5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
第五章 函数应用
5.1.1 利用函数性质判断方程解的存在性
1.理解求方程的实数解就是求函数的零点，体会函数的作用．
2.通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养．
理解零点存在定理．
理解零点存在定理的条件．
在初中，我们已经学习了用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况，能否换一种方法，从函数的角度研究如何判定一元二次方程实数根的存在性呢？
如何从函数的角度判定方程实数根的存在性呢？
观察函数的图象，
由于函数的图象是连续的曲线，因此点与点之间的那部分曲线必然穿过轴，即在区间内必有一点，使；
同理，在区间内也必有一点，使．
因此，方程有两个不相等的实数根．
抛物线
开口向上
定义
使得的数称为方程的解，也称为函数的零点．
的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标．
在函数零点的定义中，蕴含着哪些等价关系？
函数有零点
函数的图象与轴有公共点
方程有实数解



函数的零点是点吗？
函数的零点是数，不是点．
如图，观察函数，零点所在区间，以及这一区间内函数图象与轴的关系，你能用，的取值刻画这种关系吗？
在区间内有零点，
它是方程的一个根．
图象连续不断
穿过轴
在区间内有零点，
它是方程的一个根．
在内有零点，
它是方程的另一个根．
图象连续不断
穿过轴
你能概括上面两种情况的共性吗？
在包含零点的某区间内，函数的图象“穿过”轴，
零点两侧的函数值符号相反，即．
如果函数在区间上满足，是否一定能得到函数在区间内存在零点？为什么？
不一定．
如，，，，
但是该函数在内没有零点．因为函数的图象是断开的，虽然函数值从负变到正，但图象却没有“穿过”轴．
x
y
O
除了函数在区间上满足，根据前面的讨论，追加什么条件就能保证函数在区间内存在零点？
函数的图象在给定区间上的图象连续不断．
零点存在定理 若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即，则在开区间内，函数至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解．
如果满足零点存在定理的条件，那么方程在区间内只有一个解吗？
不一定．
如：，，
但是该函数在区间内有三个零点，和．
即方程在区间内有三个解，
x
y
–1
1
2
3
4
–1
–2
1
2
O
运用零点存在定理只能判断方程解的存在性，对于解的具体个数，还要结合函数的单调性等性质对函数做进一步研究．
若，则方程在区间内一定没有解吗？
x
y
O
但方程在区间内有个解．
x
y
–1
–2
1
2
1
2
3
4
O
在区间上，
，
所以．
但方程在区间内有零点．
即是方程在区间内有解的充分条件而非必要条件．
若函数在闭区间上图象连续，则
方程在区间内有解
不一定
方程在区间内有没有解？为什么？
解：设函数，在区间上有
，．
又因为函数的图象是一条连续的曲线，所以由零点存在定理可知方程在区间内有解，即在区间内有解，
故方程在区间内有解．
方程在区间内有没有解．
函数在区间内有没有零点．
判定方程有两个不相等的实数根，且一个根大于，另一个根小于．
解：设函数，显然有．
画出函数的图象，如图：
观察得，，．
在区间，内分别应用零点存在定理，可知在区间，内，一元二次方程各有一个实数根．
所以方程有两个不相等的实数根，且一个根大于，另一个根小于．
构造函数，在小于，大于的范围内各取一个区间，分别运用零点存在定理即可．
求证：对于任意一条封闭的曲线，都存在外切正方形．
证明：记封闭曲线为，在初始时刻的外切四边形为矩形，
它的边长分别为和．若，则结论成立；若，不妨设．
现在，保持不动，逆时针转动矩形，转动过程中始终保持它与外切，设转动角为，则与边长之差可以看成在上的连续函数，
且，．
由函数的零点存在定理可知，一定存在，使．
这时，，封闭曲线的外切矩形是正方形．
已知函数的图像是连续不断的，有如下，的对应值表：
B
解：由已知数表可知：，，，
故函数在，，上分别存在零点，故至少有个零点．选B．
则函数在区间上的零点至少有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
函数的零点所在的大致区间是( )
A． B． C．和 D．
B
解：∵，，∴在内无零点，错；
∵，∴，∴在内有零点．选．
又在上单调递增，故如果有零点，只能是一个零点。
结合前面的分析， 在内有零点，故错误；
函数零点的个数是________．
1
解：因为，；所以，
又的图像在上是不间断的，所以在上必有零点．
又在上是递增的，
所以零点只有个．
判断函数零点个数的方法：
方程法
判断方程的解的个数
定理法
若函数在某区间上单调且满足零点存在定理，则在该区间内只有个零点
图象法
求的零点，借助函数图象转化为求的交点
课堂小结
函数有零点
函数的图象与轴有公共点
方程有实数解



在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数图像在区间上是连续的；(2)在区间内，函数至少存在一个零点；(3)定理不可逆．
函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
教材第130页练习第1～3题．