【中考数学几何模型】第十五节：对角互补模型298-306（含答案）

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中考数学几何模型
第十五节:对角互补模型
298.对角互补旋转模型判断结论对错(初二)
如图,为等边三角形,以为边向形外作,使,再以点为旋转中心把旋转到,则下列结论:①D、A、三点共线;②平分;③;④.其中正确的有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
299.对角互补四点共圆模型多结论判断题(初三)
如图,正方形,点是对角线上一点,连接,过作交于,连接交于,若为中点,则下列结论:
①;②;③;④正方形的面积是16;
其中正确结论的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
300.等腰三角形中的对角互补模型(初二)
已知中,,点为边的中点,、分别交于点.
(1)如图1,若.求证:.
(2)如图2,若与不平行.则问题(1)的结论是否成立 说明理由.
301.对角互补模型新定义理解探究运用(初三)
定义:有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.
理解:(1)如图1,点在上,的平分线交于点,连接.求证：四边形是等补四边形;
探究:(2)如图2,在等补四边形中,,连接是否平分 请说明理由.
运用:(3)如图3,在等补四边形中,,其外角的平分线交的延长线于点,求的长.
302.坐标系中旋转型对角互补模型(初二)
如图,点在第一象限的角平分线上,,点在轴正半轴上,点在轴正半轴上.
(1)求点的坐标.
(2)当绕点旋转时,
①的值是否发生变化 若变化,求出其变化范围;若不变,求出这个定值.
②请求出的最小值.
303.对角互补模型求面积最大值(初三)
(1)如图①,等边的边长为6,则该等边三角形的外接圆半径长为________.
(2)如图②,在中,,点分别在边、和上,,若点为边的中点,,求的长度.
(3)如图(3),在中,,等边的三个顶点分别在边上.该等边三角形的面积是否存在最大值,如果存在,求出面积最大值,如果不存在,说明理由.
304.对角互补模型新定义探究应用(初三)
定义:对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形.
(1)概念理解:在平行四边形、菱形、矩形、正方形中,你认为属于奇异四边形的有________.
(2)性质探究:
①如图1,四边形是奇异四边形,,求证:平分;
②如图2,四边形是奇异四边形,,试说明:
(3)性质应用:
如图3,四边形是奇异四边形,四条边中仅有,且四边形的周长为,求奇异四边形的面积.
305.对角互补模型新定义探究(初三)
定义:有一组对角互补的四边形叫做互补四边形.
(1)概念理解:
①在互补四边形中,与是一组对角,若,则________°.
②如图1,在中,点分别在边上,且,求证:四边形ADEC是互补四边形.
(2)探究发现:如图2,在等腰中,,点分别在边上,,四边形是互补四边形,求证:.
306.梯子模型的结论和解题技巧(初三)
如图,在平面直角坐标系中,矩形的边.若不改变矩形的形状和大小,当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时,矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动.
(1)当时,求点的坐标;
(2)设的中点为,连接,当四边形的面积为时,求的长;
(3)当点移动到某一位置时,点到点的距离有最大值,请直接写出最大值,并求此时的值.
答案
298．【解】如图，①设度，则，故、、三点共线；故①正确；
②绕着点按顺时针方向旋转得到为等边三角形，DC平分∠BDA；故②正确；
③故③正确；
④由旋转可知AE＝BD．又
ΔCDE为等边三角形，∴DC＝DB＋BA．故④正确；故选:A．
299．【解】四边形是正方形，．
、、、四点共圆，①正确；③正确；
四边形是正方形，②正确．
过作于于，则、、三点共线．
四边形是正方形，是等腰直角三角形，．
在和中，易证(ASA)，．
为中点，正方形的面积是④正确；故选:．
300．【解】(1)∥．又．又是中点，．
(2)如图，连接是等腰三角形，点为边的中点，．
在线段上取点，使，连接，
在与中，．
在四边形中，
．
．
方法2(初三):四点共圆．(三线合一)，．
301．【解】(1)证明:四边形为圆内接四边形，．
平分四边形是等补四边形；
(2)平分，理由如下:
如图2，过点分别作于点垂直的延长线于点，则．
四边形是等补四边形，，
又．
是的平分线，即平分；
(3)如图3，连接四边形是等补四边形，，又
平分，，由(2)知，平分
又．
即．
302．【解】(1)点在第一象限的角平分线上，；
(2)①不变．过点作轴于于
，四边形是正方形，．
在和中，
②连接．
，当最小时，也最小．根据垂线段最短原理，最小值为2，的最小值为8．
303．【解】(1)如图1，作、的垂直平分线，交的内部于一点即为等边三角形的外接圆的圆心，则，
在Rt中，等边三角形的外接圆半径长为．
(2)如图2，连接，过点作于点于点，则．
，点是的中点，
在和中，
在四边形AMDN中，
即
在和中，
在Rt中，，
在Rt中，
(3)如图3，过点作于点于点，由(2)可得:．
，且由几何关系可得取得最大值时，取得最大值，作的外接圆，连接、，则．
．
过点作交于、，垂足为，则平分弧，弧弧，连接、、共线．
由几何关系可得:．
当最小时，存在最大值，当为直径时，存在最大值，最大．
304．【解】(1)根据奇异四边形的定义可知:正方形是奇异四边形，故答案为正方形．
(2)①如图1，过点作于于．
．
．
AM⊥CB于M，AN⊥CD于N，∴CA平分∠BCD．
②由①可知:
．在Rt中，．
(3)如图3中，由(2)可知:
四边形的周长为
四边形是奇异四边形，
．
．
305．(1)①【解】四边形是互补四边形，与是一组对角，．
．
，故答案为:90；
②证明:．又
四边形是互补四边形；
(2)证明:．
在和中，．
．
四边形是互补四边形，．
．
306．【解】(1)如图1，过点作轴于点矩形中，．
又在Rt中，．
在Rt中，点的坐标为；
(2)为的中点，，
又．
设、，则，即，将代入得，解得(负值舍去)，；
(3)的最大值为8，如图为的中点，
当、、三点在同一直线时，有最大值8，连接，则此时与的交点为．过点作，垂足为
即，解得
．
在Rt中，
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