内蒙古巴彦淖尔市衡越实高2022-2023学年高二下学期期末模拟数学（理）试题（Word版含答案）

衡越实高2022-2023学年高二下学期期末模拟数学（理）试题
一、单选题
1．若集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
2．，，，，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设命题，则的否定为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为，若对都有，且在上单调递减，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则等于（　　）
A．－2 B．2 C．－98 D．98
6．在区间内随机取一个数，使得的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．下列不等式关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的导函数为，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
9．已知向量 ， ，若 ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，且与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ）
A．若，且，则 B．若，，，则
C．若，且，则 D．若，，，则
12．已知椭圆的下焦点为，右顶点为，直线交椭圆于另一点，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知随机变量，且，则的最小值为__________.
14．设满足约束条件，则的最小值为________．
15．将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为______.
16．复数的虚部为___________（其中i是虚数单位）．
三、解答题
17．在中，角，，的对边分别为，，，且满足.
(1)求角的大小； (2)若，，求的面积.
18．已知递增数列满足．
(1)求； (2)设数列满足，求的前项和．
19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
(1)求证：平面平面PCD； (2)求二面角P－EF－O的正弦值．
20．为了解某地观众对“中国诗词大会”的收视情况，某机构随机抽取了100名观众进行调查，其中女性观众55名．定义日均收看该节目时间不低于40分钟的观众为“诗词迷”．已知“诗词边”中有15名男性，非“诗词边”共有75名．
(1)根据调查结果，判断是否有的把握认为“诗词迷”与性别有关？
(2)采用分层抽样的方式从“诗词迷”中任意选取5人进行问卷调查，再从这5人中任取2人奖励“诗词大礼包”．以表示获得“诗词大礼包”的男性人数，表示获得“诗词大礼包”的女性人数．记，求的分布和期望．【附：，；．】
21．已知椭圆的左、右焦点分别为、，斜率不为0的直线过点，与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，，椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知函数
(1)若，求函数的极值；
(2)若在内为单调递增函数，求实数a的取值范围．
23．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴，建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.
(1)写出的直角坐标方程和的普通方程；
(2)已知点，与相交于，两点，求的值.
24．已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)若的最大值为，且正数，满足，求的最小值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C【详解】，
，所以.
2．A【详解】充分性：因为且，由不等式的性质可得，充分性成立；
必要性：取，，，，则成立，且，但”不成立，必要性不成立.
因此，“”是“”的充分不必要条件.
3．C【详解】因为命题，所以的否定为：.
4．A【详解】因为对都有，所以
又因为在上单调递减，且，所以，即．
5．A【详解】由，可得，
所以是以4为周期的周期函数，可得，
因为在R上是奇函数，则，
又因为当时，，则.
6．A【详解】因为函数在上为增函数，
由可得，解得，
由几何概型的定义可得在区间内随机取一个数，使得的概率为，
7．C【详解】因为，，，又，，
所以，即，故，即.
8．A【详解】由函数，可得，
令，可得，解得.
9．A【详解】已知向量 ， ，且，
则，即，若，则，这与矛盾，
所以，，故，
因此，.
10．A【详解】因为，，且与的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因此，.
11．C
【详解】对于选项A：若，且，则l，m可能平行、相交或异面，并不一定垂直，故A错误；
对于选项B：若，，，则m，n可能平行、相交或异面，并不一定平行，故B错误；
对于选项C：若，且，根据线面垂直可得：，故C正确；
对于选项D：若，，但不能得到，
所以虽然，不能得到，故D错误；
12．C【详解】由得，所以，
把代入椭圆得，化简得，则椭圆的离心率为.
13．8【详解】由随机变量，且知关于对称，
故，由不等式，得当且仅当时取等号，
的最小值为8.
14．/0.5
【详解】作出线性区域如图所示：
，所以表示可行域中的点到原点连线的斜率，
由图可知，点与原点连线斜率最小，所以的最小值为：
15．/
【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，依题意，，解得，
圆锥内半径最大的球为圆锥的内切球，圆锥与其内切球的轴截面，如图中等腰及内切圆，

，点为边的中点，，
因此的面积，设的内切圆半径为，
则有，解得，此球的表面积为，
所以圆锥内半径最大的球的表面积为.
16．/
【详解】，故虚部为.
17．(1)；
(2).
【详解】（1）在中，由，得，
整理得，由正弦定理，得，
即，又，有，则，所以.
（2）由（1）知，，而，，由余弦定理，
得，解得，
所以的面积.
18．(1)；(2)Sn=.
【详解】（1）由，得，
即，若，则，又，
所以数列为首项为7公差为4的等差数列；
若，由，得，（舍去）；
综上：；
（2）由（1）知，，所以数列的前n项和，
作差可得：
，所以，
故的前n项和为Sn=.
19．(1)见解析 (2)
【详解】（1）由于点E，F分别是棱PA，PB的中点，所以, ,平面平面PCD,故平面PCD,
又是的中点，所以, , 平面平面PCD,,故平面PCD,
由于平面 ,所以平面平面PCD.
（2）由于底面ABCD，底面为菱形，所以 两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则
所以,
设平面和平面的法向量分别为，
所以取，同理
取，设二面角P－EF－O的平面角为 ，则 ，所以
20．(1)没有95%的把握认为是否为“诗词迷”与性别有关
(2)分布列见解析，期望为
【详解】（1）在抽取的100人中“非诗词迷”共有75名,则“诗词迷”有25名，又女性有55名，
从而完成2×2列联表如下所示：
非诗词迷 诗词迷 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得，
所以没有95%的把握认为是否为“诗词迷”与性别有关；
（2）由题意采用分层抽样的方式从“诗词迷”中任意选取5人，则男性3名，女性2名，从5人中任意选取2人。当时，，当，，当，.
所以的所有取值为0，2，所以，
所求分布为：
0 2
所以期望.
21．(1) (2)存在，
【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，①
将代入椭圆方程得：，解得，所以，②
又，③
综合①②③解得：，，，所以椭圆M的方程为．
（2）存在．设，，，直线，
联立方程：，得，
所以，，，，
，
当，即时，为定值，
所以存在点，使得为定值．
22．(1)的极小值为，无极大值 (2)
【详解】（1）若，则的定义域为，
可得，因为，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，无极大值.
（2）由题意可得：，
若在内为单调递增函数，则，整理得，
故原题意等价于在内恒成立，
因为开口向上，对称轴，
①当，即时，则当时，取到最小值，
则，解得；
②当，即时，则当时，取到最小值，
则，解得，不合题意；
综上所述：实数a的取值范围.
23．(1)曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为； (2).
【详解】（1）曲线的极坐标方程为，即，
则曲线的直角坐标方程为，
把参数方程平方相加得曲线的普通方程为.
（2）易知点在直线上，且该直线的斜率为，倾斜角为，
则曲线的参数方程为（为参数），
联立曲线的参数方程与曲线的普通方程得，
设点，在直线上对应的参数分别为，，
由韦达定理可得，，
.
24．(1) (2)3
【详解】（1）当时，不等式转化为，恒成立．
当时，不等式转化为，解得．
当时，不等式转化为，无解．
综上所述，不等式的解集为．
（2）由，得．
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为3．