河北省保定市唐县第一高级中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题（含答案）

唐县第一高级中学2022-2023学年高一下学期5月月考
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，且，则=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在和中，若，，则（ ）
A．与均是锐角三角形
B．与均是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
4．在中，，，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为γ．想在山高的处的山腰建立一个亭子，则此山腰高为（ ）
A． B．C．D．
6．现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，已知，，，，，线段和交于点，则的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
8．鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧.图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图.它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2.若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则
C．若且与方向相同，则 D．恒成立
10．已知为虚数单位，复数，则以下真命题的是（ ）
A．的共轭复数为 B．的虚部为
C． D．在复平面内对应的点在第一象限
11．已知平面平面，B，D是l上两点，直线且，直线且．下列结论中，错误的有（ ）
A．若，，且，则ABCD是平行四边形
B．若M是AB中点，N是CD中点，则
C．若，，，则CD在上的射影是BD
D．直线AB，CD所成角的大小与二面角的大小相等
12．如图，在四边形中，，，，E为的中点，与相交于F，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．在上的投影向量为
C． D．若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在边长为2的正中，在方向上的投影是__________．
14．将半径为，圆心角为的扇形卷成圆锥的侧面，则圆锥的轴截面面积为_______．
15．已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______.
16．如图，直三棱柱中，⊥，，，点P在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．设向量满足，且．
（1）求与的夹角；
（2）求的大小.
18．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，在①；②.两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处），
已知，______．
(1)若，求b；
(2)求面积S的最大值．
19．已知三棱台中，
(1)求证：
(2)若二面角等于.求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知中，三边长满足．
(1)若，求三个内角中最大角的度数；
(2)若，且，求B的正弦值．
21．如图，已知平面，平面，，,为的中点．
（1）求证：//平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
22．如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，∠ACB=∠BCC1=90°，四边形ACC1A1是菱形，∠ACC1=120°.
(1)证明：A1C⊥AB1；
(2)若AC=2，求点C1到平面ABB1A1的距离.
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参考答案：
1-8．ADDCCDAD 9.ABC 10.AD 11.ABD 12.ABC
13．1
14．/
15．
16．
17．（1）设与的夹角为θ
由已知得，即，因此，
得，于是，故θ=，即与的夹角为；
（2）由．
18．(1)若选①
，则
所以，即
由，，得，
可得，所以．
若选②
，则
所以，由，得
中，由正弦定理，可得.
(2)
中，，
所以，即
解得，当且仅当取等号．
所以面积，
所以当时，面积S取得最大值.
19． （1）证明：延长、、相交于P，AC取中点M，连MB、MP，
因为，所以，故，
同理，且，
所以面，又面，.
（2）记，作于，连，由（1）得平面平面，从而平面，所以为直线与平面所成角，
又因为面，又面，面，
所以，
故为二面角的平面角，所以，
因此，记，中：，∴，∴中，.
又∵与平面所成角与与平面所成角相等，
即所求线面角的正弦值为.
20．
(1)因为满足
又
所以
设，则最大角为，
由，因为
所以；
(2)
又由，得
，所以
由，，可得
21．
（Ⅰ）取的中点，连接，如下所示：
平面，平面，∴//．
，∴四边形为平行四边形，∴//，
又∵平面,平面，∴//平面．
∵，，∴//,
又∵平面,平面,∴//平面,
又∵,∴平面//平面，
∵平面，∴//平面
(Ⅱ)以为原点，分别以为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，,，
于是有，，，
设平面的一个法向量为，则
，取，可得
设平面的一个法向量为，则
，取可得，，
∴.
所以所求的二面角的余弦值为．
22．
（1）连接，因为四边形为菱形﹐所以，
因为，，，平面，
所以平面，且平面，所以，
因为，所以，
又因为，平面，
所以平面，
又平面，所以.
（2）点C1到平面ABB1A1的距离与点C1到平面A A1B1的距离相等，即三棱锥的底面上的高，设点C1到平面ABB1A1的距离为，则，
由(1) 平面，
∴ 三棱锥的底面上的高为，
∴ ，
∵ AC=2，为等腰直角三角形，四边形ACC1A1是菱形，
∴ ，又∠ACC1=120°
∴ ，的面积，
∴ ，
由，∠ACC1=120°可得，
∵ ，，
∴ ，又，
∴ ，∴ ，
∴ 的面积，
∴ ，
∴