2.3.1一元二次不等式的解法（第1课时）同步 课件（共19张PPT）

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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
课时学习素养目标：1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，培养数学抽象的核心素养.2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，培养数学运算的核心素养.
新知生成
新知一 一元二次不等式
一般地,我们把只含有_______未知数,并且未知数的最高次数是____的不等式,称为一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式是 或 ,其中 ， ， 均为常数, .
一个
2
自主思考1. 不等式 是一元二次不等式吗？
______________________________________________________________________________________________________________
提示：不等式 中未知数的最高次数是3，根据一元二次不等式的定义，可知该不等式不是一元二次不等式.
自主思考2. 当 满足什么条件时，不等式 是一元二次不等式？
________________________________________________________________________
提示：当 ，即 时， 是一元二次不等式.
新知二 二次函数的零点
一般地，对于二次函数 ,我们把使 的实数 叫做二次函数 的零点.
自主思考3. 二次函数 的零点就是该函数图象与 轴的交点吗？
______________________________________________________________
提示：不是.零点是 对应的实数根，而交点是坐标.
新知三
二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解的对应关系
的图象
的根 有两个不相等的实数根 , 有两个相等的实数根 没有实数根
的解集
的解集


或
自主思考4. 是否存在实数 使得一元二次不等式 的解集为 ？
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
提示：若一元二次不等式 的解集为 ，则 此不等式组无解，所以不存在实数 使不等式 的解集为 .
自主思考5. 若不等式 的解集为 ，则实数 应满足什么条件？
_______________________________________________________________________
提示：若不等式 的解集为 ，则 ，解得 .
探究点一 一元二次不等式的解法
自测自评
解下列不等式：
（1） ；
[解析] 易知方程 的两个实数根分别为 , ,作出函数 的图象（图略）.由图象可得原不等式的解集为 .
（2） ；
[解析] 解法一：易知方程 可由因式分解转化为 ,即方程 有两个实数根分别为 ， .作出函数 的图象（图略），由图象可得原不等式的解集为 或 .
解法二：方程 的 ，则可得其实数根分别为 ， .作出函数 的图象（图略），由图象可得原不等式的解集为 或 .
（3） ；
[解析] 易知方程 有两个相等的实根，为 .作出函数 的图象，如图所示.由图象可得原不等式的解集为 .
（4） ;
[解析] 方程 ,易知 ，则可由求根公式得，方程 的两个实数根分别为 ， ，作出函数 的图象（图略），由图象可得原不等式的解集为 或 .
（5） .
[解析] 不等式 可化为 .对于方程 ,因为 ,所以方程 有两个不等实数根，解得 , .
结合二次函数 的图象（图略）得，不等式 的解集是 或 .
（6） .
解题感悟 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
（1）化标准：通过对不等式变形,使不等式右侧为0,二次项系数为正.
（2）判别式：对不等式左侧进行因式分解,若不易分解,则计算相应方程的判别式.
（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
（4）画图象：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象.
（5）写解集：根据图象写出不等式的解集.
探究点二 分式不等式的解法
1. 不等式 的解集是( @1@ )
A. B.
C. D.
C
[解析] 不等式 等价于 ，解得 或 .故选C.
2. 不等式 的解集为( @5@ )
A. B.
C. D.
A
评价检测·课堂达标
1. 不等式 的解集是( @16@ )
A. B.
C. 或 D. 或
A
[解析] 不等式 可化为 ，对于方程 ，因为 ，所以方程有两个不等实数根，解得 ， .结合二次函数 的图象（图略）得不等式 的解集为 .故选A.
2. 不等式 的解集是( @18@ )
A. B.
C. 或 D. 或
C
[解析] 或 ，故选C.
3. 已知一元二次不等式 的解集为 ，则 的值是____.
6
[解析] ∵一元二次不等式 的解集为 ，∴函数 的图象与 轴交点的横坐标分别为 和 ，且抛物线开口向下，
和 是方程 的两个实数根，
由根与系数的关系得
解得 .