科技中学2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试卷 答案
考试时间120分钟 满分150分
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】．
2. 已知向量，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
3. 下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，，故D正确
4. 为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】B
【详解】解：，
则为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点向右平移个单位长度.
故选：B.
5. 已知单位向量满足，则向量的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解答】解：设向量的夹角为，因为，可得，
又因为，，所以，解得或，
又由，所以，所以，因为，所以．故选C．
6. 已知，，，，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解答】解：，，又，
，且，，，，
又，，
，，，故本题选B．
7. 如图，已知两个模都为的向量，，它们的夹角为，点在以为圆心，为半径的弧上运动，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解答】解：
，
要使最小，即最大，而为定值，为定值，
只要与同向即可使最大，的最小值为．
8. 为内一点，且，，若，，三点共线，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解答】解：以，为邻边作平行四边形，连接与相交于点，为的中点． ，，
点是线段的中点．
，，三点共线，，点是与的交点．
过点作交于点，则点为的中点．则，
，，，，．
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知向量，则( )
A. B.
C. 向量与向量的夹角为锐角 D. 是与向量同方向的单位向量
【答案】AD
【解答】对于，因为，所以，
所以，所以，所以A正确；
对于，因为，所以，
所以，所以B错误；
对于，因为，所以，
所以向量与向量的夹角为钝角，所以C错误；
对于，因为，所以，所以是单位向量，
因为，所以，所以与同方向，所以D正确．故选：．
10. 对于，有如下判断，其中正确的判断是( )
A. 在非等腰中，满足，则为钝角三角形；
B. 若，，，则符合条件的有两个；
C. 若，则为锐角三角形；
D. 若的面积，，则的最大值为．
【答案】ABD
【解答】解：对于、由题意，因为，
则或，则舍或，
则，则为钝角三角形，故A正确
对于、由题意，又，则符合条件有两个，故B正确
对于、取，，则，此时为直角三角形，故C错；
对于、因为，则，故，
又为的内角，则，则，故D正确．
故选：．
11. 已知函数，，则( )
A. 与均在单调递增 B. 的图象可由的图象平移得到
C. 函数的最大值为 D.图象的对称轴均为图象的对称轴
【答案】AC
【解析】解：，，
选项A，由知，，，又函数在上单调递增，
所以与均在单调递增，即A正确；
选项B，的图象需由的图象经过平移和伸缩变换得到，即B错误；
选项D，令，，则，，所以图象的对称轴为，，
令，，则，，所以图象的对称轴为，，
所以图象的对称轴均为图象的对称轴，即D错误；
选项C，，，而当时，与可同时成立，
所以的最大值为，即C正确．故选：C．
12. 如图所示，在凸四边形中，对边，的延长线交于点，对边，的延长线交于点，若，则．( )
A. B. C. 的最大值为 D.
【答案】BD
【解答】解：
，故A错误
过作交于，则，，
，由向量关系知：，即，故B正确
由知，当且仅当时成立，故C
由，，
， ，
则，
当且仅当时成立，故D正确．故答案选BD．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 向量，，且，则____
【答案】
【解析】，．故答案为：．
14. 在边长为1的正三角形ABC中，D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则·等于________
【答案】
【解析】法一：极化恒等式法
取DE中点F，连接AF，则·＝|AF|2－|DF|2＝－＝．
法二：解三角形法
因为D，E是边BC的两个三等分点，所以BD＝DE＝CE＝，
在△ABD中，AD2＝BD2＋AB2－2BD·AB·cos60°＝2＋12－2××1×＝，
即AD＝，同理可得AE＝，
在△ADE中，由余弦定理得cos∠DAE＝＝＝，
所以·＝||·||cos∠DAE＝××＝．
法三：坐标系法 如图，建立平面直角坐标系，
由正三角形的性质易得A，D，E，
所以＝(－，－)，＝，
所以·＝·＝－＋＝．
15.函数的图象如图所示.
则函数的解析式为
【答案】
【解析】由图知：，∴，∴，∵，∴，∴，
∵由图知过，∴，
∴，∴，，∴，，
∵，∴，∴
16. 在中，，若为外接圆的圆心，则的值为 ．
【答案】
【解答】解：过作，垂足分别为，
因为为外接圆的圆心，所以分别为的中点，
所以
，故答案为：
四、解答题（本大题共9小题，共108.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题已知平面向量，．
若，求的值；
若，求．
【答案】解：由得，，即，解得或；
由，则，即，得或．
当时，，，此时；
当时，，则．
故．
综上所述，的值为或．
18. 本小题分如图，在长方形中，为边的中点，为边上一点，且设，．
试用基底表示，
若，求证：，，三点共线．
【答案】
解：由题，，
．
，则，
，，三点共线．
19. 本小题分如图，在平面四边形中，，，，.
(1)若，求的值；
(2)求四边形面积的最大值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由余弦定理求出，再由正弦定理求出；（2）利用两次余弦定理得到，进而表达出四边形的面积为，结合的取值范围，求出最大值
（1）在中，由余弦定理可得，
∴，即，
∴，又，∴.
∵，，∴，
在中，由正弦定理可得，即，∴.
（2）由余弦定理可得：
，
，
∴，∴四边形的面积
.
又∵，当，即时，四边形的面积取得最大值.
20 本小题分已知函数．
(1)若，且，求；
(2)若对，恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用诱导公式及二倍角正余弦公式等三角恒等变换可得，根据已知有，再由平方关系求，根据及和角余弦公式求值.
（2）由（1）及已知，令并将问题化为恒成立，即可求范围.
(1)，
因为，所以，即，
因为，所以，则，
.
(2)因为，，所以，
令，则恒成立，即恒成立，
设，则，
当时，，所以．
21. 本小题分为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知，，，.
(1)若时，求护栏的长度（△MNC的周长）；
(2)当为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？
（6分）(1)；（6分）(2)，最小值为.
【解析】(1)由，，，则，（1分）
所以，，则，（1分）
在△ACM中，由余弦定理得，
则，（1分）所以，即，（1分）
又，所以，则，（1分）
综上，护栏的长度（△MNC的周长）为.（1分）
(2)设，
在△BCN中，由，得，（1分）
在△ACM中，由，得，（1分）
所以，（1分）
而，（2分）
所以，仅当，即时，有最大值为，（1分）
此时△CMN的面积取最小值为.
22. 本小题分在中，已知，，．
求；
已知点是上一点，满足，点是边上一点，满足．
当时，求；
是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：中，，，，
由余弦定理得：．
，即；
时，，，、分别是，的中点，
，，
；
假设存在非零实数，使得，
由得，；
又，；
，
，
解得或不合题意，舍去，即存在非零实数，使得．
【解析】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．
利用余弦定理求出的长即得；
时，、分别是，的中点，利用、分别表示出和，进而即可求出；
假设存在非零实数，使得，利用、分别表示出和，求出时的值即可．
试卷第1页，共3页科技中学2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试卷
考试时间120分钟 满分150分
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1. 已知，则( )
A． B． C． D．
2. 已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3. 下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4. 为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
5. 已知单位向量满足，则向量的夹角为( )
A. B. C. D.
6. 已知，，，，且，则( )
A. B. C. D.
7. 如图，已知两个模都为的向量，，它们的夹角为，点在以为圆心，为半径的弧上运动，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 为内一点，且，，若，，三点共线，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知向量，则( )
A. B.
C. 向量与向量的夹角为锐角 D. 是与向量同方向的单位向量
10. 对于，有如下判断，其中正确的判断是( )
A. 在非等腰中，满足，则为钝角三角形；
B. 若，，，则符合条件的有两个；
C. 若，则为锐角三角形；
D. 若的面积，，则的最大值为．
11. 已知函数，，则( )
A. 与均在单调递增 B. 的图象可由的图象平移得到
C. 函数的最大值为 D.图象的对称轴均为图象的对 称轴
12. 如图所示，在凸四边形中，对边，的延长线交于点，对边，的延长线交于点，若，则( )
A. B.
C. 的最大值为 D.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 向量，，且，则____
14. 在边长为1的正三角形ABC中，D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则·等于________
15.函数的图象如图所示.
则函数的解析式为
在中，，若为外接圆的圆心，则的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题已知平面向量，．
若，求的值；
若，求．
18. 本小题分如图，在长方形中，为边的中点，为边上一点，且 设，．
试用基底表示，
若，求证：，，三点共线．
19. 本小题分如图，在平面四边形中，，，，.
(1)若，求的值；
(2)求四边形面积的最大值.
20 本小题分已知函数．
(1)若，且，求；
(2)若对，恒成立，求实数k的取值范围．
21. 本小题分为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知，，，.
(1)若时，求护栏的长度（△MNC的周长）；
(2)当为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？
22. 本小题分在中，已知，，．
求；
已知点是上一点，满足，点是边上一点，满足．
当时，求；
是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
