【中考数学几何模型】第八节：一线三等角模型(三垂直模型)164-173（含答案）

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中考数学几何模型
第八节:一线三等角模型(三垂直模型)
164.反比例函数中等边三角形构造三垂直(初三)
如图所示,为等边三角形,点的坐标为,点在轴上,点在反比例函数的图象上,则点的坐标为_________.
165.反比例函数中等边三角形构造三垂直(初三)
已知点是双曲线在第一象限上的一动点,连接并延长交另一分支于点,以为一边作等边三角形,点在第四象限,随着点的运动,点的位置也不断的变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的解析式为__________.
166.一线三等角模型的证明与应用题(初二)
问题1:如图(1),在四边形中,是上一点,,.求证:.
问题2:如图(2),在四边形中,是上一点,,.求的值.
167.反比例数中的一线三等角模型(初三)
如图,Rt中,0为坐标原点,,如果点在反比例函数的图象上运动,那么点在函数_________(填函数解析式)的图象上运动.
168.一线三等角三角形全等求点的坐标(初二)
如图,在平面直角坐标系中,直线分别与轴、轴交于点,且点的坐标为,四边形是正方形.
(1)填空:
(2)求点的坐标;
(3)点是线段上的一个动点(点除外),试探索在轴上方是否存在另一个点,使得以为顶点的四边形是菱形 若不存在,请说明理由;若存在,请求出点的坐标.
169.两个正方形中构造一线三等角三角形全等(初二)
以Rt的两边为边,向外作正方形和正方形,连接,过点作于,延长交于点.
(1)如图①,若,求证:;
(2)如图②,;如图(3),,(1)中结论,是否成立,若成立,选择一个图形进行证明;若不成立,写出你的结论,并说明理由.
170.两个正方形中构造一线三等角三角形全等(初二)
(1)如图1,已知:在中,,直线1经过点,垂足分别为点D、E.
证明:①;②DE.
(2)如图2,将(1)中的条件改为:在中,三点都在1上,并且有,其中为任意锐角或钝角.请问结论是否成立 若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图3,过的边向外作正方形和正方形是边上的高,延长交于点,求证:是的中点.
171.正方形中三垂直模型全等压轴题(初三)
如图,在正方形中,是对角线上的一个动点,连接，过点作交于点.
(1)如图①,求证:;
(2)如图②,连接为的中点,的延长线交边于点,当时,求AN和PM的长;
(3)如图③,过点作于,当时,求的面积.
172.一线三等角模型三角形相似感知探究拓展应用(初三)
【感知】如图①,在四边形中,,点在边上,,求证:.
【探究】如图②,在四边形中,,点在边上,点在边的延长线上,,且,连接交于点.求证:.
【拓展】如图③,点在四边形内,,且,过作交于点,若,延长交于点.求证:.
173.正方形中的一线三等角模型从全等到相似综合题(初三)
如图为等边三角形,以为边在外作正方形,延长分别交的延长线于点于点于点,连接.
(1)判断和是否全等,并说明理由;
(2)求证:;
(3)若,若点是直线上的动点,直接写出周长的最小值.
答案
164.【解】如图,作于轴于,过点作,交轴于,交于,
是等边三角形,,设点的坐标为,点的坐标为,的中点的坐标为;
,
,
,,即,整理,可得(1),(2),由(1)(2)整理得,,解得,(舍去),.故答案为.
165.【解】过点作轴于点,过点作轴于点,由一线三等角模型,可以得到,则相似比,则,
,.
166.证明:(1),
,
,又,
,
;
(2)如图2,过点作于,过点作于,由(1)可知,,
,
,
,.
图2
167.【解】分别过作轴于轴于.设点在反比例函数的图象上,.在与中,,
,
在Rt中,,
,
,
又点在第四象限,点在函数的图象上运动.故答案为:.
168.【解】(1)把(4,0)代入,得:
,解得:,故答案是:3;
(2).如图1,过点作轴于点正方形中,,又直角中,,
,
在和中,易证(AAS),
,
点的坐标为;
(4)存在.(1)如图1,当时,四边形为菱形.则在的中垂线上,则的纵坐标是,把代入中,得,即的坐标是,则点的坐标为.(2)如图3,当时,四边形为菱形.的解析式是.根据题意联立得:,解得:.则与的交点坐标是,则点的坐标为.综上所述,满足条件的点的坐标为或.
169.【解】(1)证明:,,,同理,四边形和四边形为正方形,.
(2)如图2,时,(1)中结论成立.
理由:过点作交的延长线于,过点作于四边形是正方形,,在和中,,
,
同理可得:,
在和中,,
.
如图2,时,(1)中结论成立.理由:过点作交的延长线于,过点作于四边形是正方形,
,
,在和中,,
,同理可得:,在和中,170(1)证明:(1)直线直线
(2)在和中,
,
;
(2)【解】成立:.证明如下:
,
在和中,,
;
图3
(3)【解】如图3,过作于的延长线于,由(1)和(2)的结论可知,
在和中,是的中点.
171.(1)证明:过点作于,作于,如图(1)所示:四边形是正方形,,,四边形是正方形,,
,
,在和中,,
(2)【解】在Rt中,由(1)知:,
,
,
在Rt中,,
,解得:,
在Rt中,勾股定理得,
在Rt中,是的中点,
,
,
,
,即:,解得:,
;
(3)【解】过点作于,如图(3)所示:
,
在和中,,
在等腰直角中,
的面积为3.
172.【感知】证明:,
RtRt.
【探究】证明:如图2,过点作于点,
由(1)可知,方形,,又在Rt中,,
,
【拓展】证明:如图3,在上取点,使,过点作,交的延长线于点,则,
,
,
而,
,
,又,又,
173.(1)【解】.理由如下:
在正方形中,,
,
,
,在和中:
(2)证明:为等边三角形,,
,又正方形中,,
平分
,
,
,又,
,又,
.
(3)【解】作点关于的对称点连接,交与,三角形即为所求作三角形,作交延长线与点为等边三角形,,,
由(1)可知,,故四边形为正方形,在Rt中,,在Rt中,周长的最小值,
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