例函数的图象相交于点B（3，n）.
（1）求m，n的值；
（2）连结AB，OB，求△AOB的面积.
【答案】（1）解：由题意，将点A（2，2）代入反比例函数 中，
得：m=2×2=4，
∴ ，再将B（3，n）代入 中，得：n= ；
即m=4，n= ；
（2）解：将点A（2，2）代入y=kx中，得：2=2k，∴k=1，
∴y=x，
∵直线y＝kx向下平移，得到直线l，
∴设直线l的解析式为y=x+b，且与x轴交点为C，
将点B（3， ）代入，得：b= ，
∴直线l的解析式为y=x﹣ ，
当y=0时，x= ，∴OC= ，
连接AC，∵OA∥BC，
∴ = = .
16．如图，直线y=-x-2分别交x轴、y轴于A、B两点，与双曲线y=（m≠0）在第二象限内的交点为C，CD⊥y轴于点D，且CD=4．
（1）求双曲线的解析式；
（2）设点Q是双曲线上的一点，且△QOB的面积是△AOB的面积的2倍，求点Q的坐标；
（3）在y轴上存在点P，使PA+PC最短，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵在第二象限内的交点为C，CD⊥y轴于点D，且CD=4，
∴点C横坐标为-4，
把x=-4代入y=-x-2，得y=-×(-4)-2=4，
∴C(-4，4)，
把C(-4，4)代入y=，得-4=，
∴m=-16，
∴双曲线的解析式为：y=-；
（2）解：把x=0代入y=-x-2，得y=-×0-2=-2，
∴B(0，-2)，
把y=0代入y=-x-2，得0=-x-2，
∴x=-，
∴A(-，0)，
∵S△QOB=2S△AOB，
∴，
∴，
解得xQ=，
把x=代入y=-，得y=-6，
把x=-代入y=-，得y=6，
∴Q(，-6)或(-，6)；
（3）P（0，1）
17．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象在第二、四象限分别交于A（m，1），B（2n，-n）两点．
（1）求A，B两点坐标；
（2）根据图象，当正比例函数值大于反比例函数值时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：由图象知A，B两点关于原点O成中心对称，
故，
解得，
∴A点坐标为(-2，1)，B点坐标为(2，-1)；
（2）x＜-2或0＜x＜2
18．正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点P的横坐标是2.
（1）求k的值和两个函数图象的另一个交点坐标；
（2）直接写出的解集为　 　.
（3）根据图象，直接写出当时，的取值范围为　 　.
【答案】（1）解：在y1=2x中令得，
∴正比例函数的图象与反比例函数的图象交点的横坐标是2的交点为，
∴，解得，
∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都关于原点对称，
∴它们的交点也关于原点对称，
∴另一个交点为；
（2）
（3）
19．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A（，）（＞0）和点B，且OA=，点C是x轴正半轴上一点，过点C作x轴的垂线，与正比例函数图象交于点P，与反比例函数图象交于点Q.
（1）求正比例函数与反比例函数的表达式；
（2）当点Q是PC的中点时，求C点的坐标；
（3）是否存在点C，使△ABC是直角三角形，若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A（，）（＞0），
∴，
∴，
∴正比例函数的解析式为：；
∵OA=，
∴，
∵＞0，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为.
（2）解：设
∴，
∵点Q是PC的中点，
∴，
∴，
∵点C是x轴正半轴上一点，
∴，
∴，
∴C点的坐标为.
（3）解：存在，；
如图，分别过A点作x轴的垂线，过B点作y轴的垂线，两垂线交于点F，AF与x轴交于点E，BF与y轴交于点M，再过A点作AG⊥AB，与x轴交于G点，
∵
∴，
∴OE=MF=1，AE=EF=2，BM=1，
∴BF=2，AF=4，
∴BF=AE，
∵∠OAG=90°，∠AFB=90°，∠AEG=90°，
∴∠BAE+∠EAG=∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠EAG=∠ABF，
由∠AEG=∠F=90°，
∴△AEG≌△BFA（ASA），
∴EG=AF=4，
∴OG=5，
∴，
当C点位于G点处时，△ABC是直角三角形，
∴存在，.
20．已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，-2) .
（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，直接写出使得y1>y2成立的自变量x的取值范围.
【答案】（1）解：∵函数y1=图象过点A(1，4)，
∴k=4， 即y1= ，
又∵点B(m， 2)在y1=上，∴m= 2，
∴B( 2， 2)，
又∵一次函数y2=ax+b过A.B两点，
则，解得 ，
∴y2=2x+2，
综上可得y1=，y2=2x+2；
（2）解：x< 2或0