平面向量的概念及运算[上学期]
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课件29张PPT。平面向量的概念及运算向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零向量：模长为0的向量（它的方向是任意的）.向量的模：向量的大小（长度）.单位向量： 向量(Vector)的概念或或在同一平面内,如果把所有单位向量的起点放在同一点,则所有单位向量的终点将构成什么图形?相等向量：大小相等且方向相同的向量.相反向量：大小相等但方向相反的向量.∥一、概念巩固： 1、下列各量中是向量的是( )
(A)面积 (B)时间 (C)质量 (D)速度D 2、下列说法中正确的是( )
(A)平行向量就是向量所在直线都平行
的向量
(B)长度相等的向量叫做相等向量
(C)零向量的长度为0
(D)共线向量就是在同一直线上的向量C 3、下列说法中错误的是( )
(A)零向量是没有方向的
(B)零向量的长度为0
(C)零向量与任一向量平行
(D)零向量的方向是任意的A4、判断正误(1)零向量的方向是任意的.(2)若 ,则(3)若 ,则(√)(√)(√)(4)单位向量都平行.(×)(5)单位向量都相等.(×)(6)单位向量的模都相等.(√)(8)若 ,则(×)(9)若 ,则(√)(√)(10)零向量与任何向量都平行.(11)平行向量一定是共线向量.(×)(√)(√)1 加法(Addition)：（平行四边形法则）特殊地：若‖分为同向和反向 向量的线性运算（Operations of Vectors)2、三角形法则向量加法的基本性质： 对于任意向量α、β、γ，有 (1) α+β=β+α(交换律)；
(2) (α+β)+γ=α+(β+γ)(结合律)；(3) α+0=0+α=α； (4) α+(-α)=0.三个向量α，β，γ的和可以简记为α+β+γ, n个向量α1，α2，…，αn的和可以简记为α1+α2+…+αn 。 s=α1+α2+α3+α4+α5例如2 减法(Subtraction)(Multiplication by Numbers)3 向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算律（1）结合律：（2）分配律：（3）分配律：向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算..平面向量的基本定理 若 是平面上两个不共线向量，则此平面上的
任意一个向量 均可表示为下列形式：证 充分性.如果β=mα，由数乘向量的定义知，β与α共线，充分性得证.必要性.由于β与α共线，且|α|≠0，因而有非负实数λ使得 λ. 当β与α同向时，可取m=λ；?
定理 设向量α≠O，向量β与α共线的充分必要条件是，存在唯一的实数m，使β=mα.当β与α反向时，可取m=-λ，最后证明β=mα中的m是唯一的. 若β=m1，α=m2，则(m1-m2)α=0 ,因为α≠0，所以 m1=m2 .? 推论 向量α1、α2共线的充分必要条件是存在不全为零的实数k1,k2，使得k1α1+k2α2=0.
于是都有β=mα1、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 = +λ（ + ）
λ∈[0，+∞）
则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心向量的夹角平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定 （3） a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．（2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．3、投影的定义 叫做向量 在 方向上的投影 OC= 4、向量的数量积的几何意义：
向量 的模乘以 向量在 方向上的投影，等于
与 的数量积
讨论总结性质：（1）e · a=a · e=| a | cos? （2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向
时， a · b =—| a | · | b | ．
特别地（4）（5）a · b ≤| a | · | b |例题选讲： 例⒈已知 ，当
① ∥ ；② ⊥ ；③ 与 夹角为600时,
分别求 与 的数量积。
故选B例3、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂直，求a与b的夹角。 解：∵ （a + 3 b ）⊥（7 a – 5 b）
（a – 4 b ）⊥（7 a – 2 b ）
∴ （a + 3 b ）·（7 a – 5 b） =0 且
（a – 4 b ）· （7 a – 2 b ）=0
即 7a ·a + 16 a ·b – 15 b · b =0
7a ·a - 30 a · b + 8 b ·b =0
两式相减得： 2 a ·b = b 2，
代入其中任一式中得: a 2= b 2
(A)面积 (B)时间 (C)质量 (D)速度D 2、下列说法中正确的是( )
(A)平行向量就是向量所在直线都平行
的向量
(B)长度相等的向量叫做相等向量
(C)零向量的长度为0
(D)共线向量就是在同一直线上的向量C 3、下列说法中错误的是( )
(A)零向量是没有方向的
(B)零向量的长度为0
(C)零向量与任一向量平行
(D)零向量的方向是任意的A4、判断正误(1)零向量的方向是任意的.(2)若 ,则(3)若 ,则(√)(√)(√)(4)单位向量都平行.(×)(5)单位向量都相等.(×)(6)单位向量的模都相等.(√)(8)若 ,则(×)(9)若 ,则(√)(√)(10)零向量与任何向量都平行.(11)平行向量一定是共线向量.(×)(√)(√)1 加法(Addition)：（平行四边形法则）特殊地：若‖分为同向和反向 向量的线性运算（Operations of Vectors)2、三角形法则向量加法的基本性质： 对于任意向量α、β、γ，有 (1) α+β=β+α(交换律)；
(2) (α+β)+γ=α+(β+γ)(结合律)；(3) α+0=0+α=α； (4) α+(-α)=0.三个向量α，β，γ的和可以简记为α+β+γ, n个向量α1，α2，…，αn的和可以简记为α1+α2+…+αn 。 s=α1+α2+α3+α4+α5例如2 减法(Subtraction)(Multiplication by Numbers)3 向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算律（1）结合律：（2）分配律：（3）分配律：向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算..平面向量的基本定理 若 是平面上两个不共线向量，则此平面上的
任意一个向量 均可表示为下列形式：证 充分性.如果β=mα，由数乘向量的定义知，β与α共线，充分性得证.必要性.由于β与α共线，且|α|≠0，因而有非负实数λ使得 λ. 当β与α同向时，可取m=λ；?
定理 设向量α≠O，向量β与α共线的充分必要条件是，存在唯一的实数m，使β=mα.当β与α反向时，可取m=-λ，最后证明β=mα中的m是唯一的. 若β=m1，α=m2，则(m1-m2)α=0 ,因为α≠0，所以 m1=m2 .? 推论 向量α1、α2共线的充分必要条件是存在不全为零的实数k1,k2，使得k1α1+k2α2=0.
于是都有β=mα1、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 = +λ（ + ）
λ∈[0，+∞）
则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心向量的夹角平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定 （3） a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．（2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．3、投影的定义 叫做向量 在 方向上的投影 OC= 4、向量的数量积的几何意义：
向量 的模乘以 向量在 方向上的投影，等于
与 的数量积
讨论总结性质：（1）e · a=a · e=| a | cos? （2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向
时， a · b =—| a | · | b | ．
特别地（4）（5）a · b ≤| a | · | b |例题选讲： 例⒈已知 ，当
① ∥ ；② ⊥ ；③ 与 夹角为600时,
分别求 与 的数量积。
故选B例3、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂直，求a与b的夹角。 解：∵ （a + 3 b ）⊥（7 a – 5 b）
（a – 4 b ）⊥（7 a – 2 b ）
∴ （a + 3 b ）·（7 a – 5 b） =0 且
（a – 4 b ）· （7 a – 2 b ）=0
即 7a ·a + 16 a ·b – 15 b · b =0
7a ·a - 30 a · b + 8 b ·b =0
两式相减得： 2 a ·b = b 2，
代入其中任一式中得: a 2= b 2