22.3实践与探索(第2课时)面积问题课件(共20张PPT)2022-2023学年华东师大版九年级数学上册

(共20张PPT)
第2课时 面积问题
九年级上
1. 会建立与面积相关的一元二次方程数学模型.
2. 能运用一元二次方程解决与面积相关的实际问题.
学习目标
重点
难点
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
问题1 解一元二次方程有哪些方法？
问题2 列一元一次方程解应用题的步骤：
①审题；②找等量关系；③列方程；④解方程；⑤答.
那么列一元二次方程解应用题的步骤呢？你知道吗？
新课引入
例1 学校生物小组有一块长 32 m、宽 20 m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为 540 m2，小道的宽应是多少？
思路点拨：问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图，不难发现小道的占地面积与位置无关．
20
32
新知学习
解：设小道宽为 x m，则两条小道的面积分别为 32x m 2和 20x m 2，其中重叠部分小正方形的面积为 x2 m2，根据题意，得
32×20 - 32x - 20x + x2 = 540.
整理，得 x2 - 52x + 100 = 0
解得 x1 = 2，x2 = 50
∴取 x = 2.
答：道路的宽为 2 米.
当 x = 50 时，32 - x = -18，不合题意，舍去.
20
32
x
x
如果设想把小道平移到两边，如图所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，所列方程是否符合题目要求？处理问题是否方便些？
试一试
20
32
x
x
20-x
32-x
在应用一元二次方程解决实际问题时，与应用一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住等量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决．求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，最后得到实际问题的解答．
归纳
例2 如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形. 如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？( 精确到 0.1cm )
27cm
21cm
思路点拨：封面的长宽之比是 27:21＝9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7. 设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是　
＝9(3－a):7(3－a)
＝9:7.
27cm
21cm
解：设上下边衬的宽为 9x cm，左右边衬的宽为 7x cm，依题意得
∴上、下边衬的宽均为 1.8 cm
左、右边衬的宽均为 1.4 cm
27cm
21cm
思考
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题 请你试一试．
27cm
21cm
解： 设正中央的矩形两边长分别为 9x cm，7x cm.
依题意得
解得
故上下边衬的宽度为：
左右边衬的宽度为：
27cm
21cm
针对训练
1. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？请解答上述问题．
解：设长为 x 步，则宽为 (60－x) 步，由题意，得 x(60－x) = 864，
解得 x1 = 36，x2 = 24(舍去)，
∴x = 36，60－x＝24，
∴长比宽多36－24＝12步．答：长比宽多12步．
2. 要为一幅长29 cm，宽22 cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？（结果保留小数点后一位）
解：设镜框边的宽度为 x cm，则
有(29+2x)(22+2x)=( +1)×(29×22)，即 4x2+102x-159.5 = 0，
解得x1=1.48，x2= -26.98(舍去).
答：镜框边的宽度应是1.48cm.
1. 在宽为 28m，长为 30m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 675m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
随堂练习
整理，得 x2 – 58x +165 = 0
解得 x1=3，x2=55
当 x = 55 时，30 – x = -25，不合题意，舍去.
∴取 x = 3.
答：道路的宽为3米.
解：设道路的宽为 x 米.
(30 – x)(28 – x)=675
可列方程为
解：设此矩形的宽为 x cm，则长为 ( 20-x ) cm. 根据题意，得 x(20-x)=75.
解得：x1 = 5，x2 = 15( 舍去 ).
故能围成一个面积为 75 cm2的矩形，该矩形的宽为5 cm，长为15 cm；
由 x(20-x)=101，即 x2-20x+101=0，
知 Δ = 202-4×101 = -4<0，方程无解，
故不能围成一个面积为101 cm2的矩形.
2. 用一条长40 cm的绳子怎样围成一个面积为 75cm2 的矩形？能围成一个面积为 101cm2 的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由.
你会解这
道题吗？
3.如图，把一张边长为10 cm 的正方形硬纸片的四周各剪去一个相同的小正方形，然后折叠成底面积为 81 cm2 的没有盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长.
10
10
10 - 2x
10 - 2x
x
x
解：设剪去的小正方形的边长 x cm，则长方体盒子的长和宽都为 (10 - 2x) cm.依题意得
(10 - 2x)2＝81
得 x1＝9.5，x2＝0.5.
检验：
当 x1＝9.5 时，
长、宽都为 10－2x＝－9 cm(不符合题意 舍去)
当 x2＝0.5时，
长，宽都为 10－2x＝9cm(符合题意)
答：截取的小正方形的边长是 15 cm.
10
10
10 - 2x
10 - 2x
x
x
1. 用一元二次方程解决图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程. 修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形.
2. 列一元二次方程解决实际问题时要注意对答案进行检验，看是否符合题的实际意义.
课堂小结