四川省眉山市彭山区第一中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题（Word版含答案）

彭山区第一中学2022-2023学年高一下学期5月月考
数学试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前四章占20%，必修第一册第五章、必修第二册第六章、第七章占80%
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，且，则（ ）
A．1或 B．1或 C．或 D．-1或
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．某火锅店开张第一周进店消费的人数逐日增加，设第天进店消费的人数为y，且y与（表示不大于t的最大整数）成正比，假设第2天有6人进店消费，则第3天进店消费的人数为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．如图，在太极图中，大圆半径是小圆半径的6倍，A，B分别为太极图中的最低点和最高点，过A作黑色小圆的切线，切点为C，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．位于四川省乐山市的乐山大佛，又名“凌云大佛”，是世界文化与自然双重遗产之一．如图，已知PH为佛像全身高度，PQ为佛身头部高度（PQ约为15米）．某人为测量乐山大佛的高度，选取了与佛像底部在同
一水平面上的两个测量基点A，B，测得米，米，，在点A处测得点Q的仰角为48.24°，则佛像全身高度约为（ ）
（参考数据：取，，）
A．56米 B．69米 C．71米 D．73米
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知向量，，若，则的值可能为（ ）
A．2 B． C．3 D．
10．若复数z满足，则（ ）
A．z的实部为 B．z的虚部为1 C． D．
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，，，则只有一解
C．若，则
D．若为锐角三角形，则
12．设符号函数已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．在上的最大值为1
C．是偶函数
D．函数在上有6个零点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．将函数的图象向左平移1个单位长度后，得到的图象，则______；将图象上每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，则______．（本题第一空3分，第二空2分）
14．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇纸多为扇环．已知某纸扇的扇环如图所示，其中外弧线长与内弧线长之和为95 cm，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇形的中心角的弧度数为2.7，则该扇环的外弧线长为______．
15．已知函数，且，则______．
16．已知向量，满足，，，且，则的取值范围是______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知复数满足为纯虚数．
（1）求；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求n的取值范围．
18．（12分）
已知向量，．
（1）求的最小值，并求此时的取值集合；
（2）设锐角满足，求的值．
19．（12分）
已知，，，函数，的部分图象如图所示．
（1）求，的解析式；
（2）求函数的单调递减区间．
20．（12分）
在平行四边形ABCD中，，．
（1）试用，表示，；
（2）若四边形ABCD的面积为，，求的最大值。
21．（12分）
已知函数，．
（1）若函数在内有唯一零点，求a的取值范围．
（2）设函数的最大值、最小值分别为M，m，记．设，函数，当，时，恒成立，求的取值范围．
22．（12分）
已知CD为中AB边上的中线，，．
（1）若，求CD的长；
（2）若，求的值及的值．
高一数学试题参考答案
1．A【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．
因为，所以．
2．C【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养．
．
3．【解析】本题考查平面向量的平行#考查数学运算的核心素养．
因为，所以，解得或．
4．A【解析】本题考查诱导公式与同角的三角函数的关系，考查数学运算的核心素养．
因为，所以．
5．C【解析】本题考查函数模型的应用，考查数学建模的核心素养．
依题意可设，当时，，解得，所以，则当时，，故第3天进店消费的人数为18．
6．【解析】本题考查充分必要条件的判定与三角恒等变换，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．
若，则．因为，所以或，则．反之亦成立．故“”是“”的充要条件．
7．B【解析】本题考查投影向量，考查直观想象的核心素养．
如图，设大圆、小圆的圆心分别为O，，小圆半径为r，大圆半径为R，则，因为AC与圆相切，所以，则在上的投影向量为．因为，，所以，所以在上的投影向量为．
8．C【解析】本题考查解三角形的实际应用，考查直观想象的核心素养与数据处理能力．
由余弦定理可得．依题意得，则，所以，则，故佛像全身高度约为71米．
9．AD【解析】本题考查平面向量的垂直，考查数学的运算的核心素养．
因为，所以，解得或2．
10．AC【解析】本题考查复数的运算与共轭复数，考查数学运算的核心素养．
设，则，因为，所以，，A正确，B错误．，，C正确，D错误．
11．ACD【解析】本题考查解三角形，考查逻辑推理的核心素养．
由，可得，则，因为，所以，即，所以为等腰三角形，A正确．
若，，，则，此时有两解，B错误．
若，则，则，即，因为，所以，则，C正确．
若为锐角三角形，则，，且，，，所以，所以，D正确．
12．BC【解析】本题考查三角函数的图象及其性质与函数的新概念，考查数学抽象与直观想象的核心素养．
作出的部分图象，如图所示，由图可知，不是周期函数，A错误．
由图可知，在上的最大值为，B正确．
由图可知，的图象关于直线对称，所以是偶函数，C正确．
令，得，由图可知，在上，图象与直线只有（5个交点，所以在'上有5个零点，D-错误．
13．；【解析】本题考查三角函数图象的变换，考查逻辑推理的核心素养．
依题意可得，．
14．70 cm（未写单位不给分）【解析】本题考查弧度制，考查直观想象与数学运算的核心素养．
如图，设弧AB的长为a cm，弧CD的长为b cm．因为该扇形的中心角的弧度数为2.7，所以，，所以，．因为，所以，又，解得，所以该扇环的外弧线长为70 cm．
15．1【解析】本题考查函数的奇偶性，考查数学抽象的核心素养．
因为，
所以，所以，则，
因为，所以．
16．【解析】本题考查平面向量的模与数量积，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．
当时，由，得，这与矛盾，所以．由，得，即，所以．因为，且，所以．
17．解：（1），
由为纯虚数，得解得．
所以．
（2），
因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，所以
解得，即n的取值范围是．
18．解：（1），
因为，
所以当时，取得最小值，
此时的取值集合为．
（2）由，解得或，
因为为锐角，所以，所以，．
因为，
所以．
19．解：（1）由图可知，
由图可知的最小正周期为，
因为，所以．
所以，，因为的图象经过点，
所以，
因为，所以，所以．
（2）由（1）知．
令，
得，
所以函数的单调递减区间为．
20．解：（1）因为，所以，
因为，所以．
（2）设，，因为，所以，
则四边形ABCD的面积，解得．
．
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故的最大值为．
21．解：（1）依题意可得方程在内只有一个实数解，
即在内只有一个实数解，所以，
所以a的取值范围为．
（2）因为，所以当时，，
则．
因为，所以在上为减函数，
所以在上的最大值为，最小值为，
所以当时，，
由，得，即，
解得，故的取值范围为．
22．解：设，，则，，．
（1）因为，，所以，
所以，所以，
所以，又CD为中AB边上的中线，所以，
则为正三角形，所以．
（2）依题意可得，设，，由余弦定理得，
整理得，即．
由正弦定理得，
即，，整理得，
则，则．
由余弦定理得，则，
整理得，即．