(共19张PPT)
21.5 反比例函数
知识回顾：
1.反比例函数的意义.
2.反比例函数的图象与性质.
3.利用反比例函数解决实际问题.
什么是反比例函数？
忆一忆：
一般地，函数 （k是常数， k ≠0）叫反
比例函数.
小试牛刀：
1.下列函数中，哪些是反比例函数？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
小试牛刀：
2.写出下列问题中的函数表达式，并指出它们是什
么函数？
⑴当路程s一定时，时间t与平均速度v之间的关系.
⑵质量为m(kg)的气体，其体积v(m3)与密度
ρ(kg/m3)之间的关系.
反比例函数
反比例函数
小试牛刀：
3.若 为反比例函数，则m＝______ .
4.若 为反比例函数，则
m＝______ .
要注意系数哦！
2
-1
反比例函数的图象和性质：
1.反比例函数的图象是 ；
双曲线
2.图象性质见下表：
k>0 k<0
图
象
性
质
当k＞0时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。
当k＜0时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
做一做：
1.函数 的图象在第______象限，当x<0时，
y随x的增大而______ .
2.双曲线 经过点 (－3 ，______ ).
3.函数 的图象在二、四象限内，m的取值
范围是______ .
4.若双曲线经过点(－3 ，2)，则其表达式是______.
一、三
减小
1
9
m<2
6
x
y
＝
5.函数 与 在同一条直
角坐标系中的图象可能是_______：
做一做：
D
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
A. B. C. D.
做一做：
6.已知点A(-2,y1),B(-1,y2) C(4,y3)都在反比
例函数 的
图象上,则y1、y2 与y3
的大小关系(从大到小)
为____________ .
y
x
o
-1
y1
y2
A
B
-2
4
C
y3
y3 ＞y1＞y2
议一议：
已知点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线 于点A，过点A作AB⊥y轴于B点。在点P
运动过程中，矩形OPAB
的面积是否发生变化？
若不变，请求出其面积；
若改变，试说明理由。
A
O
P
x
y
B
K的几何意义：
过双曲线 上一点P(m,n)分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A、B，则 S矩形OAPB
.P(m,n)
A
o
y
x
B
=OA·AP=|m| ·|n|=|k|
.P(m,n)
.P(m,n)
如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为12,则这个反比例函数的表达式是__________ 。
变式一：
x
y
o
M
N
p
12
x
y
＝
如图所示，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC.若△ABC面积为S,则______
变式二：
(A)s=1 (B) s=2
(C)1
A
1. 如图：一次函数的图象 与反比例函数
交于M(2，m)、N(-1，-4)两点.
（1）求反比例函数和一
次函数的解析式；
（2）根据图象写出反比
例函数的值大于一
次函数的值的x的取
值范围.
综合运用：
M（2，m）
2
0
-1
N（-1，-4）
y
x
综合运用：
M（2，m）
2
0
-1
N（-1，-4）
y
x
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
解:（1）∵点N（-1，-4）在反比例函数图象上
∴k=4,
又∵点M（2，m）在反比例函数
图象上
∴m=2 ∴M（2，2）
∵点M、N都在y=ax+b的图象上
∴y= 2x-2
∴
∴
解得
综合运用：
y
x
2
0
-1
N（-1，-4）
M（2，m）
（2）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.
（2）观察图象得：
当x<-1或0综合运用：
2.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x(元)与日销售量y(个)之间有如下关系：
x （元） 3 4 5 6 ……
y（个） 20 15 12 10 ……
（1）猜想并确定在赢利的条件下y与x之间的函数表达式。
（2）设经营此贺卡的销售利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价最高不能超过10元，请你求出当销售单价x定为多少时，才能使获利最大？
综合运用：(共10张PPT)
21.3 二次函数与一元二次方程
x
y
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
… 7 0 -3 -4 -3 0 7 …
(1,-4)
N
M
当x为何时,y=0
写出二次函数 的顶点坐标,对称轴,并画出它的图象.
x=-1, x=3
x=-1, x=3
探究一
一般地,如果二次函数
的图象与x轴有两个公共点( ,0)、( ,0 )
那么一元二次方程 有两个不相等的实数根 、 ,反之亦成立.
巩固练习
不画图象，你能说出函数 的图象与 x 轴的交点坐标吗？
解：当y=时，
解得：
所以,函数 的图象与 x 轴的交点坐标为（-3，0）和（2，0）.
观察二次函数 的图象和二次
函数 的图象,分别说出一元二次
方程 和 的根的情况.
探究二
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
1、判断下列函数图象与x 轴是否有公共点,并说明理由。
∴该抛物线与x轴有两个交点.
（2）（3）略.
小试牛刀
(1)
(2)
(3)
解:
2、在上元中学校运会上，初三（8）班运动员掷铅球，铅球的高y(m)与水平距离x(m)之间函数关系式为
y = -0.2x2+1.6x+1.8，则此运动员的成绩是 m.
9
0
1
0
1
4
)
1
(
4
0
,
1
,
1
)
1
(
2
2
>
=
×
×
-
-
=
-
\
=
-
=
=
ac
b
c
b
a
∵
已知二次函数 的图象，利用图象回答问题：
（1）方程 的解是什么？
想一想！
（2）x取什么值时，y>0 ？
（3）x取什么值时，y<0 ？
若函数 图象与x 轴是只有
一个公共点,求m的值.
同学们:本节课学到了什么？(共11张PPT)
21.2 二次函数图象和性质
第2课时
生活中的抛物线
生活中的抛物线
画出函数:
y= x2 y=x2+1 y=x2-1的图象
y=x2+1开口向上，对称轴为y轴，顶点是（0、1）。
y=x2-1开口向上，对称轴为y轴，顶点是（0、-1）。
画出函数y=- x2 y=- (x+1)2与y=- (x-1)2 的图象。
1
2
1
2
1
2
抛物线y=- (x+1)2的开口方向是_____，对称轴是_____，顶点坐标是_______
抛物线y=- (x-1)2的开口方向是____，对称轴是_______，顶点坐标是________。
1
2
1
2
向下
x=-1
（-1,0）
向下
x=1
（1,0）
在同一坐标系中，画出函数：
y=- x2 y=- x2-1 y=- (x+1)2-1的图象。
1
2
1
2
1
2
函数y=a(x-h)2+k的特点：
1、a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；
2、对称轴是直线x=h;
3、顶点坐标是（h，k）.
你知道哪些地方用到了抛物线。
你知道哪些地方用到了抛物线。
你知道哪些地方用到了抛物线。
次函数圖像
在同一直角坐标糸内,画出函数y=x2、y=x2+1、y=x2-1的图像
y=x2+14
5
5
二次函圖像比较
在同一直角坐标泉内,画出函数y=2x、y=-2(x+1)2
y=-5(x-1)2的图像。
5-2-0.50
oy
-2
2
4(共18张PPT)
第21章 二次函数与反比例函数
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2。一次函数、正比例函数的定义是什么？
请用适当的函数表达式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)圆的面积 y ( )与圆的半径 x ( cm )
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y
合作学习，探索新知 :
(3)一个温室的平面图如图,温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。
1
1
1
3
x
合作学习，探索新知 :
1.y =πx2
2.y = 2(1+x)2
3.y= (60-x-4)(x-2)
=2x2+4x+2
=-x2+58x-112
上述三个问题中的函数表达式具有哪些共同的特征
经化简后都具有y=ax +bx+c(a,b,c是常数, )的形式.
a≠0
合作学习，探索新知 :
我们把形如y=ax +bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
称：a为二次项系数，ax2叫做二次项；
b为一次项系数，bx叫做一次项；
c为常数项.
又例：y=x + 2x – 3
1.下列函数中,哪些是二次函数
先化简后判断
２、下列函数中，哪些是二次函数？
知识运用
３、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x)
做一做:
（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（ ）是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的表达式．
(2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？
(1)它是二次函数
例1: 关于x的函数 是二次函数, 求m的值.
注意:二次函数的二次项系数不能为零
练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子
练一练:
（1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍。
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
（1）写出正方体的表面积S（ ）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（ ）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（ ）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
已知二次函数 y=x +px+q , 当x=1时,函数值为4, 当x=2时,函数值为 -5 , 求这个二次函数的表达式.
5.已知二次函数
（1）你能说出此函数的最小值吗？
（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？
开动脑筋
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.
例如：圆的面积 y( )与圆的半径 x（cm)的函数关系是
y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢？
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？
1:若函数 为二次函数，求m的值。
2: m取何值时，函数
y= (m+1) +(m-3)x+m 是二次函数？
3:要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x, 矩形的面积为y,试
(1)写出y关与x的函数关系式.
(2)当x=3时,距形的面积为多少 (共6张PPT)
１、如图所示,阳光中学教学楼前喷
水池喷出的抛物线形水柱，其解析
式为 ，则水柱的最大高
度是（）。
Ａ、２ Ｂ、４ Ｃ、６ Ｄ、２+
２、已知二次函数 的
图象如图所示，有下列５个结论：
①abc>0; ②b0;
④2c<3b; ⑤ a+b>m(am+b),(m 1的实数) 其中正确的结论有（ ）.
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
３、如图所示，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2cm的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y( )与时间t（秒）之间的表达式为————.
4、烟花厂为扬州“4.18”烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是 , 若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆的时间为（）
A、3s B、4s C、5s D、6S
5、如图所示，在平面直角坐标系XOY中，抛物线 ，与x轴交于A，B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且tan ∠ACO= 1/2 ，CO=BO,AB=3,则这条抛物线的函数表达式是______
A
B
C
y
6、 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。
（1）求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数表达式。
（2）求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式。
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获利最大利润？最大利润是多少？
7、有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶0离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系。
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥？
（3）若设EF＝a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围。(共12张PPT)
－2
2
2
4
6
4
－4
8
21.2二次函数的图象和性质（第3课时）
我们来画 的图象，并讨论一般地怎样画
二次函数 的图象．
我们知道，像 这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函数 也能化成这样的形式吗？
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
x ··· 3 4 5 6 7 8 9 ···
··· ···
3
3.5
5
7.5
3.5
5
7.5
x
y
O
5
10
5
10
配方可得
由此可知，抛物线 的顶点是（6，3），对称轴是直线 x = 6
因此，抛物线 的对称轴是 顶点
坐标是
一般地，我们可以用配方求抛物线 y = ax2 + bx + c (a≠0)的顶点与对称轴
这是确定抛物线顶点与对称轴的公式
矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为 ，场地的面积
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？
即
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数的图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．由公式可求出顶点的横坐标．
分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值．
S＝l ( 30－l )
S＝－l 2 +30l
( 0 < l < 30 )
l
s
O
5
10
100
200
15
20
25
30
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大（S＝225m2）
因此，当 时，
S有最大 值 ，
S＝－l 2 +30l
( 0 < l < 30 )
一般地，因为抛物线 的顶点是最低（高）点，
所以当 时，二次函数
有最小（大）值
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的值最小（大）？
（4）
（3）
（2）
（1）
练习
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
（2）
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
（3）
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
（4）
2．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？(共20张PPT)
21.2 二次函数的图象和性质
第1课时
有的放矢
2
驶向胜利的彼岸
学习目标
1、会用描点法画二次函数y=x2和y=-x2的图象；
2、根据函数y=x2和y=-x2的图象，直观地了解它的性质.
你想直观地了解它的性质吗
数形结合,直观感受
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
有的放矢
1
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗
x
y=x2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2
x
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
做一做
2
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
1
描点,连线
y=x2
观察图象,回答问题串
(1)你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流.
议一议
3
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么 请你找出几对对称点,并与同伴交流.
(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
(5)当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么？你是如何知道的？
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
1
y=x2
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
二次函数y=x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的
右侧)时, y随着x的增大而
增大.
当x= -2时，y=4
当x= -1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点
是它的最低点,开口
向上,并且向上无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最小,最小值是0.
在学中做—在做中学
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
做一做
4
你能根据表格中的数据作出猜想吗？
驶向胜利的彼岸
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x
y=-x2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2
x
… -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
做一做
5
驶向胜利的彼岸
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-10
-8
-6
-4
-2
2
-1
描点,连线
y=-x2
做一做
6
驶向胜利的彼岸
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-10
-8
-6
-4
-2
2
-1
观察图象,回答问题串
（1)你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流.
（2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么
（3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
（4)当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么？你是如何知道的？
（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么 请你找出几对对称点,并与同伴交流.
y=-x2
描点,连线
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
二次函数y= -x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
y
当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
增大.
当x>0 (在对称轴
的右侧)时, y随着
x的增大而减小.
y
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
当x=1时,y= -1
当x= 2时,y= -4
抛物线y= -x2在x轴的
下方(除顶点外),顶点
是它的最高点,开口
向下,并且向下无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最大,最大值是0.
看图说话
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
做一做
7
y=x2
y=-x2
x
y
0
y
x
0
它们之间有何关系？
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=x2
y= -x2
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
做一做
8
y=x2和y=-x2是y=ax2当a=±1时的特殊例子.a的符号确定着抛物线的……
驶向胜利的彼岸
x
0
y
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象
看图说话
y=x2
y=-x2
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
二次函数y=ax2的性质
我思，我进步
1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上.
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
例题欣赏
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驶向胜利的彼岸
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,
解得a= -2,所求函数表达式为y= -2x2.
（2）因为 ,所以点B（-1 ，-4）
不在此抛物线上.
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3,
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
知道就做别客气
例题欣赏
8
2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y随着x的增大而增大；在 侧,y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).
(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的
左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,
当x 0时,y<0.
驶向胜利的彼岸
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
回味无穷
2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；
在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；
在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
小结 拓展
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
驶向胜利的彼岸
由二次函数y=x2和y=-x2知：
习题
独立
作业
1．说说自己生活中遇到的哪些动物和植物身体的部分轮廓线呈抛物线形状.
2．设正方形的边长为,面积为,试作出S随a的变化而变化的图象.