天津市第三中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

天津市第三中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1.（3分）下列说法中，正确的是（　　）
A. 三点确定一个平面 B. 过一条直线的平面有无数多个
C. 两条直线确定一个平面 D. 三条两两相交的直线确定三个平面
2.（3分）已知复数，则（　　）
A. z的虚部为1 B.
C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第二象限
3.（3分）一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，则原图形的面积是（　　）
A. 1 B. C. D.
4.（3分）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则等于（　　）
A. B. C. D.
5.（3分）已知，，与的夹角为，是与向量方向相同的单位向量，则在向量上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
6.（3分）设复数z的共轭复数为，若，则（　　）
A. B. C. D.
7.（3分）已知正三棱锥的底面边长为6cm，顶点P到底面ABC的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为（　　）
A. B. C. D.
8.（3分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是（　　）
A. 若，，，则B只有一解
B. 若，则一定是锐角三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若，则一定是等腰三角形
9.（3分）如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值是（　　）
A. 2 B. 4 C. D.
二、填空题
10.（3分）已知平面向量，，若，则______.
11.（3分）在长方体中，，，，则长方体外接球的表面积为______.
12.（3分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是______.
13.（3分）若直线平面，直线平面，且，，则a，b的位置关系是______，若已知与相交，则a，b的位置关系是______.
14.（3分）如图，已知棱长为1的正方体，点P为棱CG的中点，点Q、R分别在棱BF、DH上，且四边形AQPR为平行四边形，则四棱锥的体积为______.
15.（3分）在中，，，，，则______，设，且，则的值为______.
三、解答题
16. 已知复数（i为虚数单位）.
（1）若z是纯虚数，求实数m的值；
（2）若，求实数m的值.
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M.求证：
（1）平面ANC；
（2）M是PC中点.
18. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，各条棱长均为2，M，N分别为，AB的中点.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线CN与所成角的余弦值.
19. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行.
（1）求A；
（2）若，，求的值.
20. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，.
（1）求A，b；
（2）设D为BC边上一点，且，求的面积.
天津市第三中学2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1.【解答】解：∵不在一条直线上的三点确定一个平面，∴A错误；
∵过一条直线的平面有无数个，∴B正确；
∵两条相交或平行直线确定一个平面，∴C错误；
∵空间两两相交的三条直线确定一个平面或三个平面.∴D错误.
故选：B.
2.【解答】解：，
则z的虚部为﹣1，，为纯虚数，在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：C.
3.【解答】解：因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，所以的底，
腰，在中为直角三角形，且高，
所以直角三角形的面积是.
故选：D.
4.【解答】解：因为，
所以，即，
所以，
则.
故选：B.
5.【解答】解：∵，，，
∴，，
∴在方向上的投影向量为.
故选：A.
6.【解答】解：设，则，
因为，所以，
整理得，
由复数相等，可得，解得，；
所以.
故选：D.
7.【解答】解：由题意可作底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：，
所以正三棱锥的斜高为：，
所以这个正三棱锥的侧面积为：.
故选：A.
8.【解答】解：对于A，根据正弦定理，可得，结合可知B有2解，故错误；
对于B，中，∵，∴角C为锐角，但不一定是锐角三角形，故错误；
对于C，若，，即，则是等腰三角形，故正确；
对于D，若，则由正弦定理得，即，则或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，故错误；
故选：C.
9.【解答】解：设，则，
∴，解得.
，
∴，
.
当且仅当时，即当时，等号成立.
∴的最小值为2.
故选：A.
二、填空题
10.【解答】解：∵，，
∴，
∴.
故答案为：.
11.【解答】解：由题意可知，长方体的体对角线为其外接球的直径，设外接球的半径为R，
则，∴，
因此，该长方体的外接球的表面积为.
故答案为：.
12.【解答】解：可以设该侧面的正方形边长为A，
则，
全面积，
则圆柱的全面积与侧面积的比
，
故答案为：.
13.【解答】解：直线平面，直线平面，且，，
则a，b的位置关系是平行或异面，
若与相交，则a，b的位置关系是相交、平行或异面.
故答案为：平行或异面；相交、平行或异面.
14.【解答】解：∵
，
∴四棱锥的体积为.
故答案为：.
15.【解答】解：因为，所以点D为线段BC上靠近点C的三等分点，
由三点共线定理可知，
上式左右同时平方得，
已知，，，
所以，
解得；
因为，，
所以，
化简得，
因为，，，
所以，
解得，
故答案为：第一空：3；第二空：.
三、解答题
16.【解答】解：（1）若z是纯虚数，
则，解得.
（2）若，
则，解得.
17.【解答】证明：（1）连结BD，AC，设，连结NO，
∵ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，在中，N是PB的中点，
∴，
又平面ANC，平面ANC，
∴平面ANC.
（2）∵底面ABCD为平行四边形，
∴，
∵平面ADMN，平面ADMN，
∴平面ADMN.
∵平面平面，
∴，又N是PB的中点，
∴M是PC的中点.
18.【解答】证明：（1）取的中点Q，连结NQ，MQ，
∵N，Q分别是AB，的中点，∴，
又M是的中点，∴，∴，
∴四边形NQMC是平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
解：（2）取中点R，连结CR，NR，
∵M，R分别是，的中点，∴，
∴四边形CMBR是平行四边形，∴，
∴为异面直线CN与所成角，
∵是边长为2正三角形，∴，
又三棱柱的侧棱垂直于底面，
∴，，
∴，∴，∴，
∴异面直线CN与所成角的余弦值为.
19.【解答】解：（1）向量与平行，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）由正弦定理可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
20.【解答】解：（1）中，，
所以，即，
因为，所以，
所以，解得，
又因为，，由余弦定理可得，
即，
即，
解得（舍去）或，
所以；
（2）因为，
所以，
所以，
解得，
所以，
因为，
所以的面积为.