【中考数学几何模型】第二十节：二次函数直角三角形存在性问题402-407（含答案）

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中考数学几何模型
第二十节:二次函数直角三角形存在性问题
402.二次函数将军饮马直角三角形存在性问题(初三)
如图,已知抛物线经过两点,且与轴相交于点C,直线1是抛物线的对称轴
(1)求抛物线的函数关系式
(2)设点是直线1上的一个动点,当点到点、点的距离之和最短时,求点的坐标;
(3)点也是直线1上的动点,且为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点的坐标.
403.二次函数直角三角形存在性问题(初三)
如图1,拋物线与轴交于点,与轴交于点,顶点为,直线交y轴于点.
(1)求抛物线的解析式
(2)如图2,将沿直线平移得到.
①当点落在抛物线上时,求点的坐标.
②在移动过程中,存在点使为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点的坐标.
404.二次函数等腰直角三角形存在性问题(初三)
如图,二次函数的图象交轴于点两点,交轴于点.动点从点出发,以每秒2个单位长度的速度沿方向运动,过点作轴交直线于点,交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒.
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接,当时,求的面积;
(3)在直线上存在一点,当是以为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标;
(4)当时,在直线上存在一点,使得,求点的坐标.
405.二次函数将军饮马直角三角形存在性问题(初三)
如图,已知抛物线的对称轴为直线,且抛物线与轴交于两点,与轴交于点,其中
(1)若直线经过两点,求直线和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点,使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标;
(3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点,求使为直角三角形的点的坐标
406.二次函数周长最小值直角三角形存在性问题(初三)
如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于,0)两点，与轴交于点,点是该抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式和直线的解析式
(2)请在轴上找一点,使的周长最小,求出点的坐标
(3)试探究:在抛物线上是否存在点,使以点为顶点,为直角边的三角形是直角三角形 若存在,请求出符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
407.二次函数矩形存在性直角三角形存在性问题(初三)
如图,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,连接,点是抛物线第一象限上的一动点,过点作轴于点,交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,作于点,使,以为邻边作矩形.当矩形PEGF的面积是面积的3倍时,求点的坐标;
(3)如图2,当点运动到抛物线的顶点时,点在直线上,若以点为顶点的三角形是锐角三角形,请直接写出点纵坐标的取值范围
答案
402.【解】抛物线经过,0)两点,,
抛物线的解析式为,
(2)如图,点关于直线对称,
连接交直线于点,此时即为要求的点.由(1)知,抛物线的解析式为,直线,
直线的解析式为,
当时,,
(3)设点,,
为直角三角形,分三种情况讨论:
①当时,,
②当时,,
③当时,,
或,
或,
综上所述,满足条件的点的坐标为:
或或或.
【解】(1)抛物线的表达式为:
,即:,
解得:,故抛物线的表达式为:,
(2)令,解得:或-2,故点,函数的对称轴为:直线,故点;由点的坐标得,直线的表达式为:,设点,则点,,
(1)将点的坐标代入抛物线表达式得:,解得:,故点的坐标为或;(2)点,点的坐标分别为、,则,,当为直角时,则由勾股定理得:,解得:;
当为直角时,则同理可得:,
当为直角时,则同理可得:,
故点的坐标为:或或,或.
404.【解】(1)将点代入,;
(2)的直线解析式为,当吋,的面积;
(3).由题意可知,只能在之间,即,点坐标为,则,
如图1,当点在的下方时,过点作轴于,过点作于点,由题意可知利用一线三等角,可证.
则,
同理,当在的上方时,可得,解得;
(4)当时,点在抛物线对称轴上,,连接,勾股定理得:
以为圆心为直径构造圆,如图2,圆与对称轴的交点,分别为与,即为所求的点
轴,且
,
即点坐标分别为;
405.【解】(1)依题意得:
拋物线解析式为
对称轴为直线,且拋物线经过,
把分别代入直线,得:,解之得:,
直线的解析式为;
(2)由对称性质可知,直线与对称轴的交点即为所求的点,则此时的值最小.
把代入直线得,,即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为;
(3)设,又,,
,
①若点为直角顶点,则即:解之得:;
②若点为直角顶点,则即:解之得:,
③若点为直角顶点,则,即:
,解之得:;综上所述,的坐标为或或或.
406.【解】(1)设抛物线解析式为,即,解得,
抛物线解析式为;
当时,,则,
设直线的解析式为,
把代入得,解得,
直线的解析式为;
(2)顶点的坐标为,如图1,作点关于轴的对称点,连接交轴于,则,
,此时的值最小,而的值不变,
此时的周长最小,
易得直线的解析式为,
当时,点的坐标为;
(3)存在.如图2中的P1和P1两种情况:
过点作的垂线交抛物线于另一点直线的解析式为,
直线的解析式可设为,把代
入得直线的解析式为,
解方程组,解得或,
则此时点坐标为;
过点作的垂线交抛物线于另一点,直线的解析式可设为,
把代入得,解得,
直线的解析式为,解方程组:
,解得或,
则此时点坐标为.
综上所述,符合条件的点的坐标为或,
407.【解】(1)由题意得:,解得
故抛物线的表达式为;
(2)对于,令,解得或-1,故点的坐标为,则,由点的坐标得,直线的表达式为,设点的坐标为,点,,,解得或点的坐标为或;(3)由抛物线的表达式知,其对称轴为,故设点的坐标为,又如图,先当以点为顶点的三角形为直角三角形时,分三种情况讨论:
①当为直角时,则有:
,解得:,
此时为;
②.当为直角时,则有:
,
解得:
此时为
③当为直角时,则有:;
,解得:
此时为
综上,以点为顶点的三角形是锐角三角形,则不为直角三角形,也不为针角三角形,即在至之间,或者在至之间的范围内,符合题意。故点纵坐标的取值范围为:或.
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