【中考数学几何模型】第二十二节：二次函数特殊平行四边形存在性问题422-431（含答案）

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中考数学几何模型
第二十二节:二次函数特殊平行四边形存在性问题
422.二次函数正方形存在性问题(初三)
在平面直角坐标系中,抛物线交轴于两点,交轴于点.
(1)求抛物线的表达式,
(2)如图,直线与抛物线交于两点,与直线交于点.若)是线段上的动点,过点作轴的垂线,交抛物线于点,交直线于点,交直线于点.
①当点在直线上方的抛物线上,且时,求的值;
②在平面内是否存在点,使四边形为正方形 若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
423.二次函数面积最大值矩形存在性问题(初三)
如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,与轴交于点,连接,对称轴为直线,点为此拋物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式
(2)抛物线上C、D两点之间的距离是_______
(3)点是第一象限内抛物线上的动点,连接和,求面积的最大值;
(4)点在抛物线对称轴上，平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形,请直接写出点的坐标.
424.二次函数线段最大值相等角矩形存在性问题(初三)
如图,抛物线与轴交于点,点,且OC.
(1)求抛物线的解析式
(2)点在抛物线上,且,求点的坐标;
(3)抛物线上两点,点的横坐标为,点的横坐标为.点是抛物线上之间的动点,过点作轴的平行线交于点.
①求DE的最大值
②点关于点的对称点为,当为何值时,四边形MDNF为矩形.
425.二次函数菱形存在性三角形相似存在性问题(初三)
如图,已知直线分别交轴、轴于点,抛物线过两点,点是线段上一动点,过点作轴于点,交抛物线于点.
(1)若抛物线的解析式为,设其顶点为,其对称轴交于点.
①求点的坐标;
②是否存在点,使四边形MNPD为菱形 并说明理由
(2)当点的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以为顶点的三角形与相似 若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
426.二次函数菱形存在性问题(初三)
如图,抛物线与轴交于两点(点在点左侧),与轴交于点.
(1)求三点的坐标
(2)连接,直线与该抛物线交于点,与交于点,连接OD.当时,求线段的长;
(3)点在轴上，点在直线上,点为拋物线对称轴上一点,是否存在点,使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形 若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
427.二次函数菱形存在性问题三角形面积相等问题(初三)
如图,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,连接.
(1)求三点的坐标并直接写出直线的函数表达式.
(2)点是直线下方抛物线上的一个动点,过点作的平行线1,交线段AC于点.
①试探究:在直线1上是否存在点,使得以点为顶点的四边形为菱形,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由;
②设抛物线的对称轴与直线1交于点,与直线交于点N.当时,请直接写出DM的长.
428.二次函数三角形面积最大值菱形存在性问题(初三)
如图,在平面直角坐标系中,Rt的边在轴上,,以为顶点的抛物线经过点,交y轴于点,动点在对称轴上.
(1)求抛物线解析式;
(2)若点从点出发,沿方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点停止,设运动时间为秒,过点作交于点,过点平行于轴的直线1交抛物线于点,连接,当为何值时,的面积最大 最大值是多少
(3)若点是平面内的任意一点,在轴上方是否存在点,使得以点为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出符合条件的点坐标;若不存在,请说明理由.
429.二次函数菱形存在性问题(初三)
已知抛物线的图象经过坐标原点0,且与轴另一交点为.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1,直线1:与抛物线相交于点和点(点在第二象限)，求的值(用含的式子表示);
(3)在(2)中,若,设点是点关于原点0的对称点,如图2.
①判断的形状,并说明理由;
②平面内是否存在点,使得以点为顶点的四边形是菱形 若存
在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
430.二次函数线段最大值菱形存在性问题(初三)
如图,二次函数的图象交轴于点,交轴于点.点是轴上的一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点.
(1)求这个二次函数的表达式:
(2)①若点仅在线段上运动，如图，求线段的最大值;
②若点在轴上运动,则在轴上是否存在点,使以为顶点的四边形为菱形.若存在,请直接写出所有满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
431.二次函数菱形存在性问题(初三)
如图,一次函数图象与坐标轴交于点,二次函数图象过A、B两点.
(1)求二次函数解析式
(2)点关于抛物线对称轴的对称点为点,点是对称轴上一动点,在抛物线上是否存在点,使得以为顶点的四边形是菱形 若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由.
答案
422【解】(1)抛物线交轴于两点,;
(2)①如图1,,
设的解析式为:,则,解得
的解析式为:,解得:,且轴,
,
和的水平宽度相同,
解得:;
②存在,由①知:,且
过点作的平行线,与抛物线的交点就是正方形的顶点.
,
,且轴,
,
分两种情况:
第一种情况:当时,如图1,点在的左侧
,
,解得:(舍),,
第二种情况:当时,点在的右边,如图2,同理得,解得:,(舍)，同理得;
综上,点的坐标为:或.
423【解】(1),
又对称轴为,
将代入解析式得:,解得,
(2)由(1)得:,
由两点距离公式可得:,故答案为;
(3),
直线的解析式为:,
设,且,
如图,作轴交于点,则,
,
当时,有最大值为;
(4).设,由(1)知,,分三种情况讨论:
①若为矩形的对角线,
由中点坐标公式得:,解得:,
又,
即:,
解得或或,
或，
②若为矩形的对角线,由中点坐标公式得,解得:,
又
即:,
解得,
③若为矩形的对角线,
由中点坐标公式得:,解得:,
又,
即:,
解得,
综上,点的坐标为或,或,4)或.
解法二,也可以构造利用一线三等角三角形相似来解决。
424【解】(1)抛物线与轴交于点,点设交点式
,点在轴负半轴,
把点代入抛物线解析式得:
抛物线解析式为
(2)如图1,过点作于点,过点作轴于点
,
是等腰直角三角形,
,
设
①当或时,点在点左侧或在之间,横纵坐标均为负数,
解得:,
或
②当或时,点在之问或在点右侧，横纵坐标异号
,解得:
或.
综上所述,点坐标为或或或.
(3)①如图2,时,
设直线解析式为
解得:
直线
设
轴,
当时,的最大值为4.
②如图3,关于点对称,,
四边形是矩形,
,且与互相平分
为中点,
由①得当时,
,
解得:,
或时,四边形为矩形.
425【解】(1)①,
顶点为的坐标为,
当时,,则点坐标为;
②不存在.理由如下:,
设点坐标为,则,
,
当时,四边形为平行四边形,
即,解得(舍去),,
此时点坐标为,
由两点距离公式可得:,
平行四边形不为菱形,
不存在点,使四边形为菱形;
(2)存在.由题意知:
,则,
当时,,则,
由两点距离公式可得:,
设抛物线的解析式为,
把代入得,解得,
抛物线的解析式为,
当时,,
则,
,
如上图,分两种情况讨论:
①.当时,,即,
解得,此时抛物线解析式为;
②.当时,,即,解得,此时抛物线解析式为;
综上所述,满足条件的抛物线的解析式为:
或.
426【解】(1)在中,令,得,解得:,令,得;
(2)如图1,设直线的解析式为,
,解得:,
直线的解析式为,
直线与该抛物线交于点,与交于点,
,
设交轴于点,则,
,
,
,
,
,
,
,解得:,
;
(3)存在,点为直线与抛物线对称轴的交点,即,
抛物线对称轴为直线,
以为顶点的四边形是菱形,
分三种情况:对角线,或为对角线,或为对角线,
①如图2,当为对角线时为对角线),,
点为直线与抛物线对称轴的交点,即,－6),由两点距离公式可得:
,;
②如图3,当为对角线时,
设,则,
,
解得:,
③.如图4,当对角线时,与互相垂直平分,设,则,
在直线上,
,
综上所述,点的坐标为:,.
427【解】(1)当时,,
解得,
当时,,
,
直线的函数表达式为,
,
直线的函数表达式为;
(2)①存在:设点的坐标为,其巾,
,,
当时,以点为顶点的四边形为平行四边形,现在分分两种情况讨论:
第一种情况:如图1中的,当时,四边形为菱形,,解得:(舍去),
点的坐标为,
点点向左移动2各单位长度,向下移动6个单位长度得到点
点向左移动2各单位长度,向下移动6个单位长度得到点点的坐标为;
第二种情况,如图2,当时,四边形为菱形,,
解得:(舍去),
点的坐标为,
点向右移动2个单位长度,向上移动6个单位长度得到点,
点向右移动2个单位长度,向上移动6个单位长度得到点,
点的坐标为;
综上,使得以点为顶点的四边形为菱形,点的坐标为或;
②.如图3,设点的坐标为,其中,
抛物线的对称轴为直线,
直线的函数表达式为,直线,
设直线的解析式为,
点的坐标,
直线的解析式为,
当时,,
抛物线的对称轴与直线交于点.
,
,
整理得:,解得:(舍去),点的坐标为点的坐标为,8),由两点距离公式得:,
故的长为.
428【解】(1)将点的坐标代入二次函数表达式得:,解得:,
故拋物线的解析式为:,则点;(2)设直线的解析式为:,由题意可得:,解得:直线的表达式为:,点,则点,设点,
,故有最大值,
当时,其最大值为1;
(3)设点,点,分两种情况讨论:
①当是菱形一条边时,当点在点右方时,如图1中的M1.
点向右平移3个单位、向下平移3个单位得到,
则点向右平移3个单位、向下平移3个单位得到,
则,即而得:,解得:,故点;
当点在点左方时,如图1中的M2.
同理可得:点;
②如图2,当是菱形一对角线时,则中点即为中点,则,
而,即,解得:,
故,故点;
综上所述,点或或.
429【解】(1)抛物线的图象经过点和,解得:,抛物线的解析式为.
(2)将和联立方程组,
解得:,
.
(3)点的坐标为,点的坐标为.点是点关于原点的对称点,点的坐标为.
①为等边三角形,理由如下:
,
分别有两点距离公式可得:,
为等边三角形.
②为等边三角形,存在符合题意的点,且以点为顶点的菱形设点的坐标为.现在分三种情况讨论:第一种情况:当为对角线时,有,解得:,点的坐标为;
第二种情况:当为对角线时,有,
解得:点的坐标为;
第三种情况:当为对角线时,有,
解得:，∴P的坐标为
综上所述:平面内存在点,使得以点为顶点的四边形是菱形,点的坐标为、和.
430【解】(1)把代入中,得:,解得.
(2)①设直线的表达式为,把,代入.得,解得:,
点是轴上的一动点,且轴.
,
此函数有最大值.
又点在线段上运动,且,
当时,有最大值.
(3).存在,分三种情况讨论:
①.如图1中,当点在线段上,四边形是菱形时.,,解得或0(舍弃)
,
.
②.如图2中,当是菱形的对角线时,四边形是正方形,此时,可得.
③.如图3中,当点在延长线上时,,四边形是菱形时,则有,,解得或0(舍弃),
,
.
当点在轴的右侧时,显然,此时满足条件的菱形不存在.
综上所述,满足条件的点的坐标为或或.
431【解】(1)在中,令得,令得,
二次函数图象过两点,,解得:,
二次函数解析式为;
(2)存在,理由如下:由二次函数可得其对称轴为直线,
设,,而,与关于直线对称,,
①当为对角线时,如图1:
此时的中点即是的中点,即
解得,∴当P，Q时,四边形是平行四边形,
由
可得,
四边形是菱形,此时;
②为对角线时,如图2中的,同理中点重合,可得:,
解得:当时,四边形是平行四边形,由,可得:,
四边形是菱形,此时;
③以为对角线,如图2中的(此时与点重合):中点重合,可得:
，解得
时,四边形是平行四边形,由可得:四边形是菱形,
此时;
综上所述,的坐标为:或或(3,0).
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