1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
浙江省宁波市镇海中学 高一备课组
1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示
《必修二》
平面向量
空间向量
代数运算
推广
建系
空间向量解决了哪些几何问题？
问题
距离问题
夹角问题
平行、垂直问题
几何中
点
线
面
向量中
？
？
？
我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．
【思考】如何用向量表示空间中的一个点？
定点O
P
p
向量的坐标
起点的坐标
终点的坐标
坐标
如图，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量 来表示，我们把向量 称为点P的位置向量.
点→点+位置向量
P
a
A
B
点P在直线l上
充要条件
【思考】如何用向量表示空间中的直线？
l
如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 = a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知：
存在实数t，使得 ，即
线→点+方向向量
取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋ta＝OA＋tAB．
l
A
B
P
a
结论：空间任意直线由直线上一点和直线的方向向量唯一确定.
【思考】一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？
P
O
这样点O与向量a,b不仅可以确定平面α,还可以具体表示出α内的任意一点.这种表示在解决几何问题时有重要作用.
我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
a
b
B
C
P
A
O
除此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量(平面的法向量)表示空间中平面的位置.
平面的法向量
给定空间一点 A 和一条直线 l ，则过点 A 且垂直于直线 l 的平面是唯一确定的. 由此可以利用点 A 和直线 l 的方向向量来确定平面.
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．过空间点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以用集合表示为 ．
{P|a·AP=0}
α
A
P
l
a
A
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量 是平面的法向量,
若一条直线的方向向量
满足 ，则该直线与平面的位置关系：
与平面平行或在平面内.
l
给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.
1.判断下列命题是否正确
(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量。 （ ）
(2)若v是直线l的方向向量，则λv(λ∈R)也是直线l的方向向量。 （ ）
(3)在空间直角坐标系中, j=(0,0,1)是坐标平面Oxy的一个法向量。 ( )
√
√
×
－3
因为A，B，D三点共线，
即9a＋mb＝λ(－3a＋b).
解得m＝λ＝－3.
设B点坐标为(x，y，z)，则AB＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，
所以x＝18，y＝17，z＝－17.
y
x
z
D
A
B
C
D1
A1
B1
C1
M
【例1】已知长方体ABCD- A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB中点.以D为原点，DA, DC, DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
（1）求平面BCC1B1的一个法向量；
（2）求平面MCA1的一个法向量．
解:
(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.
z是自由变量
最好法向量不要出现分数，方便运算
求平面法向量的步骤
z
y
x
如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F，求平面A1DE、平面A1B1CD的一个法向量．
A
B
C
D
E
F
A1
B1
D1
∵四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，
∴AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1＝AB＝AD，以A为原点，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴和z轴建立如图空间直角坐标系，
x
y
z
取z1＝1，
则n1＝(－1,1,1)．
A
B
C
D
E
F
A1
B1
D1
x
y
z
1.空间中点、直线和平面的向量表示
(1)点→点+位置向量
(2)线→点+方向向量
(3)平面→点+法向量
2.求平面的法向量的步骤：
我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量，那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢 首先来看平行的问题.
【思考】由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系
如图(1)所示，设 分别是直线l1, l2的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行，反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以
l1
l2
(1)
(1) 直线与直线平行
(2) 直线与平面平行
如图(2)所示，设 是直线l的方向向量， 是平面α的法向量， 则
(3) 平面与平面平行
如图(3)所示，设 分别是平面α, β的法向量，则
α
l
(2)
m
α
(3)
β
P
m
n
元素 直线 平面 平面
P
O
A
B
o
A
点
向量表示点、直线、平面
空间图形
向量
位置关系 图形语言 符号语言 向量形式 向量运算
线线平行
线线垂直
线面平行
线面垂直
面面平行
面面垂直
位置关系 图形语言 符号语言 向量形式 向量运算
线线平行
线线垂直
线面平行
线面垂直
面面平行
面面垂直
a
b
P
【例2】证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
a
b
P
【例2】证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
Q
a
b
【练习】用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
x
y
z
P
【例3】如图示，在长方体ABCD –A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2. 线段B1C上是否存在点P，使得A1P//平面ACD1
点P的坐标怎么设？
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
x
y
z
P
如何去判断点P是否存在？
【练习】如图，在四面体ABCD中,E是BC的中点.直线AD上是否存在点F，使得AE//CF
C
A
B
D
谢
谢
聆
听