高一数学参考答案（A卷）
1．B
【分析】根据斜二测画法的基本要求逐一判断即可.
【详解】平行于 y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故 B错误，
由斜二测画法的基本要求可知 A、C、D正确，
故选：B.
2．A
【分析】先证明EF //CD，结合梯形面积公式求得正确答案.
【详解】由于 EF //AB, AB//CD，所以EF //CD .
依题意， ADE, BCF 均为正三角形，
所以四边形 ABFE和四边形CDFE是等腰梯形，
12 2 1
2 3
两个等腰梯形的高为 .
2 2
3 1 2 3
所以多面体的表面积为：12 12 2 2 1 2 3 .
4 2 2
故选：A
3．D
【分析】由多面体、棱台、棱柱等几何体的定义逐项判断即可．
【详解】对于 A，多面体至少有4个面，故选项 A错误；
对于 B，有 2个面平行，其余各面都是梯形，但各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体
不是棱台，故选项 B错误；
对于 C，各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故选
项 C错误；
对于 D，由棱柱定义知，棱柱的各侧棱平行且相等，故侧面是平行四边形，故选项 D正确.
故选：D．
4．B
【分析】把点的坐标代入，用复数模的公式化简即得解.
【详解】因为 z 1 2，
所以 x yi 1 2, (x 1) yi 2，
2
所以 x 1 y2 2 .
答案第 1页，共 13页
故选：B
5．D
【分析】根据向量的线性运算可得 AD BC，进而可得 AD BC且 AD//BC即可求解.
【详解】因为 AC AB AD，所以 AD AC AB BC，
即 AD BC且 AD//BC，
所以四边形 ABCD的一组对边平行且相等，
所以四边形 ABCD是平行四边形，
故选：D.
6．C
【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得 cos A 0，得到A为钝角，即可求解.
【详解】由向量的数量积的运算公式，可得 AB AC AB AC cos A 0，即 cos A 0，
因为 A (0, )，所以A为钝角，所以 ABC－定是钝角三角形.
故选：C.
7．D
【分析】利用反证法可判断 A；由二面角 A BD M 的变化可判断 B；利用反证法结合面面
平行的性质可判断 C；利用面面垂直的判定定理可判断 D．
【详解】解：翻折前， BD AO， BD OM ，翻折后 BD A O，BD OM ，
A O OM O， A O,OM 平面 A OM ，则 BD 平面 A OM，
Q BD 平面 BCD， 平面 A OM 平面 BCD，故 D正确；
由上述可知二面角 A BD M的平面角为 A OM，
在翻折的过程中， A OM会发生变化，故 A O与OM 不一定垂直，
A O与平面 BCD不一定垂直，故 B错误；
AD AO
设BC 2AB 2a，在图一中， tan ABD 2 ，
AB OB
AO 2OB 2 5 2 2 ，解得 AO a
5
，OB a，
AB AO OB a 5 5
AMB BAM ABD BAM ， AMB ABD，
AB a
tan AMB 2， BM BM 2，
在图二中，过点C在平面 BCD内作CE / /OM ，交 BD于点 E，连接 NE，
答案第 2页，共 13页
BE BC
4 BE 4OB 4 5 5则 ，故 a ，则
BO BM DE BD BE a
，
5 5
OD 4 5 BD OB a ， E不为OD的中点，
5
BD OM ，CE / /OM ，则 BD CE，
若BD CN，CE CN C，CE,CN 平面CNE，则 BD 平面CNE，
NE 平面CNE，则 BD NE，
A O， NE 平面 A BD，且 BD A O， A O / /NE ，
Q N为 A D的中点，则 E为OD的中点，与已知矛盾，故 A错误；
由选项 A知， CE / /OM ，CE 平面 A OM ，OM 平面 A OM ，
CE / /平面 A OM；
若CN / /平面 A OM，则CN CE C，CN ,CE 平面CNE，则平面CNE / /平面 A OM，
平面 A BD 平面CNE NE，平面 A BD 平面 A OM A O，则 AO / /NE，
Q N为 A D的中点，则 E为OD的中点，与已知条件矛盾，故 C错误．
故选：D．
8．C
【分析】先求出△ ABC外接圆半径，利用勾股定理求出三棱锥P ABC的外接球半径.
2r 3 6
【详解】由正弦定理得,△ ABC外接圆直径为 sin π ，得 r=3.
6
1
设球心到平面 ABC的距离为d ，则 d PA 3 .
2
∴三棱锥 P ABC的外接球半径为R d2 r2 32 32 3 2 .
故选：C
9．CD
【分析】由圆锥的体积公式求解
答案第 3页，共 13页
1 π
【详解】当旋转轴为直角边时，所得几何体为圆锥，体积为V π 1= ，
3 3
V 2 1 π ( 2 2 2π当旋转轴为斜边时，所得几何体为两个圆锥的组合体， )2 = ，
3 2 2 6
故选：CD
10．ACD
【分析】将平面图形还原为立体图形，MC //AB， AB EF ，A正确 B错误，观察知 C正
确，根据平面MNF //平面 ACD得到 D正确，得到答案.
【详解】如图所示，将平面图形还原为立体图形，根据正方体的性质知：
EF MC，MC //AB，故 AB EF ，A正确 B错误；
EF 与MN是异面直线，C正确；
平面MNF //平面 ACD，MN 平面MNF，MN //平面 ACD，D正确.
故选：ACD
11．ABD
【分析】A选项中，证明线面垂直，可得线线垂直；B选项中，由直线与平面平行的判定定
理即可证明；C选项中，由点A和点 B到 EF 的距离不相等，可得△AEF 的面积与△BEF的
面积不相等；D选项中，连接 BD，交 AC于O，则 AO为三棱锥 A BEF 的高，利用等体积
法可证明三棱锥E ABF 的体积为定值.
【详解】对于A，由正方体的结构特征可知，DD1 平面 ABCD，而 AC 平面 ABCD，则
D1D AC，连接 BD，又 ABCD为正方形， AC BD，
D1D BD D ，且D1D、 BD 平面DD1B1B， AC 平面DD1B1B，
BE 平面DD1B1B， AC BE，故 A正确；
对于 B， B1D1 / /BD， BD 平面 ABCD， B1D1 平面 ABCD，
B1D1 / /平面 ABCD，而 EF 在 B1D1上， EF / /平面 ABCD，故 B正确；
答案第 4页，共 13页
对于C，点 B到 EF 的距离为正方体的棱长，A到 EF 的距离大于棱长，
则△AEF 的面积与△BEF的面积不相等，故 C错误；
对于 D，如图所示，
连接 BD，交 AC于O，则 AO为三棱锥 A BEF 的高，
S 1 1 1 1 1 1 1 2 2 BEF EF BB1 1 ，VA BEF S BEF AO ，2 2 2 4 3 3 4 2 24
V 2则 E ABF VA BEF 为定值，故 D正确．24
故选:ABD．
12．BCD
【分析】A：连接 AD1,BC1，根据 AM 、B、N与面 ABC1D1位置关系即可判断；B：F 为DD1
中点，连接 AF，易得 AF / /BN ，根据它们与面 ADM 的位置关系即可判断；C：若H ,G分
别是 AA1, A1B1中点，连接HD1,GD1，易知直线 BN 和B1M所成的角为 GD1H，再证明△HD1G
为等边三角形即可得大小；D：若G分别是 A1B1中点，求面 ADMG和面 A1B1C1D1的夹角即可，
根据面面角的定义找到其平面角即可.
【详解】A：连接AD1,BC1，如下图 AM 面 ABC1D1，而 B 面 ABC1D1， N 面 ABC1D1，
所以 M，N，A，B四点不共面，错误；
答案第 5页，共 13页
B：若 F 为DD1中点，连接 AF，N为棱CC1的中点，
由长方体性质知： AF / /BN ，显然 BN 面 ADM ，
若BN / /面 ADM ，而 AF 面 ADM A，显然有矛盾，
所以直线 BN 与平面 ADM 相交，正确；
C：若H ,G分别是 AA1, A1B1中点，连接HD1,GD1，
由长方体性质易知：HD1 / /AF ,GD1 / /B1M ，
而 AF / /BN ，故HD1 / /BN，即直线 BN 和B1M所成的角为 GD1H，
由题设 A1G A1H A1D1 2，易知HD1 GD1 AG 2 2，即△HD1G为等边三角形，
所以 GD1H为60 ，正确；
D：若G分别是 A1B1中点，显然MG / /A1D1 / /AD ，易知 A,D,M ,G共面，
所以平面 ADM 和平面 A1B1C1D1的夹角，即为面 ADMG和面 A1B1C1D1的夹角，
而面 ADMG 面 A1B1C1D1 MG，长方体中 AA1 A1G， AA1 MG，
AA1
如下图， AGA1为 ADMG和面 A1B1C1D1夹角的平面角， tan AGA1 2GA ，正确.1
答案第 6页，共 13页
故选：BCD
13． 5
【分析】几何体是一个圆柱挖去一个半球后剩余的部分，结合几何特征，可得几何体的表面
积.
【详解】几何体是一个圆柱挖去一个半球后剩余的部分，且圆柱的底面半径是 1，高是 1，
球的半径是 1，
2 1 2
所以该几何体的表面积为 1 2 1 1 4 1 5 .
2
故答案为： 5 .
14． 2 2
【分析】结合已知条件利用直观图与原图之间的面积关系得到 A B O 的面积，进而得到
A C .
S ' ' ' 2
【详解】因为 S V A BOV ABO 16， ，S 4 O
'B ' 4
V ABO
S 4 2 1 O 'B ' A'C '所以 ' '
V A'B 'O ' ，即2 AC 2 2
.
故答案为：2 2 .
2
15 2 3． / 3
3 3
【分析】根据 BD 平面 AA1OC确定 AP 平面OAC，进而 P在OC上，故当 AP OC时，
AP最小，计算线段长度利用等面积法计算得到答案.
【详解】 A1C1与 B1D1相交于O，连接 AO， AC， BD，
AA1 BD， AC BD， AA1 AC A，故 BD 平面 AA1OC， BD AP，
故 AP 平面OAC，P是 B1CD1内不包括边界的动点，故 P在OC上，
当 AP OC时， AP最小
答案第 7页，共 13页
2
AOC中， AC 2， AO CO 12
2 6
2
，
2
AC 1 2 3
根据等面积法： AP .
OC 3
2 3
故答案为：
3
16．12π
【分析】根据等腰三角形三线合一性质和线面垂直判定可知 AB 平面 PCM，从而得到
AB PC；由线面垂直判定可得PC 平面 PAB，进而确定三棱锥 P ABC为正方体的一角，
通过求解正方体的外接球表面积即可得到结果.
【详解】 M 为 AB中点， PA PB，CA CB， CM AB， PM AB，
又CM PM M ，CM ,PM 平面 PCM， AB 平面 PCM，
PC 平面 PCM， AB PC，又 PM PC， PM AB M ， PM , AB 平面 PAB，
PC 平面 PAB，又三棱锥P ABC为正三棱锥， 侧面为全等的等腰直角三角形，
三棱锥 P ABC为如图所示的棱长为 2的正方体的一角，
该正方体的外接球即为三棱锥 P ABC的外接球，
1 2 2 2正方体外接球半径 R 2 2 2 3 ， 所求外接球表面积 S 4πR2 12π .
2
故答案为：12π .
17．(1)证明见解析
答案第 8页，共 13页
1
(2)
3
【分析】（1）由已知可得 A D A F， A D A E，从而有 A D 平面 A EF ，进而可得结论；
（2）由勾股定理可得 A E A F ，从而易得△A EF的面积，又由（1）知 A D 平面 A EF ，
从而根据VA EFD VD A EF即可求解．
(1)
证明：由正方形 ABCD知， DCF DAE 90 ，
A D A F ， A D A E，
A E A F A ， A E、 A F 平面 A EF ，
A D 平面 A EF，
又 EF 平面 A EF ，
A D EF ．
(2)
解： A F A E 1， EF 2 A F 2 A E 2 2 EF 2 ，可得 A E A F ，
1 1△A EF的面积为 1 1 ，
2 2
又由（1） A D 平面 A EF ，
A D是三棱锥 D A EF 的底面 A EF 上的高线，
1 1 1
所以三棱锥 A EFD的体积为：VA EFD VD A EF 2 .3 2 3
18．(1)证明见解析；
(2) 23 .
【分析】（1）根据给定条件证得 EF / / BD1，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）利用等体积求法出三棱锥D D1BC的体积作答.
【详解】（1）在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，四边形DCC1D1为矩形，则 F 为D1C的中点，
又 E为 BC的中点，则有 EF / / BD1，而 EF 平面C1DE，BD1 平面C1DE，
所以 BD1 / /平面C1DE．
答案第 9页，共 13页
1
（2 2）在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， BC 2， AA1 1， BDC的面积 S BDC BC 2，2
D D BC V V 1 S DD 1 2所以求三棱锥 1 的体积 D D BC D BDC BDC 1 2 1 ．1 1 3 3 3
19．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，证明 AD1 / /BC1，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）利用线面垂直的性质证明CD AD1，再利用线面垂直的判定推理作答.
【详解】（1）在正方体 ABCD A1B1C1D1中，C1D1 / /A1B1 / /AB，C1D1 A1B1 AB，
则有四边形 ABC1D1是平行四边形，有 AD1 / /BC1，而 BC1 平面C1BD， AD1 平面C1BD，
所以 AD1 / /平面C1BD．
（2）在正方体 ABCD A1B1C1D1中，CD 平面 A1ADD1，AD1 平面 A1ADD1，则CD AD1，
在正方形 A1ADD1中， A1D AD1，又 A1D CD D， A1D,CD 平而 A1DC，
所以 AD1 平而 A1DC．
20．(1)2 2
(2)3
(3) 30
5
【分析】（1）取 BC中点 E，连接 AE，推出 AE BC，进而推出 AE 侧面 BB1C1C．连接
ED，则直线 AD与侧面 BB1C1C所成的角为∠ADE=45°，由此能求出正三棱柱的侧棱长；
（2）过 E作 EF BD于 F，连接 AF，可得∠AFE为二面角 A－BD－C的平面角，由此能
求出二面角 A－BD－C的平面角的正切．
（3）由 BD 平面 AEF，知平面 AEF 平面 ABD，且交线为 AF，过 E作 EG ^ AF于 G，
则EG 平面 ABD．由此能求出点 C到平面 ABD的距离．
【详解】（1）设正三棱柱 ABC - A1B1C1的侧棱长为 x，取 BC中点 E，连接 AE，
∵ ABC是正三角形，∴ AE BC，
答案第 10页，共 13页
又底面 ABC 侧面 BB1C1C，且两平面交线为 BC，∴ AE 侧面 BB1C1C．
连接 ED，则∠ADE为直线 AD与侧面BB1C1C所成的角，∴∠ADE＝45°，
tan 45 AE 3
在Rt △AED中， ED x2 ，解得 x 2 2，∴此正三棱柱的侧棱长为 2 2．1
4
（2）过 E作 EF BD于 F，连接 AF，
∵ AE 侧面 BB1C1C，∴ AE BD，可知 AF BD，∴∠AFE为二面角 A－BD－C的平面
角．
CD 2 3
在Rt △BEF中， EF BE sin EBF，又 BE＝1， sin EBF BD 22 ( 2)2 3
，
∴ EF 3 ．
3
AE
又 AE 3，∴在 Rt △AEF 中， tan AFE 3．EF
（3）由（2）可知， BD 平面 AEF，∴平面 AEF 平面 ABD，且交线为 AF．
过 E作 EG ^ AF于 G，则 EG 平面 ABD．∴EG的长为点 E到平面 ABD的距离．
3 3AE EF 3 30
在Rt △AEF EG 中， AF 2 10 ．
( 3)2
3
3
E 30∵ 为 BC中点，∴点 C到平面 ABD的距离为 2EG ．
5
答案第 11页，共 13页
21．(1)证明见解析；
(2)存在点 M，点 M为 PD上靠近 P点的三等分点，理由见解析.
【分析】（1）取 AP中点为 E，连接 EM ,EB，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有
BN / /ME,BN ME，即BNME为平行四边形，则MN / /BE，最后根据线面平行的判定证结
论；
（2）连接 AN ,BD，相交于O，连接OM ，由线面平行的性质得 PB / /OM ，利用相似比可
PM 1
得 ，即可判断M 的位置.
MD 2
【详解】（1）取 AP中点为 E，连接 EM ,EB，
在 PAD中，M 为 PD的中点， E为 AP中点，
EM / /AD,EM 1 AD，
2
在平行四边形 ABCD中， N为 BC的中点，
BN / /AD,BN 1 AD，
2
BN / /ME,BN ME，
四边形 BNME为平行四边形，
MN / /BE,MN 面 PAB,BE 面 PAB，
MN / /平面 PAB；
（2）连接 AN ,BD，相交于O，连接OM ，
PB / /面 AMN，面 PBD 面 AMN OM ,PB 面 PBD，
答案第 12页，共 13页
PM OB BN 1
PB / /OM， ，
MD OD AD 2
即存在点 M，M为 PD上靠近 P点的三等分点.
22．(1)证明见解析
(2)8 5
【分析】（1）由圆柱的性质可得 AB 底面 BCD，即可得出 AB CD，再由直线与平面垂
直的判定得出结论；
（2）由已知解直角三角形求出圆柱的底面半径及母线长，即可求出答案.
【详解】（1）证明：Q AB 底面 BCD，且CD 底面 BCD，
AB CD，
又 CD BD，且 AB BD B， AB、BD 平面 ABD，
\ CD ^ 平面 ABD；
（2） 在Rt BCD 中， BD 2，CD 4，
BC 22 42 2 5，
又 在Rt ABC中， AC 6，
AB 62 (2 5)2 4．
圆柱的底面半径为 5，母线长为 4，
圆柱OO1的侧面积为 2 5 4 8 5 ．
答案第 13页，共 13页景胜中学2022-2023学年度第二学期高一年级月考（5月）
数学试题（A卷）
一、单选题(共40分
1．(本题5分)下列说法中错误的是（ ）
A．两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行
B．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变
C．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴
D．斜二测坐标系取的角可能是
2．(本题5分)如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且均为正三角形，，则该多面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．(本题5分)下列说法正确的是（ ）
A．多面体至少有个面 B．有个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
4．(本题5分)设复数在复平面上对应的点为且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
5．(本题5分)在四边形中，，则一定有（ ）
A．四边形是矩形 B．四边形是菱形
C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形
6．(本题5分)在中，若，则－定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
7．(本题5分)如图一，矩形中，，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（ ）
A． B．平面
C．平面 D．平面平面
8．(本题5分)在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球半径为（ ）
A．3 B． C． D．6
二、多选题(共20分
9．(本题5分)已知为等腰直角三角形，直角边长为1，将绕其一边旋转一周，则所得到的几何体的体积可能为（ ）
A． B． C． D．
10．(本题5分)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是（ ）
A． B．与所成的角为60°
C．与是异面直线 D．平面
11．(本题5分)如图，正方体的棱长为，，是线段上的两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．平面
C．的面积与的面积相等 D．三棱锥的体积为定值
12．(本题5分)如图，在长方体中，，M，N分别为棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．M，N，A，B四点共面 B．直线与平面相交
C．直线和所成的角为 D．平面和平面的夹角的正切值为2
三、填空题(共20分
13．(本题5分)如图，是边长为1的正方形，是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴旋转一周得到的旋转体的表面积为________________.
14．(本题5分)如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为______．
15．(本题5分)正方体的棱长为1，点P是内不包括边界的动点，若，则线段AP长度的最小值为___________.
16．(本题5分)正三棱锥的侧棱长为，为的中点，且，则三棱锥外接球的表面积为______．
五、解答题(共70分
17．(本题10分)如图所示，边长为2的正方形中，点E是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点.
(1)求证:；
(2)求三棱锥的体积.
18．(本题12分)如图，在正四棱柱中，底面的边长为2，侧棱，是棱的中点，是与的交点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
19．(本题12分)已知正方体．
(1)求证：A//平面；
(2)求证：平面．
20．(本题12分)如图，已知正三棱柱的底面边长是2，D是侧棱的中点，直线AD与侧面所成的角为45°．
(1)求此正三棱柱的侧棱长；
(2)求二面角A－BD－C的正切值；
(3)求点C到平面ABD的距离．
21．(本题12分)如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点.
(1)当为的中点时，求证：平面.
(2)当平面，求出点的位置，说明理由.
22．(本题12分)如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．
(1)求证：平面；
(2)若，，，求圆柱的侧面积．
