22.2.1直接开平方法和因式分解法课件(共21张PPT)2022-2023学年华东师大版九年级数学上册

(共21张PPT)
22.2.1 直接开平方法和因式分解法
九年级上
1.会运用开平方法解形如 x2 = p 或 (x+n)2 = p (p≥0) 的方程.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
3.了解直接开平方法及因式分解法解一元二次方程的解题步骤.
学习目标
重点
重点
重点
小唯唯家装修房子，妈妈说：“小唯唯的卧室地形为正方形，约 16 平方米”，爸爸立马说：“原来地长为 4 米”.
思考：爸爸是怎么知道卧室的地长的？
新课引入
试一试
求等式中的x，以解下列方程：
你是怎样解的？
一 直接开平方法解方程
对于题(1)，有这样的解法：
方程 x2 = 4，
意味着x是4的平方根，所以
即 x = ±2.
这里得到了方程的两个根，通常也表示成 x1 = 2，x2 = -2.
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．
新知学习
例1 用直接开平方法解下列方程．
(1) x2 - 2 = 0；
(2) 16x2 - 25 = 0.
解：(1) 移项，得x2 = 2，
直接开平方，得 x = ± ，
即x1 = ，x2 = - .
解：(2) 移项，得 16x2 = 25，
方程两边都除以 16，得x2 = ，
直接开平方，得 x = ±
即x1 = ，x2 = - .
(2)当 p = 0 时，方程(I)有两个相等的实数根 = 0;
(3)当 p < 0 时，因为任何实数 x，都有 x2≥0，所以方程 (I) 无实数根.
一般的，对于可化为方程 x2 = p ( p 是常数 )， (I)
(1)当 p > 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不等的实数根
归纳
问题： 对照上面的方法，你认为可以怎样解方程(x+3)2=5？
由方程 x2 = 25 得 x = ±5.
由此想到：由方程 (x+3)2 = 5 ， ②
得
于是方程 (x+3)2 = 5 的两个根为
即 ③
上面的解法中 ，由方程 ② 得到 ③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程 ② 转化为我们会解的方程了.
归纳
针对训练
(1) x2 - 900=0.
解：(1)移项，得
x2 = 900.
直接开平方，得
x = ±30，
∴x1=30，x2=－30.
思路点拨：通过移项把方程化为 x2 = p 的形式，然后直接开平方即可求解．
1. 利用直接开平方法解下列方程：
解：（2）移项，得 12(3-2x)2 = 3，
两边都除以 12，得 (3-2x)2 = 0.25.
∵3-2x 是 0.25 的平方根，
∴3-2x = ±0.5.
即 3 - 2x = 0.5，3-2x = -0.5，
∴ x1= ，
（2）12(3－2x)2－3 = 0.
思路点拨：先将 -3 移到方程的右边，再将等式两边同时除以 12，再将 (3－2x) 看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.
x2=
二、因式分解法解一元二次方程
解：将方程左边用平方差公式分解因式，得
(x - 1)(x+1)=0，
必有 x - 1= 0 或 x + 1=0.
分别解这两个一元一次方程，得 x1＝1，x2＝-1.
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
解方程：
还可以用什么方法来解呢？
例2 解下列方程：
解：(1) 方程左边分解因式，得
x(3x＋2) = 0.
分解 x = 0或 3x＋2 = 0.
得 x1 = 0，
(2) x2 = 3x；
(1) 3x2 + 2x = 0；
解：(2) 移项，得
x2－3x = 0.
方程左边分解因式，得
x(x－3) = 0.
所以 x = 0或 x - 3 = 0.
得
因式分解法的基本步骤
一移——方程的右边 = 0；
二分——方程的左边因式分解；
三化——方程化为两个一元一次方程；
四解——写出方程两个解.
因式分解法的依据：
如果 a·b=0，
那么 a = 0 或 b = 0．
简记口诀：
右化零 左分解
两方程 各求解
探究
小张在做例2(2)时，是这样做的：
x2 = 3x
方程的两边同时除以 x，得 x = 3.
故原方程的解为 x = 3.
不正确，方程两边同时除以的数不能为零，还有一个解为 x = 0.
小林的解法
对吗？
针对训练
1.解下列方程：
解：(1)因式分解，得
于是得
x－2 = 0或 x＋1= 0,
x1=2，x2= -1.
(x－2)(x＋1) = 0.
(2)移项、合并同类项，得
因式分解，得
( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
于是得
2x＋1=0或2x－1=0,
解：化为一般式为
x2－2x+1 = 0.
因式分解，得
( x－1 )( x－1 ) = 0.
有 x - 1 = 0 或 x - 1 = 0，
x1=x2=1.
解：因式分解，得
( 2x + 11 )( 2x - 11 ) = 0.
有 2x + 11 = 0 或 2x - 11= 0，
1.下列方程:①(x- 1)2-1=0; ②x2-5=0; ③(x2- 4x)-4=0;④(x-3)2+ 2=0；⑤x2=x;⑥x -x2- 3=0;⑦(5x+1)2=16.
可以用直接开平方法求解的有_______________;可以用因式分解法求解的有_______________.
① ② ⑦
① ② ⑤ ⑦
随堂练习
2．解方程：(1)(x－2)2＝(3x＋4)2； (2)2x(x＋1)＝4x＋4.
解：(1)移项，得(x－2)2-(3x＋4)2=0
因式分解，得
( x-2+3x＋4)(x-2-3x-4)=0.
4x＋2=0或-2x－6=0,
(2)移项、合并同类项，得
2x(x＋1)-4(x＋1)=0
因式分解，得
( x＋1)(2x-4)=0.
x＋1=0或2x－4=0,
x1=-1，x2= 2.
直
接
开
平
方
法
概念
基本思路
一元二次方程
利用平方根的定义求方程的根的方法
步骤
关键要把方程化成 x2=p(p≥0)或(x+n)2=p (p≥0).
两个一元一次方程
降次
直接开平方法
课堂小结
概念
步骤
简记歌诀：
右化零 左分解
两方程 各求解
如果a·b=0，那么a=0或b=0.
当右边=0时，将方程左边因式分解.
因式分解常见的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c)；
a2±2ab+b2=(a±b)2；
a2-b2=(a+b)(a-b).
原理
因式分解法