2023年广东省广州市数学中考预测定心卷(最后一卷)（含解析）

2023广州数学中考预测定心卷(最后一卷)
考试范围：初中 考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 我们把叫集合，其中，，叫做集合的元素集合中的元素具有确定性如必然存在，互异性如，，无序性即改变元素的顺序，集合不变若集合，我们说已知集合，集合，若，则的值是( )
A. B. C. D.
2. 若有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是( )
A. B. C. D.
3. 关于的方程的两个解为，，的两个解为，，的两个解为，，则关于的方程的两个解为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 下列运算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 已知、两点在反比例函数的图象上，下列三个命题：其中真命题个数是( )
若，则；
若，，则；
过、两点的直线与轴、轴分别交于、两点，连接、，则，
A. B. C. D.
6. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，可变四边形中，，，是上的动点不与端点重合，：：：：，为的中点，于下列结论错误的是( )
A. 与一定相似
B. 以点为圆心，长为半径作，则与可能相离
C. 的最大值是
D. 当最大时，
8. 设二次函数是常数，，已知函数的图象经过点，，，设方程的正实数根为，( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
9. 如图，中，，，是中点，是以为圆心，以为半径的圆上的动点，连接、，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线，分别交，于点，，且，与交于点下列结论中：
是等腰直角三角形；
四边形的面积为正方形面积的；
；
．
正确的有( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若一元二次方程有两个不相等的实数根和，则 ______ ．
12. 若一个四位正整数的十位数字比个位数字大，千位数字比百位数字大，则称这样的四位正整数为“尚善数”一个四位正整数是尚善数，记为的百位数字和个位数字依次组成两位数与的千位数字和十位数字依次组成两位数的和，记为的千位数字和百位数字依次组成两位数与的十位数字和个位数字依次组成的两位数的差若为一个正整数，则满足条件中的最大值是______ ．
13. “通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”，请你用这种思维方式和换元法解方程：方程的解为 ．
14. 如图，已知，，的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，第次操作，分别作和的平分线，交点为若，那等于______
15. 已知如图：正方形中，为上一点，延长至点，使，交于点，若，，则______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，且满足∽，当是等腰三角形时，点的坐标为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）
17. 解方程组：
．
．
四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
已知：如图、是平行四边形的对角线上的两点，求证：．
19. 本小题分
先化简再求值：，其中．
20. 本小题分
为落实中小学课后服务工作的要求，某校开设了四门校本课程供学生选择：合唱社团、陶艺社团、数独社团、硬笔书法，七年级共有名学生选择了课程为了解选择课程学生的学习情况，张老师从这名学生中随机抽取了名学生进行测试，将他们的成绩百分制，单位：分分成六组，绘制成频数分布直方图
分这组的数据为：、、、、、、、、，则这组数据的中位数是 分、众数是 分；
根据题中信息，可以估算七年级选择课程的学生成绩在分的人数是 人；
七年级每名学生必须选两门不同的课程，小明和小华在选课程的过程中，第一门都选了课程他俩决定随机选择第二门课程，请用列表法或树状图的方法求他俩同时选到课程或课程的概率．
21. 本小题分
长沙某城建公司共有台渣土运输车，其中甲型台，乙型台现将这台渣土运输车全部配往长株潭城际轻轨建设，两工地，其中台派往地，台派往地两工地与城建公司商定的每天的租赁价格如下：
甲型渣土车租金 乙型渣土车租金
地 元台 元台
地 元台 元台
设派往地台甲型渣土运输车，该城建公司这台渣土车一天获得的租金为元，请求出与的函数解析式．
若该城建公司这台渣土运输车一天的租金总额不低于元，说明有多少种分派方案，并将各种方案写出．
的人条件下，选择哪种方案该城建公司一天获得租金最多？最多租金是多少？请说明理由．
22. 本小题分
“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用如图，点把线段分成两部分，如果，那么称线段被点黄金分割，点为线段的黄金分割点，与的比称为黄金比，它们的比值为请完成下面的问题：
如图，，点在边上，请在边上用无刻度的直尺和圆规作出点，使得与的比为黄金比；不写作法，保留作图痕迹
如图，在中，，若，请你求出的度数．
23. 本小题分
如图，在中，，，，是的角平分线，过、、三点的圆与斜边交于点，连接．
求证：；
求的长．
24. 本小题分
如图，抛物线的顶点的坐标为，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点．
求抛物线的表达式；
已知点，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得最小，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
如图，连接，若点是线段上的一动点，过点作线段的垂线，分别与线段、抛物线相交于点、点、都在抛物线对称轴的右侧，求最大值．
25. 本小题分
证明推断：如图，在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．
求证：；
推断：的值为______ ；
类比探究：如图，在矩形中，为常数将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点试探究与之间的数量关系，并说明理由；
拓展应用：在的条件下，连接，当时，若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题可得，集合中，即，，
．
中的，
，
，
，
与都为负数，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据题干所给条件推理与排除，并通过简单计算即可．
本题考查实数的相关概念，正确理解题干所给新定义是解题关键，同时还得运用排除法进行计算．
2.【答案】
【解析】解：由题意得：，，
，，，
，
故选：．
先根据数轴上点的位置推出，，，然后化简绝对值即可得到答案．
本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的加减法计算，整式的加减计算，化简绝对值，正确根据题意得到，，是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，得的两个解为，
方程即为，
或，
解得，．
故选：．
根据题意可得：的两个解为，然后把所求的方程变形为：的形式，再根据上述规律求解即可．
本题考查了分式方程的解法，解题时要注意给出的例子中的方程与解的规律，还要注意套用例子中的规律时，要保证所求方程与例子中的方程的形式一致．
4.【答案】
【解析】解：、与不是同类项，故不能合并．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据分式的乘除运算法则、完全平方公式、积的乘方运算以及整式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查分式的乘除运算法则、完全平方公式、积的乘方运算以及整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
5.【答案】
【解析】解：把，分别代入得，，，
，
；
故是真命题；
把，分别代入得，，，
；
故是真命题；
设直线的表达式为：，
反比例函数表达式，
设，则反比例函数表达式为：，
过点、分别作轴于点，轴于点，连接、，
，，
则，，
联立直线与函数表达式并整理得：
，
则，是方程的两个根，
则有，
而中，当时，，
．
又，
．
，
，而，
≌，
，
而，
，
故正确，符合题意；
故选：．
、按照命题的定义，根据反比例函数的性质逐个验证即可；
将、的面积进行拆分，通过证明≌，进而求解．
本题考查了命题与定理，主要考查的是反比例函数的综合运用，涉及到三角形全等和韦达定理的运用，综合性强，难度较大．
6.【答案】
【解析】解：画树状图得：
共有种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有种情况，
能让两个小灯泡同时发光的概率为；
故选：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两个小灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
7.【答案】
【解析】解：：：：：，
，
是直角三角形，，
，
，
∽，
故A正确；
：：：：，
，
当点在线段上时，如图，
，且，
与相交；
当点与圆心重合时，如图，
，且，
与相切；
当点在线段上时，如图，
，且，
与相交；
综上，与相交或相切；
故B错误；
由可知，当点与圆心重合时，与相切，如图，此时的值最大，且，
故C正确；
D、当最大时，如图，
：：：：，
设，，且，
，
，
，
，
解得：，
，
即最大时，，
故正确，
错误的是，
故选：．
由：：：：可得是直角三角形，利用∽，故正确；根据点在线段上的位置，分三种情形，分别通过画图可知，与相交或相切；由可知，当点与圆心重合时，与相切，此时的值最大，从而可判断成立；设，，根据的面积可得方程，从而求出的长．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，通过点的位置进行分类讨论，判断出与的位置关系是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：二次函数关于轴对称，
点关于对称轴的对称点为，点关于对称轴的对称点为，
方程的正实数根为，
二次函数的图象与直线的右侧的交点的横坐标为，
如图，
当时，，故A、选项错误，不符合题意；
当，时，，故C选项错误，不符合题意；选项正确，符合题意；
故选：．
根据二次函数的性质可得点关于对称轴的对称点为，点关于对称轴的对称点为，再由二次函数图象与方程的关系可得二次函数的图象与直线的右侧的交点的横坐标为，再结合图象即可求解．
本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：固定，则，
点的运动轨迹为阿氏圆，
设，则，，
，，
点的运动轨迹为阿氏圆，
，
，，
当最大时，的值最小，
，
故选：．
根据阿氏圆的定义，固定，分别确定点、点的运动轨迹为阿氏圆，由此可知当最大时，的值最小，时最小，再求解即可．
本题考查直角三角形，熟练掌握阿氏圆的定义，能够确定、点的运动轨迹是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：在正方形中，，，，
，
，
，
≌，
，
是等腰直角三角形，故正确；
由全等可得四边形的面积与面积相等，
四边形的面积为正方形面积的，故正确；
当四边形是矩形时，，故不一定正确；
≌，
，
四边形为正方形，
，
，
在中，，
，故正确；
综上所述，正确的是，
故选：．
利用全等三角形的判定与性质，勾股定理逐一分析即可得出正确答案．
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是证出≌．
11.【答案】
【解析】解：根据题意得．
故答案为：．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知若，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：设的各个位数上的数字分别为：，，，，
则，，
，
，
，
为一个正整数，
为完全平方数，
，，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
故答案为：．
先根据题意列出代数式，再根据代入验证法求解．
本题考查了整式的运算，代入验证法是解题的关键．
13.【答案】，
【解析】解：，
设，则原方程化为：
，
，
解得：，，
当时，，
算术平方根具有非负性，所以此方程无解；
当时，，
方程两边平方，得，
解得：，，
经检验，都是原方程的解．
故答案为：，．
设，则原方程化为，求出的值，当时，，根据算术平方根具有非负性得出此时方程无解；当时，，求出，最后进行检验即可．
本题考查了无理方程，解一元二次方程，用换元法解方程等知识点，能正确换元是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
14.【答案】
【解析】解：如图，过作，
，
，
，，
，
；
如图，和的平分线交点为，
．
和的平分线交点为，
；
如图，和的平分线，交点为，
；
以此类推，．
当时，等于．
故答案为：．
先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，，进而得到；先根据和的平分线交点为，运用中的结论，得出；同理可得；根据和的平分线，交点为，得出；据此得到规律，最后求得的度数．
本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质，掌握两直线平行，内错角相等，作平行线构造内错角是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
由正方形中，，易证得≌，则可得，继而可证得，则可得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
16.【答案】或
【解析】解：点在矩形的内部，且是等腰三角形，
点在的垂直平分线上或在以点为圆心为半径的圆弧上；
当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，如图所示：
，，
，
∽，
四边形是矩形，点的坐标为，
点横坐标为，，，，
∽，
，即，
解得：，
点；
点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为，
过点作于，如图所示：
，
，
∽，
四边形是矩形，点的坐标为，
，，，
，
，
∽，
，即：，
解得：，，
，
点；
综上所述：点的坐标为：或；
故答案为：或．
由题意得出点在的垂直平分线上或在以点为圆心为半径的圆弧上，由此分两种情形分别求解，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、平行线的判定、勾股定理、分类讨论等知识，熟练掌握相似三角形与等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】解：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
故原方程组的解是：；
，
得：，
得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故原方程组的解是：．
【解析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是掌握解方程组的方法．
利用代入消元法进行求解即可；
利用加减消元法进行求解即可．
18.【答案】证明：、是平行四边形的对角线上的两点，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
19.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：，；
；
根据题意列树状图如下：
共有种等可能的结果数，其中他俩同时选到课程或课程的概率有种，
则他俩同时选到课程或课程的概率是．
【解析】
【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
根据中位数和众数的定义分别进行求解即可；
用总人数乘以分的人数所占的百分比即可；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出他俩同时选到课程或课程的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】
解：把这些数从小到大排列为：、、、、、、、、，
则这组数据的中位数是分，
出现了次，出现的次数最多，
众数是分；
故答案为：，；
根据题意得：
人，
答：估算七年级选择课程的学生成绩在分的人数是人；
故答案为：；
见答案．
21.【答案】解：，
；
，
解得，
三种方案，依次为，，的情况
当时，派往地甲型车台，乙型车应为台；派往地的甲型车则为，乙型车为台．
当时，派往地甲型车台，乙型车应为台；派往地的甲型车则为，乙型车为．
当时，派往地甲型车台，乙型车应为台；派往地的甲型车则为，乙型车为台．
中随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，，建议城建公司将台乙型收割机全部派往地区，台甲型收割机全部派往地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为元．
【解析】派往地甲型车台，乙型车应为台；派往地的甲型车则为，乙型车为台．可得，．
根据题意可列不等式，解出看有几种方案．
根据中得出的一次函数关系式，判断出其增减性，求出的最大值即可．
本题考查的是用一次函数解决实际问题，根据题意列出函数式以及根据题意列出不等式结合自变量的取值范围确定方案．
22.【答案】解：由题意得，，
可得，
先作线段的垂直线平分线，交线段于点，再过点作的垂线，
以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，
可得，则，
然后以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，
最后以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，
此时．
如图中，点即为所求．
在底边上截取，连接，
，，
，
，
，
，
又，
∽，
设，
，
，
，
；
【解析】先作线段的垂直线平分线，交线段于点，再过点作的垂线，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，然后以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，最后以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，此时点即为所求；
在边上截取，连接，再根据“，”分别求出与的值都是，所以∽，根据相似三角形对应角相等和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，利用三角形内角和定理列式即可求出的度数．
本题考查相似三角形的判定和性质，主要利用相似三角形对应边成比例、对应角相等，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各定理和性质并灵活运用是解题的关键．
23.【答案】解：，且为圆的圆周角已知，
为圆的直径的圆周角所对的弦为圆的直径，
直径所对的圆周角为直角，
又是的的平分线已知，
角平分线定义，
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，
在和中，
，
≌，
全等三角形的对应边相等；
为直角三角形，且，，
根据勾股定理得：，
由得到，则有，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
，又，为直角三角形，
根据勾股定理得：．
【解析】由圆的圆周角，根据的圆周角所对的弦为圆的直径得到为圆的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形为直角三角形，又是的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得，利用可证明直角三角形与全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；
由三角形为直角三角形，根据及的长，利用勾股定理求出的长，由第一问的结论，用可求出的长，再由，得到与垂直，可得三角形为直角三角形，设，用表示出，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理即可求出的长．
此题考查了圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，利用了转化的思想，本题的思路为：根据圆周角定理得出直角，利用勾股定理构造方程来求解，从而得到解决问题的目的．灵活运用圆周角定理及勾股定理是解本题的关键．
24.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
把代入得：，
，
抛物线的表达式为：
；
存在，
如图，
作关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，此时的值最小，
，
，
的解析式为：，
当时，，
；
如图，
，，
的解析式为：，
过作轴于，交于，
设，则，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
当时，有最大值．最大值为，
【解析】根据顶点式可求得抛物线的表达式；
根据轴对称的最短路径问题，作关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，此时的值最小，先求的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点；
如图，先利用待定系数法求的解析式为：，设，则，，表示，证明∽，列比例式可得的表达式，根据配方法可得当时，有最大值．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积、轴对称的最短路径问题，根据比例式列出关于的方程是解答问题的关键．
25.【答案】
【解析】证明：四边形是正方形，
，．
．
，
．
．
≌，
．
解：结论：．
理由：，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
故答案为：．
解：结论：．
理由：如图中，作于．
，
，
，，
，
∽，
，
，
四边形是矩形，
，
．
解：如图中，作交的延长线于．
，，
，
，
可以假设，，，
，，
，
，
或舍弃，
，，
：：，
，
，，
，
，，
，
∽，
，
，
，，
，
．
由正方形的性质得，所以，又知，所以，于是≌，可得．
证明四边形是平行四边形即可解决问题．
结论：如图中，作于证明：∽即可解决问题．
如图中，作交的延长线于利用相似三角形的性质求出，即可解决问题．
本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．