宾县第二中学2022-2023学年度下学期第三次月考
高一数学试题
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若复数的实部与虚部相等，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若m α,n α，m∥β,n∥β则
3．在△ABC中，，则此三角形中的最大角的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．设非零向量，满足，则（ ）
A．⊥ B． C．∥ D．
5．如图（1）在正方形中，分别是边的中点，沿及把这个正方形折成一个几何体如图(2),使三点重合于, 下面结论成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
6．在中，若，，，则
A．19 B．-19 C．38 D．-38
7．在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF为“刍甍”，书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即，其中h是刍甍的高，即点F到平面ABCD的距离.若底面ABCD是边长为4的正方形，且平面ABCD，和是等腰三角形，，则该刍甍的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．三角形面积的求法：.根据此公式，中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ）
A．1 B． C． D．2
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的，没有错误选项的得2分．）
9．已知向量在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．向量在向量方向上的投影向量为
C． D．若，则
10．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的有（ ）
A． B．该圆台轴截面ABCD面积为
C．该圆台的体积为 D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则为锐角三角形 B．若，则
C．若，则为等腰三角形 D．若，则此三角形有2解
12．在长方体中，已知，则下列结论正确的有（ ）
A． B．异面直线与所成的角为
C．二面角的余弦值为 D．四面体的体积为
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．复数，则________．
14．已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，两两互相垂直，且，若球O的表面积为 _____．
15．已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为________.
16．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为：，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，.......，平面和平面为多面体M的所有以点P为公共点的面，在长方体中，，，点S为底面的中心，记三棱锥在点A处的离散曲率为，四棱锥在点S处的离散曲率为n，则________．
四、解答题：（本题共6小题，17题10分，其它题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．
(1)求证：平面MNQ∥平面PAD；
(2)求证：BC∥l．
18．已知，，与的夹角为．
(1)求；
(2)当为何值时，．
19．如图，已知平面，，，且F是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
20．在中，，，分别是角，，所对边的长，，且．
(1)求的面积；
(2)若，求角．
21．如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点．
(1)证明：面；
(2)若满足面，求的值．
在中，内角所对的边分别为．若
（1）求角的大小；
（2）设的中点为，且，求的取值范围．参考答案：
1．B【详解】，，
2．B【详解】A选项不正确，因为平行，相交，异面都有可能；
B选项正确，，则面面垂直判定定理可得；
C.选项不正确，因为，时，可能有或者与相交不一定垂直,
D选项不正确，可由面面平面的判定定理说明其是不正确的，必须相交.
3．C【详解】由正弦定理可得，，
设，则，，所以最大.
由余弦定理可得，.
因为，所以.
4．A【详解】由平方得，即，则，5．A【详解】在折叠过程中，始终有，，
即，又，平面，
平面，所以A正确，B错误；
，是的中点，，故与不垂直，故C错误；
若平面，则，又平面，则，显然矛盾，故D错误.
6．B【详解】在中，若，，，
所以 又因为两向量的夹角与角互补，所以
7．B【详解】取中点，连接，如图，
由正方形知，，，而为等腰三角形，且，
即有平面，则平面，
同理平面，而，于是平面，则点在平面内，
而平面，于是平面平面，在平面内过作于，而平面平面，因此平面，
因为，是等腰三角形，则，
因为平面，平面平面，平面，
则，四边形为等腰梯形，，
因此，
所以该刍甍的体积为.
8．B【详解】依题意，由正弦定理得，
，，
所以.
9．ABD【详解】由图可得，对于A，，故A正确；
对于B，向量在向量方向上的投影向量，故B正确；
对于C，所以，故C不正确；
对于D，因为，，所以，故，故D正确.
10．BCD【详解】A：由已知及题图知：且，故，错误；B：由A易知：圆台高为，所以圆台轴截面ABCD面积，正确；C：圆台的体积，正确；D：将圆台一半侧面展开，如下图中且为中点，而圆台对应的圆锥体侧面展开为且，又，所以在△中，即C到AD中点的最短距离为5cm，正确.
11．AC【详解】对于A，由余弦定理可得，即，
但无法判定A、C的范围，故A错误；对于B，若，则，由正弦定理，
得（为外接圆的半径），所以，故B正确；
对于C，若，由正弦函数的性质，得或，
又，故或，故C错误；
对于D，由正弦定理可得，得，
由，得，又，
所以有2个A的值，即三角形有2个解，故D正确.
12．ACD【详解】解：因为在长方体中，，
所以，四边形为正方形，平面，
因为平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，故A正确；
由长方体的性质易知，因为，所以与不垂直，故与垂直，所以B不正确；设与交于，连接，由长方体性质知，故为等腰三角形，所以，由于，
所以为二面角的平面角，在中，，所以，所以，故C正确：
四面体的体积为，所以D正确，
13．【详解】，所，
14．【详解】如图，将三棱锥补全成如图的长方体，
则根据对称性可得：三棱锥的外接球的直径为长方体的体对角线，
设球的半径为R，又，∴，故
∴球O的表面积为．
15．【详解】设D为的中点，则，所以，所以，所以.
16．【详解】在长方体中, ,故三棱锥在点A处的离散曲率；
设交于O,连接,，，四边形为正方形，则 , ,故 ,同理,
四棱锥为正四棱锥，而 ,则四棱锥每个侧面都为正三角形，
所以 ,故四棱锥在点S处的离散曲率，
故，
17．【详解】（1）证明：因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边形，所以MN∥PD，NQ∥AD，又MN 平面PAD，PD 平面PAD，则MN∥平面PAD，
同理可得NQ∥平面PAD，又平面MNQ所以平面MNQ∥平面PAD.
（2）证明：因为BC∥AD，BC 平面PAD，AD 平面PAD，所以BC∥平面PAD，
又BC 平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l．
18．【详解】（1）解：因为，，与的夹角为，则，所以，.
（2）解：因为，则
，解得.
19．【详解】（1）由题意得，且，取CE的中点G，连接BG、FG，由F为CD的中点，得且，有且，所以四边形为平行四边形，
得，又平面，平面，所以平面；
（2）因为平面，平面，
所以，又，则，由为的中点，得，
又平面，所以平面，又平面，
所以平面平面.
20．【详解】（1）解：因为在中，，，
所以，，因为，
所以，解得.
所以，的面积为.
（2）解：由（1），即，
又，，
，即
，又，.
21．【详解】（1）证明：因为，，，所以，，
所以，，则，
因为平面，平面，所以，，
又因为，、平面，所以，平面.
（2）解：因为平面，平面，所以，，
若面，平面，则，
因为，，
由余弦定理可得，
因为平面，、平面，则，
所以，，，
在中，，，，
所以，，
所以，，
所以，，则，
因此，若满足面，则.
22．【详解】（1）因为，而，所以
（2）如图所示：
设，则中，由可知,
由正弦定理及，可得，
所以，
由，可知，，.
