第一章 特殊平行四边形
2. 矩形的性质与判定（一）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：矩形的性质一课，是在学生掌握了三角形全等的证明、平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定以及具备了基本的推理能力的基础上安排的，是学习正方形的基础，学完本节课后，学生应掌握矩形的性质，会应用性质进行推理解题。
学生的活动经验基础：本节是九年级的第一章第二节的内容，这个年龄段的学生已经具备自主探究和合作学习的能力，他们喜欢动手，喜欢思考一些有挑战性的问题，喜欢向别人展示自己的成果。部分学生对学习数学有较强的兴趣，具有一定的探究数学问题的能力和数学活动的经验，逻辑推理能力较强。但大部分学生要把解题的整个过程表述完整、清楚比较困难。
二、教学任务分析
《矩形的性质与判定》一课属于初中平面几何重点知识。本节是在学习了平行四边形的性质与判定以及菱形的基础上，在掌握了证明平行四边形有关内容及特殊平行四边形的一般研究方法后来学习的，它既是平行四边形的延伸，又为后面正方形的学习提供知识、方法的支持，为进一步研究其他图形奠定基础。依据新课标要求，《矩形的性质》不能只停留在知识教学上，而是要把经历探索图形的基本性质的过程，发展学生的基本的推理技能放在首要位置。矩形是的平行四边形中的一种特殊图形，在生活中有着广泛的应用，所以课本很多地方以图片形式呈现了矩形的“原型”，旨在唤起学生的生活经验，促进数学学习。因此本节课的教学目标是：
1. 知识与技能:
(1) 掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;
(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．
2. 过程与方法：
(1)经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；
（2）通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点．
3. 情感态度与价值观：
(1)在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。
(2) 通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。
(3)从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想。
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情景,导入新课；第二环节：分组讨论、探求新知；第三环节：层层递进，推理验证；第四环节：乘胜追击，完善性质；第五环节：建构新知，发展问题；第六环节：合作交流，解决问题；第七环节：反思交流，反馈提高。
第一环节：创设情景，导入新课
活动内容：1、平行四边形具有哪些性质？
2、探究矩形的定义。
利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。在演示过程中让学生思考：
（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？
（2）在运动过程中四边形不变的是什么？
（3）在运动过程中四边形改变的是什么？
不变：对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形
变：角的大小
（4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形。（矩形）
矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形
?
活动目的：从学生的已有的知识出发，通过教具演示，让学生经历了矩形概念的探究过程，自然而然地形成矩形的概念
活动的注意事项：?让学生观察从平行四边形到矩形的变化过程，事实上是在学生已有的平行四边形相关认知的基础上建构，让他们认识到矩形是平行四边形,但却是角度特殊的平行四边形。从而自然得到矩形定义需满足两个条件。（1）平行四边形，（2）有一个角是直角。定义是本节的关键点，因此观察过程不能省略。
第二环节：分组讨论，探究新知
活动内容：1. 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？
在同学回答的基础上进行归纳：
性质
类别
边
角
对角线
对称性
矩形
对边平行
且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称图形
2.但矩形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质。下面我们来进一步研究矩形的其他性质。
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果；
（2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？
教师在学生口答的基础上，引导学生得出（板书）：
矩形的性质定理1： 矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理2： 矩形的对角线相等.
活动目的：让学生分组探索。教师可引导学生，根据研究平行四边形获得的经验，分别从边、角、对角线三个方面探索矩形的特性，还可提醒学生，这种探索的基础是矩形“有一个角是直角”，学生通过动手测量,动脑思考,动口讨论,自主发现矩形的性质。
活动的注意事项：学生通过对比平行四边形的性质及观察从平行四边形到矩形的变化的过程，再通过测量、观察和讨论，从边、角、对角线三方面不难发现矩形的性质。学生自己讨论得出的结论会更让他们乐于接受，而方法也在此过程中渗透给了学生。因此，教师不要觉得内容比较简单，就越俎代庖，应该给学生留出足够的活动时间。
第三环节：层层递进，推理论证
活动内容：提问：怎样证明你的猜想？
（教师写出定理1、2的已知、求证，请同学分析思路写出证明过程）
订正完毕后，请同学说出性质的推理形式，教师板书。
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线AC与DB相交于点O。
求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
(2) AC=BD
活动目的：根据新课标的精神，不仅要发展学生的合情推理能力，还要发展学生的演绎推理能力。在上一环节观察，测量，猜测的基础上，学生较易得出结论。但结论是否真的正确，必须经过严谨的证明。该环节旨在训练学生规范写出推理过程。
活动的注意事项：特殊四边形这一部分，可以很好地发展学生的逻辑推理能力。既然该环节旨在训练学生规范写出推理过程。那么在活动过程中，就一定要先让学生独立完成，并挑两名学生板演，然后教师点评，最后教师规范的写出推理过程，才可以达到训练的效果。
第四环节：乘胜追击，完善性质
活动内容：问题1：请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。??
?①矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？
②矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?
结论：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
问题2：请你总结一下矩形有哪些性质？
归纳概括矩形的性质：
从边来说，矩形的对边平行且相等；
从角来说，矩形的四个角都是直角；
从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分；
从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
问题3：矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 (???? ）
A.对角相等?????? B.对边相等 C.对角线相等?? D.对角线互相平分
活动目的：在前面学习了菱形的基础上学生已经知道怎么研究图形的对称性，在知道方法的条件下，学生完全可以通过自己的操作、观察、猜想，最终得到矩形的对称特征，这对学生来说是富有意义的活动，学生对此也很感兴趣。
活动的注意事项：在学习了矩形的性质后，一定要引导学生归纳总结，把新学到的知识和自己的已有知识经验穿成串，从而让自己的认识升华，形成自己的知识系统。
?第五环节：建构新知，发展问题
活动内容：（1）提出问题：由矩形的四个角都是直角可得几个直角三角形？在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？你能发现它有什么特殊的性质吗？你能借助于矩形加以证明吗？
?（2）教师板书推论及推理语言：
????? 定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
（3）练一练
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3㎝,则AC＝_____㎝;
(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝,BD＝_____㎝.
活动目的：先从矩形的对角线相关性质推出直角三角形的性质，达到“学数学，用数学”的目的。?再通过习题，让学生掌握“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质，达到学以致用的目的，培养了学生的应用意识。
活动的注意事项：“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，是直角三角形中的一个重要性质。在活动过程，一定要让学生理解该定理的应用需满足两个条件：（1）直角三角形（2）斜边的中点。
第六环节：合作交流，解决问题
活动内容：例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD(矩形的对角线相等)
OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OD。
∵∠AOD=120°，
∴∠ODA=∠OAD= (180°-120°)= 30°。
又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)
∴BD=2AB=2×2.5=5.
活动目的： 这个例题主要目的是应用矩形的边和对角线的性质来解决问题。在学过矩形的性质后，如何熟练、灵活的应用矩形的性质解决实际问题，就是关键。活动的注意事项：该例题中，学生要得出结论难度不大，但是要简洁、清楚写出推理过程有一定的难度，教师在讲解时，要重点训练，要把推理过程规范进行板书。
第七环节：反思交流，反馈提高
活动内容：1.本节课你学到了什么？
（1）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
（2）矩形的性质
（3）直角三角形的性质
（4）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角或等腰三角形的问题来解决。
2.自我检测。
（1）下列说法错误的是（??? ）．
A.矩形的对角线互相平分 B.?矩形的对角线相等。
C.有一个角是直角的四边形是矩形 D.?有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为?_____。?????? ????????????????????
活动目的：让学生对学习情况进行小结，主要包括：知识小结和学法小结。通过小结，让学生梳理学习内容，明确本节课重点知识以及该掌握的解题方法和技巧，使教师及时了解学生对本节课重点知识以及解题方法和技巧的掌握情况，以便答疑补漏。及时的课堂检测，?及时反馈学生学习的效果便于进行课堂教学和优化。
活动的注意事项：教学时要注重使不同的学生都能得到发展，对于学习程度较好的学生要增加思维深度，题目可以适当加调整，随学生水平的不同稍作增减。对学习有困难的学生，则鼓励学生先运用自己的语言说明理由，以帮助学生加深对所学结论的认识，逐步训练数学语言。
四、教学设计反思：
本节课依据新课标的要求，设计的每个环节都是以学生为主体，在学生已有的知识经验的基础上，让学生自己动手探究完成，以便提高学生的探索创新思维和创造能力。首先，从矩形的定义和平行四边形的性质引入，提出问题，让学生猜想矩形应具有的性质，调动学生的思维积极性，激发探究欲望；教学过程中充分利用学生手中的矩形实物：如书本，课桌等，让学生通过观察、测量和思考讨论等活动，得出矩形性质，在解决问题的过程中发展了学生的合情推理意识；再引导学生进行推理证明及应用，通过探索证明，开拓学生的思路，发展了学生的思维能力，帮助他们在自主探索和合作交流过程中真正理解和掌握矩形性质定理，体验数学学习过程中的探索性和挑战性以及推理的严谨性。
?
?
课件16张PPT。第一章 特殊平行四边形第2节 矩形的性质与判定（一）
第一环节：创设情景，导入新课问题2：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察：
问题1:平行四边形具有哪些性质？
（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？
（2）在运动过程中四边形不变的是什么？
（3）在运动过程中四边形改变的是什么？
（4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形?矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形第二环节：分组讨论，探究新知问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？ 问题2
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果；
（2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？结论
矩形的性质定理1：
矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理2：
矩形的对角线相等.第三环节：层层递进，推理论证已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线AC与DB相交于点O。
求证(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
(2) AC=BD
问题1：请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。??
（1）矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?第四环节：乘胜追击，完善性质结论：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。问题2：请你总结一下矩形有哪些性质？归纳概括矩形的性质：
从边来说，矩形的对边平行且相等；
从角来说，矩形的四个角都是直角；
从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分；
从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。问题3：矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 (???? ）
A.对角相等?????? B.对边相等
C.对角线相等?? D.对角线互相平分 第五环节：建构新知，发展问题问题1： （1） 矩形的两条对角线可以把矩形分成几个直角三角形？ （2）在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？ （3）你能发现它有什么特殊的性质吗？ （4）你能借助于矩形加以证明吗？ 定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.练一练
已知△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3㎝,则AC＝_____㎝;
(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则
AC＝_____㎝,BD＝_____㎝. 第六环节：合作交流，解决问题例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD(矩形的对角线相等)
OA=OC= AC，OB=OD= BD，
∴OA=OD。
∵∠AOD=120°，
∴∠ODA=∠OAD= (180°-120°)
= 30°。
又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)
∴BD=2AB=2×2.5=5.第七环节：反思交流，反馈提高1.本节课你学到了什么？（1）矩形定义
（2）矩形的性质
（3）直角三角形的性质
（4）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。因此，矩形的问题可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决。（1）下列说法错误的是（??? ）．
A.矩形的对角线互相平分
B.?矩形的对角线相等。
C. 有一个角是直角的四边形是矩形
D.?有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的长和宽分别为?_____。?????? ????????????????????自我检测。课件7张PPT。生活中的矩形OABCD公平,因为OA=OC=OB=OD生活链接A：四边形集合C：平行四边形集合B：矩形集合ACB四边形、平行四边形、矩形的关系第一章 特殊平行四边形
2. 矩形的性质与判定(二)
一、学生知识状况分析
学生在初二平行四边形一章中，已经认识了三种特殊平行四边形矩形、菱形和正方形，同时，通过平行四边形和菱形的学习，进行了对平行四边形和菱形性质和判定的证明，学生已经有了一定的推理论证能力，掌握了独立证明特殊平行四边形性质及判定定理的基本技能；
在相关知识的学习中，学生已经经历了大量的证明活动，特别是平行四边形的相关证明推理，学生已经逐渐体会到了证明的必要性和证明在解决实际问题时的作用，从而初步具备了证明特殊平行四边形性质和判定定理的能力；同时，在前面的相关活动中，学生已经初步了解了归纳、概括及转化等数学思想方法，大量的活动经验丰富了学生的数学思想，锻炼了学生的能力，使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。
二、教学任务分析
课本基于目前学生的知识和能力水平，对本课内容提出了具体的学习任务：进一步发展推理论证能力，运用综合法证明矩形的性质和判定定理，进一步体会证明的必要性和作用，体会归纳等数学思想方法。
对于本节课的知识，教科书提出的学习任务，重点集中在了学生的能力培养上，在教学时，我们应该把目标上升一个层次，从关注学生是否能证明这些定理提高到关注学生如何找到解题思路，从关注学生是否能顺利证明提高到关注学生是否合理严密的使用数学语言严格证明，从关注学生合作解题提高到让每一个学生都能独立完成证明的过程。能力培养不仅是本节课教学过程中的近期目标，更是为今后学生学习数学知识打下基础的远景目标，能力的培养也必然带动学生情感态度目标的达成。同时，在教学中，还必须注意对不同层次的学生制定不同的教学任务，做到让每一个学生都能在课堂上有所收获。为此，本节课我们要达到的具体教学目标为：
能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；
经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；
学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法；
通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境,提出问题；第二环节：先猜想再实践，发展几何直觉；第三环节：再创情境，猜想实践；第四环节：实际应用，范例教学；第五环节：反馈练习，注重参与；第六环节：课堂小结，布置作业。
第一环节：创设情境，提出问题
活动内容：课前准备小木板和橡皮筋，制作一个如图所示的平行四边形的活动框架。在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
活动目的：通过这个活动，首先是学生能够主动地对平行四边形的相关知识有一个系统的回顾和认知，让学生以一种比较有趣的形式对这部分知识进行自主的复习，激发学生对本节知识的学习兴趣。同时，对平行四边形进行归纳，可以使学生清楚地认识到平行四边形与特殊平行四边形之间的关系，为后面连续几节研究特殊的平行四边形提供有力的支持。此外，这个活动，也可以激发学生的积极性和主动性。
活动的注意事项：因为前面对平行四边形及菱形、矩形的学习，学生回答问题比较有针对性，能概括地从“边、角、对角线”等几个方面回答，较有条理。当然也有个别学生语言表述不到位，需老师同学适时点拨、补充、鼓励。
第二环节：先猜想再实践，发展几何直觉
活动内容：根据上面的实践活动提出以下两个问题：
随着的变化，两条对角线将发生怎样的变化?
当两条对角线相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想?
学生在小组中完成这个活动的过程中，会引发对于这两个问题的讨论，请学生根据实践的结果对问题进行回答，再对比前面所学的平行四边形及菱形的判定定理的证明过程，来思考如何证明矩形的判定定理。然后通过小组合作，将定理的证明严格的完成，最后同学实物投影的形式，各小组之间进行交流。
对比前一节学习的菱形和矩形的性质定理，引导学生对矩形独有的第一个判定定理进行证明：
教师板书本题证明过程。
定理 两条对角线相等的平行四边形是矩形。
学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；
对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；
请学生交流大体思路；
用规范的数学语言写出证明过程；
同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。
活动目的：矩形的性质学生已经非常熟悉，对比矩形的性质得到矩形的判定，通过教师引导和独立思考，培养遇到题目时冷静思考，找到解题思路的良好习惯。在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。
活动注意事项：通过这个活动，学生能够很容易想出矩形的这个判定定理，而且通过对比平行四边形和菱形的相关证明，不难证明。所以，教师在这里可以放手让学生通过分组的形式，自主证明，这样不仅有利于学生的合作交流，还能让学生多些时间来研究一题多解，开阔了学生的思路，让学生把精力投入到对思想方法的研究上去。
同时，采取小组合作时，应当鼓励学生提出自己的意见，特别是有没有更多的方法来证明这些定理，在小组讨论形成结果的时候，由代表为其他同学进行讲解，并把自己组所有想到的方法向大家展示。此时，教师应该关注学生的思路是否清晰、证明是否严谨，对学有余力的学生要关注他们是否有新的想法，对学困生则要关注他们是否掌握了基本的证明思路。
对学生的证明要求不高，但需要学生画图，并写出已知求证，这对部分学生来说有一定困难，教师在此时可以注意引导，让学生首先分析出定理中的条件和结论，然后让学生仿照前面平行四边形和菱形的证明，写出已知和求证，同时对他们做出分析，这个学生分析的环节是发展学生推理论证能力的关键。
在证明过程中，对于重点步骤，应该要求学生写明理由，同时，还要关注学生的证明过程是否严谨清晰。
第三环节：再创情境，猜想实践
活动内容：
教师给出PPT中的情境二：李芳同学用四步画出一个四边形，“边、直角、边----直角、边----直角、边”，她说这就是一个矩形，她说的对吗？为什么？
学生现猜想然后小组讨论，将讨论的结果进行证明。
定理 三个角是直角的四边形是矩形。
学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；
对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；
请学生交流大体思路；
用规范的数学语言写出证明过程；
同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。
活动目的：通过上面的一个判定定理的证明，学生已经学会如何分析命题，找出条件和结论，画出图形，根据图形写出已知和求证，到现在为止学生有两种证明一个四边形是矩形的方法，在这个环节中，应引导学生对方法的适当选择， 并通过实物投影的方式对比较严谨清晰的方法进行展示。
活动注意事项：通过这个活动，学生能够很容易想出矩形的这个判定定理，而且通过对比平行四边形和菱形的相关证明，不难证明。所以，教师在这里可以放手让学生通过分组的形式，自主证明，这样不仅有利于学生的合作交流，还能让学生多些时间来研究一题多解，开阔了学生的思路，让学生把精力投入到对思想方法的研究上去。
第四环节：实际应用，范例教学；
活动内容：
教师实际问题：
①如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是平行四边形？
②如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是菱形？
③如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是矩形？
请说明如何操作，并说明这样做的原因。
2. 教师给出书中例二，学生进行分析，并解决这个问题，然后互相交流解法。
例：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积.
教师板书本例题
活动目的：运用刚刚证明的两个定理解决实际问题，进一步发展学生的推理能力，将课本中的问题拆分成三个问题，发散学生思维，从而能将平行四边形菱形和矩形联系起来，分析三者之间的区别和联系。在活动2的证明中，通过让学生找寻不同的解题方法，培养学生的分析能力，深刻体会数学思想的多样性和灵活性。在一题多解的过程中，贯彻分层教学的理念，让学生在思维最活跃的时候，最大化地提高学生能力。
活动注意事项：在证明过程中，对于重点步骤，应该要求学生写明理由，同时，还要关注学生的证明过程是否严谨清晰。
第五环节：反馈练习，注重参与
活动内容：
1．已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC.
求证：四边形ABCD是矩形.
2. 已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，CM∥BD,DM∥AC.
求证:四边形OCMD是矩形.
活动目的：通过2道练习题进一步巩固矩形的判定定理，提高学生的逻辑推理能力。
活动注意事项：通过学生的板书，查看存在问题，查漏补缺。鼓励学生一题多解，注重发散思维培养。
第六环节：课堂小节，作业布置
活动内容：学生互相交流矩形的判定定理，何时选择判定定理，矩形与平行四边形的关系，遇到矩形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。
活动目的：鼓励学生结合前面的准备活动畅所欲言自己的感受和收获，让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力，并且对于研究科学需要严谨的作风这一点有深刻的认识。
活动注意事项：鼓励学生互相补充，畅所欲言，不要由老师替学生总结，特别要关注一些在数学学习中有困难的学生，要通过这个环节来给他们树立信心，同时帮助他们发现困难以便今后更好的解决困难。
作业布置不能一概而论，对于不同层次的学生，要注意提出不同的要求。课后习题3.4的要求较低，要求学生都能独立完成，对于有能力的同学，可以提出更高的要求，同时，对于数学学习存在困难的学生，应该要求他们在课后，把课堂上讲过的题目进行再整理，加深印象。
四、教学反思
1．灵活处理教材
对于本节课的知识，不能机械地照搬教材内容，而应该对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华。
分层次教学
对于不同层次的学生，在课堂上的要求要有所不同，一味的提高难度满足有能力的学生和降低难度适应困难学生都不是明智的做法，在教学中选择因材施教，使每个学生都有所得才是课堂教学效果的关键。在同一题目中，通过一题多问或者一题多解等形式，可以使优生有所突破，也可以让学困生受到关注，获得解题的成就感，这就对我们的备课和选题提出了更高的要求。
充分给学生以时间和空间
课堂是学生展示自己的一个舞台，在课堂教学中，给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能让教师发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的。
应当注意的问题
几何教学有时对学生想象能力要求比较高，有些学生在这方面很有优势，而有一些学生可能要差一点，课堂教学不能过急；此外，几何教学中要合理把握学生的课堂兴奋点，合理安排时间，力图让学生在注意力最集中时完成最重要的知识内容，掌握本节课重要的学习方法；还要注意的是，不要让思维活跃的学生的回答掩盖了其他学生的疑问，应该争取关注每一个学生。
课件15张PPT。第一章 特殊平行四边形第2节 矩形的性质与判定(二）
一个角是直角有一个角是直角的平行四边形.矩形的两条对角线相等
且互相平分.矩形的对边平行且相等.矩形的四个角都是直角.边对角线角矩形的定义矩形的性质知识回顾情境一如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？问题（2）: 当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 问题（1）:
随着 的变化两条对角线的长度将发生 怎样的变化？对角线相等的平行四边形是矩形.猜想：证明：四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.四边形ABCD是矩形.已知:求证:对角线相等的平行四边形是矩形吗？四边形ABCD是矩形矩形判定方法一情境二李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边” ，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？猜想：你能证明上述结论吗？有三个角是直角的四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形吗?证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.求证:四边形ABCD是矩形.∴四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形∠A=∠B=∠C=90°四边形ABCD
是矩形矩形判定方法二议一议： 1. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是平行四边形呢？ 2. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是菱形呢？ 3. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是矩形呢？例：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，△ABO是等边三角形，AB=4. 求□ABCD的面积.已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC.
求证：四边形ABCD是矩形.练一练1已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，CM∥BD,DM∥AC.
求证:四边形OCMD是矩形.练一练2ABCDOM有一个角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.矩形的判定方法:课堂小结布置作业
课本P16 1,2,3.矩形小资料
在几何中，矩形可以被定义为四个内角相等的四边形，就是说所有内角均为直角。从这个定义可以得出矩形两条相对的边等长，也就是说矩形是平行四边形。正方形是矩形的一个特例，它的四个边都是等长的。同时，正方形既是矩形，也是菱形。
长与宽的含义
第一种意见：长方形长的那条边叫长，短的那条边叫宽。
第二种意见：长方形和水平面同方向的叫做长，反之就叫做宽。长和宽是相对的，不能绝对地说“长比宽长”，但习惯地讲，长的为长，短的为宽。
主要特点
①两条对角线相等； ②两条对角线互相平分；
③两组对边分别平行； ④两组对边分别相等 ；
⑤四个角都是直角； ⑥顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；
⑦有2条对称轴（正方形有4条）。
判定定理
①有一个角是直角的平行四边形是矩形。（定义）
②对角线相等的平行四边形是矩形。
③邻边互相垂直的平行四边形是矩形。
④有三个角是直角的四边形是矩形。
⑤对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
第一章 特殊平行四边形
2．矩形的性质与判定（三）
一、学生起点分析
学生在八年级已经学习了平行四边形的性质和判定，本学期也学习了一种特殊的平行四边形——菱形的性质和判定；本节前两课时，学生学习了矩形的性质与判定；本课时在前面学习的基础上进行矩形知识的综合应用。
在前面相关知识的学习中，学生已经经历了大量的证明活动，特别是平行四边形的相关证明推理，学生已经逐渐体会到了证明的必要性和证明在解决实际问题时的作用，同时，在前面的相关活动中，学生已经初步了解了归纳、概括及转化等数学思想方法，大量的活动经验丰富了学生的数学思想，锻炼了学生的能力，使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。
二、教学任务分析
课本基于目前学生的知识和能力水平，对本课内容提出了具体的学习任务：进一步发展推理论证能力，运用综合法证明矩形的性质和判定定理，进一步体会证明的必要性和作用，体会归纳等数学思想方法。
对于本节课的知识，教科书提出的学习任务，重点集中在了学生的能力培养上，因为本节课的知识，对学生来说从认知角度上缺乏挑战性，大部分学生都已经能够熟练运用矩形的性质和判定方法，所以，在教学时，我们应该把目标上升一个层次，从关注学生是否能证明这些定理提高到关注学生如何找到解题思路，从关注学生是否能顺利证明提高到关注学生是否合理严密的使用数学语言严格证明，从关注学生合作解题提高到让每一个学生都能独立完成证明的过程。能力培养不仅是本节课教学过程中的近期目标，更是为今后学生学习数学知识打下基础的远景目标，能力的培养也必然带动学生情感态度目标的达成。同时，在教学中，还必须注意对不同层次的学生制定不同的教学任务，做到让每一个学生都能在课堂上有所收获。为此，本节课我们要达到的具体教学目标为：
知识与技能：
①知识目标：能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；提高实际动手操作能力。
②能力目标：经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；
过程与方法：通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科
学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。
情感态度价值观：通过课堂的自主探究活动，让学生感受合作学习的成功，培养主动探求、勇于实践的精神，激发学生学习数学的激情，树立学好数学的信心。
三、教学过程
本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习导入；第二环节：讲授新课；第三环节：巩固提高；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业。
第一环节 复习导入
1.如图1，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD= 120°，AB=2.5cm，则∠DAO= ,AC= cm，_______。
2. 如图2，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件 ，可使它成为矩形。
目的：
通过两道题目复习矩形的性质和判定，复习旧知识为本节课的进行热身。
学生回答解题时使用的方法，进一步为本节课的开展做铺垫。
第二环 讲授新课
例3 如图1-14，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.
解∵ 四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=DO=BD（矩形的对角线相等且互相平分）.
∠BAD=90°（矩形的四个都是直角）.
∵ED=3BE，
∴BE=OE.
又∵ AE⊥BD，
∴AB=AO.
∴AB=AO=BO.
即 △ABO是等边三角形.
∴∠ABO=60°.
∴∠ADB=90°-∠ABO=30°.
在Rt△AED中，
∵∠ADB=30°，
∴AE=AD=×6=3.
方法和目的：这里的证明首先可以让学生对矩形的性质和判定有更深刻的认知，同时，通过教师引导和独立思考，培养遇到题目时冷静思考，找到解题思路的良好习惯。在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。
注意事项：九年级的学生在知识的掌握和思维上有一定的差异，教师可以通过分组合作的形式完成本题的求解；本题的解法不是唯一的，采取小组合作时，应当鼓励学生提出自己的意见，特别是有没有更多的方法来证明这些定理，在小组讨论形成结果的时候，由代表为其他同学进行讲解，并把自己组所有想到的方法向大家展示。此时，教师应该关注学生的思路是否清晰、证明是否严谨，对学有余力的学生要关注他们是否有新的想法，对学困生则要关注他们是否掌握了基本的证明思路。这样不仅有利于学生的合作交流，同时还能合理安排课堂时间，让学生把精力投入到对思想方法的研究上去。
例4 如图1-15，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD=∠BAC，∠CAN=∠CAM.
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN
=（∠BAC=∠CAM）
=×180°
=90°.
在△ABC中，
∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC.
∴∠ADC=90°.
又∵CE⊥AN，
∴∠CEA=90° .
∴四边形ADCE为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.
注意事项：本题在解决上一题的基础上，运用已有知识解决问题，进一步发展学生的推理能力，通过证明，让学生体会转化的数学思想。在例题4的证明中，通过让学生找寻不同的解题方法，培养学生的分析能力，深刻体会数学思想的多样性和灵活性。在一题多解的过程中，贯彻分层教学的理念，让学生在思维最活跃的时候，最大化地提高学生能力。
第三环节 巩固提高
在例题4中，若连接DE，交AC于点F（如图1-16）
试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论.
线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.
注意事项：本题的综合性比较强，对于不同层次的学生，本题的考虑方法也会有区别，教师都应该鼓励学生大胆尝试，用自己的方法去试着解决。
练习：已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，M、N分别是BC和AD的中点.
求证：四边形BMDN是矩形.
注意事项：在证明过程中，对于重点步骤，应该要求学生写明理由，同时，还要关注学生的证明过程是否严谨清晰。
第四环节 课堂小结:
说说你的收获。
说说你的困惑。
说说你的方法。
总结内容：学生互相交流矩形的性质与判定定理，何时该选用性质定理，何时选择判定定理，矩形与平行四边形的关系，遇到矩形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。
目的：鼓励学生结合前面的证明畅所欲言自己的感受和收获，让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力，并且对于研究科学需要严谨的作风这一点有深刻的认识。
注意事项：鼓励学生互相补充，畅所欲言，不要由老师替学生总结，特别要关注一些在数学学习中有困难的学生，要通过这个环节来给他们树立信心，同时帮助他们发现困难以便今后更好的解决困难。
第五环节 布置作业
对于不同层次的学生，要注意提出不同的要求，作业（一）要求不高，要求学生独立完成，对于有能力的同学，可以提出更高的要求作业（二）
（一）习题1.6 知识技能1、2、3、联系拓广4
（二）如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别
是AD，BD， BC，AC的中点。
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论。
四、教学设计反思
1．灵活处理教材，在精不在多
对于本节课的知识，不能机械地照搬教材内容，应该视各班学生情况而定，对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华。也不应加大习题量，题目在精不在多，扎实的讲解和学习比大量练习要有效果的多。把关注学生能力的培养提到首位，达到本节课所要完成的真正目标。
分层次教学
对于不同层次的学生，在课堂上的要求要有所不同。在同一题目中，通过一题多问或者一题多解等形式，可以使优生有所突破，也可以让学困生受到关注，获得解题的成就感，这就对我们的备课和选题提出了更高的要求。
充分给学生以时间
本课时，是综合运用的一节课，应给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能让教师发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的。
课件11张PPT。第一章 特殊平行四边形第2节 矩形的性质与判定（三）1.如图1，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD= 120°，AB=2.5cm，则∠DAO= ， AC= cm，S矩形ABCD= .2. 如图2，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件 ，可使它成为矩形。
复习导入 例3 如图1-14，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.例题解∵ 四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=DO= BD（矩形的对角
线相等且互相平分）.
∠BAD=90°（矩形的四个都是直角）.
∵ED=3BE，∴BE=OE.
又∵ AE⊥BD，∴AB=AO.
∴AB=AO=BO.例3 如图1-14，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.例题你还有其他的解法吗？和同学交流即 △ABO是等边三角形.
∴∠ABO=60°.
∴∠ADB=90°-∠ABO=30°.
在Rt△AED中，
∵∠ADB=30°，
∴AE= AD= ×6=3.例4 如图1-15，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形. 例题证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD= ∠BAC，∠CAN= ∠CAM.
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN
= （∠BAC+∠CAM）
= ×180°
=90°.
例4 如图1-15，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.
求证：四边形ADCE是矩形. 例题在△ABC中，
∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC. ∴∠ADC=90°.
又∵CE⊥AN，
∴∠CEA=90° .
∴四边形ADCE为矩形（有三个角是直角的四边形
是矩形）.
你还有其他的解法吗？和同学交流巩固提高 在例题4中，若连接DE，交AC于点F（如图1-16）
（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论.
（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论. 已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，M、N分别是BC和AD的中点.
求证：四边形BMDN是矩形 练习课堂小结1、说说你的收获。
2、说说你的困惑。
3、说说你的方法。作业（一）习题1.6 知识技能 1、2、3
联系拓广 4
（二）如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD， BC，AC的中点。
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是矩形？并证明你的结论。谢谢！与矩形相关的折叠问题
在矩形的性质及判定的应用过程中，折叠类的题目是比较多见的，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题一个突破口。下面从几个不同的层面展示一下。
例1 将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为( )．
(A)60° (B)75° (C)90° (D)95°
分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC和折痕BD就充当了角平分线的角色，即∠ABC=∠A/BC,∠EBD=∠E/BD。
例2 如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O。
（1）由折叠可得△BCD≌△BED，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来 。
（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 。
（3）若AB=6,BC=8,则O点到BD的距离是 。
分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD。另外，还可以从另一个角度分析。由折痕BD可以找到∠OBD=∠CBD，由于在矩形中，AD∥BC，∠ODB=∠CBD，经过等量代换∠OBD＝∠ODB，然后等角对等边OB=OD。这是在矩形中折叠比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形。问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中要发挥作用的一类题目。因为AD＝BC，BC＝BE，因此在△ABO中可以设AO＝x，则BO＝OD＝8－x，因为AB＝6，即可以列勾股定理的等式：AB2＋AO2＝BO2进行计算了。下面的这个题目就是用这个思路解决的。大家可以尝试一下。
例3 已知：如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB，OA分别在x轴、y轴上，点A坐标为（0,3），∠OAB＝60°,以AB为轴对折后，使C点落在D点处，求D点的坐标.
例4 一个矩形纸片如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF。
（1）找出图中全等的三角形，并证明。
（2）重合部分是什么图形？证明你的结论。
（3）连接BE，并判断四边形BEDF是什么特殊四边形，BD与EF有什么关系？并证明。
分析：此题的折叠不仅有前面几个问题中线段和角的对应相等，而且在折叠的过程中隐藏着EF垂直平分BD，这对于第三问中四边形形状的判断，有着重要的作用，这仍然是轴对称的性质。利用这些条件易证明△EOD≌△BOF，则有ED＝BF，且ED∥BF，首先四边形EBFD是平行四边形，由于BD、EF互相垂直，所以就可说明四边形EBFD是菱形。
例5 在矩形ABDC中，把∠A沿CF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，若AB＝a，AC＝b，请你计算 的值。
分析：这个问题中的折叠，体现出来的看似只是一对角的相等，其实还有矩形中心对称图形的特征。即点E是对角线的交点。由矩形的性质可以说明AE＝DE，因为折叠可知AC＝CE，因此可得：△CAE是等边三角形，即∠ACB＝60°，进而在直角△ACB中解决两直角边的关系为：１。
总之，由于矩形本身所独有的特征，例如直角、对角线相等这些区别于普通平行四边形的特征，使得折叠在矩形中会产生奇妙的结果，只要大家用心体会，善于总结归纳，一定会从中发现很多美妙的结论！
