福建省泉州科技中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

泉州科技中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷
注意事项：①本试卷分第I卷、第II卷两部分，共150分，考试时间120分钟．
②选择题、填空题答案表在答题卡中，请按要求作答．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把正确答案的字母填涂答题卡的答题表中．）
1. 已知向量，则( )
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3. 如图所示，向量在一条直线上，且则( )
A. B.
C. D.
4. 已知，，且，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
5. 直线与曲线相切于点，则( )
A. B. C. D.
6. 下列有关说法错误的是( )
A. “事件、互为互斥事件”是“事件、互为对立事件”的充分不必要条件
B. 若随机变量服从正态分布，，则
C. 若随机变量服从二项分布：，则
D. 甲、乙、丙、丁个人到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则
7. 的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
8. 设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知向量，，则( )
A. B. 向量在向量上的投影向量是
C. D. 与向量方向相同的单位向量是
10. 若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11. 已知的展开式中共有项，则( )
A. 所有项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为
C. 二项式系数最大的项为第项 D. 有理项共项
12. 对于函数，下列说法正确的有( )
A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点
C. D. 若在上恒成立，则
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 ．
14. 设支枪中有支未经试射校正，支已校正，一射手用校正过的枪射击，中靶率为，用未校正过的枪射击，中靶率为，该射手任取一支枪射击，中靶的概率是 ．
15. 马伯庸的小说长安十二时辰中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色此处以阴影代表紫色之间变换，从而一共可以有种不同的颜色组合，即代表种不同的信息．现要求每一行，每一列至多有一个紫色小方格如图所示即满足要求，那么一共可以传递______种不同的信息．用数字作答
16. 如图，在三校锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，四棱锥的底面是菱形，且面，，分别是棱，的中点．
求证：平面
面面．
18. 本小题分
在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．
条件：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为”：
条件：“展开式中前三项的二项式系数之和为”．
问题：已知二项式，若________填写条件前的序号，
求展开式中二项式系数最大的项；
求展开式中含项的系数．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．
19. 本小题分
已知函数的图象在处的切线斜率为，且时，有极值．
求的解析式
求在上的最大值和最小值．
20. 本小题分
如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点满足．
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面 的距离．
21. 本小题分
近年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统于年月日正式开通北斗三号全球卫星导航系统由颗中圆地球轨道卫星、颗地球静止轨道卫星和颗倾斜地球同步轨道卫星，共颗卫星组成北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于米，实测的导航定位精度都是米米，全球服务可用性，亚太地区性能更优．
南美地区某城通过对辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率
某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约个基地同时独立随机选取颗卫星进行信号分析，选取的颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望
某地基站工作人员从颗卫星中随机选取颗卫星进行信号分析，记为选取的颗卫星中含倾斜地球同步轨道卫星的数目，求的分布列和数学期望．
附：若，则，，．
22. 本小题分
已知函数，
证明：存在唯一零点
设，若存在，，使得，证明：
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的坐标运算，属于基础题．
直接利用向量的运算法则求解即可．
【解答】
解：平面向量，，
则向量，
故选A．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的运算，共轭复数，属于基础题．
利用复数的运算化简求得，进而得．
【解答】
解：因为．
所以，
则，
所以．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量基本定理及其意义、线性运算，属于基础题．
由得 ，即可得答案．
【解答】
解：由得
．
， 即．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
直接利用向量的数量积求解向量的夹角即可．
本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力．
【解答】
解：，，且，
可得，
因为，
所以向量与的夹角为：．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的几何意义，求切线的斜率，属于基础题．
由为切点，可得，，求得的导数，可得，可得所求和．
【解答】
解：直线与曲线相切于点，
可得，即，，
的导数为，，即有，
则．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题综合考查充分、必要条件的判断、正态分布的概率计算、二项分布的数学期望和条件概率，属于中档题．
利用互斥事件与对立事件的概念及充分、必要条件的定义可判断正；根据正态曲线的对称性可判定；利用二项分布的期望值公式计算判定；由条件概率，可以判定．
【解答】
解：“事件、互为互斥事件”是“事件、互为对立事件”的必要不充分条件，故A错误；
B.若随机变量服从正态分布，
由题意可得，正态分布的对称轴为：，
结合题意和正态分布的对称性可得：故B正确．
C.若随机变量服从二项分布：，则，故C正确．
对于，种，种，
所以，，而，故正确．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二项式定理的灵活运用，将三项分解成二项，利用通项公式依次分解，即可求解其系数，属于中档题．
将三项分解成二项，利用通项公式求解展开式中的项，即可求解其系数．
【解答】
解：由，
通项公式可得：；
要求的系数，
故，此时
其对应的系数为：．
的系数为：．
故答案选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式恒成立问题，导函数的应用，属于中档题．
当时，不等式恒成立；当时，不等式，即，构造函数结合单调性可得，再构造函数，结合单调性求出其最大值即可得到的最小值．
【解答】
解：因为实数，
当时，不等式恒成立；
当时，不等式，
即，
设，则；
当时，，单调递增，
故不等式等价于，
即；
设，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故，
所以，
综上所述，的最小值为．
故选B．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的坐标运算，向量的垂直的判定，考查向量的模的概念，考查向量投影，考查向量的单位向量求法，属于基础题．
先写出，由可判断由在上的投影是可判断由向量的模长公式可判断由非零向量的单位向量定义可判定．
【解答】
解：，显然两个向量不平行，故A错误；
对于 向量在向量上的投影向量为，故B错误；
对于，故C正确；
对于向量的同向单位向量是，故D正确．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
由条件可得，求出求出和，分析各选项可得答案．
【解答】
解：随机变量服从两点分布，其中，
，
，
，
对于选项，，故A正确；
对于选项，，故B正确；
对于选项，，故C错误；
对于选项，，故D正确，
故选ABD．

11.【答案】
【解析】
【分析】由题意可得 ，对于，所有项的二项式系数和为 ，对于，令 可求出所有项的系数和，对于，由二项式展开式的系数特征求解即可，对于，求出二项式展开式的通项公式，可求出所有的有理项
解：因为 的展开式中共有项，
所以 ，
对于，所有项的二项式系数和为 ，所以A正确，
对于，令 ，则所有项的系数和为 ，所以B错误，
对于，由于二项式的展开项共有项，所以二项式系数最大的项为第项，所以C正确，
对于， 的展开式的通项公式为 ，当 时，展开式的项为有理项，所以有理项有项，所以D正确，
故选：
12.【答案】
【解析】
【分析】

本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究函数的性质是解决本题的关键．
求函数的导数，结合函数单调性，极值，函数零点的性质分别进行判断即可．
【解答】
解：、函数的导数，令得，
则当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
则当时，函数取得极大值，极大值为，故A正确；
B、由得得，
易知，当时，，
又当，，，，则的图象如图：
由图象可知函数只有一个零点，故B错误；
C、
又当时，为减函数，所以，
故成立，故C正确；
D、若在上恒成立，则，
设，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
即当时，函数取得极大值同时也是最大值，
，故D正确．
故选：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是复数的运算及其几何意义，属基础题．
可由，则，解得答案．
【解答】
解：因为，
若复数在复平面内对应的点位于实轴上，
则，解得．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查贝叶斯公式的应用，考查条件概率以及全概率公式的应用，属于基础题．
设事件表示枪已校正，事件表示射击中靶，由即可求解．
【解答】
解：设事件表示枪已校正，事件表示射击中靶，
则，，
，，，．
故．
故答案为．

15.【答案】
【解析】解；由题意紫色小方格最多个，所以可分为类，一类有紫方格时共有个信息，二类有紫方格时共有个信息，
三类有紫方格时共有个信息，四类有紫方格时共有个信息，则由加法原理．
故答案是．
根据紫色小方格最多个所以可分为类，在每一类中找出符合题意的方格填法，即信息个数，最后用加法原理相加即可．
本题考查分类加法原理，组合数知识，属于中低档题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三棱锥体积最值的求法，考查正弦定理及余弦定理的应用，是中档题．
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，的外接圆半径为，由已知求得，再由求解，利用正弦定理求得，再由余弦定理及基本不等式求得的最大值，则三棱锥体积的最大值可求．
【解答】
解：设三棱锥的外接球的球心为，半径为，的外接圆半径为，
则，得，
又，
，即．
又，
．
，
因为，当且仅当时，取等号，
则．
三棱锥体积．
三棱锥体积的最大值为．
故答案为：．
17.【答案】证明：四棱锥的底面是菱形，底面，，分别为，中点．
，，
，
平面，平面，
平面
底面，面，，
四棱锥的底面是菱形，，
，，平面，
平面，
平面，
平面平面．
【解析】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于基础题．
由已知得，，从而，由此能证明平面．
由已知得，，可得平面，由此能证明平面平面．
18.【答案】解：若选填条件，即展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为，
则，即．
若选填条件，即展开式中前三项的二项式系数之和为，
则，即．
当时，展开式共项，
所以二项式系数最大的项为第项，
即．
的展开式的通项公式为，
令，所以展开式中的系数为．
【解析】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是较易题．
当选填条件时，由题意列式求得，当选填条件时，由前项的二项式系数和为求得．
把代入，可知第四项的二项式系数最大，由二项展开式的通项得答案；
求得的通项公式，从而得出结果．
19.【答案】解：，．
由条件得，即，解得
故．
由可得，，解得或，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，单调递增，故在上取得极大值在上取得极小值，
且，
故在上的最大值为，最小值为．
【解析】本题主要考查导数的几何意义，导数和极值的关系，利用导数研究闭区间上函数的最值，考查学生的运算能力，属中档题．
，联立方程可求，；
利用导数研究闭区间上函数的最值，求函数的最大值和最小值即可．
20.【答案】解：平面是菱形，，
又底面，，面，
所以，，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，，
，，，．
，
，
设平面的法向量，
则，
令，则，
平面的一个法向量，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
，，，
，
与平面所成角的正弦值为，
到平面的距离．
【解析】本题考查了线面角与线面距离的计算，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．
以为坐标原点，以，，为坐标轴建立坐标系，求出平面的法向量和的坐标，则直线与平面所成角的正弦值为；
求出与平面所成角的正弦值，则点到平面的距离为．
21.【答案】解：(1)由XN(,),易知=,=,所以P(1X3)=P(-3X+)0.6827+=0.6827+0.1573=0.84,则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在[1,3]的概率为0.84.
(2)5个基地相互独立,每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为=,所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目~B(5,),
所以E= 5=4.
由题意可得Y可能的取值为0,1,2,3,则P(Y=0)==,P(Y=1)==, P(Y=2)==, P(Y=3)==,
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
所以数学期望EY=0+1+2+3==.

【解析】本题考查二项分布的均值求法，考查超几何分布的概率与均值计算以及正太分布的概率计算，属于中等题.
22.【答案】解：证明：，
，
令，则
，
因为时，恒成立，所以在上单调递增，
因为，所以在上恒小于，在上恒大于，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以有唯一零点．
证明：因为，所以，
若是方程的根，
则是方程的根．
因为，都单调递增，
所以，
所以，
设，
，
所以的解为，的解为，
所以在上递减，在上递增，
所以的最小值为，
即的最小值为，即
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查导数中的零点问题与导数中的函数不等式，考查分析与计算能力，计算量较大，属于较难题．
对求导，得，再求导得，利用导数研究函数的单调性得在上单调递减，在上单调递增，即可得证存在唯一零点
由题得，若是方程的根，则是方程的根，又，都单调递增，可得，设，利用导数计算求得的最小值为，，即可的值．