2023年河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学试题(pdf含答案）

2023 年河南省南阳市高二下学期期中质量评估
数学试题及参考答案
一、选择题

1.若 y sin ，则 y （ ）
3
1 1 3
A. 0 B. C. D.
2 2 2
n n
2.数列 1 cos 4 的第5项为（ ）
A. 0 B. 1 2 2C. D.
2 2
3.《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的
题. 若第一天织布5尺（市制长度单位），从第2天开始，每天比前一天多织相同量的
布，现1个月（按30天计）共织390尺布，则第二天比前一天多织布（ ）尺.
1 5 16 16
A. B. C. D.
2 18 31 29
4.设等比数列 an 的前 n项和为10，前 2n项和为60，则该数列的前 4n项和为（ ）
A. 360 B. 720 C.1560 D.1800
n 1
5.设曲线 y x n N 在点 1,1 处的切线与 x轴交点的横坐标为 xn，则数列 xn
的前2023项的积为 （ ）
2024 2023 1 1
A. B. C. D.
2023 2024 2023 2024
6.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如 1011 2表
3 2 1 0
示二进制的数，将它装换成十进制的形式是1 2 1 2 0 2 1 2 13，那么
将二进制数1 1 1转换成十进制数的形式是（ ）
15位
217 2 16A. B. 2 1 16 15C. 2 2 D. 2 1
7.已知数列 n a a an 的前 n项和为 S ，则“ S 1 nn n ”是“数列 an 为等差数列2
”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
1
8.现有长为89cm的铁丝，要截成 n小段 n 2 ，每段的长度为不小于1cm的整数，如
果其中任意三小段都不能拼成三角形，则 n的最大值为（ ）
A.8 B. 9 C.10 D.11
二、选择题
9.已知递增数列 an 满足 a2a8 18， a3 a7 9，则下列说法正确的是（ ）
A.若数列 an 为等差数列，则 a14 9
B.若数列 an 为等差数列，则 a11 9
C.若数列 an 为等比数列，则 a11 12
D.若数列 an 为等比数列，则 a14 9
10.若 f x cos x 2xf ，则（ ）
6
f 1 f 1A. B.
6 2 6 2
3
C. f 1 D. f
3
1
3 2 3 2
11.若数列 an 为等差数列， Sn 为其前 n项和， S5 S6， S6 S7 ， S7 S8，则下
列说法正确的有（ ）
A.公差 d 0 B. S12 0
C. S9 S5 D.使 Sn 0的最小整数 n为14
12.某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人
4 3
数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的 ，女生喜欢抖音的人数占女生人数的
5 5
，若有95%的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ）
A. 50 B. 45 C. 40 D. 35
K 2 n ad bc
2
附： a b c d a c b d
P K 2 k 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
2
三、填空题
13.若 f x 2 x ，则 f 2 .
x
14.一个等比数列的公比 q 1，且它的每一项都是它后面两项的等差中项，则公比
q .
an , a 为偶数
15.已知数列 an 满足： an Z ， a3 2， a
n
n 1 2 ，则
3an 1, an为奇数
a1 .
16.设 Sn 是数列 an 的前 n 2项和，且满足 an a 2anSn，且 an 0，则
Sn ， a10 .
四、解答题
x
f x e cos x17.（1）求函数 的导函数；
x
（2）求曲线 f x 2 x ln x在点 1，f 1 处的切线方程.
18.已知数列 an 的各项均为正数，记 Sn 是数列 an 的前 n项和，从下面①②③中选取两个
作为条件，证明另一个成立.
①数列 an 是等差数列；②数列 Sn 是等差数列；③ a2 3a1 .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
3
19.垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污
染性，所以需要无害化、减量化处理. 某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方
法抽取 20 个县城进行了分析，得到样本数据 xi , yi i 1,2, ,20 ，其中 xi和 yi分别表示
20
第 i个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得 xi 80，
i 1
20 20 20 20
y 4000 x x 2 80 y y 2i ， i ， i 8000， xi x yi y 700 .
i 1 i 1 i 1 i 1
（1）请用相关系数说明该组数据中 y与 x之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
（2）求 y关于 x的线性回归方程，并用所求回归方程预测该市 10 万人口的县城年垃圾产生
总量.
参考公式：
n
xi x yi y
相关系数： r i 1
n n
x x 2i y y 2i
i 1 i 1
对于一组具有线性相关关系的数据 xi , yi i 1,2, ,n ，其回归直线 y b x a 的斜率和
n
xi x yi y
截距的最小二乘估计公式分别为b i 1 ， a y b n x .
x x 2i
i 1
20.已知等差数列 an 的公差为 d d 0 ，其前 n项和为 Sn ，若 S10 110，且 a2是 a1和 a4
的等比中项.
（1）求数列 an 的通项公式；
1
（2）求数列 的前 n项和Tn .
Sn
4
21.设等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 S4 4S2 ，a2n 2an 1 .
（1）求数列 an 的通项公式；
b b b 1
（2）若数列 b 1 2 nn 满足 1 n ，求 bn 的前 n项和Ta a a 2 n .1 2 n
22.已知数列 an 中， a1 1，点 n,2an 1 an 在直线 y x上，其中 n 1,2,3
（1）令bn an 1 an 1，求证：数列 bn 是等比数列；
（2）求数列 an 的通项公式；
（3）设数列 bn 的前 n项和Tn，是否存在实数 ，使得数列 an Tn 为等差数列？若存
在，试求出 ，若不存在，请说明理由.
5
参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分.
1.A 2.C 3.D 4. C
5.D 6.D 7.C 8.B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的给5分，部分选对的给2分,有选错的给0分.
9.AC 10.BC 11.ABD 12.AB
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.
1
13. 14. 2
2
15．1或 8 16. 2 n, 2 10 6 (第一空 3分，第二空 2分)
四、解答题：共 70 分.
y (e
x cos x) x e x cos x e x (cos x sin x)x e x cos x
17.解：（1）
x2

x2
e x (x cos x x sin x cos x)
2 ..................................................................5 分x
（2） y f (x) 1 ln x , k f (1) 1 ,又 f (1) 2
故切线方程为： y 2 x 1，即 y x 1 ...................................................10 分
18 解：选①②作条件证明③：..............................................................................................1 分
设 Sn an b(a 0)，则 Sn an b
2
，............................................................3 分
当 n 1时， a1 S1 a b
2
；..................................................................................4 分
当 n 2时， an Sn Sn 1 an b
2 an a b 2 a 2an a 2b ；.......8 分
因为 a 2n 也是等差数列，所以 a b a 2a a 2b ，解得b 0；.............10 分
所以 an a
2 2n 1 ， .....................................................................................11 分
所以 a2 3a1 . .....................................................................................................12 分
选①③作条件证明②：..................................................................................................1 分
因为 a2 3a1， an 是等差数列，
6
所以公差 d a2 a1 2a1，.......................................................................................3 分
n n 1
所以 Sn na1 d n
2a1，即 Sn a1n，.............................................8 分2
因为 Sn 1 Sn a1 n 1 a1n a1 ，.....................................................11 分
所以 Sn 是等差数列. ...........................................................................................12 分
选②③作条件证明①： .................................................................................................1 分
设 Sn an b(a 0)，则 Sn an b
2
， ..........................................................2 分
当 n 2 1时， a1 S1 a b ；
当 n 2时，
an Sn S
2
n 1 an b an a b
2 a 2an a 2b ；..............................5 分
4a
因为 a2 3a1，所以 a 3a 2b 3 a b 2，解得b 0或b ；................7 分3
2 2
当b 0时， a1 a ,an a 2n 1 ，
n 2 a -a 2a2当 时， n n-1 满足等差数列的定义，此时 an 为等差数列；.............9 分
4a
当b 时， Sn an b=an
4 a
a， S1 0不合题意，舍去.........11 分3 3 3
综上可知 an 为等差数列. ..........................................................................................12 分
19.解：(1)由题意知，相关系数
20
(xi x)(yi y)
r i 1 700 7 0.875.
20 20 80 8000 8 ....................................3 分
(xi x)2 (yi y)2
i 1 i 1
因为 y与 x的相关系数接近 1，所以 y与 x之间具有较强的线性相关关系，可用线性
回归模型进行拟合． ......... ............................................................................................4 分
20
(xi x)(yi y) 700
(2)由题意可得，b i 1 20 8.75, ........................................6 分
(x x)2 80i
i 1
a － － 4 000 80＝ y－b x＝ －8.75× ＝200－8.75×4＝165， ..........................................8 分
20 20
7
所以y＝8.75x＋165 ...............................................................................................9 分
当 x＝10时，y＝8.75×10＋165＝252.5 ...............................................................11 分
所以该市 10万人口的县城年垃圾产生总量约为 252.5吨． ................................12 分
10a 10 9 1 d 110
20.解：(1)根据题意，可得 2 , ...............................................2 分

a
2
1 d a1 a1 3d
a1 2
解之，得 , ....................................................................................................4 分
d 2
an a1 n 1 d 2n,
数列{an}的通项公式为 an 2n. .......................................................................6 分
n 2 2n
（2）由(1)可知， Sn n n 1 ,2
1 1 1 1
, ..................................................................................8 分
Sn n n 1 n n 1
T 1 1 1 1 1 1 1 1 n ,2 2 3 3 4 n n 1
1 1 n . ...................................................................................11 分
n 1 n 1
1 n
数列{ }的前 n 项和Tn . .......................................................................12 分Sn n 1
21.解：(1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d.
由 S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得
4a1＋6d＝8a1＋4d，
.......................................................2 分
a1＋（2n－1）d＝2a1＋2（n－1）d＋1，
a1＝1，
解之得 ....................................................................................................3 分
d＝2，
因此 an＝2n－1 .....................................................................................................4 分
(2) b b由已知 1＋ 2 b 1＋…＋ n＝1－ ，
a1 a2 an 2n
n 1 b1 1当 ＝ 时， ＝ ； ............................................5 分
a1 2
8
1
当 n≥2 b时， n
1－
＝1 1 － 1－ － 2n 1 ＝
an 2n 2n
b
所以 n
1
＝ . ..................................................7 分
an 2n
由(1)知 a 2n－1n＝2n－1，所以 bn＝ ， ...............................................................8 分
2n
所以 T 1 3 5 2n－1n＝ ＋ ＋ ＋…＋ ，
2 22 23 2n
1T 1 3 2n－3 2n－1n＝ ＋ ＋…＋ ＋2 3 .......................................................9 分2 2 2 2n 2n＋1
2 2 2
1 1 ＋ ＋…＋T 2 3 n 2n－1两式相减，得 n＝ ＋ 2 2 2 －
2 2 2n＋1
3 1 2n－1
＝ － － ， ...........................................................11 分
2 2n－1 2n＋1
T 3 2n＋3所以 n＝ － . ......................................................................................12 分
2n
22．解：（1）由已知得 a1 1,2an 1 an n,
a2 1,b1 a2 a1 1 1 1 1 1,
又bn an 1 an 1, bn 1 an 2 an 1 1, ...................................................2 分
an 1 (n 1) an n an 1 an 1
bn 1 a a 1
1 1
n 2 n 1 2 2 2 .
bn an 1 an 1 an 1 an 1 an 1 an 1 2
数列{b } 1n 是以 1为首项，以 为公比的等比数列 ...................................4 分2
2 I b 1 1 ( )n 1 1（ ）由（ ）知， n n 1 , ................................ ..................5 分2 2
an 1 a 1
1
n n 1 , .....................................................................................6 分2
a2 a1 1
1

20
,
a 13 a2 1 ,21

an a
1
n 1 1 n 2 ,2
1 1 1
将以上各式相加得： an a1 (n 1) ( 0 1 2 2 2n 2
),
9
1 1 1 n 2
an a1 n 1 2 21 1 (n 1) (2
1 4

2n 2
) n n 2.
1 2
2
a 4 n n n 2. ...........................................................................................8 分2
（3）存在 2，使数列{an Tn}是等差数列 .......................................................9 分
(1 1 n ) 2
由（1）可知：Tn b1 b2 bn 21 n 2. ....................................10 分1 2
2
a 4 2n Tn n n 2 ( 2)2 2n
4 2
n n 2 2 ........................................................................11 分2
当且仅当 4 2 0，即 2时，数列{an Tn}为等差数列 .................12 分
10