22.2.2配方法课件(共22张PPT)2022-2023学年华东师大版九年级数学上册

(共22张PPT)
22.2.2 配方法
九年级上
1. 掌握用配方法解一元二次方程；
2. 能用配方法解决一元二次方程的相关问题.
学习目标
重点
难点
你还记得完全平方公式吗？
填一填：
(1) a2+2ab+b2=( )2；
(2) a2-2ab+b2=( )2.
a+b
a-b
新课引入
例1 解方程： x2 + 2x = 5.
思考
要用直接开平方法求解，首先希望能将方程化为
(　　　　)2 = a 的形式．那么，怎么实现呢？
为此，通常设法在方程两边同时加上一个适当的数，使左边配成一个含有未知数的完全平方式 ( 右边是一个常数 )．那么，本题中，要把
x2 + 2x = 5 的左边配成完全平方式，这个“适当的数”是什么呢？
一、配方法的概念及解法
新知学习
解：原方程两边都加上 1，得
x2 + 2x + 1 = 6，
即 (x + 1)2 = 6.
直接开平方，得
所以
即
回想两数和的平方公式，有 a2 + 2ab + b2 = (a＋b)2，
从中你能得到什么启示？
x2 + 2x = 5.
配方法的定义：
归纳
像上面这样，通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
配方法解方程的基本思路：
把方程化为 ( x + n )2 = p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
例2 用配方法解方程：
(1) x2－4x + 1 = 0；
解： (1) 原方程可化为
x2 - 4x = -1.
配方 (两边同时加上 4 )，得
x2 - 2·x·2＋22 = -1 + 22，
即 ( x - 2 )2 = 3.
直接开平方，得 x - 2 =
所以
左边配上什么数能成为完全平方？
x2 - 2·x·2+□2=( x - □)2.
两边同时加上 4，即 ( -4/2 )
配方，得
两边同除以 4，得
即
(2) 4x2 - 12x - 1 = 0.
解：(2) 移项，得　4x2 - 12x = 1.
直接开平方，得
所以
左边配上什么数能成为完全平方？
x2 - 2·x· +□2=( x - □)2.
两边同时加上
，即 ( -3/2 )
配方时，方程两边加上的数是如何确定的？
归纳
配方时，方程两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
针对训练
1.解下列方程：
二次项系数为 1，直接运用配方法.
(1) x2 - 8x + 1 = 0
解：移项，得
x2 - 8x = -1，
由此可得
配方，得
x2 - 8x + 42 = -1 + 42，
( x - 4)2 = 15
即
配方，得
由此可得
二次项系数化为 1，得
解：移项，得
2x2 - 3x = -1，
即
(2) 2x2 + 1 = 3x
先移项，将方程化为一般式，再将二次项系数化为 1，然后用配方法解方程.
配方，得
解：移项，得
二次项系数化为 1，得
即
因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
(3) 3x2 - 6x + 4 = 0
●
方法总结
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 ( x + n )2 = p.
①当 p > 0 时，则 ，方程的两个根为
②当 p = 0 时，则 ( x + n )2 = 0，开平方得方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = -n.
③当 p < 0 时，则方程 (x + n)2 = p 无实数根.
1. 用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？
2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
① 移项，二次项系数化为 1；
② 左边配成完全平方式；
③ 左边写成完全平方形式；
④ 降次；
⑤ 解一次方程.
思考
二、配方法的应用
例3 试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k2 - 2k + 4 的值必定大于零.
解：k2－4k + 4 = k2 - 2k + 1 + 3
= (k - 1)2＋3
因为 (k - 1)2 ≥ 0，所以 (k - 1)2 + 3 ≥ 3.
所以 k2 - 2k + 4 的值必定大于零.
针对训练
1. 应用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x + 5 的最小值； (2) -3x2 + 6x - 7 的最大值.
解：原式 = 2( x - 1 )2 + 3
当 x = 1 时，有最小值 3.
解：原式 = -3(x - 1)2 - 4
当 x = 1 时，有最大值 -4.
类别 解题策略
1. 完全平方式中的配方 如：已知 x2 - 2mx + 16 是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于 16，即 m2 = 16，m = ±4.
2. 求最值或证明代数式的值恒为正( 或负 ) 对于一个关于 x 的二次多项式通过配方成 a( x + m )2 + n 的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当 a > 0 时，可知其最小值；当 a < 0 时，可知其最大值.
3. 利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为 0，再根据非负数的和为 0，各项均为 0，从而求解. 如：a2 + b2 - 4b + 4 = 0，则 a2 + (b - 2)2 = 0，即 a = 0，b = 2.
归纳
配方法的应用
1.当x＝　 　时，代数式2x2＋4x有最　 　(填“大”或“小”)值为______；
当x＝　 　时，代数式-2x2＋4x有最　 　(填“大”或“小”)值为______；　 　
－1
小
－2
1
大
2
随堂练习
12.解下列方程：
(1)3x2 + 8x - 3 = 0 .
解：方程两边都除以 3，得
移项，得
配方，得
两边开平方，得
所以
即
3.用配方法说明：不论 m 取何实数，多项式 m2－5m＋7 的值必定大于零.
解： m2－5m＋7 = (m－ )2＋ ，
∵ (m－ )2≥0，
∴ m2－3m＋7＞0.
配
方
法
定义
应用
通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.
步骤
求代数式的最值或证明（见下表）
一移常数项；二配方[配上 ]；
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方法解方程.
课堂小结
类别 解题策略
1. 完全平方式中的配方 如：已知 x2 - 2mx + 16 是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于 16，即 m2 = 16，m = ±4.
2. 求最值或证明代数式的值恒为正( 或负 ) 对于一个关于 x 的二次多项式通过配方成 a( x + m )2 + n 的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当 a > 0 时，可知其最小值；当 a < 0 时，可知其最大值.
3. 利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为 0，再根据非负数的和为 0，各项均为 0，从而求解. 如：a2 + b2 - 4b + 4 = 0，则 a2 + (b - 2)2 = 0，即 a = 0，b = 2.
配方法的应用