三角形复习[下学期]

第五章 三角形复习
[知识梳理]
1．知识结构与要点归纳
（1）三角形三条边之间具有什么关系？怎样把握？
三角形三条边之间有重要关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边．掌握和灵活运用这个关系可以解决与之相关的许多问题．注意已知三角形的两边长求第三边的取值范围时，一定要同时考虑第三边大于另两边之差，小于另两边之和．在解决等腰三角形有关的计算问题时，题目常常不明确指出某条线段是底边还是腰，往往导致多种情况出现，这时应注意运用分类讨论的方法．
(2)怎样认识三角形的三个内角之间的关系？
“三角形三个内角和等于180°”，是三角形中角与角之间的一个重要关系，利用这个关系可知①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角和，三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角；③一个三角形中最多只有一个直角或钝角．因此，三角形按角的大小分类可以分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，三角形三个内角之间的关系有着广泛的应用．在解决和三角形有关的问题时，内角和等于180°，是一个非常重要的等量关系，我们常利用它来得到和角有关的等式方程组，从而可把和三角形有关的几何问题转化为方程或方程组的代数问题来解决．
（3）三角形的角平分线、中线和高线有什么区别？
三角形的角平分线、中线和高线都是三角形中的重要线段．每个三角形都有三条角平分线三条中线，它们之间的相同点：①都是线段；②都是从顶点画出；③都能交于一点．
不同点：①角平分线平分内角，中线平分边，高垂直于边；②三角形的角平分线和中线都是在三角形的内部，直角三角形有两条高都在边上，钝角三角形有两条高在三角形的外部，另外不等边三角形的中线、角平分线和高总条数共有9条；等腰三角形的这三种线段总条数为7条；等边三角形的这种三种线段的总数为3条．
（4）怎样认识三角形全等的条件和特征？
一般三角形全等的条件共有四种①SAS②ASA③AAS④SSS．即要使两个三角形全等必须具备三组元素（边或角）对应相等，其中至少有一条对应边相等，若有两条边和一个角对应相等，这两条边必须是对应角的两条夹边，“AAA”和“SSA”是不行的．如图（1）
BC∥，△ABC与中，
，，符合条件
“AAA”显然与不全等．
如图(2)AC=AC′,△ABC与△ABC′中，有AB=AB，
AC=AC′∠B=∠B′符合条件“SSA”但△ABC与△ABC′不全等．
探索两个直角三角形全等是，除了运用条件“SAS”、“ASA”、“AAS”和“SSS”外，还可运用条件“HL”，这是探索两直角三角形全等的重要方法．
在探索三角形全等的解题过程中，要善于结合图形对已知条件进行
分析，理清“已知”与“可知”、“可知”与“需知”的关系．
两个三角形全等后，便具有两个特征：①对应边相等；②对应角相等．
综合运用三角形全等的条件和特征可以解决许多问题．
（5）怎样认识全等三角形与图形变换？
从两个全等三角形的不同位置关系可以看出其中一个是由另一个经过下列运动变换形成的：
1 翻折：如图5－2，△ABC≌△DBC，△DBC可以看成
由△ABC沿BC向下翻折180°后而得．
2 平移：如图5－3,△DEF可看成△ABC沿BC方向平行移
动而得．
3 旋转：如图5－4,△EDC可以看作△ABC绕点C旋转而得．
有些全等三角形则可以看成有上述三种运动变换综合作用的结果．
（6）怎样判断两个三角形相似？
判断两个三角形相似的方法主要有：
①两角对应相等的两个三角形相似；
②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；
③三边对应成比例的两个三角形相似．
如图5－5是几个重要的相似三角形的基本图形．
如图（1）在△ABC中DE∥BC，则有△ADE∽△ABC；
如图（2）若AB∥CD，则有△ABO∽△DCO
如图（3）在△ABC中，若∠BAC=90°，AD⊥BC，则有△ABD∽△CAD∽△CBA．
在解题时经常会遇到上述三种图形，一些复杂的图形则是由上述三种图形组合而成，只要我们能灵活运用这三种基本图形能很快地解决许多问题．另外在判断三角形相似时，重视公共角、对顶角的运用，会给解题带来很多方便．
（7）相似三角形具有哪些性质？
两三角形相似除了具有对应边成比例、对应角相等外，还有以下性质：
相似三角形对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
相似三角形周长的比等于相似比．
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
运用相似三角形可以解决许多实际问题．
（8）怎样理解相似变换和位似图形？
相似与对称、平移、旋转等变换一样，也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形放大或缩小而保持形状不变．
如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形．该交点叫做位似中心，可见：位似是特殊的相似，其相似比又叫做位似比．
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，利用位似变换可以轻易地将图形放大或缩小．
我们也常根据所给的坐标来确定物体的位置或画出图形，感受图形变换后点的坐标的变化,用坐标的方法研究图形的运动变换．
（9）怎样把握等腰三角形？
①等腰三角形的分类：可分为一般等腰三角形（腰和底不等）和特殊的等腰三角形（三边都相等的等腰三角形）即等边三角形．
另外顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．
②等腰直角三角形的性质及其两个推论．
性质：等腰三角形的两个底角相等．
推论1：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边．
推论2：等边三角形的各个内角都相等，即每个内角都等于60°．
另外，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线，底边上的中线或底边上的高所在的直线．
③等腰三角形的判定：一是根据定义判定，即看它是否有两边相等；二是运用“等角对等边”．
（10）证明三角形有关结论的原始依据是哪几个公理，通过探索、猜测和证明得到哪些常用的定理？
证明三角形有关结论的依据是以下几条公理：
①三边对应相等的两个三角形全等．
②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
④全等三角形的对应边相等、对应角相等．
另外还证明下面推论：两角和其中其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．
根据以上公理通过探索，猜测和证明得到以下定理：
①与等腰三角形有关的结论：
等腰三角形的判定定理（“等角对等边”）．
等腰三角形的性质定理（“等边对等角”）．
等腰三角形的的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（“等腰三角形的三线合一”）．
②与直角三角形有关的结论：斜边、直角边定理（“H·L”）．
勾股定理及逆定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．
直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角三角形的直角边等于斜边的一半．
③与一般三角形有关的结论：
三角形内角和定理（三角形三个内角和等于180°）．
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
三角形中位线定理（三角形的中位线平行于的三边，并且等于第三边的一半）．
④与角的平分线有关的结论：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
三角形三条角平分线交于一点，这一点称为三角形的内心．
⑤与线段的垂直平分线有关的结论：
线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．
到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
三角形三边垂直平分线交于一点，这一点是三角形的外心．
（11）尺规作图有哪些基本作图？求作三角形的关键是什么？
尺规作图有以下几种基本作图：
①作一条线段等于已知线段；
②作一个等于已知角；
③作一个已知角的平分线；
④经过一定作已知直线的垂线；
⑤作已知线段的垂直平分线
这五种基本作图时作较复杂图形的基础，较复杂的几何作图题，通过分析，通常可以分解为这五种基本作图来进行．
求作三角形关键是，确定三角形的顶点，而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形．
一般的几何作图题，初中阶段只要求写出已知、求作、作法三个步骤，完成作图时，需要注意作图痕迹的保留，作法中作图语句的规范和最后的作图结论．
2．中考考点研究
本章涉及七年级（下）第五章三角形、八年级（下）第六章证明（一）部分内容，九年级（上）第一章证明（二）、八年级（下）第四章相似图形部分内容、八年级（上）第一章勾股定理的主要内容．
三角形是简单的多边形，在生活中随处可见，它不仅是研究其它图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用．因此三角形在中考中的地位是非常突出的．今后的命题也不会有更大的变化，但在命题的格调上将更加突出情景的创新．
三角形的相似与全等以及和三角形有关的重要定理，是中考的重要内容之一，近几年中考中，填空、选择、计算、证明等题型中经常出现这一内容，并且经常和函数及圆的知识综合考查．题型以应用、开放探索居多，例如对于三角形的内角和定理常作为等量关系列方程借助于计算进行，而且对于三边关系定理，常应用于它进行判断所求的边长是否符合要求．
对于全等三角形的判定和性质的考查，常会遇到去识别两个三角形全等或通过识别两个三角形全等来进一步解决问题的题型．
对于特殊三角形的判定和性质，除等腰三角形外还有等边三角形、等腰直角三角形等知识点，在中考中显得非常之“热”，尤其是和变换等知识结合起来考查，在很多地市中考试卷中均有所体现．
对于相似三角形，一是以平行线分线段成比例为背景；设计计算证明题，考查灵活运用知识能力；二是以相似三角形“对应”为背景设计分类讨论题等；三是考查相似三角形性质的应用，证明比例式、等积式或计算的大题出现；四是运用相似三角形的有关定理和性质解决实际问题，是中考的热点试题；五是与其它图形结合，设计阅读理解、探索规律等开放型试题．
另外，以公理为出发点，通过逻辑推理，拓展数学知识，是使数学得以发展的一个重要方法，掌握这种方法，应是数学学习的一项重要任务，所以中考中必然要将对学生推理论证的能力考查放在一个突出的位置．但是由于目前《课程标准》降低了对几何证明的要求，所以复习备考时，应依据《 数学课程标准》和教材的要求，既要重视对证明的复习训练，又要注意把握证明的难度，避免过分追求证明的技巧性,应将对数学结论的探索及证明融为一体进行复习，努力感受合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系，提高各种推理能力．
总之，三角形有关的重要定理，三角形的全等与相似、特殊三角形的判定与性质以及和变换．函数、圆等知识的综合应用一直是中考的热点，所以复习备考时注意从以下几方面引起足够的重视：
（1）要注意强化基本知识的巩固和基本技能的训练，熟练掌握三角形有关概念有关重要定理和基本的尺规作图，清晰的区分出全等三角形、相似三角形、特殊三角形的判定和性质．
（2）要注意抓住应用，根据中考重视在数学在数学活动中考查本章基础知识与技能的掌握程度以及与生活实际的联系．应注意积极参与观察、探索等数学活动，联系实际，在知识的综合应用上下功夫．
（3）要注意在复习中，把动手操作与简单推理有机结合，并在推理过程中勤于动手和观察，在操作过程中加强探索．
第二节
[解题指导]
例1．AD、AF分别是△ABC的高和角平分线，已知∠B=36°，
∠C=76°，则∠DAF= 度．
[分析]本题主要考查对三角形主要线段的理解及运用三角形有关知识探求角的大小能力．思路有两条，其一：由于∠DAF=∠CAF—∠CAD，∴需先求∠CAF和∠CAD的大小；其二：AD是△ABC的高，∴∠DAF=90°—∠AFD，故需先求∠AFD，下面便是思路二的解．
∵∠B=36°，∠C=76°，∴∠BAC=180°—(36°+76°)=68°．
∵AF是△ABC的角平分线，∴∠BAF=34°，∴∠AFD=∠B+∠BAF=70°，
∵AD是△ABC的高，∴∠DAF=90°—∠AFD=90°—70°=20°．
[点评]解答本题常见错误是不能综合运用三角形的高和角平分线的概念、内角和定理及其推论等有关知识，从而找不到所求角与已知角之间的关系．
(1)在解决“空间与图形”问题时，寻求角与角之间的关系常为解题关键，而在这种关系中较难发现的是三角形的内、外角关系，广是面对错综复杂的图形不易觉察到它，二是不易断定它．要判断一个角是不是某三角形的外角，必须紧紧抓住外角的概念，即这个角的一边必须是三角形的一边，另一边是三角形另一边的反向延长线．
(2)做题时要善于从图形中看出几何元素的多重身份，如∠AFD，它既是Rt△AFD的内角，又是△ABF的外角；再如∠DAF，它既是Rt△AFD的内角，又是△CAF与△CAD的差角．解题中从不同角度观察，不但会发现题目中的隐含关系，而且解题的思路会更加广阔．
例2．如图5－7，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一条
直线上，有下面四个推断：
(1)AD=BC，(2)AE=CF，(3)∠B=∠D，(4)AD∥BC．
请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论，编一道数学问题,并写解答过程．
[分析]本题考查学生的推断能力．先要弄清题意，题目给出四个推断，按要求我们可以从中取出三个作为条件，余下的一个作为结论．一般说来，证明相等关系较之证明平行关系容易些，所以可将前三个推断中的一个作为结论．但关键是要考虑能否由条件推出结论．
[解答]已知：AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．
求证：AD=BC
证明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．
∵AD∥BC，∴∠A=∠C．又∵∠B=∠D，∴△ADF≌△CBE，∴AD=BC．
[点评]解答本题常见错误是直接选取前三个推断作为条件，这时在△ADF和△CBE中，有两边及其一边的对角相等，仍不能判定这两个三角形全等，然而却有给出全等判定的．
在今后的中考中，需大篇幅证明的试题将会少见，主要考查是否能正确掌握有关的知识与技能．在解答关于三角形全等的问题中，应注意以下几点：
(1)在判定三角形全等的三个对应元素中，至少有一个元素是边．
(2)在判定两个三角形全等时，应注意知识运用的准确性，如"ASA"中，这个角必须是夹角，否则就不能判定两个三角形全等了．
(3)要特别注意“对应”两字的含义．
(4)寻找两个三角形全等的条件时，要关注题目中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等．
例3．在如图5－8的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，
点A、B是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点)，在这个5×5的方格
纸中，找出格点C，使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格
点C的个数是( )个，
(A)5 (B)4 (C)3 (D)2
[分析]本题考查学生在方格 中，灵活运用相关知识分析问题解决问题的能力．当格点三角形(即三个顶点均为格点的三角形)至少有一条边在方格纸的横(竖)线上时，这条边长和这条边上的高均为整数．∵或，
∴可据此找出C点，但是这样找出的C点完全吗
∵∴图5－9中的点C1、C2、C3是满足条件的点；
∵∴图5－9中的点C4是满足条件的点；作直线
C2C3，它经过格点C5，
∵△ABC2和△ABC5等底等高，
∴C5也满足条件．故本题应选(A)．
[点评]解答本题常见错误，考虑问题不缜密，找不全满足条件的格点C；其二是，寻求的依据只有一条，就是面积公式，而忽略了“等底等高的两个三角形的面积相等”，不知可过已找出的点作AB的平行线．
近几年，关于以格点为顶点的多边形面积问题经常出现于中考中．这样的问题也有两类，其一：如本例那样，在方格纸上找出面积为已知的图形(尤其是格点三角形)，而且本例也展示出解决这类问题的两条依据；其二：计算方格纸中的多边形的面积，计算时，常常要将多边形的面积计算转化成至少有一条边在方格纸的横(竖)线上的格点三角形的面积计算
[拓广]计算如图5－10中的四边形ABDC的面积时，得：
S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=1+2=3；而计算如图5－11中的四边
形ABCD的面积与以上计算就有所不同，过程如下：
S四边形ABCD=S四边形EFCH—S△ABE—S△BCF—S△ADH=9—1——1=，
想—想，两者为什么不同
再如：如图5－12在方格纸中（4×4），存在格点△ABC，
且AB、BC、AC三边之比为：2 ：，请在图中画
出一个与△ABC相似但不全等的格点△A1B1C1，并加以分析．
[分析]设小正方形的边长为1，则由已知的AB=，BC=2，AC=故三边之比为
：2 ：=1：：=2：：，由1：：可画出如图所示的
△A1B1C1由2：：也可画出如图所示的△A2B2C2等等．
如图5－13 在大小为（4×4）的正方形方格中，△ABC
的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个
△ A1B1C 1使△A1B1C 1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、
△ B1、C1都在单位正方形的顶点上．
[分析]本题由于题设条件和结论都有着很大的灵活性，不同条件有着不同的结论，故满足题意的三角形如图所示:△A1B1C 1∽△IJA∽△HGA∽△ABC．
例4．如图5—14，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的
平分线，则：的值为( ) ．
(A) (B) (C)1 (D)，
[分析]本题考查了运用相似三角形的判别与性质进行推理和计算的能力，要求两条线段之比，一般需利用相似三角形．所以应考虑这里是否有相似三角形 相似三角形的对应边是否是AD和AC 如果不是，应怎么办 是否能通过对应边的比直接求出AD和AC的比 如果不能，又应怎么办
[解答]由已知，得∠CBD=∠A=36°，又∵∠ACB=∠BCD，∴△BDC∽△ABC．
∴． ① ∵∠ABD=∠A=36°，∴AD=BD，又∵∠BDC=∠C=72°，
∴BD=BC， ∴AD=BC． ②
由①、②，得： ③
设： =，由③得光解得= (舍去)．∴应选(B)．
[点评]解答本题的常见错误是没有思路，不知道用相似三角形；或不能进行等量代换，导致完全不会解答．也可能有计算错误，误选为(C)
（1）本例所采用的是直接进行推理、计算的解法，可以看出它的过程比较复杂．其实，选择题的解法有多种，比如特例法、验证法、排除法、图示法等．
该题可采用排除法：
AD(2)一般地，求两条线段的比或证明比例式常要用到相似三角形．但是也会遇到，所要求的比或比例式中的某些线段，不是题目中相似三角形的对应边，处理这种情况时，可根据问题选用以下两个方法：
其一是等量代换法，即用所要求的比或比例式中的某条线段去代换相似三角形中与之相等的边．例如，在本例中用线段AD代换，△BDC的边BC．
其二是等比代换法，即欲求，当知时，可去求的值；欲求，当证得时，可去证．
例5．如图5—15，在直角坐标系中，△CMN是等边三角形，且OM=ON=1，OA=2，P是x轴正半轴上的一点，当点P在x轴正半轴上移动时，是否存在这样的一点P，使△ACM与以C、N、P为顶点的三角形相似 若存在，请确定点 P的位置并画出△CNP，且给予证明；若不存在，请说明理由．
[分析]∵∠CMA是钝角，∴假设存在符合要求的点P的话，点P一定在射线Nx上，显然，CN=CM，由此可知∠CMA=∠CNP．所以，如果使△ACM与以C、N、P为顶点的三角形相似，那么∠CMA与∠CNP必为对应角，而CA与CP是另一组对应边．余下的几条边是如何对应的呢 这是解题思路的起点．
[解答]存在这样的点P，使△ACM与以C、N、P为顶点的三角形相似．
(1)当CN与CM是一组对应边时，NP与AM是另一组对应边．
∴CN ：CM=l，∴两个三角形应全等．
由题意，易得AM=1，．∴NP=1，由此可知点P(图中记为P3)的坐标是(2，0)．这时，△ACM≌△P1CN(证明略)．
(2)当CN与AM是一组对应边时，，NP与CM是另一组对应边．
∵△CMN是等边三角形，∴CN=CM=MN=2．∴CN ：AM=2 ：1，∴NP=2CM=4．
∵点P(图中记为P2)的坐标是(5，0)．这时，△ACM∽CP2N(证明略)．
[点评]本题考查了运用三角形相似的条件,进行探索和推理的能力及分类讨论的能力.解答本题常见错误是没有预见到对相似三角形对应边的不同情况进行讨论，只给出一种解答，特别是忽略了三角形全等的情况，甚至不知“全等”是“相似”的一种特例．
本例属于一道“讨论题”，然而我们所遇到的试题并未有明确它是否需要“讨论”，所以复习中需要解决的是，遇到什么样的题目需要进行讨论 怎样进行讨论
一般地，遇有不确定因素的问题时，解答中常需讨论．所谓不确定因素包括字母的取值不确定、图形的大小或位置不确定、图形与图形之间的关系不确定等等．本例就属于两个相似三角形的边(或角)的对应关系不确定，所以解答时需要讨论．
讨论时，首先要明确题目中不确定因素的所有可能情况，然后才能针对这些情况进行讨论．例如，在本例中，因为CA与CP的对应关系已经确定，所以只剩下两种对应关系，即CN与CM（同时NP与AM）对应，或CN与AM（同时NP与CM）对应．但是，在区分不同情况时，一定要有一个固定不变的标准．例如，在本例中，我们是以确定CN的对应边为主进行讨论的，否则对于讨论情况的划分可能会有重复或遗漏．
例6．如图5—16，在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D=70°，∠E=30°
画直线和m，使直线将△ABC分为两个小三角形，直线m将△DEF分为
两个小三角形：并使△ABC分成的两个小三角形与△DEF分成的两个小三角
形分别相似(只要画出一种方法，需标出每个小三角形内角的度数．画图工具
不限，不要求写画法)．
[分析]本题突出了数学活动过程的考查,并考查了学生运用数学知识进行数学思考创新的能力及动手操作能力，首先应计算出∠C=60°、∠F=80°，然后确定分割方法．
分割一个三角形有两种方式：一种是用不经过三角形顶点的直线去分割，另一种所用的直线经过三角形的顶点．由于前一种分割将三角形分成了一个三角形和—个四边形，它不符合题意，因而分割方式只能是后一种．
当过三角形一个角的顶点作直线进行分割时，其他两个角的度数不变．例如，过∠B的直线将该角分成α和β两个角(如图5—17①)，但∠A与∠C仍为原来的70°和60°．这时，若使直线m将△DEF分成的两个小三角形与直线将△ABC分成的两个小三角形相似，直线m只能过点F，且将∠F分成一个60°角和一个80°－60°=20°角，60°的角只能在直线m的下方(如图5—17②)．回过头来再看，图①中的角α和β的大小就很清楚了，一定为α=30°，β=20°．以上便是第一种分割方法，同理可以得到第二种分割方法(如图5—17所示)，然而只能是这两种，因为直线和m都不能过70°角的顶点(为什么 )．
[解答]画法只有以下两种，如图5—17和5—18所示：
[点评]解答本题常见错误是思考与创新能力不足，不能依据“相似”的要求，有步骤地进行分析，以至于无从着手解答；有的根本不理解题意和解答要求，随意乱画．像本例这样的“设计图案”型的试题，常常是开放式的，结果可以有多种，通常只要求给出一种符合要求的图案即可．因为这类题在表述上不像我们所熟悉的作图题和解答题，所以设计前应认真审题，明确是在什么条件下进行设计 设计什么 对于所要设计的图案需达到什么要求 还要确定进行设计的理
论根据．答题前，最好先在试卷外画出草图，有时还需对草图进行多次修改，认为它符合设计要求后，再正式画在试卷上．
例7．如图5－19在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，
给出5个论断：①CD⊥AB，②BE⊥AC，③AE=CE，④∠ABE=30°，
⑤CD=BE．
（1）如果论断①、②、③、④都成立，那么论断⑤一定成立吗？
（2）从论断①、②、③、④选取3个作为条件，将论断作为结论做成一个真命题，那么你选的3个论断是 ；（只需填论断的序号）
用中你选的3个论断作为条件，论断作为结论组成一道证明题，画出图形，写出已知、求证并加以证明．
[分析]本题立意新颖，灵活的考查了学生的推理意识和思维能力，可采取分析综合法，从结论和条件同时，进行推理，另外，见中点常做的辅助线是平行线，
[解答]（1）一定成立．
（2）①、③、④．
（3）已知：如图5－20,在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，
CD⊥AB，AE=CE，∠ABE=30°．求证CD=BE．
证明：作EF∥CD交AB与点F，△AEF∽△ACD．∵AE=CE，∴AF=FD，∴CD=2EF，∵CD⊥AB，EF⊥AB．在Rt△EFB中，∠EFB=90°，∠EBF=30°．
BE=2EF，CD=BE．
[点评]解答本题常犯的错误就是逻辑思维混乱，选不准能使结论成立的条件，或者是不能明确的表达出证明的过程．
本题是体现新课程理念的一道设计独特的题，它实质上是从等边三角形及其两条高中写出5个论断，然后加以组合来研究新的命题，所以解答本题一定要认真分析，分清条件和结论，然后组成一个或多个新命题，并加以推理和判断．
例8．已知：如图5—21，等边三角形ABC的边长为6，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=2．若点F从点B开始以每秒l个单位长的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒,当t >0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．
(1)设△EGA的面积为S，写出S与t的函数关系式；
(2)当t为何值时，AB⊥GH；
(3)请你证明△GFH的面积为定值；
(4)当t为何值时，点F和点C为线段BH的三等分点．
[分析] 本题考查学生综合运用有关知识分析问题解决问题的能力．
（1）要将△EGA的面积S用BF的长t表示出来，须先将这个三角形的一个边及这边上的高用t表示，那么究竟哪条边可用t表示 这就需从已知条件分析了．首先看到△EGA中有与BF平行的边GA，这就为我们应用相似三角形的有关知识创造了条件．
（2）认真观察图形，从整体中找出易于推出AB⊥GH的部分图形，如四边形AGDE．
（3）因为△GFH夹在两平行线之间，所以它的高是定值，从而只要证明它的底FH是定值就行了．证明中，仍然需抓住题目中诸多的平行关系，充分利用相似三角形的有关知识．
（4）由点F和点C为线段BH的三等分点出发，确定t的值．
解答第(3)和(4)题时，务必注意F在射线BC上的不同位置所引起的变化．
[解答]（1）∵GA∥BF，∴△ADG∽△BDF，．
∵AB=6，AD=2，∴DB=4，又∵BF=t，∴．
作EK⊥AG于K．
∠BCA=60°，∴∠EAK=60°，∴∠AEK=30°，
∴
∵AE=2，∴AK=1，∴EK=． ∴
（2）t=4时，AB⊥GH．证明如下：
∵t =4时，AG=∴AG=AE=2，∴∠AGE=∠AEG．
∵AG∥DE，∴∠DEC=∠AGE=∠AEG，即EG平分∠AED．
∵AD=AE，∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AB⊥GH．
（3）∵△ADG∽△BDF，．
∴△AGE∽△CHE，∴．
①当点F与点C重合时，显然BD=FH；
②当点F在BC边上时，BC=BF+FC=CH+FC=FH；
当点F在BC的延长线上时(如图5—12)，BC=BF—FC=CH—FC=FH．
综上所述，底边FH的长始终不变(等于BC的长)．
∵AG∥BH，∵△GFH的高始终不变(等于△ABC的高)．
∴△GFH的面积为定值．
（4）当t=3或12时，点F和点C为线段BH三等分点．证明如下：
①当t =3时，BF=3②当t=12时，BF=12>BC=6，∴点F在BC的延长线上(如图5—22)，显然BF=FC=6．
∵BF=CH，∴t=3或12时都有BC=FC=FH，即点F和点C为线段BH的三等分点．
[点评] 本试题是中考压卷题，含有动点，又是多问，还需探索，面对这种试题多数学生会产生不小的心理压力，这种压力严重地阻碍了思路的形成．另外，还会有许多学生可能忽略点F在射线上运动，从而没有进行必要的讨论．
另外,（1）本例第（2）和（4）小题属于一类探索题，其设问形式通常是“当x…时，y成立”，它要求解答者探索使成立的．探索常用的方法为“逆推法”，即首先假设成立，将其作为已知去推求．如本例第（2）题的探索过程是：
如图5—21，假设AB⊥HG．
由AD=AE，∠DAE=60°，可知△ADE是等边三角形，∴∠AEG=∠DEG．
∵AG∥DE，∴∠AGE=∠DEG=∠AEG． AG=AE=2，即．
当然，证明时需将上述探索过程反过来．
（2）本例中含有动点，随着点的运动，部分图形一定会有所改变．因此，在解答第（3）、（4）小题时，需要分情况进行讨论．一般地，在解答含有动点、动线或运动的其他图形的问题时，可能需要分类讨论．
（3）本例第（3）小题中，在证明BF=CH时，所用到的知识是相似三角形的判定与性质．这里提供了一个证明线段相等的方法：欲证线段=，可证．
方法
图⑴
图⑵
图5－1
图5－2
图5－3
图5－5
⑴
⑶
⑵
图5－6
图5－7
图5－8
·
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C4
C1
A
B
C2
C3
C5
图5—9
A
C
B
D
图5—10
图5－11
C1
A2
B2
C2
图5—12
C
B
A
A1
B1
图5－13
图5－14
图5－15
图5－16
图5－18
图5－17
图5－19
图5－20
图5－21
A
B
C
F
H
D
E
G
图5－22