第二章 一元二次方程
6．应用一元二次方程（一）
一、学生知识状况分析
学生已经学习了一元二次方程及其解法，对于方程的解及解方程并不陌生，对于实际问题的应用，虽然在七、八年级学生已经进行了有关的训练，但还是有一定的难度。
由于本节内容针对的学习者是九年级上学期的学生，已经具备了一定的生活经验和初步的解一元二次方程的经验，乐意并能够与同伴进行合作交流。
二、教学任务分析
本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。为此，本节课的教学目标是：
知识目标：
通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。
能力目标：
1、经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；
2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；
情感态度价值观：④在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。
三、教学过程分析
本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固，情境导入；第二环节：做一做，探索新知；第三环节：练一练，巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。
第一环节；回忆巩固，情境导入
活动内容：提出问题：还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？
①在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ ②如果梯子长度是13米，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
分组讨论：
①怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理来列方程？
②涉及到解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少。
活动目的：以学生所熟悉的梯子下滑问题为素材，以前面所学的勾股定理中边长的关系为切入点，用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望，用学生已有的知识为支点，进一步让学生体会数形结合的思想。
活动的实际效果：大部分学生能够联系以前学过的勾股定理的三边关系对上述问题进行思考，能够在老师的引导下主动地探究问题，取得了比较理想的效果，而且也调动了学生的学习热情，激发了学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。
第二环节 做一做，探索新知
活动内容：见课本P53页例1：
如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。小岛F位于BC中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。
已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）
该部分是学习中的难点，在教学中要给学生充分的时间去审清题意，分析各量之间的关系，不能粗线条解决。在讲解过程中可逐步分解难点：①审清题意；②找准各条有关线段的长度关系；③建立方程模型，之后求解。
解决实际应用问题的关键是审清题意，因此教学中老师要给学生充分的时间去审清题意，让学生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这个前提下抓住图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系。
在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点：
（1）要求DE的长，需要如何设未知数？
（2）怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？
（3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？
（4）选定后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？
学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系即：
速度等量：V军舰=2×V补给船
时间等量：t军舰=t补给船
三边数量关系：
弄清图形中线段长表示的量：已知AB=BC=200海里，DE表示补给船的路程，AB＋BE表示军舰的路程。
学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段：DE、EF的长，根据勾股定理列方程求解，并判断解的合理性。
巩固练习：
1、一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角的面积是多少？
2、如图：在Rt△ACB中，∠C=90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？
3、在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方米，问道路应为多宽？
说明：三个题目的设计从简单问题入手，通过勾股定理解决直角三角形边长问题；第2题构造了一个可变的直角三角形，解决面积问题；第三题也是面积问题，在这个问题中常设道路宽为x米，其中两条长为20米，一条长为32米，但要注意路的交叉部分。
引导学生通过转变图形进行思考：若将图中的三条路分别向上和向右平移到如图所示的位置，应怎样列方程求解？结果一样吗？哪种方法更简单？
活动目的：一元二次方程的应用问题的类型较多，像数字问题、面积问题、平均增长（或降低）率问题、利润问题、数形结合问题等；本节课以教材上的引例作为出发点，作为素材来呈现，可以将应用类型作适当的拓展，在练习中将教材中的应用问题归类呈现出来，便于学生理解和掌握。本课由数形结合问题拓展到面积问题，后面可以在练习中增加数字问题，在第二课时在利润问题上也可增加平均增长率问题等，为学生呈现更多的应用类型，让学生在不同的情境中体会建模的重要性。由于本节“一元二次方程的应用”与九年级下册中的“二次函数”的应用联系密切，所以学好本节课可以为后续知识打下坚实的基础。
活动实际效果：应用问题设置都经过精心准备。通过问题串的设立，将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服困难，体会到列方程解应用题的三个重要环节：整体系统的审清题意；寻找等量关系；正确求解并检验解的合理性。采取的是一讲一练，从巩固练习的准确程度上来看，学生掌握得比较好，能够达到预期的效果。
第三环节：练一练，巩固新知
活动内容：1、在一块正方形的钢板上裁下宽为20cm的一个长条，剩下的长方形钢板的面积为4800 cm2。求原正方形钢板的面积。
有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？
《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何。”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3。乙一直向东走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲、乙各走了多远？
活动目的：通过三道问题的解决，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。 在教学过程中要以学生为主体，引导学生自主发现、合作交流。
活动实际效果：学生在前面活动中积累的经验，可以帮助学生比较顺利地分析上述问题，遇有疑难可以让学生在合作交流中解决，学生在训练过程中更加理解了建模的重要性．大部分学生能够独立解决问题。
第四环节：收获与感悟
活动内容： 问题：
1、列方程解应用题的关键
2、列方程解应用题的步骤
3、列方程应注意的一些问题
让学生在学习小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。
活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，还有什么疑难问题希望得到解决，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中；通过对三个问题的解决，加深学生利用方程解决实际问题的意识和提高解题的能力；并且通过学生间的合作学习帮助不同层次的孩子解决实际困难，增强孩子学好数学的信心。
活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习过程，体会利用列一元二次方程解决实际问题的方法和技巧，进一步提高自己解决问题的能力。
第五环节：布置作业
1、甲乙两个小朋友的年龄相差4岁，两个人的年龄相乘积等于45，你知道这两个小朋友几岁吗？
2、一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m，在它四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246㎡，求小路的宽度。
3、有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。
选作题（供学有余力的学生选作）：
一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域(包括边界)都属台风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求轮船最初遇到
台风的时间；若不会，请说明理由.
四、学法指导
本课是学生学习完一元二次方程的解法后的应用课，学生在七八年级已经进行过方程应用的训练，对于方程的实际应用并不陌生，虽然学生已经进行了一定的训练，但本课对学生而言还是有一定的难度。本课采用启发式、问题讨论式、合作学习相结合的方式,引导学生从已有的知识和生活经验出发，以教材提供的素材为基础，引导学生对旧知识进行迁移，找出解决问题的新的途径和方法；学生之间的合作交流、互助学习，能更好地调动学生的学习积极性，可以更好地根据学生的实际情况进行调整，更符合学生的认知规律。无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，更好地进行学习指导。
课件11张PPT。第二章 一元二次方程
第6节 应用一元二次方程 （一）
还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？回忆巩固，情境导入 ①在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？②如果梯子长度是13米，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？做一做，探索新知 如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。小岛F位于BC中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）巩固练习：1、一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角的面积是多少？2、如图：在Rt△ACB中，∠C=90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？巩固练习：
在宽为20m，长为
32m的矩形耕地上，
修筑同样宽的三条道
路，把耕地分成大小
相等的六块作试验田，
要使试验田面积为570m2，
问道路应为多宽？ 练一练，巩固新知
1、在一块正方形的钢板上裁下宽为20cm的一
个长条，剩下的长方形钢板的面积为4800 cm2。
求原正方形钢板的面积。 2、有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？ 3、《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何。”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3。乙一直向东走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲、乙各走了多远？练一练，巩固新知问题：
1、列方程解应用题的关键
2、列方程解应用题的步骤
3、列方程应注意的一些问题 感悟与收获：
1、甲乙两个小朋友的年龄相差4岁，两个人的年龄相乘积等于45，你知道这两个小朋友几岁吗？
2、一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m，
在它四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246㎡，求小路的宽度。
3、有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。作业：属台风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处
按原速度继续航行，在途中
会不会遇到台风?若会，试
求轮船最初遇到台风的时间；
若不会，请说明理由.选做题：趣味方程一例
方程在生活中的应用非常广泛。生活中可以结合生活经验、生产实际情况及合理运算后，进行大胆的估测。您知道吗？
根据下面文字您能猜出周瑜当时多少岁吗？
大江东去浪淘尽，千古风流人物，
而立之年督东吴，英年早逝两位数。
十位恪小个位三，个位平方与寿符。
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
分析：
[列出方程式，并估算周瑜去世时的年龄]
由题意“则立之年督东吴”可估计周瑜年龄就在30-50之间。
解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为（x-3）。依题意得
x2=10（x-3）+x
x2-11x+30=0
由题意可知：x-3在3，4之间选择，则x为6或7。
当x=6时，年龄为36，符合“个位平方与寿符”。
当x=7时，年龄为47，不符合题意。
故周瑜去世时年龄为36岁。
第二章 一元二次方程
6.应用一元二次方程（二）
一、学生知识状况分析
九年级学生的思维应该说已经具有一定的水平，对于方程的理解也不是第一次接触，在学习一元一次方程及其应用和二元一次方程组、分式方程及其应用时，学生就已经经历了“问题情境－建立方程模型－解决问题”这一数学化的过程，理解了学习方程的意义，对于简单的实际问题也能够通过寻找其中的数量关系来解决。
本节内容的设置，正是《新课程标准》在知识点上呈螺旋上升趋势的具体体现。但是学生的思维需要逐渐培养，在学生具备一定的思维水平的基础上，教师是引导学生学习的关键，在学习难度较大的知识点时，兴趣是关键。教师还应从学生的积极性入手，努力去挖掘学生的主动性和合作性，以增强学生克服困难的决心。
本节主要研究列一元二次方程解应用题，研究过程中让学生亲自经历和体验运用一元二次方程解决实际问题的过程，使其认识到运用一元二次方程解决实际问题源于解决问题的实际需要，通过一元二次方程建模的应用以及教师的形象比喻，使学生自然感受一元二次方程建模的意义和作用；同时关注学生运用一元二次方程解决实际问题的多样化和合理化，从而培养学生解决问题的兴趣和能力，提高学生的思维水平和应用数学知识去解决实际问题的意识。
二、教学任务分析
本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。因此，本节教学中须要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。为此，本节课的教学目标是：
①通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。
②经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，从中感受到数学学习的意义；
③能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；
④在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。
三、教学过程分析
本课时分为以下五个教学环节：第一环节：前置诊断，开辟道路；第二环节：做一做，探索新知；第三环节：练一练，巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。
第一环节；前置诊断，开辟道路
活动内容：
请同学们回忆并回答与利润相关的知识？
9折要乘以90%或0.9或，那么x折呢？
活动目的：通过回顾，使学生熟悉利润背景的实际问题中蕴含的数量关系。
活动实际效果：学生掌握得比较理想，关于x折问题，需要关注学生掌握情况。
第二环节：做一做，探索新知
活动内容：
新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的降价应为多少元？（做了改动，降低难度）
分析：本例中涉及的数量关系较多，学生在思考时可能会有一定的难度。所以，教学时我采用列表的形式分析其中的数量关系：
本题的主要等量关系：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元
如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为 元。
每天的销售量/台
每台的销售利润/元
总销售利润/元
降价前
降价后
填完上表后，就可以列出一个方程，进而解决问题了。
当然，解题思路不应拘泥于这一种，再利用上述方法解完此题后，可以鼓励学生自主探索，找寻其他解题的思路和方法。如求定价为多少？直接设每台冰箱的定价应为x元，应如何解决？
巩固练习：
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
请你利用方程解决这一问题。
活动实际效果：每种类型的问题设置都经过精心准备。通过问题串的设立，将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服困难，体会到列方程解应用题的三个重要环节：整体系统的审清题意；寻找等量关系；正确求解并检验解的合理性。采取的是一讲一练，从巩固练习的准确程度上来看，学生掌握得比较好，能够达到预期的效果。
探索与创新：
一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手。这次会议到会的人数是多少？
活动目的：本节课是第一课时，在教学过程中我体现“学生为主体，教师为主导，训练为主线，思维为核心”的教学思想，尊重学生的人格及创造精神，把教学的重心和立足点转移到引导学生主动积极的“学”上来，引导学生想学、会学、善学。通过发现式、启发式、讨论式等先进的教学方法，才能调动学生的主动性、自觉性，激发积极的思维，采取启发、引导、积极参与等方法，指导学生独立思考，寻找问题的可能性答案；培养学生敢于批判、勇于创新的精神；培养学生发现问题、分析问题、解决问题的勇气和能力。
对于学生的评价，应关注学生在学习过程中的表现，如能否积极的参加活动，能否从不同的角度去思考问题等等，而不是仅局限于学生是否会列方程。培养学生的创新精神，对有创新的学生要提出表扬。鼓励学生使用数学语言，有条理的表达自己的思考过程，鼓励学生大胆质疑和创新。
活动实际效果：每种类型的问题设置都经过精心准备。通过问题串的设立，将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服困难，体会到列方程解应用题的三个重要环节：整体系统的审清题意；寻找等量关系；正确求解并检验解的合理性。采取的是一讲一练，从巩固练习的准确程度上来看，学生掌握得比较好，能够达到预期的效果。
第三环节：练一练，巩固新知
活动内容：
1.P55随堂练习
2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
活动目的：通过两道问题的解决，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。
活动实际效果：选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的进一步形成。
第四环节：收获与感悟
活动内容：
通过两节课的学习，你能简要说明利用方程解决实际问题的关键和步骤吗？有哪些收获？
活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中；并且通过对三个问题的解决，加深学生利用方程解决实际问题的意识和提高解题的能力。
活动实际效果：
学生能说出利用方程解决实际问题的关键和步骤：
关键：寻找等量关系
步骤：其一是整体地、系统地审清问题；其二是把握问题中的“相等关系”；其三是正确求解方程并检验解的合理性。
学生通过回顾本节课的学习过程，体会利用列一元二次方程解决实际问题的方法和技巧，进一步提高自己解决问题的能力。
第五环节：布置作业
P56习题2.9第1-4题
选作题（供学有余力的学生选作）：
P59复习题23
学法指导
设未知数(未知量成了已知量)，带着未知量去“翻译 ”题目申的有关信息，然后将这些含有的量表示成等量关系，就是应用题的解题策略。
无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
课件8张PPT。第二章 一元二次方程第6节 应用一元二次方程(二）
请同学们回忆并回答与利润相关的知识
利润率=________
利润=_____-进价
售价=标价×折扣
9折要乘以90%或0.9或 ，
那么x折呢？910前置诊断，开辟道路 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500
元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平
均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，
平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱
的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的
降价应为多少元？ 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价
应为 元。?本题的主要等量关系：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元探索与创新：
一次会议上，每两个参加会议的人都互
相握了一次手，有人统计一共握了66次手。
这次会议到会的人数是多少？ 巩固练习：
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，
平均每月能售出600个。调查表明：这种台
灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10
个。为了实现平均每月10000元的销售利润，
这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯
多少个？
请你利用方程解决这一问题。 通过两节课的学习，你能简要说明利用
方程解决实际问题的关键和步骤吗？ 关键：寻找等量关系。
步骤：其一是整体地、系统地审清问题；
其二是把握问题中的“相等关系”；
其三是正确求解方程并检验解的合理性。 感悟与收获
P56习题2.9第1-4题
选作题
P59复习题23
趣题两则
1、一元二次方程与数学家
巴拿赫是波兰数学家，是泛函分析的奠基人之一.1945年8月31，巴拿赫病故于乌克兰的利沃夫.人们为了纪念这位伟大的数学家，特编下面这一道关于他生平的智力问题：
巴拿赫病故于1945年8月31日。他在世时某年年份恰好是他当时年龄的平方。问：他是哪年出生的？
解：设他在世时某年年龄为x，则[(x2-x)+x]≤1945,且x为自然数.
其出生年份为：x2-x=x(x-1)，
他在世时年龄为：1945-x(x-1).
由，则x应为44或略小于44的自然数.
当x=44时，由x(x-1)=44×43=1892，算得他在世时年龄为1945-1892=53；
当x=43时，由x(x-1)=43×42=1806，算得他在世时年龄为1945-1806=139；
若x再取小，其在世年龄越大，显然不合理.
所以x=44，即他生于1892年，终年53岁.
2、阅读材料
已知p2-p-1=0,1-q-q2=0,且pq≠1,求的值.
解：由p2-p-1=0及1-q-q2=0,可知p≠0, q≠0。
又∵pq≠1,∴p≠
∴1-q-q2=0可变形为()2--1=0
根据p2-p-1=0和()2--1=0，可知p和是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，则p+=1，
∴=1
根据阅读材料所提供的方法，解答下面的问题。
已知：2m2-5m-1=0, ,且m≠n,求的值.
