沪科版（八年级数学下册 19.3.1矩形 试题（2课时 含答案）

19.3.1矩形
第1课时矩形的性质
一、选择题
1．一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为16cm，则这个矩形较短边的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
2．矩形ABCD中，与AC相等的线段是（　　）
A．BA B．BC C．BD D．CD
3．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　）
A．4 B．4 C．3 D．5
4．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积是3，则矩形ABCD的面积是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
5．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的面积为（　　）
A．15 B．16 C．22 D．28
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（　　）
A．3 B． C．3 D．
7．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，则点C的坐标是（　　）
A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）
8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（　　）
A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4
9．如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB，且AB＝2，点G、H分别在AD、BC上，连接BG、DH，若四边形BHDG是菱形，则AG的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在这段时间内，线段PQ平行于AB的次数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
填空题
11．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠OAB＝65°，则∠BOC＝　 　°．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，若BE＝2，AE＝4，则AC＝　 　．
13．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若BC＝2，∠CBE＝45°，
则AB＝　 　．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BD＝4，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交BC于点E，则CE的长是　 　．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AC，垂足为点H，若∠ADH＝2∠CDH，则AD的长为 　 　．
16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝10，则DE+DF＝　 　．
17．如图，长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝18cm，E是AB的中点，点P从B点出发以3cm/s的速度沿BC向终点C运动，点Q从点C出发以acm/s的速度沿CD向终点D运动，点P、Q同时出发，并且当其中一个点到达终点时，两点同时停止运动；当△EBP与△PCQ全等时，a的值是　 　．
18．两个完全相同的长方形ABCD与长方形EFGD如图放置，点D在线段AG上，若AG＝m，CE＝n，则长方形ABCD的面积是　 　．（用m，n表示）
三、解答题
19．如图，矩形ABCD中，E、F是BC上的点，∠DAE＝∠ADF．求证：BF＝CE．
20．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E在AD上，点F在BC边上，FE平分∠DFB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若点F是BC的中点，求AE的长．
21．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BC＝4．
（1）求证：∠AOD＝120°；
（2）求AC的长．
22．如图，已知点E在矩形ABCD的边DC上，且AB＝AE＝2AD．求∠EBC的度数．
23．如图，在 ABCD中，将对角线BD分别向两个方向延长至点E、F，且BE＝DF．连接AF、CF、CE、AE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD＝4，BE＝3，∠ADB＝∠CBD＝90°，当四边形AECF是矩形时，则BD的长为　 　．
24．如图，矩形ABCD中，AB＝BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．
（1）求证：DE平分∠AEC；
（2）若AD＝，求出DG的长．
第2课时矩形的判定
一、选择题
1．已知四边形ABCD为平行四边形，要使四边形ABCD为矩形，则可增加条件为（　　）
A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD
2．如图， ABCD的对角线相交于点O，下列条件中能判定这个平行四边形是矩形的是（　　）
A．AC＝BD B．AB＝BC C．∠BAC＝∠CAD D．AC⊥BD
3．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）
A．AB＝BE B．∠ADB＝90° C．BE⊥DC D．CE⊥DE
4．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为正确的是（　　）
A．甲量得窗框两组对边分别相等
B．乙量得窗框对角线相等
C．丙量得窗框的一组邻边相等
D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下面条件能判断平行四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AO＝CO D．AB＝AD
6．如图，要使 ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　）
A．AB＝BC B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．∠1＝∠2
7．如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，若CD＝1cm，则AC等于（　　）
A． B． C．2cm D．1cm
8．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，顺次连接 ABCD各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC⊥BD；②C△ABO＝C△CBO；③∠DAO＝∠CBO；④∠DAO＝∠BAO，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（　　）
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
填空题
11．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，请你添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，你添加的条件是 　 　（填一个即可）．
12．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是　 　．（写出一种即可）
13．在四边形ABCD中，有以下四个条件：
①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．
从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形．则可以选择的条件序号是　 　．
14．已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，小明按如下步骤作图，①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA，DC，则四边形ABCD为　 　．
15．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，需要添加一个条件，使它变为矩形，你添加的条件是　 　．（不要添加任何字母和辅助线）
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止（同时点Q也停止），这段时间内，当运动时间为　 　时，P、Q、C、D四点组成矩形．
17．如图，在平行四边形ABCD中，若∠1＝∠2，则四边形ABCD是　 　．
18．如图，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点：下列结论：①EH＝EF；②当AB＝CD，EG平分∠HGF；③当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形；其中正确的结论序号是　 　．
三、解答题
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD、DE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝3，∠BAC＝30°，求DE的长．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，过点A作AE∥BC，使AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）取AB中点F，作GF⊥AB，交EB于点G，若AD＝8，BD＝4，求EG的长．
21．如图，已知点M，O，N在同一直线上，OB，OC分别是∠AOM与∠AON的平分线，AB⊥OB，AC⊥OC，垂足分别为B，C，连接BC交AO于点E．
（1）求证：四边形ACOB是矩形．
（2）猜想BC与MN的位置关系，并证明你的结论．
22．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
23．如图，在 ABCD中，E、G分别是AB、CD的中点，且AH＝CF，AH∥CF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）连接FH，HG，EF，若FH＝AD，求证：四边形EFGH是矩形．
24．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．
（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．
第1课时答案
一、选择题
C．C．B．C．D．B．A．C．A．C．
二、填空题
11．130． 12．10． 13．2． 14．5． 15．3．
16．9． 17．3或2． 18．．
三、解答题
19．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠BEA，∠ADF＝∠CFD，
又∵∠DAE＝∠ADF，
∴∠BEA＝∠CFD，
在△BEA和△CFD中，
，
∴△BEA≌△CFD（AAS），
∴BE＝CF，
∴BF＝CE．
20．解：（1）△DEF是等腰三角形，
理由如下：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∠C＝90°，
∴∠BFE＝∠DEF，
∵FE平分∠DFB，
∴∠BFE＝∠DFE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵AB＝1，BC＝2，
∴CD＝1，AD＝2，
∵点F是BC的中点，
∴FC＝＝1，
Rt△DCF中，∠C＝90°，
∴DF＝，
∴DE＝DF＝，
∴AE＝AD﹣DE＝2﹣．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∴BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠OBC＝30°，
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠AOD＝∠BOC＝120°；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝AC，即AC＝2AB，
∵AB2+BC2＝AC2，BC＝4，
解得AB＝，
∴AC＝．
22．解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵AE＝2AD，
∴∠AED＝30°，
∵DC∥AB，
∴∠EAB＝∠AED＝30°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠EAB）＝75°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣75°＝15°．
23．（1）证明：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：BE＝DF＝3，
∵∠ADB＝∠CBD＝90°，
∴AF＝＝5，
方法1：∵AD＝4，
∴BC＝4，
设OB＝x，则OE＝x+3，
∵四边形AECF是矩形，
∴OE＝OC＝x+3，
∵∠OBC＝90°，
在Rt△OBC中，
OB2+BC2＝OC2，
∴x2+42＝（x+3）2，
解得x＝，
∴OB＝，
∴BD＝．
方法2：∵四边形AECF是矩形，
∴∠FAE＝90°，
∴∠FAE＝∠ADF，
∵∠AFD＝∠EFA，
∴△FAD∽△FEA（AA），
∴＝，即＝，
解得FE＝，
∴BD＝﹣3﹣3＝．
故答案为：．
24．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥DC，∠ABC＝90°，
∵BC＝BE，
∴CE＝BC，
∵AB＝BC，
∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠AED，
∴∠AED＝∠DEC，
∴DE平分∠AEC；
（2）∵BC＝BE，∠CBE＝90°，
∴∠BCE＝∠BEC＝45°，
∵CD∥AB，
∴∠DCE＝∠BEC＝45°，
∵DF⊥CE，
∴∠CDF＝45°，
∴DF＝CF，
∴CD＝DF，
∵AB＝CD，AB＝，BC＝BE，
∴BE＝DF＝CF＝BC，
∵∠ADC＝90°，
∴∠FDG＝45°，
∴∠BEF＝∠EDF，
∵BC＝CF，∠BCF＝45°，
∴∠CBF＝∠CFB＝67.5°，
∴∠EBF＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∠DFG＝180°﹣67.5°﹣90°＝22.5°，
∴∠EBF＝∠DFG，
在△DFG和△EBF中，
∴△DFG≌△EBF（ASA），
∴DG＝EF，
∵EF＝CE﹣CF＝AB﹣BC＝，
∴DG＝2．
第2课时答案
一、选择题
B．A．C．D．A．B．B．C．A．D．
二、填空题
11．OA＝OB（答案不唯一）．12．对角线相等（答案不唯一）． 13．①③④．
14．矩形．
15．AC＝BD或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠CDA＝90°或∠DAB＝90°．
16．2.4s或4s或7.2s． 17．矩形． 18．②③．
三、解答题
19．（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
在△OAD与△OCB中，
，
∴△OAD≌△OCB（AAS），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AC＝2BC＝6，
∴OA＝3，
∵OE⊥AC，
∴∠AOE＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴OE＝OA＝，
∴AE＝2OE＝2，
∴DE＝＝＝．
20．（1）证明：AE∥BC，AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形；
（2）解：连接AG，
∵F是AB的中点，GF⊥AB，
∴GA＝GB，
∵四边形AEBD是矩形，AD＝8，BD＝4，
∴EB＝AD＝8，EA＝BD＝4，
设EG＝x，则GB＝GA＝8﹣x，
∵四边形AEBD是矩形，
∴∠E＝90°，
在Rt△AEG中，
∵EA2+EG2＝AG2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
即EG＝3．
21．（1）证明：∵OB，OC分别是∠AOM与∠AON的平分线，
∴∠AOM＝2∠AOB，∠AON＝2∠AOC，
∵点M，O，N在同一直线上，
∴∠AOM+∠AON＝180°，
∴2∠AOB+2∠AOC＝180°，
∴∠AOB+∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵AB⊥OB，AC⊥OC，
∴∠ABO＝∠ACO＝90°＝∠BOC，
∴四边形ACOB是矩形；
（2）解：BC∥MN，证明如下：
由（1）知，四边形ACOB是矩形，
∴OE＝CE，
∴∠AOC＝∠BCO，
∵OC是∠AON的角平分线，
∴∠AOC＝∠NOC，
∴∠BCO＝∠NOC，
∴BC∥MN．
22．解：（1）OE＝OF，理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠ACE，
∴OE＝OC，
同理可得：OC＝OF，
∴OE＝OF；
（2）当O为AC中点时，四边形AECF是矩形；
理由如下：
∵OA＝OC，OE＝OF（已证），
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACG，
∴∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACG）＝×180°＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
23．证明：（1）延长AH交CD于点P，延长CF交AB于Q，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴AQ∥CP，
∵AH∥CF，
∴四边形APCQ是平行四边形，
∴∠HAE＝∠FCG，
∵E、G分别是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CG＝CD，
∴AE＝CG，
在△AHE和△CFG中，，
∴△AHE≌△CFG（SAS）；
（2）连接FH、EG，
∵AH∥CF，
∴∠AHF＝∠HFC，
由（1）得：∠AHE＝∠CFG，HE＝FG，
∴∠AHF﹣∠AHE＝∠HFC﹣∠CFG，即∠EHF＝∠GFH，
∴HE∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
由（1）得：AE＝DG，AB∥CD，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴AD＝EG，
又∵FH＝AD，
∴EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形．
24．证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）如图，连接OP，
∵AD＝12，AB＝5，
∴BD＝＝＝13，
∴BO＝OD＝AO＝CO＝，
∵S△AOD＝S矩形ABCD＝×12×5＝15，
∴S△AOP+S△POD＝15，
∴××FP+××EP＝15，
∴PE+PF＝．