2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
教案 A
备课资源
v-t图象中的“面积”是位移还是路程
本节中有一个结论：v-t图象中的图线与t ( http: / / www.21cnjy.com )轴包围的“面积”，在数值上等于t时间内物体的位移，即求出“面积”就可知道位移的大小和方向，t轴上方“面积”表示位移是正值（或与规定正方向相同），t轴下方“面积”表示位移是负值（或与规定正方向相反）。如图2-3-1中“面积Ⅰ”表示0~t1 内物体的位移且是正值，“面积Ⅱ”表示t1~t2内物体的位移且为负值。
但是，v-t图象中的图线与t轴包围的“面积”，在数值上一定表示t时间内物体的位移大小吗？
下面请看一道运动学中常见的习题及解答。
例如：如图2-3-2所示在水平面上固定着两个光滑的斜面a和斜面b，两斜面的高度相同，且，今让小物块（可看作质点）分别从斜面a的A点和斜面b的A′点无初速释放，若不计小球在B点损失能量，试比较小物块滑至斜面底端时间长短。
解析：用v-t图象来求解，由于两个斜面的高度一样，据机械能守恒，小物块滑到底端C点和C′点的速度大小相等，又因为，图线与t轴围成的“面积”相同，即图线Ⅰ（表示物块从斜面a上下滑的过程）与t轴围成的“面积”和图线Ⅱ（表示物块从斜面b上下滑的过程）与t轴围成的“面积”应该相同，如图2-3-3所示。则非常容易得出正确结论ta＜tb.
题后思考：很显然，图2-3-3中的图线Ⅰ与 ( http: / / www.21cnjy.com )t轴围成的“面积”并非表示位移，因为，由三角形两边之和大于第三边，AB+BC>AC，则AC直线距离一定小于A′C′。所以，图2-3-3中的图线Ⅰ与t轴围成的“面积”表示小物块运动的路程，只有ABC
的路程才与A′C′ 相等。
那么，v-t图象中的图线与t轴包围的“面积”，在什么时候表示位移？又在什么时候表示路程呢？
要解决这个问题，还需要从坐标轴来表示物理量 ( http: / / www.21cnjy.com )的本质意义方面说明。一个坐标轴从数学意义上看只有正负值，因此用坐标轴来表示物理矢量时，只能表达两个方向——正方向和负方向，不可能包含多个方向矢量的信息。描述物体运动的v-t图象中，若纵坐标代表速度v，同样也只能表达速度矢量的两个方向信息——速度正方向和速度负方向。因此，速度—时间图象只能表达物体做直线运动（包括往复直线运动）的速度随时间变化情况，不能表达物体做曲线运动（如匀速圆周运动）或不在同一直线上的分段直线运动（类似例题中小物块在斜面a上的运动）的速度随时间变化情况。
那么，图2-3-3中的v- ( http: / / www.21cnjy.com )t图象中图线Ⅰ到底表示什么意义呢？图2-3-3中的v-t图象中的图线，不能称为速度—时间图象，而是速率—时间图象。速率—时间图象中图线与t轴围成的“面积”代表路程。比如将图2-3-1的速度—时间图象，画为速率—时间图象应该是如图2-3-4所示，图线与t轴围成的“面积”表示路程。
速率—时间图象与速度—时间图象，除了图 ( http: / / www.21cnjy.com )线与t轴围成的“面积”代表物理量不同之外，还有什么不同呢？第二点不同是：速率—时间图象纵坐标v只代表速度大小，并不能表示运动方向；图线的斜率值也仅表示加速度的大小，斜率的正负已经没有意义了，因为它不能代表加速度的方向。第三点不同是：速率—时间图象不仅能够表达物体做直线运动（包括往复直线运动）的速率随时间变化，也能表达物体做曲线运动，如图2-3-5表示物体以v0做匀速圆周运动的速率—时间图线，图中的阴影部分表示物体运动一个周期的路程。当然也能够表示不在同一直线上的分段直线运动的速率随时间变化情况，如图2-3-3中图线I。
教学目标
一、知识与技能
1.使学生明确用v-t图象描述位移的方法。
2.使学生理解匀变速运动位移与时间的关系并运用（知道其推导方法）。
3.初步掌握匀变速直线运动的位移公式，学会用公式解题。
二、过程与方法
1.通过对v-t图象的观察、分析、思考，明确“面积”与位移的关系。
2.讨论求匀变速直线运动不同方法，练习位移公式不同形式的应用。
三、情感、态度与价值观
1.通过面积法求位移，使学生学会由感性认识到理性认识的过渡。
2.养成认真分析问题的好习惯，体会一题多解，要解题严谨。
教学重点
位移与时间关系推导及 QUOTE 的应用。
教学难点
用微分思想分析归纳，从速度—时间图象推导匀变速直线运动的位移公式。
教学过程
一、导入新课
教师提问：我们上节课利用v-t图象 ( http: / / www.21cnjy.com )探究了匀变速直线运动的速度与时间的关系，现在请看一下，大屏幕上的v-t图象图2-3-6（幻灯显示）中分别描述的是什么运动？
学生回答：
1.是初速度为v2的匀减速直线运动。
2.是初速度为零的匀加速直线运动。
3.是初速度为v1的匀加速直线运动。
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教师导入：很好，那么怎样来求匀变速直线运动的位移呢？
板书： 第三节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
二、进行新课
（一）匀速直线运动的位移
图2-3-7
教师提问：做匀速直线运动的物体在时间t内的位移为x=vt，观察它的v-t图象如图2-3-7，你能发现什么问题？
学生回答：在它的v-t图象中，阴影矩形的边长正好是v和t，矩形的面积正好是vt。
教师提问：准确的说，这个矩形的面积 ( http: / / www.21cnjy.com )在数值上等于这个做匀速直线运动物体发生的位移。那么在匀变速直线运动中，位移与它的v-t图象也有类似的关系吗？
（二）匀变速直线运动的位移
1. 匀变速直线运动的位移的得出
教师导入：下表是一位同学所做的“探究小车的运 ( http: / / www.21cnjy.com )动规律”的测量记录，表中“速度”一行是这位同学用某种方法（方法不详）得到的物体在0、1、2……5几个位置的瞬时速度，原始的纸带没有保存。
位置编号 0 1 2 3 4 5
时间t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
速度（m/s） 0.38 0.63 0.88 1.11 1.38 1.62
教师提问：从表中看物体做什么运动？
学生回答：匀加速直线运动。
教师提问：我们可以用v-t图象描述出小车的运动，从而判断小车做什么运动。展示图2-3-8：
( http: / / www.21cnjy.com )
图2-3-8
从v-t图象中我们可以看出小车在做匀加速直线运动。
教师提问：能不能根据表格中的数据，用最简便的方法估算出实验中小车从位置0到位置5的位移？
学生回答：能，x=0.38×0.1+0.63×0.1+0.88×0.1+1.11×0.1+1.38×0.1=…… QUOTE
教师点评：好，这位同学实质利用了矩形的面积在数值上等于这个做匀速直线运动物体发生的位移这个结论。如图2-3-9所示。
图2-3-9
教师提问：从v-t图象图2-3-9看，你可以看出这种计算方法有什么缺点？
学生回答：从图象中可以看出 ( http: / / www.21cnjy.com )，小车的速度不断增加，0.38只是0时刻的瞬时速度，以后这个速度比这个数值大。用这个数值乘以0.1s，得到的位移比实际值小。后面几项也存在这样的问题。
教师点评：你说的很正确，但是作为估算，在时间间隔比较小、精确度要求比较低的时候，可以这样估算。
教师提问：请同学们想一想，如何使这样的方法更精确一些？
学生回答：可以把运动划分为更多的小段，用所有这些小段的位移之和，近似代表在整个过程中的位移。
教师引导：很好，如果把运动划分为更多的小段相当于时间间隔更小一些，在v-t图象中划分的小矩形越多，我们可以看一下它的v-t图象是怎样的。
展示图2-3-10。
学生回答：可以看出划分的小矩形越多，小矩形的面积之和越趋近梯形的面积。
教师讲解：如果把运动划分的很多很多的话，就可以认为小矩形的面积之和就是梯形的面积了。
教师讲解：经过分析我们得到：v-t图线与时间轴围成的面积就代表了匀变速直线运动的位移。
下面请同学们依据这个结论，推导出位移的表达式。
学生推导： QUOTE ，而vt=v0+at QUOTE ，得。
板书： QUOTE
教师导入：有什么特点？
师生共同讨论得出：
2.匀变速直线运动的位移公式 QUOTE 特点
（1）位移公式反映了匀变速直线运动的瞬时速度随时间变化的规律，式中v0是开始计时时的瞬时速度，x是经过时间t后的物体的位移。
（2）位移公式中x、v0 ( http: / / www.21cnjy.com )、a都是矢量，在直线运动中，规定正方向后（常以v0的方向为正方向），都可用带正、负号的代数量表示，因此，对计算出的结果中的正、负，需根据正方向的规定加以说明。若经计算后x＞0，说明位移方向与初速度同向；若x＜0，表示位移与初速度v0反向。
（3）若初速度v0=0，则 QUOTE ，位移与与时间的平方成正比。
（4）若初速度v0的方向规定为正方向，用位移公式 QUOTE 计算未知量时，若物体做减速运动，且加速度a已知，则代入公式计算时a应取负数。
例题1.一辆汽车以1m/s2的加速度加速行驶了12s，驶过了180m。汽车开始加速时的速度是多少？
解：由 QUOTE 可以解出 。
把数值代入。
汽车开始加速时的速度是 QUOTE 。
例题2. 一架飞机着陆时的速度为 QUOTE ，滑行20s后停下，它滑行的距离是多少？
教师点拨：飞机做匀减速直线运动，应当注意什么？
学生回答：加速度取负值。
解：由 QUOTE 得 。
飞机滑行的距离为 。
飞机滑行了600m。
教师点评：通常规定方向为正方向，x、a与 QUOTE 方向相同取正值，x、a与 QUOTE 方向相反取负值。
例题3. 在平直公路上，一汽车的速度为 ( http: / / www.21cnjy.com )15m/s，从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以2m/s2的加速度运动，问刹车后10s末车离开始刹车点多远？
教师点拨：车做减速运动，是否运动了10s，这是本题必须考虑的。
解：初速度v0=15m/s，a = -2m/s2，当车停下时，v=0。
由 QUOTE 得 QUOTE ，知车运动 7 .5s就会停下，在后2.5s内，车停止不动。
故车实际运动时间为7.5s，
所以车的位移m。
三、课堂小结
本节重点学习了对匀变速直线运动的位移－时间公式的推导，并学
习了运用该公式解决实际问题。在利用公式 ( http: / / www.21cnjy.com )求解时，一定要注意公式的矢量性问题。一般情况下，以初速度方向为正方向：当a与v0方向相同时，a为正值，公式即反映了匀加速直线运动的速度和位移随时间的变化规律；当a与v0方向相反时，a为负值，公式反映了匀减速直线运动的速度和位移随时间的变化规律。代入公式求解时，与正方向相同的代入正值，与正方向相反的物理量应代入负值。
四、布置作业
教材P40问题与练习 3、4题。
五、板书设计
1.匀速直线运动的位移
x=vt
v-t图线与时间轴围成的矩形面积就是匀速直线运动的位移。
2.匀变速直线运动的位移
v-t图线与时间轴围成的面积就是匀变速直线运动的位移。
六、课堂作业
1．关于物体运动的下述说法中正确的是 （ ）。
A．物体运动的速度不变，在相等时间内位移相同，通过路程相等
B．物体运动的速度大小不变，在相等时间内位移相同，通过路程相等
C．匀速直线运动的物体的速度方向不会改变的运动
D．在相等的时间内通过的路程相等，则此运动一定是匀速直线运动
2．某一施工队执行爆破任务，已知导 ( http: / / www.21cnjy.com )火索的火焰顺着导火索燃烧的速度是0.8 cm/s，为了使点火人在导火索火焰烧到爆炸物以前能够跑到离点火处120 m远的安全地方去，导火索至少需要多少厘米才行（假设人跑的速率是4 m/s）（ ）。
A．30 B．150 C．24 D．12
3．两物体都做匀变速直线运动，在给定的时间间隔内 （ ）。
A．加速度大的，其位移一定也大
B．初速度大的，其位移一定也大
C．末速度大的，其位移一定也大
D．平均速度大的，其位移一定也大
4．一物体以5 m/s的初速度、-2 m/s2的加速度在粗糙水平面上滑行，在4 s内物体通过的路程为 （ ）。
A．4 m B．36 m C．6.25 m D．以上答案都不对
5．某质点的位移随时间的变化规律的关系是：，s与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为 （ ）。
A．4 m/s与2 m/s2 B．0与4 m/s2 C．4 m/s与4 m/s2 D．4 m/s与0
6．从车站开出的汽车，做匀加速直线运动， ( http: / / www.21cnjy.com )走了12s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动直至停车，汽车从开出到停止总共历时20s，行进了50 m。则汽车的最大速度为（ ）。
A．5m/s B．2m/s C．3m/s D．1m/s
参考答案：
1.A C 2.C 3．D 4．C 5．C 6.A
教育格言
既然习惯是人生的主宰，人们就应当努力 ( http: / / www.21cnjy.com )求得好的习惯。习惯如果是在幼年就起始的，那就是最完美的习惯，这是一定的，这个我们叫做教育。教育其实是一种从早年就起始的习惯。
Ⅱ
Ⅰ
t2
t1
0
v(m·s-1)
t/s
图2-3-1
a
C′
A′
C
B
A
图2-3-2
b
0
tb
ta
Ⅱ
Ⅰ
v/(m·s-1)
t/s
图2-3-3
T
v0
t/s
0
v/(m·s-1)
图2-3-5
Ⅱ
Ⅰ
t2
t1
0
v/(m·s-1)
t/s
图2-3-4
图2-3-6
t
v
O
V
V
s-2
1.5
1.0
0.2
0.5
0.1
0.3
0.5
0.4
v
t
O
v
t
v
图2-3-10
t
O教案 B
教学目标
一、知识与技能
1.知道匀速直线运动的位移与时间的关系。
2.理解匀变速直线运动的位移及其应用。
3.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系及其应用。
4.理解v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移。
二、过程与方法
1.通过近似推导位移公式的过程，体验微元法的特点和技巧，能把瞬时速度的求法与此比较。
2.感悟一些数学方法的应用特点。
三、情感、态度与价值观
1.经历微元法推导位移公式和公式法推导速度位移关系，培养自己动手能力，增加物理情感。
2.体验成功的快乐和方法的意义。
教学重点、难点
教学重点
1.理解匀变速直线运动的位移及其应用。
2.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系及其应用。
教学难点
1.v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移。
2.推导位移公式。
教学方法
1.启发引导，猜想假设，探究讨论，微分归纳得出匀变速直线运动的位移。
2.实例分析，强化对公式的理解和应用。
教学过程
一、导入新课
我们上节课学习了匀变速直线运动的速度与时间的关系，这节课我们学习匀变速直线运动的位移与时间的关系。
二、进行新课
（一）匀速直线运动的位移
提出问题：取运动的初始时刻（t=0）物体的位置为坐标原点，要求学生写出匀速直线运动的物体在时间t内的位移与时间的关系式，并说明理由。
学生思考，写公式并回答：x=vt。理由是：速度是定值，位移与时间成正比。
教师活动：（投影）提出下一 ( http: / / www.21cnjy.com )个问题：同学们在坐标纸上作出匀速直线运动的v-t图象，猜想一下，能否在v-t图象中表示出做匀速直线运动的物体在时间t内的位移呢？
学生作图并思考讨论。不一定或能。结论：位移vt就是图线与t轴所夹的矩形面积（见教材P37图2.3-1）。
承转：讨论了匀速直线运动的位移可用v-t图象中所夹的面积来表示的方法，匀变速直线运动的位移在v-t图象中是不是也有类似的关系？
（二）匀变速直线运动的位移
1.位移等于v-t直线下的面积
讨论教材上的“思考与讨论”。
学生阅读思考，分组讨论并回答各自见解。最后得出结论：学生A的计算中，时间间隔越小计算出的误差就越小，越接近真值。
点评：培养以微元法的思想分析问题的能力和敢于提出与别人不同见解发表自己看法的勇气。培养学生勤钻细研分析总结得出物理规律的品质。
这种分析方法是把过程先微分后再累加（积分） ( http: / / www.21cnjy.com )的定积分思想来解决问题的方法，在以后的学习中经常用到。比如：一条直线可看做由一个个的点组成，一条曲线可看做由一条条的小线段组成。
提出问题：我们掌握了这种定积分分析问题的思想 ( http: / / www.21cnjy.com )，下面同学们在坐标纸上作初速度为v0的匀变速直线运动的v-t图象，分析一下图线与t轴所夹的面积是不是也表示匀变速直线运动在时间t内的位移呢？
学生活动：学生作v-t图象，自我思考解答，分组讨论。
点评：培养学生用定积分的思想分析v-t图象中所夹面积表示物体运动位移的能力。
学生作的v-t图解，让学生分析讲解。
（如果学生分析不出结论，让学生参看教材图2.3-2，然后进行讨论分析。）
根据图解分析讲解，得出结论：v-t图象中，图线与t轴所夹的面积，表示在t时间内物体做匀变速直线运动的位移。
点评：培养学生分析问题的逻辑思维、语言表达、概括归纳问题的能力。
2.推导匀变速直线运动的位移－时间公式
提出问题：根据同学们的结论利用教材图2.3-2（丁图）能否推导出匀变速直线运动的位移与时间的关系式？
推导过程：，所以。
又，解得。
点评：培养学生利用数学图象和物理知识推导物理规律的能力。
展示学生推导过程并集体评价后教师说明：公式就是表示匀变速直线运动的位移与时间关系的公式。
教师活动：（投影）进一步把问题进行扩展：位移与时间的关系也可以用图象表示，这种图象叫做位移-时间图象，即x-t图象。
3.对匀变速直线运动的位移的求解
例1. 在平直公路上，一汽车的速度为15m／s，从某时刻开始刹车，在阻力作用下，
汽车以2m/s2的加速度运动，问刹车后10s末车离开始刹车点多远？
读题指导：车做减速运动，加速度是负值，并且要考虑实际，要判断车是否运动了10s，这是本题必须考虑的。
分析： 初速度 v0=15m／s，a = -2m／s2，分析知车运动 7.5s就会停下，在后 2.5s内，车停止不动。
解：设车实际运动时间为t，v t=0，a=-2m／s2。
由知运动时间s，所以车的位移m。
例2. 从车站开出的汽车，做匀加速直线运动， ( http: / / www.21cnjy.com )走了12s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车。汽车从开出到停止总共历时20s，行进了50 m。求汽车的最大速度。
分析：汽车先做初速度为零的匀加速直线运动，达到最大高度后，立即改做匀减速运动，可用解析法，也可用图象法。
方法一：设最大速度为。
加速阶段： ，，
得：。
减速阶段：，
得：。
又：，。
得：。
方法二：应用图象法，作出运动全过程的v-t图象，如图2-3-11所示，v-t图线与t轴围成三角形的面积与位移等值，故
，所以m/s。
( http: / / www.21cnjy.com )
图2-3-11
学生活动：在老师的引导下，在练习本上写出解答过程。
教师活动：（投影）学生的解答，进行适当点评。
（三）用图象表示位移
提出问题：用图象描述物体的位移可以吗？
学生分析讨论：
例如，火车的机车在沿直线轨道移动，教材P40图2.3-4描述了它对于出发点的位移随时间变化的情况。
这个图象称为位移-时间图象（x-t图象）。
三、课堂小结
本节课利用v-t图象对匀变速直线运动的特点进行研究，用微分思想得出匀变速直线运动的时间与位移的关系式，并讨论了应用公式解题的一般步骤和注意事项。
四、布置作业
教材P40问题与练习2、3题。
