【中考数学几何模型】第二十八节：圆的计算证明辅助线压轴题486--491（含答案）

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中考数学几何模型
第二十八节：圆的计算证明辅助线压轴题
486.菱形圆三角形相似综合题(初三)
如图,菱形中,是对角线上一点,垂足为,以为半径的分别交于点,交的延长线于点与交于点.
(1)求证:是的切线;
(2)若是的中点,.(1)求弧的长;(2)求的长.
487.圆和三角形相似动点求的取值范围(初三)
如图,点为以为直径的半圆的圆心,点在直径上,点在弧上,四边形为正方形,点在弧上运动(点与点不重合),连接并延长交的延长线于点,连接交于点,连接.
(1)求的值;
(2)求的值;
(3)令,直径是常数),求关于的函数解析式,并指明自变量的取值范围.
488.圆和三角形相似综合考题(初三)
如图所示,是的直径,点是上不同的两点,直线交线段于点、交过点的直线于点,若,且.
(1)求证:直线是的切线;
(2)连接,若.
①求证:;
②过点作,交线段于点,点为线段的中点,若,求线段的长度.
489.四点共圆求阴影部分的面积(初三)
如图1,四边形内接于为直径,点作于点,连接.
(1)求证:;
(2)若是的切线,,连接,如图2.
①请判断四边形的形状,并说明理由;
②当时,求与弧围成阴影部分的面积.
图1图2
490.圆与菱形相切三角函数综合考题(初三)
如图,是半径为3的的一条弦,,点是上的一个动点(不与点重合),以为顶点作.
(1)如图2,若点是劣弧的中点.
①求证:是菱形;②求的面积.
(2)若点运动到优弧上,且有一边与相切.
①求的长;②直接写出对角线所夹锐角的正切值.
图1图2备用图
491.平面直角坐标系中圆与三角形相似综合题(初三)
如图,在平面直角坐标系中,经过原点,分别交轴、轴于点,,连结.直线分别交于点(点在左侧),交轴于点,连结.
(1)求的半径和直线的函数表达式;
(2)求点的坐标;
(3)点在线段上,连结.当与的一个内角相等时,求所有满足条件的的长.
答案
486.【解】(1)证明:如图1，过点作于点是菱形的对角线，
是的切线.
图1图2
(2)是的中点
由弧长公式得到HE弧的长:.
(2)如图2，过作于点
.
487.【解】(1)如图1，连接.
四边形是正方形
设则
.
图1
(2)由(1)可知
.
(3)
是直径
当点与重合时
图2
图3
如图2，当与点重合时
如图3，当与点重合时.
488.(1)证明:
直线是的切线.
(2)①证明:
.
②【解】
是的中点
即线段的长度为1.
489.(1)证明:四边形是的内接四边形，
为的直径
；
(2)(1)四边形是菱形，理由:
是的切线
由(1)知
四边形是平行四边形
是菱形；
(2)由(1)知，四边形是菱形，
由(1)知
在Rt中
与弧围成阴影部分的面积为:
.
490.(1)①证明:
四边形是平行四边形，
四边形是菱形.
②【解】如图1，连接交于连接.
四边形是菱形，
共线，
在Rt中
四边形是菱形
.
图1
图2
(2)①【解】分两种情况讨论:
第1种情况，如图2，当与相切时，连接交
于连接延长交于
是的切线
四边形是平行四边形
第2种情况，如图3，当与相切时，
同法可证.
综上所述的长为或.
图3
图4
②【解】如图4，过点作于.
如图3中，同法可得
对角线所夹锐角的正切值为
综上所述对角线所夹锐角的正切值为
491.【解】(1)为的直径，
点是的中点，则点
则圆的半径为
设直线的表达式为则
解得故直线的表达式为；
(2)设点的坐标为
由得:
解得或-3，
故点的坐标分别为；
(3)过点作于点则故
由点的坐标，同理可得；
由点的坐标得，
同理可得:
①当时，
则为等腰直角三角形
故点的坐标为故；
②时
即解得故；
时
即
解得则
综上所述为5或10或.
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