【中考数学几何模型】第二十一节：二次函数平行四边形存在性问题408-415（含答案）

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中考数学几何模型
第二十一节：二次函数平行四边形存在性问题
408.二次函数面积最大值平行四边形存在性问题(初三)
如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于点,对称轴1与轴交于点,直线，点是直线上方抛物线上一动点,过点作,垂足为,交于点，连接
(1)抛物线的解析式为________
(2)当四边形AHCE面积最大时,求点的坐标.
(3)在(2)的条件下,连接,点是轴上一动点，在抛物线上是否存在点,使得以为顶点,以为一边的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,说明理由.
409.二次函数平行四边形存在性问题(初三)
如图,已知抛物线过点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知直线1过点且与抛物线交于另一点,与轴交于点,求证:;
(3)若点分别是抛物线与直线1上的动点,以为一边且顶点为,的四边形是平行四边形,求所有符合条件的点坐标.
410.二次函数面积问题平行四边形存在性问题(初三)
如图所示,抛物线与轴交于两点,与轴交于点,且点的坐标为,点的坐标为,对称轴为直线.点是抛物线上一个动点,设点的横坐标为,连接,.
(1)求抛物线的函数表达式
(2)当的面积等于的面积的时,求的值;
(3)在(2)的条件下,若点是轴上一动点,点是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点,使得以点为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
411.二次函数平行四边形存在性铅垂定理面积最大值(初三)
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与直线都经过两点,该抛物线的顶点为.
(1)求此抛物线和直线的解析式;
(2)设直线与该抛物线的对称轴交于点,在射线上是否存在一点,过作轴的垂线交抛物线于点,使点是平行四边形的四个顶点 若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设点是直线下方抛物线上的一动点,当面积最大时,求点的坐标,并求面积的最大值.
412.二次函数相等角存在性平行四边形存在性问题(初三)
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于两点,与轴交于点,连接.
(1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴;
(2).点为抛物线对称轴上一点,连接,若,求点的坐标;
(3).已知,若是抛物线上一个动点(其中,连接,求面积的最大值及此时点的坐标
(4).若点为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点,使得以为顶点的四边形是平行四边形 若存在,请直接写出所有满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
413.二次函数二倍角存在性平行四边形存在性问题(初三)
如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过两点且与轴的负半轴交于点.
(1).求该抛物线的解析式;
(2).若点为直线上方抛物线上的一个动点,当时,求点的坐标;
(3).已知分别是直线和抛物线上的动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出所有符合条件的点的坐标.
414.二次函数三角形相似存在性平行四边形周长最大值(初三)
如图1,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过两点,在第一象限的抛物线上取一点,过点作轴于点,交直线于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)是否存在点,使得和相似 若存在,请求出点的坐标,若不存在，请说明理由;
(3)如图是第一象限内抛物线上的动点(不与点重合),点是线段上的动点.连接,当四边形是平行四边形且周长最大时,请直接写出点的坐标.
415.二次函数面积最大值平行四边形存在性问题(初三)
如图,已知二次函数的图象交轴于点和点,交轴于点C
(1)求这个二次函数的表达式;
(3)若点在第二象限内的抛物线上,求面积的最大值和此时点的坐标;
(3)在平面直角坐标系内，是否存在点,使四点构成平行四边形 若存在,直接写出点的坐标;若不存在,说明理由.
答案
408.【解】(1)与轴交于、,解得:,
抛物线的解析式为.
故答案为:;
(2)如图1中,连接.设.
,直线当直线的位置确定时,的面积是定值,,
当的面积最大时,四边形的面积最大,
,
时,的面积最大,
;
(3)存在.因为点在抛物线上是平行四边形的边,观察图象可知,满足条件的点的纵坐标为,如图2中,有3种情况满足题意:
对于抛物线,当时,,解得(舍去)或,
.
当时,,解得,
.
综上所述,满足条件的点坐标为或或.
409.【解】(1)把点代入,得到抛物线的解析式为.
(2)设直线的解析式为,把A,C点坐标代入,则有,
解得:,
直线的解析式为,令,得到,,
由,解得或,
,如图1,过点作轴于,过作轴于,
则,
(4)如图2中,一共有3种情况,符合题意.
为一边且顶点为的四边形是平行四边形,,
设,
,又
,
整理得:或,
解得或或-2或0(舍弃),
或或(-2,1).
∴抛物线的函数表达式为:y=-x2+x+6
当时,,解得:,点的坐标为,设直线的函数表达式为:,则,解得:,
直线的函数表达式为:,
点的横坐标为点的坐标为:,点的坐标为:,,,
解得:(不合题意舍去),的值为3;
(3)由(2)得:点的坐标为:,因为,D,四边满足平行四边形,则点到轴的距离为.
①当在轴上方时,如图2所示,有和两种情况:四边形是平行四边形,,
轴,点与点关于直线对称,
,
与原点重合),;
②当在轴下方时,如上图所示,有和两种情况:四边形是平行四边形,,点与点的纵坐标互为相反数,
点点的纵坐标为:,将代入中,得:,解得:,当时,则,设点的坐标为,又,,解得:;
当时,则,
同理可得:;
综上所述,点的坐标为或或,0)或.
411.【解】(1)拋物线经过、两点,,
抛物线的解析式为,
直线经过两点,,解得:,
直线的解析式为,
(2)存在,一共分两种情况,如图1,四边形和四边形就是存在的平行四边形。
,
抛物线的顶点的坐标为轴,
,
①若点在轴下方,四边形为平行四边形,则,设,则,,
,解得:(舍),,
②若点在轴上方,四边形为平行四边形,
则,设,则,,
解得:(舍去),
,
综合可得点的坐标为或,
③如图2,作轴交直线于点,设,则,
,
当时,面积的最大值是,此时点坐标为.
412.【解】(1)将点代入
可得;
对称轴;
(2).设点,
,在中,,
,
;
(3).如图:过点作轴于点,过点作直线
轴于
,
,
,
当时,面积有最大值,此时;
(4)存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形,
设,且已知
①四边形是平行四边形时,,
由平行四边形中心点坐标公式得:
;
②四边形是平行四边形时,,
由平行四边形中心点坐标公式得:
;
③四边形是平行四边形时,,
由平行四边形中心点坐标公式得:
;
综上所述:或或;
413.【解】(1)在中,令,得,令,得
把,代入,得:,解得:
抛物线的解析式为
(2)如图,过点作轴得平行线交抛物线于点,过点作的垂线,垂足为,交于点
轴,
即
设点的坐标为,
易证是的中点,
则点的坐标是,
又点纵坐标和点纵坐标相同,为2,
,解得(舍去),,
点的坐标为
当为边时,,如图2所示,有3种情况,
设
解得
当为对角线时,与互相平分,如图3,有2种情况,符合题意:
过点作,直线交抛物线于点和取的中点,则由题意得,是的中点,也是的中点,由中点坐标公式可以求出:
点的坐标为或或,或,或
414【解】(1)在中,令,得,令,得,
将分别代入抛物线中,得:,解得:,
抛物线的函数表达式为:.
(2)存在.和相似,
或
①当时,如图1,,此时,此时点纵坐标为3,代入二次函数解析式,可得.
②当时,,如图2所示,过点B作于,
,
设
解得:(舍),(舍),;
综上所述,点的坐标为或;
(3)如图2,四边形是平行四边形
设,,则:,,
即:
,即:
过点作于,则
,
即:,
即:
周长
当时,周长最大值,
此时,则,
当互换时,结论也成立,此时,
综上所述.或.
415【解】(1)二次函数的图象交轴于点和点,交轴于点.
,
二次函数的表达式为,
(2)如图1,连接,过点作轴,交于点,由点,点,
可得直线的解析式为:,
设,
则
当时,面积最大值是8,
此时点的坐标是.
(3)存在点,使四点构成平行四边形,如下三种情况,理由:
①以为边时,有和两种情况:
或，
②以为对角线时,有一种情况:
必过线段中点,且被平分,即:的中点也是的中点,线段中点坐标为,
设由平行四边形中心点坐标公式可得:
,解得:,
,解得:,
综上所述,满足条件的点的坐标为或,4)或.
当为对角线时,解法二:过点作轴于点,则,则,
综上所述,满足条件的点的坐标为或,4)或.
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