反比例函数图象中的面积问题
反比例函数图像是双曲线，我们会经常遇到与之有关的面积问题，现对这部分内容进行拓展。
如图(1)，P 为双曲线上任一点，PM⊥x 轴, PN⊥y 轴,设p(x,y),则PM=∣y∣,PN=∣x∣，
∴S矩形PMPN=∣x∣·∣y∣=∣xy∣=∣k∣（定值）
与之有关的变式图形有：
1、如图(2),S△PMO =S矩形PMON = │k│
2、如图(3),由对称性可知PO=QO
∴S△PMO = S△OMQ ,
S△PMQ =2S△PMO =2×│k│=│k│
S□PMQR =4S⊿PMO =4×│k│=2│k│
对以上这些基本图形的透彻理解，对我们的解决具体题目带来很大方便。
例（1）：如图(4)，P,Q 是双曲线上第二象限内的任意两点，PM⊥x 轴于M,QN⊥y 轴于N，试比较梯形PMNQ 与⊿PQO面积的大小。
分析：S△PMO =S△QNO
S△PMO—S△NOR = S△QNO—S△NOR
即SPMNR =S△QRO
∴SPMNR﹢S△PRQ = S△QRO﹢S△PRQ
∴S梯形PMNQ =S⊿PQO
另外，面积S与中的k 是可互求，即已知k求S，已知S求k。不过应特别注意根据图像所在的象限确定k的符号。
本章检测题
一、填空题：
1．已知反比例函数，当时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当时，其图象在每个象限内随的增大而增大；
2．若直线和双曲线在同一坐标系内的图象无交点，则 、的关系是_________；
3．若反比例函数的图象位于一、三象限内，正比例函数过二、四象限，则的整数值是________；
4．反比例函数的图象经过点P（，），且为是一元二次方程的两根，那么点P的坐标是________ _，到原点的距离为_________；
5．反比例函数的图象上有一点P（，），其坐标是关于t的一元二次方程的两个根，且点P到原点的距离为，则该反比例函数解析式为___ __
二、选择题：
6.如果函数为反比例函数，则的值是 （ ）
A B C D
7．如图，A为反比例函数图象上一点，AB轴与点B，若，则为（ ）
A B C D 无法确定
若与成反比例，则与的函数关系式是 （ ）
A. 正比例 B. 反比例 C. 一次函数 D. 二次函数
9．函数的图象经过（，，则函数的图象是 （ ）
10．在同一坐标系中，函数和的图像大致是 （ ）
A B C D
11．已知反比例函数的图像上有两点A(，)，B(，)，且，则的值是 （ ）
A 正数 B 负数 C 非正数 D 不能确定
12．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校。在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程s千米与行进时间t的函数图像的示意图，同学们画出的示意图如下，你认为正确的是 （ ）
A B C D
三、解答题：
13．如图：A，B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点。AC平行于轴，BC平行于轴，求△ABC的面积。
14．已知□ABCD中，AB = 4，AD = 2，E是AB边上的一动点，设AE=，DE延长线交CB的延长线于F，设CF =，求与之间的函数关系。
15．如图，已知一次函数的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且A点的横坐标与B点的纵坐标都是；
一次函数的解析式
△AOB的面积。
16．如图：P是反比例函数图象上的一点，由P分别向轴和轴引垂线，阴影部分面积为，求函数的表达式。
17．点A是双曲线与直线在第二象限的交点，AB垂直轴于点B，且S△ABO=；（1）求两个函数的表达式
（2）求直线与双曲线的交点坐标和△AOC的面积。
参考答案：
1．；
2．异号；
3．；
4．，，
5．；
6．B；
7．A；
8．C；
9．A；
10．A；
11．B；
12．C；
13．；
14．；
15．（1）；（2）；
16．；
17．（1），；（2）；
第五章 反比例函数
回顾与思考
一、学生知识状况分析
通过本章的学习，学生已经经历抽象反比例函数概念的过程，理解了反比例函数的概念，会作出反比例函数的图象，并探索和掌握其性质，能从函数图象中获取信息来解决实际问题。本章的教学主要以直观操作，观察，概括和交流作为主要的活动方式。通过这些活动，对函数的三种表示方法进行有机的整合，逐步形成对函数概念的整体性认识，逐步提高从函数图象中获取数学信息的能力，提高学生的感知水平，逐步形成从函数视角处理问题的意识，体验数形结合的数学思想方法.
教师应从现实情境和学生已有的知识经验出发，以本章三维教学目标为标准来考查学生的学习情况，考查学生对反比例函数的定义，图象，性质及其应用掌握的程度，以及从函数图象中敏锐地获取相关信息、分析问题、解决问题的能力.
二、教学任务分析
函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出来的数学概念, 是研究现实世界变化规律的重要内容及数学模型, 学生已经在七年级下册和八年级上册学习过变量之间的关系、一次函数等内容, 对函数已有了初步的认识, 在此基础上讨论反比例函数, 可以进一步领悟函数的概念，并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理和解决实际问题的经验,为后继学习二次函数等产生积极的影响。
教学目标
(一)知识与能力
1.经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念.
2.会作反比例函数的图象，并探索和掌握反比例函数的主要性质.
3.会从函数图象中获取信息，能运用反比例函数的概念、图象和主要性质解决实际问题.
(二)过程与方法 1.熟练掌握本章的整体知识结构，培养学生的概括和归纳能力，形成知识体系.
2.在经历抽象反比例函数概念的过程中，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，进一步培养学生的抽象思维能力.
3.经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流中发展学生的合作意识和交流能力.
4.能根据所给信息确定反比例函数的表达式、会作反比例函数的图象，并能运用数形结合思想解决与反比例函数相关的数学问题和实际应用问题.
(三)情感与价值观
通过本章内容的回顾与思考，发展学生的数学应用能力，经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力，激发学生学习的热情，培养学生学习数学的兴趣。
教学重点
本章知识的网络结构体系.
反比例函数的概念.
会作反比例函数的图象，并掌握其性质.
反比例函数的相关应用.
教学难点
利用反比例函数的图像，探索反比例函数的主要性质.
反比例函数的相关应用.
教学方法
自主探究、合作交流.
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习提问，引人入胜；第二环节：知识串联，形成体系；第三环节：例题精练，巩固新知；第四环节：交流探讨 、收获小结；第五环节：课后作业
第一环节：复习提问，引人入胜
活动目的 给学生设置疑问，激发学生的思考和回顾，明确本节课的学习任务。
活动过程：本章的内容已全部学完，请大家先回忆一下，本章学习了哪些主要内容?
学生回答预设：反比例函数的定义；反比例函数的图象及性质；反比例函数的应用。
. 教师引入：下面我们就来系统全面地对本章内容进行复习。
.
第二环节：知识串联，形成体系
活动目的：引导学生对本章的所学的基础知识进行系统的归纳和整理，使学生明确各个知识点之间的联系， 将基础知识网络化，形成本章知识的框架结构体系。
活动过程：
（一）本章知识结构
引导学生构造本章知识结构图。 (可课前让学生自己制作本章知识的内容框架或思维导图，上课进行展示和交流)
本章内容框架
活动效果：学生可以根据以上内容框架，对自己整理的知识框架进行补充和整理，完善自己的知识体系，并能用自己的语言归纳总结本章内容.
注意事项：1. 应以学生自主总结和归纳为主，教师要在适时适当的给予指导；
2.对于学生个性化的结构框架的整理设计，只要合理，老师都应给予肯定。
举出现实生活中有关反比例函数的实例，并归纳出反比例函数概念.
学生回答预设：
例：当三角形的面积是16 cm2时，它的底边a(cm)是这个底边上的高h(cm)的函数.
解：a＝.
在上式中，任意给定h一个值，相应地就确定了一个a的值.因此a是h的函数。所以一般地，如果两变量x，y之间的关系可以表示成y=(k是常数，k≠0)的形式,那么称y是 x的反比例函数.
（三）说说函数y＝和y＝-的图象的联系和区别.
联系：(1)图象都是由两支曲线组成；
(2)它们都不与坐标轴相交；
(3)它们都不过原点，既是中心对称图形，又是轴对称图形.
(4)虽然y＝和y=-的图象不同，但是在这两个函数图象上任取—点，过这两点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积相等，都为2.
区别：(1)它们所在的象限不同，y=的两支曲线在第一象限和第三象限；y=-的两支曲线在第二象限和第四象限.
(2)y＝的图象在每个象限内，y随x的增大而减小；y=-的图象在每个象限内，y随x的增大而增大.
（四）回顾反比例函数图象的作图步骤及反比例函数图象的性质
画函数图象的步骤有列表、描点、连线.在作反比例函数的图象时应注意：列表时自变量的取值应选取绝对值相等而符号相反的—对一对的数值，并尽量多取一些点，连线时要连成光滑的曲线，而不是折线.
反比例函数图象的性质有（课件演示）：
1.形状：反比例函数的图象是两支双曲线.
2.位置：当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限.
3.增减性：当k>0时.在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y随x的增大而增大.
4.因为在y= (k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.
5.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2
6.对称性： 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点.
第三环节：例题精练，巩固新知
活动目的：使学生运用反比例函数的概念、图象和主要性质熟练的解决实际问题，提高学生获取信息、分析问题、解决问题的能力。
活动过程：课件展示
例一
1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有哪些?在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的是哪些 ( )
(1)y= (3)y= (2)y= (4)y=-
2.在函数y＝的图象上任取一点P，过P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积是多少?
分析：根据反比例函数图象的性质，当k＞0时，图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，正好相反，但在y＝中，形式虽然和反比例函数的形式不相同，但可以化成y=的形式。
答案：1.图象位于第一、三象限的有(1)(2).在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有(3)(4).
2. S=｜k｜=3.
例二
1.一个圆台物体的上底面积是下底面积的，当下底面放在桌子上时，对桌面的压强是200 Pa，倒过来放，对桌面的压强是多少?
2.一定质量的CO2，当体积v＝5米3时.它的密度ρ＝1.98千克／米3，求(1)ρ与v的函数关系式；(2)当v=9米3时，CO2的密度.
分析：压强p、受力面积S、压力F三者之间的关系为p=，因为是同一物体，所以F是一定的，由于受力面积不同，因此压强也不同.
质量m、密度ρ、体积v三者之间的关系为：ρ=，由v=5米3，ρ=1.98千克／米3,可知质量m，实际代表已知反比例函数中的k，求出m，就确定了反比例函数的关系式.
答案：
解：1.当下底面放在桌面上时，对桌面的压强为p1＝＝200Pa,所以倒过来放时，对桌面的压强p2＝＝800Pa.
2.设CO2的质量为m千克，将v=5米3，ρ=1.98千克／米3代入公式ρ＝中，得m=9.9千克.
故所求ρ与v间的函数关系式为ρ＝.
(2)当v＝9米3时，ρ=＝1.1(千克／米3)。
课堂练习 课件演示：
1.对于函数y=，当x>0时，y_______0，这部分图象在第______象限；对于y＝-，当x<0时，y____0，这部分图象在第_____象限.
2.函数y=的图象在第____象限内，在每一个象限内，y随x的增大而______.
3.根据下列条件，分别确定函数y＝的表达式
(1)当x=2时，y＝-3；
(2)点(-)在双曲线y＝上.
答案：1.> 一、三 < 二、四
2.一、三 减小
3.(1)y= (2)y=；
注意事项：在本环节教学中，教师可以引导学生首先进行独立思考，避免替代思维，然后可以通过小组讨论、合作交流等形式，启发学生对问题进行探究，分析，完善解题思路，进而感悟和总结解决此类问题的一般方法和规律。
第四环节：交流探讨 收获小结
活动内容： 教师引导学生进行回顾和整理，然后通过师生交流和生生交流，回答以下问题：本节课我们都一起回顾和复习了哪些内容？
交流预设：
反比例函数概念
反比例函数图像的做法及性质
反比例函数在生活中的应用
做题时要注意数形结合
具体题目的解题思路
活动目的：使学生通过再次的回顾和总结，完善自己知识框架，进一步培养了学生归纳和交流能力。
第五环节：课后作业
（一）复习题
（二）活动与探究
反比例函数图象与矩形的面积
若点A是反比例函数y= (k≠0)图象上的任意一点，且AB垂直于x轴，垂足为B，AC垂直于y轴，垂足为C,则矩形面积SABOC=｜k｜.如图(1).
1.如图(2)，P是反比例函数)y= (k≠O)图象上的一点，由P点分别向x轴，y轴引垂线，得阴影部分(矩形)的面积为3，则 这个反比例函数的表达式______.
2. 如图（3）过双曲线y=上两点A、B分别作x轴，y轴的垂线，若矩形ADDC与矩形BFOE的面积分别为S1,S2,则S1与S2的关系是_____.
答案：
1.解：由题意得｜k｜=3.
又双曲线的两支分布在第二、四象限，所以k<0，故k＝-3.
∴k=.
2.解：由题意得
S1=S2=｜k｜=2.
（三）补充练习(课件展示）
（四）反比例函数与正比例函数图象性质比较分析
四、板书设计
回顾与思考
一、本章知识结构
二、课堂练习
三、课时小节
四、课后作业
五、教学反思
本节作为本章的复习课，涉及到了中学数学里所有的数学思想方法，包括待定系数法、数形结合法、方程思想等等，这些方法相互渗透，相互融合，构成了函数应用的广泛性，解法的多样性，和思维的创造性。 ???函数的性质、图象及函数与方程、不等式知识的联系和综合应用是命题的热点，尤以探索性题型考查较多，其主要特点是要求学生能够建立数学模型，对相关知识进行综合应用。
课件21张PPT。第五章 反比例函数回顾与思考本章内容框架挑战“记忆”1.你能举出现实生活中有关反比例函数的几个实例吗?
2.说说函数 和 的图象的联系和区别.
3.你能总结一下反比例函数的图象特征吗?与同伴进行交流.
4.你能用反比例函数的知识解决有关问题吗?请举例说明.
反比例函数一般地，如果两个变量x,y之间的关系
可以表示成 （k为常数，k≠0）
的形式，那么称y是x的反比例函数。反比例函数图象的性质1.反比例函数的图象是两支曲线，
2.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限.
3.当k>0时.在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y随x的增大而增大.
4.因为在y= k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.
5. 在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P、Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1、S2，则S1＝S2
反比例函数图象的性质6.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点.
反比例函数图象的性质例1
1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有哪些?在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的是哪些( )
(1)y= (2)y= (3)y= (4)y=-
2.在函数y＝ 的图象上任取一点P，过P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积是多少?例题讲解例题讲解例2
1.一个圆台物体的上底面积是下底面积的 ，当下底面放在桌子上时，对桌面的压强是200 Pa，倒过来放，对桌面的压强是多少?
2.一定质量的CO2，当体积v＝5米3时.它的密度ρ＝1.98千克／米3，求
(1)ρ与v的函数关系式；
(2)当v=9米3时，求CO2的密度.
课堂练习1.对于函数y= ，当x>0时，y______0，这部分图象在第______象限；
对于y＝- ，当x<0时，y____0，这部分图象在第_____象限.
2.函数y= 的图象在第____象限内，在每一个象限内，y随x的增大而______.
课堂练习3.根据下列条件，分别确定函数
y＝ 的表达式
(1)当x=2时，y＝-3；
(2)点(- ，- )在双曲线
y＝ 上.
课后作业（一）、复习题 A组
（二）、活动与探究
反比例函数图象与矩形的面积
若点A是反比例函数y= (k≠0)图象上的任意一点，且AB垂直于x轴，垂足为B，AC垂直于y轴，垂足为C,则矩形面积
SABOC=｜k｜.如图(1).
课后作业1.如图(2)，P是反比例函数)y= (k≠O)图象上的一点，由P点分别向x轴，y轴引垂线，得阴影部分(矩形)的面积为3，则 这个反比例函数的表达式______.
2. 如图（3）过双曲线y= 上两点A、B分别作x轴，y轴的垂线，若矩形ADDC与矩形BFOE的面积分别为S1,S2,则S1与S2的关系是_____.
补充练习一说一说,当你看到下面的图象时,你能从中知道些什么?
补充练习二1.函数y=ax-a 与 在同一条直角坐标系中的图象可能是 :
3.已知甲,乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地.如果汽车每小时耗油量为aL,那么从甲地到乙地的总耗油量y(L)与汽车的行驶速度v(km/h)的函数图象大致是( ).耗油过程中的数学人均产量中的数学4.某村的粮食总产量为a(a为常数),设该村粮食的人均产量为y(吨),人口数为x(人),则y与x之间的函数图象大致是( ).面积计算中的函数5.已知圆柱的侧面积是10πcm2,若圆柱底面半径为rcm,高为hcm,则h与r的函数图象大致是( ).补充练习三位置增减性位置增减性y=kx ( k≠0 ) 直线 双曲线一三象限 y随x的增大而增大一三象限 y随x的增大而减小二四象限二四象限 y随x的增大而减小 y随x的增大而增大
填表分析正比例函数和反比例函数的区别结束寄语函数来自现实生活,函数是描述现实世界变化规律的重要数学模型.
函数的思想是一种重要的数学思想,它是刻画两个变量之间关系的重要手段.
从函数的图象中获取信息的能力是学好数学必需具有的基本素质.
