河南省开封市祥符区2023届高三5月考前预测卷文科数学A卷（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 河南省开封市祥符区2023届高三5月考前预测卷文科数学A卷（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-06-02 15:23:11 | ||
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文档简介
开封市祥符区2023届高三5月考前预测卷
文科数学A卷（正卷）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改功，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若与均为实数，且，则（ ）
A．3 B ．4 C．5 D．6
2．已知集合，那么（ ）
A． B． C． D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不允分也不必要条件
4．溶液酸碱度是通过计量的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某溶液的值为2.921，则该溶液中合离子的浓度约为（取）（ ）
A．摩尔/升 B．摩尔/升 C．摩尔/升 D．摩尔/升
5．函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．已知为等比数列，是它的前项利．若，且与的等差中项为，则等于（ ）
A．37 B．35 C．31 D．29
8．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别是，则四边形的面积最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．某篮球队的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图，则下面结论中错误的是（ ）
A．甲命中个数的极差是29 B．甲命中个数的中位数是24
C．甲罚球命中率比乙高 D．乙命中个数的众数是21
10．如图，边长为3的正方形所任平面与短形所在的平面垂直，．为的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的左右焦点记为，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，记与双曲线的交点为，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
12．锐角中，角的对边分别为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点处的切线方程是________．
14．已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为________．
15．已知抛物线的焦点为，过点的直线与该地物线交于两点，的中点纵坐标为，则______________．
16．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正二角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为，则___________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考试都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）如图，在中，，点在边上，．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）若的面积为，冰的长．
18．（本小题满分12分）已知直棱柱的底面为菱形，且，点为的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
19．（本小题满分12分）2021年，党中央、国务院印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，也就是我们现在所称的“双减”政策．某地为了检测双减的落实情况，从某高中选了6名同学，检测课外学习时长（单位：分钟），相关数据如下表所示．
学生序号 1 2 3 4 5 6
学习时长/分 220 180 210 220 200 230
（Ⅰ）若从被抽中的6名同学中随机抽出2名，则抽出的2名同学课外学习时长都不小于210分钟的概率；
（Ⅱ）下表是某班统计了本班同学2022年1-7月份的人均月课外劳动时间（单位：小时），并建立了人均月课外劳动时间关于月份的线性回归方程，y与的原始数据如下表所示：
月份 1 2 3 4 5 6 7
人均月劳动时间 8 9 12 19 22
由于某些原因导致部分数据丢失，但已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求该班6月份人均月劳动时间数据的残差值（残差即样本数据与预测值之差）．
附：．
20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率于与双曲线的离心率互为倒数，椭圆的短轴长为2，点是左，右顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点是坐标原点，直线经过点，并且与椭圆交于直线与直线交于点，设直线的 率分别为，求证：为定值．
21．（本小题满分12分）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（Ⅱ）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于两点，求的值．
23．（本小题满分10分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若函数，求的取值范围．
参考答案
文科数学A卷（正卷）
1．C 【解析】，解得．故选C．
2．B 【解析】，，．故选B．
3．B 【解析】由“”解得，由“”解得，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．
4．A 【解析】设该溶液中氢离子的浓度约为t摩尔/升，则，从而，所以溶液中氢离子的浓度约为摩尔/升．故选A．
5．A 【解析】函数，，故为奇函数，图象关于原点对称，B、D错误；又，且，故，C错误；故选A．
6．C 【解析】若，则或与异面，故A错误；若，则或，故B错误；若，则，故C正确；若，则或或与相交，相交也不一定垂直，故D错误．故选C．
7．C 【解析】，解得与的等差中项为，解得，设等比数列的公比为，则，解得，，故选C．
8．D 【解析】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，故的最小值是3，又的面积的最小值是，则四边形的面积的最小值是，故选D．
9．B 【解析】甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A正确；甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为，故B错误；甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C正确；乙的数据中出理次数最多的是21，故D正确，故选B．
10．A 【解析】由题意可知，，可得，所以，所以，又平面，所以为外接球直径，在中，，即，故外接球表面积为．故选A．
11．A 【解析】山题意可知，如图，设双曲线一条渐近线方程，则直线的方程，联立方程组，消去可得，
解得点的坐标为，设，由三角形的面积可得，化简可得，①，又，②，由①②解得，设直线的倾斜解为，过点作轴，垂足为，则，在，整理可得，即，解得（舍去）．故选A．
12．D 【解析】，由余弦定理得，即，由正弦定理得，，即，，，又为锐角三角形，，解得，又．故选D．
13． 【解析】所求切线方程为，即．
14． 【解析】的图象关于点对称，，即，令，可得的最小值为．
15．或 【解析】设，则．抛物线的焦点为，直线的斜率不为零，可设直线l的方程：，由，得，所以，所以直线l的方程为．所以中点的横坐标为，所以，整理得，解得或．
16． 【解析】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列：，从第二个图形开始．每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有，因此数列；是首项，公比为的等比数列，所以，，所以．
17．解：（Ⅰ），且，
根据正弦定理，
可得；
（Ⅱ），
，
，得，
又，
由余弦定理得，
．
18．（Ⅰ）证朋：连接交于点，连接，
在直四棱柱中，，
四边形为平行四边形，
，
又底面为菱形，
∴点为的中点．为的中点，
即点为的中点，
，
四边形为平行四边形，
，
又平而平面，
平面；
（Ⅱ）解：在直棱柱中平面平的，
，
又上底面为菱形，，
又平面，
平面，
在中，，且点为的中点，
，
．
19．解：（Ⅰ）用表示从被抽中的6名同学中随机抽出2名同学的序 分别为和，则基本事件为：
，，共15个，将“抽出的2名同学的课外学习时长都不小于210分钟”记为事件，
则序号为1，3，4，6的同学课外学习时长都不小于210分钟，
所以事件中的基本事件为：，共6个，
计算所求的概率为．
（Ⅱ）（1）由表中数据，计算，
，
所以，
计算，
所以，①
又因为回归直线恒过样本点的中心，
所以，即，②
由①②，解得，③
又因为，
所以，④
由③④，解得，
（Ⅱ）因为线性回归方程为．
当时，预测值，此时残差为．
20．解：（1）由题意，由的离心率为，可得椭圆的离心率为．
由题意可得．
所以椭圆的方程为：；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，
显然直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，由题意，即，
设，
联立，整理可得：，
，
直线的方程为，直线的方程为，
两式联立，可得，
即，
所以，
所以
，
即证得为定值．
21．略
22．解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（t为参数），
∴曲线C的普通方程为．
∵直线l的极坐标方程为．
∴，
∵，
∴直线l的直角坐标方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P在直线l上，
∴直线l的参数方程为（m为参数），
代入得，．
设是上述方殿的两根．
，
．
23．解：（Ⅰ）当时，不等式，
可化为：．
当时，不等式可化为；，释得：；
当时，不等式可化为：．不成立；
当时，不等式可化为；，解得：；
所以不等式的解集为；（
（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质知
，当时，等号成立，
因为，所以，
解得：或，即或，
所以的取值范围是．
文科数学A卷（正卷）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改功，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若与均为实数，且，则（ ）
A．3 B ．4 C．5 D．6
2．已知集合，那么（ ）
A． B． C． D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不允分也不必要条件
4．溶液酸碱度是通过计量的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某溶液的值为2.921，则该溶液中合离子的浓度约为（取）（ ）
A．摩尔/升 B．摩尔/升 C．摩尔/升 D．摩尔/升
5．函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．已知为等比数列，是它的前项利．若，且与的等差中项为，则等于（ ）
A．37 B．35 C．31 D．29
8．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别是，则四边形的面积最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．某篮球队的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图，则下面结论中错误的是（ ）
A．甲命中个数的极差是29 B．甲命中个数的中位数是24
C．甲罚球命中率比乙高 D．乙命中个数的众数是21
10．如图，边长为3的正方形所任平面与短形所在的平面垂直，．为的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的左右焦点记为，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，记与双曲线的交点为，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
12．锐角中，角的对边分别为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点处的切线方程是________．
14．已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为________．
15．已知抛物线的焦点为，过点的直线与该地物线交于两点，的中点纵坐标为，则______________．
16．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正二角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为，则___________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考试都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）如图，在中，，点在边上，．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）若的面积为，冰的长．
18．（本小题满分12分）已知直棱柱的底面为菱形，且，点为的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
19．（本小题满分12分）2021年，党中央、国务院印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，也就是我们现在所称的“双减”政策．某地为了检测双减的落实情况，从某高中选了6名同学，检测课外学习时长（单位：分钟），相关数据如下表所示．
学生序号 1 2 3 4 5 6
学习时长/分 220 180 210 220 200 230
（Ⅰ）若从被抽中的6名同学中随机抽出2名，则抽出的2名同学课外学习时长都不小于210分钟的概率；
（Ⅱ）下表是某班统计了本班同学2022年1-7月份的人均月课外劳动时间（单位：小时），并建立了人均月课外劳动时间关于月份的线性回归方程，y与的原始数据如下表所示：
月份 1 2 3 4 5 6 7
人均月劳动时间 8 9 12 19 22
由于某些原因导致部分数据丢失，但已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求该班6月份人均月劳动时间数据的残差值（残差即样本数据与预测值之差）．
附：．
20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率于与双曲线的离心率互为倒数，椭圆的短轴长为2，点是左，右顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点是坐标原点，直线经过点，并且与椭圆交于直线与直线交于点，设直线的 率分别为，求证：为定值．
21．（本小题满分12分）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（Ⅱ）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于两点，求的值．
23．（本小题满分10分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若函数，求的取值范围．
参考答案
文科数学A卷（正卷）
1．C 【解析】，解得．故选C．
2．B 【解析】，，．故选B．
3．B 【解析】由“”解得，由“”解得，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．
4．A 【解析】设该溶液中氢离子的浓度约为t摩尔/升，则，从而，所以溶液中氢离子的浓度约为摩尔/升．故选A．
5．A 【解析】函数，，故为奇函数，图象关于原点对称，B、D错误；又，且，故，C错误；故选A．
6．C 【解析】若，则或与异面，故A错误；若，则或，故B错误；若，则，故C正确；若，则或或与相交，相交也不一定垂直，故D错误．故选C．
7．C 【解析】，解得与的等差中项为，解得，设等比数列的公比为，则，解得，，故选C．
8．D 【解析】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，故的最小值是3，又的面积的最小值是，则四边形的面积的最小值是，故选D．
9．B 【解析】甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A正确；甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为，故B错误；甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C正确；乙的数据中出理次数最多的是21，故D正确，故选B．
10．A 【解析】由题意可知，，可得，所以，所以，又平面，所以为外接球直径，在中，，即，故外接球表面积为．故选A．
11．A 【解析】山题意可知，如图，设双曲线一条渐近线方程，则直线的方程，联立方程组，消去可得，
解得点的坐标为，设，由三角形的面积可得，化简可得，①，又，②，由①②解得，设直线的倾斜解为，过点作轴，垂足为，则，在，整理可得，即，解得（舍去）．故选A．
12．D 【解析】，由余弦定理得，即，由正弦定理得，，即，，，又为锐角三角形，，解得，又．故选D．
13． 【解析】所求切线方程为，即．
14． 【解析】的图象关于点对称，，即，令，可得的最小值为．
15．或 【解析】设，则．抛物线的焦点为，直线的斜率不为零，可设直线l的方程：，由，得，所以，所以直线l的方程为．所以中点的横坐标为，所以，整理得，解得或．
16． 【解析】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列：，从第二个图形开始．每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有，因此数列；是首项，公比为的等比数列，所以，，所以．
17．解：（Ⅰ），且，
根据正弦定理，
可得；
（Ⅱ），
，
，得，
又，
由余弦定理得，
．
18．（Ⅰ）证朋：连接交于点，连接，
在直四棱柱中，，
四边形为平行四边形，
，
又底面为菱形，
∴点为的中点．为的中点，
即点为的中点，
，
四边形为平行四边形，
，
又平而平面，
平面；
（Ⅱ）解：在直棱柱中平面平的，
，
又上底面为菱形，，
又平面，
平面，
在中，，且点为的中点，
，
．
19．解：（Ⅰ）用表示从被抽中的6名同学中随机抽出2名同学的序 分别为和，则基本事件为：
，，共15个，将“抽出的2名同学的课外学习时长都不小于210分钟”记为事件，
则序号为1，3，4，6的同学课外学习时长都不小于210分钟，
所以事件中的基本事件为：，共6个，
计算所求的概率为．
（Ⅱ）（1）由表中数据，计算，
，
所以，
计算，
所以，①
又因为回归直线恒过样本点的中心，
所以，即，②
由①②，解得，③
又因为，
所以，④
由③④，解得，
（Ⅱ）因为线性回归方程为．
当时，预测值，此时残差为．
20．解：（1）由题意，由的离心率为，可得椭圆的离心率为．
由题意可得．
所以椭圆的方程为：；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，
显然直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，由题意，即，
设，
联立，整理可得：，
，
直线的方程为，直线的方程为，
两式联立，可得，
即，
所以，
所以
，
即证得为定值．
21．略
22．解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（t为参数），
∴曲线C的普通方程为．
∵直线l的极坐标方程为．
∴，
∵，
∴直线l的直角坐标方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P在直线l上，
∴直线l的参数方程为（m为参数），
代入得，．
设是上述方殿的两根．
，
．
23．解：（Ⅰ）当时，不等式，
可化为：．
当时，不等式可化为；，释得：；
当时，不等式可化为：．不成立；
当时，不等式可化为；，解得：；
所以不等式的解集为；（
（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质知
，当时，等号成立，
因为，所以，
解得：或，即或，
所以的取值范围是．
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