22.2.5一元二次方程的根与系数的关系课件(共20张PPT)2022-2023学年华东师大版九年级数学上册

(共20张PPT)
22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
九年级上
1. 理解一元二次方程根与系数的关系；
2. 了解一元二次方程根与系数的关系的简单应用.
学习目标
重点
难点
1. 求出一元二次方程 x2 + 3x - 4 = 0 的两根 x1 和 x2，并计算 x1 + x2 和x1·x2 的值．
2. 观察它们与方程的系数有什么关系？
新课引入
解：方程 x2 + 3x - 4 = 0 的两根为 x1 = 1，x2 = -4，
于是 x1 + x2 = -3，x1·x2 = -4.
我们发现：这个方程的二次项系数为 1，它的两根之和 -3 等于一次项系数 3 的相反数，两根之积等于常数项 -4.
对于任何一个二次项系数为 1 的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？
一、一元二次方程的根与系数的关系
探究
我们来考察方程 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0 )．
由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为
所以
新知学习
归纳
二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系：
设一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根为 x1、x2，那么 x1 + x2 = -p， x1·x2 = q.
例1 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 + 3x - 5 = 0；
(2)2x2 - 3x - 5 = 0.
解： (1) 设两根为 x1、x2，由上述二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得
x1 + x2 = -3，x1·x2 = -5.
解：(2) 方程两边同除以 2，得
设两根为 x1、x2，可得
例2 试探索一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0，b2 - 4ac≥0 ) 的根与系数的关系．
解：方程两边同除以 a，得
由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得
这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系，前面概括的结论是它的特例 ( 二次项系数为 1 )．利用这个结论，我们可以直接写出例 1 中 (2) 的答案：
归纳
方程的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如下关系：
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
注意：满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac ≥ 0.
针对训练
1. 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：
(1) x2 - 6x - 15 = 0； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0；(3) 5x - 1 = 4x2.
解：(1) x1 + x2 = -( -6 ) = 6，x1x2 = -15.
(3) 方程化为 4x2 - 5x + 1 = 0，
2. 已知 x1，x2 是一元二次方程 x2 - 2x = 0 的两个实数根，则下列结论错误的是 (　　)
A. x1 ≠ x2 B. x12 - 2x1 = 0
C. x1 + x2 = 2 D. x1 x2 = 2
D
二 一元二次方程根与系数的关系的应用
例3 已知关于 x 的一元二次方程 x + ax + a - 5 = 0，若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一个根.
解：将 x = 1 代入方程得，1 + a + a - 5 = 0，
解得 a = 2.
∴原方程为x + 2x - 3 = 0.
由根与系数的关系可知，
该方程的另一个根为 -3.
归纳
已知一根，利用根与系数的关系求方程中待定字母的值的策略：
已知方程的一根求另一根，可以直接将一根代入方程中求出待定字母的值，然后再解方程求另一根．
也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值．
例4 已知x1，x2 是 一元二次方程 3x ＋4x - 3 = 0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
(1) (2) (3)
(4) (5)
解：根据根与系数的关系得：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
与两根和、两根积相关的常用变形公式
针对训练
1. 若关于 x 的方程 x2 - 2x + c = 0 有一个根为 -1，则另一根为 (　　)
A. -1 B. -3 C. 1 D. 3
D
2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - 3x + k + 1 = 0，它的两根之积为－4，则 k 的值为 ( )
A. 4 B. -3 C. -4 D. -5
D
1．关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是_________.
m＞
2.已知一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0，b2 - 4ac≥0 ) 的两个根是 m，n ，那么下列关系式中正确的是 .
(1) am2 + bm + c = 0；(2) an2 + bn + c = 0；(3) m + n = - ；
(4) an2 + bm + c = 0；(5) am2 + bn＋c＝0；(6) mn = .
(1)(2)(3)(6)
随堂练习
3. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - (2m - 2)x + m2 - 2m = 0 的两实数根为x1，x2，且 x12+x22 = 10，求 m 的值.
解：由题意可知 Δ = ( 2m - 2 )2 - 4(m - 2m) = 4 > 0，
∴无论 m 取任何值，方程有两个不相等的实数根.
∵x1 + x2 = 2m - 2， x1x2 = m - 2m，
∴x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10，
∴(2m - 2)2 - 2(m2 - 2m) = 10，
∴m2 - 2m - 3 = 0，
∴m = -1或 m = 3.
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
一元二次方程
的根与系数
的关系
内容
应用
课堂小结