1.3一元二次方程的根与系数的关系 课件（28张PPT）

(共28张PPT)
第1章 一元二次方程
1.3 一元二次方程的根与系数的关系
目 录
1 学习目标
2 新课导入
3 新课讲解
4 课堂小结
5 当堂小练
6 随堂检测
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点）
学习目标
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2、一元二次方程的求根公式？
( )
一元二次方程的一般形式是：
知识回顾
新课导入
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
当　　　　　时， ；
当　　　　　时， ；
当　　　　　时， ；
没有实数根
有两个相等的实数根
有两个不相等的实数根
知识回顾
填写表1
表1
探索1
新课讲解
填写表2
表2
探索2
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
归纳
你能证明该定理吗？
+
=
=
-
●
=
=
=
证明1：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则
证明2：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则
原方程可表示为
展开得
练一练
1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 – 6x – 15 = 0；
解：这里 a = 1 , b = – 6 , c = – 15 .
Δ = b2 - 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1， x2，那么
x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = – 15 .
例
（2）3x2 +7x-9 = 0；
x1 + x2 = ， x1 x2 =
解：这里 a = 3 , b = 7, c = -9.
Δ=b2 4ac = 72 – 4 × 3 × ( 9) = 157 > 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
（3） 5x – 1 = 4x2 .
解：方程可化为 4x2 – 5x +1 =0，
这里 a =4， b = – 5，c = 1.
Δ = b2 4ac =( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
x1 + x2 = ， x1 x2 = .
在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可 .
归纳
根据一元二次方程的根与系数的关系，求
下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x2－6x－15＝0 (2) 3x2＋7x－9＝0；
(3) 5x－1＝4x2.
解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
(3)方程化为4x2－5x＋1＝0，
　　　　　
练一练
设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别
为x1，x2，则有
Δ≥0且 x1x2＞0
Δ≥0且 x1x2＜0
x1+x2＞0
x1+x2＜0
x1+x2＞0
x1+x2＜0
两根同为正数
两根同为负数
两根异号且正根的绝对值大
两根异号且负根的绝对值大
结 论
知识点2 一元二次方程根与系数关系的应用
2 已知一元二次方程x2－6x＋q＝0有一个根为2，
求方程的另一个根和 q 的值．
导引：利用两根之和与积求解
例
解： 设这个方程的另一个根为m，则
∵m＋2＝6，2m＝q.
∴ m＝4， q＝8.
当q ＝8时，Δ=(-6)2-4×8=4＞0，
∴另一个根为4，q的值为8.
已知方程5x2+kx 6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
所以 x1 · x2=2x2=
即 x2=
由于x1+x2=2+ =
得 k= 7.
答：方程的另一个根是 ，k= 7.
练一练
课堂小结
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则
若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则
x1+x2= -p, x1x2=q.
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根与系数的关系 数学语言
文字语言 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
使用条件 1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为 0；
2.方程有实数根，即 Δ≥0.
重要结论 1.若一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=-p，x1x2=q.
2.以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方程是
x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
1．若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为(　　)
A．－2 B．2
C．4 D．－3
A
B
B
当堂小练
4.已知方程 3x2 19x + m=0的一个根是1，求它的另一 个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中 3 19 + m = 0.
解得 m = 16，
设另一个根为x1，则：
1 × x1 =
∴x1 =
5.已知x1, x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4；
(1)求k的值； (2)求(x1 x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系得
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
解得 k= 7.
(2)因为k= 7,所以
则：
C
-5
1
随堂检测
-6
B
3
B
2