2.2+基本不等式（第1课时）同步课件(共19张PPT)-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

(共19张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图所示，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.根据上节的内容我们可得出 ，当且仅当 时等号成立.
预学忆思
新知生成
新知一 基本不等式的定义
， ____，有 ，当且仅当________时，等号成立.
特别地，如果 ， ，我们用 ， 分别代替上式中的 ， ，可得 ，当且仅当 时，等号成立.
通常称 为基本不等式.其中， 叫做正数 ， 的算术平均数， 叫做正数 ， 的几何平均数.
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.


自主思考1. 基本不等式怎样证明？
____________________________
利用几何意义证明
如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，
过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，
由于CD小于或等于圆的半径，
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗
探究点一 对基本不等式的理解
例1
（2）不等式 中等号成立的条件是( @1@ )
A. B. C. D.
A
[解析] 由基本不等式的定义得， .故选A.

(1) 已知 ， ，则下列不等式一定成立的是( @1@ )
A. B. C. D.
D
例2 已知 ，求 的最小值.
探究点二 利用基本不等式求最值
例3 已知 , 都是正数，求证：
（1）如果积 等于定值 ,那么当 时，和 有最小值
（2）如果和 等于定值 ,那么当 时，积 有最大值
新知二 两个重要结论
已知 , 都是正数,
（1）如果积 等于定值 ,那么当 时,和 有最小值_ ______.
（2）如果和 等于定值 ,那么当 时,积 有最大值_ _____.


和定积最大，积定和最小
自主思考2. 当 时，你能求出 的最小值吗？
________________________________________________________________________________________________
提示：当 时， 当且仅当 ,即 时,等号成立 ，故 的最小值是4.
基本不等式求最值的三个条件：
1.一正：符合基本不等式 成立的前提条件为 , .
2.二定：不等式的一边转换为定值.
3.三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.
以上三点缺一不可.
迁移应用1. （1）若x>0，求
（2）已知，求
（3）已知正实数满足 +b= ,则 的最小值是( @21@ )
A. B. C. D.
D
探究点三 利用基本不等式证明不等式
精讲精练
例4 已知 , , 都是正数，求证： ；
证明 易得 （当且仅当 时，等号成立）， （当且仅当 时，等号成立）， （当且仅当 时，等号成立），
三式相加得， ，
即 （当且仅当 时，等号成立）.
解题感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
（1）策略：从已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所证明的问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
（2）注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式的证明问题可重新组合，创设使用基本不等式的条件再使用.
迁移应用2. 已知 , , 都是正数，求证： ；
评价检测·课堂达标
1. 已知 , ,且 ,那么 的最小值是( @21@ )
A. B. C. D.
C
[解析] 因为 , ,所以 ,故选C.
2. 不等式 成立的前提条件为________.

3. 若 ， ，则 ____ （填“＞”“＜”“≥”或“≤”）.
≥
[解析] ， ， 当且仅当 ,即 时,等号成立 ， （当且仅当 时，等号成立），
.
4. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为 、 、 ，则三角形的面积 可由公式 求得，其中 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 ， ，则此三角形面积的最大值为_____.
12
[解析] 由已知可得 ，
所以 .
当且仅当 时，等号成立.故该三角形面积的最大值为12.