湖北省黄冈市黄梅县黄梅国际育才高级中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题（Word版含答案）

黄梅国际育才高级中学2022-2023学年高一下学期5月月考
数学试题
考试时间：120分钟
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复平面上表示复数为虚数单位的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. ( )
A. B. C. D.
3. 已知，，为三个内角，，的对边，，，，则( )
A. B. C. D.
4. “有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几何体为棱柱”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
5. ，都是锐角，且，，则( )
A. B. C. D.
6. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的如图在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时小时当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
7. 已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的半径为( )
A. B. C. D.
8. 如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点，分别是，上的两动点，且，点在圆弧上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 设，为复数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若复数，则复数 D. 若，则
10. 已知向量，，且，若，则的值可能是( )
A. B. C. D.
11. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的一点，为的中点，则圆上存在点使( )
A. B. 平面 C. D. 平面
12. 如图，在三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的有( )
A. 平面 B. 异面直线与所成角的大小是
C. 球的表面积是 D. 点到平面的距离是
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知平面向量，，若与共线且反向，则实数的值为 ．
14. 已知复数满足，则
15. 如图所示的是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是 ．
16. 如图，在正四棱锥中，，从拉一条细绳绕过侧棱和到达点，则细绳的最短长度为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，在中，，点是的中点，与相交于，设，．
用，表示，
若在平面直角坐标系中，已知点，，，求
18. 本小题分
在钝角中，角，，的对边分别为，，，已知．
证明：
若，，求的面积．
19. 本小题分
已知函数．
求的值；
在中，若，求的最大值．
20. 本小题分
如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱棱柱各顶点均在半球面上，棱柱侧面是一个长为的正方形．
求挖掉的直三棱柱的体积；
求剩余几何体的表面积．
21. 本小题分
如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面与平面的交线为，、、分别为、、的中点．
求证：平面 平面；
求证： ．
22. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求四棱锥的体积．5 月月考数学试题
考试时间：120 分钟
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复平面上表示复数 = 1 ( 为虚数单位)的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
直接利用复数的对应点的坐标判断即可．
【解答】
解：复平面上表示复数 = 1 ( 为虚数单位)的点(1, 1)在第四象限．
故选： ．
2. 2 + =( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查向量有关的线性运算，为基础题．
【解答】
解： 2 + = 2 = = ，故选 A．
3. 已知 ， ， 为△ 三个内角 ， ， 的对边， = 2， = 45°， = 75°，则 =( )
A. 2 6 B. 6 C. 2 2 D.3 3 2
【答案】
第 1页，共 20页
A
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
由已知利用三角形内角和定理可求 的值，进而根据正弦定理可得 的值．
【解答】
解：因为 = 2， = 45°， = 75°，
所以 = 180° = 60°，
2
2× 2 6
所以由正弦定理 = ，可得 = = 2 3 = 3 ．
2
故选： ．
4. “有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几何体为棱柱”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查的知识点有：充分条件与必要条件的定义，棱柱的定义和几何结构，考查了逻辑推
理能力，属于基础题．
由棱柱的定义以及几何结构，结合充分条件与必要条件的定义进行分析判断即可．
【解答】
解：由棱柱的定义可知，棱柱有两个面平行，其余各面都是平行四边形，
故“几何体为棱柱”可以推出“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”，
但由两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，例如两个底面是全等的
斜棱柱拼接的几何体不是棱柱，
故“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”不能推出“几何体为棱柱”，
综上所述，“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几何体为棱柱”的必要不充分
第 2页，共 20页
条件．
故选： ．
5. ， 12 4都是锐角，且 = 13，cos( + ) = 5，则 =( )
A. 3365 B.
16 56 63
65 C. 65 D. 65
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查两角差的余弦公式，考查同角三角函数的基本关系及整体法的应用，属于简单题．
利用同角三角函数的关系，可求得 sin( + )与 的值，再利用两角差的余弦公式，可求
得 = cos[( + ) ]的值．
【解答】
∵ cos( + ) = 4解： 5， 、 都是锐角，
∴ sin( + ) = 1 cos2( + ) = 35；
= 12又 13，
∴ = 1 sin2 = 513，
∴ = cos[( + ) ]
= cos( + ) + sin( + )
= 4 × 5 + 3 × 12 165 13 5 13 = 65．
故选 B．
6. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的(如
图).在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下
第 3页，共 20页
来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时 1小时.
当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为 ( )
A. 12小时 B.
7 3 2
8小时 C. 4小时 D. 3小时
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查了椎体体积，属于基础题．

大 小
根据题意，问题转化为求 ，根据圆锥体积公式计算即可．
大
【解答】
解：如图，
依题意可知 = 2 ， = 1大 3
2 = 4 23
1 大 小
7
小 = 3
2 12 =
1
6
2 7 7，所以 = 8 ，1小时 × =
大 8 8
小时．
故选： ．
7. 已知直三棱柱 1 1 1的 6个顶点都在球 的球面上，若 = 3， = 4， ⊥ ，
1 = 12，则球 的半径为 ( )
A. 132 B. 2 10 C.
3 17 D.
2 3 10
【答案】
第 4页，共 20页
A
【解析】
【分析】
本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，属于中档题；
通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．
【解答】
解：如图，作出直棱柱 1 1 1的外接球 ．
由题意，直三棱柱的底面 是直角三角形，
所以底面△ 外接圆的圆心是 的中点 ，底面△ 1 1 1外接圆的圆心是 1 1的中点 1．
由球的截面的性质可得直三棱柱外接球的球心 就是线段 1的中点．
连接 , , 1 1，在△ 中， ⊥ ，
所以 = 2 + 2 = 32 + 42 = 5，
所以 = 12 =
5
2．
又 = 1 = 12 1 2 × 12 = 6，
由球的截面的性质可得 ⊥平面 ，
所以 = 2 + 2 = ( 5 )2 2 13．2 + 6 = 2
13
即直三棱柱外接球的半径为 2．
故选 A．
第 5页，共 20页
8. 如图，已知 是半径为4，圆心角为2的扇形，点 ， 分别是 ， 上的两动点，且 = 2，

点 在圆弧 上，则 的最小值为 ( )
A. 4 B. 8 C. 19 8 2 D. 16 8 2
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查了向量的数量积运算，向量的线性运算，属于中档题．
取 的中点为 ，连接 ， ，结合向量的线性运算得到 ·
2
= 1，根据
即可得到结果．
【解答】
解：取 的中点为 ，连接 ， ，
因为 = 2， ⊥ ，所以 = 1，
则 · = + · +
2
= + · + + · ，
因为 + = 0， = = 1，
所以 · =
2
1，
又 = 3，当且仅当 、 、 三点共线时取等号，
2
所以 · = 1 8，
即 的最小值为 8．
故选 B．
第 6页，共 20页
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 设 1， 2为复数，则下列说法正确的是 ( )
A. 若 > 0 > B. ≠ 0 1 = | 1|1 2 ，则 1 2 若 2 ，则 2 | 2|
C. 1若复数 ∈ ，则复数 ∈ D. 若
2 2
1 > 2 ，则 1 > 2
【答案】
BC
【解析】
【分析】
本题主要考查复数的概念，复数的运算以及复数的模等知识，属于基础题．
依据复数的运算以及复数的模逐项分析可得结果．
【解答】
解：对于 :若 1 = 3 + ， 2 = 1 + ，满足 1 2 > 0，但 1 > 2不成立，A 错误；
对于 ，设 1 = + ， 2 = + ， 2 ≠ 0，
1 = + = + +( ) (
2+ 2)( 2+ 2) 2+ 2
2 + 2
，
+ 2 = ( 2+ 2)2 = 2+ 2
1 =
2+ 2 = 又 1 ，B 正确； 2 2+ 2 2
对于 ，设 = + ，( , ∈ 1 1 且 ， 不同时为 0)，若 = + = 2+ 2 2+ 2 ∈ ，
则 = 0，所以 ∈ ，C 正确；
对于 ，若 1 = 3 + ， 2 = 1 + ， 1 > 2 ，则 12 = 8 + 6 ， 22 = 2 ， 12 > 22不成立，
错．
10. 已知向量 = (6, 8)， = ( , )，且 // ，若| | = 5，则 + 的值可能是 ( )
A. 7 B. 1 C. 1 D. 7
【答案】
BC
【解析】
【分析】
本题考查平面向量平行的坐标表示，向量模的坐标表示．
第 7页，共 20页
【解答】
8 + 6 = 0, = 3, = 3,
解：由题意可得 解得 或
2 + 2 = 5, = 4 = 4,
故 + = 1或 + = 1．
11. 如图， 为圆锥 底面圆 的直径，点 是圆 上异于 ， 的一点， 为 的中点，则
圆 上存在点 使 ( )
A. // B. //平面
C. ⊥ D. ⊥平面
【答案】
BC
【解析】
【分析】
本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面间的位置关系，属于中档题．
根据空间中直线与直线、直线与平面间的位置关系，依次分析各选项即可．
【解答】
解：对于 ，取 中点 ，又 为 的中点，
由三角形中位线定理知 // ，又 ∩ = ，所以 与 不平行，故 A 错误；
对于 ，由 选项知当 为 的延长线与圆 的交点时， //平面 ，
理由如下：根据三角形中位线定理有 // , // ，
且 ∩ = , ∩ = ，所以面 //面 ，又 面 ，
所以 //平面 ，故 B 正确；
对于 ，由题知 ⊥面 ，又 为圆 的直径，可知 ⊥ ，
同 选项当 为 的延长线与圆 的交点时，
第 8页，共 20页
易知 ⊥ ,又由 ⊥平面 ， 平面 ，知 ⊥ ，
且 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，故 C 正确；
对于 ，若 ⊥平面 ，由 平面 ，
可得平面 ⊥平面 ，又易知平面 与平面 不垂直，可知 与平面 不垂直，故
D 错误．
故选 BC．
12. 如图，在三棱柱 1 1 1中， = 3 1 = 2 3，△ 是等边三角形，点
为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的有 ( )
A. 1 ⊥平面
B. 异面直线 1 与 1所成角的大小是6
C. 球 的表面积是 20
D. 点 到平面 1 的距离是 1313
【答案】
ACD
【解析】
【分析】
本题考查棱柱的切接问题，线面垂直的判定，点到直线的距离，异面直线所成的角，具有一
定的综合性．
【解答】
第 9页，共 20页
解：如图，因为球 是三棱柱 1 1 1的外接球，所以该三棱柱为直三棱柱，即 1 ⊥
平面 ，则 A 正确.因为 1// 1，所以∠ 1 1是异面直线 1 与 1所成的角.因为 =

3 = 2 3，所以 tan∠ = 1
1
1 1 1 = = 3，所以∠

1 1 = 3，则 B 错误．1 1
设△ 1 1 1外接圆的圆心为 1，连接 1， 1 1，
2
1，由题意可得 1 1 = 3 × 12 3 = 2，
1 =
1
2 1 = 1，则球 的半径 = 1 = 5，从而球 的表面积是 4
2 = 4 × ( 5)2 =
20 ，故 C 正确．
设△ 1 外接圆的半径为 ，由题意可得
16 3
1 = 1 = 12 + 4 = 4，则 sin∠ 1 = 4 =
13 .由正弦定理可得 =
4 8 13
13 = 13 ，则点 到平面 1 的距离 24 2× =
2 = 5 64
4 13
=
13，故 D 正确．
13
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知平面向量 = (4, )， = ( 3,1)，若 与 共线且反向，则实数 的值为 ．
【答案】
1
【解析】
【分析】
本题考查向量共线的坐标表示，属基础题．
利用向量共线的坐标表示可得关于 的方程，解出 ，然后验证可得．
【解答】
第 10页，共 20页
解：∵ 与 反向共线，
∴ 4 × 1 = ( 3)，
2 3 4 = 0，
解得 = 4 或 = 1，
当 = 4时， = (4,4)， = (1,1)，此时 与 同向共线，不符合条件；
当 = 1时， = (4, 1)， = ( 4,1)，此时 与 反向共线，符合条件．
故 = 1．
故答案为： 1．
14. 1+ 已知复数 满足 = ，则| | =
【答案】
2
【解析】
【分析】
本题考查复数的除法运算，复数模的求解，为基础题．
【解答】
= 1+ = (1+ ) +
2
解： ，则 ．
2 = 1 = 1 | | = 1 + 1 = 2
15. 如图所示的是△ 用斜二测画法画出的直观图，则△ 的面积是 ．
【答案】
16
【解析】
【分析】
第 11页，共 20页
本题主要考查斜二测与平面图象之间的关系，要求掌握斜二测画法的原则，和 ′轴平行的线
段长度不变，和 ′平行的线段长度减半，属于基础题．
利用斜二测画法的原则，分别求出三角形 的底边和高，然后求出三角形 的面积即可．
【解答】
解：由图象中可知 ′ ′ = 4，则对应三角形 中， = 4．
又和 ′平行的线段的长度为 4，则对应三角形 的高为 8．
1
所以△ 的面积为2 × 4 × 8 = 16．
故答案为：16．
16. 如图，在正四棱锥 中， = 10， = 2.从 拉一条细绳绕过侧棱 和
到达 点，则细绳的最短长度为 ．
【答案】
26
5
【解析】
【分析】
本题考查棱锥的侧面展开图的应用，以及余弦定理、二倍角公式的应用，考查数形结合思想
和化简运算能力，属于较难题．
将侧面 ，侧面 ，侧面 展开到一个平面内，由三角形的余弦定理和倍角公式，计
算可得所求值．
【解答】
第 12页，共 20页
解：如图，将侧面 ，侧面 ，侧面 展开到一个平面内，由题意可知 = = =
= 10， = = = 2.设∠ = ∠ = ∠ = 10+10 4 4，则 cos = 2×10 = 5，从
而 sin = 35 .由二倍角公式可得 cos2 =
7
25，sin2 =
24
25，则 cos3 = cos(2 + ) =
cos2 cos sin2 sin = 44125 .由余弦定理可得
2 = 10 + 10 2 × 10 × 10 × (
44 ) = 676 = 26 26125 25，则 5，即细绳的最短长度为 5．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题 10.0分)
如图，在△ 中，AD = 3AB，点 是 的中点， 与 相交于 ，设AB = ，AC = ．
(1)用 ， 表示AE，DE;
(2)若在平面直角坐标系 中，已知点 ( 1, 2)， (3, 2)， (3,10)，求|AF|.
【答案】
1 3 1 3
解：(1) = ( + 2
) = 2 +

2
= 2 +
1 2 ;
= = 32 +
1 3 = 1 2 2
32 ；
(2)因为 ， ， 三点共线，所以可设 = ，
所以 = (1 ) + = (1 ) +
又 // 3 = 1 1，所以2 2 (1 )，解得 = 4，
第 13页，共 20页
即 = 34 +
1
4 ;
因为点 ( 1, 2)， (3, 2)， (3,10)，
所以 = = (4,0)， = = (4,12)，
所以 = 3 + 1 4 4 = (3,0) + (1,3) = (4,3)，
所以| | = 5．
【解析】本题考查平面向量的共线定理，向量的线性运算，向量的模长，属于中档题．
(1)由 = 1 ( + )化简即可，由 = 2 化简即可；
(2)设 = ，则 1= (1 ) + ，结合 // 可得 = 4，再由向量的坐标运算即可
求出| |.
18. (本小题 12.0分)
在钝角△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 cos + sin = ．
(1) 证明： = 2 ;
(2)若 3 sin + cos = ， = 1，求△ 的面积．
【答案】
解：(1)因为 cos + sin = ，
所以由正弦定理得，sin cos + sin sin = sin ，
又因为 + + = ，
所以 sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ，
即 sin sin = cos sin ，
又因为 sin ≠ 0，

所以 sin = cos = sin( 2 )，

所以 = 2 或 + 2 = ，
又因为△ 为钝角三角形，

所以 + 2 = ，
第 14页，共 20页

即 = 2．
(2)由 3 sin + cos = ， = 1，得 3 sin + cos = ，
由正弦定理得 3sin sin + sin cos = sin ，
即 3sin sin + sin cos = sin( + )，
所以 3sin sin = cos sin ，
又因为 sin ≠ 0，
解得 tan = 3，3

即 = 6，

所以 = 2 ， =3 6，
又 = 1，
所以 = = 1，
所以△ 的面积为1 sin = 1 × 1 × 1 × 3 = 3，2 2 2 4
即△ 的面积为 3．
4
【解析】本题考查正弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．
(1)由正弦定理“边化角”得，sin cos + sin sin = sin ，又 sin = sin( + ) =
sin cos + cos sin ，即 sin sin = cos sin ，得 sin = cos = sin( 2 )，得 = 2

或 + 2 = ，由三角形为钝角三角形得结论；
(2) 由 = 1，得 3 sin + cos = ，由正弦定理“边化角”由三角恒等变换得 = 6，则 =
2 =
3， 6， = = 1，代入三角形面积公式得△ 的面积．
19. (本小题 12.0分)

已知函数 ( ) = sin 4 + sin 4 + 3sin cos ．
(1) 求 6 的值；
(2)在△ 中，若 2 = 1，求 + 的最大值．
第 15页，共 20页
【答案】
(1) ∵ ( ) = sin 解： 4 + sin

4 + 3sin cos

= sin 4 + sin 2 4 + + 3

= sin 4 + cos 4 + + 3
= 12 2 +
3
2 2 ，
= sin 2 + 6 ，
∴ 6 = sin 2 ×

6 +

6 = 1．
(2) 由题意可知， 2 = sin + 6 = 1，
而 0 < < 可得： + = 6 2，即 = 3，
∴ + = + sin 2 = 3 3 ，3 2 + 2 = 3sin + 6
∵ 0 < < 2 3，
∴ 6 < +
< 5 1 < sin + 6 6，2 6 ≤ 1，
∴ + 的最大值为 3．
【解析】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，诱导公式、倍角公式、三角函数的辅助
角公式的应用，考查分析与推理能力，属于中档题．
(1) 利用诱导公式、倍角公式与辅助角公式将 ( ) = sin 4 + sin 4 + 3sin cos
( ) = sin 2 + 化为 6 ，即可求得

6 的值；
(2)由 ， 为三角形的内角， 2 = sin +

6 = 1

，可求得 = 3，从而 + = +
sin( 2 3 )，展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得 + 的最大值．
20. (本小题 12.0分)
如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱 1 1 1(棱柱各顶点均在半球面上)， = ,
棱柱侧面 1 1 是一个长为 4的正方形．
第 16页，共 20页
(1)求挖掉的直三棱柱的体积；
(2)求剩余几何体的表面积．
【答案】
解：(1)因为三棱柱 1 1 1为直三棱柱，
所以 1 ⊥ 平面 ，
连接 1，取 1中点 ( 为球心)， 中点为 ，连接 ， ， ，
所以 // 1 ，即 ⊥ 平面 ，因为 平面 ，所以 ⊥ ，
由球的性质知 是 所在小圆直径，
所以 = 12 ，
又 1 1 是一个长为 4的正方形，
因此 = = 2，球半径为 = = 2 + 2 = 2 2，
1
挖掉的直三棱柱的体积 = 1 = 2 × 4 × 2 × 4 = 16；
(2) 1由(1)知 = 2 + 2 = 2 2， 1 1 = 1 1 = 2 2 × 4 = 8 2， = 2 × 4 ×
2 = 4， 1 1 = 16， 半球表面积 = 2 × (2 2)
2 + × (2 2)2 = 24 ，
所以剩余几何体表面积为
= 半球表面积 1 1 + 1 1 + 1 1 + 2 = 24 16 + 2 × 8 2 + 2 × 4 =
24 + 16 2 8．
第 17页，共 20页
【解析】本题考查三棱柱的体积，几何体的表面积，属于中档题．
(1) 1直三棱柱的体积 = 1 = 2 × 4 × 2 × 4 = 16;
(2)剩余几何体表面积为 = 半球表面积 1 1 + 1 1 + 1 1 + 2 ．
21. (本小题 12.0分)
如图，四棱锥 的底面为平行四边形．设平面 与平面 的交线为 ， 、 、
分别为 、 、 的中点．
(1)求证：平面 //平面 ；
(2)求证： // ．
【答案】
证明：(1) ∵ 、 分别为 、 的中点，∴ // ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ //平面 ，
∵四边形 是平行四边形， 、 分别为 、 的中点，∴ // ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ //平面 ，
又∵ ∩ = ， 、 平面 ，∴平面 //平面 ;
(2) ∵四边形 是平行四边形，∴ // ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ //平面 ，
又∵ 平面 ，平面 ∩平面 = ，∴ // .
【解析】本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系 以及面面平行的判定，线面平行的判
定，考查了学生的分析能力，属基础题．
第 18页，共 20页
(1)由题意根据面面平行的判定，即可得结果；
(2)由题意根据线面平行的性质，得线线平行．
22. (本小题 12.0分)
如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，△ 为等边三角形，平面 ⊥
平面 ， ⊥ ， = 2， = 3．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求四棱锥 的体积．
【答案】
(1)证明：取 的中点 ，连接 ，
∵△ 为等边三角形，∴ ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
(2)连接 ，
由(1)知， ⊥平面 ，
∴ ∠ 为直线 与平面 所成角，
第 19页，共 20页
在 △ 中， = 3， = 32 =
3 ，
2 = 3
∴ sin∠ = = 3， 3
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 3．
3
(3) ∵ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
∴ = 2 2 = 32 22 = 5，
∴ 1 2 1 2 15 = 2 = 2 = 2 3 △ = ．3 × 5 2 2 3 = 3
【解析】本题考查空间中线与面的位置关系，线面角和棱锥体积的求法，熟练掌握线与面垂
直的判定定理和性质定理，以及理解线面角的定义是解题的关键，考查空间立体感、推理论
证能力和运算能力，属于中基础题．
(1)取 的中点 ，连接 ，则 ⊥ ，由平面 ⊥平面 ，推出 ⊥平面 ，知 ⊥
，再由线面垂直的判定定理，得证；
(2)连接 ，易知∠ 即为所求，再在 △ 中，由 sin∠ = ，即可得解；
(3)由 ⊥平面 ，知 ⊥ ，再由勾股定理求得 的长，然后由 = 2 =
2 = 2
1
3 △ ，得解．
第 20页，共 20页