第二章 一元二次方程
３．用公式法求解一元二次方程（一）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.
学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.
二、教学任务分析
公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。
其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。
为此，本节课的教学目标是：
①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。
②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.
③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力
三、教学过程分析
本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。
第一环节；回忆巩固
活动内容：
①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0
全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算
②由学生总结用配方法解方程的一般方法:
第一题： 2x2+3=7x
解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0
两边都除以一次项系数:2
配方:加上再减去一次项系数一半的平方
即:
两边开平方取“±” 得：
写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=
第二题： 3x2+2x+1=0
解：两边都除以一次项系数:3
配方:加上再减去一次项系数一半的平方
即:
∵
∴原方程无解
活动目的：
（1）进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。
（2）选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。
（3）教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习.
活动的实际效果：
通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程，由于是旧知识，学生容易做出正确答案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。
第二环节 探究新知
（1）活动1：自主推导求根公式。
提出问题：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)
学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式.
解：两边都除以一次项系数:a
问：为什么可以两边都除以一次项系数:a
答：因为a≠0
配方:加上再减去一次项系数一半的平方
即:
问：现在可以两边开平方吗？
答：不可以，因为不能保证
问：什么情况下
学生讨论后回答：
答： ∵ a≠0
∴ 4a2>0
要使
只要 b2-4ac≥0即可
∴当b2-4ac≥0时，两边开平方取“±” 得：
问：如果b2-4ac<0时，会出现什么问题？
答：方程无解
如果b2-4ac=0呢？答;方程有两个相等的实数根。
活动目的：
学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。
活动的实际效果：
学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：
（1）中运算的符号出现错误和通分出现错误
（2）不能主动意识到只有当b2-4ac≥0时，两边才能开平方
（3）两边开平方，忽略取“±”。
大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。
（2）活动2：归纳总结公式法定义和根的判别式。
第三环节：巩固新知
活动内容：
１、判断下列方程是否有解：（学生口答）
(1) 2x2+3=7x （2）x2-7x=18 （3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0 (5)16x2+8x=3 (6) 2x2-9x+8=0
学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况。
问第（3）题的判断，与第一环节中的第（2）题对比，哪种方法更简捷？
２、上述方程如果有解，求出方程的解
学生口述，教师板书第（1）题，第（4）题
例：解方程 2x2+3=7x
先将方程化成一般形式 解： 2x2-7x+3=0
确定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3
判断方程是否有根 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0
∴
写出方程的根 即x1=3,x2=-
问：与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？
例：解方程 9x2+6x+1=0
确定a,b,c的值 解：a=9, b=6, c=1
判断方程是否有根 ∵b2-4ac=62-4×9×1=0
∴
（剩下的题目教师根据时间情况选择使用，个别学生上黑板做题，其他同学在座位上练习）
３、课本随堂练习1、2.
活动目的：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。
活动实际效果：教师引导学生分析，学生口答、板书，笔答，对比，评价，总结．大部分学生能够正确、熟练的用公式法解方程。
第四环节：收获与感悟
活动内容：
提出问题：
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？
2、如何判断一元二次方程根的情况？
3、用公式法解方程应注意的问题是什么？
4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？
让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。
活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。
活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑思维能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的过程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的没有根，通过解方程，进一步提高了学生的运算能力。
第五环节：布置作业
用公式法解下列方程（教师可根据实际情况选用）
1、课本47页1,2题。
2、程解应用题
（1）已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?
（2）一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽
四、教学反思
1、要创造性的使用教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。
2、要为学生的终身学习奠基
这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力．帮助学生形成积极主动的求知态度.
课件11张PPT。第二章 一元二次方程
第3节 用公式法求解一元二次方程(一)
公式的推导 解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 练一练，巩固新知
一、判断下列方程解的情况：
（1）x2-7x=18 （2）2x2+3=7x
（3）3x2+2x+1=0 （4）9x2+6x+1=0
（5）16x2+8x=3 （6） 2x2-9x+8=0（3）3x2+2x+1=0
解:a=3,b=2,c=1
b2-4ac
=22-4×2×1
=-4<0
∴ 方程无解
比一比谁简洁
解:2x2-7x+3=0
a=2, b=-7, c=3
∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3
=25>0
∴
即x1=3,x2= 解列方程 2x2+3=7x比一比谁简洁练一练，巩固新知
二、解下列方程
（1） x2-7x=18 （2）2x2+3=7x
（3）3x2+2x+1=0 （4）9x2+6x+1=0
（5）16x2+8x=3 （6） 2x2-9x+8=0练一练，巩固新知
三、一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形的三条边长。 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
的求根公式是什么？
2、如何判断一元二次方程根的情况？
3、用公式法解方程应注意的问题是什么？
4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？ 感悟与收获：
1、课本47页1,2题.
2、已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?
3、一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽
作业高次方程求根公式的故事
1545年意大利学者卡丹将一元三次方程ax3 +bx2+cx+d=0的求根公式公开发表，后来人们就把它叫做“卡丹公式（也有人译作“卡尔丹公式”）。事实上，发现公式的人并不是卡丹本人，而是塔尔塔利亚。
塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了。他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。
后来，意大利医生兼数学家卡丹请求塔尔塔利亚把解方程的方法告诉他，但遭到了拒绝。尽管卡丹千方百计地想探听塔尔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔尔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡丹一再恳切要求，而且说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓对此保守秘密，于是塔尔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡丹，但是并没有给出详细的证明。
六年后，卡丹不顾原来的信约，在他的著作中将经过改进的三次方程的解法公开发表。他在书中写道：“这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友——布里西亚的塔尔塔利亚。塔尔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我找到了几种证法。证法很难，我把它叙述如下。”从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为“卡丹公式”，而塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。
卡丹没有遵守誓言，因而受到塔尔塔利亚及许多文献资料的指责。但是卡丹在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔尔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡丹自己给出的，说明卡丹也做了工作。卡丹用自己的工作对塔尔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。
一元三次方程应有三个根。塔尔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约200年后，随着人们对虚数认识的加深，到了1732年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。
一元四次方程的求根公式由卡丹的学生费拉里找到了。
一元三次、四次方程求根公式找到后，人们在努力寻找一元五次方程求根公式，三百年过去了，但没有人成功，这些经过尝试而没有得到结果的人当中，不乏有大数学家。
后来年轻的挪威数学家阿贝尔于1824年所证实， n次方程(n≥5)没有公式解。不过，对这个问题的研究，其实并没结束，因为人们发现有些n次方程(n≥5)可有求根公式。那么又是什么样的一元n次方程才没没有求根公式呢？
不久，这一问题在19世纪上半期，被法国数学家伽罗瓦利用他创造的全新的数学方法所证明，由此一门新的数学分支“群论”诞生了。
第二章 一元二次方程
２．用公式法求解一元二次方程（二）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生已学习了一元一次方程、二元一次方程组等内容；已经经历将一些实际问题抽象成数与代数问题的过程及一元二次方程的建模过程；学习了用配方法解一元二次方程，掌握了数与代数的基本知识和基本技能和一定的运算技能。这些为本节进一步用配方法解一元二次方程提供了基础。
学生活动经验基础：学生在七年级和八年级中有过方案设计的经历，经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力，这些也构成了本课任务完成的活动经验基础。
二、教学任务分析
课程标准对方程的要求是：能够根据具体问题中的数量关系，列出方程；体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，检验结果是否合理。本节主要为了巩固解方程的方法，同时考虑到单纯的式的训练，比较枯燥，因此设计了一个方案设计活动，需要自行设计方案，因此需要适度的建模，为此制定本课时教学目标是:（1）通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法；(2)通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性。
三、教学过程分析
整个教学过程共分七个环节进行。第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入；第三环节：方案设计；第四环节：问题解答；第五环节：学以致用；第六环节：反思归纳；第七环节：布置作业。
第一环节：知识回顾
活动内容：
你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？
活动目的：
帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫。
第二环节：情境引入
活动内容：
师提出问题：现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决？
在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
活动目的：
以情境引入课题，以同学生平等的身份提出问题，改变教师的权威地位，成为学生真正意义上的合作者。通过问题情境的设计，让学生主动的投入到学习过程中，使学生真正成为数学学习的主人，激发学生的探究愿望。
教学效果：学生兴趣盎然。
第三环节：方案设计
活动内容：
学生先自己设计，画出草图，然后到黑板上展示、交流自己的作品。
活动目的：
通过征集设计方案，激发学生的内在动力。
先独立思考，独自设计，再合作交流、互相补充，充分发挥学生的主体作用，使教师真正成为学生学习的组织者、促进者、合作者。
教学效果：
学生的设计多种多样，这里只选具有代表性的几种。
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7)
在学生自行设计和展现作品时，教师可以提出具有挑战性、开放性的问题，以激发学生的学习热情的问题：（1）怎样知道你的设计是符合要求的？你能说明你的设计是符合要求的吗？（2）以上图形哪些可以直接说明符合上面条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？
同时让学生知道设计得对与否，数据是最好的说明，如何来计算数据，通过列一元二次方程来解决，这样顺利引入本课的研究内容。
此外，课堂上没来的及展示的可以留作课后探讨，这样做也体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的课程理念，既没超出教材的要求，又达到了适当拔高、激发学生学习兴趣以及培养能力的目的。
第四环节：问题解答
活动内容：
问题解答：
如何设未知数？怎样列方程？
分组解答图（5）、（6）所列的方程。
图（5）的解答：
解：设小路的宽为xm,由题意得：
（16-2x）（12-2x）=16×12×
整理，得：x-14x+24=0
x-14x+49=-24+49
(x-7) =25
x1=12 ,x2=2
答：（略）
问题：你认为小路的宽为12m和2m都符合实际意义吗？
图（6）的解答：
解：设扇形的半径为xm,由题意得：
πx=16×12×
πx=96
x=± ≈±5、5
x1≈5、5 ，x2≈-5、5（ 舍去）
3、集体解答图（7）：根据学生所列的方程进行解答。
活动目的：通过问题的解答和验证，使学生明确用数学知识解决实际问题时，它的解要符合实际意义，增强用数学的意识，巩固用配方法解一元二次方程。
教学效果：
由于时间关系，分组解答图（5）和（6），部分同学忽视了验证解的合理性，这也是难免的，在学生发生这些问题时，适时提醒即可。
第五环节：学以致用
活动内容：在一幅长90cm、宽60cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？
(1) (2) (3)
出示图（2）和图（3）做比较，你认为那一幅图是按要求镶上的金色纸边，你将如何设未知数从而列出方程？
解：设金边的宽为xm,由题意得：
（90+2x ）(40+2x) ×72%=90 ×40
活动目的：增强用数学的意识，进一步巩固用配方法解一元二次方程。
教学效果：
解答时准确率较低，原因有两点：一是本例数据较繁，而是学生毕竟刚学习解方程，解一元二次方程尚未熟练，教学中如有可能可以给学生更多的时间。
第六环节：反思归纳
通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑？
第七环节：布置作业
作业：P43第2、3、4题。
四、教学反思
1、本节课的最大特点是提出了具有思考价值的问题,以导为主，层层深入，以问题串的形式指导学生懂得如何获得自己所需要的知识。引入新课时，提出了这样的问题：在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。提出问题：你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？当学生将自己的设计方案展示在黑板上之后，接着提出问题：你的设计一定符合要求吗？怎样知道你的设计是符合要求的？以上图形哪些可以直接说明符合上面条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？从课堂上学生的活动来看，学生的热情、思维与探究并进。
2、利用多媒体课件帮助学生理解问题的实质，从而理清设计者的思路。
课件16张PPT。第3节 用公式法求解一元二次方程(二)
第二章 一元二次方程2. 怎样用配方法求解一元二次方程？
怎样用公式法求解一元二次方程？1.你能举例说明什么是 一元二次方程吗？它有什么特点？温故知新 在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？ (1)(2)(3)(4)如何设未知数？怎样列方程？ 如何设未知数？怎样列方程？ 在一幅长90cm、宽60cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？ 图（2）和图（3）做比较，你认为哪一幅图是按要求镶上的金色纸边，你将如何设未知数从而列出方程？ 图（2）图（3）通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑？ 反思归纳:P432、3、4
布置作业:邑方几何
在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：
“今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木。出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何。”
题目大意是：有一方城，四边正中各有一门，距北门20步处有一树木。出南门南行14步，再转向西行1775步，刚好看到树木。求方城边长。
图中HA=20步，KC=14步，CB=1775步，求FG
设FG=x
根据题意，RtAHD∽RtACB
因此有
即
x2+34x-71000=0
解得x1=250, x2=-284(不合，舍去)
所以方城的边长为250步。
从上面可以看到其实此题是一个可化为一元二次方程的分式方程的求解问题。解可化为一元二次方程的分式方程的方法，与解可化为一元一次方程的分式方程的方法是相同的。通常是先去分母化为一元二次方程，然后再解出原方程的根。
下面是大数学家欧拉的《代数引论》里的一个有趣的题目，你能解决吗 ？
两个农妇共带100个鸡蛋上市。两人所带鸡蛋个数不等，但卖得的钱数相同。第一个农妇对第二个农妇说：“如果咱们两人的鸡蛋交换，我可以卖15个克罗索（德国古代的一种货币）。”第二个农妇答道：“可是如果咱们俩的鸡蛋交换，我就只能卖得20/3个克罗索。”试问：这两个农妇各带了多少个鸡蛋?
