第二章 一元二次方程
5．一元二次方程的根与系数的关系
一、学生知识状况分析
“一元二次方程根与系数的关系”是《一元二次方程》中继“一元二次方程的解法”之后的一个学习内容，学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础。基于初中三年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
二、教学任务分析
本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家），韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。同时通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。为此，确定本节课的教学目标为：
1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。
2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。
3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。
4、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：探究新知；第四环节：尝试发展；第五环节：拓展创新；第六环节：感悟与收获；第七环节：布置作业。
第一环节：复习回顾
内容：
1、一元二次方程的一般形式？ ax2+bx+c=0 (a≠0)（板书）??? ?
?2、一元二次方程有实数根的条件是什么？ (△=b2-4ac≥0)
3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？
4、一元二次方程的求根公式是什么？
目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。
效果：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“a≠0”。
后面的问题由于较简单，学生很快回答出来，提高了学生自信心。
第二环节：情景引入
内容：同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？?
（1）x2+3x+4=0 （2）6x2+x-2=0? （3） 2x2-3x?+1=0
目的：通过游戏入手，激发学生学习兴趣。
效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究新知的兴趣。自然引出本节课要学习的课题
第三环节：探究新知
内容： 计算填表（验证第一环节游戏的结果）
方程
?x1
?x2
x1+x2?
x1x2?
?x2+3x+4=0
?
?
?
?
6x2+x-2=0?
?
?
?
?
2x2-3x?+1=0
?
?
?
?
问题：
1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗？???????
2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？
3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。
4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。
（分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。）
目的：本环节采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手、动脑，又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
效果：在复习旧知的基础上，学生很快口完成了表格，为解决后面的问题做好了准备。问题串让学生合作解决，在探究的过程中体现了特殊到一般，从实践到理论的认知规律。
第四环节：尝试发展
尝试题1：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积
（方程两根为x1，x2、k是常数）
（1）2x2-3x-1=0? ????x1+x2= ________????? x1x2= ________???????????
（2）3x2+5x=0??????? x1+x2= ________??? x1x2= ________??
（3）x2+7x=-6???? x1+x2= _________???x1x2= _________??
（4）5x2+kx-6=0????? x1+x2= _________???x1x2= _________
（学生迅速演算或口算）
尝试题2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的
（1）平方和 （2）倒数和 （3）差
尝试题3：已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值。
目的：“尝试题1”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，其中第（3）小题是培养学生思维严谨性和批判性；第（4）小题是起过渡作用设计。
“尝试题2” 将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式。例如：
x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;?
“尝试题3” 展示学生的不同作法，通过比较，学生可以体会到用根与系数的关系来解决此类问题比较简便。
效果：1、两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生的易错点
2、将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式时，部分学生不能熟练的掌握。
3、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验。
第五环节：拓展创新
1．已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长。
2、变式训练：
已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c能等于15吗？
3、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3.
目的：1、第1、2题把一元二次方程根与系数的关系与三角形三边关系相组合，借此锻炼学生综合分析、推理、归纳的能力。
2、第3题已知方程的两根求作一个一元二次方程，是一元二次方程根与系数的关系的逆用，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度。同时要注意答案的多样性及其中的规律
效果：留给学生充分的独立思考和小组合作交流的时间与空间，使学生在资源共享的同时，充分体会到一元二次方程根与系数的关系的广泛应用和便捷，
第六环节 感悟与收获
内容：师生互相交流总结
在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c有哪些作用？
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况
④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=????? ，x1x2=????
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
?目的：鼓励学生回顾本节课知识方面以及与之相联系的知识有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。
效果：学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑思维能力，提高了推理技能。
第七环节 布置作业
P52 A 知识技能1? B ?数学理解3
C、已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
学法指导
本节课充分以学生为主体进行教学，采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程教学。让学生多实践，从实践中反思过程，经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。引导学生发现问题，师生共同解决问题。指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径，并将应用问题和规律归类。
课件9张PPT。第二章 一元二次方程第5节 一元二次方程的根与系数的关系
第一环节：复习回顾1、一元二次方程的一般形式？ ?? ?
?2、一元二次方程有实数根的条件是什么？
3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？
4、一元二次方程的求根公式是什么？ 第二环节：情景引入同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？?（1）x2+3x+4=0
（2）6x2+x-2=0?
（3）2x2-3x?+1=0第三环节：探究新知第四环节：尝试发展尝试题1：根据根与系数的关系写出下列
方程的两根之和与两根之积
（方程两根为x1，x2、k是常数）
（1）2x2-3x-1=0? ?? x1+x2= ___??? x1x2= ___???????????
（2）3x2+5x=0???? ??x1+x2= ___ x1x2 ___??
（3）x2+7x=-6???? x1+x2= ___ x1x2= ___??
（4）5x2+kx-6=0??? x1+x2= ___??? x1x2= ___尝试题2：利用根与系数的关系，求
一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的
（1）平方和 （2）倒数和
（3）差
尝试题3：已知方程6x2+kx-5=0的一
个根为1，求它的另一个根及k的值。
第五环节：拓展创新1．已知三角形的两边长是方程x2-12x+k=0
的两个根，三角形的第三条边长为4,求这
个三角形的周长。
2.变式训练：
已知三角形的两边长是方程x2-12x+k==0
的两个根，三角形的第三条边能等于15吗？
3.利用根与系数的关系，求作一个一元二
次方程，使它的两根为2和3.第六环节 感悟与收获在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，
a、b、c有哪些作用？P52 A 知识技能1? B ?数学理解3
C、已知方程x2+(2k+1)+k2-2=0 的一个根为2，求另一个根及k的值。 第七环节 布置作业韦达其人
一元二次方程的根与系数的关系，常常也称作韦达定理，这是因为该定理一般被认为是16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达1540年出生在法国东部的普瓦图的韦特奈。他早年学习法律，曾以律师身份在法国议会里工作，韦达不是专职数学爱，但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数学，并做出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。他在1591年所写的《分析术引论》是最早的符号代数著作。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。他还写下了《数学典则》（1579年）、《应用于三角形的数学定律》（1579年）等不少数学论著。韦达的著作，以独特形式包含了文艺复兴时期的全部数学内容。只可惜韦达著作的文字比较晦涩难懂，在当时不能得到广泛传播。在他逝世后，才由别人汇集整理并编成《韦达文集》于1646年出版。韦达1603年卒于巴黎，享年63岁。下面是关于韦达的两则趣事： 一、与罗门的较量 比利时的数学家罗门曾提出一个45次方程的问题向各国数学家挑战。法国国王便把该问题交给了韦达，韦达当时就得出一解，回家后一鼓作气，很快又得出了22解。答案公布，震惊了数学界。韦达又回敬了罗门一个问题。罗门苦思冥想数日方才解出，而韦达却轻而易举地作了出来，为祖国争得了荣誉，他的数学造诣由此可见一斑。 二、韦达的“魔法” 在法国和西班牙的战争中，法国人对于西班牙的军事动态总是了如指掌，在军事上总能先发制人，因而不到两年功夫就打败了西班牙。可怜西班牙的国王对法国人在战争中的“未卜先知”十分脑火又无法理解，认为是法国人使用了“魔法”。原来，是韦达利用自己精湛的数学方法，成功地破译了西班牙的军事密码，为他的祖国赢得了战争的主动权。另外，韦达还设计并改进了历法。所有这些都体现了韦达作为大数学家的深厚功底。
