湘教新版九年级下册《第1章 二次函数》2023年单元测试卷(含解析）

湘教新版九年级下册《第1章二次函数》 2023年单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列函数中，属于二次函数的是( )
A. B. C. D.
2. 将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
3. 已知二次函数为常数，当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最大值为，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
4. 已知二次函数下列说法：
其图象的开口向下；
其图象的对称轴为直线；
其图象顶点坐标为；
当时，随的增大而减小．
其中正确的说法有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5. 二次函数与轴的交点坐标是( )
A. B. C. D.
6. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
7. 已知抛物线过，，三点，则、、大小关系是( )
A. B. C. D.
8. 如图，抛物线与直线的两个交点分别为，，则关于的方程的解为( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
9. 飞机着陆后滑行的距离关于滑行时间的函数解析式是，则飞机着陆滑行所用时间最长为．( )
A. B. C. D. 或
10. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列五个结论：；；；；的实数其中正确结论的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 若是关于自变量的二次函数，则 ______ ．
12. 若抛物线上的，两点关于它的对称轴对称，则点的坐标为______ ．
13. 请写出一个图象开口向上，顶点坐标是的二次函数的解析式______ ．
14. 抛物线，当时，的取值范围是______．
15. 函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______．
16. 一抛物线和抛物线的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是，则该抛物线的解析式为______．
17. 如图，用长的木材，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各为______ 、______
18. 若一种服装销售盈利万元与销售量万件满足函数表达式，则盈利的最大值是______ 万元．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
已知函数．
若这个函数是二次函数，求的取值范围；
若这个函数是一次函数，求的值；
这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
20. 本小题分
已知抛物线经过，两点，顶点为．
求抛物线的解析式；
求的面积．
21. 本小题分
函数的图象与直线交于点．
求和的值；
求抛物线的解析式，并求出顶点坐标和对称轴；
取何值时，二次函数中的随的增大而增大？
22. 本小题分
如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是．
求抛物线的解析式；
点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23. 本小题分
某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成已知墙长为如图所示，设这个苗圃垂直于墙的一边为．
用含有的式子表示，并写出的取值范围；
若苗圃的面积为，求的长度．
24. 本小题分
如图，在中，，，点从点出发，沿方向以的速度向点运动；同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．
求的面积关于动点的运动时间的函数解析式，并写出的取值范围；
当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
25. 本小题分
某超市销售一种牛奶，进价为每箱元，规定售价不低于进价现在的售价为每箱元，每月可销售箱市场调查发现：这种牛奶每箱的售价每降价元，则每月的销量将增加箱设每箱牛奶降价元为正整数，每月的销量为箱．
写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
超市要使每月销售牛奶的利润不低于元，且尽可能获得大的销售量，则每箱牛奶的定价应是多少？
26. 本小题分
如图，已知抛物线经过点，，其对称轴为直线，为轴上一点，直线与抛物线交于另一点．
求抛物线的解析式；
试在线段下方的抛物线上求一点，使得的面积最大，并求出最大面积；
在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是直角三角形？如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是一次函数，不是二次函数，故本选项错误；
B、的右边是分式，不是二次函数，故本选项错误；
C、中自变量的最高指数是，不是二次函数，故本选项错误；
D、符合二次函数的定义，故本选项正确；
故选：．
根据二次函数的定义选择正确的选项即可．
本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
2.【答案】
【解析】解：将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：．
故选：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：函数图象开口方向向下，
当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
若，当时，取最大值，
可得：，
解得或舍去，
若，当时，取最大值，
可得：，
解得或舍去，
时，的最大值为，
不符合题意，
综上，的值为或，
故选：．
由函数解析式可知当时，函数有最大值为，且当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，根据的值满足时，与其对应的函数值的最大值为，可分情况讨论的值．
本题主要考查二次函数的图象，根据函数图象确定最值是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：抛物线，
因为，则抛物线开口向上，所以错误；
抛物线的对称轴为直线，所以错误；
抛物线的顶点坐标为，所以错误；
当时，随的增大而减小，所以正确．
故选：．
根据二次函数的性质得二次函数的开口向上，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，然后依次对各命题进行判断．
本题考查了二次函数的性质：二次函数的顶点坐标是，对称轴直线，二次函数的图象具有如下性质：当时，抛物线的开口向上，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当时，抛物线的开口向下，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
5.【答案】
【解析】解：抛物线，
当时，，
即抛物线与轴的交点坐标是，
故选：．
令，求出相应的的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确抛物线与轴交点，就是求出当时的值．
6.【答案】
【解析】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，二次函数图象的对称轴在轴右侧，并与轴交于负半轴，则选项符合题意，选项不符合题意；
当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，二次函数图象的对称轴在轴左侧，并与轴交于正半轴，则、选项都不符合题意；
故选：．
根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可．
本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对的取值进行分类讨论当时和当时，注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解．
7.【答案】
【解析】解：，
抛物线的对称轴为直线，开口向下，
抛物线过，，三点，
点离对称轴最远，点离对称轴最近，
，
故选：．
先确定抛物线的对称轴，根据二次函数的性质，然后利用抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小求解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
8.【答案】
【解析】解：把代入，
得，
把，代入，
得，
解得：，
关于的方程化为，
，
，，
故选：．
把代入，求出，把，代入，求出、，再把、、代入，解一元二次方程即可．
本题考查了抛物线与轴的交点、一次函数及二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程因式分解法，熟练掌握这四个知识点的综合应用，其中一元二次方程解法的选择是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：当取得最大值时，飞机会停下来，
则，
，
当时，，
飞机着陆滑行所用时间最长为．
故选：．
当取得最大值时，飞机会停下来，也取得最大值，根据函数的性质函数取得最大值时的值即可．
本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
10.【答案】
【解析】解：如图所示，
依据二次函数的图象及性质进行判断，
对称轴在轴的右侧，
．
由图象可知：，
，
故不正确；
当时，，
，
故正确；
由对称知，当时，函数值大于，即，
故正确；
，
．
，
，
，
故不正确；
当时，的值最大．此时，，
而当时，，
．
．
即，
故正确．
故正确．
故选：．
由抛物线对称轴的位置判断，的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
11.【答案】
【解析】解：是关于自变量的二次函数，
且，
解得，
故答案为：．
根据二次函数的定义可得且，求解即可．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的解析式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：抛物线上的，两点关于它的对称轴对称，
，两点到对称轴的距离相等，
点的坐标为：．
故答案为：．
直接利用二次函数的对称性得出点坐标即可．
此题主要考查了二次函数的性质，正确利用函数对称性得出答案是解题关键．
13.【答案】答案不唯一．
【解析】解：开口向上，
，
顶点坐标为，
解析式为，
故答案为：答案不唯一．
直接根据二次函数的顶点式写出答案即可．
考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的顶点式．
14.【答案】
【解析】解：
，
，
，
当时，，
，且，
时，，
当时，的取值范围是：．
故答案为．
首先利用配方法求出二次函数的最值，进而利用的取值范围得出的取值范围．
此题主要考查了二次函数的性质以及配方法的应用，根据已知得出顶点坐标是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：当时，则是一次函数，并且和轴有交点，所以满足题意；
当时，图象和轴有交点说明，
即，
所以，
则，
综上可知：的取值范围是：，
故答案为：．
本题函数有可能是一次函数也有可能是二次函数，所以要根据的值讨论．
本题考查了一次函数和二次函数和轴交点的问题，解题时要注意和的两种情况．
16.【答案】
【解析】解：由题意可知：该抛物线的解析式为，
又顶点坐标，
，
故答案为：．
由题意可知：该抛物线的解析式为，然后将顶点坐标代入即可求出解析式．
本题考查待定系数法求解析式，若两抛物线形状与开后方向相同，则他们二次项系数必定相同．
17.【答案】
【解析】解：设宽为米，面积为米，则长为米，
由题意得，，
，
当时，取得最大值，
此时，
窗子的长为米，宽为米时，透进的光线最多．
故答案为：，．
光线最多就是面积最大，设宽为米，面积为米，则长为米，表示出面积，运用函数性质求解．
本题考查了二次函数的应用，解题关键是理解光线最多就是面积最大，据此求出面积表达式，并求出最值．
18.【答案】
【解析】解：
，
时，，
盈利的最大值是万元，
故答案为：．
利用配方法求出的最值进而得出答案．
本题考查了二次函数的实际应用，熟练应用配方法求出二次函数的最值是解题的关键．
19.【答案】解：函数是二次函数，
即，
即且，
当且，这个函数是二次函数；
函数是一次函数，
即且，
，
当，函数是一次函数；
函数是正比例函数，
即且且，
不存在，
函数不可能是正比例函数．
【解析】本题考查了二次函数、一次函数、正比例函数的概念，属于基础题．
根据二次项系数不等于，可得答案；
根据二次项系数等于，一次项系数不等于，是一次函数，可得答案；
根据二次项系数等于，一次项系数不等于，常数项等于，是正比例函数即可判断．
20.【答案】解：抛物线经过，两点，
设抛物线的解析式为，
；
，
则点坐标为，
而，
所以的面积．
【解析】利用交点式即可求得；
把的解析式进行配方可得到顶点式，然后写出顶点坐标即可求得面积．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：先设抛物线的解析式一般式、顶点式或交点式，再把抛物线上的点的坐标代入得到方程组，然后解方程组可确定抛物线的解析式．也考查了二次函数的性质．
21.【答案】解：函数的图象与直线交于点，
把点代入得，
解得，
交点坐标为，
把代入得，
即；
当时，二次函数解析式为，
所以抛物线的对称轴为轴，顶点坐标为；
二次函数，当时，随的增大而增大．
【解析】先把点代入求出，则确定交点坐标为，然后把代入得；
时，二次函数解析式为，根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴；
根据二次函数的性质得到对于二次函数，当时，随的增大而增大．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点．
22.【答案】解：由题意得，，
解得，，
抛物线的解析式为：；
点与点关于对称，
连接与交于点，则点即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点的坐标为，
与轴的交点为，
设直线的解析式为：，
，
解得，，，
直线的解析式为：，
则直线与的交点坐标为：
点的坐标为：．

【解析】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键．
根据抛物线经过点，对称轴是列出方程组，解方程组求出、的值即可；
因为点与点关于对称，根据轴对称的性质，连接与交于点，则点即为所求，求出直线与的交点即可．
23.【答案】解：篱笆的总长为，且，
．
，
．
；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
又，
．
答：的长度为．
【解析】利用的长篱笆的总长的长，即可用含的代数式表示出的长，结合的长为正值及墙长，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围；
根据苗圃的面积为，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用、解一元一次不等式组以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出的长；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24.【答案】解：，，
；
由，
当时，的面积最大，最大面积是．
【解析】利用表示出、，利用三角形的面积计算方法列出关于的函数关系式；
利用中的函数探讨最大值问题即可．
本题主要考查二次函数的应用，借助三角形的面积建立函数，利用函数探讨最值问题．
25.【答案】解：由题意得：，
，
，
为正整数，
，且为正整数．
设每月销售牛奶的利润为元，
则，
令得，，
解得，，
要使每月销售牛奶的利润不低于元，且获得尽可能大的销售量，
，
．
每箱牛奶的定价应是元．
【解析】根据题意每降价元，销量增加箱，列出函数关系式；根据，取正整数，可求出的范围．
设每月销售牛奶的利润为元，根据利润每箱的利润销售量，可得关于的二次函数，令，解方程，再根据题意进行取舍后得到结果．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题意中的数量关系，正确列出函数关系式是解题的关键．
26.【答案】解：由题意得，
解得，
抛物线的解析式为；
过点作轴交于点，连接．
设直线的解析式为，
把，的坐标代入得，
解得，
直线的解析式为，
由，解得或，
，
设，其中，则，
，
，
，
的面积有最大值，最大值为，此时；
存在．
设，
，，
，，，
当时，，
则，
解得，此时．
当时，，
则，
解得，此时．
当时，，
则，
解得，此时或
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或
【解析】利用待定系数法，构建方程组解决问题；
过点作轴交于点，连接构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题；
利用勾股定理分三种情形，分别构建方程解决问题．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会有分类讨论的射线思考问题．
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