2006年苏教版高中数学教案必修1-5[上下学期通用]

第八课时 二倍角的正弦、余弦、正切(二)
教学目标：
掌握和角、差角、倍角公式的一些应用，解决一些实际问题；培养学生理论联系实际的观点和对数学的应用意识.
教学重点：
和角、差角、倍角公式的灵活应用.
教学难点：
如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
回顾上节课所推导的二倍角的正弦、余弦、正切公式.
Ⅱ.讲授新课
现在我们继续探讨和角、差角、倍角公式的一些应用.
［例1］求证＝.
分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于＝，此式右边就是tan2θ.
证明：原式等价于＝tan2θ
而上式左边＝＝
＝＝tan2θ＝右边
∴上式成立. 即原式得证.
［例2］利用三角公式化简sin50°(1＋tan10°)
解：原式＝sin50°(1＋ eq \f(sin100,cos100) )
＝sin50°· eq \f(2（cos100＋sin100）,cos100)
＝2sin50°·
＝2cos40°· ＝＝＝1
或：原式＝sin50°(1＋tan60°tan10°)
＝sin50°(1＋)
＝sin50°·
＝sin50°· eq \f(cos（600－100）,cos100) ＝ eq \f(sin500cos500,cos100)
＝ eq \f(sin1000,cos100) ＝＝1
评述：在三角函数式的求值、化简与恒等变形中，有两种典型形式应特别注意，它们在解决上述几类问题中，起着重要作用，这两种典型形式是：
sinx＋cosx＝sin(x＋)；sinx＋cosx＝2sin(x＋)；
cosx＋sinx＝2sin(x＋)
Ⅲ.课堂练习
课本P110 1、2、3.
练习题：
1.若－2π＜α＜－，则 eq \r() 的值是 ( )
A.sin B.cos C.－sin D.－cos
解： eq \r() ＝ eq \r() ＝ eq \r( eq \f(1＋2cos2－1,2) ) ＝ eq \r(cos2)
∵－2π＜α＜－，∴－π＜＜－，∴cos＜0
∴原式＝－cos
2.已知tan＝，求的值.
解：＝
＝ eq \f(2sincos＋2sin2,2sincos＋2cos2) ＝tan＝
∴的值为.
3.证明－sin2θ＝4cos2θ
证法一：左边＝－2sinθcosθ
＝－2sinθcosθ
＝
＝
＝＝4cos2θ＝右边
证法二：∵(4cos2θ＋sin2θ)(2tanθ－1)
＝8sinθcosθ－4cos2θ＋4sin2θ－2sinθcosθ
＝6sinθcosθ－4cos2θ＋4sin2θ
又∵3sin2θ－4cos2θ＝6sinθcosθ－4cos2θ＋4sin2θ
∴(4cos2θ＋sin2θ)(2tanθ－1)＝3sin2θ－4cos2θ
∴＝4cos2θ＋sin2θ
即：－sin2θ＝4cos2θ
Ⅳ.课时小结
进一步熟练掌握和角、差角、倍角公式的灵活应用，注意要正确使用公式进行三角式的化简、求值、证明.
Ⅴ.课后作业
课本P110习题 5、6
- 3 -第19课时 斜线在平面内的射影
教学目标：
使学生掌握等价转化思想，培养学生的空间想象能力，使学生学会分析事物之间关系，选择解决问题途径。
教学重点：
垂线段、斜线段、射影之间关系，直线和平面所成的角。
教学难点：
直线和平面成角性质的证明。
教学过程：
1．复习回顾：
1）直线和平面垂直的性质定理；
2）线面距离、点面距离；
3）等价转化思想的渗透.
［师］请同学依自己的理解复述上节内容.
［生］……
2．讲授新课：
斜线在平面内的射影
［师］通过预习我们将本节课将要学的概念归纳小结，注意发现其概念特点规律.
请同学们叙述下列概念：
点在平面内的射影，垂线段，斜线、斜足、斜线段，斜线的射影、斜线段的射影。
［生］点在平面内的射影：过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，点在平面内的射影还是一个点.
垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.
［师］请将立体图作出，使之符合上述叙说.
［生］（做图）如图，PQ⊥α，θ∈α，点Q是点P在α内的射影，PQ是点P到α的垂线段.
［师］请继续解释.
［生］斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线.
斜足：斜线和平面的交点.
斜线段：从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段，依上图，PR∩α=R,PR不垂直α，直线PR是α的一条斜线，点R是斜足，线段PR是点P到α的斜线段.
［师］那么射影是线或线段又如何解释.
［生］线的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
线段的射影：垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影.
［生］AB⊥α，直线BC是斜线AC在α内的射影，线段BC是斜线段AC在α内的射影.
［师］从教材中注意发现其中两个重要结论.
［生］（1）平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而
这点到这个平面的斜线段有无数条.
（2）斜线上任意一点在平面内的射影，一定在斜线的射影上.
［师］观察右图，看能发现什么结论.
［生］经观察讨论，可得以下结论.
定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中.
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
（3）垂线段比任何一条斜线段都短.
［师］AO是平面α的垂线段，AB、AC是平面α的斜线段，OB、OC分别是AB、AC在平面α内的射影，这时有：
（1）OB＝OCAB＝AC OB＞OCAB＞AC
（2）AB＝ACOB＝OC AB＞ACOB＞OC
（3）AO＜AB，AO＜AC
［师］直线和平面所成的角、应分三种情况
通过前面学习我们知道：
直线与平面的位置关系从公共点的个数上分有：无数个、一个、没有；
［生］公共点无数个，称为直线在平面内；
公共点有一个，称直线和平面相交；
没有公共点，称直线与平面平行.
［师］直线与平面相交，直线与平面的相互位置类同于两条
相交直线，也需要用角来表示，但过交点在平面内可以作很多条
直线.与平面相交的直线l与平面内的线a、b…所成的角是不相等的，为了定义的确定性，我们必须找到一些角中有确定值的，又能准确描述其位置的一个角，这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角.
那么：直线和平面所成角的定义如何叙述，请同学思考.
［生］平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
特别地：如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角.
一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0°的角.
如图，l是平面α的一条斜线，点O是斜足，A是l上任意
一点，AB是α的垂线，点B是垂足，所以直线OB（记作l′）
是l在α内的射影，∠AOB（记作θ）是l与α所成的角.
［师］直线和平面所成的角是一个非常重要的概念，在实际
中有着广泛的应用，如发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多
少度时，才能准确地命中目标，也即射程为多远？又如：
铅球运动员在投掷时，以多大的角度投掷，投出的距离最远？
［师］教材最后一段实际上是研究最小角，不妨称之为：
最小角定理.
斜线和平面所成的角，是斜线和它在平面内的射影所成的锐角，它是这条斜线和平面内经过斜足的一切直线所成角中最小的角.
证明：因在该图中l是平面α的斜线，A是l上任意的一点，
AB是平面α的垂线，B是垂足，直线OB是直线l在平面α内的射影，∠Q是斜线l与平面α所成的角.
设OC是平面α内与OB不同的任意一条直线AC⊥OC,垂足为C
因为垂线段AB小于斜线段AC
所以在有公共斜边DA的Rt△ABO,Rt△ACO中
sinθ＜sinAOC ∴∠θ＜∠AOC
因此，斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的一切直线所成的角中最小的角.
3．课堂练习：
（一）课本P37 1，2，3，4.
（二）补充练习
1.下列命题正确的个数为（ A ）
①两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等 ②两条平行线在同一平面内的射影也是平行线 ③若a是平面α的斜线，直线b垂直a在α内的射影，则b⊥α ④若直线a∥α，l为平面α的斜线，a⊥l，则a垂直于l在α的射影
A.1 B.2 C.3 D.4
2.斜线与平面α所成角为θ，则平面α内与斜线不相交的直线与斜线所成角的范围是（ B ）
A.［θ，π－θ］ B.［θ，］
C.（0，） D.（0，θ）
4．课时小结：
注意定理条件 定理的前提是“从平面外一点”，那么“从平面外不同点”是否也具有同样性质？最小角定理中也应注意过与不过斜足这一条件？两个定理运用时，细致分析条件是否具备？
5．课后作业：
课本P38 6，13，14.
- 3 -第16课时 直线与平面垂直的判定与性质（一）
教学目标：
使学生能够利用等价转化的思想证明立体几何问题，提高学生逻辑思维能力，培养学生由图形想象出位置关系的能力；利用所学知识解释生活现象，激发学生学习数学积极性，能辩证地看待问题，学会分析事物间关系，进而选择解决问题途径。
教学重点：
直线和平面垂直的判定。
教学难点：
判定定理的证明。
教学过程：
1．复习回顾：
［师］直线和平面平行的判定方法有几种？
［生］可利用定义判断，也可依判定定理判断.
2．讲授新课：
1.直线和平面垂直的定义
［师］该章的章图说明旗杆与其影子之间构成的几何图形，请同学思考，随着时间的变化，影子在移动，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？
［讨论、观察片刻，提醒学生从位置关系去分析，师可用电
筒照射一杆，让学生得出结论］进而提醒学生观察右图。
［生］由图形可知，旗杆与地面内任意一条径B的直线垂直
（若先回答射影，可引导其抽象为直线）
师进一步提出：那么旗杆所在线与平面内不经过B点的线
位置如何呢？依据是什么？
［生］垂直.依据是异面直线垂直定义.
生在师的诱导下，尝试地给出直线和平面垂直的定义：
如果一条直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直.
可记作l⊥α
其中直线l叫平面α的垂线.
平面α叫直线l的垂面.
［师］“任意一条直线”，说明直线l必须和平面内的所有直线都具有垂直关系.不能理解成无数条线，必须是全部.同学可找一反例说明.
［生］当一条直线和一平面内一组平行线垂直时，该直线不一定和平面垂直.（可举教材中每一行字看成平行线，当钢笔与其垂直时，不一定钢笔就与教材所在面垂直）
［师］若l∥α或lα，则l此时不会和α内任意一条直线垂直，由此，当l与α具有l⊥α关系时，直线l一定和α相交.
直线和平面垂直时，它们惟一的公共点，即交点叫垂足.
师进一步给出直线与平面垂直时，直观图的画法.
（师生共同规范地画出直线与平面垂直关系）
画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直
l⊥α 点P是垂足
让学生观察投影片中所给四个图形，能得出什么结论.
经师诱导，生得到结论.
［生］图（1）、（2）说明经过空间一点P作α的垂线只有一条，图（3）、（4）说明，经过空间一点P作l的垂面只有一个.
除定义外，直线和平面垂直的判定还有什么方法呢？
2.直线和平面垂直的判定
例1：求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
已知：a∥b，a⊥α
求证：b⊥α
分析：要证b⊥α，需证b与α内任意一条直线m垂直.
运用等价转化思想证明与b平行的线a垂直于m，则
需依题设直线m存在.进而运用线垂直于面?
线垂直于面内线完成证明.
学生依图，及分析写出证明过程
证明：设m是α内的任意一条直线
［此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直］
给出判定定理，学生思考证明途径.
直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
已知：mα，nα，m∩n=B，l⊥m，l⊥n.
求证：l⊥α.
分析：此定理要证明，需达到l⊥α关系.
而由定义知只要能设法证明l垂直于α内任一条直线
即可，不妨设此线为g，则需证l⊥g就可以.
证明l⊥g较困难，同学可考虑线段垂直平分线性质.
学生先思考，如何先确定线位置.
由于已知条件中有m∩n=B,
所以可先从l、g都通过点B的情况证起，
然后再推广到其他情形，也可看成是分类讨论思想渗透.
证明过程学生可先表述，然后共同整理.
证明：设g是平面α内任一直线.
（1）当l、g都通过点B时，在l上点B的两侧分别取点A、A′，使AB=A′B，则由已知条件推出m、n都是线段AA′的垂直平分线.
1°g与m（或n）重合
那么依l⊥m（或l⊥n）可推出l⊥g.
2°g与m（或n）不重合，
那么在α内任作一线CD
m∩CD=C,n∩CD=D,g∩CD=E
连结AC、A′C、AD、A′D、AE、A′E.
∵AC=A′C，AD=A′D，CD=CD，
∴△ACD≌△A′CD,
得∠ACE=∠A′CE
即△ACE≌△A′CE,那么AE=A′E
∴g是AA′的垂直平分线，于是l⊥g
（2）当l、g不都通过点B时
过点B作l′、g′，使l′∥l，g′∥g
同理可证l′⊥g′，因而l⊥g
综上所述，无论l、g是否通过点B，总有l⊥g.
由于g是平面α内任一直线，因而得l⊥α
［l、g不都通过点B，可解释为：l、g之一过点B，l、g都不过点B］
［师］对于判定定理注意二点.
一是判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准、用对.
二是要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.
3．课堂练习：
1.判断题
（1）l⊥αl与α相交（ ）
（2）mα，nα，l⊥m，l⊥nl⊥α（ ）
（3）l∥m，m∥n，l⊥αn⊥α（ ）
解：（1）√ 若不相交，则应有l∥α，或lα.
（2）× m、n若是两条平行直线，则命题结论不一定正确.
（3）√ 由例题结论可推得.
2.已知三条共点直线两两垂直，求证：其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.
已知：m、l确定平面α，m⊥n,l⊥n，m∩l=o
求证：n⊥α.
证明：因
3.求证：平面外一点与这个平面内各点连结而成的线段中，垂直于平面的线段最短.
［连结平面α内的两点，Q和R，设PQ⊥α，
则∠PQR=90°，在Rt△PQR中，PQ＜PR.
4．课时小结：
1.定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语、定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.
2.和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式.
3.注意两个结论：
过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.
过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.
4.判定直线和平面是否垂直，本节课给出了三种方法：
（1）定义 强调“任何一条直线”；
（2）例1的结论 符合“两条平行线中一条垂直于平面”特征；
（3）判定定理 必须是“两条相交直线”.
5．课后作业：
预习：
（1）性质定理主要是讲什么？条件、结论各是什么？
（2）直线到平面距离如何转化为点到平面距离？
- 4 -第九课时 二倍角的正弦、余弦、正切(三)
教学目标：
灵活应用和、差、倍角公式，掌握和差化积与积化和差的方法；培养学生联系变化的观点，提高学生的思维能力.
教学重点：
和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用.
教学难点：
二倍角公式的变形式的灵活应用.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用.
先看本章开始所提问题，在章头图中，令∠AOB＝θ，则AB＝asinθ，OA＝acosθ，所以矩形ABCD的面积
S＝asinθ·2acosθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ≤a2
当sin2θ＝1，即2θ＝90°，θ＝45°时，a2sin2θ＝a2＝S
不难看出，这时A、D两点与O点的距离都是a，矩形的面积最大，于是问题得到解决.
Ⅱ.讲授新课
［例1］求证sin2＝
分析：此等式中的α可作为的2倍.
证明：在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中以α代替2α，以代替α，即得
cosα＝1－2sin2 ∴sin2＝
请同学们试证以下两式:
(1)cos2＝ (2)tan2＝
证明：(1)在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中以α代替2α、以代替α，
即得cosα＝2cos2－1， ∴cos2＝
(2)由tan2＝ eq \f(sin2,cos2) sin2＝ cos2＝
得tan2＝
这是我们刚才所推证的三式，不难看出这三式有两个共同特点：
(1)用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；
(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).
这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法.
另外，在这三式中，如果知道cosα的值和角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得sin、cos与tan.
下面，再来看一例子.
［例2］求证：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］
分析：只要将S(α＋β)、S(α－β)公式相加，即可推证.
证明：由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ①
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ ②
①＋②得：
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ
即：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)＋sin(α－β)］
请同学们试证下面三式：
(1)cosα·sinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］
(2)cosα·cosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］
(3)sinα·sinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］
证明：(1)由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ①
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ ②
①－②得：sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ
即：cosαsinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］
(2)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ①
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ②
①＋②得：cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ
即：cosαcosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］
(3)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ①
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ②
①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ
即：sinαsinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］
不难看出，这一组式子也有一共同特点，即，左式均是乘积形式，右式均为和差形式，利用这一式可将乘积形式转化为和差形式，也可称为积化和差公式.
和差形式是否可以化为乘积的形式呢 看这一例子.
［例3］求证sinθ＋sin＝2sin eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) 分析：θ可有 eq \f(θ＋,2) ＋ eq \f(θ－,2) 代替， ＝ eq \f(θ＋,2) － eq \f(θ－,2)
证明：左式＝sinθ＋sin
＝sin［ eq \f(θ＋,2) ＋ eq \f(θ－,2) ］＋sin［ eq \f(θ＋,2) － eq \f(θ－,2) ］
＝sin eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) ＋cos eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2) ＋sin eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) －cos eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2)
＝2sin eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) ＝右边
请同学们再证下面三式.
(1)sinθ－sin＝2cos eq \f(θ＋,2) ·sin eq \f(θ－,2) ；
(2)cosθ＋cos＝2cos eq \f(θ＋,2) ·cos eq \f(θ－,2) ；
(3)cosθ－cos＝－2sin eq \f(θ＋,2) ·sin eq \f(θ－,2) .
证明：(1)令θ＝ eq \f(θ＋,2) ＋ eq \f(θ－,2) ，＝ eq \f(θ＋,2) － eq \f(θ－,2)
则左边＝sinθ－sin
＝sin［ eq \f(θ＋,2) ＋ eq \f(θ－,2) ］－sin［ eq \f(θ＋,2) － eq \f(θ－,2) ］
＝sin eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) ＋cos eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2) －sin eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) ＋cos eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2)
＝2cos eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2) ＝右边
(2)左边＝cosθ＋cos
＝cos［ eq \f(θ＋,2) ＋ eq \f(θ－,2) ］＋cos［ eq \f(θ＋,2) － eq \f(θ－,2) ］
＝cos eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) －sin eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2) ＋cos eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) ＋sin eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2)
＝2cos eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) ＝右边
(3)左边＝cosθ－cos
＝cos［ eq \f(θ＋,2) ＋ eq \f(θ－,2) ］－cos［ eq \f(θ＋,2) － eq \f(θ－,2) ］
＝cos eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) －sin eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2) －cos eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) －sin eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2)
＝－2sin eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2) ＝右边.
这组式子的特点是左式为和差形式，右式为积的形式，所以这组式子也可称为和差化积公式，只要求掌握这种推导方法，不要求记忆.
Ⅲ.课堂练习
1.已知α、β为锐角，且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0.求证：α＋2β＝
证法一：由已知得3sin2α＝cos2β ①
3sin2α＝2sin2β ②
①÷②得tanα＝＝ eq \f(sin（－2β）,cos（－2β）) ＝tan（－2β）
∵α、β为锐角，∴0＜β＜，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0，
∴－＜－2β＜
∴α＝－2β，α＋2β＝
证法二：由已知可得：
3sin2α＝cos2β，3sin2α＝2sin2β
∴cos(α＋2β)＝cosα·cos2β－sinα·sin2β
＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α＝3sin2αcosα－sinα·3sinαcosα＝0
又由α＋2β∈(0，)
∴α＋2β＝
证法三：由已知可得
∴sin(α＋2β)＝sinαcos2β＋cosαsin2β
＝sinα·3sin2α＋cosα·sin2α＝3sinα(sin2α＋cos2α)＝3sinα
又由②，得3sinα·cosα＝sin2β ③
①2＋③2，得9sin4α＋9sin2αcos2α＝1
∴sinα＝，即sin(α＋2β)＝1
又0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝
评述：一般地，若所求角在(0，π)上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在(－，)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切.
2.在△ABC中，sinA是cos(B＋C)与cos(B－C)的等差中项，试求(1)tanB＋tanC的值.
(2)证明tanB＝(1＋tanC)·cot(45°＋C)
(1)解：△ABC中，sinA＝sin(B＋C)
∴2sin(B＋C)＝cos(B＋C)＋cos(B－C)
∴2sinBcosC＋2cosBsinC＝2cosBcosC
∵cosBcosC≠0 ∴tanB＋tanC＝1
(2)证明：又由上：tanβ＝1－tanC
＝(1＋tanC)· ＝(1＋tanC)·tan(45°－C)＝(1＋tanC)·cot(45°＋C)
Ⅳ.课时小结
通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式的方法，虽不要求记忆，但要知道它们的互化关系.另外，要注意半角公式的推导与正确使用.当然，这些都是在熟练掌握二倍角公式的基础上完成的.
Ⅴ.课后作业
课本P111习题 7、8、10.
二倍角的正弦、余弦、正切
1．已知sinα＝，2π＜α＜3π，那么sin＋cos等于 （ ）
A. B.－ C. D.－
2．sin10°sin30°sin50°sin70°的值是 （ ）
A. B. C. D.
3．已知f(sinx)＝cos2x，则f(x)等于 （ ）
A.2x2－1 B.1－2x2 C.2x D.－2x
4．设sinα∶sin＝8∶5，则cosα等于 （ ）
A. B. C. D.1
5．（sin＋cos)(sin－cos)＝ .
6．化简cos(－α)·cos（＋α)＝ .
7．sin2－＝ .
8．＝ .
9．已知cos2α＝，α∈(0， )，sinβ＝－，β∈(π， )，求cos(α＋β).
10．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos的值.
11．已知sin(α＋)＝，cos(－β)＝，且－＜α＜，＜β＜，求cos(α－β).
二倍角的正弦、余弦、正切答案
1．D 2．A 3．B 4．B 5．－ 6．cos2α 7．－ 8．
9．已知cos2α＝，α∈(0， )，sinβ＝－，β∈(π， )，求cos(α＋β).
解：由α∈(0， )得sinα＝ eq \r() ＝，cosα＝
∵β∈(π， )，
∴cosβ＝－＝－
代入cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×(－)－×(－)＝－
10．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos的值.
两式平方相加，得1＋1＋2（cosα·cosβ＋sinαsinβ)＝＋＝
∴cos(α－β)＝－，cos2＝＝ eq \f(1－,2) ＝
∴cos＝±
11．已知sin(α＋)＝，cos(－β)＝，且－＜α＜，＜β＜，求cos(α－β).
∵－＜α＜，∴＜α＋＜π
∴cos(α＋)＝－ eq \r(1－sin2(α＋)) ＝－
∵＜β＜，∴－＜－β＜0
∴sin(－β)＝－ eq \r(1－cos2(－β)) ＝－
∴cos(α－β)＝－cos［(α＋)＋(－β)］
＝sin(α＋)sin(－β)－cos(α＋)·cos(－β)＝×(－)－(－)×＝.
①②
- 7 -两角和与差的正、余弦（1）
一、课题：两角和与差的正、余弦（1）
二、教学目标：1.进一步熟悉两角和与差的正（余）弦公式，能正确运用公式进行简单的
三角函数的化简、求值；
2.掌握一些角的变换技巧，能选择恰当的公式解决有关问题；
3.了解由三角函数值求角的方法。
三、教学重、难点：公式的运用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．及公式；
2．练习 3（1）（2）（3）．
（二）新课讲解：
例1：已知，，
（1）求的值.； （2）求．
解：（1）由得，
又由得，
，
．
（2）, ，
所以，．
说明：求某一角的一般方法：（1）确定此角的范围；（2）求出此角的某一三角函数值；
（3）确定此角。
例2：已知，且，求的值。
分析：，所以应选用求的值。
解：，∴，
又∵，∴，
∴=，
=．
例3：已知，，，求的值。
解：由得，，
又∵，，
∴，
，
所以，
．
五、小结：1．掌握求角的一般方法；
2．寻找角之间的关系，选择恰当的公式解决有关问题。
六、作业：
PAGE
- 1 -任意角的三角函数单元练习题（一）
一、选择题
1．下列叙述正确的是
A.180°的角是第二象限的角 B.第二象限的角必大于第一象限的角
C.终边相同的角必相等 D.终边相同的角的同一个三角函数的值相等
2．以下四个命题，其中，正确的命题是
①小于90°的角是锐角 ②第一象限的角一定不是负角 ③锐角是第一象限的角 ④第二象限的角必大于第一象限的角
A.①② B.③ C.②③ D.③④
3．sin1320°的值是
A. B.－ C. D.－
4．的值是
A.2 B. C.－ D.
5．若扇形圆心角为60°，半径为a，则内切圆与扇形面积之比为
A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.3∶4
6．若θ∈（，），则等于
A.cosθ－sinθ B.sinθ＋cosθ
C.sinθ－cosθ D.－cosθ－sinθ
7．若sin＝，cos＝－，则θ角的终边在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8．已知sin（3π＋α）＝lg，则tan（π＋α）的值是
A.－ B. C.± D.
9．将角α的终边顺时针旋转，则它与单位圆的交点坐标是
A.（cosα，sinα） B.（cosα，－sinα）
C.（sinα，－cosα） D.（sinα，cosα)
10．若tanθ＝，则cos2θ＋sinθcosθ的值是
A.－ B.－ C. D.
二、填空题
11．tan(－π)的值是 .
12．若角α的终边在直线y＝－x上，则＝ .
13．使tanx－有意义的x的集合为 .
14．已知α是第二象限的角，且cos＝－，则是第 象限的角.
15．已知θ角终边上一点M（x，－2），且cosθ＝，则sinθ＝____________；tanθ＝____________.
16.已知sinθ－cosθ＝，则sin3θ－cos 3θ的值为____________.
第Ⅱ卷
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11 12 13
14 15 16
三、解答题
17．设cosθ＝（m＞n＞0)，求θ的其他三角函数值.
18．化简：2－sin221°－cos 221°＋sin417°＋sin217°·cos 217°＋cos 217°
19．证明(1) ＝
(2)tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ
20．已知α是第三象限的角，且
f(α)＝ eq \f(sin（π－α）cos（2π－α）tan（－α＋π）tan（―α―π）,sin（－π－α）)
(1)化简f（α）； (2)若cos(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－1860°，求f（α）的值.
21．已知cos(－α)＝，求cos(π＋α)＋sin2(α－）的值.
任意角的三角函数单元练习题（一）答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D D C A D C C D
二、填空题
11．－ 12．0 13．{x|x∈R且x≠，k∈Z} 14．三 15．－ ± 16.
三、解答题
17．设cosθ＝（m＞n＞0)，求θ的其他三角函数值.
解：∵m＞n＞0，∴cosθ＝＞0
∴θ是第一象限角或第四象限角.
当θ是第一象限角时：
sinθ＝＝
tanθ＝
当θ是第四象限角时：
sinθ＝－
tanθ＝
18．化简：2－sin221°－cos 221°＋sin417°＋sin217°·cos 217°＋cos 217°
解：原式＝2－（sin221°＋cos 221°）＋sin217°（sin217°＋cos 217°）＋cos 217°
＝2－1＋sin217°＋cos 217°＝1＋1＝2
19．证明(1) ＝
(2)tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ
(1) 证明：左＝
＝＝＝
(∵cos θ≠0，∴分子、分母可同除以cosθ)
＝＝右，证毕.
还可用其他证法.
(2)证明：左＝－sin2θ＝
＝＝＝tan2θsin2θ＝右，证毕.
20．已知α是第三象限的角，且
f(α)＝ eq \f(sin（π－α）cos（2π－α）tan（－α＋π）tan（―α―π）,sin（－π－α）)
(1)化简f（α）；(2)若cos(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－1860°，求f（α）的值.
解：（1）f（α）＝
＝＝－cosα
（2）由已知得sinα＝－，cosα＝－， ∴f(α)＝
（3）f(－1860°）＝－
21．已知cos(－α)＝，求cos(π＋α)＋sin2(α－）的值.
解：cos(π＋α)＝cos［π－（－α)］＝－cos(－α)＝－.
又sin2(α－)＝1－cos2(－α)＝
∴原式＝.
- 5 -第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
第1课时 函数的概念和图象（一）
教学目标：
使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法；使学生理解静与动的辩证关系.
教学重点：
函数的概念，函数定义域的求法.
教学难点：
函数概念的理解.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
［师］在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的？
（几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述）.
设在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.
［师］我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：
问题一：y＝1（x∈R）是函数吗？
问题二：y＝x与y＝是同一个函数吗？
（学生思考，很难回答）
［师］显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念（板书课题）.
Ⅱ.讲授新课
［师］下面我们先看两个非空集合A、B的元素之间的一些对应关系的例子.
在（1）中，对应关系是“乘2”，即对于集合A中的每一个数n，集合B中都有一个数2n和它对应.
在（2）中，对应关系是“求平方”，即对于集合A中的每一个数m，集合B中都有一个平方数m2和它对应.
在（3）中，对应关系是“求倒数”，即对于集合A中的每一个数x，集合B中都有一个数 和它对应.
请同学们观察3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢？
［生］一对一、二对一、一对一.
［师］这3个对应的共同特点是什么呢？
[生甲]对于集合A中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B中都有惟一的数和它对应.
［师］生甲回答的很好，不但找到了3个对应的共同特点，还特别强调了对应关系，事实上，一个集合中的数与另一集合中的数的对应是按照一定的关系对应的，这是不能忽略的. 实际上，函数就是从自变量x的集合到函数值y的集合的一种对应关系.
现在我们把函数的概念进一步叙述如下：（板书）
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f︰A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作：y＝f(x)，x∈A
其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f(x)）值叫做函数值，函数值的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫函数的值域.
一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域是R，值域也是R.对于R中的任意一个数x，在R中都有一个数f(x)＝ax＋b(a≠0)和它对应.
反比例函数f(x)＝ (k≠0)的定义域是A＝{x|x≠0}，值域是B＝{f(x)|f(x)≠0}，对于A中的任意一个实数x，在B中都有一个实数f(x)＝ (k≠0)和它对应.
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）的定义域是R，值域是当a＞0时B＝{f(x)|f(x)≥}；当a＜0时，B＝{f(x)|f(x)≤}，它使得R中的任意一个数x与B中的数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)对应.
函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题.
y=1（x∈R）是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系“函数值是1”，在R中y都有惟一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.
Y＝x与y＝不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y＝x的定义域是R，而y＝的定义域是{x|x≠0}. 所以y＝x与y＝不是同一个函数.
［师］理解函数的定义，我们应该注意些什么呢？
（教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结）
注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.
②符号“f:A→B”表示A到B的一个函数，它有三个要素；定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.
③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.
④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.
⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.
［师］在研究函数时，除用符号f(x）表示函数外，还常用g(x) 、F（x)、G（x)等符号来表示
Ⅲ.例题分析
［例1］求下列函数的定义域.
(1)f(x)＝ (2)f(x)＝ (3)f(x)＝＋
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合.
解：(1)x－2≠0，即x≠2时，有意义
∴这个函数的定义域是{x｜x≠2}
(2)3x＋2≥0，即x≥－时有意义
∴函数y＝的定义域是[－，＋∞）
(3)
∴这个函数的定义域是{x｜x≥－1}∩{x｜x≠2}＝[－1，2）∪（2，＋∞）.
注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.
从上例可以看出，当确定用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f（x）是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；
(4)如果f（x）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；
(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.
例如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y＝2x2，此函数定义域为x＞0而不是全体实数.
由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.
［师］自变量x在定义域中任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示.例如，函数f(x)＝x2＋3x＋1，当x＝2时的函数值是f(2)＝22＋3·2＋1＝11
注意：f(a)是常量，f(x)是变量 ，f(a)是函数f(x)中当自变量x＝a时的函数值.
下面我们来看求函数式的值应该怎样进行呢？
[生甲]求函数式的值，严格地说是求函数式中自变量x为某一确定的值时函数式的值，因此，求函数式的值，只要把函数式中的x换为相应确定的数（或字母，或式子）进行计算即可.
［师］回答正确，不过要准确地求出函数式的值，计算时万万不可粗心大意噢!
[生乙]判定两个函数是否相同，就看其定义域或对应关系是否完全一致，完全一致时，这两个函数就相同；不完全一致时，这两个函数就不同.
［师］生乙的回答完整吗？
［生］完整!（课本上就是如生乙所述那样写的）.
［师］大家说，判定两个函数是否相同的依据是什么？
［生］函数的定义.
［师］函数的定义有三个要素：定义域、值域、对应关系，我们判定两个函数是否相同为什么只看两个要素：定义域和对应关系，而不看值域呢？
（学生窃窃私语：是啊，函数的三个要素不是缺一不可吗？怎不看值域呢？）
（无人回答）
［师］同学们预习时还是欠仔细，欠思考!我们做事情，看问题都要多问几个为什么!函数的值域是由什么决定的，不就是由函数的定义域与对应关系决定的吗!关注了函数的定义域与对应关系，三者就全看了!
（生恍然大悟，我们怎么就没想到呢？）
[例2]求下列函数的值域
(1)y＝1－2x （x∈R） (2)y＝｜x｜－1 x∈{－2，－1，0，1，2}
(3)y＝x2＋4x＋3 （－3≤x≤1）
分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.
对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.
对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”.
解：(1)y∈R
(2)y∈{1，0，－1}
(3)画出y＝x2＋4x＋3（－3≤x≤1）的图象，如图所示，
当x∈[－3，1]时，得y∈[－1，8]
Ⅳ.课堂练习
课本P24练习1—7.
Ⅴ.课时小结
本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.（本小结的内容可由学生自己来归纳）
Ⅵ.课后作业
课本P28，习题1、2.
- 4 -3.1.1 两角和与差的余弦
一、课题：两角和与差的余弦
二、教学目标：1．掌握两点间的距离公式及其推导；
2．掌握两角和的余弦公式的推导；
3．能初步运用公式来解决一些有关的简单的问题。
三、教学重点：两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导。
四、教学难点：两角和的余弦公式的推导。
五、教学过程：
（一）复习：
1．数轴两点间的距离公式：．
2．点是终边与单位圆的交点，则．
（二）新课讲解：
1．两点间的距离公式及其推导
设是坐标平面内的任意两点，从点分别作轴的垂线，与轴交于点；再从点分别作轴的垂线
，与轴交于点．直线与相交于点，那么
， ．
由勾股定理，可得
∴．
2．两角和的余弦公式的推导
在直角坐标系内作单位圆，并作角与，使角的始边为，交⊙于点，终边交⊙于点；角的始边为，终边交⊙于点；角的始边为，终边交⊙于点，则点的坐标分别是，，
，，
，∴
得：
∴．（）
3．两角差的余弦公式
在公式中用代替，就得到 （）
说明：公式对于任意的都成立。
4．例题分析：
例：求值（1）； （2）； （3）．
解：（1）
= ；
（2）
；
（3）．
六、课堂练习：2（3）（4）．
七、小结：掌握 公式的推导，能熟练运用公式，注意公式的逆用。
八、作业：习题4．6 第三题（3）（4）（6）（8）
PAGE
- 1 -第30、31课时 函数模型及其应用
教学目标：
使学生从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径——构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题．逐步把数学知识用到生产、生活的实际中，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．
教学重点：
一是实际问题数学化，二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解.
教学难点：
实际问题数学化.
教学过程：
［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？
　　解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：
　　设每天从报社买进x份（250≤x≤400）．
数量（份） 价格（元） 金额（元）
买进 30 0.20 6x
卖出 20x＋10×250 0.30 6x＋750
退回 10（x－250） 0.08 0.8x－200
　　则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）．
　　y在x［250，400］上是一次函数．
　　∴x＝400元时，y取得最大值870元．
　　答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元．
点评：自变量x的取值范围［250，400］是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘．
　 ［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．
　　答案：当A、B距离在起步价以内时，选择第二种方案；
　　当A、B距离在（a，a＋10）时，选择第二种方案；
　　当A、B距离恰好为a＋10时，选择两种方案均可以；
　　当A、B距离大于a＋10时，选择第一种方案．
（其中a为起步价内汽车行驶的里程）
点评：信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．
　　［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和
　　解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故取出2（1＋8％）3（1＋2％）6万元．
　 ［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（　　）
　　解析：由于d0表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A、C选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B，故只能选择D．
　　［例5］容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度
　　　　　（1－）10·m％
　　总结解应用题的策略：
一般思路可表示如下：
　　因此，解决应用题的一般程序是：
　　①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
　　②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
　　③解模：求解数学模型，得出数学结论；
　　④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
　　［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少 t万件．
　　（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；
　　（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？
　　解析：（1）设每年销售是x万件，则每年销售收入为250x万元，征收附加税金为y＝250x·t％．
　　依题意，x＝40－t．
　　所求的函数关系式为y＝250（40－t）t％．
　　（2）依题意，250（40－t）·t％≥600，即t2－25t＋150≤0，
　　∴10≤t≤15．
即税率应控制在10％～15％之间为宜．
注意点：
1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
　　2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．
　　3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．
本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．
　　［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？
　　解析：设每个涨价x元，则实际销售价为（10＋x）元，销售的个数为（100－10x），则利润为y＝（10＋x）（100－10x）－8（100－10x）＝－10（x－4）2＋360（0≤x≤10）．
　　因此x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．
　　［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AE＝60m，AF＝40m．
解析：设PO＝x，
则S＝－（x－190）2＋×1902，0＜x＜200，
即x＝190时，最大面积为24067m2．
　 总结：
解决函数应用题的流程图是：
　　解决函数应用题的基本步骤是：
　　第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成实际问题，即实际问题数学化．
　　第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解．
　　第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答．
课后练习
　　1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（　　）
　　A．5～7km　 　　　B．9～11km 　　　　C．7～9km　　 　　　D．3～5km
　　答案：A
　　2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（　　）（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
　　A．5　　 　　　 B．10　　　　 C．14　　　 　　　 D．15
　　答案：C
　　3．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m2（围墙厚度不计）．
　　解析：设矩形宽为xm，则矩形长为（200－4x）m，
则矩形面积为
S＝x（200－4x）＝－4（x－25）2＋2500（0＜x＜50），
　　∴x＝25时，S有最大值2500m2．
　　4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？
　　解答：设两家旅行社的原价为a（a＞0），家庭孩子个数为x（xN*），甲、乙两家旅行收费分别为f（x）和g（x），
　　则f（x）＝a＋（x＋1）·＝x＋a（xN*），
　　g（x）＝（x＋2）·＝x＋（xN*），
　　g（x）≥f（x），得 x＋≤x＋，∴x≥1．
　　因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社．
　　5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：
消费金额的范围 ［200，400） ［400，500） ［500，700） ［700，900） …
获得奖券的金额 30 60 100 130 …
　　根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝．
　　试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
　　（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于的优惠率？
　　答案：（1）优惠率为33％；
　　（2）标价在［625，750］内的商品，购买时可获得不小于的优惠率．
　　6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t的函数，且销售量近似地满足关系g（t）＝－t＋，（tN，0＜t≤100），在前40天里价格为f（t）＝t＋22（tN，0＜t≤40），在后60天里价格为f（t）＝－t＋52（tN，40＜t≤100），求这种商品的日销售额的最大值．
　　解析：由题意知，当0＜t≤40，h（t）＝－（t－10.5）2＋；
　　当40＜t≤100，h（t）＝（t－106.5）2－；∴t＝10或11时，这种商品的日销售额的最大值为808.5．
第30、31课时 函数模型及其应用
［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？
　　
　 ［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．
　　
　　［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和
　　
　 ［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（　　）
　　
　　［例5］容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度
　　　　　
　　
　　［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少 t万件．
　　（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；
　　（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？
　　
　　［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？
　　
　　［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AE＝60m，AF＝40m．
　
课后练习
　　1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（　　）
　　A．5～7km　 　　　B．9～11km 　　　　C．7～9km　　 　　　D．3～5km
　 2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（　　）（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
　　A．5　　 　　　 B．10　　　　 C．14　　　 　　　 D．15
　 3．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m2（围墙厚度不计）．
　
　
　　4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？
　　
　　5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：
消费金额的范围 ［200，400） ［400，500） ［500，700） ［700，900） …
获得奖券的金额 30 60 100 130 …
　　根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝．
　　试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
　　（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于的优惠率？
　　
　　6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t的函数，且销售量近似地满足关系g（t）＝－t＋，（tN，0＜t≤100），在前40天里价格为f（t）＝t＋22（tN，0＜t≤40），在后60天里价格为f（t）＝－t＋52（tN，40＜t≤100），求这种商品的日销售额的最大值．
　　
- 12 -1.2任意角的三角函数
1.2.2同角三角函数的基本关系
农垦中学 刘国海
一、教学目标：
1、知识与技能
(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法.
2、过程与方法
由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
3、情态与价值
通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.
二、教学重、难点
重点：公式及的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.
难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.
三、学法与教学用具
利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 及,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.
教学用具:圆规、三角板、投影
四、教学设想
【创设情境】
与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．
【探究新知】
1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一
下同一个角不同三角函数之间的关系吗
如图:以正弦线,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且.由勾股定理由,因此,即.
根据三角函数的定义,当时,有.
这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切.
2. 例题讲评
例6.已知,求的值.
三者知一求二,熟练掌握.
3. 巩固练习页第1,2,3题
4.例题讲评
例7.求证:.
通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤.
5.巩固练习页第4,5题
6.学习小结
（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此，．
（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．
五、评价设计
(1) 作业：习题1.2A组第10,13题.
(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关
系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.
O
x
y
P
M
1
A(1,0)
PAGE
23.3 几何概型
3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
一、教学目标：
1、 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；
（2）掌握几何概型的概率公式：
P（A）=；
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；
（4）了解均匀随机数的概念；
（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；
（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．
2、 过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、 情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
二、重点与难点：
1、几何概型的概念、公式及应用；
2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．
三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．
四、教学设想：
1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。
2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=；
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．
3、 例题分析：
课本例题略
例1 判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，
还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关。
解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；
（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型．
例2 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．
分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．
小结：在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．
练习：1．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率。
2．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．
解：1．由几何概型知，所求事件A的概率为P(A)= ；
2．记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则P(A)= =．
例3 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域面积，有几何概型公式可以求得概率。
解：记“钻到油层面”为事件A，则P(A)= ==0.004．
答：钻到油层面的概率是0.004．
例4 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。
解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则
P(A)= ==0.01．
答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．
例5 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得两段长都不小于1m。这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件A发生的概率。
解法1：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1*3．
（3）统计出[1，2]内随机数的个数N1和[0，3] 内随机数的个数N．
（4）计算频率fn(A)=即为概率P（A）的近似值．
解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3]（这里3和0重合）．转动圆盘记下指针在[1，2]（表示剪断绳子位置在[1，2]范围内）的次数N1及试验总次数N，则fn(A)=即为概率P（A）的近似值．
小结：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。解法2用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．
例6 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2 与81cm2之间的概率．
分析：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M，求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率．
解：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1*12得到[0，12]内的均匀随机数．
（3）统计试验总次数N和[6，9]内随机数个数N1
（4）计算频率．
记事件A={面积介于36cm2 与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间}，则P（A）的近似值为fn(A)=．
4、课堂小结：1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；
2、均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数 ）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．
5、自我评价与课堂练习：
1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r3．某班有45个，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选到的机会均等，则恰好选中学生甲主机会有多大？
4．如图3-18所示，曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A，直线x=1、直线y=1、x轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。
6、评价标准：
1．C（提示：由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出2ml的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比=0.004）
2．解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）==
3．提示：本题应用计算器产生随机数进行模拟试验，请按照下面的步骤独立完成。
（1）用1~45的45个数来替代45个人；
（2）用计算器产生1~45之间的随机数，并记录；
（3）整理数据并填入下表
试 验次 数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 650 700 750 800 850 900 1000 1050
1出现的频数
1出现的频率
（4）利用稳定后1出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。
4．解：如下表，由计算机产生两例0~1之间的随机数，它们分别表示随机点（x,y）的坐标。如果一个点（x,y）满足y≤-x2+1，就表示这个点落在区域A内，在下表中最后一列相应地就填上1，否则填0。
x y 计数
0.598895 0.940794 0
0.512284 0.118961 1
0.496841 0.784417 0
0.112796 0.690634 1
0.359600 0.371441 1
0.101260 0.650512 1
… … …
0.947386 0.902127 0
0.117618 0.305673 1
0.516465 0.222907 1
0.596393 0.969695 0
7、作业：根据情况安排
M
o
r
2a
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13第21课时 两个平面平行的判定和性质
教学目标：
使学生掌握两个平面的位置关系，两个平面平行的判定方法及性质，并利用性质证明问题；注意等价转化思想在解决问题中的运用，通过问题解决、提高空间想象能力；通过问题的证明，寻求事物的统一性，了解事物之间可以相互转化，通过证明问题、树立创新意识。
教学重点：
两个平面的位置关系，两个平面平行的判定和性质。
教学难点：
判定定理、例题的证明，性质定理的正确运用。
教学过程：
1．复习回顾：
师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理.
性质定理 归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题.
立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题，二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会.
下面继续研究面面位置关系.
2．讲授新课：
1.两个平面的位置关系
除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系.
［师］观察教室前后两个面，左、右两个面及上下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的.
［师］打开教材一个是竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线.
观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线.
结合生观察教室的结论、引导其寻找平面公共点，然后给出定义.
定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行.
如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线.
两个平面的位置关系只有两种：
（1）两个平面平行——没有公共点；
（2）两个平面相交——有一条公共直线.
［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β
2.两个平面平行的判定
判定两个平面平行可依定义，看它们的公共点如何.
［师］由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行.这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点，那么这两个平面就不可能平行了.
另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面.
由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多少条直线（且直线与直线应具备什么位置关系）与另一面平行，才能判定两个平面平行呢？
下面我们共同学习定理.
两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
［师］以上是两个平面平行的文字语言，另外定理的符号语言为：
若aα，bα，a∩b=A,且a∥α,b∥β，则α∥β.
利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：
①有两条直线平行于另一个平面，
②这两条直线必须相交.
［师］再从转化的角度认识该定理就是：线线相交、线面平行?面面平行.
［生］在判断一个平面是否水平时，把水准器在这个平面内交叉地放两次，如果水准器的气泡都是居中的，就可以判定这个平面和水平面平行，实质上正是利用了面面平行的判定定理.
例1：求证：垂直于同一直线的两个平面平行
已知：α⊥AA′,β⊥AA′
求证：α∥β.
分析：要证两个平面平行，需设法证明一面内有两相交线
与另一面平行，那么由题如何找出这两条线成为关键.
如果这样的线能找到问题也就解决啦.
诱导学生思考怎样找线.
［生］通过作图完成找线，利用转化解决问题、证明如下：
证明：设经过AA′的两个平面γ、θ分别与平面α、β相交于直线a、a′和b、b′
∵AA′⊥α，AA′⊥β
∴AA′⊥a,AA′⊥a′
又aγ,a′γ ∴a∥a′, 于是a′∥a
同理可证b′∥a 又a′∩b′=A′ ∴α∥β.
［师］这是一个重要的结论，主要用来判断空间的直线与平面具备条件：两个平面垂直于同一直线，则应有：这两个平面平行.用符号语言就可以表示为：
l⊥α，l⊥βα∥β.
此题也告诉我们，空间的两个平面平行，其判定方法：1°定义.2°判定定理.3°例1结论.
［师］请同学思考：两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一面具有什么关系？
［生］通过作图可以发现，若平面α和平面β平行，则两面无公共点，那么也就意味着平面α内任一直线a和平面β也无公共点，即直线a和平面β平行.
用式子可表示为：α∥β，aαa∥β
用语言表述就是：
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
［师］归纳总结.
此结论在以后的解决问题过程中可直接运用，既是面面平行的性质定理，又是线面平行的判定定理.
［师］如图，设α∥β，α∩γ＝a,β∩γ＝b，我们研究两条交线a、b的位置关系.
［生］观察、分析可发现
因为α∥β，所以a、b没有公共点，
而a、b又同在平面γ内，于是有a∥b
［师］下面给出两个平面平行的性质定理.
两个平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
已知：α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b
求证：a∥b.
分析：师生共同活动
通过前面的学习，我们知道判定两线平行的途径有：
（1）利用定义：在同一平面内没有公共点的两条直线平行.
（2）运用公理：证明这两直线平行于同一直线.
（3）依据性质定理：线面平行的性质定理，如果一条直线平行于一个平面、经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线和交线平行，线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线平行.
而题目中证明a∥b，a、b又同在平面γ内，且分别在两个平行平面内，因此本题的证明可利用方法（1）.
证明：∵平面α∥平面β
∴平面α和平面β没有公共点
又aα，bβ
∴直线a、b没有公共点
又∵α∩γ＝a，β∩γ＝b
∴aγ，bγ
∴a∥b.
［师］同学们接下来研究两个平行平面内的所有直线是否都平行.
已知两个平面平行，依据性质定理：
一个平面内的任何直线都平行另一平面.
依据性质定理：若有第三个平面和两个平行平面相交，那么它们的交线平行，但是，能不能说两个平行平面内的所有直线都是互相平行的呢？如上图，α∥β，aα，bβ，可以看出：只有当a、b确定平面时，依据性质定理，a与b才平行，否则就不平行，直线a与b能相交吗？
［生］不能.这是因为，若a∩b=A ∵aα, ∴A∈α
又bβ，∴A∈β ∴α与β必相交
因此a、b不可能相交.
由此在两个平行平面内的直线，它们可能是平行直线，也可能是异面直线.
师引导学生得出结论：两个平行平面的判定定理与性质定理的作用，要害都集中在“平行”二字上，判定定理解决的问题是；在什么样的条件下两个平面平行，性质定理说明的问题是；在什么样的条件下两条直线平行，前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法.
［师］下面以例题说明性质定理在解决问题时作用.
例2：求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
已知:α∥β，l⊥α，l∩α＝A
求证：l⊥β.
［设法创造条件，找到平面γ，使之与平面α和平面β相交，使之可利用性质定理解决问题.］
证明：在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面，设γ∩α＝a
因为b是平面α内任意一条直线，所以根据直线与平面垂直的定义，可知l⊥β.
［师］上述例2所证明的命题用符号表示就是α∥β,l⊥αl⊥β.
用转化的思想可解释为
面面平行、线面垂直?线面垂直
这是一个关于两个平面平行的性质的一个命题，可以用来判断直线与平面垂直.
4.两个平行平面的距离
［师］由线面距离，进一步研究面面距离，请同学归纳表述.
［生］（1）两个平行平面的公垂线、公垂线段的定义：
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段. α∥β
如果AA′,BB′都是它们的公垂线段
那么AA′∥ΒΒ′
依两个平面平行的性质定理
有A′B′∥AB
那么四边形ABB′A′是平行四边形，AA′＝BB′
由此我们得到，两个平面平行，这两个平面的公垂线段都相等.
（2）两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.
3．课堂练习：
课本P41练习1，2，3，4
4．课时小结：
本节课主要研究如何证明两个平面平行？其途径可以选择从公共点的角度考虑.但要说明两面没有公共点，是比较困难的，而要用定理判定的话，关键是线应具备“相交”“平行”要求.例1也可作为结论直接运用；两个平面平行，即面面平行，可得，其中一面内的线平行于另一个平面，即线面平行；两个平面平行，即面面平行，可得，两个平面与第三平面相交，交线平行，即线线平行；求面与面距离可转化为线面距离，进而转化为点面距离。
5．课后作业：
课本P47 习题1、2、3、4、5.
- 5 -第十课时 等比数列的前n项和(二)
教学目标：
综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题，提高学生分析、解决问题的能力.
教学重点：
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.
教学难点：
灵活使用有关知识解决问题
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
前面我们学习了哪些有关等比数列的知识
定义式：＝q(q≠0，n≥2)
通项公式：an＝a1qn－1(a1,q≠0)
若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq,
Sn＝＝ (q≠1)
Sn＝na1，(q＝1)
an＝Sn－Sn－1(n≥2)，a1＝S1(n＝1)
Ⅱ.讲授新课
我们结合一些练习来看一下如何灵活应用它们.
［例1］求和：（x＋）＋（x2＋）＋…＋（xn＋） (其中x≠0，x≠1，y≠1)
分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.
解：当x≠0，x≠1，y≠1时，
（x＋）＋（x2＋）＋…＋（xn＋）＝(x＋x2＋…＋xn)＋(＋＋…＋)
＝＋ eq \f(（1－）,1－) ＝＋
此方法为求和的重要方法之一：分组求和法.
［例2］已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列.
分析：由题意可得S3＋S6＝2S9，要证a2，a8，a5成等差数列，只要证a2＋a5＝2a8即可.
证明：∵S3，S9，S6成等差数列，∴S3＋S6＝2S9
若q＝1，则S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，由等比数列中，a1≠0得S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，∴q≠1，
∴S3＝，S6＝，S9＝且
＋＝
整理得q3＋q6＝2q9，由q≠0得1＋q3＝2q6
又∵a2＋a5＝a1q＋a1q4＝a1q(1＋q3)，∴a2＋a5＝a1q·2q6＝2a1q7＝2a8
∴a2，a8，a5成等差数列.
评述：要注意题中的隐含条件与公式的应用条件.
［例3］某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)
分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n项和.
解：设每年的产量组成一个等比数列{an}，其中a1＝5，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30
∴＝30，整理可得：1.1n＝1.6
两边取对数，得nlg1.1＝lg1.6，即：n＝≈5
答：约5年内可以使总产量达到30万吨.
评述：首先应根据题意准确恰当建立数学模型，然后求解.
Ⅲ.课堂练习
课本P58练习1，2，3
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，应掌握等比数列的定义式、通项公式、性质以及前n项求和公式的灵活应用.利用它们解决一些相关问题时，应注意其特点.
Ⅴ.课后作业
课本P58习题 3，4，5
等比数列的前n项和(二)
1．数列{an}为正数的等比数列，它的前n项和为80，且前n项中数值最大的项为54，它的前2n项的和为6560，求此数列的首项和公比.
2．已知数列{an}是等比数列，试判断该数列依次k项的和组成的数列{bn}是否仍为等比数列？
3．求数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…的前n项和Sn.
4．数列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)
(1)证明数列{an}为等比数列；（2）求通项an；(3)当k＝－1时，求和a12＋a22＋…＋an2.
5．已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.
6．等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20的值.
7．求和（x＋）2＋（x2＋）2＋…＋（xn＋）2
8．求数列2x2，3x3，4x4，…，nxn，…的前n项和.
等比数列的前n项和(二)答案
1．数列{an}为正数的等比数列，它的前n项和为80，且前n项中数值最大的项为54，它的前2n项的和为6560，求此数列的首项和公比.
分析：利用等比数列的前n项和公式Sn＝解题.
解：若q＝1，则应有S2n＝2Sn，与题意不合，故q≠1.
当q≠1时，由已知得 eq \b\lc\{(\a\al(＝80 ①,＝6560 ②))
由，得＝82，即q2n－82qn＋81＝0
得qn＝81或qn＝1(舍)
∴qn＝81，故q＞1.
{an}的前n项中最大，有an＝54.将qn＝81代入①，得a1＝q－1 ③
由an＝a1qn－1＝54，得a1qn＝54q
即81a1＝54q ④
由③、④得a1＝2，q＝3
评述：在数学解题中还应有一个整体观念，如本题求出qn＝81，应保留qn为一个整体求解方便.
2．已知数列{an}是等比数列，试判断该数列依次k项的和组成的数列{bn}是否仍为等比数列？
分析：应对{an}的公比q分类讨论.
解：设bn＝a(n－1)k+1＋a(n－1)k+2＋…＋ank，且数列{an}的公比为q
则当q＝1时，b1＝b2＝…＝bn＝…＝ka1,
∴{bn}为公比是1的等比数列.
当q≠±1时，bn＝，＝＝qk
∴{bn}为公比是qk的等比数列.
当q＝－1时，若k为偶数，则bn＝0，此时{bn}不能为等比数列.
若k为奇数，数列{bn}为公比为－1的等比数列.
综上：当{an}的公比不为－1时，数列{bn}仍为等比数列；当{an}的公比为－1时，若k为偶数，则{bn}不是等比数列；当k为奇数时，数列{bn}为公比为－1的等比数列.
3．求数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…的前n项和Sn.
解：(1)a＝0时，Sn＝1；(2)a＝1时，Sn＝n(n＋1)；
(3)a＝－1时，Sn＝ eq \b\lc\{(\a\al(（n为偶数）,（n为奇数）)) ；
(4)a＝±1；a≠0时，Sn＝.
4．数列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)
(1)证明数列{an}为等比数列；（2）求通项an；(3)当k＝－1时，求和a12＋a22＋…＋an2.
分析：由于条件中涉及Sn与an的关系，因此，要考虑Sn－Sn－1＝an(n≥2)的运用，然后回答定义.
（1）证明：∵Sn＝1＋kan ①
Sn－1＝1＋kan－1 ②
①－②得Sn－Sn－1＝kan－kan－1(n≥2)
∴(k－1)an＝kan－1，＝ (常数)，（n≥2）
∴{an}是公比为的等比数列.
（2）解：∵S1＝a1＝1＋ka1，∴a1＝
∴an＝·()n－1＝－
(3)解：∵{an}中a1＝，q＝
∴{an2}为首项为（）2，公比为（）2的等比数列.
当k＝－1时，等比数列{an2}的首项为 ，公比为
∴a12＋a22＋…＋an2＝ eq \f([1－（）n],1－) ＝[1－（）n]
评述：应注意an＝的应用.
5．已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.
解：设数列的公比为q，项数为2n
则，得q(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝170，∴q＝2
又∵＝85，即＝85
∴22n＝256＝28，∴2n＝8
评述：在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及到a1，n，q，an，Sn5个量，其中a1和q是基本量，利用这两个公式，可知三求二.
6．等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20的值.
分析：关键是确定首项和公比.
解：设此数列的首项和公比为a1和q.
则 eq \b\lc\{(\a\al(＝1 ①,＝3 ②))
由②÷①得q4＝2.
∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16
＝－＝＝q16＝24＝16.
评述：在研究等比数列的问题中，要确定基本量a1和q,仍然离不开方程思想，在具体求解时，得到的方程往往是高次方程，因此，要注意优化与化简.
7．求和（x＋）2＋（x2＋）2＋…＋（xn＋）2
分析：注意到（xn＋）2＝an＝x2n＋＋2，且{x2n}与{()2n}为等比数列，故可考虑拆项法.
解：Sn＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋(＋＋…＋)＋
当x＝±1时， Sn＝n＋n＋2n＝4n.
当x≠±1时，Sn＝＋ eq \f(（1－）,1－) ＋2n
＝＋2n
评述：在运用等比数列的求和公式时，要注意分析公比是否为1.
8．求数列2x2，3x3，4x4，…，nxn，…的前n项和.
分析：可以通过错位相减的方法转化为等比数列的求和问题.
解：（1）当x＝0时，Sn＝0.
(2)当x＝1时，Sn＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝n(n＋3).
(3)当x≠1时，Sn＝2x2＋3x3＋4x4＋…＋(n＋1)xn+1 ①
xSn＝2x3＋3x4＋4x5＋…＋nxn+1＋(n＋1)xn+2 ②
①－②得：（1－x）Sn＝2x2＋x3＋x4＋…＋xn+1－(n＋1)xn+2
＝2x2＋－(n＋1)xn+2
∴Sn＝ ③
又当x＝0时，Sn＝0适合③
∴Sn＝ eq \b\lc\{(\a\al(n(n＋3) （x＝1）, （x≠1）))
评述：错位相减法是一种常用的重要的求和方法.
- 5 -第六课时 任意角的三角函数(二)
教学目标：
理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等，使学生认识到规律是客观存在的，只要用心去找，认真寻求，就不难发现，不难认识.客观世界中的事物也是这样，要善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律，按照事物的发展规律去办事.
教学重点：
各种三角函数在各象限内的符号，终边相同的角的同一三角函数值相等.
教学难点：
各种三角函数在各象限内的符号.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
任意角三角函数的定义
Ⅱ.讲授新课
三角函数的定义告诉我们，各三角函数值实质上是个比值，因此，各三角函数在各象限内的符号，取决于x、y的符号(因为r恒大于零).因为P点在第一、第二象限时，纵坐标y＞0，P点在第三、第四象限时，纵坐标y＜0，所以正弦函数值对于第一、第二象限角是正的，对于第三、第四象限角是负的.请同学们仿照我们讨论正弦函数值在各象限内符号的方法，回答余弦函数值在各象限内的符号.
余弦函数值的正负取决于P点横坐标x的正负，因为P点在第一、第四象限时，横坐标x＞0，P点在第二、第三象限时，横坐标x＜0，所以余弦函数值对于第一、第四象限角是正的，对于第二、第三象限角是负的.
对于正切函数值，其正负怎样确定呢
正切函数值 的正负，取决于x、y的符号是否相同.因为P点在第一象限时，x、y同正，P点在第三象限时，x、y同负，此时 ＞0，P点在第二、第四象限时，x、y异号，此时 ＜0，所以正切函数值对于第一、第三象限角是正的，对于第二、第四象限角是负的.
Ⅲ.例题分析
［例1］确定下列三角函数值的符号
(1)cos250° （2）sin（－） （3）tan（－672°） （4）tan
解：(1)∵250°是第三象限角，∴cos250°＜0
(2)∵－是第四象限角，∴sin（－）＜0
(3)tan（－672°）＝tan（48°－2×360°）＝tan48°
而48°是第一象限角，∴tan（－672°）＞0
(4)tan＝tan（＋2π）＝tan
而是第四象限角，∴tan＜0.
［例2］如果点P（2a，－3a)(a＜0)在角θ的终边上，求sinθ、cosθ、tanθ的值.
分析：依据点P（2a，－3a)(a＜0)坐标，可以在一直角三角形中利用任意角的三角函数定义求.
解：如图，点P（2a，－3a)(a＜0)在第二象限，
且r＝－a，
∴sinθ＝ ＝＝
cosθ＝＝＝－
tanθ＝＝－
［例3］已知角θ的终边在直线y＝－3x上，求10sinθ＋的值.
分析：依据θ的终边在直线y＝－3x上，可设出其终边上任一点P（m，－3m），再对
m＞0与m＜0分别讨论.
解：设P（m，－3m)是θ终边上任一点，则
r＝＝＝|m|
当m＞0时，r＝m.
∴sinθ＝＝－，＝＝
∴10sinθ＋＝－3＋3＝0
当m＜0时，r＝－m
∴sinθ＝＝
＝＝－
∴10sinθ＋＝3－3＝0
综上，得10sinθ＋＝0
Ⅳ.课堂练习
课本P16练习 4、5、6、7、8.
Ⅴ.课时小结
本节课我们重点讨论了三角函数在各象限内的符号，这是我们日后学习的基础，经常要用，请同学们熟记.
Ⅵ.课后作业
课本P23习题 4、5、6.
任意角的三角函数(二)
1．已知角θ的终边过点P（－4a，3a)a≠0，则2sinθ＋cosθ的值是 （ ）
A. B.－ C. 或－ D.不确定
2．设A是第三象限角，且|sin|＝－sin，则是 （ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3．sin2cos3tan4的值 （ ）
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不确定
4．已知|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则 的终边在 （ ）
A.第二、四象限 B.第一、三象限
C.第一、三象限或x轴上 D.第二、四象限或x轴上
5．若sinθ·cosθ＞0，则θ是第 象限的角.
6．若α的余弦线为0，则它的正弦线的长度为 .
7．角α（0＜α＜2π）的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则α的值为 .
8．已知α是第三象限角，试判定sin（cosα)·cos(sinα)的符号.
9．已知：P（－2，y）是角α终边上一点，且sinα＝－，求cosα的值.
10．已知角α的终边经过P（8m，6m）(m≠0)，求log2|－tanα|的值.
任意角的三角函数(二)答案
1．C 2．D 3．B 4．D 5．一、三 6．1 7．或
8．已知α是第三象限角，试判定sin（cosα)·cos(sinα)的符号.
分析：依据α是第三象限角可得cosα＜0且－1＜cosα＜0，与sinα＜0
且－1＜sinα＜0，进而确定式子sin（cosα)·cos(sinα)的符号.
解：∵α是第三象限角
∴－1＜cosα＜0，－1＜sinα＜0，
∴sin(cosα)＜0，cos(sinα)＞0.
∴sin(cosα)·cos(sinα)＜0
9．已知：P（－2，y）是角α终边上一点，且sinα＝－，求cosα的值.
由P（－2，y）且sinα＝－＜0知y＜0
又＝－，y2＋4＝5y2，y2＝1
∴y＝－1
∴cosα＝＝＝－
10．已知角α的终边经过P（8m，6m）(m≠0)，求log2|－tanα|的值.
分析：依据点P（8m，6m）(m≠0)的坐标，求出及tanα的值，进而求出
log2|－tanα|的值.
解：∵P（8m，6m)(m≠0)，∴r＝10|m|
当m＞0时，r＝10m
∴＝，tanα＝， ∴log2|－tanα|＝log2＝－1
当m＜0时，r＝－10m
∴＝－，tanα＝， ∴log2|－tanα|＝log22＝1
综上，得log2|－tanα|＝
- 4 -三角函数单元复习题（三）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 （ ）
A.y＝sin2x B.y＝cos
C.y＝sin2x＋cos2x D.y＝
2．设函数y＝cos(sinx)，则 （ ）
A.它的定义域是［－1，1］ B.它是偶函数
C.它的值域是［－cos1，cos1］ D.它不是周期函数
3．把函数y＝cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移个单位.则所得图象表示的函数的解析式为 （ ）
A.y＝2sin2x B.y＝－2sin2x
C.y＝2cos(2x＋) D.y＝2cos(＋)
4．函数y＝2sin(3x－)图象的两条相邻对称轴之间的距离是 （ ）
A. B. C.π D.
5．若sinα＋cosα＝m，且－≤m＜－1，则α角所在象限是 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6．函数y＝|cotx|·sinx（0＜x≤且x≠π）的图象是 （ ）
7．设y＝，则下列结论中正确的是 （ ）
A.y有最大值也有最小值 B.y有最大值但无最小值
C.y有最小值但无最大值 D.y既无最大值又无最小值
8．函数y＝sin（－2x)的单调增区间是 （ ）
A.［kπ－，kπ＋］(k∈Z) B.［kπ＋，kπ＋］(k∈Z)
C.［kπ－，kπ＋］(k∈Z) D.［kπ＋，kπ＋］(k∈Z)
9．已知0≤x≤π，且－＜a＜0，那么函数f(x)＝cos2x－2asinx－1的最小值是 （ ）
A.2a＋1 B.2a－1 C.－2a－1 D.2a
10．求使函数y＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在［0，］上是增函数的θ的一个值为 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．函数y＝的值域是_____________.
12．函数y＝ eq \f(,lg（1＋tanx）) 的定义域是_____________.
13．如果x，y∈［0，π］，且满足|sinx|＝2cosy－2，则x＝___________，y＝___________.
14．已知函数y＝2cosx，x∈［0，2π］和y＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是_____________
15．函数y＝sinx＋cosx＋sin2x的值域是_____________.
16．关于函数f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改为y＝4cos(2x－)；
③y＝f(x)的图象关于点（－，0)对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称.
其中正确的命题的序号是_____________.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.
18．（本小题满分14分）已知函数y＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.(x∈R)
(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合.
(2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
19．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝(sinx－cosx)
（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；
（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.
20．（本小题满分15分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m，渠深3米，则水渠侧壁的倾斜角α应为多少时，方能使修建的成本最低？
21． (本小题满分15分）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M（，0)对称，且在区间［0，］上是单调函数，求φ和ω的值.
三角函数单元复习题（三）答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．D 2．B 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．D 9．C 10．C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．（－∞，］∪［1，+∞) 12．{x|－＋2kπ＜x＜2kπ或2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)}
13．x＝0或π，y＝0 14．4π 15．{y｜－≤y≤1＋} 16．②③
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.
【解】 由图可得：A＝，T＝2｜MN｜＝π.
从而ω＝＝2，故y＝sin(2x＋φ)
将M（，0）代入得sin(＋φ)＝0
取φ＝－得y＝sin(2x－)
【评注】 本题若将N（，0）代入y＝sin(2x+φ)
则可得：sin(＋φ)＝0.若取φ＝－，则y＝sin(2x－)＝－sin(2x－)，?它与y＝sin(2x－)的图象关于x轴对称，故求解错误！因此，将点的坐标代入函数y＝sin(2x＋φ)后，如何确定φ，要看该点在曲线上的位置.如：M在上升的曲线上，就相当于“五点法”作图中的第一个点，故＋φ＝0；而N点在下降的曲线上，因此相当于“五点法”作图中的第三个点，故＋φ＝π，由上可得φ的值均为－.
18．（本小题满分14分）已知函数y＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.(x∈R)
(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合.
(2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
【解】 y＝1＋sin2x＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋2＝sin(2x＋)＋2.
(1)要使y取得最大值，则sin(2x＋)＝1.
即：2x＋＝2kπ＋x＝kπ＋ (k∈Z)
∴所求自变量的取值集合是{x｜x＝kπ＋，k∈Z}.
(2)变换的步骤是：
①把函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin(x+)的图象；
②将所得的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得函数y＝sin(2x＋）的图象；
③再将所得的图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得函数 y＝sin(2x＋)的图象；
④最后将所得的图象向上平移2个单位，就得到 y＝sin(2x＋)+2的图象.
【说明】 以上变换步骤不唯一！
19．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝(sinx－cosx)
（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；
（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.
【分析】 研究复合函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性）应同时考虑内层函数与外层函数各自的特性以及它们的相互制约关系.
【解】 （1）由题意得sinx－cosx＞0，即sin(x－)＞0
从而得2kπ＜x－＜2kπ＋π，所以函数的定义域为（2kπ＋，2kπ＋）(k∈Z)
∵0＜sin(x－)≤1，∴0＜sinx－cosx≤
即有(sinx－cosx)≥＝－.故函数的值域是［－，+∞).?
（2）∵sinx－cosx＝sin（x－)在f(x)的定义域上的单调递增区间为（2kπ＋，2kπ＋）(k∈Z)，函数f(x)的递减区间为（2kπ＋，2kπ＋）(k∈Z).
(3)∵f(x)的定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，
∴函数f(x）是非奇非偶函数.
（4）f(x＋2π)＝［sin(x＋2π)－cos(x＋2π)］＝（sinx－cosx)＝f(x).
∴函数f(x)是周期函数，2π是它的一个周期.
20．（本小题满分15分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m，渠深3米，则水渠侧壁的倾斜角α应为多少时，方能使修建的成本最低？
【分析】 本题中水与水渠壁的接触面最小，即是修建的
成本最低，而水与水渠壁的接触面最小，实际上是使水渠横断
面的周长?最小.?
【解】 设水渠横断面的周长为y，则：
(y－2×)×3＋2×·＝m
即：y＝＋3· (0°＜α＜90°).
欲减少水与水渠壁的接触面，只要使水渠横断面周长y最小，即要使t＝
(0°＜α＜90°)最小，
∵tsinα＋cosα＝2.
∴sin(α＋φ)＝，(其中φ由tanφ＝，φ∈(0°，90°))
由≤1得：t2≥3t≥
当且仅当t＝，即tanφ＝，即φ＝30°时，不等式取等号，此时sin(α＋30°)＝1α＝60°.
【答】 水渠侧壁的倾斜角α＝60°时，修建成本最低.
21． (本小题满分15分）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M（，0)对称，且在区间［0，］上是单调函数，求φ和ω的值.
【解】 由f(x)是偶函数，得f(x)＝f(－x)
即sin(ωx＋φ)＝sin(－ωx＋φ)
∴－cosφsinωx＝cosφsinωx对任意x都成立.
且ω＞0，∴cosφ＝0，依题设0≤φ≤π，∴φ＝
由f(x)的图象关于点M（，0）对称，得，
取x＝0，得f()＝－f()，∴f()＝0
∴f()＝sin(＋)＝cos＝0，又ω＞0
∴＝＋kπ，k＝0，1，2，…，ω＝ (2k＋1)，k＝0，1，2，…
当k＝0时，ω＝，f(x)＝sin(x＋)在区间［0，］上是减函数；
当k＝1时，ω＝2，f(x)＝sin(2x＋)在区间［0，］上是减函数；?
当k≥2时，ω≥，f(x)＝sin(ωx＋)在区间［0，］上不是单调函数；
所以，ω＝或ω＝2.
- 7 -3.1.2 两角和与差的正弦
一、课题：两角和与差的正弦
二、教学目标：1.能推导，的诱导公式，并能灵活运用；
2.掌握公式的推导，并能熟练进行公式正逆向运用。
三、教学重点：公式及诱导公式的推导、运用；
四、教学难点：公式及诱导公式的运用。
五、教学过程：
（一）复习：
1．公式；
2．练习：
化简：（1）；（2）；（3）．
（二）新课讲解：
1．诱导公式
（1）；
（2）把公式（1）中换成，则．
即： ．
2．两角和与差的正弦公式的推导
即： （）
在公式中用代替，就得到：
（）
说明：（1）公式对于任意的都成立。
练习：习题4.6第二题，补充证明： .
（2），的三角函数等于的余名三角函数，前面再加上一个把看作锐角时原三角函数的符号；
（3）诱导公式用一句话概括为奇变偶不变，符号看象限。
3．例题分析：
例1：求值(1)； (2)； （3）．
解：（1）= ；
（2）
；
（3）．
例2：已知，，求，．
解： ， ∴，
， ∴，
∴，
．
又，
∴ ．
例3：已知，求及的值。
解： ， ∴在二，三象限，
当在第二象限时，，
∴，
，
当在第三象限时，，
∴，
．
五、课堂练习：4,5(1)(2)(3)(4) ．
六、小结：掌握 公式的推导，能熟练运用公式，注意公式的逆用。
七、作业：习题4．6 第3题（1）（2）（5）（7），第5题。
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- 1 -第二课时 角的概念的推广(二)
教学目标：
熟练掌握象限角的集合、轴线角的集合及终边相同的角的表示方法.
教学重点：
轴线角的集合，终边相同的角的表示方法
教学难点：
终边相同的角的表示方法
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
请思考并回答以下问题：
1.正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的表示方法是如何定义的？
2.角的定义只强调了射线绕端点旋转的方向，而没有谈及射线绕端点旋转的圈数，那么射线绕端点旋转的圈数对角有无影响？
3.能否说射线绕端点旋转的圈数越多，角就越大呢？
4.如图所示的∠ABC是第一象限角吗？为什么？
指出：①在角的定义里，射线绕端点旋转的圈数影响着角的
大小.②射线绕端点旋转的方向，若是逆时针方向旋转，则旋转圈
数越多，角越大；若顺时针方向旋转，则旋转圈数越多，角越小.③象限角概念中强调“角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合”这一条件.
Ⅱ.例题分析
［例1］写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示)
第一步：在0°到360°内找到满足上述条件的角，即90°、270°.
第二步：写出与上述角终边相同的角的集合，即
S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}
S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}
第三步：写出几个集合的并集，即
S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)· 180°，k∈Z}
＝{β|β＝90°＋180°的偶数倍}∪{β|β＝90°＋180°的奇数倍}
＝{β|β＝90°＋180°的整数倍}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}
能写出终边在x轴的非负半轴、非正半轴上的角的集合吗？
终边在x轴非负半轴上的角的集合为{x|x＝k·360°，k∈Z}，终边在x轴非正半轴上的角的集合为{x|x＝k·360°＋180°，k∈Z}.
以上两个集合的并集代表什么特殊位置上的角的集合呢？
［例2］写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β≤
720°的元素β写出来：
(1)60° （2）－21° （3）363°14′
第一步：利用终边相同的角的集合公式写出：
（1）S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}
(2)S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}
(3)S＝{β|β＝363°14′＋k·360°，k∈Z}
第二步：在第一步的基础上，利用满足约束条件的不等式，对其中的k值，分别采用赋值法求解出元素β:
(1)－300°，60°，420°
(2)－21°，339°，699°
(3)－356°46′，3°14′，363°14′
题目中的k值是靠观测、试探确定的，即赋给k一个任意值m试一试，看是否满足条件，再将m增1或减1再试，直至找到合适的k的最小值（或最大值）.
［例3］若α是第三象限角，试求、的范围.
分析：依据象限角的表示法将α表示出来后，再确定、的范围，再进一步判断、所在的象限.
解：∵α是第三象限角
∴k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)
(1)k·180°+90°＜＜k·180°+135°(k∈Z)
当k＝2n(n∈Z)时，n·360°+90°＜＜n·360°+135°
当k＝2n+1(n∈Z)时，n·360°+270°＜＜n·360°+315°
∴为第二或第四象限角.
(2)k·120°+60°＜＜k·120°+90°(k∈Z)
当k＝3n(n∈Z)时，n·360°+60°＜＜n·360°+90°(n∈Z)
当k＝3n+1(n∈Z)时，n·360°+180°＜＜n·360°+210°（n∈Z)
当k＝3n+2(n∈Z)时，n·360°+300°＜＜n·360°+330°(n∈Z)
∴为第一或第三或第四象限角.
Ⅲ.课堂练习
P7练习5
Ⅳ.课时小结
本节课的重点内容仍然是终边相同的角的集合表示，这是学习后续知识的基础，要予以足够的重视，若还有不明白的地方，请同学们再做进一步的讨论，或者提出来，老师再与你一块研究.
Ⅴ.课后作业
（一）P10习题 4、11、12.
（二）1.预习内容
课本P7~P8弧度制
2.预习提纲
弄清楚下列问题：
(1)弧度的单位符号
(2)1弧度的角的定义
(3)弧度制的定义
(4)角度与弧度的换算公式
角的概念的推广(二)
1．若α是第四象限角，则180°－α是 （ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2．设k∈Z，下列终边相同的角是 （ ）
A.（2k+1)·180°与（4k±1)·180° B.k·90°与k·180°+90°
C.k·180°+30°与k·360°±30° D.k·180°+60°与k·60°
3．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边 （ ）
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.以上都不对
4．终边与坐标轴重合的角α的集合是 （ ）
A.{α|α＝k·360°，k∈Z} B.{α|α＝k·180°+90°，k∈Z}
C.{α|α＝k·180°，k∈Z} D.{α|α＝k·90°，k∈Z}
5．若角α与β终边重合，则有 （ ）
A.α－β＝180° B.α+β＝0
C.α－β＝k·360°（k∈Z） D.α+β＝k·360°（k∈Z）
6．若将时钟拨慢5分钟，则时针转了 度，分针转了 度.
7．若角α是第三象限角，则角的终边在 ，2α角的终边在 .
8．如果6α与30°角的终边相同，求适应不等式－180°＜α＜180°的角α的集合.
9．如果角α的终边经过点M（1，），试写出角α的集合A，并求集合A中最大的负角和绝对值最小的角.
10．已知0°＜θ＜360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.
角的概念的推广(二)答案
1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．2.5 30
7．第二或第四象限 第一或第二象限或终边在y轴的正半轴上
8．如果6α与30°角的终边相同，求适应不等式－180°＜α＜180°的角α的集合.
分析：由6α与30°角的终边相同，得出α的表达式是解题的关键.
解：由题意得
6α＝30°＋k·360°(k∈Z)
∴α＝5°＋k·60°
∵－180°＜α＜180°
∴－180°＜5°＋k·60°＜180°，－185°＜k·60°＜175°
∴－＜k＜
∵k是整数， ∴k＝－3，－2，－1，0，1，2.
分别代入α＝5°＋k·60°，得满足条件的α的集合为：
{－175°，－115°，－55°，5°，65°，125°}
9．如果角α的终边经过点M（1，），试写出角α的集合A，并求集合A中最大的负角和绝对值最小的角.
分析：关键是求出0°到360°范围内的角α.
解：在0°到360°范围内，由几何方法可求得α＝60°.
∴A＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}
其中最大的负角为－300°（当k＝－1时）
绝对值最小的角为60°（当k＝0时）
10．已知0°＜θ＜360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.
由7θ＝θ＋k·360°，得θ＝k·60°（k∈Z）
∴θ＝60°，120°，180°，240°，300°
- 4 -第一课时 两角和与差的余弦
教学目标：
掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.
教学重点：
余弦的差角公式及简单应用
教学难点：
余弦的差角公式的推导
教学过程：
Ⅰ.课题导入
在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函数值 即：α＋β、α－β或2α的三角函数值与α、β的三角函数值有什么关系
Ⅱ.讲授新课
接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos（α－β）用α、β的三角函数来表示的问题.
在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P1（cosα，sinα）、P2（cosβ，sinβ），则∠P1OP2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β＜π的情况.
设向量a＝＝（cosα，sinα），b＝＝（cosβ，sinβ），则：
a·b＝︱a︱︱b︱cos （α－β）＝cos （α－β）
另一方面，由向量数量积的坐标表示，有
a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ
所以：cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ （C（α－β））
两角和的余弦公式对于任意的角α、β都是成立的，不妨，将此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的结果
cos ［α－（－β）］
＝cos αcos （－β）－sinαsin（－β）
＝cos αcos β－sinαsinβ
即：cos （α＋β）＝cos αcos β－sinαsinβ （C（α＋β））
请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系
(1)这一式子表示的是任意两角α与β的差α－β的余弦与这两角的三角函数的关系.
(2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系.
请同学们仔细观察它们各自的特点.
(1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差.
(2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和.
不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值.
如：求cos 15°可化为求cos（45°－30°)或cos（60°－45°）利用这一式子而求得其值.
即：cos 15°＝cos（45°－30°）
＝cos 45°cos 30°＋sin45°sin30°
＝·＋·＝
或：cos 15°＝cos （60°－45°）
＝cos 60°cos 45°＋sin60°sin45°
＝·＋·＝
请同学们将此公式中的α用代替，看可得到什么新的结果
cos（－α）＝coscos α＋sinsinα＝sinα
即：cos（－α）＝sinα
再将此式中的α用－α代替，看可得到什么新的结果.
cos［－（－α）］＝cosα＝sin（－α）
即：sin（－α）＝cosα
Ⅲ.课堂练习
1.求下列三角函数值
①cos （45°＋30°）②cos 105°
解：①cos（45°＋30°）＝cos 45°cos 30°－sin45°sin30°
＝·－·＝
②cos 105°＝cos （60°＋45°）＝cos 60°cos 45°－sin60°sin45°
＝·－·＝
2.若cos αcos β＝－，cos（α＋β）＝－1，求sinαsinβ.
解：由cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
得：sinαsinβ＝cosαcosβ－cos（α＋β）
将cosαcosβ＝－，cos（α＋β）＝－1代入上式可得：sinαsinβ＝
3.求cos 23°cos 22°－sin23°sin22°的值.
解：cos 23°cos 22°－sin23°sin22°＝cos（23°＋22°）＝cos 45°＝
4.若点P(－3，4)在角α终边上，点Q（－1，?－2）在角β的终边上，求cos （α＋β）的值.
解：由点P（－3，4）为角α终边上一点；点Q（－1，－2)为角β终边上一点，
得：cos α＝－，sinα＝；cosβ＝－，sinβ＝－.
∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝（－）×（－）－×（－）＝
5.已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－，求：tanα·tanβ的值.
解：由已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－
可得：cos（α－β）＋cos（α＋β）＝－＝
即：2cosαcosβ＝ ①
cos（α－β）－cos（α＋β）＝1
即：2sinαsinβ＝1 ②
由②÷①得＝tanα·tanβ＝
∴tanα·tanβ的值为.
6.已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，求：cos （α－β）的值.
解：由已知cosα－cosβ＝
得：cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝ ①
由sinα－sinβ＝－
得：sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝ ②
由①＋②得：2－2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＝
即：2－2cos（α－β）＝
∴cos（α－β）＝
Ⅳ.课时小结
两公式的推导及应用.
Ⅴ.课后作业
课本P96习题 1，2，3
两角和与差的余弦
1．下列命题中的假命题是 （ ）
A.存在这样的α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
B.不存在无穷多个α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
C.对于任意的α和β，都有cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
D.不存在这样的α和β值，使得cos（α＋β）≠cosαcosβ－sinαsinβ
2．在△ABC中，已知cos A·cos B＞sinA·sinΒ，则△ABＣ一定是钝角三角形吗？
3．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的最大值和最小值.
4．已知：α∈（，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）＝－
求：cos （α＋β）.
5．已知：α、β为锐角，且cosα＝，cos（α＋β）＝－，求cosβ的值.
6．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cos C的值.
两角和与差的余弦答案
1．B
2．在△ABC中，已知cos A·cos B＞sinA·sinΒ，则△ABＣ一定是钝角三角形吗？
解：∵在△ABC中，∴0＜C＜π，且A＋B＋C＝π
即：A＋B＝π－C
由已知得cos A·cos B－sinA·sinB＞0，即：cos（A＋B）＞0
∴cos（π－C）＝－cos C＞0，即cos C＜0
∴C一定为钝角
∴△ABC一定为钝角三角形.
3．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的最大值和最小值.
分析：令cosα＋cosβ＝x，然后利用函数思想.
解：令cosα＋cosβ＝x，则得方程组：
eq \b\lc\{(\a\al(cosα＋cosβ＝x ①,sinα＋sinβ＝ ②))
①2＋②2得2＋2cos (α－β)＝x2＋
∴cos (α－β)＝
∵|cos (α－β)|≤1， ∴| |≤1
解之得：－≤x≤
∴cosα＋cosβ的最大值是，最小值是－.
4．已知：α∈（，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）＝－
求：cos （α＋β）.
解：由已知：α∈（，）
－α∈（－，－）－α∈（－，0）
又∵cos （－α）＝， ∴sin（－α）＝－
由β∈（0，）＋β∈（，）
又∵sin（＋β）＝sin［π＋（＋β）］＝－sin（＋β）＝－
即sin（＋β）＝， ∴cos（＋β）＝
又（＋β）－（－α）＝α＋β
∴cos（α＋β）＝cos［（＋β）－（－α）］
＝cos（＋β）cos（－α）＋sin（＋β）sin（－α）
＝×＋×（－）＝－
5．已知：α、β为锐角，且cosα＝，cos（α＋β）＝－，求cosβ的值.
解：∵0＜α·β＜，∴0＜α＋β＜π
由cos （α＋β）＝－，得sin（α＋β）＝
又∵cosα＝，∴sinα＝
∴cosβ＝cos［（α＋β）－α］
＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sinα
＝（－）×＋×＝
评述：在解决三角函数的求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系.
6．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cos C的值.
分析：本题中角的限制范围就隐含在所给的数字中，轻易忽视，就会致错.
解：由sinA＝＜知0°＜A＜45°或135°＜A＜180°，
又cos B＝＜，∴60°＜B＜90°，∴sinB＝
若135°＜A＜180°则A＋B＞180°不可能.
∴0°＜A＜45°，即cos A＝.
∴cos C＝－cos（A＋B）＝.
- 6 -第3课时 函数的表示法
教学目标：
使学生掌握函数的三种常用表示方法，了解初等函数图象的几种情形，理解分段函数的意义，初步学会用函数的知识解决具体问题的方法；通过本节课的教学，使学生认识到知识无止境，对客观世界的认识也是永无止境的，树立终身学习的思想.
教学重点：
函数的表示方法，函数的应用.
教学难点：
函数的应用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］上节课我们学习了判定两个函数是否相同的方法，哪位同学来回答一下如何判定两个函数是否相同呢？
［生］判定两个函数是否相同，一要看其定义域是否相同，二要看其对应关系是否相同，当两者完全一致时，这两个函数就是相同的函数，当两者有一不同或两者完全不同时，这两个函数就不是相同的函数.
［师］很好!我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题（板书课题）.
Ⅱ.指导自学
［师］课下同学们已经进行了自学，函数的表示方法常用的有哪几种，各有什么优点？
［生］函数的表示方法常用的有三种，分别是解析法、列表法、图象法.
解析法是用解析式表示两个变量的函数关系，它的优点是关系清楚，容易求函数值，便于研究函数的性质.
列表法是用表格表示两个变量的函数关系，它的优点是不必计算就可知道自变量取某些值时的函数值.
图象法是用图象表示两个变量的函数关系，它的优点是表示函数的变化情况形象直观.
［师］好!（再举些例子对各种表示方法进行说明，并强调：中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数）
［师］下面请同学们看课本P30例1、例2.
（学生看课本、教师巡视）
［师］例1、例2的图象有什么特点呢？
［生］例1的图象是一些孤立的点，例2的图象是几条线段.
［师］回答完全正确，在初中，我们学过的函数图象通常是一条光滑的（不打折）曲线（或直线）.例1、例2告诉我们函数的图象有时也可以由一些弧立的点或几段线段组成，以后我们还将看到函数的图象还可以由几段光滑的曲线组成，从例2看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.
注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数.
［师］例3是生活中的实际问题，对实际问题的解决，要求我们认真分析题意，将其抽象，转化成数学问题，通过解答数学问题，使实际问题得以解决，因此，解决应用问题的关键是将实际问题分析，抽象，转化成数学问题，即将实际问题数学化.
下面我们一起对例4进行分析，请大家再仔细看一遍题.
［例4］经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间t的函数，且销售量近似地满足关系ｇ（t）＝－t ＋（t∈N*，0＜t≤100)，在前40天内价格为f（t）＝t＋22（t∈N*，0≤t≤40），在后60天内价格为f（t）＝－t＋52（t∈N*，40＜t≤100)，求这种商品的日销售额的最大值(近似到1元).
分析：弄清“日销量”“价格”“日销额”这三个概念以建立它们之间的函数关系式.
解：前40天内日销售额为：
S＝（t＋22）（－t＋）＝－t2＋t＋779
∴S＝－（t－10.5）2＋
后60天内日销售额为：
S＝（－t＋52）（－t＋）＝t2－t＋
∴S＝（t－106.5）2－
∴得函数关系式
S＝ eq \b\lc\{(\a\al(－（t－10.5）2＋（0＜t≤40且t∈N+）,（t－106.5）2－（40＜t≤100且t∈N+）))
由上式可知：对于0＜t≤40且t∈N*，有当t＝10或11时，Smax≈809
对于40＜t≤100且t∈N*，有当t＝41时，Smax＝714，综上所述得：当t＝10或11时，Smax≈809
答：第10天或11天日售额最大值为809元
［例5］某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.
(1)写出图一表示的市场售价间接函数关系P＝f（t）.写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大
(注：市场售价和种植成本的单位：元／102　kg，时间单位：天)
解：(1)由图一可得市场售价间接函数关系为，f（t）＝
由图二可得种植成本间接函数关系式为
g（t）＝（t－150）2＋100 0≤t≤300
(2)设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）＝f（t）－ｇ（t）
即h（t）＝ eq \b\lc\{(\a\al(－t 2＋t ＋（0≤t≤200）,－t 2＋t －（200＜t≤300）))
当0≤t≤200时，得h（t）＝－（t－50）2＋100
∴当t＝50时，h(t)取得在t∈[0，200]上的最大值100
当200＜t≤300时，得h（t）＝－（t－350）2＋100
∴当t＝300时，h（t）取得在t∈（200，300]上的最大值87.5
综上所述由100＞87.5可知，h(t)在t∈[0，300]上可以取得最大值是100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿收益最大.
评述：（1）以上两例都是考查用数学中函数知识思想、方法去解决实际问题的能力，注意其中关键词的理解，正确找出函数关系式.求最值时配方法是一种常用方法.
（2）应用题是高考热点问题，且应用题的具体内容可以多种多样，千变万化，而抽象其数量关系，并建立函数关系式是具有普遍意义的方法.
（3）数学应用题因其具有没有固定的背景与题型，难以摸拟分类的特点，也就更接近于我们的生产和实际生活.所以应用题是考查学生创新意识和创新能力的难得的有效题型，同时也不失为提高学生分析问题和解决问题能力的好题型.所以，我们广大师生应加强这一方面的训练，清除心理负面影响，以积极的姿态，迎接数学应用题的挑战，以适应高考的改革要求.
［例6］季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.
(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式.
(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125（t－8）2＋12，t∈[0，16]，t∈N*试问该服装第几周每件销售利润L最大
解： (1)P＝
(2)因每件销售利润＝售价－进价，即L＝P－Q
故有：当t∈[0，5)且t∈N*时，L＝10＋2t＋0.125（t－8）2－12＝t2＋6
即，当t＝5时，Lmax＝9.125
当t∈[5，10)时t∈N*时，L＝0.125t2－2t＋16
即t＝5时，Lmax＝9.125
当t∈[10，16]时，L＝0.125t2－4t＋36
即，t＝10时，Lmax＝8.5
由以上得，该服装第5周每件销售利润L最大.
Ⅲ.课堂练习
课本P31练习1，2，3，4
Ⅳ.课时小结
［师］本节课我们学习了哪些知识呢？请同学们总结一下.
[生甲]函数的图象不仅可以是一段光滑的曲线，还可以是一些弧立的点.
[生乙]还可以是若干条线段.
[生丙]学习了函数知识的应用.
[生丁]应用数学知识解决实际问题，关键是将实际问题数学化.
[生戊]实际问题数学化就是要认真分析题意，将实际问题抽象，转化成数学问题.
[师]好!同学们总结了本节课所学习的知识，重要的在于掌握尤其是函数知识的应用，更要多练，才能运用自如.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P32习题2.2 1~12.
（二）1.预习内容：函数的单调性.
2.预习提纲：
（1）增函数、减函数的定义是什么？
（2）函数单调区间的定义是什么？
（3）证明函数单调的方法步骤是怎样的？
（4）单调性是个整体概念还是个局部概念？
- 1 -向量及其运算单元练习题
一、选择题（5×12＝60分）
1．若a、b是两个非零向量，则下列命题正确的是
A.a⊥ba·b＝0 B.a·b＝｜a｜·｜b｜
C.a·b＝－b·a D.a·b＝－｜a｜·｜b｜
2．设A(1，3)，B(－2，－3)，C(x，7)，若∥，则x的值为
A.0 B.3 C.15 D.18
3．已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，(a＋b)·(a＋3b)＝33，则a与b的夹角为
A.30° B.60° C.120° D.150°
4．若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b，且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则k的值为
A.－6 B.6 C.3 D.－3
5．设a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)且c＝pa＋qb，则实数p、q的值为
A.p＝4，q＝1 B.p＝1，q＝4 C.p＝0，q＝1 D.p＝1，q＝－4
6．若i＝(1，0)，j＝(0，1)，则与2 i＋3j垂直的向量是
A.3i＋2j B.－2i＋3j C.－3i＋2j D.2i－3j
7．已知向量i，j，i＝（1，0），j＝(0，1）与2i＋j垂直的向量为
A.2i－j B.i－2j C.2i＋j D.i＋2j
8．已知a2＝2a·b，b2＝2a·b，则a与b的夹角为
A.0° B.30° C.60° D.180°
9．已知a＝（1，2），b＝(x，1）若a＋2b与2a－b平行，则x为
A.1 B. C.2 D.－
10．把一个函数的图象先向右平移个单位，再向上平移2个单位后，得到图象的函数解析式为y＝sin(x＋)＋2，那么原来的函数解析式为
A.y＝sinx B.y＝cosx C.y＝sinx＋2 D.y＝cosx＋4
11．已知A、B、C三点在同一直线上，A（3，－6），B（－5，2），若点C的横坐标为6，则它的纵坐标为
A.－13 B.9 C.13 D.－9
12．向量（b·c)a－(a·c)b与向量c
A.平行但不相等 B.垂直
C.平行且相等 D.无法确定
二、填空题(4×6＝24分)
13．四边形ABCD满足＝，且｜｜＝｜｜，则四边形ABCD是 .
14．化简：（＋）＋（＋）＝
15．已知非零向量a，b，则（a－b)⊥(a＋b) .
16．已知下列命题：
①＋＋＝0；②若向量＝(－3，4)，则向左平移2个单位后的坐标仍是(－3，4)；③已知点M是△ABC的重心，则＋＋＝0
其中正确命题的序号是__________.
17．若向量a＝（3，－4），b＝(2，x)，e＝(2，y)，且a∥b，a⊥c，则b·c＝ .
18．设a，b，c是任意的非零平面向量，且互相不共线，则
①(a·b)c－(c·a)b＝0 ②|a|－|b|＜|a－b|
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直 ④（3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
其中是真命题的有 .（把正确命题的序号都填上）
第Ⅱ卷
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题
13 14 15
16 17 18
三、解答题(12＋13＋13＋14＋14＝66分)
19．化简：（－)－(－).
20．平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.
21．设两非零向量e1，e2
（1）试确定实数k，使ke1＋e2和e1＋ke2共线；
（2）若|e1|＝2，|e2|＝3，e1与e2的夹角为60°，试确定k，使ke1＋e2与e1＋ke2垂直.
22．某人在静水中游泳，速度为4千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳.
（1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
23．设两个非零向量e1与e2不共线，若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)
求证A、B、D共线.
向量及其运算单元练习题答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B C B B C B C B B D B
二、填空题
13．矩形 14． 15．|a|＝|b| 16．②③ 17．0 18．②④
三、解答题
19．化简：（－)－(－).
【解法一】 （统一成加法）
（－)－(－)＝－－＋
＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.
【解法二】 （利用－＝）
（－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0.
【解法三】 （利用＝－）
设O是平面内任一点，则
（－)－(－)＝－－＋＝（－）－（－）－（－）＋（－）＝0.
20．平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.
【解】 设＝a，＝b，则由M、N分别为DC、BC的中点可得：
＝a，＝b，在△ABN和△ADM中可得：
解得： 所以， ＝2d－c)，＝(2c－d).
21．设两非零向量e1，e2
（1）试确定实数k，使ke1＋e2和e1＋ke2共线；
（2）若|e1|＝2，|e2|＝3，e1与e2的夹角为60°，试确定k，使ke1＋e2与e1＋ke2垂直.
解：（1）当＝时，即k＝±1时，ke1＋e2与e1＋ke2共线
（2）当ke1＋e2与e1＋ke2垂直时，
即（ke1＋e2)·（e1＋ke2)＝0
∴ke12＋(k2＋1)e1e2＋ke22＝0
∴4k＋(k2＋1)·2·3cos60°－9k＝0
∴k＝.
22．某人在静水中游泳，速度为4千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳.
（1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
【解】 （1）如图（1），设人游泳的速度为，水流的速度为，以、为邻边作OACB，则此人的实际速度为
＋＝
由勾股定理知||＝8
且在Rt△ACO中，∠COA＝60°,
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着
水流的方向前进，速度大小为8千米/时.
（2）如图（2）,设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为＝－，在Rt△AOD中，||＝4，||＝4，||＝4，cosDAO＝.
∴∠DAO＝arccos.
故此人沿与河岸成arccos的夹角逆着水流方向前进，实际前进的速度大小为
4千米/时.
23．设两个非零向量e1与e2不共线，若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)
求证A、B、D共线.
证明：∵＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)
∴＝＋＝5e1＋5e2＝5(e1＋e2)＝5
故根据两向量共线的充要条件可得∥
又与有一公共点B，
∴A、B、D三点共线.
- 6 -2.3.2平面向量的坐标运算
一、课题： 2.3.2平面向量的坐标运算
二、教学目标：1．掌握两向量平行时坐标表示的充要条件；
2．能利用两向量平行的坐标表示解决有关综合问题。
三、教学重、难点：1．向量平行的充要条件的坐标表示；
2．应用向量平行的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题。
四、教学过程：
（一）复习：
1．已知，，求，的坐标；
2．已知点，及，，，求点、、的
坐标。
归纳：（1）设点，，则；
（2），，则，
，；
3．向量与非零向量平行的充要条件是：.
（二）新课讲解：
1．向量平行的坐标表示：
设，，（），且，
则，∴.
∴，∴.
归纳：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：
①；
②且设，（）
例1 已知，，且，求．
解：∵，∴．∴．
例2 已知，，，求证、、三点共线．
证明：，，
又，∴.∵直线、直线有公共点，
∴，，三点共线。
例3 已知，，若与平行，求．
解：=
∴， ∴，∴.
例4 已知，，，，则以，为基底，求.
解：令，则.
， ∴，
∴， ∴.
例5 已知点，，，，向量与平行吗？直线平
行与直线吗？
解：∵，=，
又， ∴；
又，，，
∴与不平行，
∴、、不共线，与不重合，
所以，直线与平行。
五、小结：1．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；
2．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；
3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同。
六、作业：
补充：1．已知，，，且，，求点，的坐标及向量的坐标；
2．已知，，，试用，表示；
3．设，，，且，求角．
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- 1 -3.1.3 概率的基本性质（第三课时）
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；
（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.
2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。
3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习 数学的情趣。
二、重点与难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。
三、学法与教学用具：1、讨论法，师生共同讨论，从而使加深学生对概率基本性质的理解和认识；2、教学用具：投灯片
四、教学设想：
1、 创设情境：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等；
（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1={出现1点}，C2={出现2点}，C3={出现1点或2点}，C4={出现的点数为偶数}……
师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？
2、 基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115；
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．
3、 例题分析：
例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件 哪些是对立事件
事件A：命中环数大于7环； 事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环； 事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.
分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。
解：A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生）.
例2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)=，P(B)=，求出“出现奇数点或偶数点”．
分析：抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公式求解．
解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件，所以P(C)=P(A)+ P(B)=+=1
答：出现奇数点或偶数点的概率为1
例3 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是，取到方块（事件B）的概率是，问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
分析：事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)=1—P(C)．
解：（1）P(C)=P(A)+ P(B)=（2）P(D)=1—P(C)=
例4 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．
解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、C、D，则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=；P(C∪D)=P(C)+P(D)=；P(B∪C∪D)=1-P(A)=1-=,解的P(B)=,P(C)=,P(D)=
答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是、、．
4、课堂小结：概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；3）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
5、自我评价与课堂练习：
1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品；
2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）=，P（B）=，求出现奇数点或2点的概率之和。
3．某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率。
4．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
6、评价标准：
1．解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的并不是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断：（2）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件。（3）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件。
2．解：“出现奇数点”的概率是事件A，“出现2点”的概率是事件B，“出现奇数点或2点”的概率之和为P（C）=P（A）+P（B）=+=
3．解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为0.21+0.23=0.44。（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97=0.03。
4．解：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和，即为+=
7、作业：根据情况安排
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72.4 向量的数量积（2）
一、课题：向量数量积（2）
二、教学目标：
要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。
三、教学重、难点：1．平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式；
2．向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．两平面向量垂直的充要条件；
2．两向量共线的坐标表示；
3．轴上单位向量，轴上单位向量，则：，，．
（二）新课讲解：
1．向量数量积的坐标表示：设 ，则，
∴.
从而得向量数量积的坐标表示公式：．
2．长度、夹角、垂直的坐标表示：
①长度： ；
②两点间的距离公式：若，则；
③夹角：；
④垂直的充要条件：∵，即
（注意与向量共线的坐标表示的区别）
3．例题分析：
例1 设，求．
解：．
例2 已知，求证是直角三角形。
证明：∵，
∴∴
所以，是直角三角形。
说明：两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
例3 如图，以原点和为顶点作等腰直角，使，
求点和向量的坐标。
解：设，则，，
∵， ∴，
即：，
又∵， ∴， 即：，
由或，
∴，或， ．
例4 在中，，，求值。
解：当时，， ∴ ∴，
当时，，，
∴ ∴，
当时，，∴ ∴．
五、课堂练习 课本练习1，2．
六、小结：两向量数量积的坐标表示：长度、夹角、垂直的坐标表示。
七、作业： 课本习题5.7 第１，4，5题。
补充：已知，，
（1）求证： （2）若与的模相等，且，求的值。
B
B
B
O
A
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- 1 -第九课时 基本不等式（二）
教学目标：
使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题。
教学重点、难点：均值不等式定理的应用。
教学过程：
1．复习回顾
2．例题讲解：
例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋
解：（1）y＝3x 2＋≥2 eq \r(3x 2·) ＝
∴y∈[，+∞）
（2）当x＞0时，y＝x＋≥2 eq \r(x·) ＝2；
当x＜0时，y≤－2
∴y∈（－∞，－2]∪[2，+∞）
例2：当x＞1时，求函数y＝x＋的最小值
解：y＝（x－1）＋＋1（∵x＞1）≥2＋1＝3
∴函数的最小值是3
问题：x＞8时？
总结：一正二定三相等。
介绍：函数y＝x＋的图象及单调区间
例3：求下列函数的值域
（1）y = （2）y =
解：（1）y＝＝(x＋1) ＋ ＋ 1
当x＋1＞0时，y ≥2＋1 ；
当x＋1＜0时，y ≤－2＋1
即函数的值域为：（－∞，－2＋1]∪[2＋1，+∞）
（2）当x＋1≠0时，令t =
则问题变为：y = ，t∈（－∞，－2＋1]∪[2＋1，+∞）
∴y∈[ eq \f(1, －2＋1) ，0）∪（0， eq \f(1, 2＋1) ]
又x＋1 = 0时，y = 0
即y∈[－ eq \f(1＋2,11) ， eq \f(2－1,11) ]
说明：这类分式函数的值域也可通过判别式法求值域，但要注意检验。
例4：求下列函数的最大值
（1）y＝2x（1－2x）（0＜x＜）
（2）y＝2x（1－3x）（0＜x＜）
例5：已知x＋2y＝1，求 ＋的最小值。
3．课堂小结
一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。
4．课后作业
1）已知x + y = 2，求 2 x＋2 y的最小值。
2）求函数y = (x≠0)的最大值。
3）求函数y = 的值域。
4）已知函数y = (3x＋2)（1－3x）
（1）当－＜x＜时，求函数的最大值；
（2）当0≤x≤时，求函数的最大、最小值。
教学后记：
通过这节课，让学生对基本不等式有更深的体会，同时，对定理中的限制条件也有更深的理解。
- 1 -§4.1 锐角的正弦函数§4.2 任意角的正弦函数§4.3正弦函数y＝sinx的图像（2课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）回忆锐角的正弦函数定义；（2）熟练运用锐角正弦函数的性质；（3）理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义；（4）掌握任意角的正弦函数的定义；（5）理解有向线段的概念；（6）了解正弦函数图像的画法；（7）掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的正弦曲线。
2、 过程与方法
初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、 情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重、难点
重点: 1.任意角的正弦函数定义，以及正弦函数值的几何表示。
2.正弦函数图像的画法。
难点: 1.正弦函数值的几何表示。
2.利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0， 2π]的图像。
三、学法与教学用具
在初中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦，当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，通过函数定义的形式引出正弦函数的定义；作正弦函数y＝sinx图像时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出其图像，再归结为五点作图法。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 §4.1 锐角的正弦函数 §4.2 任意角的正弦函数
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
我们学习角的概念的推广和弧度制，就是为了学习三角函数。请同学们回忆（1）角的概念的推广及弧度制、象限角等概念；（2）初中所学的正弦函数是如何定义的？并想一想它有哪些性质？学生思考回答以后，教师小结。（板书课题）
【探究新知】
在初中，我们学习了锐角α的正弦函数值：sinα＝，
如图：sinA＝，由于a是直角边，c是斜边，所sinA∈(0，1)。由于我们通常都是将
角放到平面直角坐标系中，我们来看看会发生什么？
在直角坐标系中，（如图所示），设角α（α∈（0，））
的终边与半经为r的圆交于点P（a，b），则角α的正弦值是：
sinα＝.根据相似三角形的知识可知，对于确定的角α，都不会随圆的半经的改变而改变。为简单起见，令r＝1(即为单位圆)，那么sinα＝b，也就是说，若角α的终边与单位圆相交于P，则点P的纵坐标b就是角α的正弦函数。
直角三角形显然不能包含所有的角，那么，我们可以仿照锐角正弦函数的定义．你认为该如何定义任意角的正弦函数
一般地，在直角坐标系中（如上图），对任意角α，它的终边与单位圆交于点P（a，b），我们可以唯一确定点P（a，b）的纵坐标b，所以P点的纵坐标b是角α的函数，称为正弦函数，记作y＝sinα(α∈R)。通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将正弦函数表示为y＝sinx.
正弦函数值有时也叫正弦值.
请同学们画图，并利用正弦函数的定义比较说明：角与角的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系？它们的正弦值有什么关系？角和角呢？－角和角呢？－角和－角呢？
通过上述问题的讨论，容易得到：终边相同的角的正弦函数值相等，即
sin(2kπ＋α)＝sinα (k∈Z)，说明对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值不变。所以，正弦函数是随角的变化而周期性变化的，正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）为正弦函数的周期。
2π是正弦函数的正周期中最小的一个，称为最小正周期。一般地，对于周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期。
【巩固深化，发展思维】
1． 课本P17的思考与交流。
2． 课本P18的练习。
3．若点P(—3，y)是α终边上一点，且sinα＝—，求y值．
4．若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在函数y＝—3x (x≤0)
的图像上，则sinα＝ 。
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 §4.3正弦函数y＝sinx的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活中，有许多地方用到三角函数。今天我们来学正弦函数y＝sinx的图像的做法。在前一节，我们知道正弦函数是一个周期函数，最小正周期是2π，所以，关键就在于画出[0，2π]上的正弦函数的图像。
请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的？
作函数图像的三步骤：列表，描点，连线。
【探究新知】
1． 正弦函数线MP
下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示．如右图所示，
角α的终边与单位圆交于点P（x，y），提出问题
①线段MP的长度可以用什么来表示
②能用这个长度表示正弦函数的值吗 如果不能，你能否设计
一种方法加以解决 引出有向线段的概念．
有向线段：当α的终边不在坐标轴上时，可以把MP看作是带方向的线段，
1 y＞0时，把MP看作与y轴同向(多媒体优势，利用计算机演示角α终边在
一、二象限时MP从M到P点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y轴同向)．
2 y＜0时，把MP看作与y轴反向(演示角α终边在三、四象限时MP从M到P点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y轴反向)．
师生归纳：①MP是带有方向的线段，这样的线段叫有向线段．MP是从M→P，而PM则是从P→M。②不论哪种情况，都有MP＝y．③依正弦定义，有sinα＝MP＝y，我们把MP叫做α的正弦线．
(投影仪出示反馈练习) 当α为特殊角，即终边在坐标轴上时，找出其正弦线。演示运动过程，让学生清楚认识到：当α终边在x轴上时，正弦线变为一个点，即 sinα＝0。
2．作图的步骤
边作边讲（几何画法）y=sinx x[0,2]
（1） 作单位圆，把⊙O十二等分（当然分得越细，图像越精确）
（2） 十二等分后得对应于0,, ,,…2等角，并作出相应的正弦线，
（3） 将x轴上从0到2一段分成12等份(2≈6.28)，若变动比例，今后图像将相应“变形”
（4） 取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合
（5） 描图（连接）得y=sinx x[0,2]
（6）由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x[2k，2(k+1)] （kZ，k0）
与函数y=sinx x[0,2]图像相同，只是位置不同——每次向左（右）平移2单位长。
可以得到y＝sinx在R上的图像
3． 五点作图法：
由上图我们不难发现，在函数y=sinx，x[0,2]的图像上，起着关键作用的有以下五个关键点： (0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0)。描出这五个点后，函数y=sinx，x[0,2]的图像的形状就基本上确定了。因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”。
【巩固深化，发展思维】
1．例题讲评
例1．用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]上的简图。
（1）y＝－sinx （2）y＝1＋sinx
解：（1）列表
x 0 π 2π
y＝－sinx 0 1 0 －1 0
描点得y＝－sinx 的图像：（略，见教材P22）
2．学生练习
教材P22
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业
作业：习题1—4第1,2题．
四、课后反思
1
-4
-3
B
C
A
a
b
c
y
P(a，b)
O
r
M
x
-2
5
4
3
y
M O x
P
α的终边
2
-1
-
o
y
6
x
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1第十一课时 小结与复习（一）
●教学目标
（一）知识目标
1.本身知识网络结构；
2.向量概念；
3.向量的运算律；
4.重要的定理、公式.
（二）能力目标
1.了解本章知识网络结构；
2.进一步熟悉基本概念及运算律；
3.理解重要定理、公式并能熟练应用；
4.加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力.
（三）德育目标
1.认识事物之间的相互转化；
2.培养学生的数学应用意识.
●教学重点
突出本章重、难点内容.
●教学难点
通过例题分析突出向量运算与实数运算的区别.
●教学方法
自学辅导法
在给出本章的知识网络结构后，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，同时加强学生对基本概念、基本运算律、重要定理、公式的熟悉程度.
●教具准备
投影仪、幻灯片（三张）
第一张：本章知识网络图（记作§5.13.1 A）
第二张：向量运算法则（记作§5.13.1 B）
第三张：本节例题（记作§5.13.1 C）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］前面一段，我们一起学习了向量的知识以及解斜三角形问题，并掌握了一定的分析问题解决问题的方法.这一节，我们开始对本章进行小结与复习.
Ⅱ.讲授新课
［师］首先我们通过投影屏幕来看向量知识的网络结构（给出幻灯片§5.13.1 A）
1.本章知识网络结构
2.本章重点及难点
（1）本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用；
（2）本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用，已知两边和其中一边的对角解斜三角形等；
（3）对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用.
3.向量的概念
（1）向量的基本要素：大小和方向.
（2）向量的表示：几何表示法：，a；坐标表示法：a＝xi＋yj＝（x，y）.
（3）向量的长度：即向量的大小，记作|a|.
（4）特殊的向量：零向量a＝0|a|＝0.
单位向量a0为单位向量|a0|＝1.
（5）相等的向量：大小相等，方向相同（x1，y1）＝（x2，y2）
（6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量.
4.向量的运算
（给出幻灯片§5.13.1 B）
运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质
向量的加法 1.平行四边形法则2.三角形法则 a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2） a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
向量的减法 三角形法则 a－b＝（x1－x2，y1－y2） a－b＝a＋（－b）
数乘向量 λa是一个向量，满足：1.|λa|＝|λ||a|； 2.λ＞0时,λa与a同向;λ＜0时，λa与a反向；λ＝0时，λa＝0 λa＝（λx，λy） λ（μa）＝（λμ）a（λ＋μ）a＝λa＋μaλ（a＋b）＝λa＋λb a∥ba＝λb
向量的数量积 a·b是一个数：1.a≠0，且b≠0时，a·b＝|a||b|cos＜a，b＞2.a＝0或b＝0时，a·b＝0 a·b＝x1x2＋y1y2 a·b＝b·a （λa）·b＝a·（λb） ＝λ（a·b）（a＋b）·c＝a·c＋b·ca2＝|a|2，|a|＝|a·b|≤|a||b|
5.重要定理、公式
（1）平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
（2）两个向量平行的充要条件
a∥ba＝λbx1y2－x2y1＝0.
（3）两个向量垂直的充要条件
a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0.
（4）线段的定比分点公式
设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则
（线段的定比分点的向量公式）
（线段定比分点的坐标公式）
当λ＝1时，得中点公式：
（5）平移公式
设点P（x，y）按向量a＝（h，k）平移后得到点P′（x′，y′），则＋a或
曲线y＝f（x）按向量a＝（h，k）平移后所得的曲线的函数解析式为：
y－k＝f（x－h）
（6）正、余弦定理
正弦定理：．
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
［师］下面我们通过例题分析来进一步熟悉向量知识的应用.
（通过幻灯片§5.13.1 C给出本节例题）
［例1］设坐标平面上有三点A、B、C，i，j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线.
分析：可以假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线∥存在实数λ，使＝λ，从而建立方程来探索.
解法一：假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即∥，
∴存在实数λ，使＝λ，i－2j＝λ（i＋mj），
∴m＝－2.
∴当m＝－2时，A、B、C三点共线.
解法二：假设满足条件的m存在，根据题意可知：i＝（1，0），j＝（0，1）
∴＝（1，0）－2（0，1）＝（1，－2），
＝（1，0）＋m（0，1）＝（1，m），
由A、B、C三点共线，即∥，
故1·m－1·（－2）＝0，解得m＝－2.
∴当m＝－2时，A、B、C三点共线.
评述：（1）共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择；
（2）本题是存在探索性问题，这类问题一般有两种思考方法，即假设存在法——当存在时；假设否定法——当不存在时.
Ⅲ.课堂练习
1.判断题
（1）＋＝0（）
（2）0＝0（×）
（3）－＝（×）
2.选择题
已知a，b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )
A．a与b相等
B．如果a与b平行，那么a与b相等
C. a·b＝1
D．a2＝b2
答案：D
3.已知A、B、C是直线l上的顺次三点，指出向量、、、中，哪些是方向相同的向量.
答案：与方向相同，与方向相同.
4.已知为与的和向量，且＝a，＝b，分别用a、b表示，.
解：＝（a－b），＝（a＋b）.
5.已知ABCDEF为正六边形，且＝a，＝b，用a，b表示向量、、、、、、、.
解：＝－a，＝a＋b，
＝（a＋b），＝－（a＋b），
＝（a－b），CD＝（b－a），
＝a＋b，＝b－a.
6.已知点A（－3，－4）、B（5，－12）
（1）求的坐标及||；
（2）若，求及的坐标；
（3）求·.
解：（1）＝（8，－8），||＝8
（2）＝（2，－16），＝（－8，8）
（3）·＝33.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P149复习参考题五 7，11，13，15，17，19.
（二）1.预习内容
（1）三角形的有关性质；
（2）向量数量积的性质及坐标表示.
2.预习提纲
（1）向量加、减法基本原则的适用前提；
（2）向量数量积坐标表示的形式特点.
●板书设计
§5.13.1 小结与复习（一）
1.向量知识网络结构
2.本章重难点归纳
（1）重点
（2）难点
3.向量基本概念
4.本章运算律、性质
5.重要公式、定理
●备课资料
1.三点共线的证明
对于三点共线的证明，可以利用向量共线的充要条件证明，也可利用定比分点知识证明.因为，定比分点问题中所涉及的三个点必然共线，而三个点共线时，必然构成定比分点.
［例1］已知A（－1，－1）、B（1，3）、C（2，5），求证A、B、C三点共线.
证明：设点B′（1，y）是的一个分点，且＝λ，则1＝
解得λ＝2.
∴y＝＝3.
即点B′与点B重合.
∵点B′在上，
∴点B在上，
∴A、B、C三点共线.
2.利用正、余弦定理判断三角形形状
［例2］根据下列条件，判断△ABC的形状
（1）acosA＝bcosB
（2）sin2Α＋sin2B＝sin2C，且c＝2acosB.
解：（1）∵acosA＝bcosB
∴
∴，
即sinAcosA＝sinBcosB
∴sin2A＝sin2B
∴2A＝2B或2A＝π－2B
∴A＝B或A＋B＝
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
（2）∵sin2A＋sin2B＝sin2C
∴，
∴a2＋b2＝c2
故△ABC是直角三角形，且C＝90°，
∴cosB＝，代入c＝2acosB
得cosB＝
∴B＝45°，A＝45°
综上，△ABC是等腰直角三角形.
评注：（1）条件中有边有角，一般须化边为角或化角为边，题（1）也可以化角为边.
（2）题（1）结论中用“或”，题（2）中用“且”结论也就不同，切不可混淆.
［例3］在△ABC中，若a2＝b（b＋c），则A与B有何关系
解：由正弦定理得sin2A＝sinB（sinB＋sinC）
∴sin2A－sin2B＝sinB·sinC，
（sinA＋sinB）（sinA－sinB）＝sinBsinC，
sin（A＋B）sin（A－B）＝sinB·sinC
∵sin（A＋B）＝sinC，
∴sin（A－B）＝sinB，
∴A－B＝B，A＝2B，或A－B＝π－B（舍去）
故A与B的关系是A＝2B.
3.利用正、余弦定理证明三角恒等式
［例4］在△ABC中，求证.
证明：由余弦定理，知
a2＋b2－c2＝2abcosC，
a2－b2＋c2＝2cacosB，
∴.
评注：对于含有a2、b2、c2的形式，常用余弦定理化边为角.
［例5］在△ABC中，已知2sin2A＝3sin2B＋3sin2C ①
cos2A＋3cosA＋3cos（B－C）＝1 ②
求：a∶b∶c.
解：由①得2a2＝3b2＋3c2 ③
∵cosA＝－cos（B＋C）
由②得3cos（B－C）－3cos（B＋C）
＝1－cos2A＝2sin2A＝3sin2B＋3sin2C.
∴cos（B－C）－cos（B＋C）＝sin2B＋sin2C，
2sinBsinC＝sin2B＋sin2C
即（sinB－sinC）2＝0，
∴sinB＝sinC，
∴2RsinB＝2RsinC，
∴b＝c代入③得
a＝b.
∴a∶b∶c＝b∶b∶b＝∶1∶1.
4.向量知识在近几年高考中的体现
［例6］(2001年全国高考)若向量a=（1，1），b=（1，－1），c=（－1，2）,则c等于
A.－a+b B. a－b
C.a－b D.－a+b
分析：本题主要考查平面向量的加、减运算,数与向量的乘法运算,以及简单计算的技能.
解法一：设实数x、y满足c=xa+yb
则有（x+y，x－y）=（－1，2），
所以.
解得x=，y=－.
故选B.
解法二：逐项检验如下：
∵－a+b=（1，－2）≠c，
故排除A.
又∵a－b=（－1，2）=c
故选B.
解法三：（图解法）
依题设可作向量图，如右图：
令c=xa+yb，根据向量加法的平行四边形法则，观察图形，可知系数x＞0，y＜0，且应有|y|＞|x|，从而可以排除A、C、D.
故选B.
［例7］（2000年上海高考）向量=（－1，2），向量=（3，m），若⊥，则m= .
解：=－=（4，m－2），
由两非零向量垂直的充要条件可得－1×4+2（m－2）=0，
解得m=4. 第12课时 异面直线（三）
教学目标：
熟练掌握反证法的证题步骤，会用反证法证明简单的问题，掌握异面直线的证明方法；通过对简单问题的证明，使学生掌握证题规律、方法和步骤，并从中学会认识事物、分析问题、转化矛盾.
教学重点：
反证法、异面直线的证明
教学难点：
反证法、异面直线的证明.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
［师］上节课我们在研究异面直线所成的角与异面直线间距离的定义的基础上，通过具体问题，讨论了异面直线所成角与异面直线的距离的计算.清楚了求角、求距离的关键是——
［生甲］求异面直线所成角的关键是找到一个恰当的点，通过平移，把异面直线所成的角化为相交直线所成的角，然后在含这个角的某一三角形中，运用解三角形的知识，求得角的大小.
［生乙］求异面直线的距离，关键是找到含公垂线段在内的某一三角形，仍是运用解三角形的知识，求得线段的长.
［生丙］角所在的三角形，线段所在的三角形，都要能较好的联系已知，这两类问题解决的方法都是将空间问题化成了平面问题.
［师］好！对这两类问题的解法，同学们都要切实增强化归意识，理清化归思路，具体问题具体分析，设法使所求与已知产生联系，寻求到好的解题途径.这节课我们来讨论异面直线的证明.
Ⅱ.新课讨论
［师］关于异面直线的证明，常用反证法，请同学们回忆一下，反证法是怎样的一种推理方法？
［生］反证法是通过否定命题结论而导出矛盾来达到肯定命题结论的一种推理方法.
［师］反证法证题的步骤是怎样的？
［生］首先假设结论的反面成立，其次在假设的基础上，按照正确的推理，推出矛盾(与已知矛盾、与真命题矛盾、与定理公理矛盾、自相矛盾等)，第三否定假设肯定结论.
［师］好！下面我们来看个例子.
［例1］求证：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面
直线.
［师］为了证题过程表述的方便，先把文字语言写成符号语言.
［生］已知：aα、Aα、B∈α、Ba.
求证：直线AB和a是异面直线.
［师］观察原题、图形，已知、求证写得正确吗？
［生］正确.
［师］好.下面我们一起用反证法来给出证明.
证明：假设直线AB和a共面于β.
即ABβ，aβ 于是A∈β，B∈β
∵aα，B∈α，Ba
∴过a和B有且仅有一个平面
于是α与β是同一平面，即α＝β
由假设知A∈β，∴A∈α这与已知Aα矛盾
∴假设错误，故直线AB与a是异面直线.
［例2］已知α∩β＝a，bβ，a∩b＝A，cα，c∥a，求证b、c是异面直线.
［师］仍然采用反证法来证.请同学动手证明(教师巡视，
发现有两种证明方法，指派各一人板书于黑板上).
证法一：假设b、c共面于γ，则bγ，cγ
∵A∈b，bγ，∴A∈γ，即cγ，A∈γ
∵A∈a，a∥c，∴Ac，且cα，A∈α
而经过直线c与其外一点A的平面有且只有一个.
∴α与γ重合.
∵aα，α与γ重合，∴aγ.
又bγ且a∩b＝A
∴a、b是γ内的两条相交直线.
由已知，a、b是β内的两条相交直线.
而经过两条相交直线a、b的平面有且只有一个
∴β与γ重合，又α与γ重合
∴α与β重合，这与α∩β＝a矛盾.
∴假设错误，故b、c是异面直线.
证法二：假设b、c共面，则b∥c或b、c相交
若b∥c，又a∥c，
∴a∥b，这与a∩b＝A矛盾.
若b∩c＝P，又cα，bβ，
∴P∈α∩β＝a，∴a∩c＝P，这与a∥c矛盾.
由上可知，b、c既不平行又不相交
∴b、c是异面直线.
［师］由上面两题的证明可以看出，在假设的基础上，按照正确的推理，都要推出矛盾，这是反证法证题必然出现的结果.之所以出现矛盾，原因都是假设错误，因而才有否定假设，才能肯定结论之说.至于究竟与什么矛盾，这要在假设的基础上，即把假设作为一个条件，理清思路，再去推理，千万不能漫无目标，信手做来.反证法证题三步曲，推出矛盾是反证法证题的关键所在.
［例3］如图，不共面的三条直线a、b、c相交于点O，点M∈a，点N∈b，点Q∈b，N、Q不是同一点，点P∈c.
求证：MN与PQ异面
［师］请同学们来讨论、分析怎样进行证明？
(学生讨论、分析之后让学生汇报讨论结果.汇报时，要求其余
学生注意听，待汇报完毕，再让其他学生补充，必要时，教师再作
提示，直至分析完整为止.)
证明：假设MN与PQ共面于α，
则M、N、P、Q∈α， 又Q、N∈b，∴bα
又O∈b，∴O∈α 又P∈α，∴cα
同理aα，∴a、b、c共面. 这与已知a、b、c不共面矛盾.
∴假设错误，故MN、PQ是异面直线.
Ⅲ.课堂练习
已知：平面α∩β=l，A∈l、D∈l、ACα，BDβ.
求证：AC和BD是异面直线.
证明：假设AC与BD共面于γ
∵A、D、C既在γ内又在α内，且A、D、C三点不共线
∴α与γ重合.
∵A、B、D既在γ内又在β内，且A、B、D三点不共线.
∴β与γ重合.
综上α与β重合，这与α∩β＝l矛盾.
∴假设错误，故AC和BD是异面直线.
Ⅳ.课时小结
本节课我们讨论了异面直线的证明，应用的方法是反证法，请同学们注意，反证法证题的三步曲是：第一步，假设结论的反面成立；第二步，在假设的基础上，按照正确的推理，推出矛盾；第三步，否定假设，肯定结论.三步曲中，关键是第二步，它是反证法证题的核心所在，至于与什么矛盾，要认真做好分析，不能盲目乱推，造成到处碰壁的局面.关于哪些命题宜用反证法来证.这里又补充进了一个内容：异面直线的证明一般用反证法来证.
Ⅴ.课后作业
(一)补充
1.a、b是异面直线，且分别在平面α、β内，α∩β＝l.求证：a、b至少有一条与l相交.
证明：假设a、b都与l不相交.
∵aα，lα，∴a∥l同理b∥l
∴a∥b，这与a、b是异面直线矛盾.
∴假设错误，故a、b中至少有一条与l相交.
2.如图，a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，E、F分别
是线段AC和BD的中点，判断EF与a、EF与b的位置关系，
并证明你的结论.
证明：假设EF与a共面于α
则EFα，ABα ∴A、B、E、F∈α
∴EA、FBα，则A、B、C、D∈α
∴CDα，ABα，即a、b共面
这与已知a、b是异面直线矛盾.
∴假设错误，故EF与a是异面直线.
同理可证：EF与b也是异面直线
3.求证：空间四边形的两条对角线是异面直线.
已知：ABCD是空间四边形.
求证：AC、BD是异面直线.
证明：假设AC、BD不是异面直线，即AC、BD共面于α
则ACα，BDα
∴A、B、C、D∈α
即A、B、C、D都在平面α内.
这与ABCD是空间四边形(四个顶点不在同一平面内)相矛盾.
∴假设错误，故AC、BD是异面直线.
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q分别是正方形ABB1A1、BCC1B1的中心.
(1)求证：A1Q与D1P是异面直线；
(2)求异面直线A1Q与D1P所成角的余弦值.
(1)证明：连结A1B、BC1、A1C1，
则P∈A1B，Q∈BC1 ∴A1Q面A1BC1
∵P∈A1B，A1B面A1BC1 ∴P∈面A1BC1
又D1面A1BC1，PA1Q.
由过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线
∴D1P与A1Q是异面直线.
(2)解：设BQ的中点为R，连结PR，
则PR∥A1Q
∴D1P与PR所成的锐角(或直角)为异面直线D1P与A1Q所成的角.
连结D1R，在Rt△D1C1R中
D1R2＝D1C12＋C1R2
设正方体的棱长为a.
则D1R2＝a2＋(a)2＝a2(因为Q是BC1的中点，R是BQ的中点)
在Rt△D1A1P中，
D1P2＝D1A12＋A1P2＝a2＋(a)2＝a2
在Rt△A1QB中，
A1Q＝
而D、R分别为A1B、BQ的中点
∴PR＝A1Q＝a
∴cosD1PR＝＜0.
故异面直线A1Q与D1P所成角的余弦值为 .
5.S是矩形ABCD所在平面外的一点，SA⊥BC、SB⊥CD、SA与CD成60°角，SD与BC成30°角，SA＝a.
(1)求证：AD是异面直线SA、CD的公垂线段，
并求SA与CD之间的距离；
(2)求证：AB是异面直线SB、AD的公垂线段，
并求SB与AD之间的距离.
证明：(1)在矩形ABCD中，BC∥AD
∵SA⊥BC，∴SA⊥AD. 又CD⊥AD，
∴AD是异面直线SA与CD的公垂线段.
其长度为异面直线SA与CD的距离.
在Rt△SAD中，
∵∠SDA是SD与BC所成的角 ∴∠SDA＝30°
又SA＝a ∴AD＝a.
(2)在矩形ABCD中，AB∥CD
∵SB⊥CD，∴SB⊥AB 又AB⊥AD
∴AB是异面直线SB、AD的公垂线段.
其长度为异面直线SB与AD的距离.
在Rt△SBA中，∵∠SAB是SA与CD所成的角
∴∠SAB＝60° 又SA＝a
∴AB＝acos60°＝a
即直线SB与AD的距离为 a.
(二)1.预习课本直线与平面的位置关系、直线和平面平行的判定至例1结束.
2.预习提纲
(1)直线和平面平行的定义是什么？
(2)直线和平面的位置关系有几种？各有什么特征？
(3)直线在平面外是不是可以断定直线和平面平行？
(4)直线和平面的各种位置关系用图形语言怎样表示？用符号语言怎样表示？
(5)直线与平面平行的判定定理是什么？
(6)直线与平面平行应具备几个条件？
- 4 -第九课时 诱导公式（一）
教学目标：
理解诱导公式的推导方法，掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明，培养学生化归、转化的能力；通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.
教学重点：
理解并掌握诱导公式.
教学难点：
诱导公式的应用——求三角函数值，化简三角函数式，证明简单的三角恒等式.
教学过程：
学习三角函数定义时，我们强调P是任意角α终边上非顶点的任意一点，至于α是多大的角，多小的角并不知道，那么由三角函数的定义可知：终边相同的角的同一三角函数值相等，由此得到公式一：
sin（k·360°＋α）＝sinα
cos（k·360°＋α）＝cosα
tan（k·360°＋α）＝tanα，(k∈Z）
公式的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0°到360°角的三角函数值.下面我们来看几个例子.
［例1］求下列三角函数的值.
(1)sin1480°10′ （2）cos （3）tan（－）
解：(1）sin1480°10′＝sin（40°10′＋4×360°）＝sin40°10′＝0．6451
(2)cos＝cos（＋2π）＝cos＝
(3)tan（－）＝tan（－2π）＝tan＝.
［例2］化简
利用同角三角函数关系公式脱掉根号是解决此题的关键，即
原式＝
＝＝＝cos80°
利用这组公式可以将求任意角的三角函数值转化为求0°到360°角的三角函数值.
初中我们学习了锐角三角函数，任意一个锐角的三角函数值我们都能求得，但90°到3600角的三角函数值，我们还是不会求，要想求出其值，我们还得继续去寻求办法：看能不能把它转化成锐角三角函数，我们来研究这个问题.
下面我们再来研究任意角α与－α的三角函数之间的关系，任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y），角－α的终边与单位圆相交于点P′，因为这两个角的终边关于x轴对称，所以点P′的坐标是（x，－y），由正弦函数、余弦函数的定义可得.
sinα＝y cosα＝x
sin（－α）＝－y cos（－α）＝x
所以sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα
则tan（－α）＝＝－tanα
于是得到一组公式(公式二)：
sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα
下面由学生推导公式三：
sin（180°－α）＝sinα
cos（180°－α）＝－cosα
tan（180°－α）＝－tanα
已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y），由于角180°＋α的终边就是角α的反向延长线，所以角180°＋α的终边与单位圆的交点P′与点P关于原点O对称，由此可知，点P′的坐标是（－x，－y)，由正弦函数、余弦函数的定义可得：
sinα＝y，cosα＝x，sin（180°＋α）＝－y，cos（180°＋α）＝－x
∴sin（180°＋α）＝－sinα
cos（180°＋α）＝－cosα tan（180°＋α）＝tanα
于是我们得到一组公式(公式四)：
sin（180°＋α）＝－sinα
cos（180°＋α）＝－cosα
tan（180°＋α）＝tanα
分析这几组公式，它有如下的特点：
1.－α、180°－α、180°＋α的三角函数都化成了α的同名三角函数.
2.前面的“＋”“－”号是把看作锐角时原函数的符号.即把α看作锐角时，180°＋α是第三象限角，第三象限角的正弦是负值，等号右边放“－”号，第三象限角的余弦是负值，等号右边放“－”号；把α看作锐角时，－α是第四象限角，第四象限角的正弦是负值，等号右边放“－”号，第四象限角的余弦是正值，等号右边放“＋”号.
这也就是说，－α、180°－α、180°＋α的三角函数都等于α的同名三角函数且前面放上把α看作锐角时原函数的符号，可以简记为：
函数名不变，正负看象限
下面我们来看几个例子.
［例3］求下列三角函数值
(1)cos225° （2）sinπ
解：(1)cos225°＝cos（180°＋45°）＝－cos45°＝－；
(2)sinπ＝sin（π＋）＝－sin＝－sin18°＝－0．3090.(sin18°的值系查表所得)
［例4］求下列三角函数值
(1)sin（－） （2）cos（－240°12′）
解：(1)sin（－）＝－sin＝－；
(2)cos（－240°12′）＝cos240°12′＝cos（180°＋60°12′）
＝－cos60°12′＝－0．4970
［例5］化简
解：原式＝＝＝1
课堂练习：
课本P21练习1、2、3.
课时小结：
本节课我们学习了公式一～四，这几组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的，为了记牢公式，我们总结出了“函数名不变，正负看象限”的简便记法，同学们要正确理解这句话的含义，不过更重要的还是应用，我们要多练习，以便掌握得更好，运用得更自如.
课后作业：
课本P24练习13、16、17.
诱导公式（一）
1．sin(－π)的值等于 （ ）
A. B.－ C. D.－
2．若cos165°＝a，则tan195°等于 （ ）
A. － B. － eq \f(,a) C. eq \f(,a) D. eq \f(－,a)
3．已知cos(π＋θ)＝－，则tan(θ－9π)的值 （ ）
A.± B. C.± D.－
4．已知sin（π－α）＝log8，且α∈(－，0)，则tanα的值是 （ ）
A. B.－ C.± D. －
5．下列不等式中，不成立的是 （ ）
A.sin130°＞sin140° B.cos130°＞cos140°
C.tan130°＞tan140° D.cot130°＞cot140°
6．求：的值.
7．求下列各三角函数值.
（1）sin（－π） （2）sin（－1200°）
（3）tan(－π) (4)tan(－855°)
（5）cosπ (6)cos(－945°)
8．已知π＜θ＜2π，cos(θ－9π)＝－，求tan(10π－θ)的值.
诱导公式（一）答案
1．C 2．D 3．C 4．B 5．C 6．－
7．求下列各三角函数值.
（1）sin（－π） （2）sin（－1200°）
（3）tan(－π) (4)tan(－855°)
（5）cosπ (6)cos(－945°)
分析：求三角函数值的步骤为：①利用诱导公式三将负角的三角函数变为正角的三角函数.②利用诱导公式一化为0°到360°间的角的三角函数. ③进一步转化成锐角三角函数.
解:（1）sin（－π）＝－sinπ
＝－sin(4π＋π)＝－sinπ＝－sin（π＋）＝sin＝
(2)sin(－1200°)＝－sin1200°
＝－sin(3·360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－
(3)tan(－π)＝－tanπ
＝－tan(22π＋π－)＝－tan(π－)＝tan＝
(4)tan(－855°)＝－tan855°
＝－tan(2·360°＋135°)＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1
(5)cosπ＝cos(4π＋)
＝cos＝cos(π－)＝－.
(6)cos(－945°)＝cos945°＝cos(2·360°+225°)
＝cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－.
8．已知π＜θ＜2π，cos(θ－9π)＝－，求tan(10π－θ)的值.
分析：依据已知条件求出cosθ，进而求得tan(10π－θ)的值.
解：由已知条件得
cos(θ－π)＝－，cos(π－θ)＝－，
∴cosθ＝ ∵π＜θ＜2π，
∴＜θ＜2π ∴ tanθ＝－
∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tanθ＝
- 4 -第五课时 向量的数乘(二)
教学目标：
掌握实数与向量的积的运算律，理解实数与向量积的几何意义，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行并能熟练运用.
教学重点：
实数与向量积的运用.
教学难点：
实数与向量积的运用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的条件.
这一节，我们将在上述知识的基础上进行具体运用.
Ⅱ.讲授新课
［例1］已知ABCD，E、F分别是DC和AB的中点，求证：AE∥CF.
证明：因为E、F为DC、AB的中点，
∴＝，＝，
由向量加法法则可知：＝＋＝＋，
＝＋＝＋.
∵四边形ABCD为平行四边形， ∴＝－，＝－，
∴＝－－＝－(＋)＝－
∴∥， ∴AE∥CF
［例2］已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，证明AO＝OC，BO＝OD.
分析：本题考查两个向量共线的充要条件，实数与向量积的
运算以及平面向量基本定理的综合应用.
证明：∵A、O、C三点共线，B、O、D三点共线，
∴存在实数λ和μ，使得＝λ，＝μ.
设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a
∴＝λ(a＋b)，＝μ(b－a).
又∵＋＝，
∴a＋μ(b－a)＝ λ (a＋b)，即
(1－μ－λ)a＋(μ－λ)b＝0，
又∵a与b不共线，
由平面向量基本定理，，
∴μ＝λ＝， ∴AO＝AC，BO＝BD，
即AO＝OC，BO＝OD.
［例3］已知G为△ABC的重心，P为平面上任一点，求证：PG＝ (PA＋PB＋PC).
证明：如图，设△ABC三条中线分别为AM、BK和CL，则易知AM＝3GM，由向量中线公式有：
＝ (＋)，＝ (＋)，
∴＋＝ (＋) ①
同理可得＋＝ (＋) ②
＋＝ (＋) ③
由式①＋②＋③得：2(＋＋)
＝ (＋＋＋＋＋)＝0
∴＋＋＝0
∴3＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋)＋(＋＋)＝＋＋
∴PG＝ (PA＋PB＋PC).
［例4］AD、BE、CF是△ABC的中线，若直线EG∥AB，FG∥BE.
求证：AD GC.
证明：如图，因为四边形BEGF是平行四边形.
所以＝
又因为D是BC的中点，所以＝，
所以－＝－，
所以＝ (＋)＝＋＝＋＝
所以AD GC.
［例5］设四边形ABCD的两对角线AC、BD的中点分别是E、F，求证：｜AB－CD｜≤EF≤ (AB＋CD).
证明：如图，∵＝＋＋，
＝＋＋，
∴2＝(＋)＋(＋)＋(＋)
∵E、F分别是AC、BD的中点，∴＋＝0，＋＝0，
∴＝ (＋)
又∵｜｜｜－｜｜｜≤｜＋｜≤｜｜＋｜｜，
∴｜｜｜－｜｜｜≤｜｜≤ (｜｜＋｜｜)，
即｜AB－CD｜≤EF≤ (AB＋CD).
Ⅲ.课堂练习
课本P68练习1，2，3.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的简单应用.
Ⅴ.课后作业
课本P69习题 9，10，12，13
向量的数乘
1．已知ABCD中，点E是对角线AC上靠近A的一个三等分点，设＝a，＝b，则向量BC等于 （ ）
A. 2a＋b B.2a－b C.b－2a D.－b－2a
2．若＝5e1，＝－7e1，且||＝||，则四边形ABCD是 （ ）
A.平行四边形 B.等腰梯形
C.菱形 D.梯形但两腰不相等
3．设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝－a－b ②＝a＋b ③＝－a＋b ④＋＋＝0.其中正确的命题个数为 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4．若O为平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于 （ ）
A. B. C. D.
5．已知向量a，b不共线，实数x，y满足等式3xa＋(10－y)b＝2xb＋(4y＋7) a，则x＝ ，y＝ .
6．在△ABC中，＝，EF∥BC交于点F，设＝a，＝b，用a、b表示向量为 .
7．若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则实数k的值为 .
8．已知任意四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC的中点，求证：＝（＋）.
9．在△OAB中，C是AB边上一点，且＝λ(λ>0)，若＝a，＝b，试用a，b表示.
10．如图，＝a，＝b，＝t（t∈R)，当P是（1）中点，（2）的三等分点（离A近的一个）时，分别求.
向量的数乘答案
1．D 2．B 3．C 4．B 5． 6．－a＋b 7．±1
8．已知任意四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC的中点，求证：＝（＋）.
证明：∵＋＋＋＝0，＋＋＋＝0
∴＝＋＋，＝＋＋
两式相加，
2＝＋＋＋＋＋
∵＋＝0，＋＝0
∴＝（＋）.
9．在△OAB中，C是AB边上一点，且＝λ(λ>0)，若＝a，＝b，试用a，b表示.
解：＝(b＋λa)
10．如图，＝a，＝b，＝t（t∈R)，当P是（1）中点，（2）的三等分点（离A近的一个）时，分别求.
解：（1）∵P为中点，∴＝（b－a）
∴＝a＋ (b－a)＝ (a＋b).
(2)∵＝ (b－a)
∴＝a＋（b－a)＝ (b＋2a).
- 4 -§1 周期现象与周期函数（1课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
2、 过程与方法
通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
3、 情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
二、教学重、难点
重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
三、学法与教学用具
学法：数学来源于生活，又指导于生活。在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。
教学用具:实物、图片、投影仪
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。(板书课题)
【探究新知】
1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片）， 注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。请你举出生活中存在周期现象的例子。（单摆运动、四季变化等）
（板书：一、我们生活中的周期现象）
2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：
①如何理解“散点图”？
②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？
③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？
④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？
以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。
（板书：二、周期函数的概念）
3．[展示投影]练习:
(1) 已知函数f(x)满足对定义域内的任意x，均存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)。
求f(x＋2T) ，f(x＋3T)
略解：f(x＋2T)＝f[(x＋T)＋T]＝f(x＋T)＝f(x)
f(x＋3T)＝f[(x＋2T)＋T]＝f(x＋2T)＝f(x)
本题小结，由学生完成，总结出“周期函数的周期有无数个”，教师指出一般情况下，为避免引起混淆，特指最小正周期。
(2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11)
略解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2005
(3)已知奇函数f(x)是R上的函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，求f(8)
略解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2
【巩固深化，发展思维】
1．请同学们先自主学习课本P4倒数第五行——P5倒数第四行，然后各个学习小组之间展开合作交流。
2．例题讲评
例1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的函数吗？如果是，这个函数
y＝f(t)是不是周期函数？
例2.图1-4（见课本）是钟摆的示意图，摆心A到铅垂线MN的距离y是时间t的函数，y＝g(t)。根据钟摆的知识，容易说明g(t＋T)＝g(t),其中T为钟摆摆动一周（往返一次）所需的时间，函数y＝g(t)是周期函数。若以钟摆偏离铅垂线MN的角θ的度数为变量，根据物理知识，摆心A到铅垂线MN的距离y也是θ的周期函数。
例3.图1-5（见课本）是水车的示意图，水车上A点到水面的距离y是时间t的函数。假设水车5min转一圈，那么y的值每经过5min就会重复出现，因此，该函数是周期函数。
3．小组课堂作业
(1) 课本P6的思考与交流
(2) (回答)今天是星期三那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期几 7k(k∈Z)天前的那一天是星期几 100天后的那一天是星期几
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业
1．作业：习题1.1第1,2,3题．
2．多观察一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的特点．
七、课后反思
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21.2 任意角的三角函数
1.2.1任意角的三角函数(一)
农垦中学 刘国海
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
2、过程与方法
初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.
本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.
二、教学重、难点
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
三、学法与教学用具
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.
另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.
教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器
四、教学设想
第一课时 任意角的三角函数（一）
【创设情境】
提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？
借助右图直角三角形，复习回顾.
引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗
如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那
么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则;
; .
思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
; ; .
思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.
【探究新知】
1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义
如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦(sine),记做,即；
（2）叫做的余弦(cossine),记做,即；
（3）叫做的正切(tangent),记做,即.
注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢
前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,
.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
4.例题讲评
例1.求的正弦、余弦和正切值.
例2．已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.
教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:
如例2:设则.
于是 ,,.
5.巩固练习第1,2,3题
6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：
三角函数 定义域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
角度制 弧度制
7．例题讲评
例3．求证：当且仅当不等式组成立时，角为第三象限角.
8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系
显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
(其中)
9.例题讲评
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:
(1); (2); (3); (4)
例5.求下列三角函数值:
(1); (2); (3)
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求到(或到)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题.
10.巩固练习第4,5,6,7题
11.学习小结
(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同
(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗
(3)请写出各三角函数的定义域；
(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系 你在解题时会准确熟练应用公式一吗
五、评价设计
1．作业：习题1.2 A组第1,2题．
2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么 要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.
第二课时 任意角的三角函数（二）
【复习回顾】
1、 三角函数的定义；
2、 三角函数在各象限角的符号；
3、 三角函数在轴上角的值；
4、 诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；
5、 三角函数的定义域.
要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.
【探究新知】
1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？
2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点，过点作轴交轴于点，则请你观察:
根据三角函数的定义：；
随着在第一象限内转动，、是否也跟着变化？
3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段、规定一个适当的方向，使它们的取值与点的坐标一致？
（2）你能借助单位圆，找到一条如、一样的线段来表示角的正切值吗？
我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以为始点、为终点，规定：
当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有
同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点，规定：
当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向
时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有
4.像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）.
5.如何用有向线段来表示角的正切呢
如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有
我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
6.探究：（1）当角的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？
（2）当的终边与轴或轴重合时，又是怎样的情形呢？
7.例题讲解
例1．已知，试比较的大小.
处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质.
8.练习第1,2,3,4题
9学习小结
(1)了解有向线段的概念.
(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
(3)体会三角函数线的简单应用.
【评价设计】
1． 作业：
比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)
(1)、 （2）、 （3）、
2．练习三角函数线的作图.
y
P（a，b）
r
O M
a的终边
P(x,y)
O
x
y
O
x
y
a角的终边
P
T
M
A
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6第六课时 等差数列的前n项和(二)
教学目标：
进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；提高学生的应用意识.
教学重点：
熟练掌握等差数列的求和公式.
教学难点：
灵活应用求和公式解决问题.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
通项公式：an＝a1＋(n－1)d，求和公式：Sn＝＝na1＋d
Ⅱ.讲授新课
下面结合这些例子，来看如何应用上述知识解决一些相关问题.
［例1］求集合M＝{m｜m＝7n，n∈N*，且m＜100}的元素个数，并求这些元素的和.
分析：满足条件的n的取值个数即为集合M的元素个数，这些元素若按从小到大排列，则是一等差数列.
解：由m＜100，得7n＜100，即n＜＝14
所以满足上面不等式的正整数n共有14个，即集合M中的元素共有14个，将它们从小到大可列出，得：7，7×2，7×3，7×4，…7×14，即：7，14，21，28，…98
这个数列是等差数列，记为{an}，其中a1＝7，a14＝98，n＝14
则S14＝＝735
答：集合M中共有14个元素，它们和等于735.
这一例题表明，在小于100的正整数中共有14个数是7的倍数，它们的和是735.
［例2］已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗
分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于a1与d的关系，然后确定a1与d，从而得到所求前n项和的公式.
解：由题意知S10＝310，S20＝1220
将它们代入公式Sn＝na1＋d，得到
解这个关于a1与d的方程组，得到a1＝4，d＝6
所以Sn＝4n＋×6＝3n2＋n
这就是说，已知S10与S20，可以确定这个数列的前n项和的公式，
这个公式是Sn＝3n2＋n.
下面，同学们再来思考这样一个问题：
［例3］已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和.
求证：S6，S12－S6，S18－S12成等差数列，设其k∈N*，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等差数列吗
解：设{an}的首项是a1，公差为d，则S3＝a1＋a2＋a3
S6－S3＝a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a2＋3d)＋(a3＋3d)＝(a1＋a2＋a3)＋9d＝S3＋9d
S9－S6＝a7＋a8＋a9＝(a4＋3d)＋(a5＋3d)＋(a6＋3d)
＝(a4＋a5＋a6)＋9d＝(S6－S3)＋9d＝S3＋18d
∴S3，S6－S3，S9－S6成等差数列.
同理可得Sk,S2k－Sk,S3k－S2k成等差数列.
Sk＝a1＋a2＋…＋ak
(S2k－Sk)＝ak+1＋ak+2＋…＋a2k＝(a1＋kd)＋(a2＋kd)＋…＋(ak＋kd)
＝(a1＋a2＋…＋ak)＋k2d＝Sk＋k2d
(S3k－S2k)＝a2k+1＋a2k+2＋…＋a3k＝(ak+1＋kd)＋(ak+2＋kd)＋…＋(a2k＋kd)
＝(ak+1＋ak+2＋…＋a2k)＋k2d＝(S2k－Sk)＋k2d
∴Sk，S2k－Sk，S3k－S2k是以Sk为首项，k2d为公差的等差数列.
［例4］已知数列{an}是等差数列，a1＞0，S9＝S17，试问n为何值时，数列的前n项和最大？最大值为多少？
分析：要研究一个等差数列的前n项和的最大（小）问题，有两条基本途径；其一是利用Sn是n的二次函数关系来考虑；其二是通过考察数列的单调性来解决.
解法一：∵S9＝S17，S9＝9a1＋36d，S17＝17a1＋136d
∴9a1＋36d＝17a1＋136d，8a1＝－100d，即d＝－a1＜0
Sn＝na1＋d＝na1＋·(－a1)
＝na1－a1＝－a1 (n2－26n)＝－a1 (n－13)2＋a1
∵a1＞0， ∴当n＝13，Sn有最大值.最大值为a1.
解法二：由a1＞0,d＜0，可知此数列为从正项开始的递减数列：a1＞a2＞a3＞a4＞……
故n在某一时刻，必然会出现负项，此时前n项的和开始减少，因此，要使Sn最大，n必须使得an≥0，且an+1≤0.
即 eq \b\lc\{(\a\al(an＝a1＋（n－1）d＝－a1n＋a1≥0,an＋1＝－a1（n＋1）＋a1≤0,a1＞0))
解得 ≤n≤. ∴n＝13
此时，Sn最大，S13＝13a1＋d＝a1.
评述：解法一利用Sn是n的二次函数关系，归纳为求二次函数的最值问题，不过要注意自变量n是正整数；解法2是从研究数列的单调性及项的正负进而研究前n项和Sn的最大值，方法更具有一般性.
［例5］在数列{an}中，a1＝1，an+1＝，求数列{anan+1}的前n项和.
分析：要求数列{anan+1}的前n项和，需要先求数列{an}的通项公式.
解：由已知得＝＋
∴{}为首项为 ＝1，公差为的等差数列.
∴＝1＋(n－1)×＝，∴an＝
Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan+1＝＋＋…＋
＝4[(－)＋（－）＋…＋(－)]＝4(－)＝.
［例6］设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大？并说明理由.
（1）分析：由S12＞0，S13＜0列不等式组求之.
解：依题设有 eq \b\lc\{(\a\al(S12＝12a1＋d＞0,S13＝13a1＋d＜0))
即将a3＝12，即a1＝12－2d代入上式得
解得－＜d＜－3
(2)分析一：写出Sn的表达式Sn＝f(n)＝An2＋Bn.配方确定Sn的最大值.
解法一：Sn＝na1＋d＝n(12－2d)＋d
＝[n－（5－）]2－[（5－）]2
∵d＜0，∴[n－ (5－）]2最小时，Sn最大.
当－＜d＜－3时，6＜(5－)＜6.5
∴正整数n＝6时，[n－ (5－)]2y最小，∴S6最大.
分析二：由d＜0知{an}是单调递减的，要使Sn最大，应有an≥0，an+1＜0.
解法二：由d＜0，可知a1＞a2＞…＞a12＞a13
∴要使1≤n≤12中存在自然数n，使得an＞0，an+1＜0，则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值.
由
知a6＋a7＞0，a7＜0
∴a6＞－a7＞0，∵a6＞0，a7＜0.
故在S1，S2，…，S12中S6的值最大.
解法三：由S12＞0，S13＜0
得 eq \b\lc\{(\a\al(12a1＋d＞0,13a1＋d＜0)) , 即 eq \b\lc\{(\a\al(a1＋5d＞－＞0,a1＋6d＜0))
也即a6＞0且a7＜0，∴S6最大.
解法四：由a1＝12－2d，－＜d＜－3
得，即5.5＜n＜7
∵n∈N*，∴n＝6，即S6最大.
［例7］首项为正数的等差数列{an}，它的前三项之和与前十一项之和相等，问此数列前多少项之和最大？
解法一：由S3＝S11
得：3a1＋d＝11a1＋d,
解之得d＝－a1<0
∴Sn＝na1＋d＝－a1n2＋a1n＝－a1（n－7）2＋a1
故当n＝7时，Sn最大，即前7项之和最大.
解法二：由
eq \b\lc\{(\a\al(an＝a1＋（n－1）d ＝a1（15－2n）＞0,an＋1＝a1＋nd ＝a1（13－2n）＜0))
解得：＜n＜，∴n＝7，即前7项之和最大.
解法三：由d＝－a1<0，知：{an}是递减等差数列.
又S3＝S11
∴a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝0, ∴a7＋a8＝0
∴必有a7>0，a8<0. ∴前7项之和最大.
评述：解法三利用等差数列的性质，解得简单，易懂.
等差数列的前n项和Sn，在d<0时有最大值，求当n为何值时，使Sn取最大值，有两种方法：一是满足an>0且an+1<0的n值；二是由Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n，利用二次函数的性质求n的值.
［例8］数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6.
(1)求从第n项开始有an<0；(2)求此数列的前n项和的最大值.
分析：对于（1）实质上是解一个不等式 ，但要注意n∈N*.对于（2）实际上是研究Sn随n的变化规律，由于等差数列中Sn是关于n的二次函数，可以用二次函数方法处理，也可以由an的变化，推测Sn的变化.
解：（1）∵a1＝50，d＝－0.6
∴an＝50－0.6(n－1)＝－0.6n＋50.6.
令－0.6n＋50.6≤0，解之得：n≥≈84.3
由n∈N*.故当n≥85时，an<0,
即从第85项起以后的各项均小于0.
（2）解法一：∵d＝－0.6<0，a1＝50>0
由（1）知a84>0，a85<0.
∴S1S85>S86>…
∴(Sn)max＝S84＝50×84＋×(－0.6)＝2108.4.
解法二：Sn＝50n＋×(－0.6)＝－0.3n2＋50.3n＝－0.3(n－)2＋
当n取接近于的自然数，即n＝84时，Sn达到最大值S84＝2108.4
评述：不是常数列的等差数列，不递增必递减，因而若有连续两项ak,ak+1异号，则Sk必为Sn的最大或最小值.
下面对此类问题作一下较为深入的探究.
在非常数列的等差数列中，当d>0，d<0时，如何求Sn的最小、最大值？
第一种思考：
（1）若d>0，且a1≥0，则有0≤a1∴S1∴Sn的最小值是S1.
（2）若d>0，且a1<0，则一定存在某一自然数k，使a1an－1则0>S1>S2>…>Sk,且Sk∴Sn的最小值是Sk.
(3)若d<0，而a1>0，必存在自然数k使a1>a2>a3>…>ak≥0>ak+1>ak+2>…>an>…或a1>a2>a3>…>ak>0≥ak+1>ak+2>…>an>…
则S1Sk+1>…>Sn>…
∴Sn的最大值是Sk.
(4)若d<0，且a1≤0，则有0≥a1>a2>a3>…>an－1>an>…
∴S1>S2>S3>…>Sn－1>Sn>…
∴Sn的最大值是S1.
第二种思考：
Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n
＝[n＋ eq \f(a1－,d) ]2－ eq \f(（a1－）2,2d) ＝[n－（－）]2－（－）2
由二次函数的最大、最小值知识及n∈N*,知：当n取最接近－的自然数时，Sn取到最大值（或最小值），值得注意的是最接近－的自然数有时1个，有时2个.
［例9］有30根水泥电线杆，要运往1000米远的地方开始安装，在1000米处放一根，以后每50米放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少公里？
解法一：如图所示：假定30根水泥电线杆存放M处.
a1＝|Ma|＝1000(M)
a2＝|Mb|＝1050(M)
a3＝|MC|＝1100(M)
…
a6＝a3＋50×3＝1250(M)
…
a30＝a3＋150×9(M)
由于一辆汽车每次只能装3根，故每运一次只能到a3，a6，a9，…，a30这些地方，这样组成公差为150 M，首项为1100的等差数列，令汽车行程为S，则有：
S＝2（a3＋a6＋…＋a30)＝2(a3＋a3＋150×1＋…＋a3＋150×9)
＝2(10a3＋150××9)＝2(11000＋6750)m＝35.5(公里）
答：这辆汽车行程共有35.5公里.
解法二：根据题设和汽车需运送十次，可得一等差数列{an}，其中a1＝100，d＝150，n＝10
则S10＝10a1＋d＝7750 m
所以总共行程为(7750×2＋1000×20)m＝35.5公里
答：略.
解法三：根据题意和汽车每次走的路程可构成一个等差数列，
其中a1＝(1000＋50×2)×2＝2200 m，a2＝(1000＋50×5)×2＝2500 m
…
d＝150×2＝300 m项数共有10项.
∴Sn＝10a1＋d＝10×2200 m＋5×9×300 m＝35.5(公里）
答：略.
［例10］有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同金额，这是零存；则到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取，它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×[存期＋存期×（存期＋1）×利率].
（1）试解释这个本利和公式；
（2）若每月初存入100元，月利率5.1‰，到第12个月底的本利和是多少？
（3）若每月初存入一笔金额，月利率是5.1‰，希望到第12个月底取得本利和2000元，那么应每月存入多少金额？
分析：存款储蓄不是复利计息，若存入金额为A，月利率为p，则n个月后的利息是nAp.
解：（1）设每期存入金额A，每期利率p，存的期数为n，则各期利息之和为：
Ap＋2Ap＋3Ap＋…＋nAp＝n(n＋1)Ap.
连同本金，就得
本利和＝nA＋n(n＋1)Ap＝A[n＋n(n＋1)p].
(2)当A＝100，p＝5.1‰，n＝12时，
本利和＝100×（12＋×12×13×5.1‰)＝1239.78(元）
（3）将（1）中公式变形，得
A＝ eq \f(本利和,n＋n(n＋1)p) ＝ eq \f(2000,12＋×12×13×5.1‰) ≈161.32(元）
即每月应存入161.32元.
评述：这是两道等差数列求和的应用题，对于应用问题首先是根据问题给出的已知条件建立数学模型，然后解此数学问题，最后再回到应用问题作出结论.
Ⅲ.课堂练习
课本P44练习1，2，3，4
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要能灵活应用等差数列的通项公式和前n项和公式解决一些相关问题.另外，需注意一重要结论：若一数列为等差数列，则Sk,S2k－Sk,S3k－S2k也成等差数列.
Ⅴ.课后作业
课本P45习题 4，5，6，7，8
- 7 -课题：§1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示
教学目标 1．知识与技能：通过设计流程图来表达解决问题的过程，了解流程图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。理解掌握前两种，能设计简单的流程图。
2．过程与方法：通过模仿、操作和探索，抽象出算法的过程，培养抽象概括能力、语言表达能力和逻辑思维能力。
3．情感与价值观：通过算法实例，体会构造的数学思想方法；提高学生欣赏数学美的能力，培养学生学习兴趣，增强学好数学的信心；通过学生的积极参与、大胆探索，培养学生的探索精神和合作意识。
教材分析 重点：顺序结构和条件分支结构的理解及应用。
难点：条件分支结构的应用。
教学方法 根据本节课的特点，贯彻“教师为主导，学生为主体，问题解决为主线，能力发展为目标”的教学思想，主要采用“启发引导”、“自主探究”的教学方法；通过营造问题情景，激发学生的探索欲望，通过适当例题、习题的练习，引导学生积极思考、归纳总结，灵活掌握知识，使学生从“知”到“会”到“悟”再到“用”，提高学生的数学素养。
教具学具 利用多媒体提高课堂效率
教学过程
教 学环 节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 以学生比较熟悉的公园导游图、医院的导医图及商场的导购图为背景提出图的结构。 教师提出问题，学生思考、回答并互相补充。 以学生熟悉的图引入，体现数学来源于现实并应用于现实。
复习引入 1. 复习框图的符号和意义.2. 复习画流程图的规则3. 出示上节课的流程图。4. 引入流程图的逻辑结构。 教师提问，学生回答，并相互补充，学生思考、探究、抽象。 落实上节课的基本知识；利用上节课的流程图，学生很熟悉，易于集中精力思考、抽象新问题；从另一角度、层次提出问题，激发学生的求知欲，培养学生“多思、勤思”的习惯。
概念形成 1. 顺序结构的概念2. 顺序结构一般形式例1. 课本11页例1 教师出示概念和结构图的一般形式。学生理解、记忆。学生做，教师启发，师生共同完成，规范做题格式，简化解题步骤。注意：课本的图有点小错误，且不够简洁 规范学生的语言和作图形式，培养学生的语言表达能力和作图能力，培养学生的抽象概括能力。使学生加深对概念的理解，培养学生应用知识的能力
教 学环 节 教学内容 师生互动 设计意图
概念形成 1. 条件结构分支结构的概念2. 条件结构分支结构的一般形式 教师出示概念、结构图的一般形式，学生观察、理解、记忆，比较和顺序结构的区别。 规范学生的语言和作图形式，培养学生的语言表达能力和作图能力，培养学生的抽象概括能力。
应用举例 例2 课本12页例3 课本13页小结：两种结构的共性1）一个入口，一个出口。特别注意：一个判断框可以有两个出口，但一个条件分支结构只有一个出口。2）结构中每个部分都有可能被执行，即对每一个框都有从入口进、出口出的路径。以上两点是用来检查流程图是否合理的基本方法（当然，学习循环结构后，循环结构也有此特点） 学生做，教师启发，师生共同完成，规范做题格式，简化解题步骤。注意：例2和例3分别反映了条件分支结构的两种情况。 使学生加深对概念的理解，培养学生应用知识的能力。
教 学环 节 教学内容 师生互动 设计意图
练习反馈 练习：课本13页练习A组1，2，3，4 14页练习B组 1，2，3思考题超市购物：购物不足250元的，无折扣购物满250元（含，下同），不足500元的，打九五折购物满500元，不足1000元的，打九二折购物满1000元，不足2000元的，打九折购物满2000元的，打八五折试画出此算法的流程图（多分支）解：略 学生练习，教师巡视，发现问题，个别指导，增进师生感情。 通过学生亲手练习，巩固所学知识，并能在练习中发现学生存在的问题，及时补救，培养当堂问题当堂解决的好习惯。思考题是一个比较综合利用顺序结构、条件分支结构的题目，为提高学生的综合应用能力；为学有余力的学生准备，体现教学中尊重学生的个性差异，不同层次的学生有不同的要求。
归纳总结 1. 通过本节课的学习，我们掌握了算法框图的顺序结构和条件分支结构及利用这两种结构设计算法流程图。2. 通过模仿、操作、探索，体会了构造性的思想方法、数学的模式化思想以及分类讨论的思想。3. 数学上学习算法应注意从算理、思想方法以及思维形式的高度理解问题。 学生总结，教师补充。 通过学生在知识、方法、应用几方面总结，使所学知识条理化、系统化，这也是知识的内化过程。同时培养学生概括、归纳能力，注重数学思想方法的提炼，
课后作业 作业：课本13页练习A组 5 14页练习B组 4课本 19页习题1——1A 组3，4选做题：19页习题1——1B 组2 巩固本节课知识、技能，培养良好学习习惯，提高学生综合应用的能力。设计选做题使不同学生都得到提高
A
B
C
条件
处理
是
否
条件
处理1
处理2
是
否第四课时 等差数列(二)
教学目标：
明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.
教学重点：
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.
教学难点：
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
等差数列定义：an－an－1＝d(n≥2)，等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d(n≥1)，推导公式：an＝am＋(n－m)d
Ⅱ.讲授新课
首先，请同学们来思考这样一个问题.
问题1：如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A应满足什么条件？
由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得：A－a＝b－A，即：a＝.
反之，若A＝，则2A＝a＋b，A－a＝b－A，即a、A、b成等差数列.
总之，A＝a，A，b成等差数列.
如果a、A、b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项.
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.
如数列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等.
进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？
比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5＝，同时还满足5＝.
再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差中项，即：7＝＝＝.
看来，a2＋a4＝a1＋a5＝2a3，a4＋a6＝a3＋a7＝2a5
依此类推，可得在一等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
下面，我们来看一个实际问题.
［例1］梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.
分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.
解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a1＝33，a12＝110，n＝12.
由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即：110＝33＋11d，解得：d＝7.
因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.
答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm.
评述：要注意将模型的解还原为实际问题的解.
［例2］已知数列的通项公式为an＝pn＋q，其中p、q是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要看an－an－1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了.
解：取数列{an}中的任意相邻两项an－1与an(n≥2)，
an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p
它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列，且公差是p.
在通项公式令n＝1，得a1＝p＋q，所以这个等差数列的首项是p＋q，公差是p.看来，等差数列的通项公式可以表示为：an＝pn＋q（其中p、q是常数）
当p＝0时，它是一常数数列，从图象上看，表示这个数列的各点均在y＝q的图象上.当p≠0时，它是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数
列的各点均在一次函数y＝px＋q的图象上.
例如，首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项
公式为：an＝2n－1，相应的图象是直线y＝2x－1上的均
匀排开的无穷多个孤立点.如图所示：
［例3］已知三个数成等差数列，其和为15，其平方
和为83，求此三个数.
解：设此三数分别为x－d、x、x＋d
则
解得x＝5，d＝±2.
∴所求三个数列分别为3、5、7或7、5、3.
评述：三个数成等差数列时注意其设法.
［例4］已知数列{an}为等差数列，a1＝2，a2＝3，若在每相邻两项之间插入三个数后，和原数列仍构成一个等差数列，试问：
（1）原数列的第12项是新数列的第几项？
（2）新数列的第29项是原数列的第几项？
分析：运用递推归纳的思想方法，从特殊中找规律，得到或猜想出一般结论，然后再回到特殊解决问题，这应该是解决本题的一个基本途径.
解：原数列的第一项是新数列的第1项，原数列的第二项是新数列的第2＋3＝5项，原数列的第三项是新数列的第3＋2×3＝9项.……原数列的第n项是新数列的第n＋(n－1)×3＝4n－3项.
（1）当n＝12时，4n－3＝4×12－3＝45，故原数列的第12项是新数列的第45项.
（2）令4n－3＝29，解得n＝8，故新数列的第29项是原数列的第8项.
评述：一般地，在公差为d的等差数列每相邻两项之间插入m个数，构成一个新的等差数列，则新数列的公差为，原数列的第n项是新数列的第n＋(n－1)m＝(m＋1)n－m项.
［例5］在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28，求{an}的通项公式.
分析一：利用等差数列的通项公式求解.
解法一：设所求的通项公式为an＝a1＋(n－1)d
则
即
①代入②得（a1＋2d）(a1＋12d)＝7 ③
∵a1＝4－7d，代入③，∴（4－5d）(4＋5d)＝8
即16－25d2＝7，解得d＝±.
当d＝时，a1＝－，an＝－＋(n－1)·＝n－
当d＝－时，a1＝，an＝＋(n－1)·（－）＝－n＋.
分析二：视a3，a8，a13作为一个整体，再利用性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq解题.
解法二：∵a3＋a13＝a8＋a8＝2a8，又a3＋a8＋a13＝12，故知a8＝4
代入已知得 解得或
由a3＝1，a13＝7得d＝＝＝.
∴an＝a3＋(n－3)·＝n－.
由a3＝7，a13＝1，仿上可得：an＝－n＋.
评述：在解答本题时，首先应注意到{an}是等差数列这个大前提，否则，仅有a3＋a8＋a18＝12及a3a8a13＝28就无法求出a3，a8，a13的具体值；其次，应注意到a3，a8，a13中脚码3，8，13间的关系：3＋13＝8＋8，从而得到a3＋a13＝a8＋a8＝2a8.
Ⅲ.课堂练习
课本P36练习
已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d:
(1)将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数
列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别
是多少？
解：设一无穷等差数列为：a1，a2，…，am，am+1，…，an，…
若去掉前m项，则新数列为：am+1，…，an，…，即首项为am+1，公差为d的等差数列.
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
解：若设一无穷等差数列为：a1，a2，a3，a4，a5，…，an，…，则取出数列中的所有奇数项，组成的新数列为：a1，a3，a5，…，a2m－1，…
即，首项为a1，公差为2d的等差数列.
（3）取出数列中的所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？
设一无穷等差数列为：a1，a2，a3，…，an，…，则新数列为：a7，a14，a21，…，a7m，…，即首项为a7，公差为7d的等差数列.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，首先，需掌握等差中项概念，及A＝与a，A，b成等差数列的关系，另外，还应注意等差数列的定义、通项公式、性质的灵活应用.
Ⅴ.课后作业
课本P39习题 4，5，6，7
- 3 -第二课时 向量的加法
教学目标：
掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义，能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量，理解向量加法满足交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义，掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.
教学重点：
向量加法的平行四边形法则与三角形法则.
教学难点：
对向量加法定义的理解.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断.
另外，向量和我们熟悉的数一样可以进行加减运算，这一节，我们先学习向量的加法.
Ⅱ.讲授新课
我们先给出向量加法的定义
1.向量加法的定义
已知a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，
则向量叫做a与b的和，记作a＋b.
即a＋b＝＋＝.
求两个向量和的运算叫向量的加法.
2.向量加法的三角形法则
在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则，运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.
3.向量加法的平行四边形法则
如图，由于平行四边形对边平行且相等，则可把向量b的起点由B移到A，即＝ ＝b，则：
＝＋＝＋
即：在平面内过同一点A作＝a，＝b，则以AB、AD为邻边
构造平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线向量即a与b的和，这种方法即为向量加法的平行四边形法则.
说明：上述两种方法实质相同，但应用各有特色，三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.
4.向量加法所满足的运算律
交换律：a＋b＝b＋a
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
说明：运算律验证引导学生完成.
下面我们通过例题来进一步熟悉向量加法的三角形法则与平行四边形法则.
［例1］如图，已知向量a，b，求作向量a＋b.
分析：此题可以应用三角形法则也可应用平行四边形法则
求解，但应注意两种法则的适用前提不同，若用三角形法则，
则应平移为两向量首尾相接；若用平行四边形法则，则应平移
为两向量同起点情形.
作法一：设a＝，b＝，过点B作＝＝b，
则根据向量加法的三角形法则可得
＝＋＝a＋b
作法二：过A作＝＝b，然后根据向量加法的
平行四边形法则，以AB、AC作出的平行四边形的对角
线＝a＋b.
评述：在求作两已知向量的和向量时，对于向量加法
的三角形法则和平行四边形法则，学生可根据具体情况灵
活运用.
［例2］一艘船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
分析：速度是一个既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是向量的加法.
解：如图，设表示船向垂直于对岸行驶的速度，表示水流
的速度，以AD、AB作邻边作ABCD，则就是船实际航行的速度.
在Rt△ABC中，｜｜＝2，｜｜＝2，
∴｜｜＝ eq \r(｜｜2＋｜｜2)
＝ eq \r(22＋（2）2) ＝4
∵tanCAB＝＝，∴∠CAB＝60°
答：船实际航行速度的大小为4 km/h，方向与流速间的夹角为60°.
评述：此题说明在物理学中有关速度合成等问题可以运用向量的知识来解决.
［例3］试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
分析：要证明四边形是平行四边形，只要证明其中一组对边平行且相等，由向量相等的定义可知，只需证明其中一组对边对应的向量相等.
解析：已知ABCD是四边形，对角线AC与BD交于O，AO=OC，DO=OB.
求证：ABCD是平行四边形.
证明：如图，由向量的加法法则，
有＝＋，＝＋.
又已知＝，＝. ∴＝.
这说明AB与DC平行且相等.
故ABCD是平行四边形.
Ⅲ.课堂练习
课本P63练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家在理解向量加法定义的基础上，掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，并了解向量加法在物理学中的应用.
Ⅴ.课后作业
课本P68习题 1，2，3
- 3 -1.2.3 三角函数的诱导公式（3）
一、课题：三角函数的诱导公式（3）
二、教学目标：1.牢固掌握五组诱导公式，熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明；
2.能运用化归思想解决与其它知识结合的综合性问题；
3.渗透分类讨论的数学思想，提高分析和解决问题的能力。
三、教学重、难点：1．熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明；
2．带字母的三角函数的化简（分类讨论类型）。
四、教学过程：
（一）复习：
1．复习五组诱导公式（包括正切）；
2．分析记忆公式的口诀“函数名不变，符号看象限”；
3．求任意角的三角函数的一般步骤。
4．练习：
（1）化简：课本32页的练习第4题；
（2）求值：①． （答案）
②． （答案）
（3）证明：．
说明：结合“口诀”，加强运用公式的熟练性、准确性。
（二）新课讲解：
例1 已知：，求的值。
解：∵，
∴原式．
说明：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的教简单的三角函数式。
变式训练：已知：，求的值。
解答：，原式
．
说明：同样应用上题的技巧，把看成是一个分母为的三角函数式，注意结合“口诀”及的运用。
例2 已知，且是第四象限角，求的值。
解：
由已知得：， ∴原式．
说明：关键在于抓住是第四象限角，判断的正负号，利用同角三角函数关系式得出结论。
变式训练：将例2中的“是第四象限角”条件去掉，结果又怎样？
解答：原式，
∵为负值，∴是第三、四象限角。
当是第三象限角时，．∴原式．
当是第四象限角时，即为上例。
说明：抓住已知条件判断角所在象限，利用分类讨论的思想，同上题类似做法，得出结论。
例3 化简．
解：①当时，
原式．
②当时，
原式．
说明：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。
五、小结：1．熟练运用公式化简、求值、证明；
2．运用化归思想和分类讨论的思想分析解决问题。
六、作业： 补充：1．化简；
2．化简且；
PAGE
- 2 -高一数学期中试卷 2006.4
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（共12×5＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．关于向量a、b、c，下列命题中正确的是
（A）若a＋b＝b＋c，则a＝c
（B）若a、c都是单位向量，则a＝c
（C）若︱a︱＝︱c︱，则a＝c或a＝－c
（D）若︱a＋c︱＝︱a－c︱，则︱a︱＝︱c︱
2．－等于
（A）2cos50 （B）2sin50 （C）－2cos50 （D）－2sin50
3．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则＝
（A）λ（＋），λ∈（0，1） （B）λ（＋），λ∈（0，1）
（C）λ（＋），λ∈（0，1） （D）λ（＋），λ∈（0，1）
4．若α、β为锐角，且cosα＝，cosβ＝，则α＋β的值为
（A）450 （B）600 （C）1200 （D）1350
5．下列各组向量中①e1＝（－1，2），e2＝（5，7）；②e1＝（3，5），e2＝（6，10）；
③e1＝（2，－3），e2＝（，－）；有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是
（A）① （B）①，③ （C）②，③ （D）①，②，③
6．已知sin（－x）＝，则sin2 x的值为
（A）－ （B） （C） （D）
7．若f（x）＝cos2x＋8sinx，则它的最大值和最小值分别是
（A）最大值是9，最小值是－9 （B）最大值不存在，最小值是7
（C）最大值是7，最小值是－9 （D）最大值是7，最小值不存在
8．△ABC中，AB＝3，·＝3，则·等于
（A）3 （B）9 （C）一6 （D）－9
9．已知sinA + sinB + sinC＝cosA + cosB + cosC＝0，则cos（B一C）等于
（A）一 （B） （C）一1 （D）1
10．若tanα＝，则sin2α＋sin2α的值为
（A） （B） （C） （D）l
11．若f（cosx）＝cos2x，则f（sin ）的值为
（A） （B）－ （C） （D）－
12．下列坐标所表示的点不是函数y＝tan（－）的图象的对称中心的是
（A）（，0） （B）（－，0） （C）（，0） （D）（，0）
高一数学期中试卷 2006.4
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题：（选择题共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．）
13．在△ABC中，tanA＝，tanB＝－2，则C＝ .
14．－ eq \f(,sin800) 的值为 .
15．函数y＝sin（一2x）的单调增区间是 .
16．已知A（－1，－2），B（2，3），C（－2，0），D（x，y），且＝2，则x＋y＝______.
17．已知a＝（3，），b＝（1，0），则（a－2 b）·b＝ ．
18．关于函数f（x）＝cos（2x－）＋cos（2x－），有下列命题：
①y＝f（x）的最大值为；
②y＝f（x）是以π为最小正周期的周期函数；
③y＝f（x）在区间（，）上单调递减；
④将函数y＝cos2x的图像向左平移 个单位后，将与已知函数的图像重合.
其中正确命题的序号是 。（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题：（本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19．计算（本小题满分12分）：
（1）已知：＝3，
求： eq \f(2cos2（＋α）＋3sin（π＋α）cos（π＋α）,cos（2π＋α）＋sin（－α）cos（――α）) 的值.
（2）已知0＜x＜，sin（－x）＝,求 eq \f(cos2x,cos（＋x）) 的值.
20．已知tanα，tanβ是方程x2－4px－3＝0 ( p为常数)的两个根．
(1)求tan（α＋β）；(2)求2cos2αcos2β＋2sin2（α－β）．
21．（本小题满分14分）设两非零向量e1，e2
（1）试确定实数k，使ke1＋e2和e1＋ke2共线；
（2）若|e1|＝2，|e2|＝3，e1与e2的夹角为60°，试确定k，使ke1＋e2与e1＋ke2垂直.
22．（本小题满分14分）已知点A（－1，0），B（1，0），点C在直线2x－3＝0上，且有
2（·）＝·＋·，θ是与所成的角，求tanθ的值.
23．（本小题满分14分）已知f（x）＝sin（x＋）＋sin（x－）＋cosx＋a（a为常数）
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[－，]时，f（x）的最小值为－1，求a的值.
高一数学期中试卷答案 2006.4
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题：（选择题共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B A D A D C C A D D D
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．）
13．450 14．4 15．[kπ+ ，kπ+ ]（k∈Z） 16． 17．1 18．②，③
三、解答题：（本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19．计算（本小题满分12分）：
（1）已知：＝3，
求： eq \f(2cos2（＋α）＋3sin（π＋α）cos（π＋α）,cos（2π＋α）＋sin（－α）cos（――α）) 的值.
解：∵＝＝＝3
∴cosα＝，得sinα＝±
∴ eq \f(2cos2（＋α）＋3sin（π＋α）cos（π＋α）,cos（2π＋α）＋sin（－α）cos（――α）)
＝＝
（2）已知0＜x＜，sin（－x）＝,求 eq \f(cos2x,cos（＋x）) 的值.
20．已知tanα，tanβ是方程x2－4px－3＝0 ( p为常数)的两个根．
(1)求tan（α＋β）；(2)求2cos2αcos2β＋2sin2（α－β）．
21．（本小题满分14分）设两非零向量e1，e2
（1）试确定实数k，使ke1＋e2和e1＋ke2共线；
（2）若|e1|＝2，|e2|＝3，e1与e2的夹角为60°，试确定k，使ke1＋e2与e1＋ke2垂直.
解：（1）当＝时，即k＝±1时，ke1＋e2与e1＋ke2共线
（2）当ke1＋e2与e1＋ke2垂直时，
即（ke1＋e2)·（e1＋ke2)＝0
∴ke12＋(k2＋1)e1e2＋ke22＝0
∴4k＋(k2＋1)·2·3cos60°－9k＝0
∴k＝.
22．（本小题满分14分）已知点A（－1，0），B（1，0），点C在直线2x－3＝0上，且有
2（·）＝·＋·，θ是与所成的角，求tanθ的值.
解：设点C的坐标为（，y），则
＝（，y），＝（2，0），＝（－，－y），＝（－，－y），
∴·＝5，·＝＋y2，·＝－1
∵2（·）＝·＋·
∴＋2y2＝5－1
解得：y2＝，y＝±
当点C的坐标为（，）时，＝（－，－），＝（－，－），
cosθ＝ eq \f(·,︱︱·︱︱) ＝，∴0＜θ＜，∴tanθ＝
当点C的坐标为（，－）时，同理可得：tanθ＝
∴tanθ＝
23．（本小题满分14分）已知f（x）＝sin（x＋）＋sin（x－）＋cosx＋a（a为常数）
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[－，]时，f（x）的最小值为－1，求a的值.
解：（1）f（x）＝sinx＋cosx＋sinx－cosx＋cosx＋a
＝sinx＋cosx＋a＝2 sin（x＋）＋a
故f（x）的最小正周期为2π
（2）当x∈[－，]时，f（x）的最小值为－＋a
∴a＝－1
- 3 -1.2.2 同角三角函数的基本关系式（1）
一、课题：同角三角函数的基本关系式（1）
二、教学目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式；
2.掌握三种基本关系式之间的联系；
3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
三、教学重点：三角函数基本关系式的推导、记忆及应用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．任意角的三角函数定义：
设角是一个任意角，终边上任意一点，
它与原点的距离为，那么：
，，，，，．
（二）新课讲解：
1．同角三角函数关系式：
（1）倒数关系：，，．
（2）商数关系：，．
（3）平方关系：，，．
说明：
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
；
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
， ， 等。
2．例题分析：
例1 （1）已知，并且是第二象限角，求．
（2）已知，求．
解：（1）∵， ∴，
又∵是第二象限角，∴，即有，从而
， ．
（2）∵， ∴，
又∵， ∴在第二或三象限角。
当在第二象限时，即有，从而，；
当在第四象限时，即有，从而，．
总结：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。
例2 已知为非零实数，用表示．
解：∵，，
∴，即有，
又∵为非零实数，∴为象限角。
当在第一、四象限时，即有，从而，
；
当在第二、三象限时，即有，从而，
．
例3 已知（），求
解： ∵， 即， 又∵，
∴，即，，
又∵，∴为象限角。
当在第一、四象限时，即有，；
当在第二、三象限时，即有，．
3．总结解题的一般步骤：
①确定终边的位置（判断所求三角函数的符号）；
②根据同角三角函数的关系式求值。
五、课堂练习：六、小结：1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；
2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；
3．在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。如已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其它关系求值；若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。
七、作业：
PAGE
- 2 -2.2 用样本估计总体 · 海口实验中学 覃荣学·
２.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(2课时)
教学目标：
知识与技能
（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
过程与方法
在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观
会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。
重点与难点
重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
教学设想
【创设情境】
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。
【探究新知】
<一>、众数、中位数、平均数
〖探究〗：P62
（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？
（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）
初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见课本第62页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。
〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）
分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。
〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？
分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为2.02。（图略见课本63页图2.2-6）
〖思考〗：2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）
（课本63页图2.2-6）显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。
〖思考〗：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？（让学生讨论，并举例）
<二>、标准差、方差
１．标准差
平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断。某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为１７６㎝，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高。但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质。因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态。
例如，在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？
我们知道，。
两个人射击的平均成绩是一样的。那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察Ｐ６６图２.２-８）直观上看，还是有差异的。很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据。
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。
样本数据的标准差的算法：
（1） 、算出样本数据的平均数。
（2） 、算出每个样本数据与样本数据平均数的差：
（3） 、算出（２）中的平方。
（4） 、算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。
（5） 、算出（４）中平均数的算术平方根，，即为样本标准差。
其计算公式为：
显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
〖提问〗：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？
从标准差的定义和计算公式都可以得出：。当时，意味着所有的样本数据都等于样本平均数。
（在课堂上，如果条件允许的话，可以给学生简单的介绍一下利用计算机来计算标准差的方法。）
２．方差
从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方（即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：
在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。
【例题精析】
〖例1〗：画出下列四组样本数据的直方图，说明他们的异同点。
(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５
(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６
(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７
(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８
分析：先画出数据的直方图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差。
解：（图略，可查阅课本Ｐ６８）
四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。
他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的。
〖例2〗：（见课本Ｐ６９）
分析： 比较两个人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本数据的平均数、标准差，以此作为两个总体之间的差异的估计值。
【课堂精练】
P７１ 练习 1. 2. 3　４
【课堂小结】
1． 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：
（1） 用样本平均数估计总体平均数。
（2） 用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大，估计就越精确。
2． 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。
3． 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度。
【评价设计】
1．P７２ 习题2.2 A组 ３、 ４、１０
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3第10课时 异面直线（一）
教学目标：
会用图形表示两条直线异面，理解并掌握异面直线所成角的定义，熟记异面直线所成角的范围；会用平移转换法求异面直线所成的角，理解异面直线公垂线的定义，掌握异面直线间距离的概念；会求已给出公垂线的两异面直线间的距离；培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力、逻辑推理的能力，使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想；通过本节内容的学习，培养学生不断探索发现新知识的精神，渗透事物的相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.
教学重点：
异面直线所成角的定义、范围、计算，异面直线间距离的定义与计算.
教学难点：
异面直线所成角的计算，异面直线间距离的计算.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
［师］前面我们学习的空间两条直线的位置关系和平行公理与等角定理、平行公理与等角定理及其推论是平行直线中的有关内容，今天我们来研究异面直线中的有关内容(板书课题).
Ⅱ.讲授新课
［师］前面我们学习空间两条直线的位置关系时，讨论了异面直线，并且明确了异面直线的特征是不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线.画图表示两条直线异面时，怎样显示它们不共面的特点呢？常用的方法有下列几种：
这三种表示方法有一个共同的特点，就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任何一个平面的特征则难以体现.请同学们注意：
这样表示a、b异面正确吗？
［生］不正确.直观上看aα，bβ，似乎分别在不同的
平面内，但从图形上可看出，a、b有与两平面α、β的交线都平
行的可能，这样a与b就平行，它们完全有可能在新的平面γ内，
所以这样画容易给人造成误解.
［师］好！画异面直线时，一定要把其特征清楚地显现出来，不能使人产生歧义.
［师］如图(1)，直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，使a′∥a、b′∥b(边记边作)，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.据此，我们给出异面直线所成角的定义(板书).
定义：过空间任意一点O，与异面直线a和b分别平行的直线所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
［师］由于点O是任意的，大家说这样作出的角有多少个？
［生］无数个.
［师］这无数个锐角(或直角)的大小有什么关系？
(学生中没有人马上回答，似乎还存在着什么困惑)
［师］把我们得到角的方法，用我们前面学过的知识分析一下.
(生恍然大悟，不是不会答大小有什么关系，而是一时没有弄明白为什么存在那样的关系).
［生］这无数个锐角(或直角)相等.
［师］为什么？
［生］这无数个锐角(或直角)中，每个角的两边都分别平行于a、b，据平行公理，这无数个锐角(或直角)每个角的两边都分别平行，依据等角定理的推论，这无数个锐角(或直角)相等.
［师］很好！通过上面的讨论，再认真分析定义，我们可以得出如下的结论：
①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；
②两条异面直线所成的角θ∈(0，］；
③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；
④找两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；
⑤当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b;
⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.
(上面每一条都要摘要作出板书)
［师］为了加深对这一概念的理解与认识，请同学们举出日常生活中见到过的两条异面直线所成角的实例.
［生］课本图中的六角螺母的棱AB和CD所在的直线成的角，或机械部件蜗轮和蜗杆的轴线所成的角，都是异面直线所成的角.
［生］教室顶面与前墙面的交线和地面与侧面的交线所成的角也是异面直线所成的角.
［生］正方体前面的左侧棱与后面的对角线所成的角也是异面直线所成的角.
［师］好.同学们再来考虑这样的问题：空间三条直线a、b、c，若a⊥c、b⊥c，则a、b是怎样的位置关系.
［生］a、b平行.
［师］还有吗？请同学拿出竹签，每两人一组，对照正方体模型实际摆一摆.
(同学动手摆弄，讨论)
［生］a、b可能相交，a、b也可能异面.
［师］好！在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.在空间，垂直于同一条直线的两直线可能是平行直线，也可能是相交直线，还可能是异面直线.当a、b异面时，同学们再摆摆看，与a、b都垂直的直线有几条？与a、b都相交的直线有几条？与a、b既垂直又相交的直线有几条？
(生摆弄以后回答)
［生］与a、b都垂直的直线有无数条，与a、b都相交的直线也有无数条，与a、b既垂直又相交的直线有且只有一条.
［师］好.我们把与两条异面直线既垂直又相交的直线叫做两条异面直线的公垂线(板书)
注意：从定义可看出，两条异面直线的公垂线与两条异面直线既垂直又相交，“垂直”“相交”两条缺一不可(板书).与两条异面直线都垂直的直线不能称为公垂线，与两条异面直线都相交的直线也不能称为公垂线，对于两条异面直线，它们的公垂线有且只有一条.
［师］两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度，叫做两条异面直线的距离.(板书).
对于确定的两条异面直线，它们所成的角是确定的，它们的公垂线是确定的，它们的距离也是完全确定的.
［师］下面我们来看个例子
设图中正方体的棱长为a.
(1)求直线BA′和CC′所成角的大小；
(2)求异面直线BC和AA′的距离.
注意：求异面直线所成角的大小，关键是选择恰当的点，通过平移将两异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，成为平面问题去求解；求两异面直线的距离，就是求两异面直线的公垂线段的长.
分析：因为BB′∥CC′，所以∠A′BB′就是异面直线
BA′与CC′所成的角，因为AA′与AB垂直相交，BC与AB也
垂直相交，所以AB是异面直线AA′和BC的公垂线，AB的长就是
异面直线AA′与BC的距离.
解：(1)∵CC′∥BB′
∴BB′和BA′所成的锐角，
即∠A′BB′就是异面直线BA′和CC′所成的角(解题过程中，这句表述不能少).
∵∠A′BB′＝45°，
∴BA′与CC′所成的角是45°.
(2)
BC和AA′的距离是a.
Ⅲ.课堂练习
课本P28练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
本节课我们学习了两异面直线所成角的定义、范围，两异面直线的公垂线的定义，两异面直线间的距离.概念比较多，同学们一定要抓住定义中本质的东西深刻领会，认真掌握，两异面直线所成的角，两异面直线间的距离，这两部分内容，在空间图形中的位置是相当重要的，在高考中也是经常涉及到的，同学们一定要予以高度重视，对于角与距离的求法，要多练习，才能掌握好，相信我们每个同学都会学得很好.
Ⅴ.课后作业
课本P28习题 5，8，9.
思考与练习
一、选择题
1.下列命题中，正确的是( )
A.垂直于同一条直线的两条直线平行
B.有三个角是直角的四边形是矩形
C.两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线
D.与两异面直线都垂直的直线是它们的公垂线
答案：C
2.已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案：B
3.直线a、b相交于点O，且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案：C
4.异面直线a、b所成的角为80°，P是空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是60°的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案：D
5.若a、b是异面直线，c是a、b的公垂线，d∥c，则d和a、b的公共点的个数是( )
A.1 B.最多为1 C.2 D.1或2
答案：B
6.已知直线a与b、b与c都是异面直线，且a与b的公垂线同时也是b与c的公垂线，那么a与c的位置关系是( )
A.平行或相交 B.异面
C.平行或相交或异面 D.相交或异面
答案：C
7.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列说法正确的是( )
A.A1B与D1C是距离为a的异面直线
B.异面直线AA1与BC的公垂线是A1B1
C.异面直线AA1与BC的公垂线是a
D.异面直线AA1与BC的公垂线段的长是a
答案：D
二、填空题
1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与BD1成异面直线的有_________条.
答案：6
2.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q是相应棱的中点，则
(1)MN与PQ的位置关系是_________，它们所成的角是_________.
(2)MN与B1D的位置关系是_________，它们所成的角是_________.
(3)异面直线MN与B1D1间的距离为______.
答案：(1)相交 60° (2)异面 90° (3)a
3.在空间四边形ABCD中，对角线AC＝BD＝2a，M、N分别
是边AB、CD的中点，若MN＝a，则AC和BD所成的角
为______，MN和AC所成的角为______.
答案： 90° 45°
4.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，M是DC的中点，AD＝AA1＝，AB＝2，那么
(1)AA1与BC1所成角的度数是_____；
(2)DA1与BC1所成角的度数是_____；
(3)BC1与D1M所成角的余弦是_____. 答案：(1)45° (2)90° (3)
5.在空间四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，若AC＝6，BD＝4，M、N分别是AB、CD的中点，则MN＝______，MN与BD所成角的正切值为______.
答案：
6.空间四边形ABCD的各边与两条对角线的长都为1，点P在边AB上移动，点Q在边CD上移动，则点P和点Q的最短距离为_________.
答案：
7.如图，空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点且＝＝，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH与FG间的距离为_________.
答案： 8 cm
- 5 -3.2.2 直线的两点式方程
一、教学目标
1、知识与技能
（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；
（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）培养学生用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：
1、 重点：直线方程两点式。
2、难点：两点式推导过程的理解。
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1、利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线经过两点,求直线的方程.（2）已知两点其中，求通过这两点的直线方程。 遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。 教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：（1）（2）教师指出：当时，方程可以写成由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）.
2、若点中有，或，此时这两点的直线方程是什么？ 使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。 教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：。
问 题 设计意图 师生活动
3、例3 教学 已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中，求直线的方程。 使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。 教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程： 教师指出：的几何意义和截距式方程的概念。
4、例4教学 已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。 让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题。 教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。
5、课堂练习 第102页第1、2、3题。 学生独立完成，教师检查、反馈。
6、小结 增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解。 教师提出：（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？
7、布置作业 巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。 学生课后完成
数学教育网http:/// 主审戴刚锋1.3.3 函数的图象（2）
一、课题：函数的图象（2）
二、教学目标：1．明确函数中的物理意义及它们对函数的图象各有什么影响；
2．逐步掌握由，的图象，通过图象的伸缩平移变换得到函数，的图象的方法。
三、教学重、难点：函数图象的伸缩、平移变换。
四、教学过程：
（一）复习：
1．型函数的图象；
2．型函数的图象；
3．型函数的图象。
（二）新课讲解：
1．的物理意义
当，（其中，）表示一个振动量时，表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率。称为相位，时的相位称为初相。
2．图象的变换
例 画出函数的简图。
解：函数的周期为，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再左右拓展即可，先用五点法画图：
函数的图象可看作由下面的方法得到的：
①图象上所有点向左平移个单位，得到的图象上；②再把图象上所点的横坐标缩短到原来的，得到的图象；③再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象。
一般地，函数，的图象（其中，）的图象，可看作由下面的方法得到：
①把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度；
②再把所得各点横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）；
③再把所得各点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍（横坐标不变）。
即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。
问题：以上步骤能否变换次序？
∵，所以，函数的图象还可看作由下面的方法得到的：
①图象上所点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象；
②再把函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象；
③再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象。
五、课堂练习：
（1）函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？
（2）函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？
（3）将函数的图象上所有的点 得到的图象，再将
的图象上的所有点 可得到函数的图象。
（4）由函数的图象怎样得到的图象？
六、小结：1．函数与的图象间的关系。
七、作业：
PAGE
- 2 -第七课时 同角三角函数的基本关系式
教学目标：
理解并掌握同角三角函数的基本关系，并能应用之解决一类三角函数的求值问题，通过同角三角函数关系的应用，使学生面对问题养成分析的习惯、学会分析的方法.
教学重点：
同角三角函数的基本关系.
教学难点：
已知某角的一个三角函数值，求它其余的各三角函数值时，符号的确定.
教学过程：
Ⅰ.自学指导
今天我们来学习同角三角函数的基本关系式，课下同学们已经对这部分内容进行了预习，这些关系式的具体内容是_________.
sin2α＋cos2α＝1，＝tanα
请同学们再仔细看一下课本，看这些关系式是怎样得到的 它们的成立有条件吗 若有，是什么
这些关系式都是由任意角的三角函数定义得到的，它们的成立有条件：一是必须为同角，二是关系式对式子两边都有意义的角＝tanα成立.
通过分析，我们必须明确注意：
(1)关系式是对于同角而言的.
(2)关系式是对于式子两边都有意义的角而言的.?
(3)sin2α读作“sinα”的平方，它与α2的正弦是不同的.
这两个关系式是两个三角恒等式，只要α的值使式子的两边都有意义，无论α取什么值，三个式子分别都是恒成立的，即式子的左右两边是恒等的.以后说到三角恒等式时，除特殊注明的情况外，也都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式.
这些关系式有哪些方面的应用呢
①求值②化简③证明(学生边答，教师边板书).
所谓求值，就是已知某角的一个三角函数值，可以利用这些关系式，求出这个角其余的各三角函数值，但应该注意，利用平方关系求值时，由于要开平方，就面临一个正负号的选择问题，究竟选正号还是选负号，要由角所在的象限决定.
注意：
(1)应用平方关系求角的三角函数值时，一定要先确定角所在的象限.
(2)正确选用公式以及公式的变用或活用.
课本上的例1、例2、例3都是已知角α的一个三角函数值，求它的其余三角函数值问题，例1和例2有什么不同呢
例1还告诉了角所在的象限，例2没有告诉.
例2没有告诉角所在的象限，求解的过程就比较复杂啦，因为已知一个角的某一三角函数值，这个角一般位于两个象限，故要分两种情况讨论求值.
现在我们来看一下例3，例3说明若角的某一三角函数值不是一个具体值(或者说是一个字母)时，又要分这个字母表示的数是正、是负、是零三种情况进行讨论，这又增加了问题的复杂程度.
归纳三个例题之情况，求值的问题有三种类型：
①已知某角的某一三角函数值，且知角的象限；
②已知某角的某一三角函数值，不知角的象限；
③已知某角的某一三角函数值为字母，不知角的象限.
对于第二、第三种类型一定要注意分情况讨论，否则，将导致解答的不完整.
下面我们来练习几个题
Ⅱ.课堂练习
课本P18练习1、2、3、4、5、6.
Ⅲ.课时小结
本节课我们学习了同角三角函数的基本关系，明确了关系式成立的条件以及关系式的作用，并对在求值方面的应用进行了练习与分析，特别要注意利用平方关系求值时正负号的选择问题，解决的关键是确定角所在的象限.求值问题有三种类型，对不清楚角所在象限的，一定要分一切可能情况，不遗漏地进行讨论.这些关系式贯穿于三角学习的始终，希望同学们很好掌握.
Ⅳ.课后作业
课本P23习题 7、8、9.
同角三角函数的基本关系式
1．若（）sinθ＜1，则θ的取值范围是 （ ）
A.{θ|+2kπ＜θ＜π+2kπ，k∈Z} B.{θ|π+2kπ＜θ＜2π+2kπ，k∈Z}
C.{θ|2kπ＜θ＜π+2kπ，k∈Z} D.{θ|+2kπ＜θ＜π+2kπ，k∈Z}
2．若sinθ＝，且θ为第二象限角，则tanθ的值等于（ ）
A.－ B.± C.± D.
3．已知α为锐角，且2tanα＋3sinβ＝7，tanα－6sinβ＝1，则sinα的值为 （ ）
A. B. C. D.
4．设＝－1，则的值是 （ ）
A.4 B.6 C.5 D.
5．已知sinθ－cosθ＝，则sin3θ－cos3θ＝ .
6．已知tanα＝2，则2sin2α－3sinαcosα－2cos2α＝ .
7．化简 eq \r() ＋ eq \r() (α为第四象限角）＝ .
8．已知cosθ＝t，求sinθ，tanθ的值.
9．已知tanα＝2，求下列各式的值.
（1） (2)
(3) sin2α＋cos2α
同角三角函数的基本关系式答案
1．C 2．A 3．A 4．C 5． 6．0 7．－
8．已知cosθ＝t，求sinθ，tanθ的值.
分析：依据cosθ＝t，对t进行分类讨论，利用同角三角函数关系式化简求值.
解：（1）当0＜t＜1时，θ为第一或第四象限角，
θ为第一象限角时，sinθ＝＝，tanθ＝＝ eq \f(,t)
θ为第四象限时，sinθ＝－，tanθ＝－ eq \f(,t)
(2)当－1＜t＜0时，θ在第二或第三象限，
θ为第二象限时，sinθ＝，tanθ＝ eq \f(,t)
θ为第三象限时，sinθ＝－，tanθ＝－ eq \f(,t)
(3)当t＝1时，θ＝2kπ(k∈Z)，sinθ＝0，tanθ＝0，
(4)当t＝0时，θ＝2kπ±(k∈Z)
θ＝2kπ＋ (k∈Z)时，sinθ＝1，tanθ不存在
θ＝2kπ－ (k∈Z)时，sinθ＝－1，tanθ不存在.
（5）当t＝－1时，θ＝2kπ＋π(k∈Z)
sinθ＝0，tanθ＝0
9．已知tanα＝2，求下列各式的值.
（1） (2)
(3) sin2α＋cos2α
分析：依据已知条件tanα＝2，求出sinα与cosα，或将所求式子用tanα表示出来.
解：（1）∵cosα≠0
∴ 原式＝ eq \f(,) ＝＝
(2)∵cos2α≠0
∴＝＝
(3) sin2α＋cos2α
＝ eq \f(sin2α＋cos2α, sin2α＋cos2α) ＝ eq \f(tan2α＋,tan2α＋1) ＝.
- 5 -第5课时 平面的基本性质（一）
教学目标：
使学生建立立体几何的初步概念；理解几何平面的无限延展性；立体几何中平面的画法、表示方法；会用集合符号语言表达点、线、面间的位置关系；初步掌握直线在平面内的依据、两平面相交的依据。
教学重点：平面的画法及表示方法。
教学难点：理解平面的无限延展性及两个公理。
教学过程：
一、引言：
我们日常生活和学习中，总离不开几何图形，这些几何图形大致可分为两种：一种是我们在初步已研究的平面图形，这种图形上的点都在同一平面上，如三角形、圆……另一种就是我们将要研究的空间图形（立体图形）。这种图形上的点不全在一个平面上，如厂房、书桌等。同学们以后走上工作岗位后，只知道平面几何知识显然不够，这就要进一步研究学习空间图形。
平面几何研究的对象是平面图形（点、线以及组合）的形状、大小、位置关系，而立体几何研究的对象是空间图形的形状、大小、位置关系。
两者的区别：平面图形——所研究的对象都在同一平面内；
空间图形——所研究的对象不一定在同一平面内。
两者的关系：前者为后者的特殊情形。
由上可知，在解决立体几何问题的时候，要利用立体几何的有关概念和性质，而不能随便把平面几何的性质用于立体几何问题；只有所研究的对象在同一平面上的时候，才能利用平面几何的有关性质。但是，许多空间问题可以转化为平面问题来解决，这里就涉及到数学中的重要思想——转化思想。
二、新课讲解：
1、平面：
（1）定义：利用点、直线的概念说明平面也是不定义的概念。
平面的两个特征：①无限延展，②平的（没有厚度）。
（2）平面的画法：（1）一个平面：水平放置和直立；（2）两个相交平面
（3）平面的表示：（1）一个小写的希腊字母；（2）两个大写的英文字母。
2、直线在平面内的依据（公理1）
（1）有关概念：所谓直线在平面内，即指直线上的所有点都在平面内；若点A在直线a上，记做A∈a，若点A在直线a外，记做Aa；若点A在平面α上（外），记作A∈α（Aα）；若直线a在平面α内，记做aα，若直线a不在平面α内，记做aα。这里的“、”借用了集合的符号，其含义仍然与集合符号的意义一致。
（2）公理一：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。即A∈α，B∈αABα。
说明：此时即直线在平面内，或者说平面经过直线。公理一是判定直线在平面内的依据。
3、两个平面相交的依据（这里所指的两个平面都是指不重合的平面）：
（1）当一条直线a既在平面α内，又在平面β内，即α和β有一条公共的直线a，则称α与β相交，交线是a，记做α∩β=a。
（2）公理二：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。即A∈α，A∈βα∩β=a且A∈a。
“公理二”说明：①若两个平面有一个公共点，则必定还有第二个、第三个……，必有无限多个公共点，所有这些公共点都在同一条直线上，反之，该直线上的每一点都是两个平面的公共点。因此，两平面若有公共点，则必有公共直线。②两平面若相交，则有且只有一条交线。
三、课堂练习：
教材P23练习1、2、3、4
四、课堂小结：
注意用集合符号语言表达几何元素间的关系及两个公理的作用的理解。
五、课后作业：
教材习题P28第4、5题
- 2 -3.2.3 直线的一般式方程
一、教学目标
1、知识与技能
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法
学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：
1、重点：直线方程的一般式。
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于的二元一次方程（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？ 使学生理解直线和二元一次方程的关系。 教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。为此要对B分类讨论，即当时和当B=0时两种情形进行变形。然后由学生去变形判断，得出结论： 关于的二元一次方程，它都表示一条直线。 教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示；同时，任何一个关于的二元一次方程都表示一条直线。 我们把关于关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）.
2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？ 使学生理解直线方程的一般式的与其他形 学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：
问 题 设计意图 师生活动
式的不同点。 直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与轴垂直的直线。
3、在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于轴；（2）平行于轴；（3）与轴重合；（4）与重合。 使学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响。 教师引导学生回顾前面所学过的与轴平行和重合、与轴平行和重合的直线方程的形式。然后由学生自主探索得到问题的答案。
4、例5的教学 已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程。 使学生体会把直线方程的点斜式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点。 学生独立完成。然后教师检查、评价、反馈。指出：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含项、含项、常数项顺序排列；项的系数为正；，的系数和常数项一般不出现分数；无特加要时，求直线方程的结果写成一般式。
5、例6的教学 把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形。 使学生体会直线方程的一般式化为斜截式，和已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法。 先由学生思考解答，并让一个学生上黑板板书。然后教师引导学生归纳出由直线方程的一般式，求直线的斜率和截距的方法：把一般式转化为斜截式可求出直线的斜率的和直线在轴上的截距。求直线与轴的截距，即求直线与轴交点的横坐标，为此可在方程中令=0，解出值，即为与直线与轴的截距。 在直角坐标系中画直线时，通常找出直线下两个坐标轴的交点。
6、二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？ 使学生进一步理解二元一次方程与直线的关系，体会直解坐标系把直线与方程联系起来。 学生阅读教材第105页，从中获得对问题的理解。
7、课堂练习 第105练习第2题和第3（2） 巩固所学知识和方法。 学生独立完成，教师检查、评价。
问 题 设计意图 师生活动
8、小结 使学生对直线方程的理解有一个整体的认识。 （1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。 （2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围。 （3）求直线方程应具有多少个条件？（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？
9、布置作业 第106页习题3.2第10题和第11题。 巩固课堂上所学的知识和方法。 学生课后独立思考完成。
数学教育网http:/// 主审戴刚锋第六课时 解三角形应用举例（二）
教学目标：
进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用，熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力；通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产，生活实际中所发挥的重要作用.教学重点：
1.实际问题向数学问题的转化；
2.解斜三角形的方法.
教学难点：
实际问题向数学问题转化思路的确定.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧.这一节，我们给出三个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决.
Ⅱ.例题指导
［例1］如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，试求AB的长.
分析：如图所示，对于AB求解，可以在△ABC中或者是△ABD中求解，若在△ABC中，由∠ACB＝α－β，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解.而AC可在△ACD内利用正弦定理求解，BC可在△BCD内由正弦定理求解.
解：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝α，∠ADC＝δ，由正弦定理得
AC＝＝
在△BCD中，由正弦定理得
BC＝＝
在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝α－β，所以用余弦定理.就可以求得AB＝
评述：（1）要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用；
（2）注意体会例1求解过程在实际当中的应用.
［例2］据气象台预报，距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响.问：S岛是否受其影响 若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响 持续时间多久 说明理由.
分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化.S岛是否受台风影响可转化为SB≤270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过t小时到达B点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB.
解：设台风中心经过t小时到达B点，
由题意，∠SAB＝90°－30°＝60°
在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，
由余弦定理得：
SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cosSAB
＝3002＋（30t）2－2·300·30tcos60°
若S岛受到台风影响，则应满足条件
|SB|≤270，即SB2≤2702
化简整理得，t2－10t＋19≤0
解之得，5－≤t≤5＋
所以从现在起，经过5－小时S岛开始受到影响，（5＋）小时后影响结束.
持续时间：（5＋）－（5－）＝2小时.
答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（5－）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2小时.
评述：此题为探索性命题，可以假设命题成立去寻求解存在条件，也可假设命题不成立去寻求解存在条件.本题求解过程采用了第一种思路.SB≤270是否有解最终转化为关于t的一元二次不等式是否有解，与一元二次不等式解法相联系.
说明：本节两个例题要求学生在教师指导下自己完成，以逐步提高解三角形应用题的能力.
练习：
1.海中有一小岛B，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，望见岛B在北60°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险
答案：不会触礁.
2.直线AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km／h速度由A向B行驶，同时摩托车以50公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小.
答案：约1.3小时.
Ⅲ.课时小结
通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力.
Ⅳ.课后作业
课本P21习题 4，5，6.
解三角形应用举例
［例1］某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mile／h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile／h的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进 并求出靠近渔船所用的时间.
［例2］如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（－1）海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船 并求出所需时间.
［例3］用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.
［例4］如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.
［例5］如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，试求AB的长.
［例6］据气象台预报，距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响.问：S岛是否受其影响 若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响 持续时间多久 说明理由.
练习：
1.海中有一小岛B，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，望见岛B在北60°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险
2.直线AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km／h速度由A向B行驶，同时摩托车以50公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小.
解三角形应用举例
1．在△ABC中，下列各式正确的是 （ ）
A. ＝ B.asinC＝csinB
C.asin(A＋B)＝csinA D.c2＝a2＋b2－2abcos(A＋B)
2．已知三角形的三边长分别为a、b、，则这个三角形的最大角是 （ ）
A.135° B.120° C.60° D.90°
3．海上有A、B两个小岛相距10 nmile，从A岛望B岛和C岛成60°的视角，从B岛望A岛和C岛成75°角的视角，则B、C间的距离是 （ ）
A.5nmile B.10nmile C. nmile D.5nmile
4．如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据
A.α、a、b B.α、β、a
C.a、b、γ D.α、β、γ
5．某人以时速a km向东行走，此时正刮着时速a km的南风，
那么此人感到的风向为 ，风速为 .
6．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，则c＝ .
7．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°
的方向航行30 nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯
塔的距离是 .
8．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为300，则甲、乙两楼的高分别是 .
9．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔前进10米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是 米.
10．在△ABC中，求证：－＝－.
11．欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河宽.（精确到0.01 m）
12．甲舰在A处，乙舰在A的南偏东45°方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲舰以28 nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？
解三角形应用举例答案
1．C 2．B 3．D 4．C 5．东南 a 6．40 7．10 8．20，
9．15
10．在△ABC中，求证：－＝－.
提示：左边＝－＝(－)－2(－)＝右边.
11．欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河宽.（精确到0.01 m）
解：由题意C＝180°－A－B＝180°－45°－75°＝60°
在△ABC中，由正弦定理＝
∴ BC＝＝＝ eq \f(120×,) ＝40
S△ABC＝AB·BCsinB＝AB·h
∴h＝BCsinB＝40×＝60＋20≈94.64
∴河宽94.64米.
12．甲舰在A处，乙舰在A的南偏东45°方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲舰以28 nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？
解：设th甲舰可追上乙舰，相遇点记为C
则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝120°
由余弦定理
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosABC
(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×(－)
整理得128t2－60t－27＝0
解得t＝ (t＝－舍去)
故BC＝15（nmile），AC＝21( nmile)
由正弦定理
∴sinBAC＝×＝
∠BAC＝arcsin
故甲舰沿南偏东－arcsin的方向用0.75 h可追上乙舰.
- 10 -2.2 用样本估计总体 · 海口实验中学 覃荣学·
２.2.1用样本的频率分布估计总体分布(2课时)
教学目标：
知识与技能
（1） 通过实例体会分布的意义和作用。
（2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。
（3）通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计。
过程与方法
通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观
通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。
重点与难点
重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。
难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。
教学设想
【创设情境】
在ＮＢＡ的2004赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕
甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50
乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33
请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？
如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布（板出课题）。
【探究新知】
〖探究〗：P55
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢 ？你认为，为了了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论）
为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等。因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况。（如课本P56）
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息。表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式。
下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律。可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况。
〈一〉频率分布的概念：
频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为：
（1） 计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差
（2） 决定组距与组数
（3） 将数据分组
（4） 列频率分布表
（5） 画频率分布直方图
以课本P56制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图。（让学生自己动手作图）
频率分布直方图的特征：
（1） 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。
（2） 从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
〖探究〗：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形状也会不同。不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断，分别以0.1和1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象？（把学生分成两大组进行，分别作出两种组距的图，然后组织同学们对所作图不同的看法进行交流……）
接下来请同学们思考下面这个问题：
〖思考〗：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，根据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，（见课本P57）你能对制定月用水量标准提出建议吗？（让学生仔细观察表和图）
〈二〉频率分布折线图、总体密度曲线
1．频率分布折线图的定义：
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。
2．总体密度曲线的定义：
在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息。（见课本P60）
〖思考〗：
１．对于任何一个总体，它的密度曲线是不是一定存在？为什么？
２．对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来？为什么？
实际上，尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的，但一般很难想函数图象那样准确地画出来，我们只能用样本的频率分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确．
〈三〉茎叶图
１．茎叶图的概念：
当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。（见课本P6１例子）
2．茎叶图的特征：
（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。
（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。
【例题精析】
〖例1〗：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高
(单位ｃｍ)
(1)列出样本频率分布表﹔
(2)一画出频率分布直方图;
(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.。
分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。
解：（１）样本频率分布表如下：
（２）其频率分布直方图如下：
（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.
〖例2〗：为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.
(1) 第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2) 若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
(3) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由。
分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。
解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，
因此第二小组的频率为：
又因为频率=
所以
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为
（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。
【课堂精练】
P61 练习 1. 2. 3
【课堂小结】
1． 总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。
2． 总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。
【评价设计】
1．P72 习题2.2 A组 1、 2
0.07
0.06
0.03
0.02
0.01
o
频率/组距
0.05
0.04
身高（cm）
154
158
150
146
142
138
134
130
126
122
0.036
0.032
频率/组距
0.028
0.024
0.020
0.016
0.012
0.008
0.004
o
次数
150
140
130
120
110
100
90
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32．2．2 向量的减法
一、课题：向量的减法
二、教学目标：1．掌握向量减法及相反向量的的概念；
2．掌握向量减法与加法的逆运算关系，并能正确作出已知两向量的差向量；
3．能用向量运算解决一些具体问题。
三、教学重、难点：向量减法的定义。
四、教学过程：
（一）复习：1．向量的加法法则。
2．数的运算：减法是加法的逆运算。
（二）新课讲解：
1．相反向量：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。
说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。
（2）性质：；．
2．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示．
3．向量减法的法则：
已知如图有，，求作．
（1）三角形法则：在平面内任取一点，作，，则．
说明：可以表示为从的终点指向的终点的向量（，有共同起点）．
（2）平行四边形：在平面内任取一点，作 ，，
则．
思考：若，怎样作出？
4．例题分析：
例1 试证：对任意向量，都有．
证明：（1）当，中有零向量时，显然成立。
（2）当，均不为零向量时：
①，，即时，当，同向时，；
当，异向时，．
②，不共线时，在中，，
则有．
∴其中：
当，同向时，，
当，同向时，．
例2 用向量方法证明：对角线互相平行的四边形是平行四边形。
已知：，，求证：四边形是平行四边形。
证明：设，，则，
∴，
∴，又∵点不在
∴平行且等于
所以，四边形是平行四边形．
五、课堂练习：
六、课堂小结：1．掌握向量减法概念并知道向量的减法的定义是建立在向量加法的基础
上的；
2．会作两向量的差向量；
3．能够结合图形进行向量计算以及用两个向量表示其它向量。
七、作业： 补充
1．已知正方形的边长等于1，，，，
求作向量：（1）（2）；
2．已知向量，的模分别是3，4，求的取值范围。
3．如图，已知平行四边形的对角线，交于点，若，
，，求证．
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- 2 -3.1.3 两角和与差的正切（1）
一、课题：两角和与差的正切（1）
二、教学目标：1.掌握两角和与差的正切公式的推导；
2.掌握公式的正、逆向及变形运用。
三、教学重点、难点：公式的推导及运用。
四、教学过程：
（一）复习：公式。
（二）新课讲解：
1．两角和的正切
即： （）
2．两角差的正切
即： （）
说明：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；
②公式的变形：
．
3．例题分析：
例1：求值：（1）；（2）．
解：（1）；
（2）．
例2：求值。
解：=．
例3：求值。
解：原式
．
例4：已知一元二次方程的两个根为，
求的值。
解：由和一元二次方程根与系数的关系，得
， 又，
所以，．
五、课堂练习：
六、小结：1．掌握公式及它的变形公式；
2．对公式要灵活进行正用（例1）、逆用（例2）及变形使用（例3）．
七、作业：
补充：1．已知，且是方程的两个根，求．
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- 1 -高一新课程数学必修（Ⅲ）教案
算法小结复习
教学目的：总结算法解题的一般思路，即算法分析（提炼问题的数学本质）——画出程序框图——按框图编写伪代码；通过本章学习增强解题的规范性．
教学重点：在准确理解算法的基础上，掌握流程图的画法及判断；掌握伪代码的编写．
教学过程：
例1．阅读下列伪代码，并指出当时的计算结果：
（1）read a, b (2) read a, b (3) read a, b
X←a+b a←a+b a←a+b
y←a-b b←a-b b←a-b
a←(x+y)/2 a←(a+b)/2 a←(a-b)/2
b←(x-y)/2 b←(a-b)/2 b←(a+b)/2
Print a, b Print a, b Print a, b
a=____,b___ a=____,b___ a=____,b___
例2．写出用二分法求方程在区间内的一个近似解（误差不超过）的一个算法．
说明：此题主要再次强调算法的问题根本上是一个思维的问题以及算法语言的基本规则；如何通过语句的结构形式规范处理及简化问题，
从而增强解题的规范性．
流程图与伪代码
10 Rend a,b,c
20 x0 ←(a+b)/2
30 f(a) ←a3-a-1
40 f(x0) ←x03-x0-1
50 If f(x0)=0 then Goto 120
60 If f(a)f(x0)<0 then
70 b ←x0
80 Else
90 a ←x0
100 End if
110 If |a-b|≧c then Goto 20
120 Print x0
N
以上两例重点理解赋值语句，尤其是在循环结构中如何根据对变量的理解灵活赋值，从而用简炼的语句表示算法。
例3．满足方程的一组正整数称为勾股数或商高数，设计计算某一范围内的勾股数的算法．
For a from 3 to 30
For b from a+1 to 40
For c from b+1 to 50
If a2+b2=c2 then
P a, b, c
End if
End
End
End
例四．已知钱数（不足10元），要把它用于1元、5角、1角、1分的硬币表示，若要用尽量少的硬币个数表示，设计一个算法，求各硬币的个数．
分析：要用尽量少的硬币表示钱数，也就是要尽可能地用大面值的硬币．以1元钱的个数就是的整数部分，记为，则5角钱的个数就是（－）/0.5的整数部分,记为；1角钱的个数就是（－＊1－＊0.5）的整数部分，记为；1分钱的个数就是（－＊1－＊0.5－＊0.1）的整数部分．
解：Read
=int（）
=int（（－）/0.5）
= int（（－＊1－＊0.5）/0.1）
=int（（－＊1－＊0.5－＊0.1）/0.01）
Print ，，，
例五. 在日常生活中，人们经常要把一些记录中的数据排序，如招生录取中按照成绩对考生进行排序，汉字拼音检索中按照字母顺序对汉字进行排序等等。排序就是按照一定的规则，对数据加以排列整理，从而提高查找效率．
（1）直接插入排序法：
（2）冒泡排序法：
现用直接插入排序法对任意输入的n个数进行从小到大的排序，其伪代码程序如下：
Begin
Read n
For i=1 to n
Read a(i)
End For
For i=2 to n
For j=1 to i-1
If a(j)>a(i) Then
m=a(i)
a(i)=a(j)
a(j)=m
End if
End For
End For
For k=1 to n
Print a(k)
End For
End
再用直接冒泡排序法对任意输入的n个数进行从小到大的排序，其伪代码程序如下：
10 Begin
20 Read n
30 For i=1 to n
40 Read a(i)
50 End For
60 For j=1 to n-1
70 w=0
80 For i=1 to n-1
90 If a(i)>a(i+1) Then
100 m=a(i)
110 a(i)=a(i+1)
120 a(i+1)=m
130 w=w+1
140 end if
150 End For
160 If w=0 Then Goto 180
170 End For
180 For k=1 to n
190 Print a(k)
200 End For
210 End
用DO循环语句表示如下：
Begin
Read n
For i=1 to n
Read a(i)
End For
Do
w=0
For i=1 to n-1
If a(i)>a(i+1) Then
m=a(i)
a(i)=a(i+1)
a(i+1)=m
w=w+1
end if
Next i
Loop Until w=0
For k=1 to n
Print a(k)
End For
End
例三与例五及算经中的“百钱百鸡”问题均对循环语句的应用提出更高要求，在算法理解及流程图的设计上思路一定要清晰。
例六．（李白买酒)“无事街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒”．设计求酒壶中原有多少酒的一个算法并写出伪代码．
S=0
For I from 1 to 3
S←(S+1)/2
End For
Pint S
例七．一个三位数,如果每一位数字的立方和等于它本身,则称之为“水仙花数”．设计一个算法，找出所有的水仙花数，用伪代码表示．
For n from 100 to 999
←int(n/100)
←int((n-100x)/10)
z←n－100－10
If n=3+3+z3 then
Pint n
End If
Next n
End for
例八．一辆邮车依次前往城市Ａ１，Ａ２，Ａ３，…Am（），每到一个城市先卸下前面各城市发往该城市的邮袋1个，然后再装上该城市发往后面各城市的邮袋各1个，
设ｎ是邮车从第ｎ个（1≤n＜m，n∈N* ）城市出发时邮车上邮袋的个数，设计一个算法，对任给两个正数ｍ＞ｎ，求ｎ.
分析:到达第n个城市时,邮袋个数为前一个城市的邮袋个数减去前面城市发往该市的n-1个邮袋，再加上发往后面各城市的（m-n）个邮袋，可用循环计算I从1至ｎ时，ｎ的变化。
解：　伪代码为：
Read m,n
If m≤n then Print“错误！ｍ必须大于ｎ”
Else
S←0
For I from 1 to n
S←S+(m- I)-(I-1)
Next I
End For
End If
Print S
例九．进位制与秦九韶算法
1．用程序把进制数（共有位）转换为十进制数
2．把一个十进制数化为k进制数
Begin
Read a , k
i=1
Do
r=mod(a,k)
a(i)=r
a=(a-r)/k
i=i+1
Loop Until a=0
m=i-1
For j=m to 1 Step -1
Print a(j);
Next j
Prin “(”;k;”)”
End
3．求次多项式当（是任意实数）的值
解析：把次多项式改写如下形式：
发现规律结合所掌握算法，通过模仿，操作，探索，寻找解决问题的通法。]
例十．（焚塔传说）
解析：关键是理解问题发现规律
二、数学构建：
三、知识运用：
四、学力发展：
五、课堂小结：
六、课外作业：
输入a,b,c
输出x0
b←x0
a←x0
f(a)←a3-a-1
f(x0)←x03-x0-1
X0←(a+b)/2
|a-b|f(a)f(x0)<0
f(x0)=0
Y
N
Y
N
Y
结束
开始
Y
N
结束
b←a+1
输出a,b,c
a2+b2=c2
a←3
b←b+1
c←c+1
a←a+1
c←b+1
开始
Y
N
I=I+1
V=v×x0+an-i
V=v0
输出v
I≦n
I=1
输入x0
输入f(x)的系数：
a0 a1 a2 …an
Read a, k, n
I=1
b=0
while i<=n
t=get a(i)
b=b+t*k^(i-1)
i=i+1
end while
print b
a≦30
b≦40
c≦50
Y
Y
Y
N
N
N第七课时 二倍角的正弦、余弦、正切(一)
教学目标：
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明；引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识.
教学重点：
二倍角公式的推导及简单应用.
教学难点：
理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢 请同学们试推.
先回忆和角公式
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
当α＝β时，sin(α＋β)＝sin2α＝2sinαcosα
即：sin2α＝2sinαcosα(S2α)
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
当α＝β时cos(α＋β)＝cos2α＝cos2α－sin2α
即：cos2α＝cos2α－sin2α(C2α)
tan(α＋β)＝
当α＝β时，tan2α＝
Ⅱ.讲授新课
同学们推证所得结果是否与此结果相同呢 其中由于sin2α＋cos2α＝1，公式C2α还可以变形为：cos2α＝2cos2α－1或：cos2α＝1－2sin2α
同学们是否也考虑到了呢
另外运用这些公式要注意如下几点：
(1)公式S2α、C2α中，角α可以是任意角；但公式T2α只有当α≠＋kπ及α≠＋ (k∈Z)时才成立，否则不成立(因为当α＝＋kπ，k∈Z时，tanα的值不存在；当α＝＋，k∈Z时tan2α的值不存在).
当α＝＋kπ(k∈Z)时,虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：
即：tan2α＝tan2(＋kπ)＝tan(π＋2kπ)＝tanπ＝0
(2)在一般情况下，sin2α≠2sinα
例如：sin＝≠2sin＝1；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα＝0成立］.
同样在一般情况下cos2α≠2cosαtan2α≠2tanα
(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将α作为 的2倍，将 作为 的2倍，将3α作为 的2倍等等.
下面，来看一些例子：
［例1］已知sinα＝，α∈(，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值.
解：∵sinα＝，α∈(，π)
∴cosα＝－＝－ eq \r(1－（）2) ＝－
∴sin2α＝2sinαcosα＝2××(－)＝－，
cos2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝，
tan2α＝＝－×＝－.
练习题：
1.已知cosα＝m，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值.
解：∵cosα＝m，α在第二象限.
∴sinα＝＝
∴sin2α＝2sinαcosα＝2·m＝2m
cos2α＝2cos2α－1＝2m2－1
tan2α＝＝ eq \f(2m,2m2－1)
或由tanα＝＝ eq \f(,m)
tan2α＝＝ eq \f(2m,2m2－1)
2.化简cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－cos2θ
分析：由于观察到此式中的角出现了θ＋15°、θ－15°与2θ，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.
解：cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－cos2θ
＝＋－cos2θ
＝1＋［cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)］－cos2θ
＝1＋［cos2θcos30°－sin2θsin30°＋cos2θcos30°＋sin2θsin30°］－cos2θ
＝1＋×2cos2θcos30°－cos2θ
＝1＋cos2θ－cos2θ＝1
评述：二倍角公式的等价变形：
sin2α＝，cos2α＝，可以进行“升(降)幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化.
［例2］若270°＜α＜360°，化简： eq \r(＋ eq \r(＋cos2α) )
解：∵cos2α＝2cos2α－1，cosα＝2cos2－1
∴ eq \r(＋ eq \r(＋cos2α) )
＝ eq \r(＋ eq \r(＋（2cos2α－1）) ) ＝ eq \r(＋)
又∵270°＜α＜360° 135°＜＜180°
∴原式＝ eq \r(＋cosα) ＝ eq \r(＋（2cos2－1）) ＝ eq \r(cos2) ＝－cos
［例3］求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
解：sin10°＝cos80° sin50°＝cos40°sin70°＝cos20°
∴原式＝cos80°cos40°cos20°
＝×＝× eq \f(cos80°cos40°sin40°×,sin20°)
＝× eq \f(cos80°sin80°××,sin20°) ＝× eq \f(sin160°×××,sin20°) ＝
［例4］求证：8cos4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3
证明：8cos4θ＝8(cos2θ)2＝8()2＝2(cos22θ＋2cos2θ＋1)
＝2()＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3
Ⅲ.课堂练习
课本P108 1、2、3、4.
Ⅳ.课时小结
理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.
二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.
Ⅴ.课后作业
课本P110习题 1、2、3、4.
- 3 -三角函数复习讲义（1）
两角和与差的三角函数
一、复习要点：
1．主要内容：同角三角函数的基本关系式，诱导公式，和角（差角）公式，倍角公式。
2．主要题型：化简、求值、证明。
3．方法要点：化简、求值、证明常涉及三个方面的变形：角、函数名称、运算方式，关键是角的处理。常用的变形措施有：负角化正，大角化小，切割化弦，化异为同，降高为低，引进辅助角，“”的变换，和差配凑等。对于给式求值的问题，要针对目标运用条件；对于证明问题，消除条件和结论的差异，即为成功。要求不仅熟悉公式、活用公式，还要善于观察、辨析差异，根据题意选取适当的方法。
二、基础训练：
1．已知，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
2．设是三角形中的最小角，且，则的取值范围是 ．
3．化简，其结果为 （ ）
A． B． C． D．
4．在中，，且，则的大小为 （ ）
A． B． C．或 D．或
5．已知，且，则角是第 象限角。
6．若和都是锐角，且，，则的值是 ，的值是 ．
7．已知，，则的值是 ．
三、例题分析：
例1．求值：。
例2．设是锐角，且，，求证：成等差数列。
例3．是否存在锐角和，使得，同时成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由。
四、课后作业：
1．设，，，则有 （ ）
A． B． C． D．
2．若，则的最大值是 最小值是 ．
3．函数的最小正周期是 （ ）
A． B． C． D．
4．若和都是锐角，且，则与的大小关系是 ．
5．若，则的值是 ．
6．若和都是锐角，且，则的值是 ．
7．若，则的值是 （ ）
． ． ． ．
8．计算：．
9．已知，且满足，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）将表示成的函数关系式。
10．已知：其中不同时为零，
求证：．
PAGE
- 1 -第17课时 指数综合训练（二）
教学目标：
使学生进一步熟悉对数定义与幂的运算性质，理解对数运算性质的推导过程，熟悉对数的运算性质的内容，熟练运用对数的运算性质进而化简求值，明确对数的运算性质与幂的运算性质的区别.能运用联系的观点解决问题，认识事物之间的相互联系与相互转化.
教学重点：
证明对数运算性质.
教学难点：
对数运算性质的证明方法与对数定义的联系.
教学过程：
教学目标
(一)教学知识点
有理指数幂运算性质.
(二)能力训练要求
1.进一步熟悉有理指数幂运算性质.
2.掌握化简、求值的技巧.
3.培养学生的数学应用意识.
(三)德育渗透目标
帮助学生认识事物之间的普遍联系.
●教学重点
有理指数幂运算性质运用.
●教学难点
化简、求值技巧.
●教学方法
启发引导式
启发学生注意寻求已知条件与所求之间或是已知条件本身内部的内在联系，并运用学生所熟悉的平方差、立方和、立方差公式进一步变形求解.
引导学生注意总结在化简、求值过程中所运用的常见变形技巧，并展开同学之间的相互交流，以便形成灵活多样的解题方法.
●教具准备
幻灯片一张：本节例题.
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节，我们熟悉了有理指数幂运算性质在化简、求值中的应用，并了解了部分解题技巧，这一节，我们继续加强这方面的训练.
Ⅱ.讲授新课
说明：本节课以学生为主进行训练，老师适当加以引导.
［例7］化简
(
分析：此题中，分子运用平方差公式展开，即可约去分母达到化简目的.
解：
=
=
评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即(,由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决.
［例8］已知x+x－1=3,求下列各式的值
(1)
(2)
分析：(1)题若平方则可出现已知形式，但开方时应注意正负的讨论；
(2)题若立方则可出现(1)题形式与已知条件，需将已知条件与(1)题结论综合；或者，可仿照(1)题作平方处理，进而利用立方和公式展开.
(1)解：∵（
=
=x1+x-1+2
=3+2=5
∴=±
又由x+x-1=3得x＞0
所以
(2)解法一：
=
=
=
= (3－1)
=2
解法二：
=
=x3+x－3+2
而x3+x-3
=(x+x-1)(x2+x-2－1)
=(x+x-1)[(x+x-1)2－3]
=3×(32－3)
=18
∴=20
又由x+x-1=3得x＞0
∴
评述：(1)题注重了已知条件与所求之间的内在联系，但开方时正负的取舍容易被学生所忽视，应强调以引起学生注意.
(2)题解法一注意了(1)题结论的应用，显得颇为简捷，解法二注重的是与已知条件的联系，体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用，而且具有一定层次，需看透问题实质方可解决得彻底，否则可能半途而废.另外，(2)题也体现了一题多解.
Ⅲ.课堂练习
1.课本P71习题2.5
6.(1)计算下列式子：
＝
=＝
2.已知x-3+1=a,求a2－2ax-3+x-6的值.
解法一：a2－2ax-3＋x-6
＝（x-3＋1）2－2（x-3＋1）x-3＋x-6
＝x-6＋2x-3＋1－2x-6－2x-3＋x-6
＝2x-6－2x-6＋2x-3－2x-3＋1
＝1
解法二：由x-3＋1＝a
得x-3＝a－1
x-6＝（x-3）2＝（a－1）2
∴a2－2ax-3＋x-6
＝a2－2a（a－1）＋（a－1）2
＝[a－（a－1）]2
＝（a－a＋1）2
＝1
评述：此题可以将a换成x的关系式代入化简，也可将x-3换成a的关系式代入化简，要求学生注意解题的灵活性.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家进一步熟悉有理指数幂运算性质在化简求值中的应用，并掌握一定的解题技巧，提高数学解题的能力.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P71习题2.5
6.计算下列各式：
(2)(a2－2＋a-2）÷（a2－a-2）
＝（a2－2·a1·a-1＋a-2）÷（a2－a-2）
＝
＝
＝
评述：此题应注意把2变形为2·a1·a-1目的是为了凑出(a－a-1)2的完全平方展开式.
7.已知x＋x-1＝3，求下列各式的值：
（3）；
（4）
解：(3)；
(4).
＝
＝4
＝±4
（二）1.预习内容：P75～P77
2.预习提纲：
(1)函数y=2x与y=2-x的图象有何关系
(2)指数函数的图象、性质分几种情况
●板书设计
§2.5.4 指数综合训练(二)
［例7］化简：
÷
分析
解答
［例8］已知x＋x-1＝3，求下列各式的值
(1)
（2）
分析、解答
学生练习 1题 2题高中数学必修3第三章教案 湛师附中 肖海生
3.1 随机事件的概率
3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义(第一、二课时)
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；（2）正确理解事件A出现的频率的意义；（3）正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率fn（A）与事件A发生的概率P（A）的区别与联系；（3）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．
2、过程与方法：（1）发现法教学，通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高；（2）通过对现实生活中的“掷币”，“游戏的公平性”，、“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学知识解决数学问题的方法，理解逻辑推理的数学方法．
3、情感态度与价值观：（1）通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；（2）培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识．
二、重点与难点：（1）教学重点：事件的分类；概率的定义以及和频率的区别与联系；（2）教学难点：用概率的知识解释现实生活中的具体问题．
三、学法与教学用具：1、引导学生对身边的事件加以注意、分析，结果可定性地分为三类事件：必然事件，不可能事件，随机事件；指导学生做简单易行的实验，让学生无意识地发现随机事件的某一结果发生的规律性；2、教学用具：硬币数枚，投灯片，计算机及多媒体教学．
四、教学设想：
1、创设情境：日常生活中，有些问题是很难给予准确无误的回答的。例如，你明天什么时间起床？7：20在某公共汽车站候车的人有多少？你购买本期福利彩票是否能中奖？等等。
2、基本概念：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
（7）似然法与极大似然法：见课本P111
3、例题分析：
例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）“抛一石块，下落”.
（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；
（3）“某人射击一次，中靶”；
（4）“如果a＞b,那么a－b＞0”;
（5）“掷一枚硬币，出现正面”；
（6）“导体通电后，发热”；
（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；
（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；
（9）“没有水份，种子能发芽”；
（10）“在常温下，焊锡熔化”．
答：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件．
例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
分析：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率。
解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89。
小结：概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。
练习：一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数 5544 9607 13520 17190
男婴数 2883 4970 6994 8892
男婴出生的频率
（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；
（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？
答案：（1）表中依次填入的数据为：0.520，0.517，0.517，0.517.
（2）由表中的已知数据及公式fn（A）=即可求出相应的频率，而各个频率均稳定在常数0.518上，所以这一地区男婴出生的概率约是0.518．
例3 某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为多大？中10环的概率约为多大？
分析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以靶的频率为=0.9，所以中靶的概率约为0.9．
解：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2．
例4 如果某种彩票中奖的概率为，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释。
分析：买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有一张中奖。
解：不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖。
例5 在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。
分析：这个规则是公平的，因为每个运动员先发球的概率为0.5，即每个运动员取得先发球权的概率是0.5。
解：这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。
小结：事实上，只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。
4、课堂小结：概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索。
5、自我评价与课堂练习：
1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（ ）
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
2．下列说法正确的是（ ）
A．任一事件的概率总在（0.1）内
B．不可能事件的概率不一定为0
C．必然事件的概率一定为1 D．以上均不对
3．下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题。
每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000
发芽的粒数 2 4 9 60 116 282 639 1339 2715
发芽的频率
（1）完成上面表格：
（2）该油菜子发芽的概率约是多少？
4．某篮球运动员，在同一条件下进行投篮练习，结果如下表如示。
投篮次数
进球次数m
进球频率
（1）计算表中进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？
5．生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了。”学了概率后，你能给出解释吗？
6、评价标准：
1．B[提示：正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，即该事件为随机事件。]
2．C[提示：任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.]
3．解：（1）填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.（2）该油菜子发芽的概率约为0.897。
4．解：（1）填入表中的数据依次为0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.（2）由于上述频率接近0.80，因此，进球的概率约为0.80。
5．解：天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率，我们知道：在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的。
7、作业：根据情况安排
3.1.3 概率的基本性质（第三课时）
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；
（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.
2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。
3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习 数学的情趣。
二、重点与难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。
三、学法与教学用具：1、讨论法，师生共同讨论，从而使加深学生对概率基本性质的理解和认识；2、教学用具：投灯片
四、教学设计：
1、 创设情境：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等；
（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1={出现1点}，C2={出现2点}，C3={出现1点或2点}，C4={出现的点数为偶数}……
师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？
2、 基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115；
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．
3、 例题分析：
例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件 哪些是对立事件
事件A：命中环数大于7环； 事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环； 事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.
分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。
解：A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生）.
例2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)=，P(B)=，求出“出现奇数点或偶数点”．
分析：抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公式求解．
解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件，所以P(C)=P(A)+ P(B)=+=1
答：出现奇数点或偶数点的概率为1
例3 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是，取到方块（事件B）的概率是，问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
分析：事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)=1—P(C)．
解：（1）P(C)=P(A)+ P(B)=（2）P(D)=1—P(C)=
例4 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．
解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、C、D，则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=；P(C∪D)=P(C)+P(D)=；P(B∪C∪D)=1-P(A)=1-=,解的P(B)=,P(C)=,P(D)=
答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是、、．
4、课堂小结：概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；3）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
5、自我评价与课堂练习：
1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品；
2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）=，P（B）=，求出现奇数点或2点的概率之和。
3．某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率。
4．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
6、评价标准：
1．解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的并不是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断：（2）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件。（3）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件。
2．解：“出现奇数点”的概率是事件A，“出现2点”的概率是事件B，“出现奇数点或2点”的概率之和为P（C）=P（A）+P（B）=+=
3．解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为0.21+0.23=0.44。（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97=0.03。
4．解：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和，即为+=
7、作业：根据情况安排
3.2 古典概型（第四、五课时）
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=
（3）了解随机数的概念；
（4）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。
2、过程与方法：（1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.
二、重点与难点：1、正确理解掌握古典概型及其概率公式；2、正确理解随机数的概念，并能应用计算机产生随机数．
三、学法与教学用具：1、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；2、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．
四、教学设想：
1、创设情境：（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件。
（2）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。
师生共同探讨：根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？
2、基本概念：
（1）基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本P121~126；
（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=．
3、例题分析：
课本例题略
例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。
解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）
所以基本事件数n=6，
事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），
其包含的基本事件数m=3
所以，P（A）====0.5
小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点：
（1）所有的基本事件必须是互斥的；
（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。
例2 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则
A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==
例3 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512．
（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467．
解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．
小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．
例4 利用计算器产生10个1~100之间的取整数值的随机数。
解：具体操作如下：键入
反复操作10次即可得之
小结：利用计算器产生随机数，可以做随机模拟试验，在日常生活中，有着广泛的应用。
例5 某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少？
分析：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%。
解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以生产0到9之间的取整数值的随机数。
我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%。因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组。
例如：产生20组随机数：
812，932，569，683，271，989，730，537，925，
907，113，966，191，431，257，393，027，556．
这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为=25%。
小结：（1）利用计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决非古典概型的概率的求解问题。
（2）对于上述试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间。
（3）随机函数RANDBETWEEN（a,b）产生从整数a到整数b的取整数值的随机数。
例6 你还知道哪些产生随机数的函数？请列举出来。
解：（1）每次按SHIFT RNA# 键都会产生一个0~1之间的随机数，而且出现0~1内任何一个数的可能性是相同的。
（2）还可以使用计算机软件来产生随机数，如Scilab中产生随机数的方法。Scilab中用rand（）函数来产生0~1之间的随机数，每周用一次rand（）函数，就产生一个随机数，如果要产生a~b之间的随机数，可以使用变换rand（）*（b－a）+a得到．
4、课堂小结：本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：
（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
（3）随机数量具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中。
5、自我评价与课堂练习：
1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是
A． B． C． D．
3．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是 。
4．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率。
5．利用计算器生产10个1到20之间的取整数值的随机数。
6．用0表示反面朝上，1表正面朝上，请用计算器做模拟掷硬币试验。
6、评价标准：
1．B[提示：在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为，因此选B.]
2．C[提示：（方法1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁订（记为事件A）包含8个基本事件，所以，所求概率为P（A）==.（方法2）本题还可以用对立事件的概率公式求解，因为从盒中任取一个铁钉，取到合格品（记为事件A）与取到不合格品（记为事件B）恰为对立事件，因此，P（A）=1－P（B）=1－=.]
3．[提示；记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2）（红1，白3），（红2，白3），共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率P（A），然后利用P（A）1－P（A）求解]。
4.解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的一个结果，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6=36种，在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）5种，所以，所求事件的概率为.
5．解：具体操作如下
键入
反复按 键10次即可得到。
6．解：具体操作如下：
键入
7、作业：根据情况安排
3.3 几何概型
3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
一、教学目标：
1、 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；
（2）掌握几何概型的概率公式：
P（A）=；
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；
（4）了解均匀随机数的概念；
（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；
（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．
2、 过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、 情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
二、重点与难点：
1、几何概型的概念、公式及应用；
2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．
三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．
四、教学设想：
1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。
2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=；
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．
3、 例题分析：
课本例题略
例1 判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，
还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关。
解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；
（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型．
例2 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．
分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．
小结：在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．
练习：1．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率。
2．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．
解：1．由几何概型知，所求事件A的概率为P(A)= ；
2．记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则P(A)= =．
例3 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域面积，有几何概型公式可以求得概率。
解：记“钻到油层面”为事件A，则P(A)= ==0.004．
答：钻到油层面的概率是0.004．
例4 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。
解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则
P(A)= ==0.01．
答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．
例5 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得两段长都不小于1m。这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件A发生的概率。
解法1：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1*3．
（3）统计出[1，2]内随机数的个数N1和[0，3] 内随机数的个数N．
（4）计算频率fn(A)=即为概率P（A）的近似值．
解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3]（这里3和0重合）．转动圆盘记下指针在[1，2]（表示剪断绳子位置在[1，2]范围内）的次数N1及试验总次数N，则fn(A)=即为概率P（A）的近似值．
小结：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。解法2用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．
例6 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2 与81cm2之间的概率．
分析：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M，求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率．
解：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1*12得到[0，12]内的均匀随机数．
（3）统计试验总次数N和[6，9]内随机数个数N1
（4）计算频率．
记事件A={面积介于36cm2 与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间}，则P（A）的近似值为fn(A)=．
4、课堂小结：1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；
2、均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数 ）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．
5、自我评价与课堂练习：
1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r3．某班有45个，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选到的机会均等，则恰好选中学生甲主机会有多大？
4．如图3-18所示，曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A，直线x=1、直线y=1、x轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。
6、评价标准：
1．C（提示：由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出2ml的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比=0.004）
2．解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）==
3．提示：本题应用计算器产生随机数进行模拟试验，请按照下面的步骤独立完成。
（1）用1~45的45个数来替代45个人；
（2）用计算器产生1~45之间的随机数，并记录；
（3）整理数据并填入下表
试 验次 数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 650 700 750 800 850 900 1000 1050
1出现的频数
1出现的频率
（4）利用稳定后1出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。
4．解：如下表，由计算机产生两例0~1之间的随机数，它们分别表示随机点（x,y）的坐标。如果一个点（x,y）满足y≤-x2+1，就表示这个点落在区域A内，在下表中最后一列相应地就填上1，否则填0。
x y 计数
0.598895 0.940794 0
0.512284 0.118961 1
0.496841 0.784417 0
0.112796 0.690634 1
0.359600 0.371441 1
0.101260 0.650512 1
… … …
0.947386 0.902127 0
0.117618 0.305673 1
0.516465 0.222907 1
0.596393 0.969695 0
7、作业：根据情况安排
PRB
RAND RANDI
STAT DEC
ENTER
RANDI（1，100）
STAT DEG
ENTER
RAND （1,100）
3．
STAT DEC
PRB
PAND RANDI
STAT DEG
ENTER
PANDI（1,20）
STAT DEG
ENTER
PANDI（1,20）
3．
STAT DEG
ENTER
PRB
PAND RANDI
STAT DEG
ENTER
PANDI（0,1）
STAT DEG
ENTER
PANDI（0,1）
0
STAT DEG
2a
r
o
M
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1第四课时 二元一次不等式表示平面区域
教学目标：
1．会根据二元一次不等式确定它所表示的平面区域；
2．能画出二元一次不等式组表示的平面区域；
3．会把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示。
教学重点：二元一次不等式表示平面区域。
教学难点：确定二元一次不等式表示的平面区域。
教学过程：
1．复习回顾：
在前面的学习中，我们了解了直线与二元一次方程的关系，这一节，我们来研究二元一次不等式所表示的平面图形（区域）。
2．讲授新课：
1）二元一次不等式表示平面区域：
一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域。
说明：①二元一次不等式Ax＋By＋C≥0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界；
②作图时，不包括边界画成虚线，包括边界画成实线。
推导：举例说明.
2）判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法：
方法：取特殊点检验;
原因：由于对在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得到的实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域。特殊地，当C≠0时，常取原点检验。
为使大家熟悉这一方法，我们来看下面的例题.
3．例题讲解：
例1： 画出不等式2x＋y－6＜0表示的平面区域.
解：先画出直线2x＋y－6＝0(画成虚线).
取原点(0，0)，代入2x＋y－6，因为2×0＋0－6＝－6＜0
所以，原点在2x＋y－6＜0表示的平面区域内，不等式
2x＋y－6＜0表示的区域如右图所示.
例2：画出不等式组
表示的平面区域
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
解：不等式x－y＋５≥0表示直线x－y＋５＝0上及右下方
的点的集合，x＋y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点
的集合，x≤3表示直线上及左方的点的集合，所
以，不等式组表示的平面区域如右图所示
4．课堂练习：
课本Ｐ77练习１～5.
5．课堂小结：
通过本节学习，要求大家掌握二元一次不等式所表示平面区域的判断方法，并能作出二元一次不等式组所表示的平面区域．
6．课后作业：
课本Ｐ87习题　1
教学后记：
- 2 -2.2.3 向量的数乘（2）
一、课题：向量的数乘（2））
二、教学目标：1．了解平面向量基本定理的概念；
2．通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个
向量；
3．能运用平面向量基本定理处理简单的几何问题。
三、教学重、难点：1．平面向量基本定理的应用；
2．平面向量基本定理的理解。
四、教学过程：
（一）复习引入：
（1）向量的加法运算、向量共线定理；
（2）设，是同一平面内的两个不共线的向量，是这一平面内的任一向量，下面我们
来研究向量与， 的关系。
（二）新课讲解：
1．平面向量基本定理：
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使．其中我们把不共线的向量，叫做表示这一平面所有向量的一组基底。
注：①，均非零向量；
②，不唯一（事先给定）；
③，唯一；
④时，与共线；时，与共线；时，．
2．例题分析：
例1 已知向量，（如图），求作向量．
作法：1．如图（2），任取一点，作，；
2．作 OACB，于是是所求作的向量。
例2 如图， 的两条对角线相交于点，且，，用、表示、、
和．
解：在中， ABCD ∵，
，
∴，
，，
．
例3 如图，、不共线，，用、表示．
解：∵，
∴
=．
例4 已知梯形中，，，分别是、的中点，若，，用，表示、、．
解：（1）∵
∴==
（2）
（3）连接，则，
．
例5 已知在四边形中，，，，
求证：是梯形。
证明：显然
=
∴， 又点不在
∴是梯形。
五、小结：1．熟练掌握平面向量基本定理；
2．会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表
示。
六、作业：
补充：1．设是的重心.若，，试用，表示向量.；
2．已知：如图，，.
（1）求证：；（2）求与的面积之比.
3．设，是两个不共线向量，求与
共线的充要条件。
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- 2 -高一新课程数学必修（Ⅲ）教案1
算法的概念
教学目的：理解并掌握算法的概念与意义，会用“算法”的思想编制数学问题的算法。
教学重点：算法的设计与算法意识的的培养
教学过程：
一、问题情景：
请大家研究解决下面的一个问题
1．两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1 个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳。试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案。
（通过学生讨论得出渡河方案与步骤如下）
S1 两个小孩同船过河去；
S2 一个小孩划船回来；
S3 一个大人划船过河去；
S4 对岸的小孩划船回来；
S5 两个小孩同船渡过河去；
S6 一个小孩划船回来；
S7 余下的一个大人独自划船渡过河去；对岸的小孩划船回来；
S8 两个小孩再同时划船渡过河去。
2．一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共48，要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？
先列方程组解题，得鸡10只，兔7只；
再归纳一般二元一次方程组的通用方法，即用高斯消去法解一般的二元一次方程组。
令D，若D，方程组无解或有无数多解。
若D，则，。
由此可得解二元一次方程组的算法。
计算；
如果，则原方程组无解或有无穷多组解；否则（），
，
输出计算结果、或者无法求解的信息。
二、数学构建：
算法的概念：由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者是按照要求设计好的有限的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题。
算法的五个重要特征：
（1）有穷性：一个算法必须保证执行有限步后结束；
（2）确切性：算法的每一步必须有确切的定义；
（3）可行性：算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次即可完成；
（4）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件。所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件。
（5）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的。
三、知识运用：
例1．一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物。没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊。（1）设计过河的算法；（2）思考每一步算法所遵循的相同之处原则是什么。
解：算法或步骤如下：
S1 人带两只狼过河
S2 人自己返回
S3 人带一只羚羊过河
S4 人带两只狼返回
S5 人带两只羚羊过河
S6 人自己返回
S7 人带两只狼过河
S8 人自己返回带一只狼过河
例2．写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
解：为了便于理解，算法步骤用自然语言叙述：
先将序列中的第一个整数设为最大值；
将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时就假定“最大值”就是这个整数；
如果序列中还有其它整数，重复；
在序列中一直进行到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。
试用数学语言写出对任意3个整数中最大值的求法
max=a
如果b>max，则max=b
如果c>max，则max=c,
max就是中的最大值。
四、学力发展：
1．给出求的一个算法。
2．给出求点P关于直线的对称点的一个算法。
五、课堂小结：
算法的概念：由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者是按照要求设计好的有限的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题。
算法的五个重要特征：
（1）有穷性：一个算法必须保证执行有限步后结束；
（2）确切性：算法的每一步必须有确切的定义；
（3）可行性：算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次即可完成；
（4）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件。所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件。
（5）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的。
六、课外作业：
1．优化设计P3-4：变式练习1-10题。
2．课本P6：练习1-4题第14课时 根式
教学目标：
使学生进一步熟悉对数定义与幂的运算性质，理解对数运算性质的推导过程，熟悉对数的运算性质的内容，熟练运用对数的运算性质进而化简求值，明确对数的运算性质与幂的运算性质的区别.能运用联系的观点解决问题，认识事物之间的相互联系与相互转化.
教学重点：
证明对数运算性质.
教学难点：
对数运算性质的证明方法与对数定义的联系.
教学过程：
教学目标
(一)教学知识点
1.n次方根定义.
2.根式概念.
(二)能力训练要求
1.理解n次方根定义.
2.理解根式的概念.
3.正确运用根式运算性质化简、求值.
4.了解分类讨论思想在解题中的应用.
(三)德育渗透目标
1.掌握由特殊到一般的归纳方法.
2.培养学生认识、接受新事物的能力.
●教学重点
根式概念.
●教学难点
根式概念的理解.
●教学方法
学导式
本节是指数与指数函数的入门课，概念性较强，为突破根式概念理解这一教学难点，关键在于使学生理解n次方根定义，故结合学生在初中已经熟悉的平方根、立方根的概念，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根定义，使学生易于接受，并且引导学生主动参与了教学活动.
在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解.
●教具准备
幻灯片四张
第一张：整数指数幂概念、运算性质(记作§2.5.1 A)
第二张：n次方根举例(记作§2.5.1　B)
第三张：根式性质推导(记作§2.5.1　C)
第四张：本节例题(记作§2.5.1　D)
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］在初中，我们已经学习了整数指数幂的概念及其性质.现在，我们一起来看屏幕.
(打出幻灯片§2.5.1　A)
整数指数幂概念 整数指数幂运算性质
an＝（n∈N*） （1）aman＝am＋n（m，n∈Z）
a0＝1 （2）（am）n＝am·n（m，n∈Z）
a－n＝ （3）（ab）n＝an·bn（n∈Z）
［师］因为am÷an可看作am·a－n，所以am÷an＝am－n可以归入性质(1)；又因为()n可看作an·b-n，所以（）n＝可以归入性质(3).
我们复习这部分内容是为下一节学习分数指数幂打基础.
［师］另外，我们在初中还学方根、立方根这两个概念.(打出幻灯片§2.5.1 B)
22＝4
（－2）2＝4 2，－2叫4的平方根
23＝8 2叫8的立方根
（－2）3333333＝－8 －2叫－8的立方根
25＝32 2叫32的5次方根
… …
2n＝a 2叫a的n次方根
［师］我们一起来看，若22＝4，则2叫4的平方根；若23＝8，2叫8的立方根；若25＝32，则2叫32的5次方根，类似地，若2n＝a，则2叫a的n次方根.这样，我们可以给出n次方根的定义.
Ⅱ.讲授新课
1.n次方根的定义(板书)
若xn＝a（n＞1且n∈N*），则x叫a的n次方根.
［师］n次方根的定义给出了，我们考虑这样一个问题，x如何用a表示呢 (提示学生看幻灯片§2.5.1 B，并叫学生回答).
［生］正数的平方根有两个且互为相反数，负数没有平方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数.
［师］跟平方根一样，偶次方根有下列性质：
在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根；跟立方根一样，奇次方根有下列性质：
在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数.
这样，我们便可得到n次方根的性质
2.n次方根的性质(板书)
x＝（k∈N*）
其中叫根式，n叫根指数，a叫被开方数.
［师］请大家注意，根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，我们可以得到根式的运算性质.
3.根式的运算性质(板书)
①（）n＝a
②＝
［师］关于性质的推导，我们一起来看屏幕：
(打出幻灯片§2.5.1 C)
性质①推导过程：
当n为奇数时，x＝，由xn＝a得（）n＝a；
当n为偶数时，x＝±，由xn＝a得（）n＝a；
综上所述，可知：（）n＝A.
性质②推导过程：
当n为奇数时，由n次方根定义得：
a＝；
当n为偶数时，由n次方根定义得：a＝±
则｜a｜＝｜±｜＝
综上所述：＝
[师］性质②有一定变化，即对于n应分奇数与偶数两种情况来讨论，大家应重点掌握，接下来，我们通过例题来熟悉根式运算性质的应用.(打出幻灯片§2.5.1 D）
［例1］求下列各式的值
(1) （2）
(3) （4）（a＞b）
解：(1) ＝－8
(2) ＝｜－10｜
(3) ＝｜3－π｜＝π－3
(4) ＝｜a－b｜＝a－b（a＞b）
［师］根指数n为奇数的题目较易处理，而例题侧重于根指数n为偶数的运算，说明此类题目容易出错，应引起大家的注意.为使大家进一步熟悉根式性质的运用，我们来做练习题.
Ⅲ.课堂练习
(1) （2）
（3） （4）
解：(1) ＝＝－2
(2) ＝＝（－3）2＝9
(3) ＝｜－｜＝－
(4) ＝
＝｜－｜＝－
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习,大家要能在理解根式概念的基础上,正确运用根式的运算性质解题.
Ⅴ.课后作业
（一）求下列各式的值：
(1) （2）
（3） （4）
解：（1）＝＝－3
(2) ＝｜π－4｜＝4－π
(3) ＝＝｜a3｜
(4) ＝｜｜＝
（二）1.预习内容：课本P71～P72.
2.预习提纲：
(1)根式与分数指数幂有何关系
(2)整数指数幂运算性质推广后有何变化
●板书设计
§2.5.1 根 式
1.方根定义
若xn＝a（n＞1且n∈N*），则x叫a的n次方根
2.n次方根性质
x＝
3.根式运算性质
①（）n＝a
②＝
4.例题分析
5.学生练习
教学目的：
1．掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中
2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力；
教学重点：根式的概念性质
教学难点：根式的概念
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教材分析：
指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛它是在本章学习完函数概念和两个基本性质之后较为系统地研究的第一个初等函数
为了学习指数函数应该将初中学过的指数概念进行扩展，初中代数中学习了正整数指数、零指数和负整数指数的概念和运算性质本节在此基础上学习的运算性质为下一节学习分数指数幂概念和性质做准备
教学过程：
一、复习引入：
1．整数指数幂的概念
2．运算性质：
3．注意
① 可看作 ∴==
② 可看作 ∴==
二、讲解新课：
1．根式：
⑴计算（可用计算器）
①= 9 ，则3是9的平方根 ；
②=－125 ，则－5是－125的立方根 ；
③若=1296 ，则6是1296 的 4次方根 ；
④=693.43957 ，则3.7是693.43957的5次方根 .
⑵定义：
一般地，若 则x叫做a的n次方根
叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数
例如，27的3次方根表示为，-32的5次方根表示为，的3次方根表示为；16的4次方根表示为，即16的4次方根有两个，一个是，另一个是-，它们绝对值相等而符号相反.
⑶性质：
①当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数
记作：
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）
记作：
③负数没有偶次方根，
④ 0的任何次方根为0
注：当a0时，0，表示算术根，所以类似=2的写法是错误的.
⑷常用公式
根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式：
①当n为任意正整数时，()=a.例如，()=27，()=-32.
②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.
例如，=-2，=2；=3，=|-3|=3.
⑶根式的基本性质：，（a0）.
注意，⑶中的a0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如.
用语言叙述上面三个公式：
⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.
⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.
⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.
三、讲解例题：
例1（课本第71页 例1）求值
①= -8 ；
②= |-10| = 10 ；
③= || = ；
④= |a- b| = a- b .
去掉‘a>b’结果如何？
例2求值：
分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；
解：
四、练习：
五、小结 本节课学习了以下内容：
1．根式的概念；
2．根式的运算性质：
①当n为任意正整数时，()=a.
②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.
⑶根式的基本性质：，（a0）.
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：4.2.2 圆与圆的位置关系
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解圆与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；
（3）会用连心线长判断两圆的位置关系．
2、过程与方法
设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当时，圆与圆相离；
（2）当时，圆与圆外切；
（3）当时，圆与圆相交；
（4）当时，圆与圆内切；
（5）当时，圆与圆内含；
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．
二、教学重点、难点：
重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系．
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？ 结合学生已有知识以验，启发学生思考，激发学生学习兴趣． 教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流．
2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？ 引导学生明确两圆的位置关系，并发现判断和解决两圆的位置 教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法．
问 题 设计意图 师生活动
关系的方法． 学生观察图形并思考，发表自己的解题方法．
3．例3你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？ 培养学生“数形结合”的意识． 教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求，对这些学生应该给予表扬．同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科．
4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系．如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？ 进一步培养学生解决问题、分析问题的能力．利用判别式来探求两圆的位置关系． 师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题．生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解．
5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？ 进一步激发学生探求新知的精神，培养学生 师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置．生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径．
6．如何判断两个圆的位置关系呢？ 从具体到一般地总结判断两个圆的位置关系的一般方法． 师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善判断两个圆的位置关系的方法．
7．阅读例3的两种解法，解决第137页的练习题． 巩固方法，并培养学生解决问题的能力． 师：指导学生完成练习题．生：阅读教科书的例3，并完成第137页的练习题．
问 题 设计意图 师生活动
8．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？ 得出两个圆的相交弦所在直线的方程． 师：引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法．生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程．
9．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？ 进一步验证相交弦的方程． 师：引导学生验证结论．生：互相讨论、交流，验证结论．
10．课堂小结：教师提出下列问题让学生思考：（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？
作业：习题4．2A组：4、7．
数学教育网http:/// 主审戴刚锋3..3..。2直线与直线之间的位置关系-两点间距离
三维目标
知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。
过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题
教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
教学方式：启发引导式。
教学用具：用多媒体辅助教学。
教学过程：
1， 情境设置，导入新课
课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题
平面直角坐标系中两点，分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为
直线相交于点Q。
在直角中，，为了计算其长度，过点向x轴作垂线，垂足为 过点 向y轴作垂线，垂足为 ，于是有
所以，=。
由此得到两点间的距离公式
在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。
二，例题解答，细心演算，规范表达。例1 ：以知点A（-1，2），B（2， ），在x轴上求一点，使 ,并求 的值。
解：设所求点P（x，0），于是有
由 得
解得 x=1。
所以，所求点P（1，0）且 通过例题，使学生对两点间距离公式理解。应用。
解法二：由已知得，线段AB的中点为，直线AB的斜率为k=
线段AB的垂直平分线的方程是 y-
在上述式子中，令y=0，解得x=1。
所以所求点P的坐标为（1，0）。因此
同步练习：书本112页第1，2 题
3． 　巩固反思，灵活应用。（用两点间距离公式来证明几何问题。）
例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。
设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为
所以，
所以，
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：
第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。
第二步：进行有关代数运算。
第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题。
课堂小结：主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。
课后练习1.：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等
2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。
3．（1994全国高考）点（0，5）到直线y=2x的距离是——
。
板书设计：略。
数学教育网http:/// 主审戴刚锋第25课时 两个平面垂直的判定和性质习题课（一）
教学目标：
使学生在掌握定理的基础上，充分发挥空间想象能力，联系所学内容进行推理、论证，培养学生严密的推理能力。
教学重点、难点：
问题的分析、论证。
教学过程：
复习有关的定义、定理。
例1：已知两条异面直线a、b所成角为θ，其公垂线段AA1＝d，在a、b上分别取点E、F，设A1E＝m，AF＝n，求EF的长。
解析：设经b而与a平行的平面为α，线AA1及线a确定的平
面为β
α∩β＝c
∵a∥α，∴a∥c
那么b、c所成角就是异面直线a、b成角.
∵AA1⊥a，AA1⊥c，则AA1⊥α
故α⊥β
经E作EG⊥C于G，则EG⊥α
连GF、EG⊥GF，EG＝AA1＝d
那么在△GAF中，FG2＝m2＋n2－2mncosθ
在△EGF中，EF2＝EG2＋FG2＝d2＋FG2
故EF2＝d2＋m2＋n2－2mncosθ
当F在另一侧（AA1另一侧）
EF2＝d2＋m2＋n2－2mncos（180°－θ）
＝d2＋m2＋n2＋2mncosθ
故EF＝.
评述：在该题解决过程中，从平面的性质，到面面垂直、线面垂直涉及多个知识点，求解过程体现等价转化思想，将空间两异面直线上任两点距离问题，通过平面α、平面β转化为平面问题.
公式说明两异面直线公垂线的存在性，且公垂线段长是异面直线上任两点连线最短的.
例2：已知α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ
求证：l⊥γ
证明：在l上取点P，过P作l′⊥γ
∵α∩β＝l ∴P∈α，P∈β
又：α⊥γ，β⊥γ
∴l′α，l′β
∴l′＝α∩β 而α∩β＝l
∴l′与l重合 ∴l⊥γ
证法二：设α∩γ＝m，β∩γ＝n，分别在α、β内作a⊥m，b⊥n，且a、b都过所在平面内l外一点
∵α⊥γ，β⊥γ ∴a⊥γ，b⊥γ
∴a∥b 又：a eq \o(,\\)β，bβ
∴a∥β 又：aα，α∩β＝l
∴a∥l ∴l⊥γ
证法三：证法二中过l上一点P作a、b，则可证a、b重合。
证法四：设α∩γ＝m，β∩γ＝n，
在γ内取一点P，并在γ内过P分别作m、n的垂线a、b
∵α⊥γ，β⊥γ ∴a⊥α，b⊥β
∴l⊥a，l⊥b
又：a∩b＝P，a、b γ ∴l⊥γ
例3：如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD＝AC，
（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；
（2）求二面角C－BD－A的余弦值。
（1）证法一：由题设知AD＝CD＝BD
作DO⊥平面ABC，O为垂足，
则OA＝OB＝OC
∴O是△ABC的外心，即AB的中点
∴O∈AB，即O∈平面ABD
∴OD平面ABD ∴平面ABD⊥平面ABC
证法二：取AB中点O，连结OD，OC
则有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角C－AB－D的平面角。
设AC＝a，则：OC＝OD＝a
又：CD＝AD＝AC ∴CD＝a
∴△COD是Rt△，即∠COD＝900
∴二面角是直二面角，即面面垂直。
（2）取BD中点E，连结CE、OE、OC
∵△BCD为正三角形， ∴CE⊥BD
又△BOD为等腰直角三角形 ∴OE⊥BD
∴∠OEC为二面角C－BD－A的平面角
同（1）可证OC⊥平面ABD
∴OC⊥OE ∴△COE为直角三角形
设BC＝a，则CE＝a，OE＝a
∴cos∠OEC＝＝ 即为所求
课堂小结：
熟练运用定义、定理的内容，并由此进行分析、论证。
课后作业：
课本P48 10，11，12
- 3 -1.2.1 任意角的三角函数（1）
一、课题：任意角的三角函数（1）
二、教学目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；
2.已知角终边上一点，会求角的各三角函数值；
3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
三、教学重、难点：根据定义求三角函数值。
四、教学过程：
（一）复习：初中锐角的三角函数是如何定义的？
在中，设对边为，对边为，对边为，锐角的正弦、余弦、正切依次为 ．
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
（二）新课讲解：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
（1）比值叫做的正弦，记作，即；
（2）比值叫做的余弦，记作，即；
（3）比值叫做的正切，记作，即；
（4）比值叫做的余切，记作，即；
（5）比值叫做的正割，记作，即；
（6）比值叫做的余割，记作，即．
说明：①的始边与轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角，六个比值不以点在的终边上的位置的改变而改变大小；
③当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以与无意义；同理，当时，与无意义；
④除以上两种情况外，对于确定的值，比值、、、、、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。
2．三角函数的定义域、值域
函 数 定 义 域 值 域
3．例题分析
例1 已知角的终边经过点，求的六个函数制值。
解：因为，所以，于是
；；
； ；
； ．
例2 求下列各角的六个三角函数值：（1）；（2）；（3）．
解：（1）因为当时，，，所以
， ，
， 不存在，
， 不存在。
（2）因为当时，，，所以
， ，
， 不存在，
， 不存在。
（3）因为当时，，，所以
， ，
不存在， ，
不存在， ．
例3 已知角的终边过点，求的六个三角函数值。
解：因为过点，所以，
当；
；；
当；
；．
4．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；
②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；
③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
5．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。
即有：，
，其中．
，
（练习）确定下列三角函数值的符号：
（1）；（2）；（3）；（4）．
五、小结：1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域；
3．三角函数的符号及诱导公式。
六、作业： 补充：已知点，在角的终边上，求、、的值。
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- 3 -§2 角的概念的推广（1课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。
2、 过程与方法
类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、 情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点
重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。
难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教学用具
在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。
教学用具:多媒体、三角板、圆规
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。
这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。
初中我们已给角下了定义，先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的？
我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”，这是从静止的观点阐述的。
【探究新知】
如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)
1． 正角、负角、零角的概念(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)．
我们规定：(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，如图（见课件）。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角，如果α是零角，那么α＝0°。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角．为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以记成“α”。
过去我们研究了0°～360°范围的角．如图（见课件）中的角α就是一个0°～360°范围内的角(α＝30°)．如果我们将角α的终边OB继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角是多少度 是不是仍为30°的角 (用多媒体演示这一旋转过程，让学生思考；为终边相同角概念做准备)．将终边OB旋转一周、两周……，分别得到390°，750°……的角．如果将OB继续旋转下去，便可得到任意大小的正角。同样地，如果将OB按顺时针方向旋转，也可得到任意大小的负角(通过课件，动态演示这一无限旋转过程)．这就是说，角度并不局限于0°～360°的范围，它可以为任意大小的角(与数轴进行比较)．(打开课件第三版)．如图(1)中的角为正角，它等于750°；(2)中，正角α＝210°，负角β＝—150°，γ＝－660°．在生活中，我们也经常会遇到不在0°～360°范围的角，如在体操中，有“转体720°”(即“转体2周”)，“转体1080°”(即“转体3周”)这样的动作名称；紧固螺丝时，扳手旋转而形成的角．
角的概念经过这样的推广以后，就包括正角、负角和零角．
2．象限角、坐标轴上的角的概念．
由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，(板书)我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(打开课件第四版)例如图(1)中的30°、390°、－330°角都是第一象限角，图(2)中的300°、－60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角．
(板书)如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限．
3．终边相同的表示方法．
(返回课件第二版，在图(1)1(2)中分别以O为原点，直线0A为x轴建立直角坐标系，重新演示前面的旋转过程)在图(1)中，如果将终边OB按逆时针方向旋转一圈、两圈……，分别得到390°，750°……的角，这些角的终边与30°角的终边相同，只是转过的圈数不同，它们可以用30°角来表示，如390°＝30°十360°，750°＝30°十2×360°，……在图(2)中，如果将终边OB按顺时针方向旋转一圈、两圈……分别得到－330°，－690°……的角，这些角的终边与30°角终边也相同，也只是转过的圈数不同，它们也都可以用30°的角来表示，如－330°＝30°－360°，－690°＝30°—2×360°，……
由此可以发现，上面旋转所得到的所有的角(记为β)，都可以表示成一个0°到360°的角与k(k∈Z)个周角的和，即：β＝30°十k·360°(k∈Z)．如果我们把β的集合记为S，那么S＝{β|β＝30°十k·360°， k∈Z}．容易看出：所有与30°角终边相同的角，连同30°角(k＝0)在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与30°角终边相同。
【巩固深化，发展思维】
1． 例题讲评
例1.判断下列各角是第几象限角.
(1)—60°； (2)585°； (3)—950°12’．
解：(1)∵—60°角终边在第四象限，∴它是第四象限角；(2)∵585°＝360°十225°，∴585°与225°终边相同，又∵225°终边在第三象限，∴585°是第三象限角；(3)∵ —950°12’＝－230°12’—2×360°，又∵－230°12’终边在第二象限，∴—950°12’是第二象限角.
例2．在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（α用0°～360°的角表示）.
解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°与270°角，因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}；所有与270°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}；所以，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}.
例3．写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜270°的元素β写出来.
解：S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β＜270°的元素是：
60°－1×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.
2．学生课堂练习
参考练习 (通过多媒体给题)。
(1) (口答)锐角是第几象限角 第一象限角一定是锐角吗 再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
(2)与—496°终边相同的角是 ，它是第 象限的角，它们中最小正角是 ，最大负角是 。
(3)时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。
(4)若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是 ；若α与β的终边关于y
轴对称，则α与β的关系是 ；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是 ；若角α是第二象限角，则180°—α是第 象限角。
[答案](1)是，不一定.
(2)—496°十k·360°(k∈Z)，三，240°，—136°.
(3)—100°，—1200°．
(4)α十β＝k·360°(k∈Z)；α十β＝180°十k·360。(k∈Z)；
α一β＝180°十k·360°(k∈Z)；一.
五、归纳整理，整体认识
(1) 请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？你知道角是如何推广的吗
(2) 象限角是如何定义的呢 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗
（3）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（4）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业: 习题1.2第2,3题．
七、课后反思
PAGE
31.3.2 三角函数的图像与性质（1）
一、课题： 三角函数的图像与性质
二、教学目标：1.会用五点法画正弦、余弦函数的图象；
2.记住正弦、余弦函数的特征；
3.弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系。
三、教学重、难点：几何法作正弦曲线。
四、教学过程：
1．利用单位圆中正弦线作正弦函数图象
作法：（几何作法）
（1）在直角坐标系的轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从⊙与轴的交点起，把⊙分成等份，过⊙上各点作轴的垂线，可得对应于等角的正弦线；
（2）把轴上这一段分成等份，把角的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与轴上的点重合；
（3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数，的图象。
因为终边相同的角的函数值相同，所以，函数，（）且的图象与函数，的图象的形状完全相同，只是位置不同，于是只要将函数，的图象向左、右平移，就可得到函数，的图象。
2．余弦函数的图象
由于，所以余弦函数，
与函数,是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：
正弦曲线向左平移个单位得到，即：
3．五点法作图
（1），；
自变量
函数值 y 0 1 0 －1 0
（2），．
自变量
函数值 y 1 2 1 0 1
五、课堂练习：
六、小结：1．正弦、余弦函数的图象的几何作法；2．“五点法”作图。
七、作业
，
，
向左平移
个单位
PAGE
- 2 -第7课时 平面的基本性质（三）
教学目标：
使学生能够进行性质与推论的简单应用、正确运用平面的基本性质及三个推论进行共面、共线、共点问题的证明；要通过知识的应用，使学生掌握方法、规律，学会正确推理，以理服人。
教学重点、难点：共面、共线、共点问题的证明。
教学过程：
一、复习回顾：
三个公理及推论；各个公理及推论的作用。
二、新课讨论：
例1：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，证明这三条直线共面.
［师］空间的几个点和几条直线，如果都在同一个平面内，那么可以简单地说它们“共面”.
分析：两两相交，是说每两条直线都相交.
此题是让我们证明三条直线共面，我们学过的公理和推论中都没有关于三条直线的，怎么办呢？
［生丙］先由两条直线确定一个平面，再证第三条直线也在这个平面内（学生已作了预习，回答出这样的思路应该是没有问题的）.
［师］生丙同学的回答正确吗？若正确，怎样证明第三条直线也在这个平面内呢？
［生丁］生丙的回答正确.先由两条直线确定一个平面是容易的，要证第三条直线也在这个平面内，只要证第三条直线上有两点在这个平面内就行了，如图，先由AB、AC确定一个平面，由于B点、C点在确定的平面内，根据公理1可知，直线BC也在这个平面内.
［师］生丁所述有道理吗？
［生］有道理，完全正确.
［师］下面我们根据生丙、生丁两位同学的思路，写出此题的证明过程.
证明：∵AB、AC相交，
∴AB、AC确定一个平面，设为α
∵B∈AB,C∈AC
∴B∈α，C∈α
∴BCα
因此AB、AC、BC都在平面α内.
即AB、AC、BC共面.
注意：确定的平面叫成什么是无所谓的.不一定非要叫α不可，叫成其他如β、γ都行.
［师］谁还有其他不同于生丙同学的意见？
［生戊］每两条相交直线都能确定一个平面，若能证明这些平面重合，则也能说明这三条直线共面.
［师］同学们想一想，生戊同学的思路可行吗？（同学们积极思考，但无人回答，留出几分钟时间，让同学们继续思考是非常必要的）
［生戊］AB、AC可确定一个平面，AB、BC也可确定一个平面，由于点A、B、C既在第一个平面内，又在第二个平面内.根据公理3，经过A、B、C三点有且只有一个平面，所以这两个平面重合，即AB、AC、BC共面.
［师］很好！下面我们根据生戊同学的思路，写出此题的另一种证明.
证明：∵AB、AC相交
∴AB、AC确定一个平面α
∴点A、B、C∈α，且不共线
∵AB、BC相交
∴AB、BC确定一个平面β
∴点A、B、C∈β，且不共线
根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有且只有一个平面，
∴面α与面β重合
∴AB、AC、BC共面.
［师］从刚才我们的分析讨论中，可以知道，证明共面问题的方法至少有两种：
①先由某些条件确定一个平面，然后证明其余已知的都在这个平面内.
②所有已知条件确定若干个平面，然后证明这些平面重合.
两种证明方法的关键都在“然后”，要注意练习掌握.这两种证明方法比较，第一种更为常用，因为证明若干个平面重合，实在不是一件容易的事情.
希望大家都能像生戊同学那样.遇到问题善于思考，多动脑子去想，办法总会是有的.下面再来看一个例子.
例2：如图，已知△ABC的各顶点在平面α外，直线AB、BC、AC分别交平面α于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.
分析：平面几何中证明三点共线是怎样证明的？
［生］先由两点确定一条直线，然后证明第三点也在这条直
线上.
［师］这里的三点共线能用这种办法证明吗？比如说，连结
点P、点Q，得直线PQ，大家能够证明点R也在直线PQ上吗？
［生己］能！由已知条件可知，直线PQ实质上是面ABC与
面α的交线，只要证明点R是面ABC与面α的交点，那么R必在直线PQ上.
［生庚］既然这样，只要证明点P、Q、R都是面ABC与面α的交点，那么点P、Q、R就共线，它们都在面ABC与面α的交线上.
［师］两位同学分析得都很好！在立体几何中，要证明三点共线，只要证明三点都是某两个平面的公共点即可.证明若干点共线的问题，思路同样也是这样的.
下面大家一起来写出此题的证明：
证明：∵AB∩α＝P ∴P∈AB，P∈平面α
又AB平面ABC ∴P∈平面ABC
∴由公理2可知，点P在平面ABC与平面α的交线上
∴P、Q、R三点共线
例3：三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点.
已知：平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.
求证：l1、l2、l3相交于一点
证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3，
∵l1β，l2β，且l1、l2不平行
∴l1与l2必相交，设l1∩l2=P， ①
则P∈l1α,P∈l2γ
∴P∈α∩γ= l3 ②
∴l1、l2、l3相交于一点P.
例4：已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.
已知：直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：l与a、b、c共面.
证明：∵a∥b
∴a、b确定一个平面，设为α
又l∩a＝A，l∩b＝B ∴A∈α，B∈α
又A∈l，B∈l ∴ABα，即lα
同理b、c确定一个平面β，lβ.
∴平面α与β都过两相交直线b与l.
由推论2，两条相交直线确定一个平面.
∴α与β重合.
故l与a、b、c共面.
例5：画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面。
例6：如图正方体中，点C在与A、B不共面的其余8条棱上，画出过A、B、C三点的截面。
三、课堂练习：
课本P28习题6.
四、课堂小结：
本节课我们讨论了平面基本性质——三个公理及其推论的简单应用，讨论了共面、共线、共点问题的证明，请同学们注意：
对于共面问题的证明，一般地是先由某些条件确定一个平面，然后证明其余已知的都在这个平面内；
对于点共线问题的证明，只要证明这些点都是某两个平面的公共点即可；
对于线共点问题的证明，一般地是先证明某两条直线相交，然后再证明这个交点在其余直线上或者证明其余直线过这个交点.
无论怎样的问题的证明、推理必须严谨严密、有条有理、完整无纰漏，绝对不能东拉西扯、杂乱无章.
五、课后作业：
补充：
1．不共点的四条直线两两相交，求证：这四条直线在同一个平面内.
已知：直线a、b、c、d两两相交，且不过同一点. （注意：两两相交的意思是，如果n条直线两两相交，那么任一条直线与另外（n－1）条直线都相交，都有公共点.）
求证：直线a、b、c、d共面.
(证明略)
2．如图，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A、D与B、C分别在面α的两侧，AC∩α＝Q，
BD∩α＝R. 求证：P、Q、R三点共线.
证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P ∴AB∩CD＝P
∴AB、CD可确定一个平面，设为β.
∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD
∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β
∴ACβ，BDβ，平面α、β相交，
∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R
∴P、Q、R三点是平面α与平面β的公共点
∴P、Q、R都在α与β的交线上
故P、Q、R三点共线.
3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1C与面DBC1交于O点，AC、 BD交于M，
求证：C1、O、M三点共线.
证明：∵C1、O、M∈面BDC1
又C1、O、M∈面A1ACC1
由公理2，C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上.
∴C1、O、M三点共线.
4．已知：aα,bα,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，
求证：PQα.
证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β，
∴P∈β，aβ，Pa
又P∈α，aα，Pa
由推论1：过P、a有且只有一个平面
∴α、β重合. ∴PQα.
5．如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l，
（1）画出l的位置；
（2）设l∩A1B1＝P，求PB1的长.
解：（1）平面DMN与平面AD1的交线为DM，设DM∩D1A1=Q.
则平面DMN与平面A1C1的交线为QN.
QN即为所求作的直线l.
（2）设QN∩A1B1＝P.
∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q＝AD＝a＝A1D1
∴A1是QD1的中点，又A1P∥D1N
∴A1P＝D1N＝C1D1＝a
∴PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a
（二）1.预习课本P24~P25空间直线——空间两条直线的位置关系和平行直线.
2.预习提纲
（1）空间两条直线的位置关系有几种？各有什么特征？
（2）怎样理解两条直线不同在任何一个平面？
（3）公理4的具体内容是什么？
（4）公理4用符号语言如何表示？
- 5 -第四课时 两角和与差的余弦、正弦、正切(一)
教学目标：
掌握S（α±β），Ｃ（α±β)及T（α±β）的灵活应用，综合应用上述公式的技能；培养学生观察、推理的思维能力，使学生认识到事物间是有联系的，培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练，提高学生的数学素质.
教学重点：
S（α±β），C（α±β），T（α±β）的灵活应用.
教学难点：
灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
请同学们回顾一下这一段时间我们一起所学的和、差角公式.
sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ(S（α±β））
cos（α±β）＝cosαcosβsinαsinβ(C（α±β））
tan（α±β）＝ eq \f(tanα±tanβ,1tanαtanβ) （T（α±β））
Ⅱ.讲授新课
这三个公式即为两角和(差)公式.下面请同学们思考这一组公式的区别与联系.首先，可考虑一下这组公式的推导体系.
我们为推导这组公式先引入平面内两点间距离公式，然后利用单位圆，三角函数的定义，最先推导出余弦的和角公式Ｃ（α＋β），然后按如下顺序推导其余公式：
Ｃ（α＋β）→Ｃ（α－β）→S（α＋β）→S（α－β）→T（α＋β）→T（α－β）.
它们又有什么内在联系呢
下面，结合例题来看一下如何灵活运用这组公式：
［例1］求证＝1－
分析：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.
证明：左边＝
＝＝1－＝1－＝右边，
∴原式成立.
或：右边＝1－＝
＝
＝＝左边 ∴原式成立.
［例2］已知sinβ＝m·sin（2α＋β），求证：tan（α＋β）＝tanα
分析：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2α＋β可化为结论式中的α＋β与α的和，不妨将α＋β作为一整体来处理.
证明：由sinβ＝msin（2α＋β）
sin［（α＋β）－α］＝ｍsin［（α＋β）＋α］
sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα
＝ｍ［sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα］
（1－m）·sin（α＋β）cosα＝（1＋m）·cos（α＋β）sinα
tan（α＋β）＝tanα
评述：此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，才能顺利完成证明.
［例3］求tan70°＋tan50°－tan50°tan70°的值.
分析：观察所求式子，联想有关公式T（α＋β），注意到它的变形式：
tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ）.运用之可求解.
解：原式＝tan（70°＋50°）（1－tan70°tan50°）－tan50°tan70°
＝－（1－tan70°tan50°）－tan50°tan70°
＝－＋tan70°tan50°－tan50°tan70°＝－
∴原式的值为－.
Ⅲ.课堂练习
1.化简下列各式：
(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ
(2)－－sinx－cosx
解：(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ
＝cos［（α＋β）－β］＝cosα
这一题可能有些学生要将cos（α＋β）与?sin（α＋β）?按照两角和的正、余弦公式展开，从而误入歧途，老师可作适当提示，让学生仔细观察此题结构特征，就整个式子直接运用公式以化简.
(2) －－sinx－cosx
＝－ eq \f(sinx＋cosx,（）2－1) －sinx－cosx
＝－－（sinx＋cosx）
＝－（sinx＋cosx）＝0
这一题目运用了解三角函数题目时常用的方法“切割化弦”.
2.证明下列各式
(1) ＝
(2)tan（α＋β）tan（α－β）（1－tan2αtan2β）＝tan2α－tan2β
(3) －2cos（α＋β）＝
证明：(1)右边＝ eq \f(＋,1＋) ＝
＝＝左边
(2）左边＝tan（α＋β）tan（α－β）（1－tan2αtan2β）
＝××（1－tan2αtan2β）
＝×（1－tan2αtan2β）
＝tan2α－tan2β＝右边
(3)左边＝－2cos（α＋β）
＝
＝＝
＝＝右边
3.(1)已知sin（α＋45°）＝，45°＜α＜135°，求sinα.
(2)求tan11°＋tan34°＋tan11°tan34°的值.
解：(1)∵45°＜α＜135°， ∴90°＜α＋45°＜180°
又∵sin（α＋45°）＝， ∴cos（α＋45°）＝－
∴sinα＝sin［（α＋45°）－45°］
＝sin（α＋45°）cos45°－cos（α＋45°）sin45°
＝×＋×＝
这题若仔细分析已知条件，可发现所给α的取值范围不能确定cosα的取值，所以需要将α化为（α＋45°）－45°，整体运用α＋45°的三角函数值，从而求得sinα的值.
（2）tan11°＋tan34°＋tan11°tan34°
＝tan（11°＋34°）（1－tan11°tan34°）＋tan11°tan34°
＝tan45°（1－tan11°tan34°）＋tan11°tan34°
＝1－tan11°tan34°＋tan11°tan34°＝1
注意运用公式的等价变形式.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，大家应初步掌握和、差角公式的基本运用.
Ⅴ.课后作业
课本P106 5，6，7，8
PAGE3.2.2 二倍角的正弦、余弦、正切（2）
一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（2）
二、教学目标：1.能顺向、逆向、变形运用倍角公式进行求值、化简；
2.结合三角函数值域求函数值域问题。
三、教学重、难点：1.公式的逆向运用及变式训练。
2.结合三角函数求值域。
四、教学过程：
（一）复习：
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式。
2．练习：
①．
②若，求的值。
（解答：）．
（二）新课讲解：
例1：利用三角公式化简：．
解：原式
．
例2：求证．
证明：原式等价于，
即： （*）
而（*）式右边
左边，
所以，（*）式成立，原式得证。
【变式练习】已知，求证：．
例3：求函数的值域。
解：，令，
则有，，
∴， 所以，函数的值域为．
例4：求的值域。
解：
（其中）
∵，
所以，的值域为．
五、课堂练习：求下列函数最大值和最小值：
①； （答案：）
②； （答案：）
③； （答案：）
六、小结：1.解题的关键是公式的灵活运用，特别是二倍角余弦公式形式多样，在解题中应予以重视；
2.结合三角函数求值域的常用方法。
七、作业：
补充：1．求值；
2．若，求为何值时，的值最小？
PAGE
- 1 -第26课时 两个平面垂直的判定和性质习题课（二）
教学目标：
通过本节教学提高学生解决问题能力；进一步提高学生认知图形能力、空间想象能力；从多角度解答问题过程中，感悟等价转化思想运用；创新精神，实践能力在数学中的体现、渗透。
教学重点：
两个平面所成二面角的棱寻求、角的求解。
教学难点：
找求问题解决的突破口，转化思想渗透。
教学过程：
1．复习回顾：
1）二面角的平面角找法依据.
2）三垂线定理及逆定理.
2．讲授新课：
［师］前面研究了如何找一个二面角的平面角，解决的途径有定义法、三垂线法、垂面法，除此外又给了面积射影法求二面角.本节主要研究无棱二面角的求解思路、方法.近几年的高考试题涉及无棱二面角问题的题目也较突出.
找无棱二面角的棱依位置可分二类，
例1：如图，在所给空间图形中ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD=AD.求平面PAD和面PBC所成二面角的大小.
［师］面PAD和面PBC图中只给出一个公共点，
那么怎样找棱呢？请思考.
［生］作线在面内进行，BC∥AD则经BC的平面与
面PAD的交线应平行，由此想到经P作BC或AD平行线，
找到棱后的主要问题就是找平面角.
解法如下：
解：经P在面PAD内作PE∥AD，AE⊥面ABCD，
两线相交于E，连BE
∵BC∥AD
则BC∥面PAD
∴面PBC∩面PAD＝PE
∴BC∥PE
因PD⊥面ABCD，BC⊥CD
那么BC⊥PC，BC⊥面PDC
即有PE⊥面PDC
PE⊥PD，PE⊥PC
∠CPD就是所求二面角的平面角
因PD＝AD，而AD＝DC
∴∠CPD=45°
即面PAD与面PBC成角为45°.
［师］从整个过程可看到，找棱的过程也是经公共点作表示平面的一线的平行线，而平面角依垂面找到并求得.
请同学归纳小结例1的解法，并完成例2.
例2：如图，斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60°角，侧面BCC1B1⊥面ABC. 求平面AB1C1与底面ABC所成二面角大小.
［师］首先解释一下斜三棱柱，面ABC及
面A1B1C1都是几何体底面且平行，CC1AA1BB1.
［生］A是面AB1C1和面ABC的一个公共点，这两个
面的棱图中也没有给出.但由上下两面平行应有交线平行
于B1C1，此题难点就是如何找平面角.
［师］考虑面BB1C1C⊥面ABC及棱长相等两个条件，
请同学思考.
师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.
解：因面ABC∥面A1B1C1，则面BB1C1C∩面ABC＝BC
面BB1C1C∩面A1B1C1＝B1C1
∴BC∥B1C1，则B1C1∥面ABC
设所求两面交线为AE，即二面角的棱
则B1C1∥AE，即BC∥AE
经C1作C1D⊥BC于D，因面BB1C1C⊥面ABC
∴C1D⊥面ABC，C1D⊥BC
又∠C1CD＝60°,CC1＝a故CD＝
即D为BC中点
又△ABC是等边三角形
∴BC⊥AD
那么有BC⊥面DAC1即AE⊥面DAC1
故AE⊥AD，AE⊥AC1
∠C1AD就是所求二面角的平面角.
因C1D＝a，AD＝a，C1D⊥AD
故∠C1AD＝45°.
［师］请同学小结该题，解决问题关键是什么，难在什么地方.
［生］同例1，关键是找棱、找角、而找角较难.
［师］继续看例3，看该问题与前两个问题相同点是什么，不同点是什么？
例3：如图，几何体中 AA1BB1CC1，AA1⊥面ABC，△ABC为正三角形，面A1EC⊥面AC1，E∈BB1，AA1＝A1B1，求面A1EC与面ABC所成二面角的大小.
［师］此题显然依上述方法去找平行线已不可能.由图B1C1与CE不平行.但与前两个问题的相同点还是两面从图形看到的只有一个公共点，依公理我们只有去找另一公共点，观察图我们可看到CE与B1C1是同一平面内线，突破口就选在面B1C1CB内，找到点后，二面角的棱也就找到.请同学思考并表述过程.
解：∵A1是平面A1EC与平面A1B1C1的一个公共点，
∴只需找到另一个公共点，即可.
因AA1＝A1B1＝A1C1，连AC1
则AC1⊥A1C，AC1∩A1C＝O
取BB1的中点E，连EO
因面ABC是正三角形，则经B作BG⊥AC有
BG⊥面AC1，OE∥BG
∴OE⊥面AC1
因面A1EC⊥面AC1，故E是BB1中点
那么EB1CC1
∴CE与B1C1延长后必交于一点F，
即F为面A1EC，面A1B1C1的另一个公共点
连A1F，则A1F为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的棱
因FB1＝B1C1＝A1B1，∠A1B1F＝120°
∴∠FA1B1＝30°
那么∠C1A1F＝90°即A1C1⊥A1F
那么CA1⊥A1F（三垂线定理）
∠CAC1为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的平面角.
∠CA1C1＝45°，因AA1BB1CC1
而面ABC∥面A1B1C1
∴面A1EC与面ABC所成二面角大小为45°.
［师］找公共点F是解此题关键，例1、2是通过公共点作棱，例3是通过再找公共点而得棱.因题条件不同而采用不同作法.例1、2找棱的方法不妨叫“作平行线”，例3的方法叫“找公共点”.
［师］问题的解决不一定就一种思路，一条途径，只要多去想条件涉及到的知识点，解决方法总会找到，“柳暗花明又一村”的境界一定能达到.
3．课时小结：
依图形结构，对两类问题（例1、2为一类，例3为一类）分别用“作平行线”法及“找公共点”法完成，但一切问题都不是绝对的。
4．课后作业：
EMBED PBrush
- 3 -1.3算法案例 海口实验中学 刘志强
第一、二课时 辗转相除法与更相减损术
（1）教学目标
（a）知识与技能
1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
（b）过程与方法
在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
（c）情态与价值
1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。
（2）教学重难点
重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
（3）学法与教学用具
学法：在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
（4）教学设想
（一）创设情景，揭示课题
1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？
2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。
（二）研探新知
1.辗转相除法
例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）
解：8251＝6105×1＋2146
显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
6105＝2146×2＋1813
2146＝1813×1＋333
1813＝333×5＋148
333＝148×2＋37
148＝37×4＋0
则37为8251与6105的最大公约数。
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；
第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；
第三步：若r1＝0，则r1为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；
……
依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn－1即为所求的最大公约数。
练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）
2.更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。
更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
翻译出来为：
第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35
63－35＝28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98与63的最大公约数是7。
练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。（答案：12）
3.比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到
4. 辗转相除法与更相减损术计算的程序框图及程序
利用辗转相除法与更相减损术的计算算法，我们可以设计出程序框图以及BSAIC程序来在计算机上实现辗转相除法与更相减损术求最大公约数，下面由同学们设计相应框图并相互之间检查框图与程序的正确性，并在计算机上验证自己的结果。
（1）辗转相除法的程序框图及程序
程序框图：
程序：
INPUT “m=”;m
INPUT “n=”;n
IF mm=n
n=x
END IF
r=m MOD n
WHILE r<>0
r=m MOD n
m=n
n=r
WEND
PRINT m
END
5.课堂练习
一.用辗转相除法求下列各组数的最大公约数，并在自己编写的BASIC程序中验证。
（1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；119
二.思考：用求质因数的方法可否求上述4组数的最大公约数？可否利用求质因数的算法设计出程序框图及程序？若能，在电脑上测试自己的程序；若不能说明无法实现的理由。
三。思考：利用辗转相除法是否可以求两数的最大公倍数？试设计程序框图并转换成程序在BASIC中实现。
6.小结：
辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写。
（5）评价设计
作业：P38 A（1）B（2）
补充：设计更相减损术求最大公约数的程序框图
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29第十一课时 数列应用题
教学目标：
将等比数列的通项公式和前n项求和公式应用到应用题的有关计算中去；增强学生的应用意识，提高学生的实际应用能力.
教学重点：
等比数列通项公式和前n项和公式的应用.
教学难点：
利用等比数列有关知识解决一些实际问题.
教学过程：
［例1］某人年初向银行贷款10万元用于购房.
（Ⅰ）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？
（Ⅱ）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？
解：（Ⅰ）若向建设银行贷款，设每年还款x元，
则105×(1＋10×5%)＝x(1＋9×5%)＋x(1＋8×5%)＋x(1＋7×5%)＋…＋x
即：105×1.5＝10x＋45×0.05元，解得x＝≈12245(元)
（Ⅱ）若向工商银行贷款，每年需还y元，则：
105×(1＋4%)10＝y(1＋4%)9＋y(1＋4%)8＋…＋y(1＋4%)＋y
即105×1.0410＝·y
其中：1.0410＝1＋10×0.04＋45×0.042＋120×0.043＋210×0.044＋…≈1.4802.
∴y≈≈12330(元)
答：向建设银行贷款，每年应付12245元；若向工商银行贷款，每年应付12330元.
［例2］用分期付款的方式购买家电一件，价为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150元后的每一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家用电器实际花费多少钱？
解：购买时付出150元后，余欠款1000元，按题意应分20次付清，由于每次都必须交50元，外加上所欠余款的利息，这样每次交付欠款的数额顺月次构成一数列
设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20
则：a1＝50＋1000×1%＝60元，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5元
……
a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5元
即第10个月应付款55.5元.
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有：
S20＝×20＝1105(元)
即全部付清后实际付款（1105＋150）＝1255（元）.
［例3］某职工年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为10%，按复利计算（即将本年的本金与利润的总和计为次年的本金），若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？
分析：逐年分析，寻找规律，建立恰当数学模型.
解：设贷款额为a0元，贷款年利率为α，次年等额归还x元，第n年还清，则
一年后的欠款数为：a1＝(1＋α)a0－x
二年后的欠款数为：a2＝(1＋α)a1－x＝(1＋α)2a0－x[（1＋α）＋1]
三年后的欠款数为：a3＝(1＋α)a2－x＝(1＋α)3a0－x[（1＋α）2＋(1＋α)＋1]
……
n年后的欠款数为：an＝(1＋α)an－1－x＝(1＋α)na0－x[(1＋α)n－1＋(1＋α)n－2＋…＋(1＋α)＋1]
由于an＝0，贷款还清，
∴(1＋α)na0＝x·， ∴x＝
将α＝0.1，a0＝20000，n＝10代入，得
x＝≈≈3255元.
［例4］某人于1997年7月1日在银行按一年定期储蓄的方式存入a元，1998年7月1日，他将到期存款的本息取出后添上a元再按一年定期储蓄存入银行，此后他每年7月1日按照同样同样的方法在银行取款和存款，设银行定期储蓄的年利率r不变，问到2002年7月1日他的本息共有多少？
分析：逐年分析，寻找规律，建立数学模型.
解：由题意得：1998年本息总数为a(1＋r)，
1999年本息总数为a(1＋r)2＋a(1＋r),
……
2002年本息总数为：a(1＋r)5＋a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)
即＝ [(1＋r)6－(1＋r)]
评述：解决等比数列应用题的关键是认真审题抓特点，仔细观察找规律，一般地，等比数列的特点是增加或减少的百分数相同，为了分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考查.
[例5]某地区荒山2200亩，从1995年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩.
（1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化
（2）若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S，求S的表达式.
（3）若1.28≈4.3，计算S (精确到1立方米).
分析：由题意可知，各年植树亩数为：100，150，200，……成等差数列
解：(1)设植树n年可将荒山全部绿化，则：100n＋×50＝2200
解之得n＝8或n＝－11(舍去)
(2)1995年所植树，春季木材量为200 m3，到2002年底木材量则增为200×1.28 m3.
1996年所植树到2002年底木材量为300×1.27 m3.
……
2002年所植树到年底木材量为900×1.2 m3，则：到2002年底木材总量为：
S＝200×1.28＋300×1.27＋400×1.26＋…＋900×1.2 (m3)
(3)S＝900×1.2＋800×1.22＋700×1.23＋…＋200×1.28
1.2S＝900×1.22＋800×1.23＋…＋300×1.28＋200×1.29，两式相减得：
0.2S＝200×1.29＋100(1.22＋1.23＋…＋1.28)－900×1.2
＝200×1.29＋100×－900×1.2＝1812
∴S＝9060( m3)
数列应用题
［例1］某人年初向银行贷款10万元用于购房.
（Ⅰ）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？
（Ⅱ）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？
［例2］用分期付款的方式购买家电一件，价为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150元后的每一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家用电器实际花费多少钱？
［例3］某职工年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为10%，按复利计算（即将本年的本金与利润的总和计为次年的本金），若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？
［例4］某人于1997年7月1日在银行按一年定期储蓄的方式存入a元，1998年7月1日，他将到期存款的本息取出后添上a元再按一年定期储蓄存入银行，此后他每年7月1日按照同样同样的方法在银行取款和存款，设银行定期储蓄的年利率r不变，问到2002年7月1日他的本息共有多少？
[例5]某地区荒山2200亩，从1995年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩.
（1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化
（2）若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S，求S的表达式.
（3）若1.28≈4.3，计算S (精确到1立方米).
- 3 -第十课时 平面向量的数量积及运算律(二)
教学目标：
掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：
平面向量数量积及运算规律.
教学难点：
平面向量数量积的应用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习向量数量积的定义，并一起由定义推证了5个重要性质，并得到了三个运算律，首先我们对上述内容作一简要回顾.
这一节，我们通过例题分析使大家进一步熟悉数量积的定义、性质、运算律，并掌握它们的应用.
Ⅱ.讲授新课
［例1］已知：｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
分析：由数量积的定义可知，它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积，只要能求出它们的夹角，就可求出a·b.
解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角＝0°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos0°＝3×6×1＝18；
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝｜a｜｜b｜cos180°＝3×6×(－1)＝－18；
②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，
∴a·b＝0；
③当a与b的夹角是60°时，有
a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝3×6×＝9
评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a∥b时，有0°或180°两种可能.
［例2］已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
分析：要求a与b的夹角，只要求出a·b与｜a｜，｜b｜即可.
解：由已知(a＋3b)⊥(7a－5b)(a＋3b)·(7a－5b)＝07a2＋16a·b－15b2＝0 ①
又(a－4b)⊥(7a－2b)(a－4b)·(7a－2b)＝07a2－30a·b＋8b2＝0 ②
①－②得：46a·b＝23b2
即有a·b＝b2＝｜b｜2，
将它代入①可得：
7｜a｜2＋8｜b｜2－15｜b｜2＝0
即｜a｜2＝｜b｜2有｜a｜＝｜b｜
∴若记a与b的夹角为θ，
则cosθ＝＝ eq \f(｜b｜2,｜b｜｜b｜) ＝
又θ∈［0°，180°］，∴θ＝60°
所以a与b的夹角为60°.
［例3］四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.
解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面：∵a＋b＋c＋d＝0，
∴a＋b＝－(c＋d)，
∴(a＋b)2＝(c＋d)2
即｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝｜c｜2＋2c·d＋｜d｜2
由于a·b＝c·d，
∴｜a｜2＋｜b｜2＝｜c｜2＋｜d｜2 ①
同理有｜a｜2＋｜d｜2＝｜c｜2＋｜b｜2 ②
由①②可得｜a｜＝｜c｜，且｜b｜＝｜d｜即四边形ABCD两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，而由平行四边形ABCD可得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0
即a·b＝0，∴a⊥b也即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.
评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a＋b＋c＋d＝0，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.
［例4］已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－3，求｜a＋b｜，｜a－b｜.
解：∵｜a＋b｜2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×(－3)＋52＝23
∴｜a＋b｜＝，∵(｜a－b｜)2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝22－2×(－3)＋52＝35，
∴｜a－b｜＝.
［例5］已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ.
解：∵(｜a＋b｜)2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝｜a｜2＋2｜a｜｜b｜cosθ＋｜b｜2
∴162＝82＋2×8×10cosθ＋102， ∴cosθ＝，∴θ≈55°
［例6］在△ABC中，＝a，＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
分析：此题主要考查两向量夹角的概念，应避免由a·b＝｜a｜｜b｜cosB＜0得cosB＜0，进而得B为钝角，从而错选C.
解：由两向量夹角的概念，
a与b的夹角应是180°－B
∵a·b＝｜a｜｜b｜cos(180°－B)＝－｜a｜｜b｜cosB＜0
∴cosB＞0
又因为B∈(0°，180°)所以B为锐角.
又由于角B不一定最大，
故三角形形状无法判定. 所以应选D.
［例7］设e1、e2是夹角为45°的两个单位向量，且a＝e1＋2e2，b＝2e1＋e2，
试求：｜a＋b｜的值.
分析：此题主要考查学生对单位向量的正确认识.
解：∵a＋b＝(e1＋2e2)＋(2e1＋e2)＝3(e1＋e2)，
∴｜a＋b｜＝｜3(e1＋e2)｜＝3｜(e1＋e2)｜＝3
＝3＝3
＝3.
［例8］设｜m｜＝2，｜n｜＝1，向量m与n的夹角为，若a＝4m－n，b＝m＋2n，c＝2m－3n，求a2＋3(a·b)－2(b·c)＋1的值.
解：∵｜m｜＝2，｜n｜＝1且m⊥n，
∴m2＝｜m｜2＝4，
n2＝｜n｜＝1，m·n＝0.
∴a2＋3(a·b)－2(b·c)＋1
＝(4m－n)2＋3(4m－n)·(m＋2n)－2(m＋2n)·(2m－3n)＋1
＝16m2－8m·n＋n2＋12m2＋24m·n－3n·m－6n2－4m2－6m·n－8n·m＋12n2＋1
＝24m2＋7n2＋1＝104.
Ⅲ. 课时小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题.
Ⅳ. 课后作业
课本P83习题 4，7
平面向量的数量积及运算律
1．设a，b，c为任意非0向量，且相互不共线，则真命题为 （ ）
（1）（a·b）·c－(c·a)·b＝0 （2）|a|－|b|＜|a－b|
（3）(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 （4）（3a+2b)(3a－2b)=9|a|2－4|b|2
A.（2）（4） B.（2）（3） C.（1）（2） D.（3）（4）
2．已知|a|＝3，|b|＝4，（a＋b）·（a＋3b）＝33，则a与b的夹角为 （ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
3．△ABC中，＝a，＝b，且a·b＞0，则△ABC为 （ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
4．已知等边△ABC的边长为1，且＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于 （ ）
A.－ B. C.0 D.
5．已知|a|2＝1，|b|2＝2，（a－b)⊥a，则a与b的夹角为 （ ）
A.60° B.90° C.45° D.30°
6．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e1－e2）（3e1＋2e2）＝ .
7．已知| i |＝| j |＝1，i·j＝0，且a＋b＝2i－8j，a－b＝8i＋16j，求a·b＝ .
8．已知|a|＝3，|b|＝5，如果a∥b，则a·b＝ .
9．已知a，b，c两两垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求r＝a＋b＋c的长及它与a，b，c的夹角的余弦.
10．设a，b为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k，使向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角为60°，若存在，求k值；若不存在，说明理由.
11．非零向量（a＋3b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求向量a与b夹角的余弦值.
平面向量的数量积及运算律答案
1．A 2．C 3．C 4．A 5．C 6． 7．－63 8．±15
9．已知a，b，c两两垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求r＝a＋b＋c的长及它与a，b，c的夹角的余弦.
解：|r|＝|a＋b＋c|＝
＝＝
设a＋b＋c与a、b、c的夹角分别为θ1，θ2，θ3
则cosθ1＝＝
同理cosθ2＝＝，cosθ3＝.
10．设a，b为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k，使向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角为60°，若存在，求k值；若不存在，说明理由.
解：∵|a|＝|b|＝1，又a·b＝0
m·n＝(ka＋b)·(a＋kb)＝2k，
又|m|＝，|n|＝
若cos60°＝＝＝
∴k2＋4k＋1＝0
∵k＝2±Z，∴不存在.
11．
- 5 -高中数学必修3第三章教案 湛师附中 肖海生
3.1 随机事件的概率
3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义(第一、二课时)
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；（2）正确理解事件A出现的频率的意义；（3）正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率fn（A）与事件A发生的概率P（A）的区别与联系；（3）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．
2、过程与方法：（1）发现法教学，通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高；（2）通过对现实生活中的“掷币”，“游戏的公平性”，、“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学知识解决数学问题的方法，理解逻辑推理的数学方法．
3、情感态度与价值观：（1）通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；（2）培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识．
二、重点与难点：（1）教学重点：事件的分类；概率的定义以及和频率的区别与联系；（2）教学难点：用概率的知识解释现实生活中的具体问题．
三、学法与教学用具：1、引导学生对身边的事件加以注意、分析，结果可定性地分为三类事件：必然事件，不可能事件，随机事件；指导学生做简单易行的实验，让学生无意识地发现随机事件的某一结果发生的规律性；2、教学用具：硬币数枚，投灯片，计算机及多媒体教学．
四、教学设想：
1、创设情境：日常生活中，有些问题是很难给予准确无误的回答的。例如，你明天什么时间起床？7：20在某公共汽车站候车的人有多少？你购买本期福利彩票是否能中奖？等等。
2、基本概念：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
（7）似然法与极大似然法：见课本P111
3、例题分析：
例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）“抛一石块，下落”.
（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；
（3）“某人射击一次，中靶”；
（4）“如果a＞b,那么a－b＞0”;
（5）“掷一枚硬币，出现正面”；
（6）“导体通电后，发热”；
（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；
（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；
（9）“没有水份，种子能发芽”；
（10）“在常温下，焊锡熔化”．
答：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件．
例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
分析：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率。
解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89。
小结：概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。
练习：一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数 5544 9607 13520 17190
男婴数 2883 4970 6994 8892
男婴出生的频率
（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；
（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？
答案：（1）表中依次填入的数据为：0.520，0.517，0.517，0.517.
（2）由表中的已知数据及公式fn（A）=即可求出相应的频率，而各个频率均稳定在常数0.518上，所以这一地区男婴出生的概率约是0.518．
例3 某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为多大？中10环的概率约为多大？
分析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以靶的频率为=0.9，所以中靶的概率约为0.9．
解：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2．
例4 如果某种彩票中奖的概率为，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释。
分析：买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有一张中奖。
解：不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖。
例5 在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。
分析：这个规则是公平的，因为每个运动员先发球的概率为0.5，即每个运动员取得先发球权的概率是0.5。
解：这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。
小结：事实上，只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。
4、课堂小结：概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索。
5、自我评价与课堂练习：
1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（ ）
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
2．下列说法正确的是（ ）
A．任一事件的概率总在（0.1）内
B．不可能事件的概率不一定为0
C．必然事件的概率一定为1 D．以上均不对
3．下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题。
每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000
发芽的粒数 2 4 9 60 116 282 639 1339 2715
发芽的频率
（1）完成上面表格：
（2）该油菜子发芽的概率约是多少？
4．某篮球运动员，在同一条件下进行投篮练习，结果如下表如示。
投篮次数
进球次数m
进球频率
（1）计算表中进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？
5．生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了。”学了概率后，你能给出解释吗？
6、评价标准：
1．B[提示：正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，即该事件为随机事件。]
2．C[提示：任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.]
3．解：（1）填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.（2）该油菜子发芽的概率约为0.897。
4．解：（1）填入表中的数据依次为0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.（2）由于上述频率接近0.80，因此，进球的概率约为0.80。
5．解：天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率，我们知道：在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的。
7、作业：根据情况安排
3.1.3 概率的基本性质（第三课时）
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；
（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.
2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。
3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习 数学的情趣。
二、重点与难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。
三、学法与教学用具：1、讨论法，师生共同讨论，从而使加深学生对概率基本性质的理解和认识；2、教学用具：投灯片
四、教学设计：
1、 创设情境：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等；
（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1={出现1点}，C2={出现2点}，C3={出现1点或2点}，C4={出现的点数为偶数}……
师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？
2、 基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115；
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．
3、 例题分析：
例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件 哪些是对立事件
事件A：命中环数大于7环； 事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环； 事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.
分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。
解：A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生）.
例2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)=，P(B)=，求出“出现奇数点或偶数点”．
分析：抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公式求解．
解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件，所以P(C)=P(A)+ P(B)=+=1
答：出现奇数点或偶数点的概率为1
例3 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是，取到方块（事件B）的概率是，问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
分析：事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)=1—P(C)．
解：（1）P(C)=P(A)+ P(B)=（2）P(D)=1—P(C)=
例4 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．
解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、C、D，则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=；P(C∪D)=P(C)+P(D)=；P(B∪C∪D)=1-P(A)=1-=,解的P(B)=,P(C)=,P(D)=
答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是、、．
4、课堂小结：概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；3）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
5、自我评价与课堂练习：
1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品；
2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）=，P（B）=，求出现奇数点或2点的概率之和。
3．某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率。
4．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
6、评价标准：
1．解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的并不是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断：（2）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件。（3）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件。
2．解：“出现奇数点”的概率是事件A，“出现2点”的概率是事件B，“出现奇数点或2点”的概率之和为P（C）=P（A）+P（B）=+=
3．解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为0.21+0.23=0.44。（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97=0.03。
4．解：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和，即为+=
7、作业：根据情况安排
3.2 古典概型（第四、五课时）
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=
（3）了解随机数的概念；
（4）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。
2、过程与方法：（1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.
二、重点与难点：1、正确理解掌握古典概型及其概率公式；2、正确理解随机数的概念，并能应用计算机产生随机数．
三、学法与教学用具：1、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；2、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．
四、教学设想：
1、创设情境：（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件。
（2）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。
师生共同探讨：根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？
2、基本概念：
（1）基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本P121~126；
（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=．
3、例题分析：
课本例题略
例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。
解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）
所以基本事件数n=6，
事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），
其包含的基本事件数m=3
所以，P（A）====0.5
小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点：
（1）所有的基本事件必须是互斥的；
（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。
例2 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则
A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==
例3 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512．
（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467．
解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．
小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．
例4 利用计算器产生10个1~100之间的取整数值的随机数。
解：具体操作如下：键入
反复操作10次即可得之
小结：利用计算器产生随机数，可以做随机模拟试验，在日常生活中，有着广泛的应用。
例5 某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少？
分析：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%。
解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以生产0到9之间的取整数值的随机数。
我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%。因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组。
例如：产生20组随机数：
812，932，569，683，271，989，730，537，925，
907，113，966，191，431，257，393，027，556．
这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为=25%。
小结：（1）利用计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决非古典概型的概率的求解问题。
（2）对于上述试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间。
（3）随机函数RANDBETWEEN（a,b）产生从整数a到整数b的取整数值的随机数。
例6 你还知道哪些产生随机数的函数？请列举出来。
解：（1）每次按SHIFT RNA# 键都会产生一个0~1之间的随机数，而且出现0~1内任何一个数的可能性是相同的。
（2）还可以使用计算机软件来产生随机数，如Scilab中产生随机数的方法。Scilab中用rand（）函数来产生0~1之间的随机数，每周用一次rand（）函数，就产生一个随机数，如果要产生a~b之间的随机数，可以使用变换rand（）*（b－a）+a得到．
4、课堂小结：本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：
（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
（3）随机数量具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中。
5、自我评价与课堂练习：
1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是
A． B． C． D．
3．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是 。
4．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率。
5．利用计算器生产10个1到20之间的取整数值的随机数。
6．用0表示反面朝上，1表正面朝上，请用计算器做模拟掷硬币试验。
6、评价标准：
1．B[提示：在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为，因此选B.]
2．C[提示：（方法1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁订（记为事件A）包含8个基本事件，所以，所求概率为P（A）==.（方法2）本题还可以用对立事件的概率公式求解，因为从盒中任取一个铁钉，取到合格品（记为事件A）与取到不合格品（记为事件B）恰为对立事件，因此，P（A）=1－P（B）=1－=.]
3．[提示；记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2）（红1，白3），（红2，白3），共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率P（A），然后利用P（A）1－P（A）求解]。
4.解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的一个结果，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6=36种，在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）5种，所以，所求事件的概率为.
5．解：具体操作如下
键入
反复按 键10次即可得到。
6．解：具体操作如下：
键入
7、作业：根据情况安排
3.3 几何概型
3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
一、教学目标：
1、 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；
（2）掌握几何概型的概率公式：
P（A）=；
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；
（4）了解均匀随机数的概念；
（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；
（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．
2、 过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、 情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
二、重点与难点：
1、几何概型的概念、公式及应用；
2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．
三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．
四、教学设想：
1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。
2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=；
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．
3、 例题分析：
课本例题略
例1 判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，
还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关。
解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；
（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型．
例2 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．
分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．
小结：在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．
练习：1．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率。
2．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．
解：1．由几何概型知，所求事件A的概率为P(A)= ；
2．记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则P(A)= =．
例3 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域面积，有几何概型公式可以求得概率。
解：记“钻到油层面”为事件A，则P(A)= ==0.004．
答：钻到油层面的概率是0.004．
例4 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。
解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则
P(A)= ==0.01．
答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．
例5 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得两段长都不小于1m。这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件A发生的概率。
解法1：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1*3．
（3）统计出[1，2]内随机数的个数N1和[0，3] 内随机数的个数N．
（4）计算频率fn(A)=即为概率P（A）的近似值．
解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3]（这里3和0重合）．转动圆盘记下指针在[1，2]（表示剪断绳子位置在[1，2]范围内）的次数N1及试验总次数N，则fn(A)=即为概率P（A）的近似值．
小结：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。解法2用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．
例6 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2 与81cm2之间的概率．
分析：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M，求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率．
解：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1*12得到[0，12]内的均匀随机数．
（3）统计试验总次数N和[6，9]内随机数个数N1
（4）计算频率．
记事件A={面积介于36cm2 与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间}，则P（A）的近似值为fn(A)=．
4、课堂小结：1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；
2、均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数 ）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．
5、自我评价与课堂练习：
1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r3．某班有45个，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选到的机会均等，则恰好选中学生甲主机会有多大？
4．如图3-18所示，曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A，直线x=1、直线y=1、x轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。
6、评价标准：
1．C（提示：由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出2ml的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比=0.004）
2．解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）==
3．提示：本题应用计算器产生随机数进行模拟试验，请按照下面的步骤独立完成。
（1）用1~45的45个数来替代45个人；
（2）用计算器产生1~45之间的随机数，并记录；
（3）整理数据并填入下表
试 验次 数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 650 700 750 800 850 900 1000 1050
1出现的频数
1出现的频率
（4）利用稳定后1出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。
4．解：如下表，由计算机产生两例0~1之间的随机数，它们分别表示随机点（x,y）的坐标。如果一个点（x,y）满足y≤-x2+1，就表示这个点落在区域A内，在下表中最后一列相应地就填上1，否则填0。
x y 计数
0.598895 0.940794 0
0.512284 0.118961 1
0.496841 0.784417 0
0.112796 0.690634 1
0.359600 0.371441 1
0.101260 0.650512 1
… … …
0.947386 0.902127 0
0.117618 0.305673 1
0.516465 0.222907 1
0.596393 0.969695 0
7、作业：根据情况安排
PRB
RAND RANDI
STAT DEC
ENTER
RANDI（1，100）
STAT DEG
ENTER
RAND （1,100）
3．
STAT DEC
PRB
PAND RANDI
STAT DEG
ENTER
PANDI（1,20）
STAT DEG
ENTER
PANDI（1,20）
3．
STAT DEG
ENTER
PRB
PAND RANDI
STAT DEG
ENTER
PANDI（0,1）
STAT DEG
ENTER
PANDI（0,1）
0
STAT DEG
2a
r
o
M
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1第六课时 平面向量基本定理
教学目标：
了解平面向量基本定理，掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法，能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达；事物之间的相互转化.
教学重点：
平面向量基本定理.
教学难点：
平面向量基本定理的理解与应用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的充要条件.
这一节，我们将在上述知识的基础上学习平面向量基本定理及其应用.
Ⅱ.讲授新课
平面向量基本定理：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
说明：(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不唯一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式唯一；
(5)一个平面向量用一组基底e1、e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解。当e1、e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。
［例1］如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H、M是AD、DC之中点，F使BF＝BC，以a、b为基底分解向量与.
分析：以a，b为基底分解向量与，实为用a与b
表示向量与.
解：由H、M、F所在位置有：
＝＋＝＋＝＋＝b＋a，
＝－＝＋－＝＋－＝＋－＝a－b
［例2］如图，O是三角形ABC内一点，PQ∥BC，且＝t，＝a，＝b，＝c，求与.
分析：由平面几何的知识可得△APQ∽△ABC，且对应边的比为t，
∴＝＝t，转化向量的关系为：＝t，＝t，
又由于已知和未知向量均以原点O为起点，所以把有关向量都用
以原点O为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在.
解：∵PQ∥BC，且＝t，有△APQ∽△ABC，且对应边比为
t(＝)，即＝＝t.
转化为向量的关系有：＝t，＝t，又由于：＝－，＝－，＝－，＝－.
∴＝＋＝＋t(－)＝a＋t(b－a)＝(1－t)a＋tb，
＝＋＝＋t(－)＝t(c－a)＋a＝(1－t)a＋tc.
Ⅲ.课堂练习
课本P71练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的简单应用.
Ⅴ.课后作业
预习课本P73
- 1 -本章复习与小结（1课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）了解本章的知识结构体系，在整体上有一个初步的认识；（2）加深对任意角、弧度及三角函数的理解；（3）掌握三角函数的图像与性质，能利用性质进行解题；（4）掌握一定的解题方法，形成较好的能力。
2、 过程与方法
三角函数是一种重要的函数，通过整理本章的各知识点以及它们之间的联系，帮助学生系统地认识本章内容，从而对本章内容有全面的认识，上升到更高一个水平；启发学生将本章内容与数学1、数学2的横向联系，形成知识的网络化。
3、 情感态度与价值观
通过本节的复习，使同学们对三角函数有一个全面的认识；以辩证唯物主义的观点看待任何事，养成一种科学的态度；帮助学生树立正确的世界观和人生观，树立远大理想，立志为国争光，为洋浦的开发建设贡献力量。
二、教学重、难点
重点: 三角函数定义，以及三角函数的图像与性质
难点: 本章内容的系统掌握与灵活运用
三、学法与教学用具
师生共同整理本章的知识结构体系，从角到角的度量，从三角函数的定义到它们之间的关系，再到三角函数的图像与性质；整理本章出现的各种题目，从中理顺它们的关系，将它们适当归类，提炼其中的方法，争取做到举一反三、触类旁通。
教学用具：投影仪、三角板
四、教学思路
【知识的初步整合】
【知识的概括与引申】
1．角是由射线的旋转所产生的，那么就有旋转量与旋转方向的问题，所以必须推广到任意正角、负角和零角。为了使弧长公式在形式上变得简单，引进了弧度制，这一度量单位不仅使弧长公式、扇形面积公式得以简化，也为定义任意角的三角函数作好了准备。
2．同角三角函数的基本关系的作用是：已知某任意角的一种三角函数值，就能求出另一种三角函数值。
3．诱导公式的作用是：把求任意角的三角函数值转化为求锐角三角函数值。
4．三角函数的图像和性质是本章的重要内容，是三角函数应用的基础。
【例题选讲】
例1．求图中公路弯道处弧AB的长（精确到1m）
图中长度单位为：m
解： ∵
∴
例2． 已知是第三象限角且，问是第几象限角？
解：∵
∴ 则是第二或第四象限角
又∵ 则是第二或第三象限角
∴必为第二象限角
例3．已知，求
解：
例4．函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。
解：由得，
所求定义域为
值域为R，周期，是非奇非偶函数。
在区间上是增函数。
【随堂练习】 教材P77复习题一A组1—11
【教学小结】
本章涉及到的主要数学思想方法有那些？你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？【布置作业】 教材P77复习题一A组12—15
【课后反思】
任意角
的概念
角度制与
弧度制
任意角的三
角函数定义
三角函数的图像与性质
同角三角函数的关系
诱导公式
弧长与扇形
面积公式
60
R=45
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2第23课时 二 面 角
教学目标：
使学生正确理解二面角及二面角的平面角；通过概念教学，提高逻辑思维能力，渗透等价转化思想；通过图形结构分析，掌握作图方法，提高空间想象能力；通过本节教学由水坝、卫星运行轨道平面到二面角，体现由具体到抽象思想。
教学重点：
二面角的平面角。
教学难点：
求作二面角的平面角。
教学过程：
1．复习回顾：
两个平面平行的判定有哪几种方法？各种方法应具备条件是什么？
两个平面平行的性质有哪些？如何利用性质解决问题？
这一部分中等价转化思想体现在哪里？
2．讲授新课：
1.二面角
［师］两个平面的位置关系包括相交、平行两种，两个平行平面的相对位置是用“距离”来刻画.
而两个相交平面的相对位置由这两个平面所成的“角”来确定.
修筑水坝，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度（如图）。
还有教材中人造地球卫星的发射，需卫星轨道平面和地球赤道平
面成一定的角度.
请同学们再举出生活中例子说明结论.
那就是：为了解决实际问题，需研究两个平面所成的角.
［师］请同学归纳总结二面角的概念.（可与平面角概念对比）
二面角的概念
（1）半平面的定义：平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面.
（2）二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
这条直线叫二面角的棱，
这两个半平面叫二面角的面.
［师］（3）常用直立式和平卧式两种（教师和学生共同动手）
直立式： 平卧式：
［生］（4）二面角的表示
在上图（1）中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α—AB—β.
有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P—AB—Q.
如果棱为l，则这个二面角记作α—l—β或P—l—Q.
［师］进一步研究图（2）中∠AOB与∠A′O′B′的大小.
在二面角α—l—β的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.
再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成角
∠A′O′B′.
因为OA∥O′A′,OB∥O′B′,∠AOB和∠A′O′B′关系如何？
［生］由OA∥O′A′，OB∥O′B′可知
∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同.
即∠AOB=∠A′O′B′
［师］结论说明了什么问题？
［生］按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关.
［师］由此结果引出二面角的平面角概念.
（5）二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
上图（2）中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角α—l—β的平面角.
前边举过门和门所在墙的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，而二面角就恰如其分地将这种关系区别开来，度量二面角的大小，利用的是二面角的平面角.
二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度.
本书中规定二面角的大小范围为0°~180°.
当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°.
［师］若一个二面角的平面角是直角，就说这个二面角为直二面角.
除教材例外，举出一个二面角为直二面角的例子.
［生］教室相邻墙构成的二面角就是直二面角.
如图DD1⊥A1D1，DD1⊥D1C1
∴∠A1D1C1为二面角A1—D1D—C1的平面角
∵∠A1D1C1=90°
∴该二面角为一直二面角.
［师］在作图时注意两种情形.
（1）它是一个“平面角”，它的两边必须在同一
平面内，AB、CD虽各在两个平面内，且都垂直于棱，
但不在同一平面内，所以AB和CD不成平面角.
（2）二面角的平面角的两边必须都与棱垂直，∠ABC的顶点虽在棱上，两边也分别在两个半平面内，但BC不与棱垂直，所以∠ABC不是二面角的平面角.
下面阅读例1，并简要分析
例1：河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m时人升高了多少？（精确到0.1 m）
分析：人升高了多少？实质上就是求人所在位置到水
平面距离，问题就转化为解
Rt△EFG，而直角三角形的求解靠二面角平面
角来完成，找二面角的平面角就成为关键.
解：取CD上一点E，设CE=10 m，过点E作直线
AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度.
在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F，并连结FG.
则FG⊥AB
即∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角.
∠EFG=60°,
由此得EG=EFsin60°
=CEsin30°sin60°=10×
=2.5≈4.3（m）.
答：沿直道行走到10 m时人升高约4.3 m.
［师］学生思考问题.
两条相交直线对顶角相等.
两个平面相交时，形成一些二面角，其中有些二面角有类似对顶角的位置关系，
二面角α—ΑΒ—β和二面角α′—AB—β′相等.
这样的两个二面角有公共的棱
它们的面合在一起恰是两个相交平面.
具有这样特殊位置的两个二面角大小相等.
但二面角α—AB—β和二面角β—AB—α′是互补的.
例2：设P是二面角α－l－β内一点，P到面α、β的距离PA、PB分别为8和5，且AB＝7，求这个二面角的大小。
解：作AC⊥l于c，连结BC
∵PA⊥α，lα ∴PA⊥l
又AC⊥l，AC∩PA＝A
∴l⊥平面PAC ∴l⊥PC
∵PB⊥β，lβ ∴PB⊥l
又PB∩PC＝P ∴l⊥平面PBC
∴平面PAC与平面PBC重合，且l⊥BC
∴∠ACB就是所求的二面角
△PAB中，PA＝8，PB＝5，AB＝7 ∴∠P＝600
∴∠ACB＝1200
3．课堂练习：
课本P47 练习1.
4．课时小结：
1.应理解掌握二面角、二面角的平面角概念；
2.通过学习应掌握利用二面角平面角的定义.
5．课后作业：
（一）课本P47 习题 1~7.
（二）预习：
如何判定两个平面垂直？两个平面垂直后具有什么性质？
备课资料
一、求作二面角的平面角
求作二面的平面角是解决二面角问题的关键，也是难点，通过前面教学及习题涉及到的作法有下面三种：
1.定义法：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.
2.三垂线法：利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直，找到二面角的平面角，关键在找面的垂线.
3.垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.
［例1］（2002年高考试题江苏卷）四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形PB垂直面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.
分析：注意到题目中所给的二面角，面PAD与面PCD其棱为PD，围绕PD而考虑问题解决途径.
证法一：利用定义法
经A在PDA平面内作AE⊥PD于E，连CE
因底是正方形，故CD＝DA
△CED≌△AED，AE＝EC，∠CED＝∠AED＝90°
则CE⊥PD
故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角
设AC与BD交于O，连EO，则EO⊥AC
因 OA＝×a＝a，AE＜AD＜a
cos∠AEC＝＝＜0
所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.
证法二：运用三垂线法
∵PB⊥面ABCD，则PB⊥AD，又AD⊥AB
∴AD⊥面PAB，即面PAB⊥面PAD
过B作BE⊥PA则BE⊥面PAD
在面PBC内作PGBC，连GD
经C作CF⊥面PAD于F
那么连结EF，有EF AD
经F作FG⊥PD于H，连CH
则∠FGH是所求二面角平面角的补角
因CF⊥FH，故∠FHC是锐角
则面PAD与面PCD所成二面角大于90°
此结论证明过程中与棱锥高无关.
证法三：利用垂面法找平面角.
在证法一所给图形中
连AC、BD，因AC⊥BD，PB⊥面ABCD
∴AC⊥PD
经A作AE⊥PD于E，那么有PD⊥面AEC，连CE
即PD⊥CE
故PD与平面AEC垂直后，面AEC与面ADC及面ADP的交线EA、EC构成角∠CEA就是二面角的平面角
以下同证法一.
评述：证法一用的是定义法，平面角的一边是作出，而另一边是证得，证法二用的是三垂线法，关键在找面PAD的垂线CF，并且证明过程渗透立体几何的割补法求解问题，证法三是利用作垂直于棱的垂面，找交线是主要的.
二、用面积法求解二面角问题［面积射影］
在运用上述方法找二面角的平面角时，不一定所有问题都能解决，这时就应想到转化思想，即不直接找或作二面角的平面角，而是把问题加以转化，下面介绍一种求二面角的方法，就是射影面积公式cosθ＝，θ是二面角的大小，S′是一面积为S的平面图形在另一面内的射影面积.
［例2］正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面ABCD所成二面角的大小.
解：△EB1C在底面ABCD内的射影三角形为Rt△ABC
因E点射影为A，B1点射影为B
设正方体棱长为a
则S△ABC＝a2
又在△EB1C中，
B1E＝ a，B1C＝a，EC＝a
故cos∠B1EC＝
∴sin∠B1EC＝
∴
设面MB1C和面ABCD所成的二面角为θ
则cosθ＝
那么所求二面角的大小为arccos.
评述：此题属无棱二面角问题，图中没有二面角的棱，我们也可以去找到棱去解决，但这里通过射影而直接求角更方便.S′＝S△ABC ，S＝S.
- 1 -教学设计案例
4.3.1空间直角坐标系
1． 教学任务分析
使学生深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示。
通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性。
2． 教学重点和难点
重点：空间直角坐标系中点的坐标表示
难点：空间直角坐标系中点的坐标表示
3． 教学基本流程
设情景引入空间直角坐标系的建立
空间中任意一个点的坐标表示
通过例1、例2的讲解，加深对空间点的坐标表示的理解
教师讲评小节
学生完成课后练习1、2
4． 学情景设计
问题 问题设计意图 师生活动
（1）我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数表示。那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组表示出来呢？ 让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系 师：启发学生联想思考，生：感觉可以师：我们不能仅凭感觉，我们要把对它的认识从感性化提升到理性化。
问题 问题设计意图 师生活动
（2）空间直角坐标系该如何建立呢？[1] 体会空间直角坐标系的建立过程 师：引导学生看图[1]，单位正方体，让学生认识该空间直角坐标系O—中，什么是坐标原点，坐标轴以及坐标平面。师：该空间直角坐标系我们称为右手直角坐标系。
（3）建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？[2] 学生从（1）中的感性向理性过渡 师：引导学生观察图[2]，生：点M对应着唯一确定的有序实数组，、、分别是P、Q、R在、、轴上的坐标师：如果给定了有序实数组，它是否对应着空间直角坐标系中的一点呢/生：（思考）是的师：由上我们知道了空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。师：大家观察一下图[1]，你能说出点O，A，B，C的坐标吗？生：回答
（4）例1、例2 学生在教师的指导下完成，加深对点的坐标的理解，例2更能体现出建立一个合适的空间直角系的重要性 师：让学生思考例一一会，学生作答，师讲评。师：对于例二的讲解，主要是引导学生先要学会建立合适的空间直角坐标系，然后才涉及到点的坐标的求法。生：思考例一、例二的一些特点。总结如何求出空间中的点坐标的方法。
（5）练习2 学生在原宥小结的经验的基础上，动手操作，并且锻炼学生的口才 师：大家拿笔完成练习2然后上黑板来讲解生：完成
（6）今天通过这堂课的学习，你能有什么收获？ 让学生的自信心得到增强 生：谈收获师：总结
数学教育网http:/// 主审戴刚锋高中数学必修3第二章教案 湛师附中 肖海生
2.1.1 简单随机抽样
一、三维目标：
1、知识与技能：
正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤；
2、过程与方法：
（1）能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题；
（2）在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。
3、情感态度与价值观：通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系，认识数学的重要性。
二、重点与难点：正确理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法及随机数法的步骤，并能灵活应用相关知识从总体中抽取样本。
三、教学设想：
假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验，你准备怎样做？
显然，你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本。（为什么？）那么，应当怎样获取样本呢？
【探究新知】
一、简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。
【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：
（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的。
（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N。
（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。
（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。
（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/N。
思考？
下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？
（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。
（2）箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子。
二、抽签法和随机数法
1、抽签法的定义。
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
【说明】抽签法的一般步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）连续抽签获取样本号码。
思考？
你认为抽签法有什么优点和缺点：当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？
2、随机数法的定义：
利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法，这里仅介绍随机数表法。
怎样利用随机数表产生样本呢？下面通过例子来说明，假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。
第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，001，…，799。
第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第7列的数7（为了便于说明，下面摘取了附表1的第6行至第10行）。
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62
87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
第三步，从选定的数7开始向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下等），得到一个三位数785，由于785＜799，说明号码785在总体内，将它取出；继续向右读，得到916，由于916＞799，将它去掉，按照这种方法继续向右读，又取出567，199，507，…，依次下去，直到样本的60个号码全部取出，这样我们就得到一个容量为60的样本。
【说明】随机数表法的步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）在随机数表中选择开始数字。
（3）读数获取样本号码。
【例题精析】
例1：人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方法是否是简单随机抽样？
[分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张起牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样。
例2：某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
[分析] 简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法。
解法1：（抽签法）将100件轴编号为1，2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这个10个号签对应的轴的直径。
解法2：（随机数表法）将100件轴编号为00，01，…99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10件即为所要抽取的样本。
【课堂练习】P
【课堂小结】
1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法。
2、抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型。
3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为n/N，但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况区分开业，避免在解题中出现错误。
【评价设计】
1、为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是
A．总体是240 B、个体是每一个学生
C、样本是40名学生 D、样本容量是40
2、为了正确所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是 （ ）
A、总体 B、个体是每一个学生
C、总体的一个样本 D、样本容量
3、一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是 。
4、从3名男生、2名女生中随机抽取2人，检查数学成绩，则抽到的均为女生的可能性是 。
2.1.2 系统抽样
一、三维目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解系统抽样的概念；
（2）掌握系统抽样的一般步骤；
（3）正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系；
2、过程与方法：通过对实际问题的探究，归纳应用数学知识解决实际问题的方法，理解分类讨论的数学方法，
3、情感态度与价值观：通过数学活动，感受数学对实际生活的需要，体会现实世界和数学知识的联系。
二、重点与难点：正确理解系统抽样的概念，能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题。
三、教学设想：
【创设情境】：某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级500名学生中抽取50名进行调查，除了用简单随机抽样获取样本外，你能否设计其他抽取样本的方法？
【探究新知】
一、系统抽样的定义：
一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。
【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证：
（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样。
（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为k＝[].
（3）预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。
思考？
（1）你能举几个系统抽样的例子吗？
（2）下列抽样中不是系统抽样的是 （ ）
A、从标有1~15号的15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到
大号排序，随机确定起点i,以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样
B工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验
C、搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止
D、电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈
点拨:（2）c不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样。
二、系统抽样的一般步骤。
（1）采用随机抽样的方法将总体中的N个个编号。
（2）将整体按编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N,L≤k).
（3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L（L∈N,L≤k）。
（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+K，再加上K得到第3个个体编号L+2K，这样继续下去，直到获取整个样本。
【说明】从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想。
【例题精析】
例1、某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程。
[分析]按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第1段的编号。
解：按照1：5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59，我们把259名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，59组是编号为291～295的5名学生。采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为k(1≤k≤5)，那么抽取的学生编号为k+5L(L=0,1,2,……，58)，得到59个个体作为样本，如当k=3时的样本编号为3，8，13，……，288，293。
例2、从忆编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是
A．5，10，15，20，25 B、3，13，23，33，43
C．1，2，3，4，5 D、2，4，6，16，32
[分析]用系统抽样的方法抽取至的导弹编号应该k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中d=50/5=10,k是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项B满足要求，故选B。
【课堂练习】P49 练习1. 2. 3
【课堂小结】
1、在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统抽样的方法进行抽样，系统抽样的步骤为：
（1）采用随机的方法将总体中个体编号；
（2）将整体编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N)；
（3）在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号L；
（4）按照事先预定的规则抽取样本。
2、在确定分段间隔k时应注意：分段间隔k为整数，当不是整数时，应采用等可能剔除的方剔除部分个体，以获得整数间隔k。
【评价设计】
1、从2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为 （ ）
A．99 B、99，5
C．100 D、100，5
2、从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是 （ ）
A．1，2，3，4，5 B、5，16，27，38，49
C．2, 4, 6, 8, 10 D、4，13，22，31，40
3、采用系统抽样从个体数为83的总体中抽取一个样本容量为10的样本，那么每个个体人样的可能性为 （ ）
A．8 B.8，3
C．8.5 D.9
4、某小礼堂有25排座位，每排20个座位，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是 抽样方法。
5、某单位的在岗工作为624人，为了调查工作上班时，从家到单位的路上平均所用的时间，决定抽取10%的工作调查这一情况，如何采用系统抽样的方法完成这一抽样？
2.1.3 分层抽样
一、三维目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解分层抽样的概念；
（2）掌握分层抽样的一般步骤；
（3）区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当正确的方法进行抽样。
2、过程与方法：通过对现实生活中实际问题进行分层抽样，感知应用数学知识解决实际问题的方法。
3、情感态度与价值观：通过对统计学知识的研究，感知数学知识中“估计
与“精确”性的矛盾统一，培养学生的辩证唯物主义的世界观与价值观。
二、重点与难点：正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本，并恰当的选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题。
三、教学设想：
【创设情景】
假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，此地
教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的
小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？
【探究新知】
一、分层抽样的定义。
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。
【说明】分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：
（1）分层：将相似的个体归人一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则。
（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。
二、分层抽样的步骤：
（1）分层：按某种特征将总体分成若干部分。
（2）按比例确定每层抽取个体的个数。
（3）各层分别按简单随机抽样的方法抽取。
（4）综合每层抽样，组成样本。
【说明】
（1）分层需遵循不重复、不遗漏的原则。
（2）抽取比例由每层个体占总体的比例确定。
（3）各层抽样按简单随机抽样进行。
探究交流
（1）分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每层抽取若干个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行 （ ）
A、每层等可能抽样
B、每层不等可能抽样
C、所有层按同一抽样比等可能抽样
（2）如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n
样本，那么每个个体被抽到的可能性为 （ ）
A． B. C. D.
点拨：
（1）保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽
共同的特征，为了保证这一点，分层时用同一抽样比是必不可少的，故此选C。
（2）根据每个个体都等可能入样，所以其可能性本容量与总体容量
比，故此题选C。
知识点2 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较
类 别 共同点 各自特点 联 系 适 用范 围
简 单随 机抽 样 （1）抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等（2）每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样 从总体中逐个抽取 总体个数较少
将总体均分成几部 分，按预先制定的规则在各部分抽取 在起始部分样时采用简随机抽样 总体个数较多
系 统抽 样
将总体分成几层，分层进行抽取 分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成
分 层抽 样
【例选精析】
例1、 某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为
A.15,5,25 B.15,15,15
C.10,5,30 D15,10,20
[分析]因为300：200：400=3：2：4，于是将45分成3：2：4的三部分。设三部分各抽取的个体数分别为3x,2x,4x,由3x+2x+4x=45，得x=5，故高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为15，10，20，故选D。
例2：一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3：2：5：2：3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程。
[分析]采用分层抽样的方法。
解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下：
（1）将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层。
（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本。
300×3/15=60（人），300×2/15=100（人），300×2/15=40（人），300×2/15=60（人），因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、40人、60 人。
（3）将300人组到一起，即得到一个样本。
【课堂练习】P52 练习1. 2. 3
【课堂小结】
1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：
（1）、分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠。
（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。
（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。
2、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。
【评论设计】
1、某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽取方法是 （ ）
A．简单随机抽样
B．系统抽样
C．分层抽样
D．先从老人中剔除1人，然后再分层抽样
2、某校有500名学生，其中O型血的有200人，A型血的人有125人，B型血的有125人，AB型血的有50人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个20人的样本，按分层抽样，O型血应抽取的人数为 人，A型血应抽取的人数为 人，B型血应抽取的人数为 人，AB型血应抽取的人数为 人。
3、某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2,若该校取一个容量为n的样本，则n= 。
4、对某单位1000名职工进行某项专门调查，调查的项目与职工任职年限有关，人事部门提供了如下资料：
任职年限 5年以下 5年至10年 10年以上
人数 300 500 200
试利用上述资料设计一个抽样比为1/10的抽样方法。
２.2.1用样本的频率分布估计总体分布(2课时)
一、三维目标：
1、知识与技能
（1） 通过实例体会分布的意义和作用。
（2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。
（3）通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计。
2、过程与方法
通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
3、情感态度与价值观
通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。
二、重点与难点
重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。
难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。
三、教学设想
【创设情境】
在ＮＢＡ的2004赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕
甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50
乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33
请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？
如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布（板出课题）。
【探究新知】
〖探究〗：P55
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢 ？你认为，为了了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论）
为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等。因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况。（如课本P56）
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息。表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式。
下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律。可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况。
〈一〉频率分布的概念：
频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为：
（1） 计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差
（2） 决定组距与组数
（3） 将数据分组
（4） 列频率分布表
（5） 画频率分布直方图
以课本P56制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图。（让学生自己动手作图）
频率分布直方图的特征：
（1） 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。
（2） 从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
〖探究〗：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形状也会不同。不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断，分别以0.1和1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象？（把学生分成两大组进行，分别作出两种组距的图，然后组织同学们对所作图不同的看法进行交流……）
接下来请同学们思考下面这个问题：
〖思考〗：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，根据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，（见课本P57）你能对制定月用水量标准提出建议吗？（让学生仔细观察表和图）
〈二〉频率分布折线图、总体密度曲线
1．频率分布折线图的定义：
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。
2．总体密度曲线的定义：
在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息。（见课本P60）
〖思考〗：
１．对于任何一个总体，它的密度曲线是不是一定存在？为什么？
２．对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来？为什么？
实际上，尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的，但一般很难想函数图象那样准确地画出来，我们只能用样本的频率分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确．
〈三〉茎叶图
１．茎叶图的概念：
当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。（见课本P6１例子）
2．茎叶图的特征：
（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。
（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。
【例题精析】
〖例1〗：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高
(单位ｃｍ)
(1)列出样本频率分布表﹔
(2)一画出频率分布直方图;
(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.。
分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。
解：（１）样本频率分布表如下：
（２）其频率分布直方图如下：
（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.
〖例2〗：为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.
(1) 第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2) 若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
(3) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由。
分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。
解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，
因此第二小组的频率为：
又因为频率=
所以
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为
（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。
【课堂精练】
P61 练习 1. 2. 3
【课堂小结】
1． 总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。
2． 总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。
【评价设计】
1．P72 习题2.2 A组 1、 2
２.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(2课时)
一、三维目标：
1、知识与技能
（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
2、过程与方法
在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
3、情感态度与价值观
会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。
二、重点与难点
重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
三、教学设想
【创设情境】
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。
【探究新知】
<一>、众数、中位数、平均数
〖探究〗：P62
（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？
（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）
初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见课本第62页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。
〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）
分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。
〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？
分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为2.02。（图略见课本63页图2.2-6）
〖思考〗：2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）
（课本63页图2.2-6）显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。
〖思考〗：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？（让学生讨论，并举例）
<二>、标准差、方差
１．标准差
平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断。某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为１７６㎝，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高。但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质。因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态。
例如，在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？
我们知道，。
两个人射击的平均成绩是一样的。那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察Ｐ６６图２.２-８）直观上看，还是有差异的。很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据。
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。
样本数据的标准差的算法：
（1） 、算出样本数据的平均数。
（2） 、算出每个样本数据与样本数据平均数的差：
（3） 、算出（２）中的平方。
（4） 、算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。
（5） 、算出（４）中平均数的算术平方根，，即为样本标准差。
其计算公式为：
显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
〖提问〗：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？
从标准差的定义和计算公式都可以得出：。当时，意味着所有的样本数据都等于样本平均数。
（在课堂上，如果条件允许的话，可以给学生简单的介绍一下利用计算机来计算标准差的方法。）
２．方差
从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方（即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：
在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。
【例题精析】
〖例1〗：画出下列四组样本数据的直方图，说明他们的异同点。
(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５
(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６
(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７
(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８
分析：先画出数据的直方图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差。
解：（图略，可查阅课本Ｐ６８）
四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。
他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的。
〖例2〗：（见课本Ｐ６９）
分析： 比较两个人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本数据的平均数、标准差，以此作为两个总体之间的差异的估计值。
【课堂精练】
P７１ 练习 1. 2. 3　４
【课堂小结】
3． 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：
a) 用样本平均数估计总体平均数。
b) 用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大，估计就越精确。
4． 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。
5． 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度。
【评价设计】
1．P７２ 习题2.2 A组 ３、 ４、１０
122
126
130
134
138
142
146
150
158
154
身高（cm）
o
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
频率/组距
90
100
110
120
130
140
150
次数
o
0.004
0.008
0.012
0.016
0.020
0.024
0.028
频率/组距
0.032
0.036
PAGE
6第14课时 直线与平面平行的判定和性质（二）
教学目标：
使学生掌握直线与平面平行的性质定理、明确由线面平行可以推出线线平行，应用定理证明一些简单问题，培养学生的逻辑思维能力；培养学生良好的思维习惯，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.
教学重点：
直线与平面平行的性质定理及其应用.
教学难点：
直线与平面平行的性质定理及其应用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］上节课，我们一块学习了直线与平面的位置关系、直线与平面平行的判定定理，请同学们回忆一下，直线与平面的位置关系有几种，各有什么特征？
［生］直线与平面的位置关系有三种：分别是直线在平面内，其特征是直线与平面有无数个公共点；直线与平面相交，其特征是直线与平面有且只有一个公共点；直线与平面平行，其特征是直线与平面没有公共点.
［师］回答得很好.如果一条直线与平面相交，可不可以说直线在平面外呢？
［生］可以.因为直线在平面外包含两种情形，一是直线与平面相交，二是直线与平面平行，问题是其中情形之一.
［师］正确.直线与平面平行的判定定理是什么？
［生］线线平行则线面平行.
［师］用符号语言表示是怎样的？
［生］a∥α
［师］好.要注意，利用判定定理判定直线与平面平行时，三个条件缺一不可.今天我们来学习直线与平面平行的性质定理.
Ⅱ.指导自学
(让学生看课本，提问题——理解这部分内容的难点与疑点)
［生］例题中给的一块木料形状规则吗？
［师］木料的形状不一定规则，但每一个面都认为是平面.
［师］请叙述一下直线和平面平行的性质定理？
［生］如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
［师］这个定理用符号语言可表示为怎样的？
［生］a∥b
［师］很好！这里也是三个条件，这三个条件同样是缺一不可的.我们把这个定理简记为“线面平行则线线平行”，后面的线线，一条是平行于平面的直线，另一条是经过平面外的直线的平面与已知平面的交线.
［师］请同学们注意：性质定理说，如果a∥α，经过a的平面β和α相交，那么a就平行于交线，我想问问大家，经过a且与α相交的平面有几个！
［生甲］一个.
［生乙］无数个.
［师］请生甲同学谈一下，经过a且与α相交的平面为什么只有一个.
［生甲］因为只有一条交线，所以只有一个.
［师］是只有一条交线吗？(生甲不知该如何作答)请再仔细想一想.
［师］请生乙同学谈一下，经过a且与α相交的平面为什么有无数个？
［生］经过a的平面只要和α相交，就符合题设条件，(拿课本比试了一下)这样的平面有无穷多个.
［师］好.生甲同学听明白了吗？
［生甲］明白了.
［师］如果a∥α，那么经过a与α相交的平面有无穷多个了，这无穷多个平面与α有无数条交线，这无数条交线互相平行.
定理的证明过程，使用了“”符号，很简洁，让人一看，心中美不胜数.
(已知：a∥α，aβ，α∩β＝b.
求证：a∥b
a∥b)
［师］有了性质定理，我们便可以根据直线与平面平行来解决直线间的平行问题，下面我们来看个例子.
［例1］如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内.
［师］请同学们谈一下，拿到这个题首先应该干什么？
［生］首先应该在读懂题意的基础上，写出命题的图形语言、并用符号语言写出已知、求证.
［师］好.谁来完成一下.
［生甲］(上黑板画图，并写出已知、求证.)
已知：a∥α，A∈α，A∈b，且b∥a.
求证：bα.
分析：这个题要求我们证明直线b在平面α内，要想证明
这个问题，需要——.
［生］证明直线b上至少有两个点在面α内.
［师］证直线b上“至少”有两个点在面α内(教师重复时
要突出强调“至少”)，用什么方法证呢？
［生］用反证法.
［师］好.我们一起来写出证明过程.
证明：假设bα
设经过点A和直线a的平面为β，α∩β=b′
∵a∥α，∴a∥b′(线面平行则线线平行)
又a∥b，∴b∥b′这与b∩b′=A矛盾.
∴假设错误，故bα.
［例2］求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，这条直线和它们的交线平行.
［师］请同学们观察、分析、讨论，寻求证题思路，完成证明过程.
［生］先根据文字语言及图形，用符号语言写出已知、求证.
［师］好.请你具体讲一下.
［生］已知：面α∩面β=l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.
［师］下面请同学们进一步考虑，完成证明.
(学生在思考、比划、讨论、甚至争辩，都在极力为自己的
想法寻找依据，这时教师将图在黑板上做出来)
［生］设过a的平面γ交α于b，过a的另一平面δ交β于c，
因为a平行于α，所以a平行于b，同理a平行于c.根据平行公理b平行c.因c在平面β内，所以b平行于面β，b在面β外，所以b平行于面β，而过b的平面α交平面β于l.所以b平行于l，再由平行的传递性a平行于l.
［师］太好了！生乙的分析大家听明白了吗？这个题既用到了直线与平面平行的性质定理，又用到了直线与平面平行的判定定理，反复交叉运用，使问题得到了证明.现在大家动笔把证明过程整理出来.(一位同学在黑板上板书).
证明：设过a的平面γ交α于b，
过a的平面δ交β于c.
Ⅲ.课堂练习
课本P33 练习4.
Ⅳ.课时小结
本节课我们学习了直线与平面平行的性质定理：线面平行则线线平行.要注意后面线线的意义：一条为平面外的直线，另一条为过平面外直线的平面与已知平面的交线.这个定理与前面学过的平行公理是立体几何中判定直线与直线平行的重要依据，至此，我们判定空间直线与直线的平行已经有了两种办法，随着以后内容的学习，判定两直线平行的办法还会继续增加.同学们要把这个定理的条件和结论搞清楚，以便今后在证明有关问题时应用.
Ⅴ.课后作业
一、选择题
1.如果a、b是异面直线，且a∥平面α，那么b与α的位置关系是( )
A.b∥α B.b与α相交 C.bα D.不确定
答案：D
2.如果一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
答案：D
3.下面给出四个命题，其中正确命题的个数是( )
①若a∥α、b∥α，则a∥b ②若a∥α，bα，则a∥b
③若a∥b，bα，则a∥α ④若a∥b，b∥α，则a∥α
A.0 B.1 C.2 D.4
答案：A
4.下列说法正确的是( )
A.若直线a平行于面α内的无数条直线，则a∥α
B.若直线a在平面α外，则a∥α
C.若直线a∥b，直线bα，则a∥α
D.若直线a∥b，直线bα，则直线a平行于平面α内的无数条直线
答案：D
5.下列命题中，正确的是( )
A.如果直线l与平面α内无数条直线成异面直线，则l∥α
B.如果直线l与平面α内无数条直线平行，则l∥α
C.如果直线l与平面α内无数条直线成异面直线，则lα
D.如果一条直线与一个平面平行，则该直线平行于这个平面内的所有直线
E.如果一条直线上有无数个点不在平面内，则这条直线与这个平面平行
答案：C
二、填空题
1.如果直线m∥平面α，直线nα，则直线m、n的位置关系是_________.
答案：平行或异面
2.已知：E为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱DD1的中点，则BD1与过A、C、E的平面的位置关系是_________. 答案：平行
3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，和平面A1DB平行的侧面对角线有_________.
答案：D1C、B1C、D1B1
三、解答题
如图，a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G点，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，求EG.
解：Aa，∴A、a确定一个平面，设为β.
∵B∈a，∴B∈β，
又A∈β，∴ABβ
同理ACβ，ADβ
∵点A与直线a在α的异侧 ∴β与α相交，
∴面ABD与面α相交，交线为EG
∵BD∥α，BD面BAD，面BAD∩α=EG
∴BD∥EG，∴△AEG∽△ABD.
∴(相似三角形对应线段成比例)
∴EG＝.
- 4 -1.2 基本算法语句 · 海口实验中学 覃荣学·
第一课时 1.2.1输入、输出语句和赋值语句
教学目标：
知识与技能
（1）正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的结构。
（2）会写一些简单的程序。
（3）掌握赋值语句中的“=”的作用。
过程与方法
（1）让学生充分地感知、体验应用计算机解决数学问题的方法；并能初步操作、模仿。
（2）通过对现实生活情境的探究，尝试设计出解决问题的程序，理解逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观
通过本节内容的学习，使我们认识到计算机与人们生活密切相关，增强计算机应用意识，提高学生学习新知识的兴趣。
重点与难点
重点：正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的作用。
难点：准确写出输入语句、输出语句、赋值语句。
学法与教学用具
计算机、图形计算器
教学设想
【创设情境】
在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具，如：听MP3，看电影，玩游戏，打字排版，画卡通画，处理数据等等，那么，计算机是怎样工作的呢？
计算机完成任何一项任务都需要算法，但是，我们用自然语言或程序框图描述的算法，计算机是无法“看得懂，听得见”的。因此还需要将算法用计算机能够理解的程序设计语言（programming language）翻译成计算机程序。
程序设计语言有很多种。如BASIC，Foxbase，C语言，C++，J++，VB等。为了实现算法中的三种基本的逻辑结构：顺序结构、条件结构和循环结构，各种程序设计语言中都包含下列基本的算法语句：
这就是这一节所要研究的主要内容——基本算法语句。今天，我们先一起来学习输入、输出语句和赋值语句。（板出课题）
【探究新知】
我们知道，顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构。输入、输出语句和赋值语句基本上对应于算法中的顺序结构。（如右图）计算机从上而下按照语句排列的顺序执行这些语句。
输入语句和输出语句分别用来实现算法的输入信息，输出结果的功能。如下面的例子：
用描点法作函数的图象时，需要求出自变量与函数的一组对应值。编写程序，分别计算当时的函数值。
程序：(教师可在课前准备好该程序，教学中直接调用运行)
（学生先不必深究该程序如何得来，只要求懂得上机操作，模仿编写程序，通过运行自己编写的程序发现问题所在，进一步提高学生的模仿能力。）
〖提问〗：在这个程序中，你们觉得哪些是输入语句、输出语句和赋值语句呢？（同学们互相交流、议论、猜想、概括出结论。提示：“input”和“print”的中文意思等）
（一）输入语句
在该程序中的第1行中的INPUT语句就是输入语句。这个语句的一般格式是：
其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。如每次运行上述程序时，依次输入-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”,并按“x”新获得的值执行下面的语句。
INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：
例如，输入一个学生数学，语文，英语三门课的成绩，可以写成：
INPUT “数学，语文，英语”；a，b，c
注：①“提示内容”与变量之间必须用分号“；”隔开。
②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“，”隔开。但最后的变量的后面不需要。
（二）输出语句
在该程序中，第3行和第4行中的PRINT语句是输出语句。它的一般格式是：
同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”。例如下面的语句可以输出斐波那契数列：
此时屏幕上显示：
The Fibonacci Progression is：1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …
输出语句的用途：
（1）输出常量，变量的值和系统信息。（2）输出数值计算的结果。
〖思考〗：在1.1.2中程序框图中的输入框，输出框的内容怎样用输入语句、输出语句来表达？（学生讨论、交流想法，然后请学生作答）
参考答案：
输入框：INPUT “请输入需判断的整数n=”；n
输出框：PRINT n；“是质数。”
PRINT n；“不是质数。”
（三）赋值语句
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。
除了输入语句，在该程序中第2行的赋值语句也可以给变量提供初值。它的一般格式是：
赋值语句中的“=”叫做赋值号。
赋值语句的作用：先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值。
注：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。
②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。
③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）
④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。
〖思考〗：在1.1.2中程序框图中的输入框，哪些语句可以用赋值语句表达？并写出相应的赋值语句。（学生思考讨论、交流想法。）
【例题精析】
〖例1〗：编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。
分析：先写出算法，画出程序框图，再进行编程。
算法： 程序：
〖例2〗：给一个变量重复赋值。
程序：
[变式引申]：在此程序的基础上，设计一个程序，要求最后A的输出值是30。
（该变式的设计意图是学生加深对重复赋值的理解）
程序：
〖例3〗：交换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值。
分析：引入一个中间变量X,将A的值赋予X,又将B的值赋予A，再将X的值赋予B，从而达到交换A，B的值。（比如交换装满水的两个水桶里的水需要再找一个空桶）
程序：
〖补例〗：编写一个程序，要求输入一个圆的半径，便能输出该圆的周长和面积。（ 取3.14）
分析：设圆的半径为R，则圆的周长为，面积为，可以利用顺序结构中的INPUT语句，PRINT语句和赋值语句设计程序。
程序：
【课堂精练】
P15 练习 1. 2. 3
参考答案：
1.程序: INPUT “请输入华氏温度：”；x
y=(x-32)*5/9
PRINT “华氏温度：”；x
PRINT “摄氏温度：”；y
END
〖提问〗：如果要求输入一个摄氏温度，输出其相应的华氏温度，又该如何设计程序？（学生课后思考，讨论完成）
2. 程序： INPUT “请输入a（a0）=”；a
INPUT “请输入b（b0）=”；b
X=a+b
Y=a-b
Z=a*b
Q=a/b
PRINT a,b
PRINT X,Y,Z,Q
END
3. 程序： p=(2+3+4)/2
t=p*(p-2)*(p-3)*(p-4)
s=SQR(t)
PRINT “该三角形的面积为：”；s
END
注：SQR（）是函数名，用来求某个数的平方根。
【课堂小结】
本节课介绍了输入语句、输出语句和赋值语句的结构特点及联系。掌握并应用输入语句，输出语句，赋值语句编写一些简单的程序解决数学问题，特别是掌握赋值语句中“=”的作用及应用。编程一般的步骤：先写出算法，再进行编程。我们要养成良好的习惯，也有助于数学逻辑思维的形成。
【评价设计】
1．P23 习题1.2 A组 1（2）、2
2．试对生活中某个简单问题或是常见数学问题，利用所学基本算法语句等知识来解决自己所提出的问题。要求写出算法，画程序框图，并写出程序设计。
输入语句 输出语句 赋值语句 条件语句 循环语句
INPUT “x=”;x
y=x^3+3*x^2-24*x+30
PRINT x
PRINT y
END
INPUT “提示内容”；变量
INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，变量2，变量3，…
PRINT “提示内容”；表达式
PRINT “The Fibonacci Progression is：”；
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 “…”
变量=表达式
结束
输入a,b,c
开始
INPUT “数学=”;a
INPUT “语文=”;b
INPUT “英语=”;c
y=(a+b+c)/3
PRINT “The average=”;y
END
A=10
A=A+10
PRINT A
END
A=10
A=A+15
PRINT A
A=A+5
PRINT A
END
INPUT A
INPUT B
PRINT A，B
X=A
A=B
B=X
PRINT A，B
END
INPUT “半径为R=”；R
C=2*3.14*R
S=3.14*R^2
PRINT “该圆的周长为：”；C
PRINT “该圆的面积为：”；S
END
语句n
语句n+1
输出y
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19两角和与差的正、余弦（2）
一、课题：两角和与差的正、余弦（2）
二、教学目标：1.进一步熟悉两角和与差的正（余）弦公式，能对公式进行灵活运用；
2.能将化为一个角的一个三角函数式；
3.能灵活运用公式在三角形内求角的三角函数。
三、教学重、难点：公式的灵活运用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．及公式；
2．练习：（1）已知，，且均为锐角，求的值；
（2）已知，，且均为锐角，求的值。
（二）新课讲解：
例1：求证．
证明（法一）：右边左边。
证明（法二）：左边右边。
说明：一般地，式子可以化为一个角的一个三角函数式。
，
，则令
所以，．
例2：已知，求的值。
解：
得：， ∴．
【变题】已知，且，求．
（答案）
例3：在中，若，求的值。
解：
．
五、小结：1．认真审题，选择恰当的方法解决有关问题；
2．解决有关三角形问题，能灵活的进行三个角之间的变换；
六、作业：。
PAGE
- 1 -第4课时 直观图画法
教学目标：
使学生能够掌握并运用斜二测画法画直观图。
教学重点、难点：
如何画直观图。
教学过程：
1．引入：
把空间图形画在纸上，是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不是空间图形的真实形状，而是它的直观图。
以正方体为例，说明其优越性：既富立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系。
正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性较差，因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影。
中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图方法比较复杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图
2．讲授新课：
一、水平放置的平面图形的直观图的画法
例1：画水平放置的正方形的直观图。
画法：1）在已知正方形ABCD中，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，画对应的x′、y′轴，使∠x′o′y′＝450。
2）在x′轴上取点B′、D′，使O′B′＝OB，O′D′＝OD，并分别过点B′、
D′作B′C′平行于y′轴，D′C′平行于x′轴，交点为C′。
Ex：画水平放置的正六边形的直观图。
画法略
斜二测画法：
1） 在已知图形中，（适当）选取互相垂直的轴ox、oy，画直观图时，把它画成对应的
o′x′、o′y′轴，使∠x′o′y′＝450。（或1350）
（它们确定的平面表示水平平面）
2） 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段。 （平行性不变）
3） 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
例3：如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，哪一条线段最长。
二、直棱柱的直观图的画法
以正六棱柱为例，说明其画法：画轴，画底面，画侧棱，成图。
说明：建立三维坐标系，使平行于z′轴的线段的平行性和长度不变。
课堂练习：
课本P16 2（1），3（1）
课堂小结：
特别注意斜二侧画法中一般位置下的点的找法。
课后作业：
课本P16 2（2），3（2）
- 2 -第一章：空间几何体
1.1.1柱、锥、台、球的结构特征
一、教学目标
1．知识与技能
（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法
（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观
（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点
重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具
（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知
1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？
3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。
4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？
请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？
6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。
8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。
9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。
10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。
1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图）
2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？
3．课本P8，习题1.1 A组第1题。
4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？
5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？
四、巩固深化
练习：课本P7 练习1、2（1）（2）
课本P8 习题1.1 第2、3、4题
五、归纳整理
由学生整理学习了哪些内容
六、布置作业
课本P8 练习题1.1 B组第1题
课外练习 课本P8 习题1.1 B组第2题
1.2.1 空间几何体的三视图（1课时）
一、教学目标
1．知识与技能
（1）掌握画三视图的基本技能
（2）丰富学生的空间想象力
2．过程与方法
主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。
3．情感态度与价值观
（1）提高学生空间想象力
（2）体会三视图的作用
二、教学重点、难点
重点：画出简单组合体的三视图
难点：识别三视图所表示的空间几何体
三、学法与教学用具
1．学法：观察、动手实践、讨论、类比
2．教学用具：实物模型、三角板
四、教学思路
（一）创设情景，揭开课题
“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。
在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？
（二）实践动手作图
1．讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论;
2．教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图
（1）画出球放在长方体上的三视图
（2）画出矿泉水瓶（实物放在桌面上）的三视图
学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。
作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。
3．三视图与几何体之间的相互转化。
（1）投影出示图片（课本P10，图1.2-3）
请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么？
（2）你能画出圆台的三视图吗？
（3）三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？
教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。
4．请同学们画出1.2-4中其他物体表示的空间几何体的三视图，并与其他同学交流。
（三）巩固练习
课本P12 练习1、2 P18习题1.2 A组1
（四）归纳整理
请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图
（五）课外练习
1．自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。
2．自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图。
1.2.2 空间几何体的直观图（1课时）
一、教学目标
1．知识与技能
（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。
（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。
2．过程与方法
学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。
3．情感态度与价值观
（1）提高空间想象力与直观感受。
（2）体会对比在学习中的作用。
（3）感受几何作图在生产活动中的应用。
二、教学重点、难点
重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。
三、学法与教学用具
1．学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。
2．教学用具：三角板、圆规
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱
把实物圆柱放在讲台上让学生画。
2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。
（二）研探新知
1．例1，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。
画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。
练习反馈
根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让学生独立完成后，教师检查。
2．例2，用斜二测画法画水平放置的圆的直观图
教师引导学生与例1进行比较，与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因此需要自己构造出一些点。
教师组织学生思考、讨论和交流，如何构造出需要的一些点，与学生共同完成例2并详细板书画法。
3．探求空间几何体的直观图的画法
（1）例3，用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图。
教师引导学生完成，要注意对每一步骤提出严格要求，让学生按部就班地画好每一步，不能敷衍了事。
（2）投影出示几何体的三视图、课本P15图1.2-9，请说出三视图表示的几何体？并用斜二测画法画出它的直观图。教师组织学生思考，讨论和交流完成，教师巡视帮不懂的同学解疑，引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系。
4．平行投影与中心投影
投影出示课本P17图1.2-12，让学生观察比较概括在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形的各自特点。
5．巩固练习，课本P16练习1（1），2，3，4
三、归纳整理
学生回顾斜二测画法的关键与步骤
四、作业
1．书画作业，课本P17 练习第5题
2．课外思考 课本P16，探究（1）（2）
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、教学目标
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法
（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。
3、情感与价值
通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。
二、教学重点、难点
重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算
难点：台体体积公式的推导
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：实物几何体，投影仪
四、教学设想
1、创设情境
（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。
（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。
2、探究新知
（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图
（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？
（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。
3、质疑答辩、排难解惑、发展思维
（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:
r1为上底半径 r为下底半径 l为母线长
（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
（3）教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。如图：
（4）教师指导学生思考，比较柱体、锥体，台体的体积公式之间存在的关系。
(s’,s分别我上下底面面积，h为台柱高)
4、例题分析讲解
（课本）例1、 例2、 例3
5、巩固深化、反馈矫正
教师投影练习
1、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为 。 （答案：）
2、棱台的两个底面面积分别是245c㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的体积。 （答案：2325cm3）
6、课堂小结
本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式。用联系的关点看待三者之间的关系，更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。
7、评价设计
习题1.3 A组1.3
§1.3.2 球的体积和表面积
1. 教学目标
1． 知识与技能
⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分
割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
2． 过程与方法
通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝πR3和面积公式Ｓ＝４πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。
3． 情感与价值观
　　通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
2. 教学重点、难点
重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
3. 学法和教学用具
1． 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值　　　　的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。
2． 教学用具：投影仪
4. 教学设计
（1） 创设情景
⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。
（2） 探究新知
1．球的体积：
如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。
步骤：
第一步：分割
　如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为，底面是“小圆片”的底面。
如图：
得
第二步：求和
第三步：化为准确的和
　　当n→∞时， →0 （同学们讨论得出）
所以
得到定理：半径是Ｒ的球的体积
练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)
2．球的表面积：
球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。
思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？
半径为R的球的表面积为 Ｓ＝４πR2
练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。 （答案50元）
（3） 典例分析
课本P47 例4和P29例5
（4） 巩固深化、反馈矫正
⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。
（答案： ；　3 ：1）
⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。 （答案：2500πcm2）
分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径
（5） 课堂小结
本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。
（6） 评价设计
作业 P30 练习1、3 ，B（1）
第二章 直线与平面的位置关系
§2.1.1 平面
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）利用生活中的实物对平面进行描述；
（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；
（3）掌握平面的基本性质及作用；
（4）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法
（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；
（2）让学生归纳整理本节所学知识。
3、情感与价值
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
二、教学重点、难点
重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板
四、教学思想
（一）实物引入、揭示课题
师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教师对学生的活动给予评价。
师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、平面含义
师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示
师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）
之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）
平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）
课本P41 图 2.1-4 说明
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A在平面α内，记作：A∈α
点B在平面α外，记作：B α
2.1-4
3、平面的基本性质
教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。
师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析）
符号表示为
A∈L
B∈L => L α
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等……
引导学生归纳出公理2
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。
引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
4、教材P43 例1
通过例子，让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。
5、课堂练习：课本P44 练习1、2、3、4
6、课时小结：（师生互动，共同归纳）
（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？
7、作业布置
（1）复习本节课内容；
（2）预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系？
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角定理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法
（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；
（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念；
2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板
四、教学思想
（一）创设情景、导入课题
1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）
（二）讲授新课
1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：
2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？
组织学生思考：
长方体ABCD-A'B'C'D'中，
BB'∥AA'，DD'∥AA'，
BB'与DD'平行吗？
生：平行
再联系其他相应实例归纳出公理4
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
（2）例2（投影片）
例2的讲解让学生掌握了公理4的运用
（3）教材P47探究
让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。
3、组织学生思考教材P47的思考题
（投影）
让学生观察、思考：
∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800
教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。
4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。
（2）强调：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
（3）例3（投影）
例3的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角，从而巩固了所学知识。
（三）课堂练习
教材P49 练习1、2
充分调动学生动手的积极性，教师适时给予肯定。
（四）课堂小结
在师生互动中让学生了解：
（1）本节课学习了哪些知识内容？
（2）计算异面直线所成的角应注意什么？
（五）课后作业
1、判断题：
（1）a∥b c⊥a => c⊥b （ ）
（1）a⊥c b⊥c => a⊥b （ ）
2、填空题：
在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。
§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、
平面与平面之间的位置关系
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中直线与平面的位置关系；
（2）了解空间中平面与平面的位置关系；
（3）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法
（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；
（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。
二、教学重点、难点
重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
（一）创设情景、导入课题
教师以生活中的实例以及课本P49的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题）
（二）研探新知
1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
例4（投影）
师生共同完成例4
例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。
2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：
（1）两个平面平行 —— 没有公共点
（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线
用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为
α∥β α∩β= L
教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。
教材P51 探究
让学生独立思考，稍后教师作指导，加深学生对这两种位置关系的理解
教材P51 练习
学生独立完成后教师检查、指导
（三）归纳整理、整体认识
教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。
（四）作业
1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。
2、教材P52 习题2.1 A组第5题
§2.2.1 直线与平面平行的判定
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；
（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；
2、过程与方法
学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。
3、情感、态度与价值观
（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；
（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。
二、教学重点、难点
重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。
2、教学用具：投影仪（片）
四、教学思想
（一）创设情景、揭示课题
引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、投影问题
直线a与平面α平行吗？
若α内有直线b与a平行，
那么α与a的位置关系如何？
是否可以保证直线a与平面α平行？
学生思考后，师生共同探讨，得出以下结论
直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2、例1 引导学生思考后，师生共同完成
该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。
（三）自主学习、发展思维
练习：教材第57页 1、2题
让学生独立完成，教师检查、指导、讲评。
（四）归纳整理
1、同学们在运用该判定定理时应注意什么？
2、在解决空间几何问题时，常将之转换为平面几何问题。
（五）作业
1、教材第64页 习题2.2 A组第3题；
2、预习：如何判定两个平面平行？
§2.2.2 平面与平面平行的判定
一、教学目标：
1、知识与技能
理解并掌握两平面平行的判定定理。
2、过程与方法
让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定。
3、情感、态度与价值观
进一步培养学生空间问题平面化的思想。
二、教学重点、难点
重点：两个平面平行的判定。
难点：判定定理、例题的证明。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出两平面平行的判定。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
（一）创设情景、引入课题
引导学生观察、思考教材第57页的观察题，导入本节课所学主题。
（二）研探新知
1、问题：
（1）平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？
（2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗？
通过长方体模型，引导学生观察、思考、交流，得出结论。
两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
教师指出：判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2、例2 引导学生思考后，教师讲授。
例子的给出，有利于学生掌握该定理的应用。
（三）自主学习、加深认识
练习：教材第59页1、2、3题。
学生先独立完成后，教师指导讲评。
（四）归纳整理、整体认识
1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件？
2、在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方，请向老师提出。
（五）作业布置
第65页习题2.2 A组第7题。
§2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；
（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
2、过程与方法
学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、情感、态度与价值观
（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；
（2）进一步体会类比的作用；
（3）进一步渗透等价转化的思想。
二、教学重点、难点
重点：两个性质定理 。
难点：（1）性质定理的证明；
（2）性质定理的正确运用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
（一）创设情景、引入新课
1、思考题：教材第60页，思考（1）（2）
学生思考、交流，得出
（1）一条直线与平面平行，并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行；
（2）直线a与平面α平行，过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。
在教师的启发下，师生共同完成
该结论的证明过程。
于是，得到直线与平面平行的性质定理。
定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、例3 培养学生思维，动手能力，激发学习兴趣。
例4 性质定理的直接应用，它渗透着化归思想，教师应多做引导。
3、思考：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关系？
学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。
再问：平面AC内哪些直线与B'D'平行？怎么找？
在教师的启发下，师生
共同完成该结论及证明过程，
于是得到两个平面平行的性质定理。
定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
4、例5
以讲授为主，引导学生共同完成，逐步培养学生应用定理解题的能力。
（三）自主学习、巩固知识
练习：课本第63页
学生独立完成，教师进行纠正。
（四）归纳整理、整体认识
1、通过对两个性质定理的学习，大家应注意些什么？
2、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法？
（五）布置作业
课本第65页 习题2.2 A组第6题。
§2.3.1直线与平面垂直的判定
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情态与价值
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教学重点、难点
直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知
1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。
L
p
α
图2-3-1
2、老师提出问题，让学生思考：
（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
A
B D C
图2.3-2
（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
（三）实际应用,巩固深化
（1）课本P69例1教学
（2）课本P69例2教学
（四）归纳小结，课后思考
小结：采用师生对话形式，完成下列问题：
①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定
定理，体现的教学思想方法是什么？
课后作业:
①课本P70练习2
②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。
思考题：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂直，这个结论对吗？为什么？
§2.3.2平面与平面垂直的判定
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值
通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。
2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）
四、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
（二）研探新知
1、二面角的有关概念
老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）
角 二面角
图形 A 边 顶点 O 边 B A 梭 l βB　　α
定义 从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
构成 射线 — 点（顶点）一 射线 半平面 一 线（棱）一 半平面
表示 ∠AOB 二面角α-l-β或α-AB-β
2、二面角的度量
二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：
（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，OB⊥L；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平
面的位置关系怎样？
承上启下，引导学生观察，类比、自主探究， β B
获得两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 C O A
（三）应用举例，强化所学 α
例题：课本P.72例3 图2.3-3
做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况，教师最后讲评并板书证明过程。
（四）运用反馈，深化巩固
问题：课本P.73的探究问题
做法：学生思考（或分组讨论），老师与学生对话完成。
（五）小结归纳，整体认识
（1）二面角以及平面角的有关概念；
（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？
（六）课后巩固，拓展思维
1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。
2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么∠AOB 的大小与点O在L上的位置无关？
§2、3.3直线与平面垂直的性质
§2、3.4平面与平面垂直的性质
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
2、过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
（2）性质定理的推理论证。
3、情态与价值
通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。
二、教学重点、难点
两个性质定理的证明。
三、学法与用具
（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明。
（2）用具：长方体模型。
四、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？
让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。（自然进入课题内容）
（二）研探新知
1、操作确认
观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图2.3—4，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？
图2.3-4 图2.3-5
2、推理证明
引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法，
然后师生互动共同完成该推理过程 ，最后归纳得出：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
（三）应用巩固
例子：课本P.74例4
做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。
（四）类比拓展，研探新知
类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？
引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直。然后师生互动，共同完成性质定理的确认与证明，并归纳性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
（五）巩固深化、发展思维
思考1、设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？
（答：直线a必在平面α内）
思考2、已知平面α、β和直线a，若α⊥β，a⊥β，a α，则直线a与平面α具有什么位置关系？
（六）归纳小结,课后巩固
小结：（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？
（2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？
作业：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；
（2）求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
本章小结
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；
（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。
2、过程与方法
利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。
3情态与价值
学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。
二、教学重点、难点
重点：各知识点间的网络关系；
难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。
三、教学设计
（一）知识回顾，整体认识
1、本章知识回顾
（1）空间点、线、面间的位置关系；
（2）直线、平面平行的判定及性质；
（3）直线、平面垂直的判定及性质。
2、本章知识结构框图
（二）整合知识，发展思维
1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。
公理1——判定直线是否在平面内的依据；
公理2——提供确定平面最基本的依据；
公理3——判定两个平面交线位置的依据；
公理4——判定空间直线之间平行的依据。
2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；
3、空间平行、垂直之间的转化与联系：
4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。
（三）应用举例，深化巩固
1、P.82 A组第1题
本题主要是公理1、2知识的巩固与应用。
2、P.82 A组第8题
本题主要是直线与平面垂直的判定与性质的知识巩固与应用。
（四）课后作业
1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；
2、P.83 B组第2题。
EMBED PBrush
D
C
B
A
α
α
β
α
β
·B
·A
α
L
A
·
α
C
·
B
·
A
·
α
P
·
α
L
β
共面直线
=>a∥c
α
β
α
β
L
α
a
α
a
b
C1
D1
a
b
A1
B1
α
D
C
A
B
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
空间直线、平面的位置关系
平面与平面的位置关系
直线与平面的位置关系
直线与直线的位置关系
平面与平面平行
直线与平面平行
直线与直线平行
平面与平面垂直
直线与平面垂直
直线与直线垂直
·B
PAGE
数学教育网http:/// 主审戴刚锋课题：条件语句
1、 教学目标：
1、 知识与技能目标：通过实例掌握条件语句的格式及程序框图的画法、程序的编写.
2、 过程与方法目标：在教学过程中体现的主要数学能力及数学思想方法。
(1)逻辑思维能力：通过实例使学生体会算法的思想加强学生逻辑思维能力和推理论证能力的培养。
(2)转化的思想方法：通过实例使学生能将自然语言整理成程序框图进而翻译成计算机语言，体现转化的思想方法。
3、 情感、态度、与价值观目标：在教学过程中培养学生创新意识和数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣并注意在小组合作学习中培养学生的合作精神
2、 教学重点与难点：
重点：程序框图的画法、程序的编写.
难点：程序的编写
3、 教学方法：诱思探究.
4、 教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 提问：画程序框图的图形符号及规则是什么？一个实例：某市电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3min，则收取通话费0.2元；如果通话时间超过3min，则超过部分以0.1元/min收取通话费（t以分钟计，不足1min按1min计），试设计一个算通话费用的算法，用Scilab语句描述.3、怎样设计这个算法呢？ 师问生答.学生思考并且再想一些生活中、数学中的其他例子并回答. 画程序框图是解决问题的必要的一步，能使问题得到简化，所以有必要复习一遍。现实生活中的实际例子可以使同学们对数学产生更大的兴趣.学生带着问题听课可以提高听课效率.
概念形成教学环节 条件语句：处理条件分支逻辑结构的算法语句叫条件语句.Scilab语言中的条件语句分为if语句和select━case语句.if语句的一般格式是：if 表达式 语句序列1；else 语句序列2end该语句的功能：如果表达式结果为真，则执行表达式后面的语句教学内容 学生从这些例子中得到：这些问题所牵扯到的算法都包含了一种基本逻辑结构━条件分支结构.老师讲过if语句的格式后，可以问if语句最简单的格式是什么？ if表达式 语句序列1； end师生互动 先让学生知道概念并理解概念，然后指导解题.设计意图
序列1；如果表达式结果为假，则执行else后面的语句序列2
概念深化 任给一个实数，求它的绝对值. 开始 解：a=input(“a=”) if a 0 输入a x=a else a 0 x=--a 是 否 end x=a x=-a print(%io(2),x) 输入x 结束 学生自阅课本P26第二段、第三段及例子。 加深对概念的理解.
应用举例应用举例 儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1m，则无须购票; 若身高超过1.1m不超过1.4m,英买全票.试设计一个购票的算法,写出程序并划出程序框图.程序:h=input(“h=”)if h<=1.1print(%io(2), “免费乘车”)else if h<=1.4 print(%io(2), “半票乘车”)else print(%io(2), “全票乘车”) endend程序框图如图:开始输入hh≦1.1是 否输出“免费乘车” h≦1.4 是 否输出“半票乘车” 输出“全票乘车结束 可以师生共同分析得此题的算法步骤为:S1测量儿童身高hS2如果h≦1.1,那么免费乘车; 如果h≦1.4,那么购半票乘车;否则,购买全票.仿照例子由学生做这节课刚开始的引例及课本P27A2、B1师生共同完成P27B4 实际问题要先建立模型
归纳小结 条件语句的基本形式、应用范围及对应的程序框图。条件语句与算法中的条件结构相对应，语句形式较为复杂，要借助框图写出程序。 有一位学生总结，其他同学补充，教师完善。 引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。
布置作业 看课本必做题：P27　B2，3选做题:（1）P27　　B4　(2)从生活中找出一个例子，写出它的程序及框图。 作业布置有弹性，避免一刀切，使学有余力的学生的创造性得到进一步的发挥。第一章 集 合
第一课时 集合(一)
教学目标：
使学生掌握集合的概念和性质，集合的元素特征，有关数的集合；培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力；培养学生认识事物的能力，引导学生爱班、爱校、爱国.
教学重点：
集合的概念，集合元素的三个特征.
教学难点：
集合元素的三个特征，数集与数集关系.
教学方法：
尝试指导法
学生依集合概念的要求、集合元素的特征，在教师指导下，能自己举出符合要求的实例，加深对概念的理解、特征的掌握.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
师生共同回顾初中代数中涉及“集合”的提法.
［师］同学们回忆一下，在初中代数第六章不等式的解法一节中提到：
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
不等式解集的定义中涉及到“集合”.
Ⅱ.讲授新课
下面我们再看一组实例
幻灯片：
观察下列实例
(1)数组 1，3，5，7.
(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点.
(3)满足 3x－2＞x＋3 的全体实数.
(4)所有直角三角形.
(5)高一(3)班全体男同学.
(6)所有绝对值等于6的数的集合.
(7)所有绝对值小于3的整数的集合.
(8)中国足球男队的队员.
(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.
(10)参与中国加入WTO谈判的中方成员.
通过以上实例.教师指出：
1.定义
一般地，某些指定对象集在一起就成为一个集合(集).
师进一步指出：
集合中每个对象叫做这个集合的元素.
［师］上述各例中集合的元素是什么
［生］例(1)的元素为1，3，5，7.
例(2)的元素为到两定点距离的和等于两定点间距离的点.
例(3)的元素为满足不等式3x－2＞x＋3的实数x.
例(4)的元素为所有直角三角形.
例(5)为高一(3)班全体男同学.
例(6)的元素为－6，6.
例(7)的元素为－2，－1，0，1，2.
例(8)的元素为中国足球男队的队员.
例(9)的元素为参加2008年奥运会的中国代表团成员.
例(10)的元素为参与WTO谈判的中方成员.
［师］请同学们另外举出三个例子，并指出其元素.
［生］(1)高一年级所有女同学.
(2)学校学生会所有成员.
(3)我国公民基本道德规范.
其中例(1)的元素为高一年级所有女同学.
例(2)的元素为学生会所有成员.
例(3)的元素为爱国守法、明礼诚信、团结友爱、勤俭自强、敬业奉献.
［师］一般地来讲，用大括号表示集合.
师生共同完成上述例题集合的表示.
如：例(1){1，3，5，7}；
例(2){到两定点距离的和等于两定点间距离的点}；
例(3){3x－2＞x＋3的解}；
例(4){直角三角形}；
例(5){高一(3)班全体男同学}；
例(6){－6，6}；
例(7){－2，－1，0，1，2}；
例(8){中国足球男队队员}；
例(9){参加2008年奥运会的中国代表团成员}；
例(10){参与WTO谈判的中方成员}.
2.集合元素的三个特征
幻灯片：
问题及解释
(1)A＝{1，3}，问3，5哪个是a的元素
(2)A＝{所有素质好的人}能否表示为集合
(3)A＝{2，2，4}表示是否准确
(4)A＝{太平洋，大西洋}，B＝{大西洋，太平洋}是否表示为同一集合
生在师的指导下回答问题：
例(1)3是集合A的元素，5不是集合A的元素.例(2)由于素质好的人标准不可量化，故A不能表示为集合.例(3)的表示不准确，应表示为A＝{2，4}.例(4)的A与B表示同一集合，因其元素相同.
由此从所给问题可知，集合元素具有以下三个特征：
(1)确定性
集合中的元素必须是确定的，也就是说，对于一个给定的集合，其元素的意义是明确的.
如上例(1)、例(2)、再如
{参加学校运动会的年龄较小的人}也不能表示为一个集合.
(2)互异性
集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
如上例(3)，再如
A＝{1，1，1，2，4，6}应表示为A＝{1，2，4，6}.
(3)无序性
集合中的元素是无先后顺序，也就是说，对于一个给定集合，它的任何两个元素都是可以交换的.
如上例(1)
［师］元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于”（也可表示为）两种.
如 A＝{2，4，8，16} 4∈ A 8∈A 32A
请同学们考虑：
A＝{2，4}，B＝{{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}，
A与B的关系如何？
虽然A本身是一个集合.
但相对B来讲，A是B的一个元素.
故A∈B.
幻灯片：
3.常见数集的专用符号
N：非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合)
N*或N＋：正整数集（非负整数集N内排除0的集合）
Ｚ：整数集（全体整数的集合）
Q：有理数集（全体有理数的集合）
R：实数集（全体实数的集合）
［师］请同学们熟记上述符号及其意义.
Ⅲ.课堂练习
1.(口答)说出下面集合中的元素.
(1){大于3小于11的偶数} 其元素为 4，6，8，10
(2){平方等于1的数} 其元素为－1，1
(3){15的正约数} 其元素为1，3，5，15
2.用符号∈或填空
1∈N 0∈N －3N 0.5N N
1∈Z 0∈Z －3∈Z 0.5Ｚ Ｚ
1∈Q 0∈Q －3∈Q 0.5∈Q Q
1∈R 0∈R －3∈R 0.5∈R ∈R
3.判断正误：
(1)所有在N中的元素都在N*中(　×　)
(2)所有在N中的元素都在Z中(　√　)
(3)所有不在N*中的数都不在Z中(　×　)
(4)所有不在Q中的实数都在R中(　√　)
(5)由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0(　×　)
(6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立(　√　)
Ⅳ.课时小结
1.集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是任意的具体确定的事物，例如数、式、点、形、物等.
2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性，要能熟练运用之.
Ⅴ.课后作业
(一)1.用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：
(1)所有绝对值等于8的数的集合A
(2)所有绝对值小于8的整数的集合B
分析：由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在.
解：(1)A＝{绝对值等于8的数} 其元素为：－8，8
(2)B＝{绝对值小于8的整数}
其元素为：－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7
2.下列各组对象不能形成集合的是（ ）
A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数 D.函数y＝图象上所有的点
解：综观四个选择支，A、C、D的对象是确定的，惟有B中的对象不确定，故不能形成集合的是B.
3.下列条件能形成集合的是（ ）
A.充分小的负数全体 B.爱好飞机的一些人
C.某班本学期视力较差的同学 D.某校某班某一天所有课程
解：综观该题的四个选择支，A、B、C的对象不确定，惟有D某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是D.
4.集合A的元素由kx2－3x＋2＝0的解构成，其中k∈R，若A中的元素至多有一个，求k值的范围.
解：由题A中元素即方程kx2－3x＋2＝0(k∈R)的根
若k＝0，则x＝，知A中有一个元素，符合题设
若k≠0，则方程为一元二次方程.
当Δ＝9－8k＝0即k＝时，kx2－3x＋2＝0有两相等的实数根，此时A中有一个元素.又当9－8k＜0即k＞时,kx2－3x＋2＝0无解.
此时A中无任何元素，即A＝也符合条件
综上所述 k＝0或k≥
评述：解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况.
5.若x∈R，则{3，x，x2－2x}中的元素x应满足什么条件
解：集合元素的特征说明{3，x，x2－2x}中元素应满足关系式
即 也就是
即x≠－1，0，3满足条件.
6.方程 ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，则a＝_______，c＝_______.
解：方程ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，那么、是方程两根
即有 eq \b\lc\{(\a\al(＋＝－,·＝)) 得 那么 a＝－6，c＝－1
7.集合A的元素是由x＝a＋b（a∈Z,b∈Z）组成，判断下列元素x与集合A之间的关系：0，，.
解：因x＝a＋b，a∈Z ,b∈Z
则当a＝b＝0时，x＝0
又＝＋1＝1＋
当a＝b＝1时，x＝1＋
又＝＋
当a＝，b＝1时，a＋b＝＋
而此时Z，故有：A，
故0∈A，∈A，A.
8.小于或等于x的最大整数与不小于x的最小整数之和是15，则x∈____________.
解：若x是整数，则有x＋x＝15，x＝与x是整数相矛盾，若x不是整数，则x必在两个连续整数之间
设n＜x＜n＋1
则有n＋（n＋1）＝15，2n＝14，n＝7 即7＜x＜8 ∴x∈（7，8）
(二)1.预习内容：课本P5～P6
2.预习提纲：
(1)集合的表示方法有几种 怎样表示？试举例说明.
(2)集合如何分类？依据是什么
集 合 (一)
1.用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：
(1)所有绝对值等于8的数的集合A (2)所有绝对值小于8的整数的集合B
2.下列各组对象不能形成集合的是（ ）
A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数 D.函数y＝图象上所有的点
3.下列条件能形成集合的是（ ）
A.充分小的负数全体 B.爱好飞机的一些人
C.某班本学期视力较差的同学 D.某校某班某一天所有课程
4.集合A的元素由kx2－3x＋2＝0的解构成，其中k∈R，若A中的元素至多有一个，求k值的范围.
5.若x∈R，则{3，x，x2－2x}中的元素x应满足什么条件
6.方程 ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，则a＝_______，c＝_______.
7.集合A的元素是由x＝a＋b（a∈Z,b∈Z）组成，判断下列元素x与集合A之间的关系：0，，.
- 7 -第二课时 集合(二)
教学目标：
使学生了解有限集、无限集概念，掌握表示集合方法，了解空集的概念及其特殊性；通过本节教学，培养学生逻辑思维能力；渗透抽象、概括的思想.
教学重点：
集合的表示方法，空集.
教学难点：
正确表示一些简单集合.
教学方法：
自学辅导法
在学生自学基础上，进行概括、总结.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
集合元素的特征有哪些 怎样理解 试举例说明.
集合与元素关系是什么 如何表示
Ⅱ.讲授新课
1.集合的表示方法
通过学习提纲，师生共同归纳集合表示方法，常用表示方法有：
（1）列举法：把集合中元素一一列举出来的方法.
（2）描述法：用确定条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
［师］由方程x2－1＝0的所有解组成的集合可以表示为{－1，1}，不等式x－3＞2的解集可以表示为{x｜x－3＞2}.
下面请同学们思考：
幻灯片(A)：
请用列举法表示下列集合
(1)小于5的正奇数
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数
(3)方程x2－9＝0的解的集合
(4){15以内的质数}
(5){x｜∈Z , x∈Z}
［生］(1)满足题条件小于5的正奇数有1，3.故用列举法表示为{1，3}
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6，9，12.故用列举法表示为{6，9，12}
(3)方程x2－9＝0的解为－3，3.故用列举法表示为{－3，3}
(4)15以内的质数 2，3，5，7，11，13.故该集合用列举法表示为{2，3，5，7，11，13}
(5)满足∈Z的x有：3－x＝±1，±2，±3，±6，解之x＝2，4，1，5，0，6，－3，9.故用列举法表示为{2，4，1，5，0，6，－3，9}
［师］通过我们对上述题目求解，可以看到问题求解的关键应是什么
［生］依题找出集合中的所有元素是问题解决的关键所在.
［师］用列举法表示集合时，要注意元素不重不漏，不计次序地用“，”隔开并放在大括号内.
除了刚才练习题目中涉及到的问题外，还有如下问题，注意比较各问题的形式，试用描述法表示下列集合.
(6)到定点距离等于定长的点
让学生充分考虑，相互研讨后师给出结果
{（x，y）|（x－a）2＋（y－b）2＝r2}
(7)方程组的解集为｛（x，y）|｝
(8)由适合x2－x－2＞0的所有解组成集合
{x｜x2－x－2＞0}
下面给出问题，经学生考虑后回答：
幻灯片（B）：
用描述法分别表示：
(1)抛物线x2＝y上的点.
(2)抛物线x2＝y上点的横坐标.
(3)抛物线x2＝y上点的纵坐标.
(4)数轴上离开原点的距离大于6的点的集合.
(5)平面直角坐标系中第Ⅰ、Ⅲ象限点的集合.
［生］(1)集合中的元素是点.它是坐标平面内的点，其坐标是一个有序实数.对，可表示为{（x，y）｜x2＝y}
(2)集合中的元素是实数.该实数是平面上点的横坐标，用描述法表示即为{x｜x2＝y}.
(3)集合中的元素是实数.该实数是符合条件的平面上点的纵坐标.用描述法表示即为 {y｜x2＝y}.
(4)该集合中元素是点.而数轴上的点可以用其坐标表示，其坐标是一个实数，所以可以表示成{x∈R||x|＞6}.
(5)平面直角坐标系中点是该集合元素.该点可以用一对有序实数对表示，用描述法即可表示为{（x，y）｜xy＞0}.
［师］同学们通过对上述问题的解答，解决该类问题的关键是什么
［生］(经讨论后得出结论)
解决该类问题关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素.
［师］集合中元素的公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但必须抓住其实质.
［师］再看几例
1.用列举法表示1到100连续自然数的平方；
2.{x}，{x，y}，{（x，y）}的含义是否相同.
［生］{x}表示单元素集合；{x，y}表示两个元素集合；{（x，y）}表示含一点集合.
而对于1题经教师指导给出结论，该集合列举法表示为{1，4，9，25，…，1002}.
3. {x｜y＝x2＋1}，{y｜y＝x2＋1}，{（x，y）｜y＝x2＋1}，的含义是否相同.
(3)集合相等
两个集合相等、应满足如下关系：
A＝{2，3，4，5}，B＝{5，4，3，2}，即有集合A的元素都是集合B的元素，集合B的元素都是集合A的元素.
幻灯片：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素.我们就说集合A等于集合B.记作A＝B.
用式子表示：如果AB，同时BA，那么A＝B.
如：{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；
{2，3，4}与{3，4，2}相等；
{2，3}与{3，2}相等.
［师］请同学互相举例并判断是否相等.
稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨.
如：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}.
2.集合的分类
师指出：
（1）有限集——含有有限个元素的集合.
（2）无限集——含有无限个元素的集合.
那么投影(A)中的集合和（B）中的集合是有限集还是无限集，经重新投影后，学生作答.
［生］幻灯片（A）中的五个集合都是有限集；幻灯片（B）中的五个集合都是无限集.
3.空集
［师］表示空集，既不含任何元素的集合.
例如：{x｜x2＋2＝0}，{x｜x2＋1＜0}
请学生相互举例、验证，师补充说明：
4.［师］集合的表示除了列举法和描述法外，还有恩韦图(文氏图)叙述如下：
画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合.如图：
表示任意一个集合A
边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.
Ⅲ.课堂练习
1.解：(1)满足题意的集合可用描述法表示
{x∈N｜x＞10}；它是一个无限集.
(2)满足题意的集合可用列举法表示如下：
{2，3，6}；它是一个有限集.
(3)满足题意的集合可用列举法表示如下：
{－2，2}；它是一个有限集.
(4)满足题意的集合可用列举法表示如下：
{2，3，5，7}；它是一个有限集.
2.解：(1)该集合可用描述法表示如下：
{x｜x是4与6的公倍数}；它是一个无限集.
(2)该集合可用描述法表示如下：
{x｜x＝2n，n∈N*}；它是一个无限集.
(3)该集合可用描述法表示如下：
{x｜x2－2＝0}；它是一个有限集.
(4)不等式4x－6＜5的解集可用描述法表示如下：
{x｜x＜}；它是一个无限集.
问题的解决主要靠判断集合中元素的多少，进而确定表示方法.
3.判断正误：
（1）x＝－1，0，1时，y＝x2＋1的值的集合是｛2，1，2｝
（2）方程组的解集是｛1，－1｝
（3）方程x2＋2x－3＝0的解集是
{x｜1，－3}，{x｜x＝1，x＝－3}，{ 1或－3}，｛（1，－3）｝，｛1｝或｛－3｝
4.方程组的解集用列举法表示为_____________；用描述法表示为_______.
解：因的解集为方程组的解.
解该方程组x＝，y＝－
则用列举法表示为{（，－）}；用描述法表示为｛（x，y）|}
5.{(x，y)｜x＋y＝6，x，y∈N}用列举法表示为__________.
解：因x＋y＝6，x，y∈N的解有：
故列举法表示该集合，就是{(0，6),(1，5),(2，4),(3，3),(4，2),(5，1),(6，0)}
Ⅳ.课时小结
1.通过学习，弄清表示集合的方法有几种，并能灵活运用，一个集合并不是只要是有限集就用列举法表示，只要是无限集就用描述法表示，在某种情况下，两种方法都可以.
2.注意在解决问题时所起作用，这一小节仅仅是认识，具体性质在下一节将研究.
Ⅴ.课后作业
（一）1.用列举法表示下列集合：
(1)x2－4的一次因式组成的集合. (2){y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}.
(3)方程x2＋6x＋9＝0的解集. (4){20以内的质数}.
(5){（x，y）｜x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z}. (6){大于0小于3的整数}.
(7){x∈R｜x2＋5x－14＝0}.
(8){（x，y）}｜x∈N，且1≤x＜4，y－2x＝0}.
(9){（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}.
分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内.
解：(1)因x2－4＝（x－2）（x＋2），故符合题意的集合为{x－2，x＋2}.
(2)y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，即y≤4，又y∈N，∴y＝0，1，2，3，4.
故{y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}＝{0，1，2，3，4}.
(3)由x2＋6x＋9＝0得 x1＝x2＝－3 ∴方程x2＋6x＋9＝0的解集为{－3}.
(4){20以内的质数}＝{2，3，5，7，11，13，17，19}.
(5)因x∈Z , y∈Z ，则x＝－1，0，1时，y＝0，1，－1.
那么{(x，y)｜x2＋y2＝1，x∈Z ,y∈Z}＝{（－1，0），（0，1），（0，－1），（1，0）}.
(6){大于0小于3的整数}＝{1，2}.
(7)因x2＋5x－14＝0的解为x1＝－7，x2＝2，则{x∈R｜x2＋5x－14＝0}＝{－7，2}.
(8)当x∈N且1≤x＜4时，x＝1，2，3，此时y＝2x，即y＝2，4，6.
那么{（x，y）｜x∈N且1≤x＜4，y－2x＝0}＝{（1，2），（2，4），（3，6）}.
(9){（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}＝{（0，6）（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}.
2.用描述法表示下列集合：
(1)方程2x＋y＝5的解集. (2)小于10的所有非负整数的集合.
(3)方程ax＋by＝0（ab≠0）的解. (4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.
(6)方程组的解的集合. (7){1，3，5，7，…}.
(8)x轴上所有点的集合. (9)非负偶数.
(10)能被3整除的整数.
分析：用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素，公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但要抓住其实质.
解：(1){（x，y）｜2x＋y＝5}.
(2)小于10的所有非负整数的集合用描述法表示为{x｜0≤x＜10，x∈Z}.
(3)方程ax＋by＝0（ab≠0）的解用描述法表示为{（x，y）｜ax＋by＝0（ab≠0）}.
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合用描述法表示为{x｜x＞3}.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合用描述法表示为{（x，y）｜xy＜0}.
(6)方程组的解的集合用描述法表示为{（x，y）｜}.
(7){1，3，5，7，…}用描述法表示为{x｜x＝2k－1，k∈N*}.
(8)x轴上所有点的集合用描述法表示为{（x，y）｜x∈R，y＝0}.
(9)非负偶数用描述法表示为{x｜x＝2k，k∈N}.
(10)能被3整除的整数用描述法表示为{x｜x＝3k，k∈Z}.
3.已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，求B.
解：∵y∈A ∴y＝－2，－1，0，1
此时｜y｜＝0，1，2，则有B＝{0，1，2}.
4.将方程组的解集用列举法、描述法分别表示.
解：因的解为（3，－7）
则用描述法表示该集合：{（x，y）｜}；
用列举法表示该集合：{（3，－7）}.
5.设集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}，又有a∈A，b∈B，判断元素a＋b与集合A、B和C的关系.
解：因A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，则集合A由偶数构成，集合B由奇数构成.
即a是偶数，b是奇数 设a＝2m，b＝2n＋1（m∈Z ,n∈Z）
则a＋b＝2（m＋n）＋1是奇数，那么a＋bA，a＋b∈B
又C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}是由部分奇数构成且x＝4k＋1＝2·2k＋1
故m＋n是偶数时，a＋b∈C；m＋n不是偶数时，a＋bC.
综上a＋bA，a＋b∈B，a＋bC.
（二）预习内容：1.预习课本P8～P9 子集，子集的概念及空集的性质.
2.预习提纲：
(1)两个集合A、B具有什么条件，就能说明一个集合是另一个集合的子集？
(2)一个集合A是另一个集合B的真子集，则其应满足条件是什么
(3)空集有哪些性质
集 合 (二)
1.用列举法表示下列集合：
(1)x2－4的一次因式组成的集合.
(2){y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}.
(3)方程x2＋6x＋9＝0的解集.
(4){20以内的质数}.
(5){（x，y）｜x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z}.
(6){大于0小于3的整数}.
(7){x∈R｜x2＋5x－14＝0}.
(8){（x，y）}｜x∈N，且1≤x＜4，y－2x＝0}.
(9){（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}.
2.用描述法表示下列集合：
(1)方程2x＋y＝5的解集.
(2)小于10的所有非负整数的集合.
(3)方程ax＋by＝0（ab≠0）的解.
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.
(6)方程组的解的集合.
(7){1，3，5，7，…}.
(8)x轴上所有点的集合.
(9)非负偶数.
(10)能被3整除的整数.
3.已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，求B.
4.将方程组的解集用列举法、描述法分别表示.
5.设集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}，又有a∈A，b∈B，判断元素a＋b与集合A、B和C的关系.
表示{3，9，27}
表示{4，6，10}
- 7 -2004－2005学年度第二学期单元测验（一）
高一年级数学
一、选择题：每小题5分，共40分。
1．下列各式中,值为的是 （ ）
A． B． C． D．
2．若是锐角，且满足，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
3．下列四个命题中的假命题是 （ ）
A．不存在无穷多个角和,使得
B．存在这样的角和,使得
C．对于任意角和,都有
D．不存在这样的角和,使得
4．如果，，那么的值为 （ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的值等于 （ ）
A． ． ． ．
7．把中的换成，换成后，可化简为 （ ）
A． B．
C． D．
8．函数的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：每小题5分，共20分。
9．已知，且是第三象限角,则
的值等于 ．
10．若锐角,满足，则 ．
11．计算，其值为 ．
12．已知函数，那么的值等于 ．
三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
13．求证:．
14．已知，，求的值.
15．已知，且，试用表示的值.
16．已知和是关于的方程的两个根，
求的值.
PAGE
- 1 -{3.3-1两直线的交点坐标
三维目标
知识与技能：1。直线和直线的交点
2．二元一次方程组的解
过程和方法：1。学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。
2．掌握数形结合的学习法。
3．组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的
直线系方程。
情态和价值：1。通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内
的联系。
2．能够用辩证的观点看问题。
教学重点，难点
重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。
难点：两直线相交与二元一次方程的关系。
教学方法：启发引导式
在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。
教具：用POWERPOINT课件的辅助式教学
教学过程：
1． 情境设置，导入新课
用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。
课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？
2． 讲授新课
1． 分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系
已知两直线 L1：A1x+B1y +C1=0,L2： A2x+B2y+C2=0
如何判断这两条直线的关系？
教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。
几何元素及关系 代数表示
点A A（a，b）
直线L L：Ax+By+C=0
点A在直线上
直线L1与 L2的交点A
课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？
学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？
（1） 若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。
（2） 若二元一次方程组无解，则L 1与 L2平行。
（3） 若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。
课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？
2． 例题讲解，规范表示，解决问题
例题1：求下列两直线交点坐标
L1 ：3x+4y-2=0
L1：2x+y +2=0
解：解方程组
得 x=-2，y=2
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2），如图3。3。1。
教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解。
同类练习：书本110页第1，2题。
例2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。
（1） L1：x-y=0，L2：3x+3y-10=0
（2） L1：3x-y=0，L2：6x-2y=0
（3） L1：3x+4y-5=0，L2：6x+8y-10=0
这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。
3． 启发拓展，灵活应用。
课堂设问一。当变化时，方程 3x+4y-2+（2x+y+2）=0表示何图形，图形
有何特点？求出图形的交点坐标。
（1） 可以一用信息技术，当 取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。
（2） 找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。
（3） 结论，方程表示经过这两条直线L1 与L2的交点的直线的集合。
例2 已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在第一象限及轴上.
分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.
解：解方程组若＞0，则＞1.当＞1时，－＜0，此时交点在第二象限内.
又因为为任意实数时，都有1＞0，故≠0
因为≠1（否则两直线平行，无交点） ，所以，交点不可能在轴上，得交点(－)
4． 小结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。
5． 练习及作业：
1． 光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程。
2． 求满足下列条件的直线方程。
经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直。
板书设计：略
数学教育网http:/// 主审戴刚锋3.2 古典概型（第四、五课时）
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=
（3）了解随机数的概念；
（4）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。
2、过程与方法：（1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.
二、重点与难点：1、正确理解掌握古典概型及其概率公式；2、正确理解随机数的概念，并能应用计算机产生随机数．
三、学法与教学用具：1、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；2、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．
四、教学设想：
1、创设情境：（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件。
（2）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。
师生共同探讨：根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？
2、基本概念：
（1）基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本P121~126；
（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=．
3、例题分析：
课本例题略
例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。
解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）
所以基本事件数n=6，
事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），
其包含的基本事件数m=3
所以，P（A）====0.5
小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点：
（1）所有的基本事件必须是互斥的；
（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。
例2 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则
A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==
例3 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512．
（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467．
解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．
小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．
例4 利用计算器产生10个1~100之间的取整数值的随机数。
解：具体操作如下：
键入
反复操作10次即可得之
小结：利用计算器产生随机数，可以做随机模拟试验，在日常生活中，有着广泛的应用。
例5 某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少？
分析：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%。
解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以生产0到9之间的取整数值的随机数。
我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%。因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组。
例如：产生20组随机数：
812，932，569，683，271，989，730，537，925，
907，113，966，191，431，257，393，027，556．
这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为=25%。
小结：（1）利用计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决非古典概型的概率的求解问题。
（2）对于上述试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间。
（3）随机函数RANDBETWEEN（a,b）产生从整数a到整数b的取整数值的随机数。
例6 你还知道哪些产生随机数的函数？请列举出来。
解：（1）每次按SHIFT RNA# 键都会产生一个0~1之间的随机数，而且出现0~1内任何一个数的可能性是相同的。
（2）还可以使用计算机软件来产生随机数，如Scilab中产生随机数的方法。Scilab中用rand（）函数来产生0~1之间的随机数，每周用一次rand（）函数，就产生一个随机数，如果要产生a~b之间的随机数，可以使用变换rand（）*（b－a）+a得到．
4、课堂小结：本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：
（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
（3）随机数量具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中。
5、自我评价与课堂练习：
1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是
A． B． C． D．
3．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是 。
4．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率。
5．利用计算器生产10个1到20之间的取整数值的随机数。
6．用0表示反面朝上，1表正面朝上，请用计算器做模拟掷硬币试验。
6、评价标准：
1．B[提示：在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为，因此选B.]
2．C[提示：（方法1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁订（记为事件A）包含8个基本事件，所以，所求概率为P（A）==.（方法2）本题还可以用对立事件的概率公式求解，因为从盒中任取一个铁钉，取到合格品（记为事件A）与取到不合格品（记为事件B）恰为对立事件，因此，P（A）=1－P（B）=1－=.]
3．[提示；记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2）（红1，白3），（红2，白3），共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率P（A），然后利用P（A）1－P（A）求解]。
4.解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的一个结果，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6=36种，在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）5种，所以，所求事件的概率为.
5．解：具体操作如下
键入
反复按 键10次即可得到。
6．解：具体操作如下：
键入
7、作业：根据情况安排
PRB
RAND RANDI
STAT DEC
ENTER
RANDI（1，100）
STAT DEG
ENTER
RAND （1,100）
3．
STAT DEC
PANDI（0,1）
0
STAT DEG
ENTER
PANDI（0,1）
STAT DEG
ENTER
PAND RANDI
STAT DEG
PRB
ENTER
PANDI（1,20）
3．
STAT DEG
ENTER
PANDI（1,20）
STAT DEG
ENTER
PAND RANDI
STAT DEG
PRB
PAGE
12第一课时 不等关系
复习目标：
了解二元一次不等式（组）表示平面区域。
典型例题：
1． 某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤9吨，电力4kw，劳力（按工作日计算）3个；制造乙产品1kg要用煤4吨，电力5kw，劳力10个，又知制成甲产品lkg可获利7万元，制成乙产品lkg可获利12万元，现在此工厂只有煤360吨，电力200kw，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益？
解：设此工厂应生产甲、乙两种产品xkg、ykg，则依题意可得约束条件：
2．某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌6个。现有两种规格原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个。求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？
解：设用甲种规格的原料x张，乙种规格的原料y张，则可做文字标牌x＋2y个，绘画标
牌2x＋y个。由题意得：
所用原料总面积为z＝3x＋2y
3．某工厂加工零件，要在长度为400cm的圆钢上截取长度为67cm和51cm的甲、乙两种规格的圆钢，问怎样截取才能使圆钢的余料最少？
解：设截取甲规格的圆钢为x根、截取乙规格圆钢为y根，由此得不等式组：
1． 第一课时 不等关系
2． 某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤9吨，电力4kw，劳力（按工作日计算）3个；制造乙产品1kg要用煤4吨，电力5kw，劳力10个，又知制成甲产品lkg可获利7万元，制成乙产品lkg可获利12万元，现在此工厂只有煤360吨，电力200kw，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益？
2．某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌6个。现有两种规格原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个。求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？
3．某工厂加工零件，要在长度为400cm的圆钢上截取长度为67cm和51cm的甲、乙两种规格的圆钢，问怎样截取才能使圆钢的余料最少？1.2.3 三角函数的诱导公式（1）
一、课题：三角函数的诱导公式（1）
二、教学目标：1.理解正弦、余弦的诱导公式二、三的推导过程；
2.掌握公式二、三，并会正确运用公式进行有关计算、化简；
3.了解、领会把为知问题化归为已知问题的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力。
三、教学重、难点：1．诱导公式二、三的推导、记忆及符号的判断；
2．应用诱导公式二、三的推导。
四、教学过程：
（一）复习：
1．利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值；
2．诱导公式一及其用途：
．
问：由公式一把任意角转化为内的角后，如何进一步求出它的三角函数值？
我们对范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把内的角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想。
（二）新课讲解：
1．引入：对于任何一个内的角，以下四种情况有且只有一种成立（其中为锐角）：
所以，我们只需研究的同名三角函数的关系即研究了的关系了。
2．诱导公式二：
提问：（1）锐角的终边与的终边位置关系如何？
（2）写出的终边与的终边与单位圆交点的坐标。
（3）任意角与呢？
通过图演示，可以得到：任意与的终边都是关于原点中心对称的。
则有，由正弦函数、余弦函数的定义可知：
， ；
， ．
从而，我们得到诱导公式二： ；．
说明：①公式二中的指任意角；
②若是弧度制，即有，；
③公式特点：函数名不变，符号看象限；
④可以导出正切：．
（此公式要使等式两边同时有意义）
3．诱导公式三：
提问：（1）的终边与的终边位置关系如何？从而得出应先研究；
（2）任何角与的终边位置关系如何？
对照诱导公式二的推导过程，由学生自己完成诱导公式三的推导，
即得：诱导公式三：；．
说明：①公式二中的指任意角；
②在角度制和弧度制下，公式都成立；
③公式特点：函数名不变，符号看象限（交代清楚在什么情况下“名不变”，以及符号确定的具体方法）；
④可以导出正切：．
4．例题分析：
例1 求下列三角函数值：（1）； （2）．
分析：先将不是范围内角的三角函数，转化为范围内的角的三角函
数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内角
的三角函数的值。
解：（1）（诱导公式一）
（诱导公式二）
．
（2）（诱导公式三）
（诱导公式一）
（诱导公式二）
．
方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化为内的三角函数；
③化为锐角的三角函数。
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。
例2 化简．
解：原式
．
五、课堂练习：
六、小结：1．简述数学的化归思想；
2．两个诱导公式的推导和记忆；
3．公式二可以将范围内的角的三角函数转化为锐角的三角函数；
4．公式三可以将负角的三角函数转化为正角的三角函数。
七、作业：
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- 2 -第26课时 对数函数（三）
教学目标：
使学生掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法，掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法，培养学生的数学应用意识；认识事物之间的内在联系及相互转化，用联系的观点分析问题、解决问题.
教学重点：
函数单调性、奇偶性证明通法.
教学难点：
对数运算性质、对数函数性质的应用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节课后，我要求大家预习函数单调性，奇偶性的证明方法，现在，我们进行一下回顾.
1.判断及证明函数单调性的基本步骤：
假设——作差——变形——判断
说明：变形目的是为了易于判断；判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断.
2.判断及证明函数奇偶性的基本步骤：
①考查函数定义域是否关于原点对称；②比较f(－x)与f(x)或者－f(x)的关系；③根据函数奇偶性定义得出结论.
说明：考查函数定义域容易被学生忽视，应强调学生注意.
［师］接下来，我们一起来看例题
Ⅱ.讲授新课
［例1］判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝lg (2)f(x)＝ln(－x)
分析：首先要注意定义域的考查，然后严格按照奇偶性证明基本步骤进行.
解：（1）由＞0可得－1＜x＜1
所以函数的定义域为：（－1，1）关于原点对称
又f(－x)＝lg＝lg（）－1＝－lg＝－f(x)
即f(－x)＝－f(x)
所以函数f(x)＝lg是奇函数
评述：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质，说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.
解：（2）由－x＞0可得x∈R
所以函数的定义域为R关于原点对称
又f(－x)＝ln(＋x)＝ln eq \f((+x) (－x),－x)
＝ln eq \f(1,－x) ＝－ln(－x)＝－f(x)
即f(－x)＝－f(x)
所以函数f(x)＝ln(－x)是奇函数
评述：此题定义域的确定可能稍有困难，可以讲解此点，而函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，应要求学生掌握.
[例2]（1）证明函数f(x)＝log2(x2＋1)在（0，+∞）上是增函数
（2）问：函数f(x)＝log2(x2＋1)在（－∞，0）上是减函数还是增函数？
分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.
（1）证明：设x1,x2∈(0,+∞)，且x1＜x2
则f(x1)－f(x2)＝log2(x12+1)－log2(x22+1)
∵0＜x1＜x2 ∴x12+1＜x22+1
又∵y＝log2x在（0，+∞）上是增函数.
∴log2(x12+1）＜log2(x22+1) 即f(x1)＜f(x2)
∴函数f(x)＝log2(x2+1)在（0，+∞）上是增函数.
（2）是减函数，证明可以仿照上述证明过程.
评述：此题可引导学生总结函数f(x)＝log2(x2+1)的增减性与函数y＝x2+1的增减性的关系，并可在课堂练习之后得出一般性的结论.
[例3]求函数y＝log（x2－2x－3）的单调区间.
解：定义域x2－2x－3＞0 解得x＞3或x＜－1
单调减区间是（3，＋∞）
[例4] 已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围.
解：∵a＞0且a≠1 ∴函数t＝2－ax是减函数
由y＝loga(2－ax)在[0，1]上x的减函数，知y＝logat是增函数，∴a＞1
由x＝1时，2－ax＝2－a＞0，得a＜2
∴1＜a＜2
Ⅲ.课堂练习
（1）证明函数y＝log (x2+1)在（0，+∞）上是减函数；
（2）判断函数y＝log (x2+1)在（－∞,0）上的增减性.
证明：（1）设0＜x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝log (x12+1)－log (x22+1)＝log
∵0＜x1＜x2，∴0＜x12＜x22， ∴＜
而logx是减函数 ∴log＞log＝log1＝0
∴f(x1)－f(x2)＞0 即f(x1)＞f(x2)
∴函数y＝ log (x2+1)在（0，+∞）上是减函数
（2）设x1＜x2＜0，则f(x1)－f(x2)＝ log (x12+1)－log (x22+1)
∵x1＜x2＜0，∴x12＞x22＞0
而函数y＝ logx在（0，+∞）上是减函数.
∴log (x12+1）＜log (x22+1) 即f(x1)＜f(x2)
∴y＝ log (x2+1)在（－∞，0）上是增函数.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家能进一步熟悉对数函数的性质应用，并掌握证明函数单调性，奇偶性的通法，提高数学应用的能力.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P70 4，5，8
（二）补充
1.求y＝log0.3(x2－2x)的单调递减区间.
解：先求定义域：由x2－2x＞0,得x(x－2)＞0
∴x＜0或x＞2 ∵函数y＝log0.3t是减函数
故所求单调减区间即t＝x2－2x在定义域内的增区间.
又t＝x2－2x的对称轴为x＝1
∴所求单调递减区间为（2，+∞）
2.求函数y＝log2(x2－4x)的单调递增区间
解：先求定义域：由x2－4x＞0得x(x－4)＞0
∴x＜0或x＞4 又函数y＝log2t是增函数
故所求单调递增区间为t＝x2－4x在定义域内的单调递增区间.
∵t＝x2－4x的对称轴为x＝2
∴所求单调递增区间为：（4，+∞）
3. 已知y＝loga (2－ax)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.
解：∵a＞0且a≠1 当a＞1时，函数t＝2－ax >0是减函数
由y＝loga (2－ax)在［0，1］上是x的减函数，知y＝loga t是增函数，
∴a＞1 由x∈［0，1］时，2－ax ≥2－a＞0，得a＜2, ∴1＜a＜2
当00是增函数
由y＝loga (2－ax)在［0，1］上x的减函数，知y＝loga t是减函数，
∴0综上述，0- 3 -2.1.1 简单随机抽样
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤；
2、过程与方法：
（1）能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题；
（2）在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。
3、情感态度与价值观：通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系，认识数学的重要性。
4、重点与难点：正确理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法及随机数法的步骤，并能灵活应用相关知识从总体中抽取样本。
教学设想：
假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验，你准备怎样做？
显然，你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本。（为什么？）那么，应当怎样获取样本呢？
【探究新知】
一、简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。
【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：
（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的。
（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N。
（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。
（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。
（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/N。
思考？
下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？
（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。
（2）箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子。
二、抽签法和随机数法
1、抽签法的定义。
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
【说明】抽签法的一般步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）连续抽签获取样本号码。
思考？
你认为抽签法有什么优点和缺点：当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？
2、随机数法的定义：
利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法，这里仅介绍随机数表法。
怎样利用随机数表产生样本呢？下面通过例子来说明，假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。
第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，001，…，799。
第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第7列的数7（为了便于说明，下面摘取了附表1的第6行至第10行）。
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62
87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
第三步，从选定的数7开始向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下等），得到一个三位数785，由于785＜799，说明号码785在总体内，将它取出；继续向右读，得到916，由于916＞799，将它去掉，按照这种方法继续向右读，又取出567，199，507，…，依次下去，直到样本的60个号码全部取出，这样我们就得到一个容量为60的样本。
【说明】随机数表法的步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）在随机数表中选择开始数字。
（3）读数获取样本号码。
【例题精析】
例1：人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方法是否是简单随机抽样？
[分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张起牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样。
例2：某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
[分析] 简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法。
解法1：（抽签法）将100件轴编号为1，2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这个10个号签对应的轴的直径。
解法2：（随机数表法）将100件轴编号为00，01，…99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10件即为所要抽取的样本。
【课堂练习】P
【课堂小结】
1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法。
2、抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型。
3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为n/N，但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况区分开业，避免在解题中出现错误。
【评价设计】
1、为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是
A．总体是240 B、个体是每一个学生
C、样本是40名学生 D、样本容量是40
2、为了正确所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是 （ ）
A、总体 B、个体是每一个学生
C、总体的一个样本 D、样本容量
3、一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是 。
4、从3名男生、2名女生中随机抽取2人，检查数学成绩，则抽到的均为女生的可能性是 。第一章 立体几何初步
第一课时 棱柱、棱锥和棱台
教学目标：
使学生掌握集合的概念和性质，集合的元素特征，有关数的集合；培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力；培养学生认识事物的能力，引导学生爱班、爱校、爱国.
教学重点：
集合的概念，集合元素的三个特征.
教学难点：
集合元素的三个特征，数集与数集关系.
教学方法：
尝试指导法
学生依集合概念的要求、集合元素的特征，在教师指导下，能自己举出符合要求的实例，加深对概念的理解、特征的掌握.
教学过程：
观察下面的几何体，它们有什么共同特点？
它们分别由一平面多边形按一定的方向平移而得
- 1 -第8课时 函数的单调性（一）
教学目标：
使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.
教学重点：
函数单调性的概念
教学难点：
函数单调性的判断和证明.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，讨论了函数的定义域、值域的求法.今天我们再进一步来研究一下函数的性质(板书课题).
Ⅱ.讲授新课
［师］在初中我们已经学习了函数图象的画法，为了研究函数的性质，按照取值、列表、描点、作图等步骤分别画出y＝x2和y＝x3的图象如图.
我们先着重来观察一下y＝x2的图象，图象在y轴右侧的部分是上升的，也就是说在y轴右侧越往右，图象上的点越高，这说明什么问题呢
［生］随着x的增加，y的值在增加
［师］怎样用数学语言来表示呢
［生］设x1、x2∈[0，＋∞)得y1＝f（x1），y2＝f（x2）
当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）
(学生经过预习可能答得很准确，但为什么也许还囫囵吞枣；或许答得不一定完整，或许怎样用数学语言来表示还感到困惑，教师应抓住时机予以启发)
［师］好，××同学的回答很好，设x1、x2∈[0，＋∞)，体现了在y轴右侧，按照函数关系式得到了y1＝f（x1），y2＝f（x2），即有了两个点(x1，y1)、（x2，y2）而当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），则体现了越往右图象上的点越高，即体现了图象是上升的，这时我们说y＝x2在[0，＋∞)上是增函数.
下面大家来看图象在y轴左侧的部分情形是怎样的
[生甲]图象在y轴的左侧也是上升的(或许生甲是别出心裁).
［师］何以见得
[生甲]越往左，图象上的点越高.
［师］生甲所谈对不对呢
［生］对(部分同学这样说，还有部分同学不吭气，感到和预习时的情况不一样，但又不清楚究竟该怎样，有无所适从之感).
［师］生甲同学所述是完全有道理的!不过请同学们注意：他观察的视线是从右向左看的，为了与在y轴右侧部分观察的视线方向一致.我们对y轴的左侧部分也从左向右看，图象的情形是怎样的呢
[生甲]从左向右看，图象是下降的，也就是在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低.
［师］我们研究任何问题都要遵循一定的程序，都要在一定的条件下，否则将一塌糊涂，搞不出任何名堂.
(或者在研究y轴右侧部分、研究y轴左侧部分图象的变化趋势时，就直载了当地指出随着x的增加，图象的变化趋势是怎样的，这样给学生指定观察方向，会减少不应有的麻烦)
那么同学们考虑一下，在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低，说明什么问题呢 怎样用数学语言表示呢
［生］在y轴右侧，越往右图象上的点越低，说明随着x的增加，y的值在减小，用数学语言表示是：
设x1、x2∈（－∞，0）得y1＝f（x1），y2＝f（x2）
当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）
［师］好，这时我们说y＝x2在（－∞，0）上是减函数.
一般地，设函数f（x）的定义域为Ⅰ：
如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是增函数.(打出幻灯片§2.3.1　C)
如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
如果函数y＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.
②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.
③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：
a.设x1、x2∈给定区间，且x1＜x2
b.计算f（x1）－f（x2）至最简
b.判断上述差的符号
d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)
Ⅲ.例题分析
［例1］(课本P34例1，与学生一块看，一起分析作答)
［师］要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明.下面举例说明
［例2］证明函数f（x）＝3x＋2在R上是增函数.
证明：设任意x1、x2∈R，且x1＜x2
则f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（3x2＋2）＝3（x1－x2）
由x1＜x2得x1－x2＜0
∴f（x1）－f（x2)＜0 即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）＝3x＋2在R上是增函数
［例3］证明函数f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数.
证明：设任意x1、x2∈（0，＋∞）且x1＜x2
则f（x1）－f（x2）＝－＝
由x1，x2∈（0，＋∞）得x1x2＞0
又x1＜x2 得x2－x1＞0
∴f（x1）－f（x2）＞0 即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数
注意：通过观察图象、对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法.证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.
Ⅳ.课堂练习
课本P37练习1，2，5，6，7
Ⅴ.课时小结
本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明.
Ⅵ.课后作业
课本P43习题 1~4
- 1 -第五课时 解三角形应用举例（一）
教学目标：
会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等，通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.
教学重点：
1.实际问题向数学问题的转化；
2.解斜三角形的方法.
教学难点：
实际问题向数学问题转化思路的确定.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.
下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用.
Ⅱ.讲授新课
［例1］自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1．95 m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1．40 m，计算BC的长（保留三个有效数字）.
分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在△ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件，AC＝1．40 m，AB＝1．95 m，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′.相当于已知△ABC的两边和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理.
解：由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA
＝1．952＋1．402－2×1．95×1．40×cos66°20′＝3．571
∴BC≈1．89　（m）
答：油泵顶杆BC约长1．89 m.
评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.
［例2］某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mile／h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile／h的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进 并求出靠近渔船所用的时间.
分析：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为x h，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的∠1，∠2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用x表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题.
解：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为x h，则AB＝21x n mile，BC＝9x n mile，AC＝10 n mile，∠ACB＝∠1＋∠2＝45°＋（180°－105°）＝120°
根据余弦定理，可得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°得
（21x）2＝102＋（9x）2－2×10×9xcos120°，
即36x2－9x2×10＝0
解得x1＝，x2＝－（舍去）
∴AB＝21x＝14，BC＝9x＝6
再由余弦定理可得：cosBAC＝＝＝0．9286，
∴∠BAC＝21°47′，45°＋21°47′＝66°47′.
而舰艇方位角为66°47′，小时即40分钟.
答：舰艇应以66°47′的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟.
评述：解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，其范围是（0°，360°）.
在利用余弦定理建立方程求出x后，所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问题，故仍然利用余弦定理.
从上述两个例题，大家可以看出，实际问题的解决关键在于转化为具体的解三角形问题，从而与我们已知的知识方法产生联系.在下面的例题分析中，我们继续加以体会.
［例3］如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（－1）海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船 并求出所需时间.
解：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，
则CD＝10t海里，BD＝10t海里.
∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA
＝（－1）2＋22－2（－1）·2cos120°＝6
∴BC＝
∵＝
∴sinABC＝＝＝
∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°
∵＝
∴sin∠BCD＝＝ eq \f(10t sin120°,10t) ＝，
∴∠BCD＝30°，∴∠DCE＝90°－30°＝60°
由∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，得∠D＝30°
∴BD＝BC，即10t＝
∴t＝（小时）≈15（分钟）
答：缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约15分钟.
［例4］用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.
分析：在Rt△EGA中求解EG，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC中有较多已知条件，故可在△EAC中考虑EA边长的求解，而在△EAC中有角β，∠EAC＝180°－α两角与BD＝a一边，故可以利用正弦定理求解EA.
解：在△ACE中，AC＝BD＝a，∠ACE＝β，∠AEC＝α－β，
根据正弦定理，得AE＝
在Rt△AEG中，EG＝AEsinα＝
∴EF＝EG＋b＝＋b，
答：气球的高度是＋b.
评述：此题也可以通过解两个直角三角形来解决，思路如下：设EG＝x，在Rt△EGA中，利用cotα表示AG；在Rt△EGC中，利用cotβ表示CG，而CG－AG＝CA＝BD＝a，故可以求出EG，又GF＝CD＝b，故EF高度可求.
［例5］如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.
分析：要求四边形OPDC面积的最大值，这首先需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点P在半圆上运动与∠POB大小变化之间的联系，自然引入∠POB＝θ作为自变量建立函数关系.四边形OPDC可以分成△OPC与等边△PDC，S△OPC可用·OP·OC·sinθ表示，而等边△PDC的面积关键在于边长求解，而边长PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决.
解：设∠POB＝θ，四边形面积为y，则在△POC中，由余弦定理得
PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ
∴y＝S△OPC＋S△PCD＝×1×2sinθ＋（5－4cosθ）
＝2sin（θ－）＋
∴当θ－＝即θ＝时，ymax＝2＋.
评述：本题中余弦定理为表示△PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性.
另外,在求三角函数最值时,涉及到两角和正弦公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ的构造及逆用，应要求学生予以重视.
Ⅲ.课堂练习
课本P20 练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力.
Ⅴ.课后作业
课本P21习题 1，2，3.
- 3 -第一章 算法案例 海口实验中学 刘志强
算法初步 复习课
（1）教学目标
（a）知识与技能
1.明确算法的含义，熟悉算法的三种基本结构：顺序、条件和循环，以及基本的算法语句。
2.能熟练运用辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、排序、进位制等典型的算法知识解决同类问题。
（b）过程与方法
在复习旧知识的过程中把知识系统化，通过模仿、操作、探索，经历设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中进一步理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
（c）情态与价值
算法内容反映了时代的特点，同时也是中国数学课程内容的新特色。中国古代数学以算法为主要特征，取得了举世公认的伟大成就。现代信息技术的发展使算法重新焕发了前所未有的生机和活力，算法进入中学数学课程，既反映了时代的要求，也是中国古代数学思想在一个新的层次上的复兴，也就成为了中国数学课程的一个新的特色。
（2）教学重难点
重点：算法的基本知识与算法对应的程序框图的设计
难点：与算法对应的程序框图的设计及算法程序的编写
（3）学法与教学用具
学法：利用实例让学生体会基本的算法思想，提高逻辑思维能力，对比信息技术课程中的程序语言的学习和程序设计，了解数学算法与信息技术上的区别。通过案例的运用，引导学生体会算法的核心是一般意义上的解决问题策略的具体化。面临一个问题时，在分析、思考后获得了解决它的基本思路（解题策略），将这种思路具体化、条理化，用适当的方式表达出来（画出程序框图，转化为程序语句）。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
（4）教学设想
一.本章的知识结构
二.知识梳理
(1)四种基本的程序框
(2)三种基本逻辑结构
顺序结构 条件结构 循环结构
(3)基本算法语句
（一）输入语句
单个变量
多个变量
（二）输出语句
（三）赋值语句
（四）条件语句
IF-THEN-ELSE格式
当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句1，否则执行ELSE后的语句2。其对应的程序框图为：（如上右图）
IF-THEN格式
计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。其对应的程序框图为：（如上右图）
（五）循环语句
（1）WHILE语句
其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。
当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。其对应的程序结构框图为：（如上右图）
（2）UNTIL语句
其对应的程序结构框图为：（如上右图）
(4)算法案例
案例1 辗转相除法与更相减损术
案例2 秦九韶算法
案例3 排序法：直接插入排序法与冒泡排序法
案例4 进位制
三.典型例题
例1 写一个算法程序,计算1+2+3+…+n的值(要求可以输入任意大于1的正自然数)
解：INPUT “n=”;n
i=1
sum=0
WHILE i<=n
sum=sum+i
i=i+1
WEND
PRINT sum
END
思考：在上述程序语句中我们使用了WHILE格式的循环语句，能不能使用UNTIL循环？
例2 设计一个程序框图对数字3,1,6,9,8进行排序(利用冒泡排序法)
思考：上述程序框图中哪些是顺序结构？哪些是条件结构？哪些是循环结构？
例3 把十进制数53转化为二进制数.
解：53＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20
＝110101（2）
例4 利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数与最小公倍数。
解：6497＝3869×1＋2628
3869＝2628×1＋1241
2628＝1241*2＋146
1241＝146×8＋73
146＝73×2＋0
所以3869与6497的最大公约数为73
最小公倍数为3869×6497/73＝344341
思考：上述计算方法能否设计为程序框图？
练习:P40 A(3) (4)
（5）评价设计
作业：P40 A（5）(6)
满足条件？
语句1
语句2
是
否
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF
满足条件？
语句
是
否
IF 条件 THEN
语句
END IF
满足条件？
循环体
是
否
WHILE 条件
循环体
WEND
满足条件？
循环体
是
否
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
INPUT “提示内容”；变量
INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，变量2，变量3，…
PRINT “提示内容”；表达式
变量=表达式
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433.1.4 两角和的正弦、余弦、正切
一、课题：两角和的正弦、余弦、正切
二、教学目标：1.了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，选用恰当的公式解决问题；
2.正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
三、教学重、难点：根据具体问题选择恰当的三角公式并进行有益的变形。
四、教学过程：
（一）复习：公式.
（二）新课讲解：
例1：已知，求的值。
方法：切化弦。
解：
．
【变题一】证明：；
【变题二】求的值。
例2：求证：．
证明：左边
右边．
例3：已知：，求证：．
证明：因为
即
∴ ，
即：．
例4：已知是偶函数，求的值．
解：∵是偶函数， ∴，
即，
由两角和与差公式展开并化简，得，
上式对恒成立的充要条件是
所以，．
五、课堂练习：
六、小结：1．求三角函数值时，要观察题中给出条件及所求结论的特征，特别是角的特征，寻找恰当的方法（切、割化弦；将式子化为一个角的一个三角函数式等），解决问题；
2．证明三角恒等式时，首先观察等式两边的角之间的关系，再选用恰当的公式加以证明。
七、作业：
补充：
1．求值：（1）的值；
（2）．
2．已知，，求∶；
3．在中，．
PAGE
- 1 -3.2 古典概型（第四、五课时）
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=
（3）了解随机数的概念；
（4）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。
2、过程与方法：（1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.
二、重点与难点：1、正确理解掌握古典概型及其概率公式；2、正确理解随机数的概念，并能应用计算机产生随机数．
三、学法与教学用具：1、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；2、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．
四、教学设想：
1、创设情境：（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件。
（2）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。
师生共同探讨：根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？
2、基本概念：
（1）基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本P121~126；
（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=．
3、例题分析：
课本例题略
例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。
解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）
所以基本事件数n=6，
事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），
其包含的基本事件数m=3
所以，P（A）====0.5
小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点：
（1）所有的基本事件必须是互斥的；
（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。
例2 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则
A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==
例3 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512．
（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467．
解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．
小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．
例4 利用计算器产生10个1~100之间的取整数值的随机数。
解：具体操作如下：
键入
反复操作10次即可得之
小结：利用计算器产生随机数，可以做随机模拟试验，在日常生活中，有着广泛的应用。
例5 某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少？
分析：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%。
解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以生产0到9之间的取整数值的随机数。
我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%。因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组。
例如：产生20组随机数：
812，932，569，683，271，989，730，537，925，
907，113，966，191，431，257，393，027，556．
这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为=25%。
小结：（1）利用计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决非古典概型的概率的求解问题。
（2）对于上述试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间。
（3）随机函数RANDBETWEEN（a,b）产生从整数a到整数b的取整数值的随机数。
例6 你还知道哪些产生随机数的函数？请列举出来。
解：（1）每次按SHIFT RNA# 键都会产生一个0~1之间的随机数，而且出现0~1内任何一个数的可能性是相同的。
（2）还可以使用计算机软件来产生随机数，如Scilab中产生随机数的方法。Scilab中用rand（）函数来产生0~1之间的随机数，每周用一次rand（）函数，就产生一个随机数，如果要产生a~b之间的随机数，可以使用变换rand（）*（b－a）+a得到．
4、课堂小结：本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：
（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
（3）随机数量具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中。
5、自我评价与课堂练习：
1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是
A． B． C． D．
3．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是 。
4．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率。
5．利用计算器生产10个1到20之间的取整数值的随机数。
6．用0表示反面朝上，1表正面朝上，请用计算器做模拟掷硬币试验。
6、评价标准：
1．B[提示：在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为，因此选B.]
2．C[提示：（方法1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁订（记为事件A）包含8个基本事件，所以，所求概率为P（A）==.（方法2）本题还可以用对立事件的概率公式求解，因为从盒中任取一个铁钉，取到合格品（记为事件A）与取到不合格品（记为事件B）恰为对立事件，因此，P（A）=1－P（B）=1－=.]
3．[提示；记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2）（红1，白3），（红2，白3），共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率P（A），然后利用P（A）1－P（A）求解]。
4.解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的一个结果，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6=36种，在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）5种，所以，所求事件的概率为.
5．解：具体操作如下
键入
反复按 键10次即可得到。
6．解：具体操作如下：
键入
7、作业：根据情况安排
PRB
RAND RANDI
STAT DEC
ENTER
RANDI（1，100）
STAT DEG
ENTER
RAND （1,100）
3．
STAT DEC
PANDI（0,1）
0
STAT DEG
ENTER
PANDI（0,1）
STAT DEG
ENTER
PAND RANDI
STAT DEG
PRB
ENTER
PANDI（1,20）
3．
STAT DEG
ENTER
PANDI（1,20）
STAT DEG
ENTER
PAND RANDI
STAT DEG
PRB
PAGE
12直线的倾斜角和斜率(3.1.1)
教学目标:
知识与技能
(1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．
(2) 理解直线的倾斜角的唯一性.
(3) 理解直线的斜率的存在性.
(4) 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
情感态度与价值观
(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
教学用具：计算机
教学方法：启发、引导、讨论.
教学过程：
（1） 直线的倾斜角的概念
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢
(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同
引入直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
问: 倾斜角α的取值范围是什么 0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
如图, 直线a∥b∥c, 那么它们
的倾斜角α相等吗 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α.
(二)直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如, α=45°时, k = tan45°= 1;
α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.
学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.
(三) 直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率
可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,
共同完成斜率公式的推导.(略)
斜率公式:
对于上面的斜率公式要注意下面四点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
(四)例题:
例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)
分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值;
而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角;
而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角;
而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.
略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;
直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;
直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.
例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.
分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.
略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有
1=(y－0)／(x－0)
所以 x = y
可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点
M(1,1), 可作直线a.
同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)
(五)练习: P91 1. 2. 3. 4.
(六)小结:
(1)直线的倾斜角和斜率的概念．
(2) 直线的斜率公式.
(七)课后作业: P94 习题3.1 1. 3.
(八)板书设计:
§3.1.1……
1．直线倾斜角的概念 3.例1…… 练习1 练习3
2. 直线的斜率
4.例2…… 练习2 练习4
数学教育网http:/// 主审戴刚锋1.1.1 任意角（1）
一、课题：任意角(1)
二、教学目标：1.理解任意角的概念；
2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。
三、教学重、难点：1．判断已知角所在象限；
2．终边相同的角的书写。
四、教学过程：
（一）复习引入：
1．初中所学角的概念。
2．实际生活中出现一系列关于角的问题。
（二）新课讲解：
1．角的定义：一条射线绕着它的端点，从起始位置旋转到终止位置，形成一个角，点 是角的顶点，射线分别是角的终边、始边。
说明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．
2．角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。
说明：零角的始边和终边重合。
3．象限角：
在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负轴重合，则
（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
例如：都是第一象限角；是第四象限角。
（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。例如：等等。
说明：角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”。因为轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。
4．终边相同的角的集合：由特殊角看出：所有与角终边相同的角，连同角自身在内，都可以写成的形式；反之，所有形如的角都与角的终边相同。 从而得出一般规律：
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，
即：任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。
说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
5．例题分析：
例1 在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？
（1） （2） （3）
解：（1），
所以，与角终边相同的角是，它是第三象限角；
（2），
所以，与角终边相同的角是角，它是第四象限角；
（3），
所以，角终边相同的角是角，它是第二象限角。
例2 若，试判断角所在象限。
解：∵
∴与终边相同， 所以，在第三象限。
例3 写出下列各边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来： （1）； （2）； （3）．
解：（1），
中适合的元素是
（2），
S中适合的元素是
（3）
S中适合的元素是
四、课堂练习：
五、课堂小结：1．正角、负角、零角的定义；
2．象限角、非象限角的定义；
3．终边相同的角的集合的书写及意义。
六、作业：
补充：1．（1）写出与终边相同的角的集合．
（2）若，且，求．
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- 2 -1.3算法案例 海口实验中学 刘志强
第三、四课时 秦九韶算法与排序
（1）教学目标
（a）知识与技能
1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。
2.掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。
（b）过程与方法
模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。能根据排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤，了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。
（c）情态与价值
通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。通过对排序法的学习，领会数学计算与计算机计算的区别，充分认识信息技术对数学的促进。
（2）教学重难点
重点：1.秦九韶算法的特点
2.两种排序法的排序步骤及计算机程序设计
难点：1.秦九韶算法的先进性理解
2.排序法的计算机程序设计
（3）学法与教学用具
学法：1.探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算。
2.模仿排序法中数字排序的步骤，理解计算机计算的一般步骤，领会数学计算在计算机上实施的要求。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
（4）教学设想
（一）创设情景，揭示课题
我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式
当时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。
根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算。
我们把多项式变形为：再统计一下计算当时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显然少了6次乘法运算。这种算法就叫秦九韶算法。
（二）研探新知
1.秦九韶计算多项式的方法
例1 已知一个5次多项式为
用秦九韶算法求这个多项式当时的值。
解：略
思考：（1）例1计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？
（2）在利用秦九韶算法计算n次多项式当时需要多少次乘法计算和多少次加法计算？
练习：利用秦九韶算法计算
当时的值，并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算？
例2 设计利用秦九韶算法计算5次多项式
当时的值的程序框图。
解：程序框图如下：
练习：利用程序框图试编写BASIC程序并在计算机上测试自己的程序。
2.排序
在信息技术课中我们学习过电子表格,电子表格对分数的排序非常简单,那么电子计算机是怎么对数据进行排序的呢
阅读课本P30—P31面的内容,回答下面的问题:
(1)排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤有什么区别
(2)冒泡法排序中对5个数字进行排序最多需要多少趟
(3)在冒泡法排序对5个数字进行排序的每一趟中需要比较大小几次
游戏:5位同学每人拿一个数字牌在讲台上演示冒泡排序法对5个数据4,11,7,9,6排序的过程,让学生通过观察叙述冒泡排序法的主要步骤.并结合步骤解决例3的问题.
例3 用冒泡排序法对数据7,5,3,9,1从小到大进行排序
解:P32
练习:写出用冒泡排序法对5个数据4,11,7,9,6排序的过程中每一趟排序的结果.
例4 设计冒泡排序法对5个数据进行排序的程序框图.
解: 程序框图如下:
思考:直接排序法的程序框图如何设计 可否把上述程序框图转化为程序
练习:用直接排序法对例3中的数据从小到大排序
3.小结:
(1)秦九韶算法计算多项式的值及程序设计
(2)数字排序法中的常见的两种排序法直接插入排序法与冒泡排序法
(3)冒泡法排序的计算机程序框图设计
（5）评价设计
作业：P38 A（2）（3）
补充：设计程序框图对上述两组数进行排序
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32２.2.1用样本的频率分布估计总体分布(2课时)
教学目标：
知识与技能
（1） 通过实例体会分布的意义和作用。
（2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。
（3）通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计。
过程与方法
通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观
通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。
重点与难点
重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。
难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。
教学设想
时间 总天数 高温天数（频数） 频率
7月25日至8月10日 17 11 0.647
8月8日至8月24日 17 2 0.118
〈一〉频率分布的概念：
频率分布：是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。可以用样本的频率分布估计总体的频率分布。
频率分布表：我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表。
编制频率分布表的步骤如下：
（1） 找到最大最小值，求全距；决定组数，算得组距；
（2） 分组通常对组内数值所在区间取左闭又开区间，最后一组取闭区间；
（3） 登记频数，计算频率，列出频率分布表。
【注意】：在决定组数以后有可能要适当的调整全距，既如果全距不利于分组（如不能被组数整除），可适当增加全距，（只能加不能减）如在左右两端各增加适当的范围（尽量使两端增加量相同）。
例1． 从某校高一年级的1002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高的样本，数据如下（单位：cm）。试作出该样本的频率分布表。
168 165 171 167 170 165 170 152 175 174
165 170 168 169 171 166 164 155 164 158
170 155 166 158 155 160 160 164 156 162
160 170 168 164 174 171 165 179 163 172
180 174 173 159 163 172 167 160 164 169
151 168 158 168 176 155 165 165 169 162
177 158 175 165 169 151 163 166 163 167
178 165 158 170 169 159 155 163 153 155
167 163 164 158 168 167 161 162 167 168
161 165 174 156 167 166 162 161 164 166
解：最大值=180，最小值=151，他们相差29，
决定分为10组，则需将全距调整为30，组距为3，既每个小区间的长度为3，组距=全距/组数
可取区间[150.5,180.5]
分组 频数 频率
[150.5,153.5） 4 0.04
[153.5,156.5） 8 0.08
[156.5,159.5） 8 0.08
[159.5,162.5） 11 0.11
[162.5165.5） 22 0.22
[165.5,168.5） 19 0.19
[168.5,171.5） 14 0.14
[171.5,174.5） 7 0.07
[174.5,177.5） 4 0.04
[177.5,180.5） 3 0.03
合计 100 1
练习：P53， T 1, 3
第二课时
频率分布直方图的特征：
（1） 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。
（2） 从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
例2． 作出例1中数据的频率分布直方图
解：（1）先制作频率分布表，然后做直角坐标系，以横轴表示身高，纵轴表示频率/组距
（2）在横轴上标上150.5,153.5‥‥‥180.5表示的点（为方便起见，起始点150.5可适当前移）
（3）在上面标出的各点中，分别以连接相邻两点的线段为底作矩形，高等于该组的频率/组距
一般地：作频率分布直方图的方法为：
把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距，这样得到一系列的矩形。
几何意义：每个矩形的面积恰好是该组上的频率。
频率直方图的优点：更直观，形象地反映了样本的分布规律，如在164附近达到峰值。（一般取最高矩形的中点）
频率分布折线图：如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来。简称频率折线图。
优点：它反映了数据的变化趋势。
密度曲线：如果将样本容量取得足够大，分组的组距取的足够小，则相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，我们称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线。
它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息。
〈三〉茎叶图
１．茎叶图的概念：将这些数据有条理的列出来，从中观察数据的分布情况
2．制作方法：将所有两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出。
3．茎叶图的特征：
（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。
（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。
【例题精析】
〖例1〗：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位ｃｍ)
(1)列出样本频率分布表﹔
(2)一画出频率分布直方图;
(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.。
分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。
解：（１）样本频率分布表如下：
（２）其频率分布直方图如下：
（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.
例2：为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.
(1) 第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2) 若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
(3) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由。
分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。
解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，
因此第二小组的频率为：
又因为频率=
所以
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为
（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。
【课堂精练】
P57 练习 1. 2.
【课堂小结】
1． 总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。
2． 总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。
【评价设计】
1．P59 习题2.2 1，2，3，4
122
126
130
134
138
142
146
150
158
154
身高（cm）
o
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
频率/组距
90
100
110
120
130
140
150
次数
o
0.004
0.008
0.012
0.016
0.020
0.024
0.028
频率/组距
0.032
0.0363.1 随机事件的概率
3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义(第一、二课时)
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；（2）正确理解事件A出现的频率的意义；（3）正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率fn（A）与事件A发生的概率P（A）的区别与联系；（3）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．
2、过程与方法：（1）发现法教学，通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高；（2）通过对现实生活中的“掷币”，“游戏的公平性”，、“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学知识解决数学问题的方法，理解逻辑推理的数学方法．
3、情感态度与价值观：（1）通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；（2）培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识．
二、重点与难点：（1）教学重点：事件的分类；概率的定义以及和频率的区别与联系；（2）教学难点：用概率的知识解释现实生活中的具体问题．
三、学法与教学用具：1、引导学生对身边的事件加以注意、分析，结果可定性地分为三类事件：必然事件，不可能事件，随机事件；指导学生做简单易行的实验，让学生无意识地发现随机事件的某一结果发生的规律性；2、教学用具：硬币数枚，投灯片，计算机及多媒体教学．
四、教学设想：
1、创设情境：日常生活中，有些问题是很难给予准确无误的回答的。例如，你明天什么时间起床？7：20在某公共汽车站候车的人有多少？你购买本期福利彩票是否能中奖？等等。
2、基本概念：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
（7）似然法与极大似然法：见课本P111
3、例题分析：
例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）“抛一石块，下落”.
（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；
（3）“某人射击一次，中靶”；
（4）“如果a＞b,那么a－b＞0”;
（5）“掷一枚硬币，出现正面”；
（6）“导体通电后，发热”；
（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；
（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；
（9）“没有水份，种子能发芽”；
（10）“在常温下，焊锡熔化”．
答：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件．
例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
分析：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率。
解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89。
小结：概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。
练习：一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数 5544 9607 13520 17190
男婴数 2883 4970 6994 8892
男婴出生的频率
（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；
（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？
答案：（1）表中依次填入的数据为：0.520，0.517，0.517，0.517.
（2）由表中的已知数据及公式fn（A）=即可求出相应的频率，而各个频率均稳定在常数0.518上，所以这一地区男婴出生的概率约是0.518．
例3 某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为多大？中10环的概率约为多大？
分析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以靶的频率为=0.9，所以中靶的概率约为0.9．
解：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2．
例4 如果某种彩票中奖的概率为，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释。
分析：买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有一张中奖。
解：不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖。
例5 在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。
分析：这个规则是公平的，因为每个运动员先发球的概率为0.5，即每个运动员取得先发球权的概率是0.5。
解：这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。
小结：事实上，只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。
4、课堂小结：概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索。
5、自我评价与课堂练习：
1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（ ）
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
2．下列说法正确的是（ ）
A．任一事件的概率总在（0.1）内
B．不可能事件的概率不一定为0
C．必然事件的概率一定为1 D．以上均不对
3．下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题。
每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000
发芽的粒数 2 4 9 60 116 282 639 1339 2715
发芽的频率
（1）完成上面表格：
（2）该油菜子发芽的概率约是多少？
4．某篮球运动员，在同一条件下进行投篮练习，结果如下表如示。
投篮次数
进球次数m
进球频率
（1）计算表中进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？
5．生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了。”学了概率后，你能给出解释吗？
6、评价标准：
1．B[提示：正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，即该事件为随机事件。]
2．C[提示：任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.]
3．解：（1）填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.（2）该油菜子发芽的概率约为0.897。
4．解：（1）填入表中的数据依次为0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.（2）由于上述频率接近0.80，因此，进球的概率约为0.80。
5．解：天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率，我们知道：在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的。
7、作业：根据情况安排
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4第2课时 函数的概念和图象（二）
教学目标：
使学生掌握函数图像的画法.
教学重点：
函数图像的画法.
教学难点：
函数图像的画法.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］上节课，我们学习了函数的概念，请同学们回忆一下，函数的定义是怎样的？它有几个要素？分别是什么？
［生］设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f︰A→B为从集合A到集合B的一个函数.
函数有三要素：定义域、值域、对应关系.
［师］函数的定义域由什么确定？
［生］函数的定义域由数学运算规律决定，即函数的定义域是使函数的表达式有意义的自变量的集合.
［师］同学们对上节课的内容掌握得很好.
Ⅱ.新课讨论
在初中，我们已学过函数的图象，并能作出函数y＝2x－1，y＝（x≠0）以及y＝x2的图象.社会生活中还有许多函数图象的例子，如心电图、示波图等。
将自变量的一个值x 0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点（x 0，f(x0)）.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点.
- 1 -第四课时 子集、全集、补集(二)
教学目标：
使学生了解全集的意义，理解补集的概念；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力和分析、解决问题能力；渗透相对的观点.
教学重点：
补集的概念.
教学难点：
补集的有关运算.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
1.集合的子集、真子集如何寻求 其个数分别是多少
2.两个集合相等应满足的条件是什么
Ⅱ.讲授新课
［师］事物都是相对的，集合中的部分元素与集合之间关系就是
部分与整体的关系.
请同学们由下面的例子回答问题：
幻灯片（A）：
看下面例子
A＝{班上所有参加足球队同学}
B＝{班上没有参加足球队同学}
S＝{全班同学}
那么S、A、B三集合关系如何
［生］集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合.
即为如图阴影部分
由此借助上图总结规律如下：
幻灯片(B)：
1.补集
一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即AS)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中集合A的补集(或余集).
记作CSA，即CSA＝{x｜x∈3且xa}
上图中阴影部分即表示A在S中补集CSA
2.全集
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U.
［师］解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的补集CUQ就是全体无理数的集合.
举例如下：请同学们思考其结果.
幻灯片(C)：
举例，请填充
(1)若S＝{2，3，4}，A＝{4，3}，则CSA＝____________.
(2)若S＝{三角形}，B＝{锐角三角形}，则CSB＝___________.
(3)若S＝{1，2，4，8}，A＝，则CSA＝_______.
(4)若U＝{1，3，a2＋2a＋1}，A＝{1，3}，CUA＝{5}，则a＝_______
(5)已知A＝{0，2，4}，CUA＝{－1，1}，CUB＝{－1，0，2}，求B＝_______
(6)设全集U＝{2，3，m2＋2m－3}，a＝{｜m＋1｜，2}，CUA＝{5}，求m.
(7)设全集U＝{1，2，3，4}，A＝{x｜x2－5x＋m＝0，x∈U}，求CUA、m.
师生共同完成上述题目，解题的依据是定义
例(1)解：CSA＝{2}
评述：主要是比较A及S的区别.
例(2)解：CSB＝{直角三角形或钝角三角形}
评述：注意三角形分类.
例(3)解：CSA＝3
评述：空集的定义运用.
例(4)解：a2＋2a＋1＝5，a＝－1±
评述：利用集合元素的特征.
例(5)解：利用文恩图由A及CUA先求U＝{－1，0，1，2，4}，再求B＝{1，4}.
例(6)解：由题m2＋2m－3＝5且｜m＋1｜＝3解之 m＝－4或m＝2
例(7)解：将x＝1、2、3、4代入x2－5x＋m＝0中，m＝4或m＝6
当m＝4时，x2－5x＋4＝0，即A＝{1，4}
又当m＝6时，x2－5x＋6＝0，即A＝{2，3}
故满足题条件：CUA＝{1，4}，m＝4；CUB＝{2，3}，m＝6.
评述：此题解决过程中渗透分类讨论思想.
Ⅲ.课堂练习
课本P10练习 1，2，3，4
Ⅳ.课时小结
1.能熟练求解一个给定集合的补集.
2.注意一些特殊结论在以后解题中的应用.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P10习题1.2 3，4
3.解：因有一组对边平行的四边形是梯形.故S集合是由梯形、平行四边形构成，而A＝{x｜x是平行四边形}，那么CSA＝{x｜x是梯形}.
补充：
1.判断下列说法是否正确，并在题后括号内填“?”或“?”：
(1)若S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则CSA＝{2，3} （ ）
(2)若S＝{三角形}，A＝{直角三角形}，则CSA＝{锐角或钝角三角形} （ ）
(3)若U＝{四边形}，A＝{梯形}，则CUA＝{平行四边形} （ ）
(4)若U＝{1，2，3}，A＝，则CUA＝A （ ）
(5)若U＝{1，2，3}，A＝5，则CUA＝ （ ）
(6)若U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则CUA＝{1} （ ）
(7)若U是全集且AB，则CUACUB （ ）
解：紧扣定义，利用性质求解相关题目.(2)(5)(6)正确，其余错误.
在(1)中，因S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则CSA＝{3}.
(2)若S＝{三角形}，则由A＝{直角三角形}得CSA＝{锐角或钝角三角形}.
(3)由梯形及平行四边形构成的图形集合不一定是四边形的全部.如既不是梯形，也不是平行四边形.
(4)因U＝{1，2，3}，A＝，故CUA＝U.
(5)U＝{1，2，3}，A＝5，则CUA＝.
(6)U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则CUA＝{1}.
(7)若U是全集且A＝B，则CUACUB.
评述：上述题目涉及补集较多，而补集问题解决前提必须考虑全集，故一是先看全集U，二是由A找其补集，应有A∪(CUA)＝U.
2.填空题
(1)A＝{x∈R｜x≥3}，U＝R，CUA＝_____________________.
(2)A＝{x∈R｜x＞3}，U＝R，CUA＝_____________________.
(3)已知U中有6个元素，CUA＝，那么A中有_______个元素.
(4)U＝R，A＝{x｜a≤x≤b}，CUA＝{x｜x＞9或x＜3＝，则a＝_______，b＝_________
解：由全集、补集意义解答如下：
(1)由U＝R及A＝{x｜x≥3}，知CUA＝{x｜x＜3＝(可利用数形结合).对于(2)，由U＝R及A＝{x｜x＞3}，知CUA＝{x｜x≤3}，注意“＝”成立与否.对于(3)，全集中共有6个元素，A的补集中没有元素，故集合A中有6个元素.对于(4)，全集为R因A＝{x｜a≤x≤B}，其补集CUA＝{x｜x＞9或x＜3}，则A＝3，B＝9.
3.已知U＝{x∈N｜x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的质数}，求CUA、CUB.
解：因x∈N，x≤10时，x＝0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10
A＝{小于10的正奇数}＝{1，3，5，7，9}，B＝{小于11的质数}＝{2，3，5，7}，那么CUA＝{0，2，4，6，8，10}，CUB＝{0，1，4，6，8，9，10}.
4.已知A＝{0，2，4，6}，CUA＝{－1，－3，1，3}，CUB＝{－1，0，2}，用列举法写出B.
解：因A＝{0，2，4，6}，CUA＝{－1，－3，1，3}，
故U＝A∪（CUA）＝{0，1，2，3，4，6，－3，－1}
而CUB＝{－1，0，2}，故B＝{－3，1，3，4，6}.
5.已知全集U＝{2，3，a2－2a－3}，A＝{2，｜a－7｜}，CUA＝{5}，求a的值.
解：由补集的定义及已知有：a2－2a－3＝5且｜a－7｜＝3，由a2－2a－3＝5有a＝4或a＝－2，当a＝4时，有｜a－7｜＝3，当a＝－2时｜a－7｜＝9(舍)
所以符合题条件的a＝4
评述：此题和第4题都用CUA＝{x｜x∈5，且xA}，有U中元素或者属于A，或者属于CUA.二者必居其一，也说明集合A与其补集相对于全集来说具有互补性，这一点在解题过程中常会遇到，但要针对全集而言.
6.定义A－B＝{x｜x∈A，且xB}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，8}，求N－M的表达式.
分析：本题目在给出新定义的基础上，应用定义解决问题.要准确把握定义的实质，才能尽快进入状态.
解：由题所给定义：N－M＝{x｜x∈N，且xM}＝{8}
评述：从所给定义看：类似补集但又区别于补集，A－B与CAB中元素的特征相同，后者要求BA.而前者没有这约束，问题要求学生随时接受新信息，并能应用新信息解决问题.
7.已知集合M＝{x2＋x－2＝0}，N＝{x｜x＜a}，使MCRN的所有实数a的集合记为A，又知集合B＝{y｜y＝－x2－4x－6}，试判断A与B的关系.
分析：先找M中元素，后求B中元素取值范围.
解：因x2＋x－2＝0的解为－2、1，即M＝{－2，1}，N＝{x｜x＜a}，
故CRN＝{x｜x≥a}，使MCRN的实数a的集合A＝{a｜a≤－2}，
又y＝－x2－4x－6＝－（x＋2）2－2≤－2
那么B＝{y｜y≤－2}，故A＝B
8.已知I＝R，集合A＝{x｜x2－3x＋2≤0}，集合B与CRA的所有元素组成全集R，集合B与CRA的元素公共部分组成集合{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}，求集合B.
解：因a＝{x｜x2－3x＋2≤0}＝{x｜1≤x≤2}，所以CRA＝{x｜x＜1或x＞2}
B与CRA的所有元素组成全集R,则AB.B与CRA的公共元素构成{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}，则{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}B
在数轴上表示
集合B为A及{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}的元素组成，即B＝{x｜0＜x＜3}.
评述：研究数集的相互关系时,可将题设通过数轴示意,借助直观性探究,既易于理解.又能提高解题速度.上面提到的所有元素与公共元素是后面将要研究的交集、并集，就是B∪CRA＝R，B∩CRA＝{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}.
9.设U＝{（x，y）｜x,y∈R},A＝{(x，y)｜＝1}，B＝{（x，y）｜y＝x＋1}，求CUA与B的公共元素.
解：a＝{（x，y）｜y＝x＋1，x≠2}，它表示直线y＝x＋1去掉(2，3)的全体，从而CUA＝{（2，3）}，而B＝{（x，y）｜y＝x＋1}表示直线y＝x＋1上的全体点的集合.如图所示，CUA与B的公共元素就是(2，3).
评述：关于点集问题通常将其转化为直角坐标平面上的图形的问题来加以研究可以得到直观形象，简捷明了的效果.
（二）1.预习内容：课本P10～P11
2.预习提纲：
(1)交集与并集的含义是什么 能否说明
(2)求两个集合交集或并集时如何借助图形.
子集、全集、补集(二)
1.判断下列说法是否正确，并在题后括号内填“?”或“?”：
(1)若S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则CSA＝{2，3} （ ）
(2)若S＝{三角形}，A＝{直角三角形}，则CSA＝{锐角或钝角三角形} （ ）
(3)若U＝{四边形}，A＝{梯形}，则CUA＝{平行四边形} （ ）
(4)若U＝{1，2，3}，A＝，则CUA＝A （ ）
(5)若U＝{1，2，3}，A＝5，则CUA＝ （ ）
(6)若U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则CUA＝{1} （ ）
(7)若U是全集且AB，则CUACUB （ ）
2.填空题：
(1)A＝{x∈R｜x≥3}，U＝R，CUA＝_____________________.
(2)A＝{x∈R｜x＞3}，U＝R，CUA＝_____________________.
(3)已知U中有6个元素，CUA＝，那么A中有_______个元素.
(4)U＝R，A＝{x｜a≤x≤b}，CUA＝{x｜x＞9或x＜3}，则a＝_______，b＝_________
3.已知U＝{x∈N｜x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的质数}，求CUA、CUB.
4.已知A＝{0，2，4，6}，CUA＝{－1，－3，1，3}，CUB＝{－1，0，2}，用列举法写出B.
5.已知全集U＝{2，3，a2－2a－3}，A＝{2，｜a－7｜}，CUA＝{5}，求a的值.
6.定义A－B＝{x｜x∈A，且xB}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，8}，求N－M的表达式.
7.已知集合M＝{x2＋x－2＝0}，N＝{x｜x＜a}，使MCRN的所有实数a的集合记为A，又知集合B＝{y｜y＝－x2－4x－6}，试判断A与B的关系.
8.已知I＝R，集合A＝{x｜x2－3x＋2≤0}，集合B与CRA的所有元素组成全集R，集合B与CRA的元素公共部分组成集合{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}，求集合B.
9.设U＝{（x，y）｜x，y∈R}，A＝{(x，y)｜＝1}，B＝{（x，y）｜y＝x＋1}，求CUA与B的公共元素.
- 7 -第十二课时 小结与复习（二）
●教学目标
（一）知识目标
1.构造向量法；
2.平面几何性质应用.
（二）能力目标
1.熟悉向量的性质及运算律；
2.能根据向量性质特点构造向量；
3.熟练平面几何性质在解题中应用；
4.熟练向量求解的坐标化思路.
（三）德育目标
1.认识事物之间的内在联系；
2.认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识.
●教学重点
1.向量的坐标表示的应用；
2.构造向量法的应用.
●教学难点
构造向量法的适用题型特点的把握.
●教学方法
启发引导式
针对向量坐标表示的应用，通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对于向量坐标表示的认识，同时要加强学生选择建立坐标系的意识.
对于“构造向量法”的应用，本节例题选择了本章的重点内容数量积的坐标表示，目的要使学生把握坐标表示的数量积性质的形式特点，同时增强学生的解题技巧，提高解题能力.
●教具准备
投影仪、幻灯片
第一张：数量积的性质（记作§5.13.2 A）
第二张：本节例题（记作§5.13.2 B）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节，我们一起复习了本章的基本概念、性质、运算律及重要定理、公式，这一节我们将通过例题分析重点学习平面几何性质及构造向量法在解题时的应用.
Ⅱ.例题分析
［师］首先，我们一起回顾一下向量的数量积的有关性质（给出幻灯片§5.13.2 A）.
在熟悉了上述性质后，我们来看下面的例题.（给出幻灯片§5.13.2 B）
［例1］利用向量知识证明下列各式
（1）x2＋y2≥2xy
（2）|x|2＋|y|2≥2x·y
分析：（1）题中的结论是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法证得，而利用向量知识求证，则需构造向量，故形式上与向量的数量积产生联系.
（2）题本身含有向量形式，可根据数量积的定义式并结合三角函数性质求证.
证明：（1）设a＝（x，y），b＝（y，x）则
a·b＝xy＋yx＝2xy
|a||b|＝·＝x2＋y2
又a·b＝|a||b|cosθ（其中θ为a，b夹角）≤|a||b|
∴x2＋y2≥2xy
（2）设x，y的夹角为θ，
则x·y＝|x||y|cosθ≤|x||y|≤
∴|x|2＋|y|2≥2x·y
评述：（1）上述结论表明，重要不等式a2＋b2≥2ab，无论对于实数还是向量，都成立.
（2）在（2）题证明过程中，由于|x|，| y |是实数，故可以应用重要不等式求证.
［例2］利用向量知识证明
（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
分析：此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量.
证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）
则a·b＝a1b1＋a2b2，
|a|2＝a12＋a22，|b|2＝b12＋b22
∵a·b＝|a||b|cosθ≤|a||b|.（其中θ为a，b夹角）
∴（a·b）2≤|a2|b|2
∴（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
评述：此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论.这一技巧应要求学生注意体会.
［例3］已知f（x）＝
求证：|f（a）－f（b）|＜|a－b|（a≠b）
分析：此题若用分析法证明，则需采用平方的手段以去掉绝对值，但由于f（a）、f（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能达到去根号的目的.也可考虑构造向量法，利用向量的性质求证.下面给出两种证法.
证法一：∵f（a）＝，
f（b）＝，
∴要证明|f（a）－f（b）|＜|a－b|
只需证明|－|2＜|a－b|2
即1＋a2＋1＋b2－2＜a2＋b2－2ab
即＞1＋ab
只需证明［］2＞（1＋ab）2
即1＋a2＋b2＋a2b2＞1＋2ab＋a2b2
即a2＋b2＞2ab
∵a2＋b2≥2ab，又a≠b
∴a2＋b2＞2ab
∴|f（a）－f（b）|＜|a－b|
证法二：设a＝（1，a），b＝（1，b）
则|a|＝，|b|＝
a－b＝（0，a－b）
|a－b|＝|a－b|
由||a|－|b||≤|a－b|，其中当|a|＝|b|
即a＝b时，取“＝”，而a≠b
∴||a|－|b||＜|a－b|
即||＜|a－b|
∴|f（a）－f（b）|＜|a－b|.
评述：通过两种证法的比较，体会“构造向量法”的特点，加深对向量工具性作用的
认识.
［师］上述三个例题，主要通过“构造向量”解决问题，要求学生在体验向量工具性作用的同时，注意解题方法的灵活性.下面，我们通过下面的例题分析，让大家体会向量坐标运算的特点，以及“向量坐标化”思路在解题中的具体应用.
［例4］已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线.求证AC⊥BD.
分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件.
证法一：∵
∴
∴⊥
证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B（0，0），A（a，b），C（c，0）则由|AB|＝|BC|得a2＋b2＝c2
∵＝（c，0）－（a，b）＝（c－a，－b），
＝（a，b）＋（c，0）＝（c＋a，b）
∴·＝c2－a2－b2＝0
∴⊥
即：AC⊥BD
评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便.通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用，有助于提高学生对于“数形结合”解题思想的认识和掌握.
［例5］若非零向量a和b满足|a＋b|＝|a－b|.
证明：a⊥b.
分析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多，可以考虑两向量垂直的充要条件的应用，也可考虑平面图形的几何性质，下面给出此题的三种证法.
证法一：（根据平面图形的几何性质）
设＝a，＝b，
由已知可得a与b不平行，
由|a＋b|＝|a－b |得以、为邻边的平行四边形OACB的对角线和相等.
所以OACB是矩形，
∴⊥
∴a⊥b
证法二：∵|a＋b|＝| a－b|
∴（a＋b）2＝（a－b）2
∴a2＋2a·b＋b 2＝a2－2a·b＋b 2
∴a·b＝0
∴a⊥b
证法三：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），
|a＋b|＝，
|a－b|＝，
∴，
化简得：x1x2＋y1y2＝0，
∴a·b＝0，∴a⊥b.
［例6］已知向量a是以点A（3，－1）为起点，且与向量b＝（－3，4）垂直的单位向量，求a的终点坐标.
分析：此题若要利用两向量垂直的充要条件，则需假设a的终点坐标，然后表示a的坐标，再根据两向量垂直的充要条件建立方程.
解：设a的终点坐标为（m，n）
则a＝（m－3，n＋1）
由①得n＝（3m－13），代入②得
25m2－150m＋209＝0
解得 或
∴a的终点坐标是（）或（）
评述：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆.
［师］上述例题，主要体现了两向量垂直的充要条件的应用，在突出本章这一重点知识的同时，应引导学生注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来.
Ⅲ.课堂练习
1.已知a＝（1，0），b＝（1，1），当λ为何值时，a＋λb与a垂直.
解：a＋λb＝（1，0）＋λ（1，1）＝（1＋λ，λ）
∵（a＋λb）⊥a，
∴（a＋λb）·a＝0
∴（1＋λ）＋0·λ＝0，
∴λ＝－1
即当λ＝－1时，a＋λb与a垂直.
2.已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角为30°，求|a＋b|，|a－b|.
解：|a＋b|2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a||b|cos30°＋|b|2＝（）2＋2××2×＋22＝13
∴|a＋b|＝，
∵|a－b|2＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos30°＋b2＝（）2－2××2×＋22＝1
∴|a－b|＝1
3.已知|a|＝3，|b|＝2，a|与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.当m为何值时，c与d垂直
解：若c⊥d，则c·d＝0
∴（3a＋5b）·（ma－3 b）＝0
∴3m|a|2＋（5m－9）a·b－15|b|2＝0
∴3m|a|2＋（5m－9）|a|| b |cos60°－15|b|2＝0
即27m＋3（5m－9）－60＝0
解得m＝.
4.已知a＋b＝c，a－b＝d
求证：|a|＝|b|c⊥d
证明：（1）c⊥d（a＋b）（a－b）＝0a2－b2＝0a2＝b2|a|＝|b|，
（2）|a|＝|b|a2＝b2a2－b2＝0（a＋b）（a－b）＝0c⊥d.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家进一步熟悉向量的性质及运算律，熟悉平面几何性质在解题中的应用，能够掌握向量坐标化的思路求解问题，掌握构造向量并利用向量性质解题、证题的方法.
Ⅴ.课后作业
课本P150 A组 27，28.
B组 5，6，7，8.
●板书设计
§5.13.2 小结与复习
1.本节主要方法
（1）构造向量法
（2）向量坐标化
2.例题分析
3.学习练习
●备课资料
1.三角形内角和性质
定理：在△ABC中，A、B、C分别为三个内角，则A＋B＋C＝180°
推论（1）：B＝60°2B＝A＋C
推论（2）：若A＜90°，则有sinB＞cosC，
cosB＜sinC，tanB＞cotC，cotB＜tanC.
推论（3）：sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC，
tan（A＋B）＝－tanC，cot（A＋B）＝－cotC.
推论（4）：sin＝cos，cos＝sin，
tan＝cot，cot＝tan.
2.三角形内角和性质应用举例
［例1］△ABC中，若，求证：A、B、C成等差数列.
证明：由条件得，
由推论（3）得sin（B＋C）＝sinA.
∴sin（B－C）＝sinA－sinC
∴sin（B－C）－sin（B＋C）＝－sinC
即2cosBsinC＝sinC
∵sinC≠0，∴cosB＝，∴B＝.
故由推论（1）得2B＝A＋C.
所以A、B、C成等差数列.
［例2］在锐角△ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC
证明：∵△ABC是锐角三角形，
∴A＜90°，根据推论（2）有：sinB＞cosC ①
B＜90°，根据推论（2）有：sinC＞cosA ②
C＜90°，根据推论（2）有：sinA＞cosB ③
∴①＋②＋③得：
sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.
［例3］已知△ABC，求证（a－b）cot＋（b－c）cot＋（c－a）cot＝0.
证明：根据正弦定理和推论（4），
有（a－b）cot＝2R（sinA－sinB）·tan
＝4Rsinsin，
∴（a－b）cot＝2R（cosB－cosA）
同理，（b－c）cot＝2R（cosC－cosB）；
（c－a）cot＝2R（cosA－cosC）.
三式相加可得
（a－b）cot＋（b－c）cot＋（c－a）·cot＝0.§8 同角三角函数的关系（1课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系；（2）能正确运用进行三角函数式的求值运算；（3）能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧；（4）运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。
2、 过程与方法
回忆初中所学的几个三角函数之间的关系，用高中所学的同角三角函数之间的关系试着进行证明；掌握几种同角三角函数关系的应用；掌握在具体应用中的一定技巧和方法；理解并掌握同角三角关系的简单变形；提高学生恒等变形的能力，提高分析问题和解决问题的能力。
3、 情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们加深理解基本关系在本章中的地位；认识事物间存在的内在联系，使学生面对问题养成勤于思考的习惯；培养学生良好的学习方法，进一步树立化归的数学思想方法。
二、教学重、难点
重点: 同角三角函数之间的基本关系，化简与证明。
难点: 化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用。
三、学法与教学用具
在初中，学生已经见过同角三角函数之间的关系，在高中就要求学生能对这些关系进行证明，最主要的还是在于运用。主要有三方面的应用，即计算、化简、证明。正因为这样，本节课通过例题讲评和学生练习的形式开展教学。
教学用具:投影机、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过，只不过当时应用不是很多，那么到底有哪些？它们成立的条件是什么？学习实践中，你还发现了哪些关系？今天这节课，我们就来讨论这些问题。
【探究新知】
在初中我们已经知道，对于同一个锐角α，存在关系式：
理论证明：（采用定义）
注意：1“同角”的概念与角的表达形式无关，
如：
2上述关系（公式2）都必须在定义域允许的范围内成立。
3据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。
【巩固深化，发展思维】
1．例题讲评
例1．已知sinα＝－，且α在第三象限，求cosα和tanα.
解：∵ ∴cos2α＝1－sin2α＝1－(－)2＝
又∵α在第三象限，cosα＜0 ∴cosα＝－，tanα＝＝
例2．已知
解：若在第一、二象限，则
若在第三、四象限，则
例3．化简：
解：原式
例4．求证：
证一：
（利用平方关系）
证二：
（利用比例关系）
证三：
（作差）
2．学生课堂练习
教材P66练习1和P67练习2
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业
教材P68习题中1—6
七、课后反思
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32．2．1 向量的加法
一、课题：向量的加法
二、教学目标：1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；
2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和
向量；
3．理解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算。
三、教学重、难点：1．如何作两向量的和向量；
2．向量加法定义的理解。
四、教学过程：
（一）复习：
1．向量的概念、表示法。
2．平行向量、相等向量的概念。
3．已知点是正六边形的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ）
（）、、、 （）、、、
（）、、、 （）、、、
（二）新课讲解：
1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：．
规定：零向量与任一向量，都有．
说明：①共线向量的加法：
②不共线向量的加法：如图（1），已知向量，，求作向量.
作法：在平面内任取一点（如图（2）），作，，则 .
（1） （2）
2．向量加法的法则：
（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
表示：．
（2）平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作，则
则以为起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行
四边形法则。
3．向量的运算律：
交换律：．
结合律：．
说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行：
例如：；．
4．例题分析：
例1 如图，一艘船从点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。
解：设表示船向垂直与对岸行驶的速度，表示水流的
速度，以、为邻边作，则就是船实际
航行的速度，
在△中，，，
∴，
∴
∴.
答：船实际航行速度的大小为，方向与流速间的夹角为.
例2 已知矩形中，宽为，长为，，，，
试作出向量，并求出其模的大小。
解：作，则如图
，
∴，
答：向量就是向量，其模为.
例3 一架飞机向北飞行千米后，改变航向向东飞行千米，
则飞行的路程为 400千米 ；两次位移的和的方向为北偏东，
大小为千米．
五、课堂练习：（1）化简；.
六、小结：1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；
2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则。
七、作业：补充：已知两个力，的夹角是直角，且知它们的合力与的夹角是，
牛，求和的大小。
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- 1 -第二课时 数 列(二)
教学目标：
了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同，会根据数列的递推公式写出数列的前n项；提高学生的推理能力，培养学生的应用意识.
教学重点：
1.数列的递推公式.
2.根据数列的递推公式写出数列的前n项.
教学难点：
理解递推公式与通项公式的关系.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上节课我们在学习函数的基础上学习了数列及有关概念，下面先来回顾一下上节课所学的主要内容.
数列的定义、项的定义、数列的表示形式、数列的通项公式及数列分类等等.
Ⅱ.讲授新课
我们为什么要学习有关数列的知识呢？那是因为在现实生活中，我们经常会遇到有关数列的问题，学习它，研究它，主要是想利用它来解决一些实际问题，让其为我们的生活更好地服务.也就是说，我们所学知识都来源于实践，最后还要应用于生活.下面，我们继续探讨有关数列的问题.
首先，请同学们来看一幅钢管堆放示意图.
模型一： 自上而下：
第一层钢管数为4；即：14＝1＋3,
第二层钢管数为5；即：25＝2＋3
第三层钢管数为6；即：36＝3＋3,
第四层钢管数为7；即：47＝4＋3
第五层钢管数为8；即：58＝5＋3,
第六层钢管数为9；即：69＝6＋3
第七层钢管数为10；即：710＝7＋3
若用an表示自上而下每一层的钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数可构成一数列，即：4，5，6，7，8，，9，10，且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)
同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.
模型二：自上而下
第一层钢管数为4；
第二层钢管数为5＝4＋1；
第三层钢管数为6＝5＋1；
第四层钢管数为7＝6＋1；
第五层钢管数为8＝7＋1；
第六层钢管数为9＝8＋1；
第七层钢管数为10＝9＋1.
即：自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1.
若用an表示每一层的钢管数，则a1＝4；
a2＝5＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝5＋1＝a2＋1；
a4＝7＝6＋1＝a3＋1；a5＝8＝7＋1＝a4＋1；
a6＝9＝8＋1＝a5＋1；a7＝10＝9＋1＝a6＋1；
即：an＝an－1＋1(2≤n≤7，n∈N*)
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他各项.看来，这一关系也较为重要.这一关系，咱们把它称为递推关系，表示这一关系的式子，咱们把之称为递推公式.
1.定义
递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前n项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
说明：数列的递推公式揭示了数列的任一项an与它的前一项an－1（或前n项）的关系，也是给出数列的一种重要方法.
下面，我们结合例子来体会一下数列的递推公式.
2.例题讲解
［例1］已知数列{an}的第1项是1，以后的各项由公式an＝1＋给出，写出这个数列的前5项.
分析：题中已给出{an}的第1项即a1＝1，递推公式：an＝1＋
解：据题意可知：a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝.
［例2］已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝3an－1＋an－2(n≥3)，试写出数列的前4项.
解：由已知得a1＝1，a2＝2，a3＝3a2＋a1＝7，a4＝3a3＋a2＝23
Ⅲ.课堂练习
写出下面数列{an}的前5项.
1.a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)
解法一：a1＝5；a2＝a1＋3＝8；
a3＝a2＋3＝11；a4＝a3＋3＝14；
a5＝a4＋3＝17.
评析：由已知中的a1与递推公式an＝an－1＋3(n≥2)，依次递推出该数列的前5项，这是递推公式的最基本的应用.
是否可利用该数列的递推公式而求得其通项公式呢？
请同学们再仔细观察此递推公式.
解法二：由an＝an－1＋3(n≥2)，得an－an－1＝3
则a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，a5－a4＝3，……，an－1－an－2＝3，an－an－1＝3
将上述n－1个式子左右两边分别相加，便可得an－a1＝3(n－1)，即an＝3n＋2(n≥2)
又由a1＝5满足上式，
∴an＝3n＋2(n≥1)为此数列的通项公式.
2.a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
解法一：由a1＝2与an＝2an－1(n≥2)
得：a1＝2，a2＝2a1＝4，a3＝2a2＝8，a4＝2a3＝16，a5＝2a4＝32.
解法二：由an＝2an－1(n≥2)，得＝2(n≥2)，且a1＝2
则：＝2，＝2，＝2，……＝2， ＝2
若将上述n－1个式子左右两边分别相乘，便可得 ＝2n－1
即：an＝2n(n≥2)，又由a1＝2满足上式
∴an＝2n(n≥1)为此数列的通项公式.
∴a2＝22＝4，a3＝23＝8，a4＝24＝16，a5＝25＝32.
3.a1＝1，an＝an－1＋ (n≥2)
解：由a1＝1，an＝an－1＋ (n≥2),
得a1＝1，a2＝a1＋＝2,
a3＝a2＋＝,
a4＝a3＋＝＋＝,
a5＝a4＋＝＋＝
Ⅳ.课时小结
这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解.另外，还要注意它与通项公式的区别在于：
1.通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.
2.对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可依次求出其他的项.
Ⅴ.课后作业
课本P32习题 4，5，6
数 列(二)
1．已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝ (n∈N*), 则a5等于 （ ）
A. B. C. D.
2．已知数列，，，，…，则5是数列的 （ ）
A.第18项 B.第19项 C.第17项 D.第20项
3．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，a100等于 （ ）
A.13 B.100 C.10 D.14
4．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an+2＝an+1－an(n∈N*)，则a1000等于 （ ）
A.5 B.－5 C.1 D.－1
5．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)an+12－nan2＋an+1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝ .
6．根据下列各数列的首项和递推公式，分别写出它的前五项，并归纳出通项公式：
（1）a1＝0，an+1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an+1＝ (n∈N*)
7．若a1＝2，a2＝4，an＝log2(an－1·an－2)(n≥3)，写出{an}的前4项.
8．若a1＝3，an＝an－1＋ (n≥2)，bn＝，写出bn的前3项.
数 列(二)答案
1．B 2．B 3．D 4．A
5．解法一：已知等式可化为：(an+1＋an)·[（n＋1）an+1－nan]＝0
∵an>0(n∈N*)，∴(n＋1)an+1－nan＝0 即an+1＝an ①
反复利用递推关系，得
an＝an－1＝an－2＝an－3
＝…＝·…·a1＝a1＝
解法二：前面同解法一.
由①，得a2＝a1＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝，…
归纳，得an＝ (n∈N*).
评述：本题主要考查递推公式.
6．根据下列各数列的首项和递推公式，分别写出它的前五项，并归纳出通项公式：
（1）a1＝0，an+1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an+1＝ (n∈N*)
解：（1）a1＝0；a2＝a1＋1＝1；a3＝a2＋3＝4；a4＝a3＋5＝9；a5＝a4＋7＝16；a1＝02；a2＝12；a3＝22；a4＝32；a5＝42.可归纳出an＝(n－1)2.
(2)a1＝1，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝，
a1＝1＝；a2＝；a3＝＝；a4＝；a5＝＝；由此可见：an＝.
评述：适当配凑是本题进行归纳的前提，从整体上把握一件事情是现代数学的重要手段，加强类比是探索某些规律的常用方法之一.
7．若a1＝2，a2＝4，an＝log2(an－1·an－2)(n≥3)，写出{an}的前4项.
解：∵a1＝2，a2＝4，an＝log2(an－1·an－2)(n≥3)
∴a3＝log2(a2·a1)＝log2(2×4)＝3，a4＝log2(a3·a2)＝log212＝2＋log23.
8．若a1＝3，an＝an－1＋ (n≥2)，bn＝，写出bn的前3项.
解：∵a1＝3，an＝an－1＋ (n≥2)， ∴a2＝a1＋＝3＋＝.
a3＝a2＋＝＋ eq \f(2, ) ＝＋＝.
∵bn＝, ∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝.
- 4 -2.1.2 系统抽样
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解系统抽样的概念；
（2）掌握系统抽样的一般步骤；
（3）正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系；
2、过程与方法：通过对实际问题的探究，归纳应用数学知识解决实际问题的方法，理解分类讨论的数学方法，
3、情感态度与价值观：通过数学活动，感受数学对实际生活的需要，体会现实世界和数学知识的联系。
4、重点与难点：正确理解系统抽样的概念，能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题。
教学设想：
【创设情境】：某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级500名学生中抽取50名进行调查，除了用简单随机抽样获取样本外，你能否设计其他抽取样本的方法？
【探究新知】
一、系统抽样的定义：
一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。
【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证：
（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样。
（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为k＝[].
（3）预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。
思考？
（1）你能举几个系统抽样的例子吗？
（2）下列抽样中不是系统抽样的是 （ ）
A、从标有1~15号的15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到
大号排序，随机确定起点i,以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样
B工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验
C、搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止
D、电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈
点拨:（2）c不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样。
二、系统抽样的一般步骤。
（1）采用随机抽样的方法将总体中的N个个编号。
（2）将整体按编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N,L≤k).
（3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L（L∈N,L≤k）。
（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+K，再加上K得到第3个个体编号L+2K，这样继续下去，直到获取整个样本。
【说明】从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想。
【例题精析】
例1、某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程。
[分析]按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第1段的编号。
解：按照1：5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59，我们把259名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，59组是编号为291～295的5名学生。采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为k(1≤k≤5)，那么抽取的学生编号为k+5L(L=0,1,2,……，58)，得到59个个体作为样本，如当k=3时的样本编号为3，8，13，……，288，293。
例2、从忆编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是
A．5，10，15，20，25 B、3，13，23，33，43
C．1，2，3，4，5 D、2，4，6，16，32
[分析]用系统抽样的方法抽取至的导弹编号应该k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中d=50/5=10,k是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项B满足要求，故选B。
【课堂练习】P49 练习1. 2. 3
【课堂小结】
1、在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统抽样的方法进行抽样，系统抽样的步骤为：
（1）采用随机的方法将总体中个体编号；
（2）将整体编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N)；
（3）在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号L；
（4）按照事先预定的规则抽取样本。
2、在确定分段间隔k时应注意：分段间隔k为整数，当不是整数时，应采用等可能剔除的方剔除部分个体，以获得整数间隔k。
【评价设计】
1、从2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为 （ ）
A．99 B、99，5
C．100 D、100，5
2、从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是 （ ）
A．1，2，3，4，5 B、5，16，27，38，49
C．2, 4, 6, 8, 10 D、4，13，22，31，40
3、采用系统抽样从个体数为83的总体中抽取一个样本容量为10的样本，那么每个个体人样的可能性为 （ ）
A．8 B.8，3
C．8.5 D.9
4、某小礼堂有25排座位，每排20个座位，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是 抽样方法。
5、某单位的在岗工作为624人，为了调查工作上班时，从家到单位的路上平均所用的时间，决定抽取10%的工作调查这一情况，如何采用系统抽样的方法完成这一抽样？2.4 向量的数量积（2）
一、课题：向量的数量积
二、教学目标：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。
三、教学重、难点：向量数量积的运算律和运算律的理解；
四、教学过程：
（一）复习：
1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质；
2．判断下列各题正确与否：
①若，则对任一向量，有； ( √ )
②若，则对任一非零向量，有； ( × )
③若，，则； ( × )
④若，则至少有一个为零向量； ( × )
⑤若，则当且仅当时成立； ( × )
⑥对任意向量，有． ( √ )
（二）新课讲解：
1．交换律：
证：设夹角为，则，
∴．
2．
证：若，，
， ，
若，，
，
．
3．．
在平面内取一点，作, ，，
∵（即）在方向上的投影等于
在方向上的投影和，
即：
∴，
∴ 即：．
4． 例题分析：
例1 已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角。解：由题意可得： ①
②
两式相减得：， 代入①或②得：，
设的夹角为，则
∴，即与的夹角为．
例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
证明：如图： ABCD，，，，
∴，
而，
∴，
所以， + = = ．
例3 为非零向量，当的模取最小值时，
①求的值； ②求证：与垂直。
解：①，
∴当时, 最小；
②∵，
∴与垂直。
例4 如图，是的三条高，求证：相交于一点。
证：设交于一点，,
则
∵
∴得，
即， ∴，
又∵点在的延长线上，∴相交于一点。
五、小结：数量积的运算律和垂直充要条件的应用。
六、作业： 课本 习题5.6 第2，4题。
补充：1．向量的模分别为，的夹角为，求的模；
2．设是两个不相等的非零向量，且，求与的夹角。
3．设，是相互垂直的单位向量，求．
H
F
E
D
C
B
A
D C
A B
C
B1
A1
O
B
A
2
1
PAGE
- 1 -第22课时 对 数（二）
教学目标：
使学生进一步熟悉对数定义与幂的运算性质，理解对数运算性质的推导过程，熟悉对数的运算性质的内容，熟练运用对数的运算性质进而化简求值，明确对数的运算性质与幂的运算性质的区别.能运用联系的观点解决问题，认识事物之间的相互联系与相互转化.
教学重点：
证明对数运算性质.
教学难点：
对数运算性质的证明方法与对数定义的联系.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
1．对数的定义 log a N＝b 其中 a∈（0，1）∪（1，＋∞）与N∈（0，＋∞）
2．指数式与对数式的互化
ab＝N log a N＝b
3.重要公式：
⑴负数与零没有对数；
⑵log a 1＝0，log a a＝1
⑶对数恒等式
(4) log a ab＝b
Ⅱ.讲授新课
1.运算性质：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)
［师］现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用.
证明：(1)设logaM＝p，logaN＝q
由对数的定义得：M＝ap，N＝aq ∴MN＝ap·aq＝ap+q
再由对数定义得logaMN＝p＋q，即证得logaMN＝logaM＋logaN
(2)设logaM＝p，logaN＝q 由对数的定义可以得
M＝ap，N＝aq， ∴ ＝＝ap－q，
再由对数的定义得 loga＝p－q
即证得loga＝logaM－logaN
(3)设logaM＝p 由对数定义得M＝ap
∴Mn＝（ap）n＝anp 再由对数定义得
logaMn＝np 即证得logaMn＝nlogaM
评述：上述三个性质的证明有一个共同特点：先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数定义将指数式化成对数式.
其中，应主要体会对数定义在证明过程所发挥的关键作用.
(要求：性质(2)、(3)学生尝试证明，老师指导)
［师］接下来，我们利用对数的运算性质对下列各式求值：
［例1］求下列各式的值
（1）log525 （2）log0.41
（3）log2(47×25) （4）lg
分析：此例题目的在于让学生熟悉对数运算性质，可采用讲练结合的方式.
解：（1）log525＝＝2
（2）log0.41＝0
（3）log2(47×25)＝log247＋log225＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19
（4）lg＝lg102＝lg10＝
［师］大家在运算过程中，要注意对数的运算性质与幂的运算性质的区别.
［例2］用log a x，log a y，log a z表示下列各式：
（1）log a （2）log a eq \f(x2·,)
解：（1）log a ＝log a（xy）－ log az＝log a x＋log ay－log az
（2）log a eq \f(x2·,) ＝log a （x2·）－log a
＝log a x2＋log a －log a ＝2 log a x ＋log ay －log az
［例3］计算：
（1）lg14－2lg＋lg7－lg18 （2） （3） eq \f(lg＋lg8－3lg,lg1.2)
说明：此例题可讲练结合.
(1)解法一：lg14－2lg＋lg7－lg18
＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)
＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0?
解法二：
lg14－2lg＋lg7－lg18＝lg14－lg（）2＋lg7－lg18?
＝lg eq \f(14×7, （）2×18) ＝lg1＝0
评述：此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.
（2）＝＝＝
（3） eq \f(lg＋lg8－3lg,lg1.2) ＝ eq \f(lg（33）＋lg23－3lg（10）,lg)
＝ eq \f(（lg3＋2lg2－1）,lg3＋2lg2－1) ＝
评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.
Ⅲ.课堂练习
课本P60练习1，2，3，4，5
补充：1.求下列各式的值：
（１）log 2６－log 2３ （２）lg５＋lg２
（３）log 5３＋log 5 （４）log 3５－log 315
解：（１）log 2６－log 2３＝log 2＝log 2２＝１
（2）lg５＋lg２＝lg（５×２）＝lg１０＝１
（3）log 5３＋log 5＝log 5 (３×)＝log 5１＝０
（4）log 3５－log 315＝log 3 ＝log 3 ＝－log 3３＝－１
2. 用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1) lg （x y z） （２）lg （３）lg eq \f(xy3,) （４）lg eq \f(,y2z)
解：(1) lg（xyz）＝lg x＋lg y＋lgｚ
(2) lg ＝lg x y2－lg z＝lg x＋lg y2－lg z
＝lg x＋２lg y－lgｚ
(3) lg eq \f(xy3,) ＝lg x y3－lg ＝lg x＋lg y3－ lgｚ
＝lg x＋３lg y－ lgｚ
(4) lg eq \f(,y2z) ＝lg－lg y2 z＝lg x－（lg y2＋lg z）
＝lg x－2lg y－lg z
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，大家应掌握对数运算性质的推导，并能熟练运用对数运算性质进行对数式的化简、求值.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P63习题 3，5
（二）预习内容：课本P61
补充作业：
1.计算：
(1) log a２＋log a （a＞０，a≠１） （２）log 318－log 3２
(3) lg －lg25 (4)２log 510＋log 50.25
（5）２log 525＋３log 264 (6) log 2（log 216）
解：(1) log a２＋log a ＝log a（２×）＝log a１＝０
（2）log 318－log 3２＝log 3＝log 3９＝２
（3）lg －lg25＝lg（÷２５）＝lg ＝lg10－2＝－２
（4）２log 510＋log 50.25＝log 5＋log 50.25
＝log 5 (100×0.25)＝log 525＝２
（5）２log 525＋３log 264＝２log 5＋３log 226
＝２×２＋３×６＝22
（6）log 2（log 216）＝log 2（log 2）＝log 2４＝log 2＝２
2.已知lg２＝0.3010，lg３＝0.4771，求下列各对数的值(精确到小数点后第四位)
(1) lg６ （２）lg４ （３）lg12
（４）lg （５）lg （６）lg32
解：（１）lg６＝lg２＋lg３＝0.3010+0.4771＝0.7781
(2) lg４＝２lg２＝２×0.3010＝0.6020
(3) lg12＝lg(３×4)＝lg３＋２lg２＝0.4771＋0.3010×2＝1.0791
(4) lg ＝lg３－lg２＝0.4771－0.3010＝0.1761
(5) lg ＝ lg３＝×0.4771＝0.2386
(6) lg32＝５lg２＝５×0.3010＝1.5050
3.用log a x，log a y，log a z，log a（x＋y），log a（x－y）表示下列各式：
（1）； （２）（）；
（3）（）； （４）；
（5）（）； （６）［］３.
解：(1) ＝－ｚ
＝ｘ－（２ｙ＋ｚ）＝ｘ－２ｙ－ｚ；
(2) （ｘ·）＝ｘ＋
＝ｘ＋（－）＝ｘ－ｙ＋ｚ
＝ｘ－ｙ＋ｚ；
(3) （ｘ）＝ｘ＋＋?
＝ｘ＋ｙ－ｚ；
(4) ＝xy－（－）
＝ｘ＋ｙ－（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）
＝ｘ＋ｙ－（ｘ＋ｙ）－（ｘ－ｙ）；
(5) （·ｙ）＝＋ｙ
＝（ｘ＋ｙ）－（ｘ－ｙ）＋ｙ；
(6) ［］
＝３［ｙ－ｘ－（ｘ－ｙ）］
＝３ｙ－３ｘ－３（ｘ－ｙ）
- 5 -案例：1.2.3 循环语句
一、教学目标：
1．知识与技能：（1）通过具体的实例理解，了解循环语句的结构特征，掌握循环语句的具体应用；
（2）利用循环语句表达结局具体问题的过程，体会算法的基本思想；
2．过程与方法：借助框图中的循环结构，借助Scilab语言中的循环语句来设计程序，进一步体会算法的重要性和有效性
3．情感、态度与价值观：在学习过程及解决实际问题的过程中，尽可能的用基本算法语句描述算法、体会算法思想的作用及应用，增进对算法的了解，形成良好的数学学习情感、积极的学习态度。
二、教学的重点、难点：
1．重点：理解for 语句与while语句的结构与含义，并会应用
2．难点：应用两种循环语句将具体问题程序化，搞清for循环和while循环的区别和联系
三、教学方法与手段：
采用观察、分析、抽象、概括、自主探究、合作交流的教学方法，通过各种教学媒体（计算机）调动学生参与课堂教学的主动性与积极性。
四、教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 请同学们思考以下的问题：1．期末考试后，我们要求求出全班60名同学的数学成绩的总分，你采用什么方式进行计算？2．某单位在1000名职工中寻找年龄最小的人参加某项活动，你采用什么方法进行筛选？问题1：逐个相加计算得到总分；问题2：逐个鉴别分析，得到最小值； 学生思考回答 由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生的解决实际问题的能力
概念形成 解决以上两个问题时采用的方法有怎样的共同特点 应选用何种结构来实现共同特点：有规律的重复计算，或者在程序中需要对某些语句进行重复的执行，即对不同的运算对象进行若干次的相同的运算或处理选用结构方式：循环结构Scilab程序语言中提供两种循环语句：for循环和while循环 学生独立思考，交流讨论、教师予以提示，协助梳理、点拨指导 由特殊到一般培养学生的观察、归纳、概括能力
概念深化 I 、for循环语句请同学们看下面的一个例子：例1．求1+2+3+…+1000= (教材P27)分析：算法思想：可以采用重复计算，而且数字1、2、3、…、1000是有规律的一列数，逐渐循环递增，每次增幅为1解答：用for循环语句来实现计算 步骤：这个程序一共四步：第一步是选择一个变量S表示和，并赋给初值0。第二步开始进入for循环语句，首先设i为循环变量，分别设定其初值、步长、终值。这里初值为1，步长为1（步长是指循环变量i 每次增加的值。步长为1，可以省略不写，若为其他值，则不可省略），终值为1000。第三步为循环表达式（循环体）。第四步用“end”控制结束一次循环，开始一次新的循环。循环体认识：第三步循环表达式“S=S+i”的理解：i=1 S=S+i 是 S=S+1,并把0+1赋值给S,第一次循环结束S为1，此时S记录了第一个数的值，遇到“end”开始第二次循环； i=2 S=S+i 是 S=S+2,并把1+2赋值给S,第二次循环结束S为1+2=3，此时S记录了前两个数的和，遇到“end”开始第三次循环； i=3 S=S+i 是 S=S+3,并把（1+2）+3赋值给S,第三次循环结束S为1+2+3=6，此时S记录的是前三个数的和，遇到“end”开始第四次循环；…结果输出：把上述程序存到一个文件（“C：/gao/instum.sci”），点击菜单中的“Load into Scilab”就会在Scilab中执行你写的程序：（教材P28——P29)相关内容总结：for循环语句的格式课堂练习：教材P31 练习A 1II、while循环语句请同学们看下面一个例子：例2 求平方值小于1000的最大整数分析：算法思想、正数范围、逐个比较，若小于1000，循环继续；若大于等于1000，结束循环，输出结果。while 语句格式 循环体认识：首先要求对表达式进行判断，如果表达式为真，则执行循环体部分，每次开始执行循环体前，都要判断表达式是否为真。这样重复执行，一直到表达式值为假时，就跳过循环体部分，结束循环。解答：Scilab的格式来解决这个问题在输入完程序的第二行后，击Enter键，再在提示符下输入j，击Enter键后，输出最大的j值步骤：第一步是选择一个变量j表示数值，并赋给初值1；第二步开始进入while循环语句循环体：j*j<1000,j=j+1;解释：j=1时，1*1=1<1000, j=1+1=2；遇到end开始第二次循环； j=2时，2*2=4<1000, j=2+1=3;遇到end开始第三次循环；… 第三步单击Enter键，再在提示符输入j，击Enter键，输出最大j值课堂练习：教材P31 练习B 2 学生探讨思考，算法思想渗透，教师归纳整理，给出语句结构激发学生兴趣，引导学生猜想，思考、观察、归纳，教师诱导、点评 使学生在具体实例中掌握算法思想、细化通过步骤分析、归纳、整理、使学生再次经历由特殊到一般、由具象到抽象的思维过程，培养学生的归纳、概括能力
应用举例 例3 教材P30 例题（略）课堂练习：练习：P31 A 2，3，4 B 3,4 通过学生思考、解答交流，教师巡视，注意个别指导，发现普遍性问题，应及时提到全体学生面前供大家讨论 加强学生对于概念的理解，培养学生独立解决问题的能力，并加强学生的相互纠错能力。使学生深入了解课堂内容。
归纳小结 引导学生回归本节课所学的知识及数学思想方法：（1）循环语句：for循环语句，while循环语句 （2）培养学生观察、归纳、概括能力，深入理解算法思想的应用 （3）善于用算法思想解决实际问题 学生先自觉回忆本节收获并交流，教师板书，并加强归纳整理 通过师生合作总结，使学生对本节课所学的知识结构有一个明确的认识，抓住本节的重点。
作业 教材 P31 1-2 A 4 ; B 3
--> j=1;
--> while j*j<1000,j=j+1; end
--> j=j-1;
--> j
j=
31.
while 表达式
循环体
end
for 循环变量=初值；步长；终值
循环体
end
S=0
for i=1:1:1000
S=S+i;
end2.1.2 系统抽样
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解系统抽样的概念；
（2）掌握系统抽样的一般步骤；
（3）正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系；
2、过程与方法：通过对实际问题的探究，归纳应用数学知识解决实际问题的方法，理解分类讨论的数学方法，
3、情感态度与价值观：通过数学活动，感受数学对实际生活的需要，体会现实世界和数学知识的联系。
4、重点与难点：正确理解系统抽样的概念，能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题。
教学设想：
【创设情境】：某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级500名学生中抽取50名进行调查，除了用简单随机抽样获取样本外，你能否设计其他抽取样本的方法？
【探究新知】
一、系统抽样的定义：
一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。
【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证：
（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样。
（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为k＝[].
（3）预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。
思考？
（1）你能举几个系统抽样的例子吗？
（2）下列抽样中不是系统抽样的是 （ ）
A、从标有1~15号的15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到
大号排序，随机确定起点i,以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样
B工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验
C、搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止
D、电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈
点拨:（2）c不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样。
二、系统抽样的一般步骤。
（1）采用随机抽样的方法将总体中的N个个编号。
（2）将整体按编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N,L≤k).
（3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L（L∈N,L≤k）。
（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+K，再加上K得到第3个个体编号L+2K，这样继续下去，直到获取整个样本。
【说明】从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想。
【例题精析】
例1、某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程。
[分析]按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第1段的编号。
解：按照1：5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59，我们把259名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，59组是编号为291～295的5名学生。采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为k(1≤k≤5)，那么抽取的学生编号为k+5L(L=0,1,2,……，58)，得到59个个体作为样本，如当k=3时的样本编号为3，8，13，……，288，293。
例2、从忆编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是
A．5，10，15，20，25 B、3，13，23，33，43
C．1，2，3，4，5 D、2，4，6，16，32
[分析]用系统抽样的方法抽取至的导弹编号应该k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中d=50/5=10,k是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项B满足要求，故选B。
【课堂练习】P49 练习1. 2. 3
【课堂小结】
1、在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统抽样的方法进行抽样，系统抽样的步骤为：
（1）采用随机的方法将总体中个体编号；
（2）将整体编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N)；
（3）在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号L；
（4）按照事先预定的规则抽取样本。
2、在确定分段间隔k时应注意：分段间隔k为整数，当不是整数时，应采用等可能剔除的方剔除部分个体，以获得整数间隔k。
【评价设计】
1、从2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为 （ ）
A．99 B、99，5
C．100 D、100，5
2、从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是 （ ）
A．1，2，3，4，5 B、5，16，27，38，49
C．2, 4, 6, 8, 10 D、4，13，22，31，40
3、采用系统抽样从个体数为83的总体中抽取一个样本容量为10的样本，那么每个个体人样的可能性为 （ ）
A．8 B.8，3
C．8.5 D.9
4、某小礼堂有25排座位，每排20个座位，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是 抽样方法。
5、某单位的在岗工作为624人，为了调查工作上班时，从家到单位的路上平均所用的时间，决定抽取10%的工作调查这一情况，如何采用系统抽样的方法完成这一抽样？第十三课时 三角函数的性质
教学目标：
理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.
教学重点：
正、余弦函数的性质
教学难点：
正、余弦函数性质的理解与应用
教学过程：
Ⅰ.课题导入
上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.
(1)定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作：
y＝sinx，x∈R
y＝cosx，x∈R
(2)值域
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即
－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.
其中正弦函数y=sinx，x∈R
①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
而余弦函数y＝cosx，x∈R
①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
(3)周期性
由 (k∈Z)
知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
根据上述定义，可知：
正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
(4)奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
(5)单调性
从y＝sinx，x∈［－，］的图象上可看出：
当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.
当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到
－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.
(1)y＝cosx＋1，x∈R； (2)y＝sin2x，x∈R.
解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝.
函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2.
(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝
由2x＝Z＝＋2kπ，得x＝＋kπ
即：使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝.
函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1.
［例2］求下列函数的定义域：
(1)y＝1＋ (2)y＝
解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1
即x≠＋2kπ(k∈Z)
∴原函数的定义域为｛x｜x≠＋2kπ，k∈Z｝
(2)由cosx≥0
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)
∴原函数的定义域为［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)
［例3］求下列函数的单调递增区间：
①y＝cos(2x＋)；②y＝3sin(－)
解：①设u＝2x＋，则y＝cosu
当2kπ－π≤u≤2kπ时y＝cosu随u的增大而增大
又∵u＝2x＋随x∈R增大而增大
∴y＝cos(2x＋)当2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)
即kπ－≤x≤kπ－时，y随x增大而增大
∴y＝cos(2x＋)的单调递增区间为：
［kπ－π，kπ－］(k∈Z)
②设u＝－，则y＝3sinu
当2kπ＋≤u≤2kπ＋时，y＝3sinu随x增大在减小，
又∵u＝－随x∈R增大在减小
∴y＝3sin(－)当2kπ＋≤－≤2kπ＋
即－4kπ－≤x≤－4kπ－时，y随x增大而增大
∴y＝3sin(－)的单调递增区间为 ［4kπ－，4kπ－］(k∈Z)
Ⅲ.课堂练习
课本P33 1～7
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用，解决一些相关问题.
Ⅴ.课后作业
课本P46 习题 2、3、4
课后练习：
1．给出下列命题：
①y＝sinx在第一象限是增函数；
②α是锐角，则y＝sin(α＋)的值域是［－1，1］；
③y＝sin｜x｜的周期是2π；
④y＝sin2x－cos2x的最小值是－1；
其中正确的命题的序号是_____.
分析:①y＝sinx是周期函数，自变量x的取值可周期性出现，如反例：
令x1＝，x2＝＋2π，此时x1＜x2
而sin＞sin(＋2π)
∴①错误；
②当α为锐角时，＜α＋＜＋
由图象可知＜sin(α＋)≤1
∴②错误；
③∵y＝sin｜x｜(x∈R)是偶函数.
其图象是关于y轴对称，可看出它不是周期函数.
∴③错误；
④y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，最小值为－1
∴④正确.
答案：④
评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.
2．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝lg(sinx－) (2)y＝2
分析：根据函数有意义列不等式，求x的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.
解：(1)要使lg(sinx－)有意义，必须且只须sinx＞，
解之得：2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈Z
又∵0＜sinx－≤1－
∴lg(sinx－)≤lg(1－)
∴定义域为(2kπ＋，2kπ＋)，(k∈Z)
值域为(－∞，lg(1－)］.
(2)要使2有意义，必须且只须2cos3x－1≥0，即cos3x≥，
解之得2kπ－≤3x≤2kπ＋
即 －≤x≤＋，k∈Z.
又0≤2cos3x－1≤1
故0≤2≤2
∴定义域为［－，＋］，k∈Z
值域为［0，2］
评述：求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题，要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.
4.比较下列各组数的大小：
(1)sin195°与cos170°;
(2)cos，sin，－cos
(3)sin(sin)，sin().
分析：化为同名函数，进而利用单调性来比较函数值的大小.
解：(1)sin195°＝sin(180°＋15°)＝－sin15°
cos170°＝cos(180°－10°)＝－cos10°＝－sin80°
∵0°＜15°＜80°＜90°
又∵y＝sinx在［0°，90°］上是递增函数，
∴sin15°＜sin80° ∴－sin15°＞－sin80°
∴sin195°＞cos170°.
(2)∵sin＝cos(－)
－cos＝cos(π－)
又∵－＝1.47＜1.5＝
π－＝1.39＜1.4＜－＜
而y＝cosx在［0，π］上是减函数，
由π－＜－＜＜π
得cos＜cos(－)＜cos(π－)
即cos＜sin＜－cos.
(3)∵cos＝sin
∴0＜cos＜sin＜1
而y＝sinx在［0，1］内递增
∴sin(cos)＜sin(sin).
- 5 -2004－2005学年度第二学期第一次阶段考试试卷
高一年级数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．函数的最小正周期是 （ ）
A． B． C． D．
2．将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解
析式为 （ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线成轴对称图形的是 （ ）
A． B．
C． D．
4．若，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
5．函数（常数）是偶函数，则的值是 （ ）
A． B． C．或 D．
6．若，，，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知，且，等于 （ ）
A． B． C． D．
8．设，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
9．在中，，则必为 （ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
10．若、是锐角的两个锐角，则点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中
横线上。
11．函数，且的单调区间是 ．
12．适合条件的最大负角是 ．
13．已知，又，，则的值是 ．
14．函数,（其中）的图象的一条对称轴是，一个最高点的纵坐标是，要使该函数的解析式为，还应给出一个条件是 （只要写出你认为正确的一个条件即可）．
三、解答题：本大题共6小题，共54分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分8分）
已知函数，
（1）求此函数的最小正周期；
（2）求此函数的单调递减区间。
16．（本小题满分8分）
已知函数 ，求它的最大值和最小值。
17．（本小题满分8分）
已知：，，成等差数列，，， 成等比数列，
求证：．
18．（本小题满分10分）
已知，求的最大值.
19．（本小题满分10分）
已知，且，
（1）求的值；
（2）求证：．
20．（本小题满分10分）
已知非零实数、满足，试求的值.
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- 1 -4.3.2空间两点间的距离公式
1． 教学任务分析
通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
2． 教学重点和难点
重点：空间两点间的距离公式
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
3． 教学基本流程
由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想
先推导特殊情况下的空间两点间的距离公式
推导一般情况下的空间两点间的距离公式
4、 情景设计
问题 问题设计意图 师生活动
在平面上任意两点A，B之间距离的公式为|AB|=，那么对于空间中任意两点A，B之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？ 通过类比，充分发挥学生的联想能力。 师：、只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。生：踊跃回答
（2）空间中任意一点P到原点之间的距离公式会是怎样呢？[1] 从特殊的情况入手，化解难度 师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成学生：在教师的指导下作答得出
问题 问题设计意图 师生活动
（3）如果是定长r,那么表示什么图形？ 任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角坐标系中，方程表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。 师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程表示的图形，让学生有种回归感。生：猜想说出理由
（4）如果是空间中任意一点到点之间的距离公式会是怎样呢？[2] 人的认知是从特殊情况到一般情况的 师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。得出结论：
数学教育网http:/// 主审戴刚锋平面向量总复习题
一、选择题
1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
答案：B
2.当|a|＝|b|≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.相等
解析：∵（a＋b）·（a－b）＝a 2－b2＝|a|2－|b|2＝0，∴（a＋b）⊥（a－b）．
答案：B
3.下面有五个命题，其中正确的命题序号为
①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋| b |
A.①②③ B.⑤
C.③⑤ D.①⑤
解析：①单位向量方向不确定，故不一定相等，所以命题①错误；
②方向相反的向量一定是共线向量，故命题②错误；
③两向量不能比较大小，故命题③错误；
④0与任意向量平行，故命题④错误；
⑤命题⑤正确.
答案：B
4.下列四式中不能化简为的是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：A选项中，
B选项中，＝0，，＋0＝
C选项中，＝0，－＋0＝＋0＝．
D选项中，，（∵）
答案：D
5.已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于（ ）
A.0 B.2＋ C. D.2
解析：∵，∴a＋b＝c，∴a＋b＋c＝2c，∴|2c|＝2.
答案：D
6.如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中不正确的是
A. B.＝0
C. D.
答案：D
7.已知a，b为非零向量，|a＋b|＝|a－b|成立的充要条件是
A.a∥b B.a，b有共同的起点
C.a与b的长度相等 D.a⊥b
解析：|a＋b|＝|a－b||a＋b|2＝| a－b|2（a＋b）2＝（a－b）2a2＋2a·b＋b2a2－2 a·b＋b2a·b＝0a⊥b
答案：D
8.下面有五个命题，其中正确命题的序号是
①|a|2＝a2；②；③（a·b）2＝a2·b2；④（a－b）2＝a 2－2a·b＋b 2；⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0
A.①②③ B.①④
C.②④ D.②⑤
解析：②
③（a·b）2＝（| a ||b|cosα）2＝| a |2|b|2cos2α，a 2·b2＝| a |2·|b|2,∴(a·b)2≠a2·b 2
⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b且a≠0，b≠0.
答案：B
9.若点P分有向线段成定比为3∶1，则点P1分有向线段所成的比为
A.－ B.－ C.－ D.－
解析：∵，则点P1分有向线段所成的比为－.
答案：A
10.已知点A（x，5）关于点C（1，y）的对称点是B（－2，－3），则点P（x，y）到原点的距离是
A.4 B. C. D.
解析：由中点坐标公式可得，解得x＝4，y＝1，
再由两点间距离公式得.
答案：D
11.将点（a，b）按向量a＝（h，k）平移后，得到点的坐标为
A.（a－h，b＋k） B.（a－h，b－k）
C.（a＋h，b－k） D.（a＋h，b＋k）
解析：设平移后点的坐标为（x′，y′），则根据平移公式可得，∴
答案：D
12.点A（2，0），B（4，2），若|AB|＝2|AC|，则点C坐标为
A.（－1，1） B.（－1，1）或（5，－1）
C.（－1，1）或（1，3） D.无数多个
解析：由题意|AB|＝，
∴|AC|＝.
故点C分布在以点A为圆心，半径为的圆上，故点C坐标有无数多个.
答案：D
13.将曲线f（x，y）＝0按向量a＝（h，k）平移后，得到的曲线的方程为
A.f（x－h，y＋k）＝0 B.f（x－h，y－k）＝0
C.f（x＋h，y－k）＝0 D.f（x＋h，y＋k）＝0
解析：设平移后曲线上任意一点坐标为（x′，y′），则根据平移公式可得，
∴
又f（x，y）＝0，∴f（x′－h，y′－k）＝0
即f（x－h，y－k）为平移后曲线方程.
答案：B
14.设P点在x轴上，Q点在y轴上，PQ的中点是M（－1，2），则|PQ|等于（ ）
A.4 B.2 C.5 D.2
解析：由题意设P（x，0），Q（0，y），由中点坐标公式可得＝－1，＝2
解得x＝－2，y＝4，
∴|PQ|＝.
答案：B
15.下列命题中，正确的是
A.|a·b|＝| a |·|b|
B.若a⊥（b－c），则a·b＝a·c
C.a2＞|a|
D.a（b·c）＝（a·b）c
解析：A．a·b＝|a||b|cosα，|a·b|＝|a||b||cosα|≠| a ||b|
B.若a＝0，则a·b＝a·c，
若b－c＝0，即b＝c，a·b＝a·c；
若a≠0，且b－c≠0，由a⊥（b－c），得a·（b－c）＝0.
∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，故B正确.
C.若|a|＝0或1，则a2＝|a|.
D.向量的数量积不满足结合律.
答案：B
16.函数y＝4sin2x的图象可以由y＝4sin（2x－）的图象经过平移变换而得到，则这个平移变换是
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
解析：∵用x－替换掉函数y＝4sin2x中的x可得y＝4sin2（x－）＝4sin（2x－），
故可将原函数图象向左平移个单位得到.
答案：A
17.已知m，n是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角是
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析：∵m·n＝|m||n|cos60°＝，
∴|a|＝，|b|＝
∴a·b＝（2 m＋n）（－3m＋2 n）＝－6 m 2＋2 n2＋m·n＝－6＋2＋＝－
∴cosα＝，∴α＝120°
答案：C
18.将函数y＝的图象按a平移后，函数解析式为y＝－1，则a等于（ ）
A.（－2，1） B.（2，－1）
C.（1，－1） D.（－1，1）
解析：y＝－1，即y＋1＝
∴用x－2，y＋1分别替换了原函数解析式中的x，y
即，∴即
∴a＝（2，－1）
答案：B
19.在直角三角形中，A、B为锐角，则sinA·sinB
A.有最大值和最小值0
B.有最大值，但无最小值
C.既无最大值，也无最小值
D.有最大值1，但无最小值
解析：∵△ABC为直角三角形，∴B＝－A
∴sinA·sinB＝sinA·sin（－A）＝sinA·cosA＝sin2A
当A＝B＝时，有最大值，但无最小值.
答案：B
20.α、β是锐角三角形的三个内角，则
A.cosα＞sinβ且cosβ＞sinα
B.cosα＜sinβ且cosβ＜sinα
C.cosα＞sinβ且cosβ＜sinα
D.cosα＜sinβ且cosβ＞sinα
解析：∵α、β是锐角三角形两内角，
∴α＋β＞，∴＞α＞－β＞0，
∴sinα＞sin（－β）
即sinα＞cosβ，同理sinβ＞cosα
答案：B
21.在△ABC中，sinA＜sinB是A＜B的
A.充分不必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由正弦定理可得，∴
由sinA＜sinB可得a＜b
根据三角形小边对小角可得A＜B，反之由A＜B也可推得sinA＜sinB
故sinA＜sinB是A＜B的充要条件.
答案：C
22.在△ABC中，tanA·tanB＞1，则△ABC为
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
解析：∵tanA·tanB＞1＞0，又∵A、B不可能同时为钝角，∴tanA＞0，tanB＞0，
∴tan（A＋B）＝＜0，
∴90°＜A＋B＜180°，∴0°＜C＜90°，
∴△ABC为锐角三角形.
答案：A
23.在△ABC中，A、B、C相应对边分别为a、b、c，则acosB＋bcosA等于
A.2cosC B.2sinC
C. D.c
解析：由正弦定理得：＝2R
得a＝2RsinA，b＝2RsinB
∴acosB＋bcosA＝2RsinAcosB＋2RcosAsinB＝2Rsin（A＋B）＝2RsinC＝c
答案：D
24.在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，则cosC等于
A. B. C.或 D.－
解析：由sinB＝，得
cosB＝±＝±
但当cosB＝－，cosA＋cosB＜0，C无解
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）
＝－（cosAcosB－sinAsinB）
＝sinAsinB－cosBcosA＝··
答案：A
25.在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2＜b2＋c2，则A的取值范围是（ ）
A.90°＜A＜180° B.45°＜A＜90°
C.60°＜A＜90° D.0°＜A＜90°
解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，
∴cosA＝＞0，∴A＜90°，
又∵a边最大，∴A角最大
∵A＋B＋C＝180°，∴3A＞180°，
∴A＞60°，∴60°＜A＜90°
答案：C
26.已知点A分的比为2，下列结论错误的是
A.B分的比为－ B.C分的比为－3
C.A分的比为2 D.C分的比为－
解析：数形结合可得C选项错误.
答案：C
27.在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积为
A.2 B.
C.2或 D.2或4
解析：sinC＝，
∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°
∴S△ABC＝AB·AC·sinA＝2或.
答案：C
28.在△ABC中，若sinB·sinC＝cos2，则△ABC是
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析：∵sinB·sinC＝
又cosA＝cos［180°－（B＋C）］＝－cos（B＋C）＝－（cosBcosC－sinBsinC）
∴2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，
∴cosBcosC＋sinBsinC＝1
∴cos（B－C）＝1，∴B＝C，
∴△ABC是等腰三角形.
答案：A
二、解答题
1.设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋k e 2，＝e1＋3 e 2，＝2e1－e 2，若A、B、D三点共线，求k的值.
分析：由于A、B、D三点共线，因此存在实数λ，使＝λ，而＝－＝e 1－4e2，将、的e1、e2表达式代入上式，再由向量相等的条件得到关于λ、k的方程组，便可求得k的值.
解：＝－＝（2 e 1－e2）－（e 1＋3e2）＝e1－4e2，
∵A、B、D三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，∴2 e 1＋ke2＝λ（e 1－4e2）
于是可得，解得k＝－8.
评述：此题解答关键是应用两个向量共线的充要条件，要注意两个向量共线和三点共线的区别和联系.
2.已知a、b是两个非零向量，当a＋tb（t∈R）的模取最小值时，
（1）求t的值；
（2）求证b⊥（a＋tb）.
分析：利用|a＋tb|2＝（a＋tb）2进行转换，可讨论有关|a＋tb|的最小值问题，若能算得b·（a＋tb）＝0，则证明了b⊥（a＋tb）.
（1）解：设a与b的夹角为θ
则|a＋tb|2＝（a＋tb）2
＝a2＋2a·tb＋t2b2
＝|a|2＋2t|a||b|cosθ＋t2|b|2
＝|b|2t2＋（2|a||b|cosθ）t＋|a|2
＝|b|2（t＋ cosθ）2＋|a|2sin2θ
∴当t＝－cosθ＝－时，|a＋tb|有最小值.
（2）证明：b·（a＋tb）＝b·（a－·b）＝a·b－·b·b＝a·b－a·b＝0
∴b⊥（a＋t b）.
评述：对|a＋tb|变形，可以从两个角度进行思考，一是通过|a＋t b |2＝（a＋t b）2的数量积运算；二是通设坐标化思想，进行向量的坐标运算，从而达到求解求证目的.
3.如图所示，OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形，又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示.
解：＝a－b
∵（a－b）
∴=b+（a－b）＝a＋b
又由＝a＋b，得
a＋b
a＋b）－（a＋b）＝a－b
评述：由于a，b不共线，因此a，b构成平行四边形OADB所在平面的一组基底，用它们可以表示出这个平面内的任何向量，将所要用a，b表示的向量连同a，b设法放在一个三角形或平行四边形内，是解决此类问题的常见方法.
4.已知O为△ABC所在平面内一点，且满足 ．
求证：O点是△ABC的垂心
证明：设＝a，＝b，＝c，则＝c－b，＝a－c，＝b－a.
∵||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2
∴a2＋（c－b）2＝b2＋（a－c）2＝c2＋（b－a）2
即c·b＝a·c＝b·a，
故·＝（b－a）·c＝b·c－a·c＝0
·＝（c－b）·a＝c·a－b·a＝0
∴⊥，⊥，
∴点O是△ABC的垂心.
5.如图所示，圆O内两弦AB、CD垂直相交于P点，求证：.
证明：设M、N分别为圆O的两弦AB、CD的中点，连OM、ON，则OM⊥AB，ON⊥CD.
∵
而AB⊥CD，∴四边形MPNO为矩形
∴，
∴
6.已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标.
解：设点D坐标（x，y），由AD是BC边上的高可得⊥，且B、D、C共线，
∴
∴
∴
∴
解得
∴点D坐标为（1，1），＝（－1，2）
7.已知a、b、c分别为△ABC三内角A、B、C所对的边，且2(sinA－sinB)，sinA－sinC，2（sinB－sinC）成等比数列.
求证：2b＝a＋c.
证明：要证2b＝a＋c，由正弦定理只要证：
sinB－sinA＝sinC－sinB即可：
由已知可得：（sinA－sinC）2－4（sinA－sinB）
（sinB－sinC）＝0，且sinA≠sinB，构造方程：
（sinA－sinB）x2－（sinA－sinC）x＋（sinB－sinC）＝0，且x＝1是方程的根
Δ＝（sinA－sinC）2－4（sinA－sinB）·（sinB－sinC）＝0，∴方程有两相等实根
由韦达定理可知：＝1
∴sinB－sinC＝sinA－sinB，故结论得证.
8.设i，j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，证明△ABC是直角三角形，并求它的面积.
解：＝（3i＋4j）－（4i＋2j）＝－i＋2j
又i⊥j，∴i·j＝0
∵·＝（4i＋2j）（－i＋2j）＝－4i2＋6i·j＋4j2＝0，∴⊥
∴△ABC是直角三角形，
∴S＝|·||＝×2×＝5
9.已知△ABC中三内角满足A＋C＝2B，，求cos的值.
解：由A＋C＝2B，可得B＝60°，A＋C＝120°
设＝α，则A－C＝2α，
∴A＝60°＋α，C＝60°－α，
∴
将B=60°代入得
∴2cos2α＋cosα－＝0
∴（2cosα－）（2cosα＋3）＝0
∴2cosα＋3＞0
∴cosα＝
即cos
10.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证：
证明：∵a2＝b2＋c2－2bccosA，，C＝π－（A＋B）
∴
故原等式成立.
11.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c为最大边，若accosA＋bccosB＜4S，其中S为△ABC的面积.
求证：△ABC为锐角三角形.
证明：由余弦定理及三角形面积公式accosA＋bccosB＜4S
即ac·＋bc·＜2absinC＜2ac
∴a2（b2＋c2－a2）＋b2（a2＋c2－b2）＜4a2b2
即（a2＋b2）c2＜a4＋2a2·b2＋b4＝（a2＋b2）2，
∴c2＜a2＋b2，
∵cosC＝＞0，∴C为锐角
又c为最大边，故C为最大角，
∴△ABC为锐角三角形.
12.在△ABC中，sinA＝，判断这个三角形的形状.
解：由正弦定理、余弦定理可得：
∴＝b＋c
∴b（a2－b2）＋c（a2－c2）＝bc（b＋c）
∴（b＋c）a2＝（b3＋c3）＋bc（b＋c），
∴a2＝b2＋c2，
∴△ABC是直角三角形.?
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—348—第三课时 一元二次不等式解法(二)
教学目标：
会把部分一元二次不等式转化成一次不等式组来求解，简单分式不等式求解；通过问题求解渗透等价转化的思想，提高运算能力，渗透分类讨论思想，提高逻辑思维能力，渗透等价转化与分类讨论思想.
教学重点：
一元二次不等式的求解.
教学难点：
将已知不等式等价转化成合理变形式子.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
试回忆一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0)的解的情况怎样？
对于上述问题，提醒学生借“三个二次”分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0的解集，学生可归纳：
（1）若Δ＞0，此时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2}，那么，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是{x|x1＜x＜x2}.
(2)若Δ＝0，此时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，x1＝x2＝－，那么不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x≠－}，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是.
（3）若Δ＜0，此时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点，即方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，那么，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是R，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是.
若a＜0时，可以先将二次项系数化成正数，对照上述（1）（2）（3）情况求解.
教师归纳：一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”“数形结合”及“化归”的数学思想.
Ⅱ.题组训练
题组一：（x＋a）(x＋b)＞0，（x＋a）(x＋b)＜0的解法探讨.
1.（x＋4)(x－1)＜0 2.(x－4)(x＋1)＞0
3.x(x－2)＞8 4.(x＋1)2＋3(x＋1)－4＞0
此题组题目可以按上节课的解法解决，但若我们能注意到题目1、2不等式左边是两个x的一次式的积，而右边是0，不妨可以借用初中学过的积的符号法则将其实现等价转化并求出结果.
对于题目1、2学生经过观察、分析，原不等式可转化成一次不等式组，进而求出其解集的并集.
1.解：将（x＋4)(x－1)＜0转化为或
由{x|}＝{x|－4＜x＜1}，{x|}＝
得原不等式的解集为{x|－4＜x＜1}∪＝{x|－4＜x＜1}
2.解：将(x－4)(x＋1)＞0转化为或
由{x|}＝{x|x＞4}，{x|}＝{x|x＜－1}
得原不等式解集为{x|x＞4}∪{x|x＜－1}＝{x|x＞-4或x＜－1}
对于题目3、4，教师引导学生，利用基本知识，基本方法将其转化成左边是两个x的一次式的积，右边是0的不等式，学生可顺利获解.
3.解：将x(x－2)＞8变形为x2－2x－8＞0
∴（x－4）(x＋2)＞0
∴{x|}＝{x|x＞4}，{x|}＝{x|x＜－2}
∴原不等式解集为{x|x＜－2或x＞4}
4.解：将原不等式变形为
[（x＋1）＋4][(x＋1)－1]＞0，即x(x＋5)＞0
∴{x|}＝{x|x＞0}，{x|}＝{x|x＜－5}
∴原不等式解集为{x|x＜－5或x＞0}
引导学生从特殊到一般归纳（x＋a）(x＋b)＞0与（x＋a）(x＋b)＜0的解法：将二次不等式（x＋a）(x＋b)＞0转化为一次不等式组或；(x＋a)(x＋b)＜0转化为一次不等式或.
题组二：＞0与＜0的解法探索.
1. ＜0 2.3＋＜0
3. ＞－3 4. ＞1
有了题组一的基础，学生通过观察、分析题组二题目的特点，结合初中学过的商的符号法则或结论“＞0ab＞0及＜0ab＜0”作为等价转化的依据，可以使题组二题目得解.
1.解：不等式可转化为或
∴{x|}＝{x|－7＜x＜3}，{x|}＝
∴原不等式解集为{x|－7＜x＜3}
2.解：不等式可转化为或
∴{x|}＝{x|－＜x＜0}，{x|}＝
∴原不等式解集为{x|－＜x＜0}
3.解：不等式可转化为＞0，即或
∴{x|}＝{x|x＞3}，{x|}＝{x|x＜}
∴原不等式解集为{x|x＜或x＞3}
4.解：原不等式转化为＞0
即或
∴{x|}＝{x|0＜x＜3}，{x|}＝
∴原不等式解集为{x|0＜x＜3}
继续引导学生归纳不等式＞0, ＜0的解法.
＞0 (x＋a)(x＋b)＞0，＜0 (x＋a)(x＋b)＜0
进而将其转化为一元一次不等式组求解.
题组三：含参数的不等式解法的探究.
1.解不等式x2＋(a2＋a)x＋a3＞0
2.不等式＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，求a.
对于题目1，一般学生能将其等价转化成不等式（x＋a)(x＋a)2＞0，由于含有参数a，须对其进行分类讨论，可以让学生分组讨论求其解集的方法.
解：原不等式转化为（x＋a)(x＋a2)＞0
当－a＞－a2即a＞1或a＜0时，{x|x＞－a或x＜－a2}
当－a＝－a2即a＝0时，{x|x≠0}；a＝1时，{x|x≠－1}.
当－a＜－a2即0＜a＜1时，{x|x＞－a2或x＜－a}
对于题目2，重在考查学生的逆向思维能力，继续让学生仔细思考，深入探究，学生的思路可能会有如下两种：
解法一：将原不等式转化为 [（a－1）x＋1](x－1)＜0，即(a－1)x2＋(2－a)x－1＜0
∴(1－a)x2＋(a－2)x＋1＞0，依据与系数的关系得 eq \b\lc\{(\a\al(＝2,＝3)) ， ∴a＝.
解法二：原不等式转化为[（a－1）x＋1]·(x－1)＜0
∵其解集为{x|x＜1或x＞2} ∴a－1＜0
∴[(1－a)x－1](x－1)＞0
∴2＝∴a＝
教师引导学生归纳：解含参数的一元二次不等式时，一般要对参数进行分类讨论，分类讨论取决于：
①由含参数的判别式Δ，决定解的情况.
②比较含参数的两根的大小；
③不等式的二次项系数决定对应的二次函数的抛物线开口方向.
Ⅲ.课堂练习.
课本P73练习1，2
Ⅳ.课时小结
1.（x＋a）(x＋b)＞0与（x＋a）(x＋b)＜0型不等式的解法.
2. ＞0与＜0型不等式的解法.
3.含参数的一元二次不等式的解法.
Ⅴ.课后作业
课本P73习题 4，5，6
补充：
1．解关于x的不等式：x2＋（m－m2）x－m3＞0.
解：将原不等式化成（x－m2）（x＋m）＞0，则
(1)当m2＞－m即m＞0或m＜－1时，解集为{x｜x＞m2或x＜－m}
(2)当m2＜－m即－1＜m＜0时，解集为{x｜x＞－m或x＜m2}
(3)当m2＝－m即m＝0或m＝－1时，解集为{x｜x≠0或x≠1}
从上可看到：上述问题的结论必须用分段的形式叙述，或所研究的对象全体不宜用同一方法处理的问题，可采用化整为零，各个击破，使问题获解.不妨再看如下题目，体会其思想方法.
2．解关于x的不等式ax2－2（a＋1）x＋4＞0.
解：当a＝0时，原不等式为一次不等式，即－2x＋4＞0，∴x＜2
当a≠0时，ax2－2（a＋1）x＋4＝0的判别式
Δ＝4（a－1）2≥0，其二根x1＝2，x2＝
于是有
①当a＜0时，{x｜＜x＜2}
②当0＜a≤1时，{x｜x＜2或x＞}
③当a＞1时，{x｜x＜或x＞2}
- 4 -圆与方程预习提纲
1．圆的标准方程：
2．圆的一般方程：
3．直线与圆的位置关系的判断：
4．圆与圆的位置关系的判断：
圆与方程教案
例1：已知两点P1（4，9）和P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程，并且判断点
M（6，9），N（3，3），Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外。
例2：圆x2 + y2 ＝4与圆（x－3）2 +（y－4）2 ＝16的位置关系。
例3：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7=0相切的圆的方程.
例4：过点A（3，1）和B（－1，3），且它的圆心在直线3x－y－2＝0上的圆的方程。
例5：求半径为10，和直线4x＋3y－70＝0切于点（10，10）的圆的方程。
例6：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0， y0）的切线的方程.
例7：求过点A（2，4）向圆x2 + y2 ＝4所引的切线方程。
例8：两直线分别绕A（2，0），B（－2，0）两点旋转，它们在y轴上的截距b，b′的乘积bb′＝4，求两直线交点的轨迹。
例9：已知一圆与y轴相切，圆心在直线l：x－3y = 0上，且被直线y＝x截得的弦AB长为2，求圆的方程。
例10：求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
例11：已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
例12：已知曲线C：（1＋a）x 2＋（1＋a）y 2－4x＋8ay＝0，（1）当a取何值时，方程表示圆；（2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；（3）当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值。
例13：已知圆x2 + y2＝1，求过点P（a，b）的圆的切线方程。
例14：已知圆方程为x2 + y2－4x－2y－20＝0，（1）斜率为－的直线l被圆所截线段长
为8，求直线方程；（2）在圆上求两点A和B，使它们到直线l：4x＋3y＋19＝0的距离分别取得最大值或最小值。
例15：自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2 + y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程。
圆与方程教案
例1：已知两点P1（4，9）和P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程，并且判断点
M（6，9），N（3，3），Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外。
解：根据已知条件，圆心C（a，b）是P1P2的中点，那么它的坐标为：
a＝＝5，b＝＝6
再根据两点的距离公式，得圆的半径是：
r＝︱CP1︱＝＝
∴所求圆的方程是：（x－5）2 +（y－6）2 ＝10
∵︱CM︱＝，︱CN︱＝＞，︱CQ︱＝3＜
∴点M在圆上，点Q在圆内，点N在圆外.
例2：圆x2 + y2 ＝4与圆（x－3）2 +（y－4）2 ＝16的位置关系。
解：∵圆心距＝5＜r1＋r2＝6
∴两圆相交
例3：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7=0相切的圆的方程.
解：因为圆C和直线3x－4y－7=0相切，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离.
根据点到直线的距离公式，得
因此，所求的圆的方程是
说明：例3中用到了直线和圆相切的性质，即圆心与切点连线垂直于切线且等于半径.
例4：过点A（3，1）和B（－1，3），且它的圆心在直线3x－y－2＝0上的圆的方程。
解：设圆的方程为 （x－a）2 +（y－b）2 ＝r 2
则：（3－a）2 +（1－b）2 ＝r 2，（－1－a）2 +（3－b）2 ＝r 2，3a－b－2 ＝0
解法二：线段AB的中点坐标是（1，2）
则 kAB＝＝－
所以，线段AB的垂直平分线方程为：
y－2＝2（x－1） 即：2x－y＝0
由
得圆心坐标为C（2，4）， 又r＝︱AC︱＝
∴圆的方程是：（x－2）2 +（y－4）2 ＝10
例5：求半径为10，和直线4x＋3y－70＝0切于点（10，10）的圆的方程。
解：设圆心坐标为C（x 0，y 0），则
eq \b\lc\{(\a\al( ·（－）＝－1,（x 0－10）2 +（y 0－10）2 ＝100))
解得：x 0＝2，y 0＝4或x 0＝18，y 0＝16
∴所求圆的方程是：
（x－2）2 +（y－4）2 ＝100或（x－18）2 +（y－16）2 ＝100
例6：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0， y0）的切线的方程.
解：设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径，
于是k=－ .
经过点M的切线方程是：
整理得：
因为点M（x0，,y0）在圆上，所以
所求切线方程为：
当点M在坐标轴上时，上述方程同样适用.
例7：求过点A（2，4）向圆x2 + y2 ＝4所引的切线方程。
解法一：设切线方程为 y－4＝k(x－2) 即 kx－y＋4－2k＝0
由 得：
（k 2＋1）x 2＋4k（2－k）x＋4k 2－16k＋12＝0
由△＝0得：k＝
又：当过点A并且与y轴平行的直线恰与圆相切
∴所求切线方程为：
x＝2或3x－4y＋10＝0
解法二：设切线方程为 kx－y＋4－2k＝0
则：＝2 得：k＝
又：当过点A并且与y轴平行的直线恰与圆相切
∴所求切线方程为：
x＝2或3x－4y＋10＝0
解法三：设切点为（x 0，y 0），则：
x 0x＋y0y＝4 ∴2x 0＋4y0＝4
又：x02 + y02＝4
∴x 0＝2，y 0＝0 或x 0＝－，y 0＝
得切线方程：x＝2或3x－4y＋10＝0
例8：两直线分别绕A（2，0），B（－2，0）两点旋转，它们在y轴上的截距b，b′的乘积bb′＝4，求两直线交点的轨迹。
解：设M（x，y）为两直线l1、l2的交点
则有l1：＋= 1，l2：＋= 1
得：b＝，b′＝
∴bb′＝·＝4
x2 + y2 ＝4（y≠0）
例9：已知一圆与y轴相切，圆心在直线l：x－3y = 0上，且被直线y＝x截得的弦AB长为2，求圆的方程。
解：设圆心C（3a，a）
∵圆与y轴相切 ∴r＝3︱a︱
又：︱CD︱＝＝︱a︱ ︱BD︱＝︱AB︱＝
由勾股定理得：a＝±1
∴所求圆的方程为：
（x＋3）2 +（y＋1）2 ＝9或（x－3）2 +（y－1）2 ＝9
例10：求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
解：设所求圆的方程为
用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F、
因为O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得
解得
于是所求圆方程为：x2+y2－8x+6y=0
化成标准方程为：（x－4）2+[y－(－3)]2=52
所以圆半径r=5,圆心坐标为（4，－3）
说明：如果由已知条件容易求得圆心的坐标、半径或需利用圆心的坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，如果已知条件和圆心坐标或半径都无关，一般采用圆的一般方程。
例11：已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
解：在给定的坐标系里，设点M（x,y）是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合.
由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为， ①
将①式两边平方，得
化简得x2+y2+2x－3=0 ②
化为标准形式得：（x+1）2+y2=4
所以方程②表示的曲线是以C（－1，0）为
圆心，2为半径的圆。
说明：到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆。
例12：已知曲线C：（1＋a）x 2＋（1＋a）y 2－4x＋8ay＝0，（1）当a取何值时，方程表示圆；（2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；（3）当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值。
解：（1）当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，为一直线；
当a≠－1时，（x－）2 +（y＋）2 ＝表示圆。
（2）方程变形为：x2 + y2－4x ＋a（x2 + y2 + 8y）＝0
∴C过定点A（0，0），B（，－）
（3）以AB为直径的圆面积最小（为什么？）
得圆的方程：（x－）2 +（y＋）2 ＝
∴＝，＝，＝
解得：a＝
例13：已知圆x2 + y2＝1，求过点P（a，b）的圆的切线方程。
解：（1）当P在圆内，即a2 + b2＜1时，无切线方程；
（2）当P在圆上，即a2 + b2＝1时，方程为：ax＋by＝1；
（3）当P在圆外，即a2 + b2＞1时，设直线方程为 y－b＝k（x－a），
即 kx－y－ka＋b＝0
由d＝＝1，得
（a 2－1）k 2－2abk＋b2－1＝0
当a≠±1时，k＝；当a＝±1时，k＝±
∴当a≠±1时，y－b＝(x－a)
当a＝1时，y－b＝ (x－1)或x＝1
当a＝－1时，y－b＝－ (x＋1)或x＝－1
例14：已知圆方程为x2 + y2－4x－2y－20＝0，（1）斜率为－的直线l被圆所截线段长
为8，求直线方程；（2）在圆上求两点A和B，使它们到直线l：4x＋3y＋19＝0的距离分别取得最大值或最小值。
解：（1）设所求方程为：y＝－x＋b，圆的方程可化为：
（x－2）2＋（y－1）2＝25
∴圆心C（2，1），半径r＝5
圆心到直线的距离为：d＝＝＝3
∴ b＝－或b＝
所求直线方程为：y＝－x－或y＝－x＋
即：4x＋3y＋4＝0或4x＋3y－26＝0
（2）解法一：设l′∥l且l′与圆相切，则所述距离即为l′与l间的距离，切点即为所求点。
设l′：4x＋3y＋m＝0 则由：
得：
25x 2＋4（2m－3）x＋m 2＋6m－180＝0
△＝16（2m－3）2－100（m 2＋6m－180）＝0
得：m＝14或m＝－36
又：x＝＝
∴x＝－2（m＝14时）或x＝6（m＝－36时）
得A（－2，－2），B（6，4）
解法二：过圆心作与直线l垂直的直线l′与圆交于A、B两点即为所求。
∵kl＝－ ∴k l′＝
∴l′：y－1＝（x－2） 即：3x－4y－2＝0
由 解出x、y即为A、B坐标
例15：自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2 + y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程。
解：圆的方程可化为 （x－2）2＋（y－2）2＝1
所以圆心C（2，2），半径r＝1
设直线l的斜率为k，则l：y－3＝k（x＋3）且反射光线l′的斜率为k′＝－k，
又l交x轴于（－－3，0）
所以，反射光线方程为：y＝－k（x＋＋3）
即：k x＋y＋3＋3 k＝0
圆心到l′的距离＝1
得：k＝－或k＝－
所以，所求直线l的方程为：
y－3＝－（x＋3）或 y－3＝－（x＋3）
即：4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0
- 4 -第四课时 弧度制(二)
教学目标：
理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系，掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，运用弧长公式、扇形面积公式解、证一些题目；使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习，都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，培养良好的学习品质.
教学重点：
角的集合与实数集R之间的一一对应关系，弧度制的简单应用.
教学难点：
弧度制的简单应用
教学过程：
角的集合与实数集R之间是一一对应的，即正角对应正实数，负角对应负实数，零角对应0.在弧度制下，弧长公式是怎样的呢
l＝｜α｜r，其中l表示弧长，r表示圆半径，α表示圆心角的弧度数.
扇形的面积公式S＝lＲ.其中l是扇形的弧长，R是圆的半径，在弧度制下证明，同学们是否想过在角度制下的证明，比较之，哪个方法更简便些
能够写出弧度制下扇形的面积公式吗 即用角的弧度数α与圆的半径R表示扇形的面积.
S＝｜α｜Ｒ2.
引入弧度制有什么好处呢
弧度制下的弧长公式比角度制下的弧长公式简单，弧度制下的扇形面积公式比角度制下的扇形面积公式简单，还有一点，弧度表示角时，找与角对应的实数相当方便，而角度表示角时，找与角对应的实数还须进行一番计算.
［例1］已知一扇形的周长为c(c＞0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值.
解：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S
∵c＝2R＋l，∴R＝ (l＜c)
则S＝Rl＝×·l＝(cl－l2)
＝－(l2－cl)＝－(l－)2＋
∴当l＝时，Smax＝
答：当扇形的弧长为 时，扇形有最大面积，扇形面积的最大值是.
［例2］一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB和弦AB的长.
分析：欲求∠AOB，需要知道的长和半径OA的长，用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，结合已知条件，能比较容易地求得，之后在△AOB中求弦AB的长.作OM⊥AB交AB于M，则AM＝BM＝AB，在Rt△AMO中求AM.
解：设扇形的半径为R cm.∠AOB=α rad.
据题意 解之得
过O作OM⊥AB交AB于M.
则AM＝BM＝AB.
在Rt△AMO中，AM＝sin1，∴AB＝2sin1
故∠AOB＝2 rad.该AB的长为2sin1厘米.
Ⅱ.课堂练习
课本P10练习 5、6
Ⅲ.课时小结
这节课，同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系，对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来，并在解决实际问题中灵活运用，大家能总结出引入弧度制的好处，这点很好，以后的学习中，我们就是要随着学习内容的增加、知识的丰富，不断总结，不断归纳，梳理知识，编织知识的网络，使易记、好用.特别是生丙、生戊善于联想、积极探索的学习品质，更是我们大家学习的榜样，同学们这样持之以恒的坚持下去，我们的数学学习效果将会是非常出色的.
Ⅳ.课后作业
（一）课本P10习题 8、9、13.
（二）1.预习内容：任意角的三角函数(P12~P15)
2.预习提纲：锐角三角函数是用边的比来定义的，任意角的三角函数是怎样定义的
弧度制(二)
1．一钟表的分针长10 cm，经过25分钟，分针的端点所转过的长为__________cm. （ ）
A.70 B. C. －4 D.
2．如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4 cm，则弓形的面积是_____cm2.（ ）
A. －4 B. －4
C. －4 D. －2
3．设集合M＝{α|α＝kπ±，k∈Z}，N＝{α|α＝kπ＋(－1)k ，k∈Z}那么下列结论中正确的是 （ ）
A.M＝N B.MN C.N M D.MN且NM
4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 （ ）
A. B. C. D.2
5．已知扇形的圆心角为2 rad，扇形的周长为8 cm，则扇形的面积为_________cm2.
6．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角
的 倍.
7．若角α的终边与π角的终边相同，则在［0，2π］上，终边与角的终边相同的角是 .
8．已知扇形AOB的圆心角α＝120°，半径r＝3，求扇形的面积.
9．1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.
10．已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
弧度制(二)答案
1．D 2．C 3．C 4．C 5．4 6． 7．π π π π
8．已知扇形AOB的圆心角α＝120°，半径r＝3，求扇形的面积.
解：α＝120°＝rad
∴S＝r2α＝×32×＝3π(面积单位）
答：扇形的面积为3π面积单位.
9．1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.
解：由已知可得r＝, ∴l＝r·α＝
S扇＝l·r＝·r2·α＝·＝
10．已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：∵l＝20－2r
∴S＝lr＝ (20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25
∴当半径r＝5 cm时，扇形的面积最大为25 cm2
此时，α＝＝＝2(rad)
- 3 -第18课时 指数函数（一）
教学目标：
使学生理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质；培养学生观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；培养学生发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
教学重点：
指数函数的概念、图象、性质
教学难点：
指数函数的图象、性质
教学过程：
教学目标
(一)教学知识点
1.指数函数.
2.指数函数的图象、性质.
(二)能力训练要求
1.理解指数函数的概念.
2.掌握指数函数的图象、性质.
3.培养学生实际应用函数的能力.
(三)德育渗透目标
1.认识事物之间的普遍联系与相互转化.
2.用联系的观点看问题.
3.了解数学知识在生产生活实际中的应用.
●教学重点
指数函数的图象、性质.
●教学难点
指数函数的图象性质与底数a的关系.
●教学方法
学导式
引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数的概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数的性质，而且是分a＞1与0＜a＜1两种情形.
●教具准备
幻灯片三张
第一张：指数函数的图象与性质(记作§2.6.1 A)
第二张：例1 (记作§2.6.1 B）
第三张：例2 (记作§2.6.1 C）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］前面几节课，我们一起学习了指数的有关概念和幂的运算性质.这些知
识都是为我们学习指数函数打基础.
现在大家来看下面的问题：
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是
y=2x
这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量x作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量.
下面，我们给出指数函数的定义.
Ⅱ.讲授新课
1.指数函数定义
一般地，函数y=ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R.
［师］现在研究指数函数y=ax(a＞0且a≠1)的图象和性质，先来研究a＞1的情形.
例如，我们来画y=2x的图象
列出x,y的对应值表，用描点法画出图象：
x … －3 －2 －1.5 －1 －0.5 0
y=2x … 0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1
x 0.5 1 1.5 2 3 …
y=2x 1.4 2 2.8 4 8 …
再来研究0＜a＜1的情况，
例如，我们来画y=2-x的图象.可得x,y的对应值，用描点法画出图象.也可根据y=2-x的图象与y=2x的图象关于y轴对称，由y=2x的图象对称得到y=2-x即y=()x的图象.
我们观察y=2x以及y=2-x的图象特征，就可以得到y=ax(a＞1)以及y=ax(0＜a＜1)的图象和性质.
2.指数函数的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
图 象
性 质 (1)定义域：R
(2)值域：(0，+∞)
(3)过点(0，1)，即x=0时，y=1
(4)在R上是增函数 (4)在R上是减函数
3.例题讲解
［例1］某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).
分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求.
解：设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.
经过1年，剩留量y=1×84%=0.841；
经过2年，剩留量y=0.84×84%=0.842；
……
一般地，经过x年，剩留量y=0.84x
根据这个函数关系式可以列表如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35
用描点法画出指数函数y=0.84x的图象.从图上看出y=0.5只需x≈4.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半.
评述：(1)指数函数图象的应用.
(2)数形结合思想的体现.
［例2］说明函数y=2x+1与y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图.
分析：做此题之前，可与学生一起回顾初中接触的二次函数平移问题.
解：比较函数y=2x+1与y=2x的关系：
y=2-3+1与y=2-2相等，
y=2-2+1与y=2-1相等，
y=22+1与y=23相等，
……
由此可以知道，将指数函数y=2x的图象向左平行移动一个单位长度，就得到函数y=2x+1的图象.
评述：此题目的在于让学生了解图象的平移变换，并能逐步掌握平移规律.
Ⅲ.课堂练习
1.课本P74练习1
在同一坐标系中，画出下列函数的图象：
(1)y＝3x；
（2）y＝（）x.
2.课本P73例2(2).
说明函数y＝2x－2与指数函数y＝2x的图象的关系，并画出它们的示意图.
解：比较y＝2x－2与y＝2x的关系
y＝2-1－2与y＝2-3相等，
y＝20-2与y＝2-2相等，
y＝23－2与y＝21相等，
……
由此可以知道，将指数函数y＝2x的图象向右平移2个单位长度，就得到函数y＝2x-2的图象.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家要能在理解指数函数概念的基础上，掌握指数函数的图象和性质，并会简单的应用.
Ⅴ.课后作业
（一）1.在同一坐标系里画出下列函数图象：
(1)y=10x；
(2)y=()x.
2.作出函数y=2x－1和y=2x+1的图象，并说明这两个函数图象与y=2x的图象关系.
答：如图所示，函数y＝2x－1的图象可以看作是函数y＝2x的图象向右平移两个单位得到.
函数y＝2x＋1的图象可以看作是函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到
（二）1.预习内容：
课本P73例3
2.预习提纲：
(1)同底数幂如何比较大小
(2)不同底数幂能否直接比较大小
●板书设计
§2.6.1 指数函数
1.指数函数定义：形如y＝ax（a＞0且a≠1）的函数叫指数函数
2.指数函数的图象性质
3.［例1］ ［例2］
4.学生 练习
Ⅰ.复习引入
引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x
细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系可知，函数关系是 y＝2x.
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为 y＝0.85x.
在y＝2x, y＝0.85x中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
Ⅱ.讲授新课
1．指数函数的定义
函数y＝a x（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R
探究1：为什么要规定a＞0,且a≠1呢？
①若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义.
②若a＜0，则对于x的某些数值，可使ax无意义. 如y＝(-2)x，这时对于x＝，x＝，…等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a＝1，则对于任何x∈R，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1。在规定以后，对于任何x∈R，ax都有意义，且ax＞0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0，+∞).
探究2：函数 y＝2·3x是指数函数吗？ 指数函数的解析式 y＝ax中，ax的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如 y＝ax+k (a＞0且a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=a-x(a＞0，且a≠1)，因为它可以化为 y＝(a-1)x，其中
a-x＞0，且a-x≠1.
活动设计：教师提出问题，学生思考、分析、讨论，教师引导、整理
2．指数函数的图象
活动设计：学生分别取不同的a值，用计算器作出函数图像，观察、分析讨论函数性质，教师辅导、启发、整理
⑴作图：（以下几例由学生作出类似情况，然后展示）
⑵描点法作函数草图
在同一坐标系中分别作出函数 y＝2x，y＝()x，y＝10x的图象.
⑴先分别列出 y＝2x，y＝()x，y＝10x中x、y的对应值表：
x … －3 －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 …
y＝2x … 0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.4 2 2.8 4 8 …
x … －3 －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 …
y＝()-x … 8 4 2.8 2 1.4 1 0.71 0.5 0.35 0.25 0.13 …
x … －1 －0.5 －0.25 0 0.25 0.5 1 …
y＝10x … 0.1 0.32 0.56 1 1.78 3.16 10 …
注意：
①用图形计算器函数值表填写列表，列表时注意x的广泛代表性，即对于负数、零、正数都要取到；
②要画出渐近的“味道”
⑶观察、总结
a A＞1 0＜a＜1
图 像
定义域 R R
值 域 y＞0 y＞0
定 点 过点(0，1) 过点(0，1)
单调性 单调递增 单调递减
Ⅲ.例题分析
［例1］（课本第81页）比较下列各题中两个值的大小：
①1.72.5，1.73； ②0.8－0.1，0.8－0.2； ③1.70.3，0.93.1
活动设计：理解用函数单调性来比较大小，教师引导、整理
解：利用函数单调性
①1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数 y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y=1.7x在R是增函数，而2.5<3，所以，1.72.5<1.73；
②略
③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：1.70.3>1.70>1；0.93.1<0.90<1；1.70.3>0.93.1
小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.
Ⅳ.课堂练习
⑴比较大小：－0.7－0.2 －1.7－0.3；（－2.5） （－2.5）
⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：
（）m ＞（）n，m n；1.1m＜1.1n，m n.
⑶比较下列各组中数的大小：10， 0.4－2.5， 2－0.2， 2.51.6
Ⅴ.课时小结
指数函数的定义；图象的作法；性质
Ⅵ.课后作业
课本P54 习题：1，2.
- 4 -第8课时 平行直线（一）
教学目标：
了解空间两直线的三种位置关系；掌握公理4的意义及空间四边形的概念，能正确
运用公理4判断空间两直线平行。
教学重点：公理4。
教学难点：运用公理4。
教学过程：
1、掌握两条直线的位置关系，即如下3种
（1）相交直线：共面，有且只有一个公共点
（2）平行直线：共面，没有公共点
（3）异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
2、对异面直线的概念这个重点和难点要着重明确如下几点：
（1）两条直线若异面则必不能同在任何一个平面内，因此它们不相交也不平行。
（2）分别在某两个平面内的两条直线，不一定是异面直线，如下图
（3）画异面直线时，以辅助平面作衬托，更为直观，如图
3、公理4：平行于同一条直线的两直线互相平行
公理4是论证平行问题的主要根据，也是确定平面的基础
例1：如图，在正方体ABCD——A1B1C1D 1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：
（1）AB与CC1；（2）A1B1与DC；（3）A1C与D1B；
（4）DC与BD1；（5）D1E与CF
解：（1）∵C∈平面ABCD，AB平面ABCD
又CAB，C1平面ABCD
∴AB与CC1异面
（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC
（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC
则A1、B、C、D1在同一平面内 ∴A1C与D1B相交
（4）∵B∈平面ABCD，DC平面ABCD
又BDC，D1平面ABCD ∴DC与BD1异面
（5）如图，CF与DA的延长线交于G，连结D1G，
∵AF∥DC，F为AB中点， ∴A为DG的中点，又AE∥DD1，
∴GD1过AA1的中点E， ∴直线D1E与DF相交
点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）。两条直线相交，总可以找到它们的交点。作图时用实点标出。两条直线异面，有时看上去象平行，（如图中的EB与A1C）有时看上去象相交（如图中的DC与D1B）。所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条异面直线判定的方法。
例2：在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和棱CC1的中点。
求证：EB1∥DF，ED∥B1F
证明：设G是DD1的中点，分别连结EG，GC1
∵EGA1D1，B1C1 A1D1，
∴EGB1C1 四边形EB1C1G是平行四边形
∴EB1GC1 又EB1DF，
∴四边形EB1FD是平行四边形
∴ED∥B1F
例3：已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点, F、G分别是CB、CD上的点，且＝＝
求证：四边形EFGH是梯形。
证明：（过程略）
引申：
（1）若BD＝a，则梯形的中位线的长是多少？
（2）求证：EF、GH的交点在AC所在直线上。
（3）已知空间四边形ABCD，P、Q分别是AB、CD的中点。
求证：PQ＜（AC＋BD）
证明：设R是BC的中点，分别连接PR，RQ
∵P是AB的中点
∴PR AC 同理，QR BD
∵在△PQR中，PQ＜PR＋QR＝（AC＋BD）
∴命题得证
判断：
（1）空间两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）若a、b为异面直线，则所有平行于a的直线与b异面
作图：
过如图长方体木块中BC中点P作A 1 C 1的平行线
课堂小结：
1、运用公理4判断两直线平行时须借助第三条线
2、平面图形适用的结论，对立体图形不一定适用
课后作业：
P297，10，12
- 3 -第四课时 向量的数乘(一)
教学目标：
掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.
教学重点：
实数与向量积的定义；实数与向量积的运算律；
教学难点：
对向量共线的理解.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算.这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及其推广.
Ⅱ.讲授新课
在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算.
已知非零向量a，我们作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).
由图可知，＝＋＋＝a＋a＋a，我们把a＋a＋a记作3a，即＝3a，显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即｜3a｜＝3｜a｜.
同样，由图可知，＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)，我们把(－a)＋(－a)＋(－a)记作－3a，即＝－3a，显然－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍，即｜－3a｜＝3｜a｜.
上述过程推广后即为实数与向量的积.
1.实数与向量的积
实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
(1)｜λa｜＝｜λ｜｜a｜
(2)当λ＞0时，λ a与a同向；当λ＜0时，λ a与a反向；当λ＝0时，λ a＝0.
根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律.
2.实数与向量的积的运算律
(1)λ (μa)＝(λμ)a
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa
(3)λ (a＋b)＝λa＋λb
说明：对于运算律的验证要求学生通过作图来进行.
3.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.
说明：(1)推证过程引导学生自学；
(2)可让学生思考把“非零向量”的“非零”去掉后，是否正确，目的是通过0与任意向量的平行来加强学生对于充要条件的认识.
下面我们通过例题分析来进一步熟悉向量与实数积的定义、运算律及两向量共线的充要条件的应用.
［例1］若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.
分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.
解：记3m＋2n＝a ①
m－3n＝b ②
3×②得3m－9n＝3b ③
①－③得11n＝a－3b.
∴n＝a－b ④
将④代入②有：m＝b＋3n＝a＋b
评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
［例2］凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证＝ (＋).
证法一：构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于
三角形中位线定理解决.
过点C在平面内作＝，则四边形ABGC是平行
四边形，故F为AG中点.
∴EF是△ADG的中位线，
∴EFDG，∴＝.
而＝＋＝＋，
∴＝ (＋).
证法二：创造相同起点，以建立向量间关系
如图，连EB，EC，则有＝＋，
＝＋，又∵E是AD之中点，
∴有＋＝0.
即有＋＝＋；
以与为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.
∴＝＝ (＋)＝ (＋)
Ⅲ.课堂练习
课本P66练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.
Ⅴ.课后作业
课本P68习题 5，6，7
- 1 -§6 正切函数（2课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、 过程与方法
类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。
3、 情感态度与价值观
使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质
难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题
三、学法与教学用具
我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 正切函数的定义、图像及性质
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。
【探究新知】
1． 正切函数的定义
在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P（a，b），唯一确定比值.根据函数定义，比值是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.
比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝ (α∈R，α≠＋kπ，k∈Z).
由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。
下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.
如右图，单位圆与x轴正半轴的交点为A（1 ,0），任意角α
的终边与单位圆交于点P，过点A（1 ,0）作x轴的垂线，与角
的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出：
当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方；
当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方。
分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两
个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT的值相等。因此，
我们称有向线段AT为角α的正切线。
2．正切函数的图象
（1）首先考虑定义域：
（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期：
∴的周期为（最小正周期）
（3）因此我们可选择的区间作出它的图象。
根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，且的图像，称“正切曲线”
从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。
3．正切函数y＝tanx的性质
引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：，
（2）值域：R
观察：当从小于，时，
当从大于，时，。
（3）周期性：
（4）奇偶性：奇函数。
（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 正切函数的诱导公式及例题讲评
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们已经知道，在正、余弦函数中，我们是先学诱导公式，再学图像与性质的。在学正切函数时，我们为什么要先学图像与性质，再学诱导公式呢？
【探究新知】
观察下图，角α与角2π＋α，2π－α，π＋α，π－α，－α的正切函数值有何关系？
我们可以归纳出以下公式：π－α，
tan(2π＋α)＝tanα
tan(－α)＝－tanα
tan(2π－α)＝－tanα
tan(π－α)＝－tanα
tan(π＋α)＝tanα
【巩固深化，发展思维】
1． 例题讲评
例1．若tanα＝，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。
解：∵tanα＝＞0，∴α是第一象限或第三象限的角
（1）如果α是第一象限的角，则由tanα＝可知，角α终边上必有一点P（3，2）.
所以x＝3，y＝2. ∵r＝|OP|＝ ∴sinα＝＝， cosα＝＝.
(2) 如果α是第三象限角，同理可得：sinα＝＝－， cosα＝＝－.
例2．化简：
解：原式＝＝＝－.
2．学生课堂练习
教材P45的练习1、2、3、4
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：P45习题A组1—11
四、课后反思
30
210
A
T
o
y
x
P
y
x
O
x
y
0
x
y
0
PAGE
4第一课时 向量的概念及表示
教学目标：
理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.
教学重点：
向量概念、相等向量概念、向量几何表示.
教学难点：
向量概念的理解.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.
还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.
向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.
而这一节课，我们将学习向量的有关概念.
Ⅱ.讲授新课
这一节，大家通过自学来熟悉相关内容，然后我们通过概念辨析例题来检验大家自学的效果.
1.向量的概念：
(我们把既有大小又有方向的量叫向量)
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：.
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0；
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
4.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.
说明：(1)综合①、②才是平行向量的完整定义；
(2)向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.
5.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：(1)向量a与b相等，记作a＝b；
(2)零向量与零向量相等；
(3)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
6.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
说明：(1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
(2)共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
［例1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝；
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
分析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.
④、⑤正确.
⑥不正确.如图，与共线，虽起点不同，但其终点却相同.
评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.
［例2］下列命题正确的是 ( )
A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
分析：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确，由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确.对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以应选C.
评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要启发学生注意这两方面的结合.
几点说明：
1.向量有三个要素：起点、方向、长度.
2.向量不能比较大小，但向量的长度(或模)可以比较大小
3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.
4.向量a与实数a.
5.零向量0与实数0
6.注意下列写法是错误的：
①a－a＝0; ②＋＋＝0;
③a＋0＝a; ④｜a｜－｜a｜＝0.
7.平行向量与相等向量
方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定零向量与零向量相等.
平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要条件.
为巩固大家对向量有关概念的理解，我们进行下面的课堂训练.
Ⅲ.课堂练习
课本P59练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家能理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用.
Ⅴ.课后作业
课本P59习题 1，2，3，4
- 3 -第三课时 向量的减法
教学目标：
掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量，能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量，了解向量方程，并会用几何法解向量方程.
教学重点：
向量减法的三角形法则.
教学难点：
对向量减法定义的理解.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习了向量的加法，并熟悉了求解向量和的向量加法的平行四边形法则与三角形法则，并进行了简单应用.
这一节，我们来继续学习向量的减法.
Ⅱ.讲授新课
1.向量减法的定义
向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b).
求两个向量差的运算，叫向量的减法.
说明：(1)与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量；
(2)零向量的相反向量仍是零向量；
(3)任一向量和它相反向量的和是零向量.
［师］从向量减法的定义中，我们可以体会到向量减法与向量加法的内在联系.
2.向量减法的三角形法则
以平面内的一点作为起点作a，b，则两向量终点的连线段，并指向a终点的向量表示a－b.
说明：向量减法可以转化为向量加法，如图b与a－b首尾
相接，根据向量加法的三角形法则有b＋(a－b)＝a
即a－b＝.
下面我们通过例题来熟悉向量减法的三角形法则的应用.
［例1］如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
分析：根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个
同起点的向量.
作法：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
＝c，＝d.
作，，则＝a－b，＝c－d
［例2］判断题
(1)若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b的方向必与a、b之一的方向相同.
(2)三角形ABC中，必有＋＋＝0.
(3)若＋＋＝0，则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.
(4)｜a＋b｜≥｜a－b｜.
分析：(1)a与b方向相同，则a＋b的方向与a和b方向都相同；若a与b方向相反，则有可能a与b互为相反向量，此时a＋b＝0的方向不确定，说与a、b之一方向相同不妥.
(2)由向量加法法则＋＝，与是互为相反向量，所以有上述结论.
(3)因为当A、B、C三点共线时也有＋＋＝0，而此时构不成三角形.
(4)当a与b不共线时，｜a＋b｜与｜a－b｜分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定.
当a、b为非零向量共线时，同向则有｜a＋b｜＞｜a－b｜，异向则有｜a＋b｜＜｜a－b｜；
当a、b中有零向量时，｜a＋b｜＝｜a－b｜.
综上所述，只有(2)正确.
［例3］化简－＋－.
解：原式＝＋－＝－＝0
［例4］化简＋＋＋.
解：原式＝(＋)＋(＋)＝(－)＋0＝
Ⅲ.课堂练习
课本P65练习1，2，3，4，5，6.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家在理解向量减法定义的基础上，掌握向量减法的三角形法则，并能加以适当的应用.
Ⅴ.课后作业
课本P68习题 4，8，11
向量、向量的加减法
1．下列关于零向量的说法中，错误的是 （ ）
A.零向量长度为0 B.零向量是没有方向的
C.零向量的方向是任意的 D.零向量与任一向量平行
2．下列命题中，正确的是 （ ）
A.若|a|＝|b|，则a＝b B.若|a|＞|b|，则a＞b
C.若a＝b，则a∥b D.若|a|＝1，则a＝±1
3．当|a|＝|b|，且a与b不共线时，a＋b与a－b的关系为 （ ）
A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等
4．如右图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，则与向量
相等的向量有 .
5．已知||＝10，||＝7，|则||的取值范围为 .
6．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°.
则|a＋b|＝ ，|a－b|＝ .
7．化简＋＋－－＝ .
8．判断以下说法是否正确.
（1）向量a与b共线，b与c共线，则a与c共线. （ ）
（2）任意两个非零的相等向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点. （ ）
（3）向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上. （ ）
（4）向量a与b平行，则a与b的方向相同. （ ）
（5）长度相等且起点相同的两个向量，其终点必相同. （ ）
9．已知两个力F1、F2的方向互相垂直，且它们的合力F大小为10 N，与力F1的夹角为60°，求力F1与F2的大小.
10．一架飞机从A地按北偏西30°方向飞行300 km，到达B地，然后向C地飞行，设C地恰在A北偏东60°，且距A 100 km处，求飞机从B地向C地飞行的方向和B、C两地的距离.
向量、向量的加减法答案
1．B 2．C 3．B 4．，， 5．［3，17］ 6．4 4 7．
8．（1）错误 （2）错误 （3）错误 （4）错误 （5）错误
9．F1，F2分别为5 N和5 N
10．解：∵BC＝＝200，sinB＝ eq \f(100,200) ＝∴B＝30°，∴飞机从B以南偏东60°的方向向C地飞行.
- 3 -第九课时 等比数列的前n项和(一)
教学目标：
会用等比数列求和公式进行求和，灵活应用公式与性质解决一些相关问题；培养学生的综合能力，提高学生的数学修养.
教学重点：
1.等比数列的前n项和公式.
2.等比数列的前n项和公式的推导.
教学难点：
灵活应用公式解决有关问题.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
前面我们一起学习有关等比数列的定义、通项公式及性质.
(1)定义式：＝q(n≥2，q≠0)
(2)通项公式：an＝a1qn－1(a1，q≠0)
(3)性质：①a，G，b成等比数列G2＝ab
②在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq
Ⅱ.讲授新课
前面我们一起探讨了等差数列的求和问题，等比数列的前n项和如何求 下面我们先来看引言.
引言中提到的问题是这样的：求数列1，2，4，…，263的各项和.可看出，这一数列为一以a1＝1，q＝2的等比数列.这一问题相当于求此数列的前64项的和.
1.前n项和公式
一般地，设有等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋…＋an.
刚才问题即为求：S64＝a1＋a2＋…＋a64＝1＋2＋4＋…＋263 ①
我们发现，若在①式两边同乘以2，则得
2S64＝2＋4＋…＋263＋264 ②
由②－①可得：S64＝264－1
同理，可知，若Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
又∵在等比数列中，an＝a1qn－1，∴a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1,
qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn
不妨将上两式相减可得(1－q)Sn＝a1－a1qn
（1）当q＝1，Sn＝na1
（2）当q≠1时，Sn＝ ①
或Sn＝ ②
若已知a1，q，n，则选用公式①；当已知a1，q，an时，则选用公式②.
2.例题讲解
［例1］求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.
分析：等比数列的第5项到第10项可组成一新等比数列.
解法一：由1，2，4，…可知：a1＝1，q＝2
∴an＝2n－1，∴a5＝24＝16，a10＝29＝512.
从第5项到第10项共有6项，它们的和为：＝1008.
答案：从第5项到第10项的和为1008.
解法二：从第5项到第10项的和为：a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝S10－S4
由a1＝1，q＝2得Sn＝＝2n－1，∴S10＝210－1＝1023
S4＝24－1＝15，S10－S4＝1008.
答：从第5项到第10项的和为1008.
［例2］一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人
分析：得知信息的人数可组成一以1为首项，公比为2的等比数列.
解：根据题意可知，获知此信息的人数依次为1，2，4，8，…是一以a1＝1，q＝2的等比数列.
一天内获知此信息的总人数为即为此数列的前24项之和S24＝＝224－1
答：一天时间可传遍224－1人.
评述：应先将所遇问题数学化，然后用有关知识加以解决.
Ⅲ.课堂练习
课本P54练习1，2，3，4
Ⅳ.课时小结
等比数列求和公式：Sn＝或Sn＝ (q≠1)及推导方法：错位相减法.是本节课应重点掌握的内容，课后应进一步熟练公式掌握其基本应用.
Ⅴ.课后作业
课本P58习题 1，2，7
等比数列的前n项和(一)
1．若数列{an}的前n项和为Sn＝an－1(a≠0)，则这个数列的特征是 （ ）
A.等比数列 B.等差数列
C.等比或等差数列 D.非等差数列
2．等比数列{an}中，若S6＝91，S2＝7，则S4为 （ ）
A.28 B.32 C.35 D.49
3．数列{an}的通项公式为an＝，若Sn＝9，则n等于 （ ）
A.9 B.10 C.99 D.100
4．使数列10，10，10，…，10，…，前n项之积大于105，则自然数n值为（ ）
A.6 B.9 C.11 D.12
5．已知两数的等差中项是10，等比中项是8，则以这两数为根的一元二次方程是 （ ）
A.x2＋10x＋8＝0 B.x2－10x＋64＝0
C.x2＋20x＋64＝0 D.x2－20x＋64＝0
6．在等比数列中，若S10＝10，S20＝30，则S30＝ .
7．在正实数组成的等比数列中，若a4a5a6＝3，则log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝ .
8．在等比数列中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3，a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝9，则a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝ .
9．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝ .
10．数列1，2，3，…的前n项和为 .
11．已知等比数列中{an}：1，2，4，8，……，它的第n项为an，求a3n.
12．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1＝4an＋2(n＝1，2，…)，a1＝1
（1）设bn＝an+1－2an(n＝1，2，…)，求证{bn}是等比数列；
（2）设cn＝ (n＝1，2，…)，求证{cn}是等差数列；
（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式.
等比数列的前n项和(一)答案
1．C 2．A 3．C 4．C 5．D
6．70 7． 8．27 9． 10．（n2＋n＋2）－ 11．a3n＝23n－1
12．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1＝4an＋2(n＝1，2，…)，a1＝1
（1）设bn＝an+1－2an(n＝1，2，…)，求证{bn}是等比数列；
（2）设cn＝ (n＝1，2，…)，求证{cn}是等差数列；
（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式.
解：（1）∵Sn+1＝4an＋2 ①
∴Sn+2＝4an+1＋2 ②
②－①得：Sn+2－Sn+1＝4an+1－4an(n＝1，2，…)，即an+2＝4an+1－4an
an+2－2an+1＝2(an+1－2an)
∵bn＝an+1－2an(n＝1，2，…) ∴bn+1＝2bn
由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列.
由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，又a1＝1，得a2＝5
∴b1＝a2－2a1＝3，∴bn＝3·2n－1
(2)∵cn＝ (n＝1，2，…)，
∴cn+1－cn＝－＝＝
将bn＝3·2n－1代入，得cn+1－cn＝ ( n＝1，2，…)
由此可知：数列{cn}是公差为的等差数列，c1＝＝
故cn＝＋（n－1）＝n－
(3)∵cn＝n－＝（3n－1）
∴an＝2n·cn＝(3n－1)·2n－2(n＝1，2，…)
当n≥2时，Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)·2n－1＋2.
由于S1＝a1＝1也适合于此式,
∴前n项公式为：Sn＝(3n－4)·2n－1＋2
- 3 -第二课时 余弦定理
教学目标：
了解向量知识应用，掌握余弦定理推导过程，会利用余弦定理证明简单三角形问题，会利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.
教学重点：
余弦定理证明及应用.
教学难点：
1.向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程；
2.余弦定理在解三角形时的应用思路.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
上一节，我们一起研究了正弦定理及其应用，在体会向量应用的同时，解决了在三角形已知两角一边和已知两边和其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决，
如图(1)在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢 下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.
在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a.
分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，
所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角
关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在
Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CD、DB表示，而CD可
在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB—AD转化为
AD，进而在Rt△ADC内求解.
解：过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CDB中，根据勾股定理可得：
a2＝CD2＋BD2
∵在Rt△ADC中，CD2＝b2－AD2
又∵BD2＝(c－AD)2＝c2－2c·AD＋AD2
∴a2＝b2－AD2＋c2－2c·AD＋AD2＝b2＋c2－2c·AD
又∵在Rt△ADC中，AD＝b·cosA
∴a2＝b2＋c2－2bccosA
类似地可以证明b2＝a2＋c2－2accosB
c2＝a2＋b2－2abcosC
另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时a2＝b2＋c2也符合上述结论，这也正是我们这一节将要研究的余弦定理，
Ⅱ.讲授新课
1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
形式一：
a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
形式二：
cosA＝，cosB＝，cosC＝.
在余弦定理中，令C＝90°，这时，cosC＝0，所以c2＝a2＋b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用.
2.向量法证明余弦定理
(1)证明思路分析
由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现，那么可以与哪些向量知识产生联系呢
向量数量积的定义式：a·b＝｜a｜｜b｜cosθ，其中θ为a、b的夹角.
在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处，但又有
所区别，首先因为无须进行正、余弦形式的转换，也就省去添加
辅助向量的麻烦.当然，在各边所在向量的联系上依然通过向量加
法的三角形法则，而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导，
比如证明形式中含有角C，则构造·这一数量积以使出现cosC.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提.
(2)向量法证明余弦定理过程：
如图，在△ABC中，设AB、BC、CA的长分别是c、a、b.
由向量加法的三角形法则可得＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)
＝2＋2·＋2
＝｜｜2＋2｜｜｜｜cos(180°－B)＋｜｜2
＝c2－2accosB＋a2
即b2＝c2＋a2－2accosB
由向量减法的三角形法则可得：
＝－
∴·＝(－)·(－)
＝2－2·＋2
＝｜｜2－2｜｜｜｜cosA＋｜｜2
＝b2－2bccosA＋c2
即a2＝b2＋c2－2bccosA
由向量加法的三角形法则可得
＝＋＝－
∴·＝(－)·(－)
＝2－2·＋2
＝｜｜2－2｜｜｜｜cosC＋｜｜2
＝b2－2bacosC＋a2.
即c2＝a2＋b2－2abcosC
评述：(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.
(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定，与属于同起点向量，则夹角为A；与是首尾相接，则夹角为角B的补角180°－B；与是同终点，则夹角仍是角C.
在证明了余弦定理之后，我们来进一步学习余弦定理的应用.
利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角.
这类问题由于三边确定，故三角也确定，解唯一；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
这类问题第三边确定，因而其他两个角唯一，故解唯一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.
接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结.
3.例题评析
［例1］在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.(精确到1°)
分析：此题属于已知三角形三边求角的问题，可以利用余弦定理，意在使学生熟悉余弦定理的形式二.
解：∵cosA＝＝＝0.725，∴A≈44°
∵cosC＝＝＝＝0.8071，∴C≈36°
∴B＝180°－(A＋C)≈180°－(44°＋36°)＝100°.
评述：(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理，即三角形内角和为180°，可用余弦定理求出两角，第三角用三角形内角和定理求出.
(2)对于较复杂运算，可以利用计算器运算.
［例2］在△ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1′).
分析：此题属于已知两边夹角解三角形的类型，可通过余弦定理形式一先求出第三边.在第三边求出后其余边角求解有两种思路：一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角，二是利用两边和一边对角结合正弦定理求解，但若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍，而在0°～180°之间，余弦有唯一解，故用余弦定理较好.
解：由c2＝a2＋b2－2abcosC＝2.7302＋3.6962－2×2.730×3.696×cos82°28′
得c＝4.297.
∵cosA＝＝＝0.7767，∴A＝39°2′
∴B＝180°－(A＋C)＝180°－(39°2′＋82°28′)＝58°30′.
评述：通过例2，我们可以体会在解斜三角形时，如果正弦定理与余弦定理均可选用，那么求边两个定理均可，求角则余弦定理可免去判断取舍的麻烦.
［例3］已知△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c及S△ABC.
分析：根据已知条件可以先由正弦定理求出角A，再结合三角形内角和定理求出角C，再利用正弦定理求出边c，而三角形面积由公式S△ABC＝acsinB可以求出.
若用余弦定理求c，表面上缺少C，但可利用余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB建立关于c的方程，亦能达到求c的目的.
下面给出两种解法.
解法一：由正弦定理得＝
∴A1＝81.8°，A2＝98.2°
∴C1＝38.2°，C2＝21.8°，
由＝，得c1＝3，c2＝5
∴S△ABC＝ac1sinB＝6或S△ABC＝ac2sinB＝10
解法二：由余弦定理得
b2＝c2＋a2－2cacosB
∴72＝c2＋82－2×8×ccos60°
整理得：c2－8c＋15＝0
解之得：c1＝3，c2＝5，
∴S△ABC＝ac1sinB＝6，或S△ABC＝ac2sinB＝10.
评述：在解法一的思路里，应注意由正弦定理应有两种结果，避免遗漏；而解法二更有耐人寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决.故解法二应引起学生的注意.
综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围：已知三边求任意角或已知两边夹角解三角形，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法.
为巩固本节所学的余弦定理及其应用，我们来进行下面的课堂练习.
Ⅲ.课堂练习
1.在△ABC中：
(1)已知b＝8，c＝3，A＝60°，求a；
(2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B；
(3)已知a＝3，c＝2，B＝150°，求b；
(4)已知a＝2，b＝，c＝＋1，求A.
解：(1)由a2＝b2＋c2－2bccosA得
a2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a＝7.
(2)由cosB＝得
cosB＝＝0，∴B＝90°.
(3)由b2＝a2＋c2－2accosB得
b2＝(3)2＋22－2×3×2cos150°＝49，∴b＝7.
(4)由cosA＝得
cosA＝ eq \f(（）2＋（＋1）2－22,2（＋1）) ＝ eq \f(,2) ，∴A＝45°.
评述：此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式，要求学生注意运算的准确性及解题效率.
2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°)
(1)a＝31，b＝42，c＝27；
(2)a＝9，b＝10，c＝15.
解：(1)由cosA＝得
cosA＝≈0.6691，∴A≈48°
由cosB＝≈0.0523，∴B≈93°
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(48°＋93°)≈39°
(2)由cosA＝得
cosA＝＝0.8090，∴A≈36°
由cosB＝得
cosB＝＝0.7660，∴B≈40°
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(36°＋40°)≈104°
评述：此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外，还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时，增强解斜三角形的能力.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，我们一起研究了余弦定理的证明方法，同时又进一步了解了向量的工具性作用，并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知三边求任意角；已知两边一夹角解三角形.
Ⅴ.课后作业
课本习题P16 1，2，3，4.
解斜三角形题型分析
正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解.
关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型：
(1)已知两角及其中一个角的对边，如A、B、a解△ABC.
解：①根据A＋B＋C＝π，求出角C；
②根据＝及＝，求b、c；
如果已知的是两角和它们的夹边，如A、B、c，那么先求出第三角C，然后按照②来求解.求解过程中尽可能应用已知元素.
(2)已知两边和它们的夹角，如a、b、C，解△ABC.
解：①根据c2＝a2＋b2－2abcosC，求出边c；
②根据cosA＝，求出角A；
③从B＝180°－A－C，求出角B.
求出第三边c后，往往为了计算上的方便，应用正弦定理求角，但为了避免讨论角是钝角还是锐角，应先求a、b较小边所对的角(它一定是锐角)，当然也可用余弦定理求解.
(3)已知三边a、b、c，解△ABC.
解：一般应用余弦定理求出两角后，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角.
另外，和第二种情形完全一样，当第一个角求出后，可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然需注意要先求较小边所对的锐角.
(4)已知两边及其中一条边所对的角，如a、b、A，解△ABC.
解：①根据＝，经过讨论求出B；
②求出B后，由A＋B＋C＝180°求角C；
③再根据＝，求出边c.
另外，如果已知三角，则满足条件的三角形可以作出无穷多个，故此类问题解不唯一.
［例1］在△ABC中，a＝1，b＝，B＝60°，求角C.
解：由余弦定理得 ()2＝12＋c2－2ccos60°，
∴c2－c－6＝0，
解得c1＝3，c2＝－2(舍去).∴c＝3.
评述：此题应用余弦定理比正弦定理好.
［例2］在△ABC中，已知A＞B＞C且A＝2C，A、B、C所对的边分别为a、b、c，又2b＝a＋c成等差数列，且b＝4，求a、c的长.
解：由＝且A＝2C得
＝，cosC＝
又∵2b＝a＋c且b＝4，∴a＋c＝2b＝8， ①
∴cosC＝＝＝＝.
∴2a＝3c ②
由①②解得a＝，c＝.
［例3］在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，解此三角形.
解：由a2＝b2＋c2－2bccosA
得22＝()2＋c2－2ccos45°，
c2－2c－2＝0
解得c＝1＋或c＝1－ (舍去)
∴c＝1＋，cosB＝＝ eq \f(22＋（1＋）2－（）2,2×2×（1＋）) ＝ eq \f(,2) .
∴B＝30°
C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
［例4］在△ABC中，已知：c4－2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，求角C.
解：∵c4－2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，
∴［c2－(a2＋b2)］2－a2b2＝0，
∴c2－(a2＋b2)＝±ab，
cosC＝＝±，∴C＝120°或C＝60°.
- 7 -三角函数复习讲义（2）
三角函数的图象和性质
一、复习要点：
1．主要内容：正弦、余弦、正切函数的图象和性质（定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间），函数的图象和图象变换，已知三角函数值求角。
2．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。
3．常用方法：
（1）求三角函数的值域、最值：利用正弦、余弦函数的有界性，通过变换转化为代数最值问题；
（2）求周期：将函数式化为一个三角函数的一次方的形式，再利用公式，利用图象判断。
二、基础训练：
1．将函数的图象向右平移个单位后再作关于轴对称的曲线，得到函数的图象，则可以是 （ ）
A． B． C． D．
2．函数图象的一条对称轴是直线，则常数与满足（ ）
A． B． C． D．
3．如果、，且，那么必有 （ ）
A． B． C． D．
4．函数，给出下列四个命题，其中正确的是 （ ）
A．的值域为
B．是以为周期的周期函数
C．当且仅当时取得最大值
D．当且仅当时
5．函数的最小正周期是 ．
6．如果、、均为锐角，，，，则从小到大的顺序为 ．
7．设甲：“”，乙：“”，则甲是乙的 条件。
三、例题分析：
例1 已知函数，求的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。
例2 若的最小值为 ，
（1）求的表达式；
（2）求使的的值，并求当取此值时的最大值。
四、课后作业：
1．给出下列命题：
①存在实数，使成立；
②存在实数，使成立；
③函数是偶函数；
④直线是函数的图象的一条对称轴；
⑤若和都是第一象限角，且，则．
其中真命题的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）．
2．函数的图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
3．如果，且，则可以是 （ ）
A． B． C． D．
4．要得到的图象，只需将函数的图象 （ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
5．若是周期为的奇函数，则可以是 （ ）
A． B． C． D．
6．函数的一个单调递增区间是 （ ）
A． B． C． D．
7．已知以及均为锐角，，那么的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
8．函数是奇函数，且当时，，则当时， 等于 ．
9．已知函数，
（1）求的最小正周期；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的递增区间。
10．已知函数的图象与轴交于点，它在轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为，，
（1）求函数的解析式；
（2）用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象，并说明它是由函数的图象依次经过哪些变换而得到的。
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- 1 -第十七课时 函数y＝Asin(ωx＋)的图象(二)
教学目标：
理解相位变换中的有关概念，会用相位变换画出函数的图象，会用“五点法”画出y＝sin(x＋)的简图；数形结合思想的渗透，辩证观点的培养，数学修养的培养.
教学重点：
1.相位变换中的有关概念；
2.会用相位变换画函数图象；
3.“五点法”画y＝sin(x＋)的简图.
教学难点：
理解并利用相位变换画图象.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
我们随着学习三角函数的深入，还会遇到形如y＝sin(x＋)的三角函数，这种函数的图象又该如何得到呢 今天，我们一起来探讨一下.
Ⅱ.讲授新课
［例］画出函数y＝sin(x＋)，x∈R y＝sin(x－)，x∈R的简图.
解：列表
x －
X＝x＋ 0 π 2π
sin(x＋) 0 1 0 －1 0
描点画图：
x
X＝x－ 0 π 2π
sin(x－) 0 1 0 －1 0
通过比较，发现：
函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到.
函数y＝sin(x－)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动个单位长度而得到.
一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动｜｜个单位长度而得到.
y＝sin(x＋)与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换.
Ⅲ.课时小结
通过本节学习要理解并掌握相位变换画图象.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(二)
1．(1)y＝sin(x＋)是由y＝sinx向 平移 个单位得到的.
(2)y＝sin(x－)是由y＝sinx向 平移 个单位得到的.
(3)y＝sin(x－)是由y＝sin(x＋)向 平移 个单位得到的.
2．若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋)，则原来的函数表达式为 ( )
A.y＝sin(x＋) B.y＝sin(x＋)
C.y＝sin(x－) D.y＝sin(x＋)－
3．把函数y＝cos(3x＋)的图象适当变动就可以得到y＝sin(－3x)的图象，这种变动可以是( )
A.向右平移 B.向左平移
C.向右平移 D.向左平移
4．将函数y＝f(x)的图象沿x轴向右平移，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)是 ( )
A.y＝sin(2x＋) B.y＝sin(2x－)
C.y＝sin(2x＋) D.y＝sin(2x－)
5．若对任意实数a，函数y＝5sin(πx－)(k∈N)在区间［a，a＋3］上的值 出现不少于4次且不多于8次，则k的值是 ( )
A.2 B.4 C.3或4 D.2或3
6．若函数f(x)＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－对称，则a＝－1.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(二)答案
1．(1)左 (2)右 (3)右 2．A 3．D 4．C
5．分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：
先求出与k相关的周期T的取值范围，再求k.
解：∵T＝＝，(a＋3)－a＝3
又因每一周期内出现值时有2次，出现4次取2个周期，出现值8次应有4个周期.
∴有4T≥3且2T≤3
即得≤T≤，∴≤≤
解得≤k≤，
∵k∈N，∴k＝2或3.
答案：D
6．a＝－1
分析：这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性.
解：∵x1＝0，x2＝－是定义域中关于x＝－对称的两点
∴f(0)＝f(－)
即0＋a＝sin(－)＋acos(－)
∴a＝－1
- 3 -算法初步单元练习题
一、选择题
1．根据下面的伪代码，写出执行结果. （ ）
sum←0
For x=1 to 10
sum←sum+x
If sum>10 then
End for
End if
End for
A.10 B.15 C.45 D.55
2．下面的流程图表示的算法执行的结果是 （　　）
A.5050 B.2550 C.2450 D.2500
3．以下求方程x5+x3+x2－1＝0在［0，1］之间近似根的算法是 （　　）
x1←0
x2←1
x←（x1+x2）/2
c←0.00001
While x2－x1>c
If x5+x3+x2－1>0 then
x2←x
Else
x1←x
End if
x=（x1+x2）/2
End while
Print x
A.辗转相除法 B.二分法 C.更相减损术 D.秦九韶算法
4．解决某一问题而设计的　　　　　有限的步骤称为算法. （　　）
A.确定的　　　　B.有效的 C.连续的 D.无穷的
5．用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x－8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=－4的值时，v4的值为（　　）
A.－57 B.220 C.－845 D.3392
6．如果有下列这段伪代码，那么将执行多少次循环 （　　）
sum←0
For x=1 to 10
sum←sum+x
If sum>10 then
Exit For
End if
Next
A.4次 B.5次 C.7次 D.10次
7．下面的伪代码输出的结果S为 （　　）
I←1
While I<8
I←I+2
S←2I+3
End while
Print S
A.17 B.19 C.21 D.23
8．流程图中表示处理框的是 （　　）
A.矩形框 B.菱形框 C.圆形框 D.椭圆形框
9．下面伪代码表示的算法中，最后一次输出的I的值是 （　　）
For I=2 to 13 Step 3
Print I
Next I
Print “I=”，I
A.5 B.8 C.11 D.14
10．设学生的考试成绩为G，则下面的代码的算法目的是 （　　）
n←0
m←0
While n<50
Read G
If G<60 then m←m+1
n←n+1
End while
Print m
A.计算50个学生的平均成绩 B.计算50个学生中不及格的人数
C.计算50个学生中及格的人数 D.计算50个学生的总成绩
第Ⅱ卷
一、选择题(10×5＝50分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题(6×4＝24分)
11．期末考试，教师阅卷评分，并检查每个学生成绩，如及格则作“升级”处理，不及格作“留级”处理.将下面的流程图补充完整.
12．说出下列算法的结果.
Read a，b，c
If a2+b2=c2 then
Print“是直角三角形！”
Else
Print“非直角三角形！”
End if
运行时输入3、4、5
运行结果为输出：　　　　　.
13．已知流程图符号，写出对应名称.
（1） ；（2）　　　　　；（3） .
14．算法的5大特征分别是：（1）有0到多个输入；（2）　　　　　　　；（3）可行性；
（4）有限性；（5）　　　　　.
15．描述算法的方法通常有：
（1）自然语言；（2）　　　　　；（3）伪代码.
16．根据题意，完成流程图填空：
输入两个数，输出这两个数差的绝对值.
（1） ；（2）　　 　　　
三、解答题(12＋12＋12＋13＋13＋14＝76分)
17．（1）说出下列伪代码表示的算法目的.
Begin
S←1
I←3
While S≤10000
S←S×I
I←I+2
End while
Print I
End
（2）根据伪代码，写出执行结果.
算法开始
x←4；
y←8；
If xx←x+3；
End if
x←x－1；
输出x的值；
算法结束
18．输入一学生成绩，评定其等级.方法是：90～100分为“优秀”，80～89分为“良好”，60～79分为“及格”，60分以下为“不合格”.写出其算法的伪代码并画出流程图.
19．随着人的年龄的增加，成年人的肺活量会逐渐减少，假如我们用V表示人的肺活量（单位为L），用h表示人的身高（单位为英寸），a表示年龄，则这几个量近似的满足关系式：V=0.104h－0.018a－2.69.请设计算法流程图，输入身高、年龄，输出肺活量.
20．一块橡皮1元钱，一枝笔2元钱，问100元钱能买橡皮和笔各多少？
数学模型：设能买橡皮X块，笔Y枝，则X+2Y= 100.求此方程的正整数解.
设计一个求此问题的算法，画出流程图并用伪代码表示.
21．通过计算机验证：任意给定一个自然数N，一定存在自然数n，使1+1/2+1/3+…+1/n>N.
写出流程图和伪代码.
22．相传在远古时代有一片森林，栖息着3种动物，凤凰、麒麟和九头鸟.凤凰有1只头2只脚，麒麟是1只头4只脚，九头鸟有9只头2只脚.它们这3种动物的头加起来一共是100只，脚加起来也正好是100只，问森林中各生活着多少只凤凰、麒麟和九头鸟？写出算法、流程图及伪代码.
算法初步单元练习题答案
一、选择题(10×5＝50分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B A B B C A D B
二、填空题(6×4＝24分)
11．①及格　②办留级手续 12．是直角三角形! 13．起止框　处理框　判断框　
14．确切性　有1个或多个输出 15．流程图 16．①a>b　②b－a
三、解答题(12＋12＋12＋13＋13＋14＝76分)
17．（1）寻找最小的正整数I，使1×3×5×7×…×I>10000. （2）6.
18．输入一学生成绩，评定其等级.方法是：90～100分为“优秀”，80～89分为“良好”，60～79分为“及格”，60分以下为“不合格”.写出其算法的伪代码并画出流程图.
解：可以用If…then…Else的嵌套完成.
伪代码如下：
Read x
If x≥90 then
Print“优秀”
Else If x≥80 then
Print“良好”
Else If x≥60 then
Print“及格”
Else
Print“不及格”
End If
流程图：
19．随着人的年龄的增加，成年人的肺活量会逐渐减少，假如我们用V表示人的肺活量（单位为L），用h表示人的身高（单位为英寸），a表示年龄，则这几个量近似的满足关系式：V=0.104h－0.018a－2.69.请设计算法流程图，输入身高、年龄，输出肺活量.
解：
20．一块橡皮1元钱，一枝笔2元钱，问100元钱能买橡皮和笔各多少？
数学模型：设能买橡皮X块，笔Y枝，则X+2Y= 100.求此方程的正整数解.
设计一个求此问题的算法，画出流程图并用伪代码表示.
解：伪代码和流程图如下：
Begin
For Y from 1 to 49
X←100－2Y
Print X，Y
End for
End
21．通过计算机验证：任意给定一个自然数N，一定存在自然数n，使1+1/2+1/3+…+1/n>N.
写出流程图和伪代码.
解：伪代码：
Read N
S←1
n←1
While S≤N
n←n+1
S←S+1/n
End while
Print n
End
流程图：
22．相传在远古时代有一片森林，栖息着3种动物，凤凰、麒麟和九头鸟.凤凰有1只头2只脚，麒麟是1只头4只脚，九头鸟有9只头2只脚.它们这3种动物的头加起来一共是100只，脚加起来也正好是100只，问森林中各生活着多少只凤凰、麒麟和九头鸟？写出算法、流程图及伪代码.
解：假设凤凰的只数为x，麒麟的只数为y，九头鸟的只数为z，那么，
（1）凤凰的只数x可能的取值为1～50，如果用伪代码表示，就应该如下：
For x=1 To 50 Step 1
（2）麒麟的只数y可能的取值为1～25，如果用伪代码表示，就应该如下：
For y = 1 To 25 Step 1
（3）如果知道了凤凰和麒麟的只数后，那么九头鸟的只数就应该如下：
z=（100－x－y）/9.
如何考虑x、y、z三个变量之间的关系？
当凤凰x=1时（只在开始时），变量麒麟y的取值可以从1～25，让变量y从1开始取值（例如：y的值为1）；
通过（100－x－y）/9表达式，计算出z的值；
完成上述步骤后，x、y、z三个变量都取到了自己相应的值，但是这三个值是否是正确的解呢？我们必须通过以下的两个条件来判断：
x+y+9×z=100　And　2×x+4×y+2×z=100.
如果全部满足，就输出x、y、z的值，如果不满足，就让y值加1，然后重复步骤（2）到步骤（4），直至y的取值超过25；
然后让x的取值加1后，重复步骤（1）到步骤（5）的操作，直至x的取值超过50为止，退出算法.
流程图和伪代码如下：
For x from 1 to 50
For y from 1 to 25
z←（100－x－y）/9
If 2x+4y+2z=100 then
Print I，J，K
End for
End for第十课时 基本不等式（三）
教学目标：
通过这节课，使学生能够运用均值不等式定理来讨论与不等式有关的各类问题。
教学重点、难点：均值不等式定理的灵活运用。
教学过程：
1．复习回顾
2．例题讲解：
例1：已知a>1，0解题思路分析：
　　由对数函数可知：log ba＝，log ab＜0，因此由log ab＋的结构特点联想到用基本不等式去缩小，但条件显然不满足，应利用相反数的概念去转化。
　　∵log ab＜0 　　∴ －log ab＞0
　∴－log ab＋≥2 eq \r((－log ab)·) ＝2
　　∴log ab＋≤－2 　　即log ab＋log ba≤－2
　　当且仅当－log ab＝，log a2b＝1，log ab＝－1时，等号成立，此时ab＝1。
例2：已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.
解题思路分析：
因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。同时还应化简中y2前面的系数为
　　x＝x eq \r(2·) ＝x· eq \r(＋)
下将x， eq \r(＋) 分别看成两个因式
x· eq \r(＋) ≤ eq \f(x 2＋( eq \r(＋) )2,2) ＝ eq \f(x 2＋＋,2) ＝
∴x＝·x eq \r(＋) ≤
例3：已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值.
解题思路分析：
若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单
　＋ ≤ eq \r(（）2＋（）2) ＝＝2
　　否则，这样思考：
　　条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
　　W＞0，W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20
　　∴ W≤＝2
例4：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.
解题思路分析：
这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：a＝，ab＝·b＝
　　　由a＞0得，0＜b＜15
　　　令t＝b＝1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34
∵t＋≥2 eq \r(t·) ＝8
　　　∴ ab≤18 　　　∴ y≥
　　　当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b
　　　∵ a＋2b≥2 　　　∴ 30－ab≥2
　　　令u＝　　　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3
　　　∴≤3，ab≤18，y≥
评注：在法一，通过消元得到一个分式函数，在分子（或分母）中含有二次式。这种类 型的函数一般都可转化为x＋型，从而用基本不等式求解。其处理方法，请同学们仔细体会。实际上，一般含二次式的分式函数y＝（a，b，c，m，n，p不全为零）均可用此方法求解。
例5：某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。
解题思路分析：
这是一道应用题，一般说来，涉及到“用料最省”、“造价最低”等实际问题时，考虑建立目标函数，求目标函数的最大值或最小值。在建立关于造价的目标函数时，造价是由池外圈周壁，中间隔墙造价，池底造价三部分组成，造价均与墙壁长度有关，应设相关墙壁长度为未知数。
　　若设污水池长为x米，则宽为 （米）
水池外圈周壁长：2x＋（米）
　　中间隔墙长：2·（米）
　　池底面积：200（米2）
　　目标函数：y＝400（2x＋2·）＋248· ·2＋80×200＝800（x＋）＋1600
　　　　　　　　≥1600 eq \r(x·) ＋1600＝44800
3．课堂小结
注意利用转化思想，不等式使用的广泛性。
4．课后作业
1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
2）已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
3）若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
4）某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000m2的楼房，楼
房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高5%。已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方和的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？
- 2 -三角函数阶段复习
一、课题：三角函数阶段复习
二、教学目标：1.复习巩固三角函数的定义、定义域；
2.进一步理解三角函数的符号与角的终边所在位置的关系；
3.进一步掌握三角函数的基本关系式（五个），并能熟练应用关系式解题。
三、基础训练：
1．已知角的终边过点，则 ， ．
2．若是第四象限角，则是第 象限角，是第 象限角。
3．若，且为二、三象限角，则的取值范围是 ．
4．已知，则 ．
5．已知集合，，
，
则这三个集合之间的关系为 （ ）
四、例题分析：
例1 求值：．
例2 已知，且，求（1）角的集合；（2）、终边所在的象限；（3）试判断，，的符号。
例3 化简：（1）；
（2）（）
例4 证明：（1）；
（2）已知，求证：．
五、课后作业：
1．已知是第二象限角，则 ．
2．若是三角形的内角，且，则此三角形一定是 （ ）
等边三角形 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形
3．若，则角的取值范围是 ．
求证：（1）；
（2）．
已知，，其中，求满足条件的实数的取值的集合。
已知，求的值。
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- 1 -第9课时 函数的单调性（二）
教学目标：
使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.
教学重点：
函数单调性的判断和证明.
教学难点：
函数单调性的判断和证明.
教学过程：
［例1］已知函数f（x）在其定义域M内为减函数，且f（x）＞0，则g（x）＝1＋在M内为增函数。
证明：在定义域M内任取x 1、x 2，且x 1＜x 2，则：
g（x 1）－g（x 2）＝1＋－1－
＝－＝
∵对于任意x∈M，有f（x）＞0 ∴ f（x1）f（x2）＞0
∵f（x）在其定义域M内为减函数， ∴f（x1）＞f（x2）
∴g（x 1）－g（x 2）＜0 即g（x 1）＜g（x 2）
∴g（x）在M内为增函数
［例2］函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数,求f（a2－a＋1）与f（）的大小关系
解：∵f（x）在（0，＋∞）上是减函数
∵a2－a＋1＝（a－）2＋≥＞0
∴f（a2－a＋1）≤f（）
评述：体会“等价转化”思想的运用，注意解题时的层次分明和思路清晰.
［例3］已知函数f（x）＝在区间（－2，+∞）上单调递增，求a的取值范围。
解：在区间（－2，+∞）内任取x 1、x 2，使－2＜x 1＜x 2，则：
f（x 1）－f（x 2）＝－＝
∵ f（x 1）＜f（x 2） ∴（2a－1）（x1－x2）＜0 而x 1＜x 2
∴必须2a－1＞0 即a＞
［例4］已知函数f（x）＝x2－2ax＋a2＋1在区间（－∞，1）上是减函数，求a的取值范围。
解：∵顶点横坐标为a，且开口向上 ∴a≥1
［例5］写出函数f（x）＝的单调区间。
解：∵t＝x2－2x－3≥0 ∴x≤－1或x≥3
当x∈（－∞，－1]时：x递增，t递减，f（x）递减
当x∈[3，+∞）时：x递增，t递增，f（x）递增
∴当x∈（－∞，－1]时，f（x）是减函数；
当x∈[3，+∞）时，f（x）是增函数.
［例6］判断函数f（x）＝的增减情况。
解：设t＝x2－4x，则t≥－4且t≠0 y＝
当t∈[－4，0]时，y＝递减；当t∈[0，+∞）时，y＝递减.
又当x∈[0，4]时，t∈[－4，0]
当x∈（－∞，0）或x∈（4，+∞）时，t∈[0，+∞）
∴当x∈（－∞，0）时，x递增，t递减，y递增
当x∈[0，2]时，x递增，t递减，y递增
当x∈（2，4]时，x递增，t递增，y递减
当x∈（4，+∞）时，x递增，t递增，y递减
∴当x∈（－∞，0）∪[0，2]时，f（x）是增函数
当x∈（2，4]∪（4，+∞）时，f（x）是减函数
［例7］已知f(x)的定义域为（0，＋∞），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）＝f（x）＋
f（y），f（2）＝1，试解不等式f（x）－f（x－2）＞3.
解：由f（2）＝1及f（xy）＝f（x）＋f（y）可得
3f（2）＝3＝f（2）＋f（2）＋f（2）＝f（4）＋f（2）＝f（8）
∴f（x）－f（x－2）＞3 ∴f（x）＞f（x－2）＋3＝f（x－2）＋f（8）＝f [8（x－2）]
又函数f（x）在定义域（0，＋∞）上是增函数
∴ 即2＜x＜
评述：（1）例7是利用函数的单调性解不等式的重要应用，这类问题解决时要特别注意必须首先考虑定义域，进而结合函数单调性去求不等式的解集.（2）建议在教学中指导学生树立“定义域优先”的原则,即：在解题时必须时时考虑到.
［例8］设f（x）定义在R+上，对于任意a、b∈R+，有f（ab）＝f（a）＋f（b）
求证：（1）f（1）＝0；（2）f（ ）＝－f（x）；
（3）若x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，则f（x）在（1，+∞）上是减函数.
证明：（1）令a＝b＝1，则：
f（1）＝f（1）＋f（1） ∴ f（1）＝0
（2）令a＝x，b＝，则：
f（1）＝f（x）＋ f（ ） ∴ f（ ）＝－f（x）
（3）令1＜x 1＜x 2，则：
－f（x1）＋f（x2）＝f（x2）＋f（ ）＝f（ ）
∵1＜x 1＜x 2 ∴＞1 ∴f（ ）＜0
即f（x1）＞f（x2）
∴ f（x）在（1，+∞）上是减函数.
- 1 -第十一课时 三角函数的周期性
教学目标：
掌握函数的周期性，会求简单函数的最小正周期，掌握正弦函数、余弦函数的周期及求法；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.
教学重点：
正、余弦函数的周期
教学难点：
函数的周期性
教学过程：
由单位圆中的三角函数线可知，正、余弦函数值的变化呈现出周期现象，每当角增加（或减少）2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正、余弦函数值也分别相同.即有：
sin（2π＋x）＝sinx，cos（2π＋x）＝cosx，
正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性.
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
根据上述定义，可知：
正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
以后如果不加特别说明，函数的周期一般都是指最小正周期
正切函数是周期函数，且周期T＝π
课本P26例1、例2
一般地，函数y＝Asin(ωx＋)及y＝Acos(ωx＋)（其中A、ω、为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝，函数y＝Atan (ωx＋)的周期T＝
周期函数应注意以下几点：
1.式子f(x＋T)＝f(x)对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何x，式子都成立.而不能是“一个x”或“某些个x”，另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需举一个反例就行了.
例如：由于sin(＋)＝sin，即sin(x＋)＝sinx.该式中x取时等式成立，能否断定是sinx的周期呢 不能，因对于其他一些x值该式不一定成立.如x＝时，sin(x＋)≠sinx.
［例］函数y＝cosx(x≠0)是周期函数吗
解：不是，举反例，当T＝2π时，令x＝－2π，则有cos(x＋2π)＝cos(－2π＋2π)＝cos0＝1，但x＝0，不属于题设的定义域，则x不能取－2π，故y＝cosx(x≠0)不是周期函数.
2.式子f(x＋T)＝f(T)是对“x”而言.
例如，由cos( ＋2kπ)＝cos (k∈Z)，是否可以说cos的周期为2kπ呢 不能!因为cos( ＋2kπ)＝cos，即cos＝cos (k∈Z)，所以cos的周期是6kπ，而不是2kπ(k∈Z).
3.一个函数是周期函数，但它不一定有最小正周期.例如，f(x)＝a(常数)，显然任何一个正数T都是f(x)的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数f(x)＝a无最小正周期.
4.设T是f(x)(x∈R)的周期，那么kT(k∈Z，且k≠0)也一定是f(x)的周期，定义规定了T为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了T的取值范围，只要求不为零，不要误认为T一定是π的倍数.
有许多周期函数的周期中是不含“π”的，如下面几例：
［例1］函数y＝sinπx的周期是T＝＝2.
［例2］函数y＝tan2πx的周期是T＝＝.
［例3］若对于函数y＝f(x)定义域内的任何x的值，都有f(x＋1)＝f(x)成立，则由周期函数的定义可知，函数y＝f(x)是周期函数，且T＝1是其周期.
［例4］设f(x)定义在R上，并且对任意的x，有f(x＋2)＝f(x＋3)－f(x＋4).
求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期.
证明：∵f(x＋2)＝f(x＋3)－f(x＋4) ①
∴f(x＋3)＝f(x＋4)－f(x＋5) ②
①＋②得：f(x＋2)＝－f(x＋5) ③
由③得：f(x＋5)＝－f(x＋8) ④
∴f(x＋2)＝f(x＋8)
即f(x)＝f(x＋6)
∴f(x)为周期函数，一个周期为6.
5.周期函数必须是函数，但一定要克服思维定势，认为周期性是三角函数所独有的，实质上我们学过的非周期函数f(x)(如y＝log2x，y＝｜x｜，y＝2x，y＝x2等等)将其定义域内限制在一个半开半闭区间上，经左右平移，可以延拓变为周期函数，例如将非周期函数y＝x2(x∈R)在其定义域R内限制在(－1，1］，然后将y＝x2(－1＜x≤1)的图象左、右平移，可以延拓为最小正周期为2的周期函数f(x)＝(x－2k)2(2k－1＜x≤2k＋1)，k∈Z，如图：
［例］已知f(x)＝｜x｜，x∈(－1，1］，求定义在R上的一个周期为2的函数g(x)，使x∈(－1，1］时，g(x)＝f(x).
解：由g(x)的周期性可画出g(x)的图象.如图：
对于任意的x∈R，x一定在周期为2的区间(2n－1，2n＋1］内，则x－2n∈(－1，1］.
∴g(x)＝g(x－2n)＝f(x－2n)＝｜x－2n｜，
即g(x)＝
评述：(1)要判定f(x)是周期函数，自变量x必须取遍定义域内的每一个值.
(2)周期函数是高考中的热点，只有深层次的理解周期函数的意义，才能臻化入境，运用自如.
课堂练习：
课本P27 练习1～4
课时小结：
要初步掌握三角函数的周期性.
课后作业：
课本P45 习题 1
- 2 -4.2.2 圆与圆的位置关系
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
2、过程与方法
设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当时，直线与圆相离；
（2）当时，直线与圆相切；
（3）当时，直线与圆相交；
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．
二、教学重点、难点：
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．
难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？ 启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课． 师：让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课．生：看图，并说出自己的看法．
2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？ 得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类． 师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化“数形结合”的数学思想．
问 题 设计意图 师生活动
生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系．
3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？ 使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力． 师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程．生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程．
4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？ 抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法． 师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法．生：利用图形，寻找两种方法的数学思想．
5．你能两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗？ 体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系． 师：指导学生阅读教科书上的例1．生：新闻记者教科书上的例1，并完成教科书第136页的练习题2．
6．通过学习教科书的例1，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗？ 使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤． 生：阅读例1．师；分析例1，并展示解答过程；启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间．生：交流自己总结的步骤．师：展示解题步骤．
7．通过学习教科书上的例2，你能说明例2中体现出来的数学思想方法吗？ 进一步深化“数形结合”的数学思想． 师：指导学生阅读并完成教科书上的例2，启发学生利用“数形结合”的数学思想解决问题．生：阅读教科书上的例2，并完成第137页的练习题．
问 题 设计意图 师生活动
8．通过例2的学习，你发现了什么？ 明确弦长的运算方法． 师：引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法．生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法．
9．完成教科书第136页的练习题1、2、3、4． 巩固所学过的知识，进一步理解和掌握直线与圆的位置关系． 师：引导学生完成练习题．生：互相讨论、交流，完成练习题．
10．课堂小结：教师提出下列问题让学生思考：（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何求出直线与圆的相交弦长？
作业：习题4．2A组：1、3．
数学教育网http:/// 主审戴刚锋第24课时 对数函数（一）
教学目标：
使学生理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性质，培养学生数形结合的意识.学会用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互转化，了解对数函数在生产实际中的简单应用.
教学重点：
对数函数的图象和性质.
教学难点：
对数函数与指数函数的关系.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题.某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y＝2x表示.
现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数.根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x＝log2y.
如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y＝log2x.
这一节，我们来研究对数函数.
Ⅱ.讲授新课
1.对数函数定义
一般地，当a＞0且a≠1时，函数y＝logax叫做对数函数.
［师］这里对数函数的解析式可以由指数函数求得，对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域.
即对数函数的定义域是（0，+∞)，值域是R.
［师］画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，寻找它们之间的关系：
（1）y＝2x，y＝log2x； （2）y＝（）x，y＝logx
它们的图象关于直线y＝x对称.
所以y＝logax的图象与y＝ax的图象关于直线y＝x对称.因此，我们只要画出和y＝ax的图象关于y＝x对称的曲线，就可以得到y＝logax的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质.
2.对数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当x＝1时，y＝0
x∈（0，1）时y＜0x∈（1，＋∞）时y＞0 x∈（0，1）时y＞0x∈（1，＋∞）时y＜0
在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数
［师］接下来，我们通过例题来看一下对数函数性质的简单应用.
3.例题讲解
［例1］求下列函数的定义域
（1）y＝logax2 (2)y＝loga(4－x) (3)y＝loga(9－x2)
分析：此题主要利用对数y＝logax的定义域（0，+∞）求解
解：（1）由x2＞0，得x≠0 所以函数y＝logax2的定义域是{x|x≠0}
(2)由4－x＞0，得x＜4 所以函数y=loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}
(3)由9－x2＞0得－3＜x＜3 所以函数y=loga(9－x2)的定义域是{x|－3＜x＜3}
评述：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式.
［师］为使大家进一步熟悉对数函数的图象和性质，我们来做练习.
Ⅲ.课堂练习
课本P69练习
1.画出函数y＝log3x及y＝的图象，并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.
相同性质：两图象都位于y轴右方，都经过点（1，0），这说明两函数的定义域都是（0，+∞），且当x＝1，y＝0.
不同性质：y＝log3x的图象是上升的曲线，y＝的图象是下降的曲线，这说明前者在（0，+∞）上是增函数，后者在（0，+∞）上是减函数.
2.求下列函数的定义域：
（1）y＝log5(1－x) （2）y＝
（3）y＝log7 （4）y＝
解：（1）由1－x＞0得x＜1 ∴所求函数定义域为{x|x＜1}
(2）由log2x≠0，得x≠1，又x＞0 ∴所求函数定义域为{x|x＞0且x≠1}
(3)由 eq \b\lc\{(\a\al(＞0,1－3x≠0)) ，得x＜ ∴所求函数定义域为{x|x＜}
(4)由，得 ∴x≥1
∴所求函数定义域为{x|x≥1}
要求：学生板演练习，老师讲评.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家应逐步掌握对数函数的图象与性质，并能利用对数函数的性质解决一些简单问题，如求对数形式的复合函数的定义域问题.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P70习题1，2
（二）1.预习内容：P67例2、例3
2.预习提纲：
（1）同底数的两对数如何比较大小？
（2）不同底数的两对数如何比较大小？
- 1 -3.2.4 二倍角的正弦、余弦、正切（4）
一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（4）
二、教学目标：1.继续研究二倍角公式的应用；
2.利用三角函数的性质建立目标函数解题。
三、教学重、难点：综合运用二倍角公式。
四、教学过程：
（一）复习：
1．二倍角公式
2．降幂公式：
．
（二）新课讲解：
例1：已知，，且，为锐角，试求的值。
解：∵， ∴ ①
又∵， ∴ ②
①②，得：，
又∵， ∴，，
∴， 从而．
例2：已知，，成等差数列，，，成等比数列，求的值。
解：由已知条件得：
，，
∴，
，
，
解得：．
∵，
所以，．
例3：求证：．
证明：左边
右边．
所以，原式成立。
例4：已知：，与是方程的
两个根，求的值。
解：∵方程的两个根为
．
∴，且由得：， ．
所以，．
五、小结：倍角公式在求值，证明题中的应用。
六、作业：
补充：1．设，求；
2．已知：，求的值；
3．求；
4．求值；
5．求证：．
PAGE
- 1 -第六课时 两角和与差的余弦、正弦、正切(三)
教学目标：
进一步熟练掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的灵活应用；提高学生的推理能力，培养学生用联系变化的观点看问题，提高学生的数学素质，使学生树立科学的世界观.
教学重点：
利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式解决一些综合性问题.
教学难点：
怎样使学生对所学知识融会贯通，运用自如.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
cos(α±β)＝cosαcosβsinαsinβ
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ
tan（α±β）＝ eq \f(tanα±tanβ,1tanαtanβ)
Ⅱ.讲授新课
［例1］已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0且a≠c)的两个根为tanα、tanβ，
求tan(α＋β)的值.
分析：由题意可得tanα、tanβ为一元二次方程的两根，由韦达定理可知tanα＋tanβ＝－，且tanα·tanβ＝，联想两角和的正切公式，不难求得tan(α＋β)的值.
解：由a≠0和一元二次方程根与系数的关系，可知：
eq \b\lc\{(\a\al(tanα＋tanβ＝－,tanα·tanβ＝)) 且a≠c
所以tan(α＋β)＝＝ eq \f(－,1－) ＝－＝.
评述：在解题时要先仔细分析题意，联想相应知识，选定思路，再着手解题.
［例2］设sinθ＋cosθ＝，＜θ＜π，求sin3θ＋cos3θ与tanθ－cotθ的值.
解：∵sinθ＋cosθ＝
∴sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝
∴sinθcosθ＝－
又sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)
＝(sinθ＋cosθ)(1－sinθcosθ)＝ (1＋)＝
又∵＜θ＜π ∴sinθ＞0，cosθ＜0
∴sinθ－cosθ＝
∴tanθ－cotθ＝－＝
＝＝ eq \f(×,－) ＝－
评述：(1)在sinθ＋cosθ、sinθcosθ与sinθ－cosθ中，知其中之一便可求出另外两个.
(2)解决有关sinθ＋cosθ、sinθcosθ与sinθ－cosθ的问题是三角函数中的一类重要问题.
［例3］tan2Atan(30°－A)＋tan2Atan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝_____.
解：原式＝tan2A［tan(30°－A)＋tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］
＝tan2Atan［(30°－A)＋(60°－A)］［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］
＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］
＝tan2Atan(90°－2A)［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］
＝tan2A·cot2A［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］
＝1
评述：先仔细观察式子中所出现的角，灵活应用公式进行变形，然后化简、求值.
［例4］已知tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两个根，求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值.
解：由题意知
∴tan(α＋β)＝＝＝
sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)
＝cos2(α＋β)［tan2(α＋β)－3tan(α＋β)－3］
＝［tan2(α＋β)－3tan(α＋β)－3］
＝ eq \f(1,1＋（）2) ［()2－3×－3］＝－3
［例5］已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值.
解：由α为锐角，cosα＝，∴sinα＝.
由α、β为锐角，又tan(α－β)＝－
∴cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－
∴cosβ＝cos［α－(α－β)］＝cosα·cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)
＝×＋×(－)＝
Ⅲ.课堂练习
1.若方程x2＋mx＋m＋1＝0的两根为tanα、tanβ.求证sin(α＋β)＝cos(α＋β).
解：由题意可知
由：tan(α＋β)＝
得：tan(α＋β)＝＝1
即：sin(α＋β)＝cos(α＋β)
∴命题得证.
评述：要注意已知条件与所求结论中涉及三角函数的关系，选择适当的关系式进行转化.
2.若△ABC的三内角成等差数列，且A＜B＜C，tanAtanC＝2＋，求角A、B、C的大小.
分析：由A、B、C为△ABC的三内角，可知A＋B＋C＝180°，又已知A、B、C为等差数列，即2B＝A＋C，所以B＝60°且A＋C＝120°与已知条件中的tanAtanC＝2＋可联系求出tanA、tanC，从而确定A、C.
解：由题意知： 解之得：B＝60°且A＋C＝120°
∴tan(A＋C)＝tan120°＝－＝
又∵tanAtanC＝2＋
∴tanA＋tanC＝tan(A＋C)(1－tanAtanC)
＝tan120°(1－2－)＝－ (－1－)＝3＋
∵tanA、tanC可作为一元二次方程x2－(3＋)x＋(2＋)＝0的两根
又∵0＜A＜B＜C＜π
∴tanA＝1，tanC＝2＋ 即：A＝45°，C＝75°
答：A、B、C的大小分别为45°、60°、75°.
评述：要注意挖掘隐含条件，联想相关知识，构造方程等等.
3.如果sinα＋sinβ＝a，cosα＋cosβ＝b，ab≠0，则cos(α－β)等于 ( )
A. B. eq \f(（a2＋b2）,2) C. D. －1
分析：由已知条件中的两关系式结合同角三角函数的平方关系式sin2α＋cos2α＝1不难求得cos(α－β)，再利用平方关系求得sin(α－β).
解：由
得：a2＋b2＝sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＋cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ
＝2＋2cos(α－β)
∴cos(α－β)＝－1
评述：遇到这种已知条件式时，往往要结合同角三角函数平方关系式.
Ⅳ.课时小结
在解决三角函数问题时，常常要将和角公式、差角公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式等等综合使用.
Ⅴ.课后作业
课本P101 9 ，10，11，13
两角和与差的余弦、正弦、正切(二)
1．cos（－15°）等于 （ ）
A. B. C. D.
2．在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则△ABC的形状为 （ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.以上均可能
3．sin－cos的值是 （ ）
A.0 B.－ C. D.2
4．若tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则tan(α＋)等于 （ ）
A. B. C. D.
5．的值是 （ ）
A.2 B.－2 C. D.－
6．已知cosθ＝－，且θ∈（π，π），则tan（θ－）= .
7．tan70°＋tan50°－tan70°tan50°的值等于 .
8．若cos(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，则tanα·tanβ＝ .
9．已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，则cos(α－β)＝ .
10．已知：＜β＜α＜，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，计算sin2α的值.
11．已知tanα，tanβ是方程x2＋(4m＋1)x＋2m＝0的两个根，且m≠－.
求的值.
12．已知3sinβ＝sin(2α＋β)，α≠kπ＋，α＋β≠kπ＋，k∈Z.
求证：tan(α＋β)＝2tanα.
两角和与差的余弦、正弦、正切(二)答案
1．D 2．B 3．B 4．C 5．B 6． 7．－ 8． 9．
10．已知：＜β＜α＜，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，计算sin2α的值.
利用sin2α＝sin［(α－β)＋(α＋β)］可求得sin2α＝－.
11．已知tanα，tanβ是方程x2＋(4m＋1)x＋2m＝0的两个根，且m≠－.
求的值.
解：由题知tanα＋tanβ＝－(4m＋1)，tanα·tanβ＝2m
＝＝ eq \f(＋1, ＋tanα)
＝＝
12．已知3sinβ＝sin(2α＋β)，α≠kπ＋，α＋β≠kπ＋，k∈Z.
求证：tan(α＋β)＝2tanα.
sinβ＝sin［(α＋β)－α］
sin(2α＋β)＝sin［(α＋β)＋α］ 两边展开、移项，合并同类项即可.
- 1 -3.2.1 直线的点斜式方程
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
2、过程与方法
在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
3、情态与价值观
通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：
（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1、在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？ 使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知。 学生回顾，并回答。然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标满足的关系式。
2、直线经过点，且斜率为。设点是直线上的任意一点，请建立与之间的关系。 培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法。 学生根据斜率公式，可以得到，当时，，即 （1） 教师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程。
3、（1）过点，斜率是的直线上的点，其坐标都满足方程（1）吗？ 使学生了解方程为直线方程必须满两个条件。 学生验证，教师引导。
问 题 设计意图 师生活动
（2）坐标满足方程（1）的点都在经过，斜率为的直线上吗？ 使学生了解方程为直线方程必须满两个条件。 学生验证，教师引导。然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（point slope form）.
4、直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ 使学生理解直线的点斜式方程的适用范围。 学生分组互相讨论，然后说明理由。
5、（1）轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？（2）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？ （3）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？ 进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式。 教师学生引导通过画图分析，求得问题的解决。
6、例1的教学。 学会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：（1）一个定点；（2）有斜率。同时掌握已知直线方程画直线的方法。 教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知那些条件？题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求。在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画。
7、已知直线的斜率为，且与轴的交点为，求直线的方程。 引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形。 学生独立求出直线的方程： （2） 再此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵。
8、观察方程，它的形式具有什么特点？ 深入理解和掌握斜截式方程的特点？ 学生讨论，教师及时给予评价。
问 题 设计意图 师生活动
9、直线在轴上的截距是什么？ 使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别。 学生思考回答，教师评价。
10、你如何从直线方程的角度认识一次函数？一次函数中和的几何意义是什么？你能说出一次函数图象的特点吗？ 体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 学生思考、讨论，教师评价、归纳概括。
11、例2的教学。 掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行，或相互垂直；进一步理解斜截式方程中的几何意义。 教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论。思考（1）时， 有何关系？（2）时，有何关系？在此由学生得出结论：且；
12、课堂练习第100页练习第1，2，3，4题。 巩固本节课所学过的知识。 学生独立完成，教师检查反馈。
13、小结 使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉。 教师引导学生概括：（1）本节课我们学过那些知识点；（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？
14、布置作业：第106页第1题的（1）、（2）、（3）和第3、5题 巩固深化 学生课后独立完成。
数学教育网http:/// 主审戴刚锋第十六课时 函数y＝Asin(ωx＋)的图象(一)
教学目标
理解振幅的定义，理解振幅变换和周期变换的规律，会对函数y＝sinx进行振幅和周期变换；渗透数形结合思想，培养动与静的辩证关系，提高数学修养.
教学重点
1.理解振幅变换和周期变换的规律；
2.熟练地对y＝sinx进行振幅和周期变换.
教学难点
理解振幅变换和周期变换的规律
教学过程
Ⅰ.课题导入
在现实生活中，我们常常会遇到形如y＝Asin(ωx＋)的函数解析式(其中A，ω，都是常数).下面我们讨论函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R的简图的画法.
Ⅱ.讲授新课
首先我们来看形如y＝Asinx，x∈R的简图如何来画
［例1］画出函数y＝2sinx，x∈R，y＝sinx，x∈R的简图.
解：画简图，我们用“五点法”
∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π
∴我们先画它们在［0，2π］上的简图.
列表：
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
2sinx 0 2 0 －2 0
sinx 0 0 － 0
描点画图：
然后利用周期性，把它们在［0，2π］上的简图向左、右分别扩展，便可得到它们的简图.
请同学们观察它们之间的关系
(1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变).
(2)y＝sinx，x∈R的值域是［－，］
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的倍而得(横坐标不变).
一般地，函数y＝Asinx，x∈R(其中A＞0且A≠1)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
函数y＝Asinx，x∈R的值域是［－A，A］
ymax＝A，ymin＝－A
A称为振幅，这一变换称为振幅变换.
［例2］画出函数y＝sin2x，x∈R y＝sinx，x∈R的简图.
解：函数y＝sin2x，x∈R的周期 T＝＝π
我们先画在［0，π］上的简图
令X＝2x，那么sinX＝sin2x
列表：
x 0 π
X＝2x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
描点画图：
函数y＝sinx，x∈R的周期T＝＝4π
我们画［0，4π］上的简图，令x＝x
列表：
x 0 π 2π 3π 4π
X＝x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
描点画图：
利用它们各自的周期，把它们分别向左、右扩展得到它们的简图.
函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到.
函数y＝sinx，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.
一般地，函数y＝sinωx，x∈R(其中ω＞0，且ω≠1)的图象，可以看作把y＝sinx，x∈R图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换.
Ⅲ.课时小结
通过本节学习，要理解并学会对函数y＝sinx进行振幅和周期变换，即会画y＝Asinx，
y＝sinωx的图象，并理解它们与y＝sinx之间的关系.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(一)
1．判断正误
①y＝Asinωx的最大值是A，最小值是－A. ( )
②y＝Asinωx的周期是. ( )
③y＝－3sin4x的振幅是3，最大值为3，最小值是－3. ( )
2．用图象变换的方法在同一坐标系内由y＝sinx的图象画出函数y＝－sin(－2x)的图象.
3．下列变换中，正确的是 ( )
A.将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象
B.将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象
C.将y＝－sin2x图象上的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的相反数，即得到
y＝sinx的图象
D.将y＝－3sin2x图象上的横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来的倍，且变为相反数，即得到y＝sinx的图象
4．试判断函数f(x)＝在下列区间上的奇偶性.
(1)x∈(－，) (2)x∈［－，］
5．求函数y＝logcos(x＋)的单调递增区间.
6．求函数y＝sin(－2x)的单调递增区间.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(一)答案
1．①(×) ②(×) ③(√)
2．解：∵y＝－sin(－2x)＝sin2x
评述：先化简后画图.
3．A
4．解：f(x)＝
＝＝＝
∵f(－x)＝＝－＝－f(x)
∴在(－，)上f(x)为奇函数.
(2)由于x＝时，f(x)＝1，而f(－x)无意义.
∴在［－，］上函数不具有奇偶性.
5．分析：先考虑对数函数y＝logx是减函数，因此函数的增区间在u＝cos(x＋)的减区间之中，然后再考虑对数函数的定义域.
即函数的递增区间应是cos(x＋)的递减区间与cos(x＋)＞0的解集的交集.
解：依题意得
解得x∈［2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)
评述：求例如sin(ωx＋)、cos(ωx＋)的单调区间时，要注意换元，即令u＝ωx＋，
由u所在区间得到x的范围.
6．求函数y＝sin(－2x)的单调递增区间.
错解：∵y＝sinx的单调递增区间是
［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)
∴2kπ－≤－2x≤2kπ＋ (k∈Z)
解得－kπ－≤x≤－kπ＋ (k∈Z)
∴函数y＝sin(－2x)的递增区间是［kπ－，kπ＋］(k∈Z)
评述：y＝sin(－2x)是y＝sint及t＝－2x的复合函数.由于t＝－2x是减函数，所以当y＝sint递增时，函数y＝sin(－2x)是减函数，上面求得的结果是函数的递减区间，可见，讨论复合函数的单调性必须分析每个函数的单调性，以免犯类似的错误.复合函数的单调性有如下规律：双增双减均为增，一增一减为减.
- 7 -三角函数单元复习题（一）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．集合M＝{x|x＝±，k∈Z}与N＝{x|x＝，k∈Z}之间的关系是 （ ）
A.MN B.NM C.M＝N D.M∩N＝
3．若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是 （ ）
A.60° B.－60° C.30° D.－30°
4．已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4)1711°，其中在第一象限的角是 ( )
A.（1）（2） B.（2）（3） C.（1）（3） D.（2）（4）
5．设a＜0，角α的终边经过点P（－3a，4a），那么sinα＋2cosα的值等于 （ ）
A. B.－ C. D.－
6．若cos(π＋α)＝－，π＜α＜2π，则sin(2π－α)等于 （ ）
A.－ B. C. D.±
7．若α是第四象限角，则π－α是 （ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）
A.2 B. C.2sin1 D.sin2
9．如果sinx＋cosx＝，且0＜x＜π，那么cotx的值是 （ ）
A.－ B.－或－ C.－ D. 或－
10．若实数x满足log2x＝2＋sinθ，则|x＋1|＋|x－10|的值等于 （ ）
A.2x－9 B.9－2x C.11 D.9
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11．tan300°＋cot765°的值是_____________.
12．若＝2，则sinαcosα的值是_____________.
13．不等式（lg20)2cosx＞1，(x∈(0，π))的解集为_____________.
14．若θ满足cosθ＞－，则角θ的取值集合是_____________.
15．若cos130°＝a，则tan50°＝_____________. －
16．已知f(x)＝ eq \r() ，若α∈(，π)，则f(cosα)＋f(－cosα)可化简为___________.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）设一扇形的周长为C(C＞0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？
18．(本小题满分14分）设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为?P（x，)，且cosα＝
x，求sinα与tanα的值.
19．(本小题满分14分)已知≤θ≤π，sinθ＝，cosθ＝，求m的值.
20．(本小题满分15分)已知0°＜α＜45°，且lg(tanα)－lg(sinα)＝lg(cosα)－lg(cotα)＋2lg3
－lg2，求cos3α－sin3α的值.
21．(本小题满分15分)已知sin(5π－α)＝cos(π＋β)和cos(－α)＝－cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值.
三角函数单元复习题（一）答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．B 2．A 3．A 4．C 5．A 6．B 7．C 8．B 9．C 10．C
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11．1－ 12． 13．(0，) 14．{θ|2kπ－π＜θ＜2kπ＋π，k∈Z
15．－ 16．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）设一扇形的周长为C(C＞0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？
【解】 设扇形的中心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则l＋2r＝C即l＝C－2r.
∴S＝lr＝ (C－2r)·r＝－(r－)2＋.
故当r＝时Smax＝, 此时，α＝＝＝ eq \f(C－,) ＝2.
∴当α＝2时，Smax＝.
18．(本小题满分14分）设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为?P（x，)，且cosα＝
x，求sinα与tanα的值.
【解】 由三角函数的定义得：cosα＝
又cosα＝x，∴＝x，解得x＝±.
由已知可得：x＜0，∴x＝－.
故cosα＝－，sinα＝，tanα＝－.
19．(本小题满分14分)已知≤θ≤π，sinθ＝，cosθ＝，求m的值.
【解】 由sin2θ＋cos2θ＝1得（）2＋()2＝1，整理得m2－8m＝0
∴m＝0或m＝8.
当m＝0时，sinθ＝－，cosθ＝，与≤θ≤π矛盾，故m≠0.
当m＝8时，sinθ＝，cosθ＝－，满足≤θ≤π，所以m＝8.
20．(本小题满分15分)已知0°＜α＜45°，且lg(tanα)－lg(sinα)＝lg(cosα)－lg(cotα)＋2lg3
－lg2，求cos3α－sin3α的值.
【分析】 这是一道关于对数与三角函数的综合性问题，一般可通过化简已知等式、用求值的方法来解.
【解】 由已知等式得lg＝lg eq \f(9cosα,2cotα)
∴9sinαcosα＝2，－2sinαcosα＝－，(sinα－cosα)2＝.
∵0°＜α＜45°，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα＝
cos3α－sin3α＝(cosα－sinα)(cos2α+sinαcosα+sin2α)＝×（1＋）＝.
21．(本小题满分15分)已知sin(5π－α)＝cos(π＋β)和cos(－α)＝－cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值.
【分析】 运用诱导公式、同角三角函数基本关系式及消元法.在三角关系中，一般可利用平方关系进行消元.
【解】 由已知得sinα＝sinβ ①
cosα＝cosβ ②
由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.
即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，解得sinα＝±，由于0＜α＜π
所以sinα＝.故α＝或.
当α＝时，cosβ＝，又0＜β＜π，∴β＝
当α＝时，cosβ＝－，又0＜β＜π，∴β＝.
综上可得：α＝，β＝或α＝，β＝.
- 6 -第十二课时 正弦函数、余弦函数的图象
教学目标：
会用单位圆中的线段画出正弦函数的图象，用诱导公式画出余弦函数的图象，会用“五点法”画正、余弦函数的图象；培养学生的数形结合思想，渗透由抽象到具体思想，使学生理解动与静的辩证关系.
教学重点：
用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线.
教学难点：
利用单位圆画正弦曲线.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
以前，我们已经学过一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等等，对于各种函数我们都讨论过它的图象及性质.那么，现在我们正在学习的三角函数的图象是什么样子呢 今天，我们就来探讨一下.
Ⅱ.讲授新课
三角函数线是三角函数的一种几何表示法，确切地说，就是用有向线段的长度来表示三角函数值的大小，方向表示三角函数的符号的一种方法.
作函数的图象，最基本的方法是列表描点法.作三角函数的图象，为了精确，我们借助单位圆中的三角函数线来作.
下面，我们利用单位圆中的正弦线来画一下正弦函数的图象.
首先，在平面内建立一平面直角坐标系，然后在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以Ｏ1为圆心作单位圆，从⊙O1与x轴的交点A起把⊙O1分成12等份(份数宜取6的倍数，份数越多，画出的图象越精确).过⊙Ｏ1上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0、、、、…2π等角的正弦线(例如有向线段O1B对应于 角的正弦线)，相应地，再把x轴上从0到2π这一段(2π≈6.28)分成12等份(例如，从原点起向右的第四个点，就是对应于 角的点)，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合(例如，把正弦线O1B向右平移，使点O1与x轴上的点 重合).再把这些正弦线的终点用平滑曲线连结起来.
这时，我们看到的这段光滑曲线就是函数y＝sinx在x∈［0，2π］上的函数.
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx在x∈［2kπ，2(k＋1)π］， k∈Z且k≠0上的图象与函数y=sinx在x∈［0，2π)上的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数y＝sinx，x∈［0，2π)的图象向左、右平行移动(每次2个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx在x∈R上的图象.
这时，我们看到的这支曲线就是正弦函数y＝sinx在整个定义域上的图象，我们也可把它称为正弦曲线.
用这种方法来作图象，虽然比较精确，但不太实用，我们该如何快捷地画出正弦函数的图象呢
在函数y＝sinx，x∈［0，2π］的图象上，起着关键作用的点只有以下五个：
(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)
事实上，描出这五个点后，函数y＝sinx，x∈［0，2π］的图象的形状就基本上确定了.因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连结起来，就可得到函数的简图.今后，我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”.
下面我们看余弦函数图象的一种画法.
由诱导公式可知：y＝cosx＝sin(＋x)＝sin(x＋)
看来，余弦函数y＝cosx，x∈R与函数y＝sin(x＋)，x∈R是同一个函数.
而y＝sin(x＋)，x∈R的图象可通过将正弦曲线向左平行移动个单位长度而得到.
现在看到的曲线也就是余弦函数y＝cosx在x∈R上的图象，即余弦曲线.
同样，可发现在函数y＝cosx，x∈［0，2π］的图象上，起着关键作用的点是以下五个：
(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)与画函数y＝sinx，x∈［0，2π］的简图类似，通过这五个点，可以画出函数y＝cosx，x∈［0，2π］的简图.
下面，请同学们练习一下“五点(作图)法”
Ⅲ.课堂练习
用“五点法”分别作出y＝sinx与y＝cosx在x∈［0，2π］上的简图，并体会它们之间的关系.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要了解如何利用正弦曲线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象，并会用“五点法”画正弦、余弦函数的简图，会用这一方法画出与正弦、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间上的简图.
Ⅴ.课后作业
预习：正弦函数、余弦函数分别具有哪些性质
- 1 -1.3.4 函数的解析式
一、课题：函数的解析式
二、教学目标：1．会根据函数图象写出解析式；
2．能根据已知条件写出中的待定系数．
三、教学重、难点：1．根据函数图象写解析式；
2．根据已知条件写出中的待定系数．
四、教学过程：
（一）复习：由函数的图象到的图象的变换方法：
（方法一）：先移相位，再作周期变换，再作振幅变换；
（方法二）：先作周期变换，再作相位变换，再作振幅变换。
（二）新课讲解：
1．根据函数图象求解析式
例1：已知函数（，）一个周期内的函数图象，如下图
所示，求函数的一个解析式。
解：由图知：函数最大值为，最小值为，
又∵，∴，
由图知
∴，∴，
又∵，
∴图象上最高点为，
∴，即，可取，
所以，函数的一个解析式为．
2．由已知条件求解析式
例2： 已知函数（，，）的最小值是，
图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，求这
个函数的解析式。
解：由题意：，
， ∴，
∴， ∴，
又∵图象经过点， ∴， 即，
又∵， ∴，
所以，函数的解析式为．
例3：已知函数（，，）的最大值为，
最小值为，周期为，且图象过点，求这个函数的解析式。
解：，
又∵， ∴，
∴，
又∵图象过点，
∴， ∴，
又∵，∴或，
所以，函数解析式为或．
五、小结：1．由已知函数图象求解析式；
2．由已知条件求解析式。
六、作业：补充：
1．已知函数（，，）的周期是，最小值是，且图象过点，求这个函数的解析式；
2．函数（，，）的最小值是，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标的差是，又图象经过点，求这个函数的解析式。
3．如图为函数（，）的图象中的一段，根据图象求它的解析式。
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- 2 -第六课时 交集、并集(二)
教学目标：
使学生掌握集合交集及并集有关性质，运用性质解决一些简单问题，掌握集合的有关术语和符号；提高分析、解决问题的能力和运用数形结合求解问题的能力；使学生树立创新意识.
教学重点：
利用交集、并集定义进行运算.
教学难点：
集合中元素的准确寻求
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
集合的交集、并集相关问题的求解主要在于集合元素寻求.
Ⅱ.讲授新课
［例1］求符合条件{1}P{1，3，5}的集合P.
解析：（1）题中给出两个已知集合{1}，{1，3，5}与一个未知集合P，欲求集合P，即求集合P中的元素；（2）集合P中的元素受条件{1}P{1，3，5}制约，两个关系逐一处理，由{1}与P关系{1}P，知1∈P且P中至少有一个元素不在{1}中，即P中除了1外还有其他元素；由P与{1，3，5}关系P{1，3，5}，知P中的其他元素必在{1，3，5}中，至此可得集合P是{1，3}或{1，5}或{1，3，5}.
［例2］已知U＝{x｜x2＜50，x∈N}，（CUM）∩L＝{1，6}，M∩（CUL）＝{2，3}，CU(M∪L)＝{0，5}，求M和L.
解析：题目中出现U、M、L、CUM、CUL多种集合，就应想到用上面的图形解决问题.
第一步：求全集5＝{x｜x2＜50，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}
第二步：将(CUM)∩L＝{1，6}，M∩（CUL）＝{2，3}，CU(M∪L）＝{0，5}中的元素在图中依次定位.
第三步：将元素4，7定位.
第四步：根据图中的元素位置得M＝{2，3，4，7}，N＝{1，6，4，7}.
［例3］50名学生报名参加A、B两项课外学科小组，报名参加A组的人数是全体学生数的五分之三，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名参加两组的人数的三分之一多1人，求同时报名参加A、B两组的人数和两组都没有报名的人数.
解析：此题是一道应用题，若用建模则寻求集合与集合交集借助符合题意的文氏图
设A∩B的元素为x个，则有
(30－x)＋x＋（33－x）＋（x＋1）＝50，可得
x＝21，x＋1＝8那么符合条件的报名人数为8个.
［例4］设全集I＝{x｜1≤x＜9，x∈N}，求满足{1，3，5，7，8}与B的补集的集合为{1，3，5，7}的所有集合B的个数.
解析：(1)求I＝{x｜1≤x＜9，x∈N}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，因{1，3，5，7，8}∩（CUB）＝{1，3，5，7}，则CUB中必有1，3，5，7而无8.
(2)要求得所有集合B个数，就是要求CUB的个数. CUB的个数由CUB中的元素确定，分以下四种情况讨论：
①CUB中有4个元素，即CUB＝{1，3，5，7}
②CUB中有5个元素，CUB中有元素2， 4，或6，CUB有3个.
③CUB中有6个元素，即从2和4，2和6，4和6三组数中任选一组放入CUB中，CUB有3个
④CUB中有7个元素，即CUB＝{1，3，5，7，2，4，6}
综上所有集合CUB即B共有8个.
［例5］设U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求A∩B、A∪B、CUA、CUB、（CUA）∩（CUB）、(CUA)∪(CUB).
解析：关键在于找CUA及CUB的元素，这个过程可以利用文氏图完成.
解：符合题意的文氏图如右所示，由图可知
A∩B＝｛4｝，A∪B＝｛3，4，5，7，8｝，
CUA＝{1，2，6，7，8}，CUB＝{1，2，3，5，6}
(CUA)∩(CUB)＝{1，2，6}，即有(CUA)∩（CUB）＝CU(A∪B)
(CUA)∪(CUB)＝{1，2，3，5，6，7，8}，即有(CUA)∪(CUB)＝CU (A∩B)
［例6］图中U是全集，A、B是U的两个子集，用阴影表示(CUA)∩（CUB）.
解析：先将符号语言(CUA)∩（CUB）转换成与此等价的
另一种符号语言CU(A∪B)，再将符号语言CU(A∪B)转换成图
形语言(如下图中阴影部分)
［例7］已知A＝{x｜－1＜x＜3}，A∩B＝，A∪B＝R，求B.
分析：问题解决主要靠有关概念的正确运用，有关式子的正确利用.
解：由A∩B＝及A∪B＝R知全集为R，CRA＝B故B＝CRA＝{x｜x≤－1或x≥3}，B集合可由数形结合找准其元素.
［例8］已知全集I＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，A＝{－3，a2，a＋1}，B＝{a－3，2a－1，a2＋1}，其中a∈R，若A∩B＝{－3}，求CI（A∪B）.
分析：问题解决关键在于求A∪B中元素，元素的特征运用很重要.
解：由题I＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，A＝{－3，a2，a＋1}，B＝{a－3，2a－1，a2＋1}，其中a∈R，由于A∩B＝{－3}，因a2＋1≥1，那么a－3＝－3或2a－1＝－3，即a＝0或a＝－1
则A＝{－3，0，1}，B＝{－4，－3，2}，A∪B＝{－4，－3，0，1，2}
CI（A∪B）＝{－2，－1，3，4}
［例9］已知平面内的△ABC及点P，求{P｜P A＝P B}∩{ P｜P A＝P C}
解析：将符号语言{ P｜PA＝PB}∩{ P｜PA＝PC}转化成文字语言就是到△ABC三顶点距离相等的点所组成的集合.故{ P｜PA＝PB}∩{ P｜PA＝PC}＝{△ABC的外心}.
［例10］某班级共有48人，其中爱好体育的25名，爱好文艺的24名，体育和文艺都爱好的9名，试求体育和文艺都不爱好的有几名
解析：先将文字语言转换成符号语言，设爱好体育的同学组成的集合为A，爱好文艺的同学组成的集合为B.整个班级的同学组成的集合是U.则体育和文艺都爱好的同学组成的集合是A∩B，体育和文艺都不爱好的同学组成的集合是(CUA)∩（CUB)再将符号语言转换成图形语言：
通过图形得到集合(CUA)∩（CUB）的元素是8
最后把符号语言转化成文字语言，即(CUA)∩（CUB）
转化为：体育和文艺都不爱好的同学有8名.
Ⅲ.课堂练习
1.设A＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}，B＝{（x，y）｜x－y＝2}，C＝{（x，y）｜2x－2y＝3}，D＝{（x，y）｜6x＋4y＝2}，求A∩B、B∩C、A∩D.
分析：A、B、C、D的集合都是由直线上点构成其元素A∩B、B∩C、A∩D即为对应直线交点，也即方程组的求解.
解：因A＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}，B＝{（x，y）｜x－y＝2}
则
∴A∩B＝{（1，－1）}
又C＝{（x，y）｜2x－2y＝3}，则方程无解
∴B∩C＝
又 D＝{（x，y）｜6x＋4y＝2}，则
化成3x＋2y＝1
∴A∩D＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}
评述：A、B对应直线有一个交点，B、C对应直线平行，无交点.A、D对应直线是一条，有无数个交点.
2.设A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝2（k＋1），k∈Z}，D＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，在A、B、C、D中，哪些集合相等，哪些集合的交集是空集
分析：确定集合的元素，是解决该问题的前提.
解：由整数Z集合的意义，
A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，C＝{x｜x＝2（k＋1），k∈Z}都表示偶数集合.
B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，D＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}表示由奇数组成的集合
故A＝C，B＝D
那么，A∩B＝A∩D＝{偶数}∩{奇数}＝，
C∩B＝C∩D＝{偶数}∩{奇数}＝
3.设U＝{x｜x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求A∩B，CU(A∩B).
分析：首先找到U的元素，是解决该题关键.
解：由题U＝{x｜x是小于9的正整数}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}
那么由A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}得A∩B＝{3}
则CU(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7，8}
Ⅳ.课时小结
1.能清楚交集、并集有关性质，导出依据.
2.性质利用的同时，考虑集合所表示的含义，或者说元素的几何意义能否找到.
Ⅴ.课后作业
课本P14 习题1.3 7，8
参考练习题：
1.(1)已知集合P＝{x∈R｜y2＝－2（x－3），y∈R}，Q＝{x∈R｜y2＝x＋1，y∈R}，则P∩Q为 （ ）
A.{(x，y)｜x＝，y＝±} B.{x｜－1＜x＜3}
C.{x｜－1≤x≤3} D.{x｜x≤3}
(2)设S、T是两个非空集合，且ST，TS，记X＝S∩T，那么S∪X等于 （ ）
A.S B.T C. D.X
(3)已知，M＝{3，a}，N＝{x｜x2－3x＜0，x∈Z}，M∩N＝{1}，P＝M∪N，则集合P的
子集的个数为 （ ）
A.3 B.7 C.8 D.16
解析：(1)因P＝{x∈R｜y2＝－2（x－3），y∈R}，x＝－y2＋3≤3，即P＝{x｜x≤3}
又由Q＝{x∈R｜y2＝x＋1，y∈R}，x＝y2－1≥－1即1＝{x｜x≥－1}
∴P∩Q＝{x｜－1≤x≤3}即选C
另解：因P∩Q的元素是x，而不是点集.故可排除A.令x＝－1，有－1∈P，－1∈Q，即－1∈P∩Q，排除B取－2，由－2Q，否定D，故选C.
评述：另解用的是排除法，充分利用有且只有一个正确这一信息，通过举反例，取特殊值而排除不正确选项，找到正确选择支，在解集合问题时，对元素的识别是个关键.
本题若开始就解方程组，这样就易选A
(2)因X＝S∩T，故XS，由此S∪X＝S，选A
另解：若X≠，则有文氏图
∴有S∪X＝S
若X＝，则由文氏图
S∪X＝S∪＝S，综上选A.
评述：本题未给出集合中元素,
只给出两个抽象集合及其间关系,这时候想到利用文氏图.
(3)因N＝{x｜x2－3x＜0，x∈Z} 即N＝{x｜0＜x＜3，x∈Z}＝{1，2}
又 M∩N＝{1}，故M＝{3，1}，此时P＝M∪N＝{1，2，3}，子集数23＝8，选C.
2.填空题
(1)已知集合M、N满足，cardM＝6，cardN＝13，若card（M∩N）＝6，则card（M∪N）＝_______.若M∩N＝，则card(M∪N)＝_______.
(2)已知满足“如果x∈S，且8－x∈S”的自然数x构成集合S
①若S是一个单元素集，则S＝_______；②若S有且只有2个元素，则S＝_______.
(3)设U是一个全集，A、B为U的两个子集，试用阴影线在图甲和图乙中分别标出下列集合. ①CU（A∪B）∪(A∩B) ②(CUA)∩B
解析：(1)因cardM＝6，cardN＝13，由文氏图，当card（M∩N）＝6时，card（M∪N）＝6＋7＝13
又当M∩N＝，则card（M∪N）＝19
(2)①若S中只有一个元素，则x＝8－x即x＝4 ∴S＝{4}
②若S中有且只有2个元素.
则可由x分为以下几种情况，使之两数和为8，即{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}
评述：由集合S中元素x而解决该题.
(3)符合题意的集合用阴影部分表示如下：
①CU(A∪B)∪(A∩B) ②(CUA)∩B
3.设全集I＝{不超过5的正整数}，A＝{x｜x2－5x＋q＝0}，B＝{x｜x2＋px＋12＝0}且
(CUA)∪B＝{1，3，4，5}，求实数p与q的值.
解析：因(CUA)∪B＝{1，3，4，5}则B{1，3，4，5}且x2＋px＋12＝0
即B＝{3，4} ∴{1，5}CUA 即{2，3，4}A
又 x2－5x＋q＝0，即A＝{2，3}
故p＝－（3＋4）＝－7，q＝2×3＝6
评述：此题难点在于寻找B及A中元素是什么,找到元素后运用韦达定理即可得到结果.
4.设A＝{－3，4}，B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}，B≠且BA，求a、b.
解析：因A＝{－3，4}，B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}
B≠，BA，那么x2－2ax＋b＝0的两根为－3，4，或有重根－3，4.
即B＝{－3}或B＝{4}或B＝{－3，4}
当x＝－3时，a＝－3，b＝9
x＝4时，a＝4，b＝16
当x＝－3，x2＝4时，a＝（－3＋4）＝，b＝－12
评述：此题先求B，后求a、b.
5.A＝{x｜a≤x≤a＋3}，B＝{x｜x＜－1或x＞5}，分别就下面条件求A的取值范围.
①A∩B＝，②A∩B＝A.
解：①因A＝{x｜a≤x≤a＋3}，B＝{x｜x－1或x＞5}
又 A∩B＝，故在数轴上表示A、B
则应有a≥－1，a＋3≤5即－1≤a≤2
②因A∩B＝A，即AB
那么结合数轴应有a＋3＜－1或a＞5即a＜－4或a＞5
评述：集合的交、并运算利用数形结合，即可迅速找到解题思路，该题利用数轴，由A∩B＝及A∩B＝A，分别求a.
6.已知全集I＝{x｜x2－3x＋2≥0}，A＝{x｜x＜1或x＞3}，B＝{x｜x≤1或x＞2}，求CUA，CUB，A∩B，A∪B，（CUA）∩（CUB），CU(A∪B）.
解析：I＝{x｜x2－3x＋2≥0}＝{x｜x≤1或x≥2}
又A＝{x｜x＜1或x＞3}，B＝{x｜x≤1或x＞2}
则CUA＝{x｜x＝1或2≤x≤3}
CUB＝{x｜x＝2}＝{2}
A∩B＝A＝{x｜x＜1或x＞3}
A∪B＝{x｜x≤1或x＞2}＝B
(CUA)∩（CUB）＝CU（A∪B）＝{2}
评述：清楚全集、补集概念，熟练求解，并运算.
交集、并集(二)
1.(1)已知集合P＝{x∈R｜y2＝－2（x－3），y∈R}，Q＝{x∈R｜y2＝x＋1，y∈R}，则P∩Q为 （ ）
A.{(x，y)｜x＝，y＝±} B.{x｜－1＜x＜3}
C.{x｜－1≤x≤3} D.{x｜x≤3}
(2)设S、T是两个非空集合，且ST，TS，记X＝S∩T，那么S∪X等于 （ ）
A.S B.T C. D.X
(3)已知，M＝{3，a}，N＝{x｜x2－3x＜0，x∈Z}，M∩N＝{1}，P＝M∪N，则集合P的
子集的个数为 （ ）
A.3 B.7 C.8 D.16
2.填空题
(1)已知集合M、N满足，cardM＝6，cardN＝13，若card（M∩N）＝6，则card（M∪N）＝_______.若M∩N＝，则card(M∪N)＝_______.
(2)已知满足“如果x∈S，且8－x∈S”的自然数x构成集合S
①若S是一个单元素集，则S＝_______；②若S有且只有2个元素，则S＝_______.
(3)设U是一个全集，A、B为U的两个子集，试用阴影线在图甲和图乙中分别标出下列集合.
①CU（A∪B）∪(A∩B) ②(CUA)∩B
3.设全集I＝{不超过5的正整数}，A＝{x｜x2－5x＋q＝0}，B＝{x｜x2＋px＋12＝0}且
(CUA)∪B＝{1，3，4，5}，求实数p与q的值.
4.设A＝{－3，4}，B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}，B≠且BA，求a、b.
5.A＝{x｜a≤x≤a＋3}，B＝{x｜x＜－1或x＞5}，分别就下面条件求A的取值范围.
①A∩B＝，②A∩B＝A.
6.已知全集I＝{x｜x2－3x＋2≥0}，A＝{x｜x＜1或x＞3}，B＝{x｜x≤1或x＞2}，求CUA，CUB，A∩B，A∪B，（CUA）∩（CUB），CU(A∪B）.
- 1 -第七课时 线性规划（二）
教学目标：
使学生能够应用简单的线性规划解决生产实际中资源配置和降低资源消耗等问题，培养学生建立数学模型的能力。
教学重点、难点：数学模型的建立。
教学过程：
例1：某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15t，已知生产甲产品1t需煤9t，电力4kw，劳动力3个（按工作日计算）；生产乙产品l t需煤4t，电力5kw，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200 kw，劳动力只有300个，问每天各生产甲、乙两种产品多少吨，才能既保证完成生产任务，又能为国家创造最多的财富。
分析：先设出每天生产甲、乙两种产品的产量分别为x t和y t，建立约束条件和目标函数后，再利用图形直观解题。
解：设每天生产甲产品x t，乙产品y t，总产量S t，
依题意约束条件为：
目标函数为 S＝7x＋12y
约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的点加上它的边界上的点（如图阴影部分）
现在就要在可行域上找出使S＝7x＋12y取最大值的点（x，y）。作直线S＝7x＋12y，随着S取值的变化，得到一束平行直线，其纵截距为 ，可以看出，直线的纵截距越大，S值也越大。
从图中可以看出，当直线S＝7x＋12y经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值。
解方程组
得A（20，24），故当x＝20，y＝24时，
Smax＝7×20＋12×24＝428（万元）
答：每天生产甲产品20 t，乙产品24 t，这样既保证完成任务，又能为国家创造最多的财富428万元。
评析：解决简单线性规划应用题的关键是：（1）找出线性约束条件和目标函数；（2）准确画出可行域；（3）利用S的几何意义，求出最优解。
例2：一位农民有田2亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为400 kg；若种花生，则每亩每期产量为100 kg，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每 kg可卖5元，稻米每kg只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？
分析：最优种值安排问题就是求非负变量x、y满足条件x＋y≤2和240x＋80y≤400时，利润P达到最大。
解：如图所示，设水稻种x亩，花生种y亩，
则由题意得
而利润P＝（3×400－240）x＋（5×100－80）y
＝960x＋420y（目标函数）
可联立 得交点P（1.5，0.5）
故当x＝1.5，y＝0.5时，Pmax＝960×1.5＋420×0.5＝1650
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到利润最大。
例3：要将两种大小不同的钢板截成Ａ、Ｂ、Ｃ三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
　　 规格类型钢板类型 Ａ规格 Ｂ规格 Ｃ规格
第一种钢板 ２ １ １
第二种钢板 １ ２ ３
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，
则
作出可行域（如右图）：（阴影部分）
目标函数为z＝x＋y
作出一组平行直线x＋y＝t，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x＋3y＝27和直线2x＋y＝15的交点A（，），直线方程为x＋y＝.
由于和都不是整数，而最优解（x，y）中，x，y必须都是整数，可行域内点（，）不是最优解.
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，经过的整点是B(3，9)和C(4，8)，它们都是最优解.
答:要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种:第一种截法是截第一种钢板3张.第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张.两种方法都最少要截两种钢板共12张.
说明：在例3中，线性规划问题的最优解（，）不是实际问题的最优解，应使学生注意到具有实际意义的x，y应满足x∈N，y∈N.故最优解应是整点坐标。
小结：处理简单的线性规划的实际问题时，需从题意中建立起目标函数和相应的约束条件，实际上就是建立数学模型。
练习：
课本P84 4，5
作业：
课本P88 5，6
教学后记：
- 3 -第一课时 数 列（一）
教学目标：
理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.
教学重点：
1.理解数列概念；
2.用通项公式写出数列的任意一项.
教学难点：
根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义.
如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f︰A→B就叫做A到B的函数，记作：y＝f(x)，其中x∈A，y∈B.
Ⅱ.讲授新课
在学习第二章函数知识的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子.
1，2，3，4，…，50 ①
1，2，22，23，…，263 ②
15，5，16，16，28 ③
0，10，20，30，…，1000 ④
1，0.84，0.842，0.843，… ⑤
请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？
它们均是一列数，它们是有一定次序的.
引出数列及有关定义.
1.定义
（1）数列：按照一定次序排成的一列数.
看来上述例子就为我们所学数列.那么一些数为何将其按照一定的次序排列，它有何实际意义呢？也就是说和我们生活有何关系呢？
如数列①，它就是我们班学生的学号由小到大排成的一列数.
数列②，是引言问题中各个格子里的麦粒数按放置的先后排成的一列数.
数列③，好像是我国体育健儿在五次奥运会中所获金牌数排成的一列数.
数列④，可看作是在1 km长的路段上，从起点开始，每隔10 m种植一棵树，由近及远各棵树与起点的距离排成的一列数.
数列⑤，我们在化学课上学过一种放射性物质，它不断地变化为其他物质，每经过1年，它就只剩留原来的84%，若设这种物质最初的质量为1，则这种物质各年开始时的剩留量排成一列数，则为：1，0.84，0.842，0.843，….
诸如此类，还有很多，举不胜举，我们学习它，掌握它，也是为了使我们的生活更美好，下面我们进一步讨论，好吗？
现在，就上述例子，我们来看一下数列的基本知识.
比如，数列中的每一个数，我们以后把其称为数列的项，各项依次叫做数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….
那么，数列一般可表示为a1，a2，a3，…，an，….其中数列的第n项用an来表示.
数列还可简记作{an}.
数列{an}的第n项an与项数n有一定的关系吗？
数列①中，每一项的序号与这一项有这样的对应关系：
序号 1 2 3 … 50
↓ ↓ ↓ … ↓
项 1 2 3 … 50
即数列的每一项就等于其相对应的序号.也可以用一式子：an=n(1≤n≤50)来表示.且n∈N*)
数列②中，每一项的序号与这一项的对应关系为：
序号 1 2 3 … 64
↓ ↓ ↓ … ↓
项 1 2 22 … 263
↓ ↓ ↓ … ↓
2° 21 22 … 263
↓ ↓ ↓ … ↓
21－1 22－1 23－1 … 264－1
即：an＝2n－1(n为正整数，且1≤n≤64)
数列④中：
序号 1 2 3 … 101
↓ ↓ ↓ … ↓
项 0 10 20 … 1000
↓ ↓ ↓ … ↓
10×0 10×1 10×2 … 10×100
↓ ↓ ↓ … ↓
10×(1－1) 10×(2－1) 10×(3－1) … 10×(101－1)
∴an＝10(n－1)(n∈N*且1≤n≤101).
数列⑤中：
序号 1 2 3 4 …
↓ ↓ ↓ ↓ …
项 1 0.84 0.842 0.843 …
↓ ↓ ↓ ↓ …
0.840 0.841 0.842 0.843 …
∴an＝0.84n－1(n≥1且n∈N*)
数列{an}的第n项an与n之间的关系都可以用这样的式子来表示吗？
不是，如数列③的项与序号的关系就不可用这样的式子来表示.
综上所述，如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
即：只要依次用1，2，3，…代替公式中的n,就可以求出该数列相应的各项.
下面，我们来练习找通项公式.
1，，，，…. ①
1，0.1，0.01，0.001，…. ②
－1，1，－1，1，…. ③
2，2，2，2，2，2. ④
1，3，5，7，9，…. ⑤
得出数列①的通项公式为：an＝且n∈N*.
数列②可用通项公式：an＝，(n∈N*，n≥1)来表示.
数列③的通项公式为：an＝(－1)n(n∈N*)或an＝
数列④的通项公式为：an＝2(n∈N*且1≤n≤6)
数列⑤的通项公式为：an＝2n－1(n∈N*).
数列与数集的区别和联系.
在数列的定义中，要强调数列中的数是按一定次序排列的；而数集中的元素没有次序.
例如，数列4，5，6，7，8，9与数列9，8，7，6，5，4是不同的两个数列.如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列.而数集中的元素若相同，则为同一集合，与元素的次序无关.
数列中的数是可以重复出现的，而数集中的数是不允许重复出现的.如上数列③与④，均有重复出现的数.
数列与数的集合都是具有某种共同属性的数的全体.
{an}与an又有何区别和联系？
{an}表示数列；an表示数列的项.具体地说，{an}表示数列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而an只表示这个数列的第n项.其中n表示项的位置序号，如：a1，a2，a3，an分别表示数列的第1项，第2项，第3项及第n项.
数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？
从映射、函数的观点来看，数列也可看作是一个定义域为正整数集N*(或它们的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象.看来，数列也可以根据其通项公式画出其对应图象，下面请同学们练习画数列①、⑤的图象.
根据所求通项公式画出数列⑤、①的图象，并总结其特点：
特点：它们都是一群弧立的点.
（5）有穷数列：项数有限的数列.如数列④只有6项，是有穷数列.
（6）无穷数列：项数无限的数列.如数列①、②、③、⑤都是无穷数列.
2.例题讲解
［例1］根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：
(1)an＝； (2)an＝(－1)n·n
分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.
解：(1)在an＝中依次取n＝1，2，3，4，5，得到数列{ }的前5项分别为：，，，，.即：a1＝；a2＝；a3＝；a4＝；a5＝.
(2)在an＝(－1)n·n中依次取n＝1，2，3，4，5，得到数列{－1n·n}的前5项分别为：－1，2，－3，4，－5.
即：a1＝－1；a2＝2；a3＝－3；a4＝4；a5＝－5.
［例2］写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，3，5，7； (2) ，，，
(3)－，，－，.
分析：认真观察各数列所给出项，寻求各项与其项数的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式.
解：(1)
序号： 1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓
项： 1＝2×1－1 3＝2×2－1 5＝2×3－1 7＝2×4－1
规律：这个数列的前4项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以它的一个通项公式是an＝2n－1；
(2)
序号： 1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓
项分母： 2＝1＋1 3＝2＋1 4＝3＋1 5＝4＋1
↓ ↓ ↓ ↓
项分子： 22－1 32－1 42－1 52－1
规律：这个数列的前4项，，，的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去，所以它的一个通项公式是：an＝；
（3）
序号： 1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓
项： － －
‖ ‖ ‖ ‖
（－1）1 （－1）2 （－1）3 （－1）4
规律：这个数列的前4项－，，－，的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是：an＝(－1)n·.
Ⅲ.课堂练习
课本P32练习1，2，3，4，5，6
Ⅳ.课时小结
对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的一些项求一些简单数列的通项公式.
Ⅴ.课后作业
课本P32习题 1，2，3
数 列（一）
1．把自然数的前五个数①排成1，2，3，4，5；②排成5，4，3，2，1；③排成3，1，4，2，5；④排成2，3，1，4，5，那么可以叫做数列的有 个
A.1 B.2 C.3 D.4
2．已知数列的{an}的前四项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列{an}的通项公式的个数有 （ ）
①an＝ [1＋（－1）n+1]；
②an＝sin2；(注n为奇数时，sin2＝1；n为偶数时，sin2＝0.)；
③an＝ [1＋(－1)n+1]＋(n－1)(n－2)；
④an＝，(n∈N*)(注：n为奇数时，cosnπ＝－1，n为偶数时，cosnπ＝1)；
⑤an＝
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3．数列－1，，－，，…的一个通项公式an是 （ ）
A.(－1)n B.(－1)n
C.(－1)n D.(－1)n
4．数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式为 （ ）
A.an＝1＋(－1)n－1 B.an＝1＋(－1)n
C.an＝1＋(－1)n+1 D.an＝2sin
5．以下四个数中是数列{n(n＋1)}中的一项的是 （ ）
A.17 B.32 C.39 D.380
6．数列2，5，11，20，x，47，……中的x等于 （ ）
A.28 B.32 C.33 D.27
7．数列1，2，1，2，1，2的一个通项公式是 .
8．求数列，，，…的通项公式.
数 列（一）答案
1．分析：按照数列定义得出答案.
评述：数列的定义中所说的“一定次序”不是要求按自然数次序，所以①②③④这四种排法都可叫做数列. 答案：D
2．分析：要判别某一公式不是数列的通项公式，只要把适当的n代入an，其不满足即可，如果要确定它是通项公式，必须加以一定的说明.
解：对于③，将n＝3代入，a3＝3≠1，故③不是{an}的通项公式；由三角公式知；②和④实质上是一样的，不难验证，它们是已知数列1，0，1，0的通项公式；对于⑤，易看出，它不是数列{an}的通项公式；①显然是数列{an}的通项公式.
综上可知，数列{an}的通项公式有三个，即有三种表示形式. 答案：C
3．D 4．B 5．D
6．解析：∵5＝2＋3×1，11＝5＋3×2，20＝11＋3×3，
∴x＝20＋3×4＝32. 答案：B
评述：用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律、观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，要能观察出特点，观察出项与项数之间的关系、规律，这类问题就是要观察各项与项数之间的联系，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列、自然数的前n项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列，…），建立合理的联想、转换而达到问题的解决.
7．an＝1＋[1＋（－1）n].
8．求数列，，，…的通项公式.
分析：可通过观察、分析直接写出其通项公式，也可利用待定系数法求通项公式.
解：通过观察与分析，不难写出其三个分数中分母5，15，35，…的一个通项公式
10·2n－1－5.
故所求数列的通项公式为：an＝.
- 6 -平面向量单元复习题（二）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．若向量a＝（x＋3，x2－3x－4）与相等，其中A（1，2），B（3，2），则x等于（ ）
A.1 B.0 C.－1 D.2
2．已知命题正确的个数是 （ ）
①若a·b＝0，则a＝0或b＝0 ②（a·b）·c＝a·(b·c) ③若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c ④a·b＝b·a ⑤若a与b不共线，则a与b的夹角为锐角
A.1 B.2 C.3 D.4
3．将函数y＝log2(2x)的图象F，按a＝（2，－1）平移到F′，则F′的解析式为 （ ）
A.y＝log2［2(x－2)］－1 B.y＝log2［2(x＋2)］－1
C.y＝log2［2(x＋2)］＋1 D.y＝log2［2(x－2)］＋1
4．下面几个有关向量数量积的关系式：
①0·0＝0 ②|a·b|≤a·b ③a2＝|a|2 ④＝ ⑤(a·b)2＝a2·b2 ⑥(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 其中正确的个数是 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
5．已知a＝（x，y），b＝(－y，x)(x，y不同时为零)，则a，b之间的关系是 （ ）
A.平行 B.不平行也不垂直
C.垂直 D.以上都不对
6．已知两点A（2，3），B（－4，5），则与共线的单位向量是 （ ）
A.e＝（－6，2） B.e＝(－6，2)或（6，－2）
C.e＝（－，） D.e＝（－，）或（，－）
7．在△ABC中，已知||＝4，||＝1，S△ABC＝，则·等于 （ ）
A.－2 B.2 C.±2 D.±4
8．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则k的值为 （ ）
A.－6 B.6 C.3 D.－3
9．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2；b＝－3e1＋2e2的夹角是（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
10．若|a－b|＝ eq \r(41－20) ，|a|＝4，|b|＝5，则a与b的数量积为 （ ）
A.10 B.－10 C.10 D.10
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．若a与b、c的夹角都是60°，而b⊥c，且|a|＝|b|＝|c＝1，则（a－2c)·(b＋c)＝_____.
12．已知A（3，0），B（0，4），点P在线段AB上运动（P可以与A、B重合），O是坐标原点，则||的取值范围为_____________.
13．已知a＝（λ，2)，b＝(－3，5)且a与b的夹角是钝角，则实数λ的取值范围是_______.
14．已知＋＋＝0，||＝||＝||＝1，则，的夹角为_______.
15．等边△ABC的边长为1，＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于
16．若对n个向量a1，a2，…，an，存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，…，an“线性相关”，请写出使得a1＝(1，0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2，2)“线性相关”的一组实数k1，k2，k3的值，即k1＝_________，k2＝___________，k3＝_____________.(答案不唯一）
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知a和b的夹角为60°，|a|＝10，|b|＝8，求：
（1）|a＋b|；（2）a＋b与a的夹角θ的余弦值.
18．（本小题满分14分）已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量.
19．(本小题满分14分）设a＝（cos23°，cos67°)，b＝(cos68°，cos22°)，u＝a＋tb(t∈R)
求（1）a·b；（2）u的模的最小值.
20．(本小题满分15分）已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及＝＋t
求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
21． (本小题满分15分）已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，c＝xa＋yb，且a⊥c，|c|＝1，求x和y的值.
平面向量单元复习题（二）答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．C 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．B 9．C 10．A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．－1 12．［，4］ 13．(，+∞) 14．120° 15．－ 16．4 －2 －1
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知a和b的夹角为60°，|a|＝10，|b|＝8，求：
（1）|a＋b|；（2）a＋b与a的夹角θ的余弦值.
【解】 （1）|a＋b|＝＝
＝＝ eq \r(102＋82＋2×10×8×) ＝2
(2)cosθ＝＝ eq \f(a2＋a·b,10×2) ＝.
18．（本小题满分14分）已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量.
【解】 设D（x0，y0)，则＝（x0－2，y0＋1)，＝(－6，－3)，＝(x0－3，y0－2)
∵ eq \b\lc\{(\a\al(⊥,∥)) ，∴
解得，，∴D(1，1)，＝(－1，2)
19．(本小题满分14分）设a＝（cos23°，cos67°)，b＝(cos68°，cos22°)，u＝a＋tb(t∈R)
求（1）a·b；（2）u的模的最小值.
【解】 （1）a·b＝cos23°cos68°＋cos67°cos22°＝cos23°cos68°＋sin23°sin68°
＝cos(23°－68°)＝cos45°＝
(2)∵|u|2＝(a＋tb)2＝|a|2＋t2|b|2＋2ta·b
|a|2＝cos223°＋cos267°＝cos223°＋sin223°＝1，|b|2＝cos268°＋sin268°＝1
∴|u|2＝1＋t2＋2t＝(t＋)2＋
当t＝－时，|u|min＝.
20．(本小题满分15分）已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及＝＋t
求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
【解】 （1）∵＝（1，2），＝（4，5）－（1，2）＝（3，3）
∴＝＋t＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)
当P在x轴上时，有2＋3t＝0，即t＝－
当P在y轴上时，有1＋3t＝0，即t＝－
当P在第二象限时，有，即－＜t＜－
（2）∵＝(1＋3t，2＋3t)，＝（3，3）.
假如四边形OABP能为平行四边形，则有＝，即(1＋3t，2＋3t)＝(3，3)
∴有，该方程组无解，
∴假设不成立，∴四边形不能成为平行四边形.
21． (本小题满分15分）已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，c＝xa＋yb，且a⊥c，|c|＝1，求x和y的值.
【解】 设c＝(c1，c2)， ∵a⊥c，a＝(3，4) ∴3c1＋4c2＝0，c2＝－c1
∴c(c1，－c1)，又∵|c|＝1 ∴c12＋(－c1)2＝1 c1＝±
∴ eq \b\lc\{(\a\al(c1＝,c2＝－)) 或 eq \b\lc\{(\a\al(c1＝－,c2＝)) ，∴c(，－)或c(－，)
又已知c＝xa＋yb＝(3x＋4y，4x＋3y)
∴ eq \b\lc\{(\a\al(3x＋4y＝,4x＋3y＝－)) 或 eq \b\lc\{(\a\al(3x＋4y＝－,4x＋3y＝)) ， 解得：∴ eq \b\lc\{(\a\al(x＝－,y＝)) 或 eq \b\lc\{(\a\al(x＝,y＝－))
- 5 -第十一课时 平面向量数量积的坐标表示
教学目标：
掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.
教学重点：
平面向量数量积的坐标表示.
教学难点：
向量数量积的坐标表示的应用.
教学过程：
Ⅰ.课题引入
上一节我们学面向量的数量积，并对向量已能用坐标表示，如果已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a和b的坐标表示a·b呢
这是我们这一节将要研究的问题.
Ⅱ.讲授新课
首先我们推导平面向量的数量积坐标表示：
记a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j
∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y2
1.平面向量数量积的坐标表示：
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
∴a·b＝x1x2＋y1y2
2.两向量垂直的坐标表示：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
则a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0
［例1］已知a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，则a与b的夹角是多少
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝(1，)，b＝(＋1，－1)
有a·b＝＋1＋ (－1)＝4，｜a｜＝2，｜b｜＝2.
记a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝
又∵0≤θ≤， ∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
［例2］已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，求x，y的值使(xa＋yb)⊥a，且｜xa＋yb｜＝1.
分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.
解：由a＝(3，4)，b＝(4，3)，有xa＋yb＝(3x＋4y，4x＋3y)
又(xa＋yb)⊥a(xa＋yb)·a＝0
3(3x＋4y)＋4(4x＋3y)＝0
即25x＋24y＝0 ①
又｜xa＋yb｜＝1｜xa＋yb｜2＝1
(3x＋4y)2＋(4x＋3y)2＝1
整理得：25x2＋48xy＋25y2＝1
即x(25x＋24y)＋24xy＋25y2＝1 ②
由①②有24xy＋25y2＝1 ③
将①变形代入③可得：y＝±
再代入①得：x＝
∴或
［例3］在△ABC中，＝(1，1)，＝(2，k)，若△ABC中有一个角为直角，求实数k的值.
解：若A＝90°，则·＝0，
∴1×2＋1×k＝0，即k＝－2
若B＝90°，则·＝0，又＝－＝(2，k)－(1，1)＝(1，k－1)
即得：1＋(k－1)＝0，∴k＝0
若C＝90°，则·＝0，即2＋k(k－1)＝0，而k2－k＋2＝0无实根，
所以不存在实数k使C＝90°
综上所述，k＝－2或k＝0时，△ABC内有一内角是直角.
评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.
［例4］已知：O为原点，A(a，0)，B(0，a)，a为正常数，点P在线段AB上，且＝t (0≤t≤1)，则·的最大值是多少
解：设P(x，y)，则＝(x－a，y)，＝(－a，a)，由＝t可有：
，解得
∴＝(a－at，at)，又＝(a，0)，
∴·＝a2－a2t
∵a＞0，可得－a2＜0，又0≤t≤1，
∴当t＝0时，·＝a2－a2t，有最大值a2.
［例5］已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a，b夹角为60°，m为何值时两向量3a＋5b与ma－3b互相垂直？
解法：(3a＋5b)·(ma－3b)
＝3m｜a｜2－9a·b＋5ma·b－15｜b｜2
＝27m＋(5m－9)×3×2cos60°－15×4＝42m－87＝0
∴m＝＝时，(3a＋5b)⊥(ma－3b).
Ⅲ.课堂练习
课本P82练习1～8.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标形式条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.
Ⅴ.课后作业
课本P83习题 6，8，9，10
平面向量数量积的坐标表示
1．在已知a＝(x，y），b＝(－y，x)，则a，b之间的关系为 （ ）
A.平行 B.不平行不垂直 C.a⊥b D.以上均不对
2．已知a＝（－4，3），b＝(5，6），则3|a|2－4a·b为 （ ）
A.63 B.83 C.23 D.57
3．若a＝（－3，4），b＝(2，－1），若（a－xb)⊥（a－b)，则x等于 （ ）
A.－23 B. C.－ D.－
4．若a＝（λ，2），b＝(－3，5），a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围为 （ ）
A.（，+∞） B.［，+∞）
C.（－∞，） D.（－∞，］
5．已知a＝（－2，1），b＝（－2，－3），则a在b方向上的投影为 （ ）
A.－ B. C.0 D.1
6．已知向量c与向量a＝（，－1）和b＝（1，）的夹角相等，c的模为，则
c＝ .
7．若a＝（3，4），b＝(1，2）且a·b＝10，则b在a上的投影为 .
8．设a＝（x1，y1)，b＝(x`2，y`2)有以下命题：
①|a|＝ ②b2＝ ③a·b＝x1x`2＋y1y`2 ④a⊥bx1x`2＋y1y`2＝0，其中假命题的序号为 .
9．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4），
（1）求证：⊥ ；（2）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标.
10．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，当k取何值时，t有最小值？最小值为多少？
11．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值.
平面向量数量积的坐标表示答案
1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．(，)或(－，) 7．2 8．②
9．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4），
（1）求证：⊥ ；（2）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标.
（1）证明：∵＝（1，1），＝（－3，3）
∴·＝1×3＋1×(－3)＝0， ∴⊥.
（2）解：∵ABCD为矩形，设C（x，y），
∴＝，（1，1）＝（x+1，y－4)
∴x＝0，y＝5，∴C（0，5）.
10．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，当k取何值时，t有最小值？最小值为多少？
解：∵a－b＝(3－k，－2－k)
∴t＝|a－b|＝
＝＝ eq \r(2（k－）2＋)
∴当k＝时，t取最小值，最小值为.
11．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值.
解：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2),
∴|a|＝|b|＝1，
∴x12＋y12＝1，x22＋y22＝1 ①
3a－2b＝3(x1，y1)－2(x2，y2)＝(3x1－2x2，3y1－2y2),
又|3a－2b|＝3,
∴(3x1－2x2)2＋(3y1－2y2)2＝9,
将①代入化简，
得x1x2＋y1y2＝ ②
又3a＋b＝3(x1，y1)＋(x2，y2)＝(3x1＋x2，3y1＋y2),
∴|3a＋b|2＝(3x1＋x2)2＋(3y1＋y2)2＝9(x12＋y12)＋(x22＋y22)＋6(x1x2＋y1y2)＝12,
故|3a＋b|＝2.
- 6 -第3课时 中心投影和平行投影
教学目标：
使学生掌握函数图像的画法.
教学重点：
函数图像的画法.
教学难点：
函数图像的画法.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾3.3 几何概型
3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
一、教学目标：
1、 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；
（2）掌握几何概型的概率公式：
P（A）=；
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；
（4）了解均匀随机数的概念；
（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；
（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．
2、 过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、 情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
二、重点与难点：
1、几何概型的概念、公式及应用；
2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．
三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．
四、教学设想：
1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。
2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=；
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．
3、 例题分析：
课本例题略
例1 判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，
还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关。
解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；
（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型．
例2 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．
分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．
小结：在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．
练习：1．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率。
2．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．
解：1．由几何概型知，所求事件A的概率为P(A)= ；
2．记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则P(A)= =．
例3 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域面积，有几何概型公式可以求得概率。
解：记“钻到油层面”为事件A，则P(A)= ==0.004．
答：钻到油层面的概率是0.004．
例4 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。
解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则
P(A)= ==0.01．
答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．
例5 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得两段长都不小于1m。这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件A发生的概率。
解法1：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1*3．
（3）统计出[1，2]内随机数的个数N1和[0，3] 内随机数的个数N．
（4）计算频率fn(A)=即为概率P（A）的近似值．
解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3]（这里3和0重合）．转动圆盘记下指针在[1，2]（表示剪断绳子位置在[1，2]范围内）的次数N1及试验总次数N，则fn(A)=即为概率P（A）的近似值．
小结：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。解法2用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．
例6 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2 与81cm2之间的概率．
分析：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M，求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率．
解：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1*12得到[0，12]内的均匀随机数．
（3）统计试验总次数N和[6，9]内随机数个数N1
（4）计算频率．
记事件A={面积介于36cm2 与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间}，则P（A）的近似值为fn(A)=．
4、课堂小结：1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；
2、均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数 ）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．
5、自我评价与课堂练习：
1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r3．某班有45个，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选到的机会均等，则恰好选中学生甲主机会有多大？
4．如图3-18所示，曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A，直线x=1、直线y=1、x轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。
6、评价标准：
1．C（提示：由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出2ml的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比=0.004）
2．解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）==
3．提示：本题应用计算器产生随机数进行模拟试验，请按照下面的步骤独立完成。
（1）用1~45的45个数来替代45个人；
（2）用计算器产生1~45之间的随机数，并记录；
（3）整理数据并填入下表
试 验次 数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 650 700 750 800 850 900 1000 1050
1出现的频数
1出现的频率
（4）利用稳定后1出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。
4．解：如下表，由计算机产生两例0~1之间的随机数，它们分别表示随机点（x,y）的坐标。如果一个点（x,y）满足y≤-x2+1，就表示这个点落在区域A内，在下表中最后一列相应地就填上1，否则填0。
x y 计数
0.598895 0.940794 0
0.512284 0.118961 1
0.496841 0.784417 0
0.112796 0.690634 1
0.359600 0.371441 1
0.101260 0.650512 1
… … …
0.947386 0.902127 0
0.117618 0.305673 1
0.516465 0.222907 1
0.596393 0.969695 0
7、作业：根据情况安排
M
o
r
2a
PAGE
13第七课时 平面向量的坐标运算（一）
教学目标：
理解平面向量的坐标概念，掌握已知平面向量的和、差，实数与向量的积的坐标表示方法.
教学重点：
平面向量的坐标运算.
教学难点：
理解向量坐标化的意义.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们学面向量的基本定理，这一节，我们将利用此定理推得平面向量的坐标表示.
我们知道，在直角坐标系内，第一个点都可以用一个有序实数对(x，y)来表示，本节我们将把向量放入直角坐标平面内，同样用有序数对(x，y)来表示.
Ⅱ.讲授新课
1.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，i、j为x轴、y轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj成立.
2.平面向量的坐标运算
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2).
即：平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的终点坐标减去始点坐标.
3.实数与向量积的坐标表示
若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λ y)
4.向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，由a∥b存在实数λ，使a＝λb.
∴(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λ y2)，
∴x1＝λx2，y1＝λy2.
消去λ得：x1y2－x2y1＝0，
∴a∥bx1y2－x2y1＝0.(b≠0)
［例1］已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.
解：∵a＝(1，1)，b＝(x，1)，∴u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)
v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1)
(1)u＝3v(2x＋1，3)＝3(2－x，1)
(2x＋1，3)＝(6－3x，3)
∴2x＋1＝6－3x，解得x＝1
(2)u∥v(2x＋1，3)＝λ(2－x，1)
(2x＋1)－3(2－x)＝0x＝1
评述：对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应要求学生引起重视.
［例2］平行四边形ABCD的对角线交于点O，且知＝(3，7)，＝(－2，1)，求坐标.
分析：要求得的坐标，只要求得的坐标即可.
解：由＝(3，7)，＝(－2，1)，
可有＝－＝(－2，1)－(3，7)＝(－5，－6)
∴＝＝ (－5，－6)＝(－，－3)
评述：向量的加、减法，实数与向量的积是向量的基本运算，对于用坐标表示的向量需运用向量的坐标运算法则，而几何图形中的向量应结合向量加、减法的几何意义以方便寻找关系.
［例3］下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是( )
(1)e1＝(－1，2)，e2＝(5，7); (2)e1＝(3，5)，e2＝(6，10);
(3)e1＝(2，－3)，e2＝(，－).
A.(1) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)
解：(1)∵－1×7≠2×5
∴e1e2故e1、e2可作为基底.
(2)∵3×10=5×6.
∴e1∥e2故e1，e2不能作为基底.
(3)∵2×(－)=－3×.
∴e1∥e2故e1，e2不能作为基底. 故选A
评述：本题考查基底的概念，及两向量平行的充要条件的坐标形式.
Ⅲ.课堂练习
课本P74练习1，2，3，4，5，6
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的坐标表示，熟练平面向量的坐标运算，并能进行简单的应用.
Ⅴ.课后作业
课本P76习题 1，2，3，4
- 2 -第七课时 基本算法语句（三）
教学目标：
使学生能结合选择结构的流程图学习条件语句，能用条件语句编写程序.
教学重点：
如何在伪代码中运用条件语句.
教学难点：
如何在伪代码中运用条件语句.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
写出计算1+2+3+4+…+100之和的伪代码.
答案：解：此问题可以用循环语句表示为
S←1
For I from 2 to 100
S←S+I
End For
Print S
Ⅱ.讲授新课
例1：依次将十个数输入，要求将其中最大的数打印出来.试用流程图和伪代码表示问题的算法.
用伪代码设计算法如下：
Begin
Read　X
max←X
For I from 2 to 10
Read　X
If X>max then
max←X
End if
End for
Print max
End
流程图：
例2：已知S＝5+10+15+…+1500，请用流程图描述求S的算法并用伪代码表示.
解析：流程图如下图所示：
从流程图可以看出这是一个循环结构，我们可以运用循环语句来实现.
Begin
S←5
For I from 10 to 1500 step 5
S←S+I
End For
Print S
End
点评：在准确理解算法的基础上，学会循环语句的使用.循环语句包括for循环、While循环和Until循环.解题时要根据需要灵活运用.
循环语句包括if…then，if…then…else，并且if…then…else可以嵌套，解题时要根据需要灵活运用.
例3：伪代码算法填空.
有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….这列数有个特点，前两个数都是1，从第3个数开始，每个数都是前两个数的和，例如：3是1和2的和；13是5和8的和等等，这样的一列数一般称为斐波那契数.
下列伪代码所描述的算法功能是输出前10个斐波那契数，请把这个算法填写完整.
a←1；
b←1；
输出a，b；
n←2；
while n<10；
n←n+1；
c←a+b；
输出c；
编号①；
编号②；
end while
答案：①a←b　②b←c
例4：求1－+－+…+－的值.
算法分析：第一步是选择一个变量S表示和，并赋给初值0，再选一个变量H，并赋给初值0；
第二步开始进入for循环语句，首先设i为循环变量，并设初值、步长、终值；
第三步为循环表达式（循环体）；
第四步用“end for”控制一次循环，开始一次新的循环.
伪代码如下：
S←0
H←0
For i from 1 to 10
H←（－1）i+1/i
S←S+H
End for
Print S
例5：小明第一天背一个单词，第二天背两个单词，以后每一天比前一天多背一个单词，问他前十天共背了多少个单词？
解：第一步是选择一个变量S表示和，并赋给初值0，
第二步开始进入for循环语句，首先设i为循环变量，并设初值、步长、终值；
第三步为循环表达式（循环体）；
第四步用“end for”控制一次循环，开始一次新的循环.
伪代码如下：
S←0
For i from 1 to 10
S←S+i
End for
Print S
例6：求平方值小于2000的最大整数.
解：伪代码：
j←1
While j2<2000
j←j+1
End while
j←j－1
Print j
例7：用伪代码描述求解S＝1×2×3×…×（n－1）×n的算法.
解：此问题可以用循环语句表示为
Begin
Read n
S←1
For I from 1 to n
S←S×I
End for
Print S
End
例8：输入一个正整数n，并计算S＝11×22×33×…×nn的值.
解：第一步是选择一个变量n，并要求输入初值；
第二步是选择一个变量S表示和，并赋给初值0；
第三步开始进入for循环语句，首先设i为循环变量，并设初值、步长、终值；
第四步为循环表达式（循环体）；
第五步用“end”控制一次循环，开始一次新的循环.
伪代码如下：
Read n
S←0
For i from 1 to n
S←S×ii
End for
Print S
End
例9：某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
（1）写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；
（2）用伪代码写出计算10年以后该城市人口总数的算法；
（3）用伪代码写出计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人.
答案：（1）y=100×（1+0.012）x.
（2）10年后该城市人口总数为y=100×（1+0.012）10.
算法如下：
Begin
y←100
t←1.012
For I from 1 to 10
y←y×t
End for
Print y
End
（3）设x年后该城市人口将达到120万人，即100×（1+0.012）x=120.
算法如下：
Begin
S←100
I←1.012
T←0
While S<120
S←S×I
T←T+1
End while
Print T
End
Ⅲ.课堂练习
课本P23 1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
算法中的循环结构可以用循环语句实现.正确理解两种循环语句：for循环、当型循环和直到型循环.
当型循环：while（条件表达式）循环体语句；
直到型循环：do循环体语句while（条件表达式）；
for循环：for（表达式1；表达式2；表达式3）循环体语句；
Ⅴ.课后作业
课本P24 5，6.
- 6 -4.2.2 直线与圆的方程的应用
（两个课时）
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．
二、教学重点、难点：
重点与难点：直线与圆的方程的应用．
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1．你能说出直线与圆的位置关系吗？ 启发并引导学生回顾直线与圆的位置关系，从而引入新课． 师：启发学生回顾直线与圆的位置关系，导入新课．生：回顾，说出自己的看法．
2．解决直线与圆的位置关系，你将采用什么方法？ 理解并掌握直线与圆的位置关系的解决办法与数学思想． 师：引导学生通过观察图形，回顾所学过的知识，说出解决问题的方法．生：回顾、思考、讨论、交流，得到解决问题的方法．
问 题 设计意图 师生活动
3．阅读并思考教科书上的例4，你将选择什么方法解决例4的问题？ 指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择． 师：指导学生观察教科书上的图形特征，利用平面直角坐标系求解．生：自学例4，并完成练习题1、2．师：分析例4并展示解题过程，启发学生利用坐标法求，注意给学生留有总结思考的时间．
4．你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？ 使学生加深对圆的方程的认识． 教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐标的值．
5．你能利用“坐标法”解决例5吗？ 巩固“坐标法”，培养学生分析问题与解决问题的能力． 师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题．生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法．
6．完成教科书第140页的练习题2、3、4． 使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深“坐标法”的解题步骤． 教师指导学生阅读教材，并解决课本第140页的练习题2、3、4．教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据．
7．你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？ 反馈学生掌握“坐标法”解决问题的情况，巩固所学知识． 学生独立解决第141页习题4．2A第8题，教师组织学生讨论交流．
8．小结：（1）利用“坐标法”解决问 对知识进行归纳概括，体会利 师：指导学生完成练习题．生：阅读教科书的例3，并完成第
问 题 设计意图 师生活动
题的需要准备什么工作？（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？ 用“坐标法”解决实际问题的作用． 教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探究．
作业：习题4．2B组：1、2．
数学教育网http:/// 主审戴刚锋§7 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（2课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）熟练掌握五点作图法的实质；（2）理解表达式y＝Asin(ωx＋φ)，掌握A、φ、ωx＋φ的含义；（3）理解振幅变换和周期变换的规律，会对函数y＝sinx进行振幅和周期的变换；（4）会利用平移、伸缩变换方法，作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；（5）能利用相位变换画出函数的图像。
2、 过程与方法
通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像，发现规律，总结提练，加以应用；要求学生能利用五点作图法，正确作出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、 情感态度与价值观
通过本节的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点
重点: 相位变换的有关概念，五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
难点: 相位变换画函数图像，用图像变换的方法画y＝Asin(ωx＋φ)的图像
三、学法与教学用具
在前面，我们知道精确度要求不高时，可以用五点作图法，是哪五个关键点；首先请同学们回忆，然后通过物理学中的几个情境引入课题；主要让学生动手实践，两节课尽可能多地让他们画图，教师只是加以点拨；可以从几个具体的、简单的例子开始，在适当的时候加以推广；先分解各个小知识点，再综合在一起，上升更高一层。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 y＝sinx和y＝Asinx的图像， y＝sinx和 y＝sin（x＋φ）的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，例如：在简谐振动中位移与时间表的函数关系就是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数。正因为此，我们要研究它的图像与性质，今天先来学习它的图像。
【探究新知】
例一．画出函数y=2sinx xR；y=sinx xR的图象（简图）。
解：由于周期T=2 ∴不妨在[0,2]上作图，列表：
x 0 2
sinx 0 1 0 -1 0
2sinx 0 2 0 -2 0
sinx 0 0 - 0
作图：
配套练习：函数y＝sinx的图像与函数y＝sinx的图像有什么关系？
引导,观察,启发：与y=sinx的图象作比较，结论：
1．y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(02．若A<0 可先作y=-Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折。
性质讨论：不变的有定义域、奇偶性、单调区间与单调性、周期性
变化的有值域、最值、
由上例和练习可以看出：在函数y＝Asinx（A＞0）中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅。
例二．画出函数y=sin(x+) (xR)和y=sin(x) (xR)的图像（简图）。
解：由于周期T=2 ∴不妨在[0,2]上作图，列表：
x+ 0 2
x
sin(x+) 0 1 0 -1 0
配套练习：函数y＝sin（x－）的图像与函数y＝sinx的图像有什么关系？
引导,观察,启发：与y=sinx的图象作比较，结论：
y=sin（x＋φ），xR(φ0)的图象可以看作把正数曲线上的所有点向左平移φ(φ>0)个单位或向右平移－φ个单位(φ＜0＝得到的。
性质讨论：不变的有定义域、值域、最值、周期
变化的有奇偶性、单调区间与单调性
由上例和练习可以看出：在函数y=sin（x＋φ），xR(φ0)中，φ决定了x＝0时的函数，通常称φ为初相，x＋φ为相位。
【巩固深化，发展思维】
课堂练习：P52练习第3题
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 y＝sinx和y＝sinωx的图像， y＝sinx和 y＝Asin(ωx＋φ)的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
上一节课，我们已过y＝sinx和y＝Asinx的图像，y＝sinx和 y＝sin（x＋φ）的图像间的关系，请与y＝Asin(ωx＋φ)比较一下，还有什么样的我们没作过？
【探究新知】
例一．画出函数y=sin2x xR；y=sinx xR的图象（简图）。
解：∵函数y=sin2x 周期T= ∴在[0, ]上作图
令t=2x 则x= 从而sint=sin2x
列表：
t=2x 0 2
x 0
sin2x 0 1 0 -1 0
作图：
函数y=sin 周期T=4 ∴在[0, 4]上作图
列表
t= 0 2
x 0 2 3 4
sin 0 1 0 -1 0
配套练习：函数y＝sinx的图像与函数y＝sinx的图像有什么关系？
引导, 观察启发 与y=sinx的图象作比较，结论：
1．函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）
2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图。
由上例和练习可以看出：在函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)中，ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝＝为频率。
例二．画出函数y=3sin(2x+) xR的图象。
2x+ 0 2
x
3sin(2x+) 0 3 0 -3 0
解：周期T=（五点法），设
t=2x+则x=
小结平移法过程（步骤）
两种方法殊途同归
【巩固深化，发展思维】
教材P58练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业:教材P62习题2、3、4
四、课后反思
x
y
O
2
1
2
2
1
1
2
-2
-1
2
y=2sinx
y=sinx
y=sinx
x
y=sinx
1
4
3
2
1
O
x
y=sin(x-)
y=sin(x+)
y
O
2
1
1
3
4
y=sinx
y=sinx
y=sin2x
2
4
作y=sinx（长度为2的某闭区间）
1
x
O
3
4
y
1
y=sin(x+)
y=sin(2x+)
得y=sin(x+φ)
得y=sinωx
得y=sin(ωx+φ)
得y=sin(ωx+φ)
得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上。
沿x轴平 移|φ|个单位
横坐标 伸长或缩短
横坐标伸 长或缩短
沿x轴平 移||个单位
纵坐标伸 长或缩短
纵坐标伸 长或缩短
PAGE
1三角函数
4-1.1.1任意角（1）
教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
教学难点：“旋转”定义角
课标要求：了解任意角的概念
教学过程：
一、引入
同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。
二、新课
1．回忆：初中是任何定义角的？
（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”
师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？
生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
师：如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o” （即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？
生：逆时针旋转300；顺时针旋转300.
师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握 ～ 角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．
2.角的概念的推广：?
(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。
3．正角、负角、零角概念
师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于300与7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？
生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
师：如图3，以OA为始边的角α=-1500，β=-6600。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。
师：好，角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为α.
4.象限角
师：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？
生：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
师：很好，从刚才这位同学的回答可以知道，她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这么三个问题：
1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？
2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？
3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？
处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。
答：1.不行，始边包括端点（原点）； 2．端点在原点上；
3．不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。
师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。
师生讨论：好，按照象限角定义，图中的300，3900，-3300角，都是第一象限角；3000，-600角，都是第四象限角；5850角是第三象限角。
师：很好，不过老师还有几事不明，要请教大家：（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？
生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；
师：（2）锐角就是小于900的角吗？
生：小于900的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；
师：（3）锐角就是00～900的角吗？
生：锐角：{θ|00<θ<900}；00～900的角：{θ|00≤θ<900}.
学生练习（口答） 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
（1）4200； （2）-750； （3）8550； （4）-5100.
答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.
5.终边相同的角的表示法
师：观察下列角你有什么发现 390 330 30 1470 1770
生:终边重合.
师:请同学们思考为什么？能否再举三个与300角同终边的角？
生：图中发现3900，-3300与300相差3600的整数倍，例如，3900=3600+300，-3300=-3600+300；与300角同终边的角还有7500，-6900等。
师：好！这位同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差3600的整数倍。例如：7500=2×3600+300；-6900=-2×3600+300。那么除了这些角之外，与300角终边相同的角还有：
3×3600+300 -3×3600+300
4×3600+300 -4×3600+300
……， ……，
由此，我们可以用S={β|β=k×3600+300，k∈Z}来表示所有与300角终边相同的角的集合。
师：那好，对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？
生：S={β|β=α+k×3600，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
6.例题讲评
例1 设， ，那么有（ D ）．
　　A．　　　B．　　C．（ ）　　D．
例2用集合表示：
　　（1）各象限的角组成的集合．　　（2）终边落在 轴右侧的角的集合．
解：(1) 第一象限角：｛α|k360oπ＜α＜k360o+90o,k∈Z｝
第二象限角：｛α|k360o+90o＜α＜k360o+180o,k∈Z｝
第三象限角：｛α|k360o+180o＜α＜k360o+270o,k∈Z｝
第四象限角：{α|k360o+270o＜α＜k360o+360o ,k∈Z｝
（2）在 ～ 中， 轴右侧的角可记为 ，同样把该范围“旋转” 后，得 ， ，故 轴右侧角的集合为 ．
说明：一个角按顺、逆时针旋转 （ ）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转 （ ）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．
例3 （1）如图，终边落在 位置时的角的集合是__{α|α＝k360o+120o ,k∈Z }；终边落在 位置，且在 内的角的集合是_{－45o,225o}_ ；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合
是_{α|k360o－45o＜α＜k360o+120o ,k∈Z}．
练习：
（1）请用集合表示下列各角．
　　① ～ 间的角　 ②第一象限角　 ③锐角　 ④小于 角．
解答（1）① ；　　　　② ；
　　　　③ ；　　　④
（2）分别写出：
　　①终边落在 轴负半轴上的角的集合；　　②终边落在 轴上的角的集合；
　　③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；
　　④终边落在四象限角平分线上的角的集合．
　解答（2）① ；　② ；
　　　　③ ；　　　　④ ．
　　说明：第一象限角未必是锐角，小于 的角不一定是锐角， ～ 间的角，根据课本约定它包括 ，但不包含 ．
例4在～ 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角
（1） ；（2） ；（3） ．
解：（1）∵
　　　　∴与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角；
　　（2）∵
　　　　∴与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角；
　　（3）
　　所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角．
　　
　　总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以 ，按通常除去进行；负的角度除以 ，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值．
练习：
（1）一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__．
（2）集合M＝{α=k，k∈Z}中，各角的终边都在（C ）
　　A．轴正半轴上，　　　　　B．轴正半轴上，
　　C． 轴或 轴上，　　　　　D． 轴正半轴或 轴正半轴上
（3）设 ，　　　　　
　　　　C＝{α|α= k180o+45o ,k∈Z} ，　　　　　
　　　　
则相等的角集合为_B＝D，C＝E__．
三.本课小结
本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，本节课的重点是学习终边相同的角的表示法。
判断一个角 是第几象限角，只要把 改写成 ， ，那么 在第几象限， 就是第几象限角，若角 与角 适合关系： ， ，则 、 终边相同；若角 与 适合关系： ， ，则 、 终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为： ， 这种模式（ ），然后只要考查 的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．
四.作业:
4-1.1.1任意角（2）
教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
教学难点：“旋转”定义角
课标要求：了解任意角的概念
教学过程：
一、复习
师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙述一下它们的定义。
生：略
师：上节课我们还学习了所有与α角终边相同的角的集合的表示法，[板书]
S={β|β=α+k×3600，k∈Z}
这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。
二、例题选讲
例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：
（1）600； （2）-210； （3）363014，
解：（1）S={β|β=600+k×3600，k∈Z}S中适合-3600≤β<7200的元素是
600+（-1）×3600=-3000　　　600+0×3600=600　　　600+1×3600=4200.
（2）S={β|β=-210+k×3600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是
-210+0×3600=-210　　　-210+1×3600=3390　　　　-210+2×3600=6990
说明：-210不是00到3600的角，但仍可用上述方法来构成与-210角终边相同的角的集合。
（3）S={β|β=363014，+k×3600，k∈Z}　　S中适合-3600≤β<7200的元素是
363014，+（-2）×3600=-356046，　　　　363014，+（-1）×3600=3014，　　　363014，+0×3600=363014，
说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。
例2．写出终边在下列位置的角的集合
(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上
分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个角即α，然后在后面加上k×3600即可。
解：（1）∵在0○～360○间，终边在x轴负半轴上的角为1800，∴终边在x轴负半轴上的所有角构成的集合是{β|β=1800+k×3600，k∈Z }
（2）∵在0○～360○间，终边在y轴上的角有两个，即900和2700，∴与900角终边相同的角构成的集合是S1={β|β=900+k×3600，k∈Z }
同理，与2700角终边相同的角构成的集合是S2={β|β=2700+k×3600，k∈Z }
提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？
师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：
S1={β|β=900+k×3600，k∈Z }={β|β=900+2k×1800，k∈Z }………………（1）
S2={β|β=2700+k×3600，k∈Z }={β|β=900+1800+2k×1800，k∈Z }
={β|β=900+（2k+1）×1800，k∈Z } …………………（2）
师：在（1）式等号右边后一项是1800的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是1800的所有奇数（2k+1）倍。因此，它们可以合并为1800的所有整数倍，（1）式和（2）式可统一写成900+n×1800（n∈Z），故终边在y轴上的角的集合为
S= S1∪S2 ={β|β=900+2k×1800，k∈Z }∪{β|β=900+（2k+1）×1800，k∈Z }
={β|β=900+n×1800，n∈Z }
处理：师生讨论，教师板演。
提问：终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
（思考后）答：{β|β=k×1800，k∈Z },{β|β=k×900，k∈Z }
进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？
答：{β|β=450+n×1800，n∈Z }
推广：{β|β=α+k×1800，k∈Z }，β，α有何关系？（图形表示）
处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。
若是第二象限角，则，，分别是第几象限的角？
师：是第二象限角，如何表示？
解：（1）∵是第二象限角，∴900+k×3600<<1800+k×3600（k∈Z）
∴ 1800+k×7200<2<3600+k×7200
∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上。
（2）∵，
处理：先将k取几个具体的数看一下（k=0，1，2，3…），再归纳出以下规律：
当时，，是第一象限的角；
当时，，是第三象限的角。
∴是第一或第三象限的角。
说明：配以图形加以说明。
（3）学生练习后教师讲解并配以图形说明。（是第一或第二或第四象限的角）
进一步求是第几象限的角（是第三象限的角），学生练习，教师校对答案。
三、例题小结
要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；
要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如
θ=a+k×1200（k∈Z）所表示的角所在的象限。
四、课堂练习
练习2 若的终边在第一、三象限的角平分线上，则的终边在y轴的非负半轴上.
练习3 若的终边与600角的终边相同，试写出在（00，3600）内，与角的终边相同的角。 （200，1400，2600）
（备用题）练习4 如右图，写出阴影部分（包括边界）的角
的集合，并指出-950012，是否是该集合中的角。
（{α| 1200+k×3600≤α≤2500+k×3600，k∈Z}；是）
探究活动
　　经过5小时又25分钟，时钟的分针、时针各转多少度？
五、作业
A组:
1．与 终边相同的角的集合是___________，它们是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大负角是___________．
2．在0o~360o范围内，找出下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：
（1）－265 （2）－1000o （3）－843o10’ （4）3900o
B组
3．写出终边在x轴上的角的集合。
4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360o≤β＜360o的元素写出来：
(1)60o (2)－75o (3) －824o30’ (4) 475o (5) 90o (6) 270o (7) 180o (8) 0o
C组：若 是第二象限角时，则 ， ， 分别是第几象限的角？
4-1.1.2弧度制（1）
教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集一一对应关系的概念。
教学过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制
它的单位是rad 读作弧度
定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
如图：AOB=1rad
AOC=2rad
周角=2rad
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
三、角度制与弧度制的换算
抓住：360=2rad ∴180= rad
∴ 1=
例一 把化成弧度
解： ∴
例二 把化成度
解：
注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行；
2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad sin表示rad角的正弦
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）
4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
任意角的集合 实数集R
四、练习（P11 练习1 2）
例三 用弧度制表示：1终边在轴上的角的集合 2终边在轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合
解：1终边在轴上的角的集合
2终边在轴上的角的集合
3终边在坐标轴上的角的集合
五、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化
六、作业：
4-1.1.2弧度制（1）
教学目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。
教学过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。
二、由公式： 比相应的公式简单
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
例一 利用弧度制证明扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径。
证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为：
弧长为的扇形圆心角为
∴
比较这与扇形面积公式 要简单
例二 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴ ⑵
解： ⑴：
⑵： ∴
例三 如图，已知扇形的周长是6cm，该扇形
的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
解：设扇形的半径为r，弧长为，则有
∴ 扇形的面积
例四 计算
解：∵ ∴
∴
例五 将下列各角化成0到的角加上的形式
⑴ ⑵
解：
例六 求图中公路弯道处弧AB的长（精确到1m）
图中长度单位为：m
解： ∵
∴
三、练习：
四、作业：
4-1.2.1任意角的三角函数（1）
教学目的：
知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义；
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；
3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；
（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、 解决问题的能力。
德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；
（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。
教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
初中锐角的三角函数是如何定义的？
在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为 ．
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
（1）比值叫做α的正弦，记作，即；
（2）比值叫做α的余弦，记作，即；
（3）比值叫做α的正切，记作，即；
（4）比值叫做α的余切，记作，即；
（5）比值叫做α的正割，记作，即；
（6）比值叫做α的余割，记作，即．
说明：①α的始边与轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点在α的终边上的位置的改变而改变大小；
③当时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以与无意义；同理，当时，与无意义；
④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值、、、、、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。
2．三角函数的定义域、值域
函 数 定 义 域 值 域
注意：
(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.?
(2) α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.
(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样.
(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:
锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.
(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.?
3．例题分析
例1．已知角α的终边经过点，求α的六个函数制值。
解：因为，所以，于是
；；
； ；
； ．
例2．求下列各角的六个三角函数值：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）因为当时，，，所以
， ，
， 不存在，
， 不存在。
（2）因为当时，，，所以
， ，
， 不存在，
， 不存在。
（3）因为当时，，，所以
， ，
不存在， ，
不存在， ．
例3．已知角α的终边过点，求α的六个三角函数值。
解：因为过点，所以，
当；
；；
当；
；．
4．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；
②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；
③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
为正 全正
为正 为正
5．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。
即有：
，
，其中．
，
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．
三、巩固与练习
1 确定下列三角函数值的符号：
（1）； （2）； （3）； （4）．
2 求函数的值域
解： 定义域：cosx0 ∴x的终边不在x轴上
又∵tanx0 ∴x的终边不在y轴上
∴当x是第Ⅰ象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2
…………Ⅱ…………,|cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=2
…………ⅢⅣ………, |cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=0
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域；
3．三角函数的符号及诱导公式。
五、课后作业：
补充：1已知点，在角的终边上，求、、的值。
2已知角的终边经过P(4,3),求2sin+cos的值
解：由定义 ： sin= cos= ∴2sin+cos=
六、板书设计：
4-1.2.1任意角的三角函数（2）
教学目的：
知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；
2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。
教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。
授课类型：新授课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．三角函数的定义及定义域、值域：
练习1：已知角的终边上一点，且，求的值。
解：由题设知，，所以，得，
从而，解得或．
当时，，
；
当时，，
；
当时，，
．
2．三角函数的符号：
练习2：已知且，
（1）求角的集合；（2）求角终边所在的象限；（3）试判断的符号。
3．诱导公式：
练习3：求下列三角函数的值：
（1）， （2）， （3）．
二、讲解新课：
当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，
过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延
长线交与点.
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
， ，
．
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦
线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位
圆内，一条在单位圆外。
②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂
足；正切线由切点指向与的终边的交点。
③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的
为负值。
④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4．例题分析：
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：图略。
例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1 与 2 tan与tan 3 cot与cot
解： 如图可知：
tan tan
cot cot
例3．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角
1 sin≥ 2 tan
解： 1 2
30≤≤150 3090或210270
例4．利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。
（1）； （2）；
（3）且；
（4）； （5）且．
答案：（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）．
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．三角函数线的定义；
2．会画任意角的三角函数线；
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。
五、课后作业：
补充：1．利用余弦线比较的大小；
2．若，则比较、、的大小；
3．分别根据下列条件，写出角的取值范围：
（1） ； （2） ； （3）．
六、板书设计：
4-1.2.1任意角的三角函数（3）
教学目的：
知识目标：1.理解三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.
2.理解握各种三角函数在各象限内的符号.?
3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等.
能力目标：1.掌握三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.
2.掌握各种三角函数在各象限内的符号.?
3.掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.
授课类型：复习课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
复习引入：
1、三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线，各种三角函数在各象限内的符号.诱导公式第一组.
2.确定下列各式的符号
(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5
3. .x取什么值时,有意义
4．若三角形的两内角，满足sincos0，则此三角形必为……（ ）
A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上三种情况都可能
5．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（ ）
A：sin+cos0 B：tansin0
C：coscot0 D：cotcsc0
6．已知是第三象限角且，问是第几象限角？
讲解新课：
1、求下列函数的定义域：
（1）； （2）
2、已知，则为第几象限角？
3、（1） 若θ在第四象限，试判断sin(cosθ)cos(sinθ)的符号；
（2）若tan(cosθ)cot(sinθ)>0,试指出θ所在的象限，并用图形表示出的取值范围.
4、求证角θ为第三象限角的充分必要条件是
证明：必要性：∵θ是第三象限角，?
∴
充分性：∵sinθ＜0，
∴θ是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的非正半轴上
∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.?
∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.?
∴θ为第三象限角.?
5 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°．
巩固与练习
1 求函数的值域
2 设是第二象限的角，且的范围.
四、小 结：
五、课后作业：
1、利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：
(1) sinα2、
3、角α的终边上的点P与A（a,b）关于x轴对称，角β的终边上的点Q与A关于直线y=x对称.求sinαescβ+tanαcotβ+secαcscβ的值.
六、板书设计：
4-1.2.2同角三角函数的基本关系（1）
教学目的：
知识目标： 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式；
2.掌握三种基本关系式之间的联系；
3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
能力目标： （1）牢固掌握同角三角函数的八个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；
（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；
德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．任意角的三角函数定义：
设角是一个任意角，终边上任意一点，
它与原点的距离为，那么：
，，，，，．
2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tgα、ctgα的符号分别是怎样的？
3．背景：如果，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值；
4．问题：由于α的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角α的六个三角函数之间有什么关系？
二、讲解新课：
（一）同角三角函数的基本关系式：
（板书课题：同角的三角函数的基本关系）
由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
（1）倒数关系：
（2）商数关系：
（3）平方关系：
给出右图，你能说明怎样利用它帮助我们记忆三角函数的基本关系吗？
（1）在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，有倒数关系。
（2）带有阴影的三个倒置三角形中，上面两个三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。有平方关系。
（3）六边形上任意一个顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上的函数值的乘积。可演化出商数关系。
说明：
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
， ， 等。
3．例题分析：
例1．（1）已知，并且是第二象限角，求．
（2）已知，求．
解：（1）∵，
∴，
又∵是第二象限角，
∴，即有，从而
， ．
（2）∵， ∴，
又∵， ∴在第二或三象限角。
当在第二象限时，即有，从而，；
当在第四象限时，即有，从而，．
总结：
已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。
解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。
例2．已知为非零实数，用表示．
解：∵，，
∴，即有，
又∵为非零实数，∴为象限角。
当在第一、四象限时，即有，从而，
；
当在第二、三象限时，即有，从而，
．
例3．已知（），求
解： ∵， 即，
又∵，
∴，即，，
又∵，∴为象限角。
当在第一、四象限时，即有，；
当在第二、三象限时，即有，．
4．总结解题的一般步骤：
①确定终边的位置（判断所求三角函数的符号）；
②根据同角三角函数的关系式求值。
三、巩固与练习
第27页 练习1，2，3，4
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；
2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；
3．在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。如已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其它关系求值；若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。
五、课后作业：六、板书设计：
4-1.2.2同角三角函数的基本关系（2）
教学目的：
知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；
能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。
（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；
德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．同角三角函数的基本关系式。
（1）倒数关系：，，．
（2）商数关系：，．
（3）平方关系：，，．
（练习）已知，求
2．tanαcosα= ，cotαsecα= ，（secα+tanα）·（ ）=1
二、讲解新课：
例1．化简．
解：原式．
例2．化简．
解：原式
．
例3、已知，求
解：
强调（指出）技巧：1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式
2“化1法”
例4、已知，求
解：将 两边平方，得：
例5、已知
解：由题设：
∴
()
例6、已知，求
解：1 由
由 联立：
2
例7、已知 求
解：∵sin2 + cos2 = 1 ∴
化简，整理得：
当m = 0时，
当m = 8时，
三、巩固与练习
1：已知12 sin+5 cos=0，求sin、cos的值.
解：∵12 sin+5 cos=0 ∴sin= cos，又
则（ cos）2+=1，即=
∴cos=± ∴
2.已知，求（1）；原式=
（2）；原式=
说明：（1）为了直接利用，注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以,将分子、分母转化为的代数式；
（2）可利用平方关系，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为的分式求值；
3
4.已知secα—tgα=5，求sinα。
解1：∵secα—tgα=5=5×1=5（sec2α—tg2α）=5（secα+tgα）（secα—tgα），故 secα+tgα=1/5，
则secα=13/5，tgα=—12/5；sinα=tgα·cosα=
解2：由已知：
则
5.已知，求值；
解：可求分析：本题关键时灵活地多次运用条件从而结合同角三角函数关系式达到降次求解的目标；
小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常常将式子中的“1”作巧妙的变形，如：1=
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．运用同角三角函数关系式化简、证明。
2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。
五、课后作业：习题 第5，7，8题
思考:已知sin=2sinβ，tan=3tanβ，求的值.
解：sinβ= tanβ=
又1+ tan2β=，
∴1+
即8
六、板书设计：
4-1.2.2同角三角函数的基本关系（3）
教学目的：
知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；
能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。
（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；
德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．同角三角函数的基本关系式。
（1）倒数关系：，，．
（2）商数关系：，．
（3）平方关系：，，．
（练习）已知，求
2．tanαcosα= ，cotαsecα= ，（secα+tanα）·（ ）=1
二、讲解新课：
例8．已知，试确定使等式成立的角的集合。
解：∵=
==．
又∵，
∴， 即得或．
所以，角的集合为：或．
例9．化简．
解：原式=
．
说明：化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点：
（1）所含三角函数的种类最少；
（2）能求值（指准确值）尽量求值；
（3）不含特殊角的三角函数值。
例10．求证：．
证法一：由题义知，所以．
∴左边=右边．
∴原式成立．
证法二：由题义知，所以．
又∵，
∴．
证法三：由题义知，所以．
，
∴．
例11．求证：．
证明：左边
，
右边．
所以，原式成立。
总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；（2）证明左右两边同等于同一个式子（如例6）；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
例12．已知，求．
解：由等式两边平方：
．
∴（*），
即，
可看作方程的两个根，解得．
又∵，∴．又由（*）式知
因此，．
三、巩固与练习
求证：
小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常常将式子中的“1”作巧妙的变形，如：1=
2、已知方程的两根分别是，
求
解：
（化弦法）
3、已知
证：由题设：
4、消去式子中的
解：由
由 （平方消去法）
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．运用同角三角函数关系式化简、证明。
2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。
五、课后作业：
六、板书设计：
4-1.3三角函数的诱导公式
一、教材分析
（一）教材的地位与作用：
1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。
2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。诱导公式是求三角函数值的基本方法。诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。
（二）教学重点与难点：
1、教学重点：诱导公式的推导及应用。
2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
二、目标分析
根据教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和新课程标准的要求，结合学生的实际水平，本节课的教学目标为：
1、知识目标：（1）识记诱导公式。
（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。
2、能力目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。
（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。
（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。
3、情感目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。
（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。
三、过程分析
（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题
I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。
1、提问：试叙述三角函数定义
2、提问：试写出诱导公式（一）
3、提问：试说出诱导公式的结构特征
4、板书诱导公式（一）及结构特征：
诱导公式（一）
sin(k·2π+)=sin cos(k·2π+)=costg(k·2π+)=tg（k∈Z）
结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等
②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题。
5、问题：试求下列三角函数的值
（1）sin1110° （2）sin1290°
学生：（1）sin1110°=sin（3×2π°+30°）=sin30°=
（2）sin1290°=sin（3×π°+210°）=sin210°
（至此，大多数学生无法再运算，从已有知识导出新问题）
6、引导学生观察演示（一），并思考下列问题一：
演示（一）
（1）210°能否用（180°+）的形式表达？
（0°＜＜90°＝（210°=180°+30°）
（2）210°角的终边与30°的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）
（3）设210°、30°角的终边分别交单位圆于点p、p＇，则点p与p＇的位置关系如何？（关于原点对称）
（4）设点p（x，y），则点p’怎样表示？ [p＇（－x,－y）]
（5）sin210°与sin30°的值关系如何？
7、师生共同分析：
在求sin210°的过程中，我们把210°表示成（180°+30°）后，利用210°与30°角的终边及其与单位圆交点p与p′关于原点对称，借助三角函数定义，把180°～270°角的三角函数值转化为求0°～90°角的三角函数值。
8、导入课题：对于任意角，sin与sin（180+）的关系如何呢？试说出你的猜想。
（二）运用迁移规律，引导学生联想类比、归纳、推导公式
（I）1、引导学生观察演示（二），并思考下列问题二：
设为任意角 演示（二）
（1）角与（180°+）的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）
（2）设与（180°+）的终边分别交单位圆于p，p′，则点p与
p′具有什么关系？ （关于原点对称）
（3）设点p（x,y），那么点p′坐标怎样表示？ [p′（－x,－y）]
（4）sin与sin（180°+）、cos与cos（180°+）关系如何？
（5）tg与tg（180°+）
（6）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式特征如何？
2、教师针对学生思考中存在的问题，适时点拨、引导，师生共同归纳推导公式。
（1）板书诱导公式（二）
sin（180°+）=－sin cos（180°+）=－costg（180°+）=tg
（2）结构特征：①函数名不变，符号看象限（把看作锐角时）
②把求（180°+）的三角函数值转化为求的三角函数值。
3、基础训练题组一：求下列各三角函数值（可查表）
①cos225° ②tg－π ③sinπ
4、用相同的方法归纳出公式：
sin（π－）=sin
cos（π－）=－cos
tg（π－）=－tg
5、引导学生观察演示（三），并思考下列问题三：
演示（三）
（1）30°与（－30°）角的终边关系如何？ （关于x轴对称）
（2）设30°与（－30°）的终边分别交单位圆于点p、p′，则点p与
p′的关系如何？
（3）设点p（x,y），则点p′的坐标怎样表示？ [p′(x,－y)]
（4）sin（－30°）与sin30°的值关系如何？
6、师生共同分析：在求sin（－30°）值的过程中，我们利用（－30°）与30°角的终边及其与单位圆交点p与p′关于原点对称的关系，借助三角函数定义求sin（－30°）的值。
（Ⅱ）导入新问题：对于任意角 sin与sin（－）的关系如何呢？试说出你的猜想？
1、引导学生观察演示（四），并思考下列问题四：
设为任意角 演示（四）
（1）与（－）角的终边位置关系如何？ （关于x轴对称）
（2）设与（－）角的终边分别交单位圆于点p、p′，则点p与p′位置关系如何？（关于x轴对称）
（3）设点p(x,y)，那么点p′的坐标怎样表示？ [p′(x,－y)]
（4）sin与sin（－）、 cos与cos（－）关系如何？
（5）tg与tg（－）
（6）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式结构特征如何？
2、学生分组讨论，尝试推导公式，教师巡视及时反馈、矫正、讲评
3、板书诱导公式（三）
sin（－）=－sin cos（－）=costg（－）=－tg
结构特征：①函数名不变，符号看象限（把看作锐角）
②把求（－）的三角函数值转化为求的三角函数值
4、基础训练题组二：求下列各三角函数值（可查表）
sin（－） ②tg（－210°） ③cos（－240°12′）
（三）构建知识系统、掌握方法、强化能力
I、课堂小结：（以填空形式让学生自己完成）
1、诱导公式（一）、（二）、（三）
sin（k·2π+）=sin cos（k·2π+）=costg（k·2π+）=tg(k∈Z)
sin（π+）=－sin cos（π+）=－costg（π+）=tg
sin(－)=－sin cos(－)=costg(－)=－tg
用相同的方法，归纳出公式
Sin(π－α)＝Sin
Cos(π－α)＝－cosα
Ten(π－α)＝－tanα
2、公式的结构特征：函数名不变，符号看象限（把看作锐角时）
（Ⅱ）能力训练题组：（检测学生综合运用知识能力）
1、已知sin(π+)=（为第四象限角），求cos(π+)+tg(－)的值。
2、求下列各三角函数值
（1）tg(－ π) （2）sin(＝－ π)
（3）cos(－5100151) （4）sin(－)
（III）方法及步骤：
（IV）作业与课外思考题
通过上述两题的探索，你能推导出新的公式吗？
四、教法分析
根据教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，本节课彩了“问题、类比、发现、归纳”探究式思维训练教学方法。
（1）利用已有知识导出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的。
（2）由（1800＋300）与300、（－300）与300终π－与）边对称关系的特殊例子，利多媒体动态演示。学生对“α为任意角”的认识更具完备性，通过联想、引导学生进行导，问题类比、方法迁移，发现任意角α与（1800＋α）、－α终边的对称关系，进行寅，从特殊到一般的归纳推理训练，学生的归纳思维更具客观性、严密性和深刻性，培养学生的创新能力。
（3）采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想、类比，进而发现、归纳的探究式思维训练教学方法。旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程。在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律（公式），培养学生的创新意识和创新精神。培养学生的思维能力。
（4）通过能力训练题组和课外思考题，把诱导公式（一）、（二）、（三）、四的应用进一步拓广，把归纳推理和演绎推理有机结合起来，发展学生的思维能力。
4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（1）
教学目的：
知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出的图象，明确图象的形状；
（2）根据关系，作出的图象；
（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；
能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；
教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；
教学难点：作余弦函数的图象，周期性；
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
2.正、余弦函数定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）
P与原点的距离r()
则比值叫做的正弦 记作：
比值叫做的余弦 记作：
3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有
，
向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．
二、讲解新课：
1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．
（1）函数y=sinx的图象
第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.
第二步：在单位圆中画出对应于角，，,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.
第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象.
把角x的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.
（2）余弦函数y=cosx的图象
用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x的余弦线“竖立”[把坐标轴向下平移，过作与x轴的正半轴成角的直线，又过余弦线A的终点A作x轴的垂线，它与前面所作的直线交于A′，那么A与AA′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线A“竖立”起来成为AA′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点．]
也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”（把角x 的余弦线O1M按逆时针方向旋转到O1M1位置，则O1M1与O1M长度相等，方向相同.）根据诱导公式,还可以把正弦函数x=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象. （课件第三页“平移曲线” ）
正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0)
余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是
(0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1)
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．
优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以
3、讲解范例：
例1 作下列函数的简图
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，　 (2) y=|sinx|， （3）y=sin|x|
例2 用五点法作函数的简图.
例3　分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法
2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系
五、课后作业：作业：
补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx的图象
2．分别在[-4,4]内作出y=sinx和y=cosx的图象
3．用五点法作出y=cosx,x[0,2]的图象
六、板书设计：
4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（2）
教学目标：
使学生学会用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。
通过组织学生观察、猜想、验证与归纳，培养学生的数学能力。
通过营造开放的课堂教学氛围，培养学生积极探索、勇于创新的精神。
教学重点和难点：
重点：用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。
难点：确定五个关键点。
教学过程：
思考探究
复习
关于作函数，ｘ∈〔0，２π〕的图象，你学过哪几种方法？
观察我们上一节课用几何法作出的函数ｙ＝sinｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，你发现有哪几个点在确定图象的形状起着关键作用？为什么？
（用几何画板显示通过平移正弦线作正弦函数图像的过程）
2、“五点（画图）法”
在精确度要求不高时，先作出函数ｙ＝sinｘ的五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来，就得到函数的简图。这种作图法叫做“五点（画图）法”。
（1）、请你用“五点（画图）法” 作函数ｙ＝sinｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象。
解：按五个关键点列表：
x 0 π 2π
Sinｘ 0 １ 0 －1 0
描点、连线，画出简图。
(用几何画板画出Y=sinx的图像，显示动画)
（2）、试用“五点（画图）法”作函数ｙ＝cosｘ, ｘ∈〔0，２π〕的图象。
　　　解：按五个关键点列表：
x 0 π 2π
Cosｘ 1 0 -1 0 1
　　 描点、连线，画出简图。
自主学习
画出下列函数的简图：
y＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕
ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕
解：（1） 按五个关键点列表：
x 0 π 2π
Sinｘ 0 １ 0 －1 0
1+ Sinｘ 1 2 1 0 1
描点、连线，画出简图。
(2)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
Cosx 1 0 -1 0 1
- Cosx -1 0 1 0 -1
描点、连线，画出简图。
合作学习
●探究1
如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π/3)的图象？
小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。
●探究2
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：这两个图像关于X轴对称。
●探究3
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝2-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形，得到 y＝-cosx的图象，
再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。
●探究4
不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。
小结：sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx
这两个函数相等，图象重合。
归纳小结
1、五点（画图）法
（1）作法 先作出五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来。
（2）用途 只有在精确度要求不高时，才能使用“五点法”作图。
（3）关键点
横坐标：0 π/2 π 3π/2 2π
2、图形变换
平移、翻转等
布置作业
P53：A组1 P54：B组1
4-1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)
教学目的：
知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；
能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。
德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
教学重点：正、余弦函数的周期性
教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
复习引入：
1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：
自变量
函数值
正弦函数性质如下：
（观察图象） 1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）
3这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明
结论：象这样一种函数叫做周期函数。
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当增加（）时，总有．
也即：（1）当自变量增加时，正弦函数的值又重复出现；
（2）对于定义域内的任意，恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
二、讲解新课：
1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
问题：（1）对于函数，有，能否说是它的周期？
（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且）
（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？
（是，其原因为：）
2、说明：1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）
3T往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
y=sinx, y=cosx的最小正周期为2 （一般称为周期）
从图象上可以看出，；，的最小正周期为；
判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （没有最小正周期）
3、例题讲解
例1 求下列三角函数的周期： ① ②（3），．
解：（1）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
（2）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
（3）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中 为常数，且，）的周期；
（2）若，例如：①，；②，；
③，．
则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数及函数，的周期
例2先化简，再求函数的周期
①
②
③证明函数的一个周期为，并求函数的值域；
例3 求下列三角函数的周期：
1 y=sin(x+) 2 y=cos2x 3 y=3sin(+)
解：1 令z= x+ 而 sin(2+z)=sinz 即：f (2+z)=f (z)
f [(x+2)+ ]=f (x+) ∴周期T=2
2令z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(x+)]
即：f (x+)=f (x) ∴T=
3令z=+ 则：f (x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(++2)
=3sin()=f (x+4) ∴T=4
小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A0, xR) 周期T=
y=Acos(ωx+φ)也可同法求之
例4 求下列函数的周期： 1y=sin(2x+)+2cos(3x-)
2 y=|sinx| 3 y=2sinxcosx+2cos2x-1
解：1 y1=sin(2x+) 最小正周期T1=
y2=2cos(3x-) 最小正周期 T2=
∴T为T1 ,T2的最小公倍数2 ∴T=2
2 T= 作图
注意小结这两种类型的解题规律
3 y=sin2x+cos2x ∴T=
三、巩固与练习
y=2cos()-3sin()
y=-cos(3x+)+sin(4x-)
y=|sin(2x+)|
y=cossin+1-2sin2
四、小 结：本节课学习了以下内容：
周期函数的定义，周期，最小正周期
五、课后作业：P56 练习5、6 P58习题4．8 3
补充：
1．求下列函数的周期：
1y=sin(2x+)+2cos(3x-) 2 y=|sinx| 3 y=2sinxcosx+2cos2x-1
2． 求下列函数的最值： 1 y=sin(3x+)-1 2 y=sin2x-4sinx+5 3 y=
3．函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值。
六、板书设计：
课题一、知识点（一） （二） 例题：1． 2．
七、课后反思：
题选
求下列函数的周期：
（1）； （2）；
（3）； （4）； （5）．
解：（1），∴周期为；
（2），∴周期为；
（3） ∴周期为；
（4），∴周期为；
（5），∴周期为．
说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为的形式，再利用公式进行求解。
4-1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)
教学目的：
知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；
能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志， 实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；
教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
复习引入：
二、讲解新课：
奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
(1)余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。
例如：
f(-)=,f()= ,即f(-)=f()；……
由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).
以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。
定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
例如：函数f(x)=x2+1, f(x)=x4-2等都是偶函数。
(2)正弦函数的图形
观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？
这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。
也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。
定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。
例如：函数y=x, y= 都是奇函数。
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。
注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：
（1）其定义域关于原点对称；
（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。
首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
2.单调性
从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：
当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.
当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
3.有关对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
y=sinx的对称轴为x= k∈Z
y=cosx的对称轴为x= k∈Z
（1）写出函数的对称轴；
（2）的一条对称轴是（ C ）
(A) x轴， (B) y轴， (C) 直线， (D) 直线
4.例题讲解
例1 判断下列函数的奇偶性
(1)
(2)f(x)=sin4x-cos4x+cos2x;
(3)
（4）
（5）；
例2 (1)函数f(x)＝sinx图象的对称轴是 ；对称中心是 .
(2)函数图象的对称轴是 ；对称中心是 .
例3 已知f(x)=ax+bsin3x+1(a、b为常数)，且f(5)=7,求f(-5).
例4 已知
求f(x)的定义域和值域；
判断它的奇偶性、周期性；
判断f(x)的单调性.
例5 (1)θ是三角形的一个内角，且关于x 的函数f(x)=sain(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，求θ的值.
(2)若函数f(x)=sin2x+bcos2x的图象关于直线对称，求b的值.
例6 已知，试确定函数的奇偶性、单调性.
有关奇偶性
（1）
（2）
有关单调性
（1）利用公式，求证在上是增函数；
（2）不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0；
①；
②
（3）比较大小；
（4）求函数的单调递增区间；
巩固与练习
练习讲评
（1）化简：
（2）已知非零常数满足，求的值；
（3）已知
求值：（1）；（2）
解：
（1）
（2）
（3）两式平方相加得；
两式平方相加得
即
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．
2．
3．
五、课后作业：见教材
六、板书设计：
4-1.4.3正切函数的性质与图象（1）
教学目的：
知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；
2.用正切函数图象解决函数有关的性质；
能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；
2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；
德育目标：培养认真学习的精神；
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；
教学难点：正切函数的性质。
授课类型：新授课
教学模式： 启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
问题：正弦曲线是怎样画的？
正切线
练习正切线，画出下列各角的正切线：
．
下面我们来作正切函数和余切函数的图象．
二、讲解新课：
1．正切函数的定义域是什么？
2．正切函数是不是周期函数？
，
∴是的一个周期。
是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作，的图象
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
，且的图象，称“正切曲线”。
（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：；
（2）值域：R
观察：当从小于，时，
当从大于，时，。
（3）周期性：；
（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。
5.余切函数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）：
——即将的图象，向左平移个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得的图象
定义域：
值域：R，
当时，当时
周期：
奇偶性：奇函数
单调性：在区间上函数单调递减
6.讲解范例：
例1比较与的大小
解：，，
又：内单调递增，
例2讨论函数的性质
略解：定义域：
值域：R 奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在上是增函数
图象：可看作是的图象向左平移单位
例3求函数y＝tan2x的定义域
解：由2x≠kπ＋，(k∈Z)
得x≠＋，(k∈Z)
∴y＝tan2x的定义域为：｛x｜x∈R且x≠＋，k∈Z｝
例4观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0
解：画出y＝tanx在(－，)上的图象，不难看出在此区间上满足tanx＞0的x的范围为：0＜x＜
结合周期性，可知在x∈R，且x≠kπ＋上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋)(k∈Z)
例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小
解：∵90°＜135°＜138°＜270°
又∵y＝tanx在x∈(90°，270°)上是增函数
∴tan135°＜tan138°
三、巩固与练习
P．71．练习2，3，6
求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π，π］内的图象
解：（1）要使函数y＝tan2x有意义，必须且只须2x≠＋ｋπ，ｋ∈Z
即x≠＋，ｋ∈Z
∴函数y＝tan2x的定义域为｛x∈R｜，x≠，ｋ∈Z｝
（2）设ｔ＝2x，由x≠，ｋ∈Z｝知ｔ≠＋ｋπ，ｋ∈Z
∴y＝tanｔ的值域为（－∞，＋∞）
即y＝tan2x的值域为（－∞，＋∞）
（3）由tan2（x＋）＝tan（2x＋π）＝tan2x
∴y＝tan2x的周期为．
（4）函数y＝tan2x在区间［－π，π］的图象如图
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1.因为正切函数的定义域是，所以它的图象被等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。
2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。
讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y＝tan(ωx)，x≠ (k∈Z)的周期T＝；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的
五、课后作业：
六、板书设计：
4-1.4.3正切函数的性质与图象（2）
教学目的：
知识目标：熟练掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题；
能力目标：渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。
德育目标：培养认真学习的精神；
教学重点：正切函数的图象和性质的运用。
教学难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题．
授课类型：新授课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。
2．回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
二、讲解新课：
例1：求下列函数的周期：
（1） 答：。
（2） 答：。
说明：函数的周期．
例2：求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。
解：由得，
∴所求定义域为，值域为R，周期，是非奇非偶函数，在区间上是增函数。
将图象向右平移个单位，得到的图象；再将
的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），就得到函数的图象。
例3：用图象求函数的定义域。
解：由 得 ，
利用图象知，所求定义域为，
亦可利用单位圆求解。
三、巩固与练习
1．“”是“”的 既不充分也不必要 条件。
2．与函数的图象不相交的一条直线是（ D ）
3．函数的定义域是 ．
4．函数的值域是 ．
5．函数的奇偶性是 奇函数 ，周期是．
四、小 结：本节课学习了以下内容：
正切函数的性质。
五、课后作业：
以下函数中，不是奇函数的是( )
A.y＝sinx＋tanx Ｂ．y＝xtanx－1 Ｃ．y＝ Ｄ．y＝lg
3.下列命题中正确的是( )
A．y＝cosx在第二象限是减函数 Ｂ．y＝tanx在定义域内是增函数
Ｃ．y＝｜cos（2x＋）｜的周期是 Ｄ．y＝sin｜x｜是周期为2π的偶函数
六、板书设计：
4-1.5函数y=Asin(wx+)(A>0，w>0的图象
教学目标：
1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。
2. 通过对函数y = Asin(wx+4)(A>0，w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。
3. 培养学生观察问题和探索问题的能力。
教学重点：
函数y = Asin(wx+)的图像的画法和设图像与函数y=sinx图像的关系，以及对各种变换内在联系的揭示。
教学难点：
各种变换内在联系的揭示。
教学过程：
复习旧知
1.“五点法”作函数y=sinx简图的步骤，其中“五点”是指什么？
2. 函数y = sin(xk)(k>0)的图象和函数y = sinx图像的关系是什么？
生答：函数y = sin(x k)(k>0)的图像可由函数y = sinx的图像向左(或右)平移k个单位而得到，学生回答后，教师应用多媒体演示变化过程，并要求同学观察图像上点坐标的变化，然后进一步总结出这种变换实际上是纵坐标不变，横坐标增加(或减少)k个单位，这种变换称为平移变换。
3. 函数y = sinwx (w>0)的图像和函数y = sinx图像的关系是什么？
学生答：函数y = sinwx(w>0)的图像可由函数y = sinx的图像沿x轴伸长(w<1)或缩短(w>1)到原来的倍而得到，称为周期变换。
演示：教师运用多媒体演示变化过程，并要求学生观察图像上点坐标的变化，然后进一步总结这种变化的实质是纵坐标不变，横坐标伸长(01)到原来的倍。
4. 函数y = Asinx(A>0)的图像和函数y = sinx图像的关系是什么？
学生答：函数y = Asinx的图像可由函数y = sinx的图像沿y轴伸长(A>1)或缩短(x<1)到原来的A倍而得到的，称为振幅变换。
演示：教师利用多媒体，运用制好的课件将变化过程演示给学生看，并要求学生具体观察图像上点坐标的变化，然后归纳出这种变换的实质是：横坐标不变，纵坐标伸长(A> | )或缩小(0二、创设情境
上面我们学习和复习了三种函数y = sin(x k)，y = sinwx，y = Asinx的图像和函数y = sinx图像的关系，那么函数y = Asin(wx+)(a>0，w>0) 的图像和函数y = sinx的图像有何关系呢？三、尝试探究
1. 函数y = Asin(wx+)的图像的画法。
为了探讨函数y = Asin(wx+)的图像和函数y = sinx图像的关系，我们先来用“五点法”作函数y = Asin(wx+)的图像。
例：作函数y = 3sin(2x+)的简图。
解：⑴设Z= 2x +，那么3xin(2x+)= 3sin，x==，分别取z = 0，，，，2，则得x为，，，，，所对应的五点为函数y=3sin(x)在一个周期[，]图象上起关键作用的点。
⑵列表
x
2x+ 0 2
sin(2x+) 0 1 0 1 0
3 sin(2x+) 0 3 0 3 0
⑶描点作图，运用制好的课件演示作图过程。(图略)
2. 函数y=Asin(wx+)(A>0，w>0)图像和函数y=sinx图像的关系。
利用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数y=sinx的图像是怎样经过平移变化→周期变换→振幅变换而得到函数y=Asin (wx+)图像的。
归纳1：先把函数y = sinx的图像上的所有点向左平行移动个单位，得到y = sin(x3 +)的图像，再把y = sin(x +)的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y = sin(2x +)的图像，再把y = sin(2x +)的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，从而得到y = 3sin(2x +)图像。
归纳2：函数y = Asin(wx+)，(A>0，w>0)的图像可以看作是先把y = sinx的图像上所有的点向左(>0)或向右(>1)平移||个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w>1)或伸长(01)或缩短(01. 函数y = Asin(wx+)的图像的画法。
为了探讨函数y = Asin(wx+)的图像和函数y = sinx图像的关系，我们先来用“五点法”作函数y = Asin(wx+)的图像。
例：作函数y = 3sin(2x+)的简图。
解：⑴设Z= 2x +，那么3xin(2x+)= 3sin，x==，分别取z = 0，，，，2，则得x为，，，，，所对应的五点为函数y=3sin(x)在一个周期[，]图象上起关键作用的点。
⑵列表
x
2x+ 0 2
sin(2x+) 0 1 0 1 0
3 sin(2x+) 0 3 0 3 0
⑶描点作图，运用制好的课件演示作图过程。(图略)
2. 函数y=Asin(wx+)(A>0，w>0)图像和函数y=sinx图像的关系。
利用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数y=sinx的图像是怎样经过平移变化→周期变换→振幅变换而得到函数y=Asin (wx+)图像的。四、指导创新
上面我们学习了函数y = Asin(wx+)的图像可由y = sinx图像平移变换→周期变换→振幅变换的顺序而得到，若按下列顺序得到y = Asin(wx+)的图象吗？
⑴周期变换→平移变换→振幅变换
⑵振幅变换→平移变换→周期变换
⑶平移变换→振幅变换→周期变换
教师利用制作好的课件，运用多媒体逐一演示验证，让学生发现规律：若周期变换在前，平移变换在后，则得到的函数图像不是函数y = Asin(wx+)的图像，振幅变换出现在前或后不会影响得到函数y = Asin(wx+)的图像。
教师指导学生探讨⑴的变换顺序不能得到函数y = Asin(wx+) (A>0，w>0)图像的原因，并通过在平移变换过程中的单位变换而调整到函数y = Asin(wx+)图像的一般公式。
原因：y = sinx y =Asinwx
y = sinw(x+) = sin(wx+w)y = Asin(wx+w)
一般公式：将平移变换单位改为：即可。
五、归纳小结
本节课我们进一步探讨了三角函数各种变换的实质和函数y = Asin(wx+)(A>0，w>0)的图像的画法。并通过改变各种变换的顺序而发现：平移变换应在周期变换之前，否则得到的函数图像不是函数y =Asin(wx+)的图像由y = sinx图像的得到。
六、变式练习
1. 作下列函数在一个周期的闭区间上的简图，并指出它的图像是如何由函数y = sinx的图像而得到的。
⑴y = 5sin(x+)；⑵y =sin(3x)
2. 完成下列填空
⑴函数y = sin2x图像向右平移个单位所得图像的函数表达式为 ？
⑵函数y = 3cos(x+)图像向左平移个单位所得图像的函数表达式为 ？
⑶函数y = 2loga2x图像向左平移3个单位所得图像的函数表达式 ？
⑷函数y = 2tg(2x+)图像向右平移3个单位所得图像的函数表达式为 ？
七、布置作业(略)
4-1.6三角函数模型的简单应用
【知识与技能】
1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.
【过程与方法】
例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围.
例2利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数与正弦函数有紧密的联系.
例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
例4本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。关于课本第73页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。
补充例题
例题：一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少？
解：（1）；（2）.
【情态与价值】
一、选择题
1. 初速度v0，发射角为，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式为（ ）
A. B. C. D.
2. 当两人提重为的书包时，夹角为，用力为，则为____时，最小（ ）
A． B. C. D.
3.某人向正东方向走x千米后向右转，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为 （ ）
A． B. C. D.
二、填空题
4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为，从甲楼顶望乙楼顶俯角为，则甲、乙两楼的高度分别为_______
5.一树干被台风吹断折成角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____.
三、解答题
6. 三个力同时作用于O点且处于平衡，已知，，求
7、有一长为的斜坡，它的倾斜角为，现在要倾斜角改为，则坡底要伸长多少
三角函数小结和复习
【知识与技能】
理解本章知识结构体系（如下图），了解本章知识之间的内在联系。
【过程与方法】
三角函数值的符号是由对应的三角函数线的方向确定的；具有相同性质的角可以用集合或区间表示，是一种对应关系；弧度制的任意角是实数，这些实数可以用三角函数线进行图形表示，因此，复习的目的就是要进一步了解符号确定方法，了解集合与对应，数与形结合的数学思想与方法。另外，正弦函数的图象与性质的得出，要通过简谐运动引入，分析、确定三角函数图象的关键点画图象，观察得出其性质，通过类比、归纳得出余弦函数、正切函数的图象与性质，所以，复习本章时要在式子和图形的变化中，学会分析、观察、探索、类比、归纳、平移、伸缩等基本方法。
例题
例1 判断下列函数的奇偶性
①y=-3sin2x ②y=-2cos3x-1 ③y=-3sin2x+1 ④y=sinx+cosx
⑤y=1-cos(-3x-5π)
分析：根据函数的奇偶性的概念判断f(-x)=±f(x)是否成立；若成立，函数具有奇偶性（定义域关于原点对称）；若不成立，函数为非奇非偶函数
解：（过程略）①奇函数 ②偶函数 ③④非奇非偶函数 ⑤偶函数
例2 求函数y=-3cos(2x-π)的最大值，并求此时角x的值。
分析：求三角函数的最值时要注意系数的变化。
解：函数的最大值为：y=|-3|=3,此时由2x-π=2 kπ+ π得x= kπ+π, (k∈Z)
求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则有
即
所以，函数的定义域为{χ︱χ∈R且}
【情态与价值】
一、选择题
1．已知cos240约等于0.92 ,则sin660约等于（ ）
A．0.92 B．0.85 C．0.88 D．0.95
2．已知tanx=2，则的值是（ ）。
A． B． C．- D．
3．不等式tanx≤-1的解集是（ ）。
A．（k∈Z） B. （k∈Z）
C. （k∈Z） D. （k∈Z）
4. 有以下四种变换方式：
①向左平移，再将横坐标变为原来的；②将横坐标变为原来的，再向左平移；
③将横坐标变为原来的，再向左平移；④向左平移，再将横坐标变为原来的。
其中，能将正弦函数y=sinx的图象变为y=sin（2x+）的图象的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
二、填空题
5． tan（-）= .
6．函数y=sinx（≤x≤）的值域是 。
7．若函数y=a+bsinx的值域为[-，]，则此函数的解析式是 。
8．对于函数y=Asin（ωx+）（A、ω、均为不等于零的常数）有下列说法：
①最大值为A； ②最小正周期为；③在[0，2π]λο上至少存在一个x，使y=0；
④由≤ωx+≤（k∈Z）解得x的范围即为单调递增区间，
其中正确的结论的序号是 。
三、解答题
9．（1）已知sinθ－cosθ=0＜θ＜，求sinθ+cosθ的值；
（2）求函数y=2cosx+2sin2x-3的值域及取得最值是时的x的值。
10．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为y= 6sin（2πt+）。
作出它的图象；
单摆开始摆动（t=0）时，离开平衡位置多少厘米？
单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
单摆来回摆动一次需要多少时间？
第二章 平面向量
本章内容介绍
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.
本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）
第1课时
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
教学目标：
了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、情景设置：
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
二、新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）
1、数量与向量有何区别？
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
（三）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：；
④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量第15课时 分数指数幂
教学目标：
使学生进一步熟悉对数定义与幂的运算性质，理解对数运算性质的推导过程，熟悉对数的运算性质的内容，熟练运用对数的运算性质进而化简求值，明确对数的运算性质与幂的运算性质的区别.能运用联系的观点解决问题，认识事物之间的相互联系与相互转化.
教学重点：
证明对数运算性质.
教学难点：
对数运算性质的证明方法与对数定义的联系.
教学过程：
教学目标
(一)教学知识点
1.分数指数幂的概念.
2.有理指数幂的运算性质.
(二)能力训练要求
1.理解分数指数幂的概念.
2.掌握有理指数幂的运算性质.
3.会对根式、分数指数幂进行互化.
(三)德育渗透目标
培养学生用联系观点看问题.
●教学重点
1.分数指数幂的概念.
2.分数指数幂的运算性质.
●教学难点
对分数指数幂概念的理解.
●教学方法
发现教学法
1.在利用根式的运算性质对根式的化简过程中，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.
●教具准备
幻灯片二张
第一张：回顾性质(记作§2.5.2 A)
第二张：变形举例(记作§2.5.2 B)
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节课，我们一起复习了整数指数幂的运算性质，并学习了根式的运算性质.
(给出幻灯片§2.5.1 A)
整数指数幂运算性质 根式运算性质
(1)am·an=am+n(m,n∈Z)
(2)(am)n=am·n(m,n∈Z) ＝
(3)(a·b)n=an·bn(n∈Z)
［师］对于整数指数幂运算性质(2)，当a＞0，m,n是分数时也成立.
(说明：对于这一点，课本采用了假设性质(2)对a＞0，m,n是分数也成立这种方法，我认为不妨先推广了性质(2)，为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备)
［师］对于根式的运算性质，大家要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性.接下来，我们来看几个例子.
(打出幻灯片§2.5.2 B)(说明：对于例子可设计为填空题，让学生参与得出)
例子：当a＞0时
①
②
③
④
［师］上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.
Ⅱ.讲授新课
1.正数的正分数指数幂的意义
(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)
［师］大家要注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.
另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.
2.规定(板书)
(1) (a＞0,m,n∈N*,且n＞1)
(2)0的正分数指数幂等于0.
(3)0的负分数指数幂无意义.
［师］规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.
3.有理指数幂的运算性质(板书)
(1)ar·as=ar+s(a＞0,r,s∈Q)
(2)(ar)s=ar·s(a＞0,r,s∈Q)
(3)(a·b)r=ar·br(a＞0,b＞0,r∈Q)
［师］说明：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.
这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫.接下来，大家通过例题来熟悉一下本节的内容.
4.例题讲解
［例2］求值：8，100,()-3,().
分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质.
解：8=(23) =23×=22=4
100=(102) =10=10-1=
()-3=(2-2)-3=2(-2)×(-3)=26=64
()=()=()-3=
［例3］用分数指数幂的形式表示下列各式：
a2·,a3·, (式中a＞0)
解：a2·=a2·a=a2+=a
a3·=a3·a=a=a
=(a·a)=(a)=a
［师］为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质，我们来做一下练习题.
Ⅲ.课堂练习
课本P70练习
1.用根式的形式表示下列各式(a＞0)
a，a，a，a
解：a＝
a＝
a＝
a＝
2.用分数指数幂表示下列各式：
（1） （2）（a＋b＞0）
（3） （4）（m＞n）
（5）（p＞0） （6）
解：(1) ＝x
(2) ＝（a＋b）
(3) ＝（m－n）
(4) ＝（m－n）＝（m－n）2
(5) （p＞0）＝（p6·q5）＝p·q＝p3·q
(6) ＝m3·m＝m
3.求下列各式的值：
(1)25 （2）27
（3）（） （4）（）
（5） （6）2××
解：(1)＝53＝125
(2)＝32＝9
(3)
(4)
(5)
=
(6)2××＝2×3×（）×（3×22）＝2×3×3×2×3×2＝（2×2×2）×（3×3×3）＝2×3＝2×3＝6
要求：学生板演练习，做完后老师讲评.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质.
Ⅴ.课后作业
（一）1.课本P70习题2.5
2.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）＝
（2） ＝[a·（a·a）]＝a·a·a＝a
（3）＝（ab2＋a2b）
（4）＝（a3＋b3）＝（a3＋b3）
3.求下列各式的值：
(1)｜2｜ （2）（）
（3）10000 （4）（）
解：（1）｜2｜＝（112）＝11＝11
（2）（）＝（）＝（）·（）－1＝
(3)10000＝（104）＝10＝10－3＝0.001
(4) （）＝（）＝[（）3] ＝（）＝（）－2＝
4.用计算器求值(保留4位有效数字)
(1)5 （2）321 （3）73
（4）67 (5)8·3 （6）25·8
解：（1）5＝1.710 (2)321＝46.88
（3）73＝0.1170 (4)67＝28.90
（5）8·3＝2.881 （6）25·8＝0.08735
（二）1.预习内容：课本P69
2.预习提纲：
(1)根式的运算如何进行
(2)利用有理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧
●板书设计
§2.5.2 分数指数幂
1.正分数指数幂意义
a＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
2.规定
(1)a＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1），
(2)0的正分数指数幂等于0，
(3)0的负分数指数幂无意义.
3.有理指数幂性质
（1）ar·as＝ar＋s
（2）（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）
（3）（a·b）r＝ar·br（a＞0，b＞0，r∈Q）
4.例题
［例1］［例2］
5.学生练习
教学目的：
1.理解分数指数幂的概念.
2.掌握有理指数幂的运算性质.
3.会对根式、分数指数幂进行互化.
4．培养学生用联系观点看问题.
教学重点：1.分数指数幂的概念.
2.分数指数幂的运算性质.
教学难点：对分数指数幂概念的理解.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教材分析：教材分析：
本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质在分数指数幂概念之后，课本也注明“若a＞0， p是一个无理数，则表示一个确定的实数”为高中三年级限定选修课学习导数时做准备
在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.
教学过程：
一、复习引入：
1．整数指数幂的运算性质：
2．根式的运算性质：
①当n为任意正整数时，()=a.
②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.
⑶根式的基本性质：，（a0）
用语言叙述上面三个公式：
⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.
⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.
⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.
3．引例：当a＞0时
①
②
③
④
上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.
二、讲解新课：
1.正数的正分数指数幂的意义
(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)
要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.
另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.
2.规定：
(1) (a＞0，m,n∈N*,且n＞1)
(2)0的正分数指数幂等于0.
(3)0的负分数指数幂无意义.
规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.
3.有理指数幂的运算性质:
说明：若a＞0，P是一个无理数，则表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.?
三、讲解例题：
例1求值：.
解：
例2用分数指数幂的形式表示下列各式：
(式中a＞0)
解：
例3计算下列各式（式中字母都是正数）
分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号
（2）题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤
解
例4计算下列各式：
分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算
（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算
解：
四、练习：课本P14练习
1.用根式的形式表示下列各式(ａ＞０)
解：
2.用分数指数幂表示下列各式：
(1) （２）（ａ＋ｂ＞０）
（３） （４）（ｍ＞ｎ）
(5)（ｐ＞０） (6)
解：(1)
(2)
(3)
(4) ＝（ｍ－ｎ）２
(5)
(6)
五、小结 本节课学习了以下内容：
分数指数幂的意义，分数指数幂与根式的互化，有理指数幂的运算性质.
六、课后作业：
1.课本P75习题2.5
2.用计算器求值(保留4位有效数字)
(1) （２） （３）
（４） (5) （６）２５·
解：（１）＝１.７１０ (2) ＝４６.８８
（３）＝０.１１７０ （4） ＝２８.９０
（５）＝２.８８１ （６）２５·＝０.０８７３５
七、板书设计（略）
八、课后记：3.2.3 二倍角的正弦、余弦、正切（3）
一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（3）
二、教学目标：1.复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练，培养综合运用公式的能力；
2.能推导和了解半角公式、和差化积及积化和差公式。
三、教学重、难点：掌握三个公式的推导方法，使学生体会到角的三角函数与的三角函数的内在联系，，角的三角函数与角的三角函数之间的内在联系；
四、教学过程：
（一）复习：
1．二倍角公式
【练习1】化简：
（1）；
（2）． （（1）（2）两题答案：）．
总结：一般地，．
2．二倍角公式反映的是将二倍角的三角函数值转化为单角的三角函数值。在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的，从而有降幂公式：
，，．
（二）新课讲解：
1．半角公式：
，，．
说明：（1）只要知道角终边所在象限，就可以确定符号；
（2）公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切；
（3）还有一个有用的公式：（下面给出证明）。
2．例题分析：
例1：求证： ．
证法一： ．
证法二：
∴．
又由知与同号，且，
∴， 同理．
【练习2】已知，且，求的值。
（略解）原式．
（解法2）原式．
例2：求证：（1）；（2）．
证明：（1）将公式与公式的左边、右边分别相加，得
所以，．
（2）在（1）题中，令，则，．
把，的值代入，就有，
所以，．
五、课堂练习：
六、小结：1．巩固倍角公式，会推导了解半角公式、和差化积及积化和差公式。
七、作业：
补充：1．化简．
2．已知，且，求的值。
3．已知，且，求的值。
4．已知，且x是锐角，求的值。
5．已知，且，求的值。
PAGE
- 3 -1.1.2 弧度制（1）
一、课题：弧度制（1）
二、教学目标：1.理解弧度制的意义；
2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；
3.记住公式（为以角作为圆心角时所对圆弧的长，为圆半径）。
三、教学重、难点：弧度与角度之间的换算。
四、教学过程：
（一）复习：
初中时所学的角度制，是怎么规定角的？
（初中时把一个周角的记为）
（二）新课讲解：
1．弧度角的定义：
规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为．
练习：圆的半径为，圆弧长为、、的弧所对的圆心角分别为多少？
说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？
2．弧度的推广及角的弧度数的计算：
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角的弧度数的绝对值是，（其中是以角作为圆心角时所对弧的长，是圆的半径）。
说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是
．
3．角度与弧度的换算
rad 1=
4．例题分析：
例1 把化成弧度．
解：因为，所以 ．
例2 把化成度。
解： ．
例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。
（1）终边落在轴的非正、非负半轴，轴的非正、非负半轴的角的集合。
（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。
解：（1）终边落在轴的非正半轴的角的集合为；
非负半轴的角的集合为；
终边落在轴的非正半轴的角的集合为；
非负半轴的角的集合为；
所以，终边落在轴上的角的集合为；落在轴上的为
．
（2）第一象限角为；第二象限角为；
第三象限角为；第四象限角为．
例4 将下列各角化为的形式，并判断其所在象限。
（1）； （2）； （3）．
解：（1），所以，此角为第一象限角；
（2），所以此角为第一象限角；
（3），所以此角为第四象限角．
5．一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
0
五、课堂练习：
六、小结：1．弧度制的定义；
2．弧度制与角度制的转换与区别。3．。
七、作业：
补充：1．在中，若，求A，B，C弧度数。
2．直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？
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- 2 -1.3算法案例 海口实验中学 刘志强
第五课时 进位制
（1）教学目标
（a）知识与技能
了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
（b）过程与方法
学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律。
（c）情态与价值
领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系。
（2）教学重难点
重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换
难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计
（3）学法与教学用具
学法：在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k去余法。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
（4）教学设想
（一）创设情景，揭示课题
我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制 不同的进位制之间又又什么联系呢
（二）研探新知
进位制是一种记数方式，用有限的数字 ( http: / / zh.wikipedia.org / wiki / %E6%95%B0%E5%AD%97" \o "数字 )在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制 ( http: / / zh.wikipedia.org / wiki / %E5%8D%81%E8%BF%9B%E5%88%B6" \o "十进制 )，通常使用10个阿拉伯数字 ( http: / / zh.wikipedia.org / w / index.php title=%E9%98%BF%E6%8B%89%E4%BC%AF%E6%95%B8%E5%AD%97&action=edit" \o "阿拉伯數字 )0-9进行记数。
对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数 ( http: / / zh.wikipedia.org / wiki / %E5%8D%81%E8%BF%9B%E5%88%B6" \o "十进制 )57，可以用二进制 ( http: / / zh.wikipedia.org / wiki / %E4%BA%8C%E8%BF%9B%E5%88%B6" \o "二进制 )表示为111001，也可以用八进制 ( http: / / zh.wikipedia.org / wiki / %E5%85%AB%E8%BF%9B%E5%88%B6" \o "八进制 )表示为71、用十六进制 ( http: / / zh.wikipedia.org / wiki / %E5%8D%81%E5%85%AD%E8%BF%9B%E5%88%B6" \o "十六进制 )表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.
电子计算机一般都使用二进制,下面我们来进行二进制与十进制之间的转化
例1 把二进制数110011(2)化为十进制数.
解:110011=1*25+1*24+0*23+1*24+0*22+1*21+1*20
=32+16+2+1
=51
例2 把89化为二进制数.
解:根据二进制数满二进一的原则,可以用2连续去除89或所得商,然后去余数.
具体的计算方法如下:
89=2*44+1
44=2*22+0
22=2*11+0
11=2*5+1
5=2*2+1
所以:89=2*(2*(2*(2*(2*2+1)+1)+0)+0)+1
=1*26+0*25+1*24+1*23+0*22+0*21+1*20
=1011001(2)
这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:
把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到89=1011001(2)
上述方法也可以推广为把十进制化为k进制数的算法,这种算法成为除k取余法.
当数字较小时,也可直接利用各进位制表示数的特点,都是以幂的形式来表示各位数字,比如2*103表示千位数字是2,所以可以直接求出各位数字.即把89转换为二进制数时,直接观察得出89与64最接近故89=64*1+25
同理:25=16*1+9
9=8*!+1
即89=64*1+16*1+8*!+1=1*26+1*24+1*23+1*20
位数 6 5 4 3 2 1 0
数字 1 0 1 1 0 0 1
即89=1011001(2)
练习:(1)把73转换为二进制数
(2)利用除k取余法把89转换为5进制数
把k进制数a(共有n位)转换为十进制数b的过程可以利用计算机程序来实现,语句为:
INPUT a,k,n
i=1
b=0
WHILE i<=n
t=GET a[i]
b=b+t*k^(i-1)
i=i+1
WEND
PRINT b
END
练习:(1)请根据上述程序画出程序框图.
参考程序框图:
(2)设计一个算法,实现把k进制数a(共有n位)转换为十进制数b的过程的程序中的GET函数的功能,输入一个正5位数,取出它的各位数字,并输出.
小结:
(1)进位制的概念及表示方法
(2)十进制与二进制之间转换的方法及计算机程序
（5）评价设计
作业：P38 A（4）
补充：设计程序框图把一个八进制数23456转换成十进制数.
2
2
2
2
2
1
2
5
11
22
44
89
2
2
0
余数
1
0
0
1
1
0
1
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38第11课时 异面直线（二）
教学目标：
会求异面直线所成的角和异面直线间的距离，培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力、逻辑推理能力，使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想；渗透事物互相转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.
教学重点：
异面直线所成角的计算和异面直线间距离的计算.
教学难点：
异面直线所成角的计算和异面直线间距离的计算.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］上节课我们学习了异面直线所成的角，异面直线间的距离两个概念，请一位同学来叙述一下异面直线所成角的定义.
［生］过空间任意一点O，与异面直线a和b分别平行的直线所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角.
［师］定义不但告诉我们怎样的角叫做异面直线所成的角，而且告诉了我们两异面直线所成角的范围是什么？
［生］(0，］
［师］当两条异面直线所成的角为时，这两条直线______.
［生］垂直、异面垂直.
［师］所以，今后谈到两条直线垂直时，它们可能共面垂直，也可能异面垂直.在学习异面直线间的距离时，首先涉及到一个概念——异面直线的公垂线.怎样的直线称为异面直线的公垂线呢？
［生］与两条异面直线都垂直相交的直线称为异面直线的公垂线.
［师］定义中的要点是什么？
［生］“垂直”“相交”二者缺一不可！
［师］好！把握好公垂线的概念，异面直线间距离的定义就容易掌握了.谁来表述一下异面直线间距离的定义？
［生］两条异面直线的公垂线段的长叫做两条异面直线的距离.
［师］上节课求异面直线所成的角与求两条异面直线的距离，我们讨论了一个比较简单的例子.这节课我们继续来研究两条异面直线所成的角和距离的计算方法.
Ⅱ.新课讨论
［例1］在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O1为上底中心，求下列异面直线所成的角.
(1)AB1与BC1；(2)A1B与B1D.
分析：求异面直线所成的角，关键是选择恰当的点，通过平移找到两条异面直线所成的角，找到的这个角还要较好的联系已知，对于(1)，同学们看一下，过哪条上的一点，平移另一条好呢？
［生］过A点平移BC1较好，过C1平移AB1也行，但前者
较后者从图形上看更直观.
［师］怎样平移BC1呢？(学生考虑)
［师］连结AD1，则AD1∥BC1，对吗？为什么？
［生］连结AD1，则四边形ABC1D1是平行四边形，所以
AD1∥BC1.
［生］∠D1AB1是异面直线AB1与BC1所成的角.
［师］怎样求其大小呢？
［生］在△D1AB1中求，因为△D1AB1是正三角形，所以∠D1AB1是60°，即AB1与BC1所成的角是60°.
［师］请大家写出此题的解答过程(并请一位同学在黑板上写出).
(1)解：连结AD1，则AD1∥BC1
∴∠D1AB1是异面直线AB1与BC1所成的角
∵△D1AB1是正三角形
∴∠D1AB1＝60°
即AB1与BC1所成的角是60°.
［师］下面我们来分析(2)，仍然是先平移将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角.
(同学试着平移，怎样也不能奏效)
［师］我们来做一个辅助图形：在这个正方体上面放一个同样大小的正方体.(教师在黑板上画一画，或者在投影片上画也行)，这样能找到两条异面直线所成的角了吗？
［生］连结B1A2，则B1A2平行于A1B，B1A2与B1D所成的锐角(或直角)是异面直线A1B与B1D所成的角.
［师］怎样求其大小呢？
［生］在△A2B1D中求.
［师］在△A2B1D中怎样求呢？
［生］△A2B1D中，B1D＝a，B1A2＝a，A2D＝a.(如果学生答不来，教师再予以提示)，用余弦定理可求得∠A2B1D的大小.
［生甲］知道△A2B1D的三边长度后，通过观察，心算，知A2D2＝B1D2＋B1A22，所以∠A2B1D＝90°，即A1B与B1D所成的角为90°.
［师］请同学们写出解答过程.
(2)解：在这个正方体上面放一个同样大小的正方体如图(黑板上的图)，连结B1A2，则B1A2∥BA1
∴B1A2与B1D所成的锐角(或直角)就是异面直线A1B与B1D所成的角(强调学生注意，这一句表述不能省略，凭观察这个角稍大，故不能用∠A2B1D表示异面直线A1B与B1D所成的角)
在△A2B1D中，B1D＝a，B1A2＝a，A2D＝a
∵A2D2＝B1D2＋B1A22， ∴∠A2B1D＝90°.
即A1B与B1D所成的角为90°.
［师］若求出的∠A2B1D＞90°，那么异面直线A1B与B1D所成的角是怎样的呢？
［生］是∠A2B1D的补角.
［师］很好.绝对不能忘记两异面直线所成角的范围是(0，］，这个题，待我们学习了后面的知识之后，会有更简捷的解答方法(为学生积极学习后面的知识设下这个“诱饵”).
［例2］一空间四边形ABCD的边长均为a，连对角线AC、BD，且AC＝BD＝a，E、F分别为AB、CD的中点.
(1)证明：EF是异面直线AB、CD的公垂线；
(2)求异面直线AB与CD的距离.
分析：(1)EF与AB、CD都相交，要证明EF是AB、CD的
公垂线，只要证明EF与AB、CD都垂直就行了，先来分析怎样
证EF与CD垂直，连结EC、ED，在△ECD中，因为F是CD
的中点，所以要想证EF垂直于CD，只要证——
［生］证△ECD是等腰三角形就行了，即只要证EC等于ED就行了.
［师］怎样证EC等于ED？(似乎又陷入了困境)，请同学们注意：EC、ED分别是△CAB、△DAB的中线，所以要证EC等于ED，只要证——
［生］证△CAB与△DAB全等就行了.
［师］怎样证△CAB与△DAB全等呢？
［生］这两个三角形都是边长为a的正三角形全等.
［师］同理可证EF⊥AB. 至此，我们的问题(1)解决了.一会儿我们再写证明过程，现在我们来分析(2)，求异面直线AB与CD的距离就是求异面直线AB与CD的公垂线段的长度，我们刚才已经证明了EF是异面直线AB与CD的公垂线，所以求异面直线AB与CD的距离，就是求——
［生］EF的长度.
［师］怎样求呢？
［生］在Rt△EFC中就可求得，因为CF＝，EC＝＝ eq \r(a2-a2) ＝a，所以EF＝＝ eq \r(a2-a2) ＝a.
［师］好.下面请同学们完成此题的证明与解答.
(1)证明：连结CE、DE.
由题设知△CAB≌△DAB，
又E是AB的中点，∴CE＝DE.
在等腰△ECD中，∵F是CD的中点
∴EF是CD上的中线 ∴EF⊥CD.
同理可证EF⊥AB.
又EF与AB、CD都相交
∴EF是异面直线AB、CD的公垂线.
(2)解：由(1)可知EF的长即为异面直线AB、CD的距离.
在Rt△EFC中，∵CF＝a CE2＝AC2－AE2＝a2
∴EF＝＝ eq \r(a2-a2) ＝a.
因此异面直线AB、CD的距离为a .
［例3］如图空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD所成的角为θ，AC＝a，BD＝b(a、b是常数)，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，当θ为何值时，四边形EFGH的面积最大？最大值是多少？
分析：求面积的最大值，首先需要干什么呢？
［生］列出四边形EFGH面积的函数关系式.
［师］题中问当θ为何值时，四边形EFGH的面积最大.那么
列出的面积关系式就要用——
［生］要用θ来表示.
［师］四边形的面积要用θ来表示，那么四边形EFGH就要
与θ有联系，并且要表示出面积还得清楚四边形是怎样的四边形，
同学们再来继续分析一下四边形EFGH是怎样的四边形，与θ有怎样的联系.
［生］四边形EFGH是平行四边形，因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，所以EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且FG＝BD，得到EH FG.因而四边形EFGH是平行四边形.
因为EF∥AC，FG∥BD.所以∠EFG是异面直线AC、BD所成的角，即∠EFG＝θ.
［师］很好！知道了四边形EFGH是平行四边形，∠EFG＝θ，能表示平行四边形的面积了吗？
［生］还不行，还需要知道平行四边形两邻边的长.
［师］能知道两邻边的长吗？
［生］能！FG＝BD＝b，EF＝AC＝a，表示平行四边形面积的条件具备了.
［师］好！既然表示平行四边形的面积无障碍了.那请同学们写出解答过程(一位同学板书于黑板上).
解：
S＝a·bsinθ＝absinθ(0＜θ≤)
∴当θ＝时，Smax＝ab.
∴当θ＝时，四边形EFGH的面积最大，最大值是 ab.
Ⅲ.课堂练习
如图ABCD与ABEF为有公共边但不共面的矩形，它们的面积之和为25 cm2，AD＝2 cm，AF＝3 cm，△ADF的面积为 cm2，求:
(1)AD与BE所成的角；(2)AD与BE的距离.
解：据题意：S矩形ABCD＋S矩形ABEF
＝AD·AB＋AF·AB＝(AD＋AF)AB＝5AB＝25.
∴AB＝5.
S△ADF＝AD·AFsinDAF＝×2×3·sinDAF＝3sinDAF＝
∴sinDAF＝ ∴∠DAF＝45°
(1)∵AF∥BE，
∴∠DAF为AD与BE所成的角
又∠DAF＝45°，∴AD与BE所成的角是45°.
(2)∵AB⊥AD，AB⊥BE(矩形)
∴AB是AD与BE的公垂线段 又AB＝5 cm
∴AD与BE间的距离是5 cm.
Ⅳ.课时小结
本节课我们一起讨论了求异面直线所成的角和求异面直线间距离的几个例子，目的是想通过举例，让同学们明确求角的关键是通过平移将两异面直线所成的角转化成相交直线所成的角，求两异面直线间的距离就是求两异面直线公垂线段的长，必要时，两者都要转化到某一三角形中求解.这种转化的思想我们应该重视.化难为易，化繁为简，化生疏为熟悉，化空间问题为平面问题，这种转化的思想无处不在.
Ⅴ.课后作业
补充题：
1.A是△BCD所在平面外一点，AD＝BC，E、F分别是AB、CD的中点.
(1)若EF＝AD，求异面直线AD和BC所成的角；
(2)若EF＝AD，求异面直线AD和BC所成的角.
解：设G是AC的中点，连结EG、FG.
∵E、F分别是AB、CD的中点.
∴EG∥BC且EG＝BC FG∥AD且FG＝AD
∵AD＝BC，∴EG＝FG＝AD
∴GE与GF所成的锐角(或直角)为AB、CD所成的角.
(1)若EF＝AD，则在△EFG中有
cosEGF＝
＝＝0.
∴∠EGF＝90°，即AD与BC所成的角为90°.
(2)若EF＝AD，则在△EFG中有
cosEGF＝
∴∠EGF＝120°，其补角为60°
∴AD与BC所成的角为60°
2.正方体ABCD—A1B1C1D1中O、M分别是D1B、AA1的中点.
(1)求证：MO是AA1和BD1的公垂线；
(2)若正方体的棱长为a，求异面直线AA1和BD1的距离.
(1)证明：∵M是AA1的中点
∴MD1＝MB
又O是BD1的中点 ∴MO⊥BD1
同理由A1O＝AO得MO⊥AA1
∴MO是AA1、BD1的公垂线.
(2)解：OM＝＝a
∴AA1与BD1间的距离是 a.
Ⅰ.思考与练习
1.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BB1的中点，求A1E与C1F所成角的余弦值.
解：设正方体的棱长为a
在A1B1上取一点G，使B1G＝A1B1，
连结FG、C1G，则FG∥A1E，
FG＝A1E，
∴∠GFC1即为A1E与C1F所成的角，
又C1F＝
GF＝A1E＝C1F＝a
C1G＝
∴cosGFC1＝＝
故A1E与C1F所成角的余弦值为 .
2.如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝a，BC＝b，AA1＝c(a＞b)，求异面直线D1B和AC所成角的余弦值.
解法一：连结BD交AC于O，取D1D的中点P，
连结OP，则OP∥D1B，且OP＝D1B.
∴∠POA就是D1B与AC所成的角，连结AP
∵AP＝AO＝OP＝
∴cos∠POA＝＝.
解法二：如图，在长方体的一旁，补上一个大小完全相同的长方体，则BE AC
∴BD1与BE所成的锐角(或直角)是D1B与AC所成的角.
∵D1B＝
BE＝
D1E＝
∴cosD1BE＝＜0
∴D1B与AC所成角的余弦值为.
3.空间四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，且AB＝CD.求证：MN与AB所成的角等于MN与CD所成的角.
证明：连结BD，设P是BD的中点，连MP、NP，
∵M、N分别是AD、BC的中点
∴MP∥AB且MP＝AB NP∥CD且NP＝CD
∴∠PMN、∠PNM分别是MN与AB、CD所成的角.
又∵AB＝CD，∴MP＝NP ∴∠PMN＝∠PNM.
即MN与AB所成角等于MN与CD所成的角.
4.已知棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点.
(1)求证：B1EDF是菱形；
(2)求A1C与DE所成角的余弦值.
(1)证明：取AD的中点G，连结A1G、EG，
则B1E A1G FD
∴B1EDF是平行四边形.
又∵FB1＝DF＝
∴B1EDF是菱形.
(2)解：延长AD至M，使DM＝AD＝BC＝EC.
连结CM，则CM∥ED.
∴∠A1CM即为A1C与DE所成的角.
∵A1C＝a，
CM＝
A1M＝
∴cosA1CM＝.
Ⅱ.异面直线所成的角
异面直线所成的角是非常重要的知识点，是每年高考的必考内容，要求学生牢固掌握两条异面直线所成的角的求法.教学中注意以下几点：
1.平移方法一般有：直接平移法、中位线平移法、补形平移法.
2.平移直线寻找两条异面直线所成角的过程，线的平移是在某个平面中进行的，该面的特点：①该平面包含其中一条异面直线，②该平面与另一条异面直线相交.
3.求角或求角的三角函数值的一般步骤是：①找角，②求角或求角的三角函数值.
- 8 -第18课时 直线与平面垂直的判定和性质习题课
教学目标：
使学生能够根据题设条件，联系定理，发挥空间想象能力，解决具体问题。
教学重点、难点：
如何分析、解决问题。
教学过程：
复习定理、定义。
例1：如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，M、N分别是AB、A1C的中点，
（1）求A到平面A1DCB1的距离；（2）求AB到平面A1DCB1的距离；
（3）求证：MN是异面直线AB、A1C的公垂线段，并求其长度。
解：（1）连结AD1，设AD1∩A1D＝E，则AD1⊥A1D
且E为A1D的中点，AE＝a，
又：AD1⊥A1B1，A1B1∩A1D＝A1
∴AE⊥平面A1DCB1
∴AE的长为所求距离，即a
（2）∵AB∥A1B1，A1B1平面A1DCB1，AB eq \o(,\\)平面A1DCB1
∴AB∥平面A1DCB1
由（1）知，AE⊥平面A1DCB1
∴所求距离为a
（3）∵EN为△A1DC的中位线
∴ENDC，ENAB
即ENAM且∠EAB＝900
∴四边形AMNE为矩形
∴MN⊥AB，AE∥MN
由（1）知，AE⊥平面A1DCB1
∴MN⊥平面A1DCB1 又：A1C平面A1DCB1
∴MN⊥A1C
∴MN是异面直线AB、A1C的公垂线段，MN＝AE＝a
例2：已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CD在平面α内，AB︰CD＝4︰6，AB到α的距离为10cm，求梯形对角线的交点O到α的距离。
解：过B作BE⊥α＝E，连结DE
过O作OF⊥DE
∵AB∥CD，AB eq \o(,\\)α，CDα，
∴AB∥α，又BE⊥α
∴BE即为AB到α的距离，BE＝10cm且∠BED＝900
∵OF⊥DE ∴OF∥BE得 ＝
∵AB∥CD ∴△AOB∽△COD
∴＝＝， 得＝＝
又：＝，BE＝10cm
∴OF＝×10＝6（cm）
∵OF∥BE，BE⊥α
∴OF⊥α，即：OF即为所求距离为6cm。
例3：已知直线a⊥b，b⊥α，a eq \o(,\\)α，求证：a∥α
略证：在直线a上取一点A，过A作b′∥b，则
b′必与α相交，设交点为B，过相交直线a、b′
作平面β，设α∩β＝a′
∵b′∥b，a⊥b ∴a⊥b′
∵b⊥α，b′∥b ∴b′⊥α
又∵a′α ∴b′⊥a′
由：a，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′
∴a∥α
例4：（备用）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，（1）求证：BD1⊥平面B1AC
（2）求B到平面B1AC的距离。
（1）证明：∵AB⊥B1C，BC1⊥B1C
∴B1C⊥面ABC1D1 又：BD1面ABC1D1
∴B1C⊥BD1
∵B1B⊥AC，BD⊥AC
∴AC⊥面BB1D1D 又：BD1面BB1D1D
∴AC⊥BD1
∴BD1⊥平面B1AC
（2）解：∵O∈BD
∴连结OB1交BD1于E
又O∈AC， ∴OB1面B1AC
∴BE⊥OE，且BE即为所求距离
∵＝
∴BE＝·OB＝ eq \f(a,a) · a＝a
课堂小结：
充分发挥空间想象能力，灵活运用定理解决具体问题。
课后作业：
课本P38 习题第10，11，12题.
预习内容： P35~P37
预习提纲
（1）平面外一点和平面内各点连线构成的线段有几种？
（2）这些线段之间关系如何？
（3）直线和平面成角的范围，性质如何？
- 1 -课题：§1.1.1算法的概念
1、 教学目标：
1、 知识目标：
⑴使学生理解算法的概念。
⑵掌握简单问题算法的表述。
⑶初步了解高斯消去法的思想．
⑷了解利用scilab求二元一次方程组解的方法。
2、 能力目标：
①逻辑思维能力：通过分析、抽象、程序化高斯消去法的过程，体会算法的思想，发展有条理地清晰地思维的能力，提高学生的算法素养。
②创新 能力：通过分析高斯消去法的过程，发展对具体问题的过程与步骤的分析能力，发展从具体问题中提炼算法思想的能力。
3、 情感目标：
通过体验算法表述的过程，培养学生的创新意识和逻辑思维能力；通过应用数学软件解决问题，感受算法思想的重要性，感受现代信息技术的威力，提高学生的学习兴趣。
2、 重点与难点
重 点：算法的概念和算法的合理表述。
难 点：算法的合理表述、高斯消去法．。
三、教学方法与手段：
采用“问题探究式”教学法，以多媒体为辅助手段，让学生主动发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的探究论证、逻辑思维能力。
3、 教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 要把大象装入冰箱分几步？第一步 把冰箱打开。第二步 把大象放进冰箱。第三步 把冰箱门关上。指出在家中烧开水的过程分几步？ 略如何求一元二次方程的解？解：第一步 计算第二步 如果 如果方程无解第三步 输出方程的根或无解的信息注意：以上三例的求解过程中，老师紧扣算法的定义，带领学生总结。反复强调，使学生体会到以下几点：强调步骤的顺序性，逻辑性，打乱顺序，就不能完成任务。强调步骤的完整性，不可分割。强调步骤的有限性。强调每步的结果的确切性（明确的结果）。强调步骤的通用性，任何人只要按照该步骤执行即可完成任务。 由学生回答，老师书写，分清步骤，步步诱导，为引入算法概念做准备。 用学生熟悉的问题来引入算法的概念，降低新课的入门难度，有利于学生正确理解算法的概念。
2、算法是如何定义？ 2、打开课本引领学生共同分析算法的定义。 培养学生体会发现、抽象、总结的能力。
概念深化 1、算法的定义：算法可以理解为有基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤。或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤和序列可以解决一类问题。分析句子成分，强调指出：（1） 算法理解为解题步骤；或者看成计算序列。问学生并让学生齐声回答：是什么的样的步骤和计算序列？算法的目的：是什么？解决一类问题。（2）反问我们要解决解决一类问题，我们可以抽象出其解题步骤或计算序列，他们有什么样的要求？ 提示学生注意其中的关键词：规定的运算顺序、完整的、解题步骤；设计好的、有限的、确切的、计算序列；解决一类问题。 深化对定义的理解。
教学环节 内容 师生互动 设计意图
例题精选 例1一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共48，要数脑袋整17，多少只小兔多少只鸡？算法1：解 ：S1 首先计算没有小兔时，小鸡的数为：17只，腿的总数为34条。S2 再确定每多一只小兔、减少一只小鸡增加的腿数2条。 S3 再根据缺的腿的条数确定小兔的数量： (48-34)/2=7只S4 最后确定小鸡的数量：17-7=10只.算法2：S1 首先设x只小鸡，y只小兔。S2 再列方程组为： S3 解方程组得：S4 指出小鸡10只，小兔7只。 本题讲解紧扣算法的定义，层层诱导，提示学生如何设计步骤，可以先由学生提出，师生共同总结。最后提示学生，一个问题算法可能不止一个。 深化对算法概念的 理解，使学生体会到算法并不是高渗莫测的东西，实际上是我们从前解题步骤的总结。
例2写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。分析：你可能觉得，求一个整数序列的最大值是一个很简单的事。的确从10个、8个整数中找出最大值，你一眼就可以看得出来。可是要从一百万个年龄序列表中找出年龄最大的一个，要是没有算法，可就是一件很困难的事了。可计算机利用软件瞬间就可以找出最大值，计算机要靠软件（程序）支持，编写程序要依赖算法，因此我们要编写出合理的、高效的算法就非常必要了。 请大家思考：如何写出这个问题的一个算法呢？算法1：S1 先假定序列中的第一个数为"最大值"。S2 将序列的第二个整数值与"最大值"比较，如果第二个整数大于"最大值"，这时就假定这个数为"最大值"。S3 将序列的第三个整数值与"最大值"比较，如果第三个整数大于"最大值"，这时就假定这个数为"最大值"。S4 将序列的第四个整数值与"最大值"比较，如果第四个整数大于"最大值"，这时就假定这个数为"最大值”依此类推Sn 将序列的第n个整数值与"最大值"比较，如果第n个整数大于"最大值"，这时就假定这这个数为"最大值"。Sn+1 直到序列中没有可比的数为止，"最大值"就是序列的最大值。 带领学生分析题目，找出算法。让学生观察算法1，思考如何简化算法？ 使学生体会到学习算法的意义和必要性。使学生体会顺序结构的简单直观，但有时却很繁琐的特点。促使学生产生改进方法的欲望。
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例题精讲 算法2S1 先假定序列中的第一个数为"最大值"。S2 将序列中的下一个整数值与"最大值"比较，如果大于"最大值"，这时就假定这个数为"最大值"。S3 如果序列中还有其它整数，重复S2。S4 直到序列中没有可比的数为止，这时假定的"最大值"就是序列的最大值。 让学生体会到算法的特点是：“机械的、呆板的、可以按部就班执行”。 使学生体会到算法优化的意义。指出算法要设计合理，运行要高效。
例2举例：写出一个求整数a、b、c最大值的算法解：S1 max=a。S2 如果b>max，则max=b。S3 如果c>max，则max=c。S4 max就是a、b、c的最大值。 由学生分析写出，老师指导、讲评。可能有些学生不能完全、清晰地理解其全部的过程，老师可以让a、b、c分别取：1、2、33、2、1、3、1、2等数据，让学生体会算法的运行过程。 加深对上述算法的理解。
例3、写出解二元一次方程组的一个算法：解：算法1 ：S1 假定a110，① ②，得到： 分析：本例是把实际问题解决抽象成二元一次方程组的求解问题，求解二元一次方程组有两种算法：
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例题精讲 原方程组化为：S2 如果，输出方程组无解或有无数组解如果，解（4）得S3 将（5）代入（3），整理得：S4 输出结果x1，x2、方程组无解或有无数组解算法2 ：S1计算D=S2 若D=0 输出方程组无解或有无数组解，否则（D）时S3输出结果x1，x2、方程组无解或有无数组解。 ⑴首先讲清高斯消去法的思路。⑵把高斯消去法用算法表述出来。⑶提使学生分析解题的关键所在，再用公式法表示出来。 从二元一次方程组的算法知：求解某个问题的算法不是唯一的。 加深对算法的非唯一性的理解。同时还提醒学生算法并非越复杂越好，而恰恰相反，越简洁、高效越好。让学上体会到算法可以不用展现详细的解体过程，只要最后结果就行。
例4见课本P6例3展示本题的解体过程。A=[3,-2;1,1];B=[14;-2];linsolve(A,-B)ans =! 2. !! - 4. ! 老师输入数据，并讲述个数据的来源，强调输入的规范性。 让学生体会计算机解题的便捷性。激发学生的学习兴趣
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练习 课本P7练习A 1、2、4题课本P8练习B 4、5题 巩固所学知识
小结（师生共同总结） 1、算法的定义：算法可以理解为有基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤。或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤和序列可以解决一类问题。2、算法的五大特征：⑴逻辑性： 算法应具有正确性和顺序性。算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，前一步是后一步的基础，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都有确切的含义，组成了具有很强的逻辑性的序列。⑵概括性： 算法必须能解决一类问题，并且能重复使用。⑶有限性： 一个算法必须保证执行有限步后结束⑷非唯一性：求解某个问题的算法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法。⑸普遍性： 许多的问题可以设计合理的算法去解决。如：如用二分法求方程的近似零点，求几何体的体积等等。3、算法的表述形式：⑴用日常语言和数学语言或借助于形式语言（算法语言）各处精确的说明。⑵程序框图（简称框图）。⑶程序语言。
作业 课本P8练习B 1、2题§5 余弦函数（2课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）了解任意角的余弦函数概念；（2）理解余弦函数的几何意义；（3）掌握余弦函数的诱导公式；（4）能利用五点作图法作出余弦函数在[0，2π]上的图像；（5）熟练根据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质；（6）能区别正、余弦函数之间的关系；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、 过程与方法
类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定义的基础上，将三角函数定义推广到更加一般的情况；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。
3、 情感态度与价值观
使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点:余弦函数的概念和诱导公式，以及余弦函数的性质。
难点: 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。
三、学法与教学用具
我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数的概念；同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。用五点作图的方法作出y＝cosx在[0，2π]上的图像，并由图像直观得到其性质。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 余弦函数的概念和诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数，sinα＝。同样地，当我们把角放在平面直角坐标系中以后，就可以得到余弦函数的定义。
下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本P30—P31.
【探究新知】
1．余弦函数的定义
在直角坐标系中，设任意角α与单位圆交于点P（a，b）,
那么点P的横坐标a叫做角α余弦函数，记作：a＝cosα(α∈R).
通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示
为y＝cosx(x∈R).
如图，有向线段OM称为角α的余弦线。
其实，由相似三角形的知识，我们知道，只要已知角α
的终边上任意一点P的坐标（a，b），求出|OP|，记为r，则
角α的正弦和余弦分别为：sinα＝，cosα＝.
在今后的解题中，我们可以直接运用这种方法，简化运算过程。
2．余弦函数的诱导公式
从右图不难看出，角α和角2π＋α，2π－α，（－α）的终边
与单位圆的交点的横坐标是相同的，所以，它们的余弦函数值相等；
角α和角π＋α，π－α的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数，
所以，它们的余弦函数值互为相反数。
由此归纳出公式：
cos(2π＋α)＝cosα
cos(－α) ＝ cosα
cos(2π－α) ＝cosα
cos(π＋α) ＝－cosα
cos(π－α) ＝－cosα
请同学们观察右图，角α与角＋α的正弦、余弦函数值有什么关
系？由图可知，Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点P的横坐标cosα与点P’的纵坐标sin(＋α)
相等；点P的纵坐标sinα与点P’的横坐标cos(＋α)互为相反数。我们可以得到：
sin(＋α)＝cosα cos(＋α)＝－sinα
问题与思考：验证公式 sin(＋α)＝cosα cos(＋α)＝－sinα
以上公式统称为诱导公式，其中α可以是任意角。利用诱导公式，可以将任意角的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。
【巩固深化，发展思维】
1． 例题讲评
例1．已知角α的终边经过点P（2，－4）(如图)，求角α的余弦
函数值。
解：∵x＝2，y＝－4 ， ∴ r＝|OP|＝2
∴cosα＝＝
例2．如果将例1中点P的坐标改为（2t，－4t）(t≠0)，那么怎样求角α的余弦函数值。
解：(提示：在r＝|OP|＝2|t|中，分t＜0和t＞0两种情况，见教材P31)
例3．求值：
（1）cos （2）cos （3）cos(－)
（4）cos(－1650°) （5）cos(－150°15’)
解：（1）cos＝cos（2π－）＝cos＝
（2）cos＝cos（π＋）＝－cos≈－0.9239
(3)、（4）、（5）略，见教材P33
例4．化简：
解：（略，见教材P33）
2． 学生练习
教材P31的练习1、2、3 和 P34的练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 余弦函数的图像与性质
1、 教学思路
【创设情境，揭示课题】
在上一次课中，我们知道正弦函数y＝sinx的图像，是通过等分单位圆、平移正弦线而得到的，在精确度要求不高时，可以采用五点作图法得到。那么，对于余弦函数y＝cosx的图像是不是也是这样得到的呢？有没有更好的方法呢？
【探究新知】
1．余弦函数y＝cosx的图像
由诱导公式有：
与正弦函数关系 ∵y＝cosx＝cos(－x)＝sin[－(－x)]＝sin(x＋)
结论：（1）y＝cosx, xR与函数y＝sin(x＋) xR的图象相同
（2）将y＝sinx的图象向左平移即得y＝cosx的图象
（3）也同样可用五点法作图：y＝cosx x[0,2]的五个点关键是(0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1)
（4）类似地，由于终边相同的三角函数性质y＝cosx x[2k,2(k+1)] kZ,k0的图像与 y＝cosx x[0,2] 图像形状相同只是位置不同（向左右每次平移2π个单位长度）
2．余弦函数y＝cosx的性质
观察上图可以得到余弦函数y＝cosx有以下性质：
（1）定义域：y=cosx的定义域为R
（2）值域： y=cosx的值域为[－1,1]，即有 |cosx|≤1（有界性）
(3)最值：1对于y＝cosx 当且仅当x＝2k,kZ时 ymax＝1
当且仅当时x＝2k＋π, kZ时 ymin＝－1
2当2k-0
当2k+(4)周期性：y＝cosx的最小正周期为2
(5)奇偶性
cos(－x)＝cosx (x∈R) y＝cosx (x∈R)是偶函数
(6)单调性
增区间为[（2k－1）π， 2kπ]（k∈Z），其值从－1增至1；
减区间为[2kπ，（2k＋1）π]（k∈Z），其值从1减至－1。
【巩固深化，发展思维】
1． 例题讲评
例1．请画出函数y＝cosx －1的简图，并根据图像讨论函数的性质。
解：（略，见教材P36）
2．课堂练习
教材P37的练习1、2、3、4
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：P38的习题8、9、10、11
四、课后反思
x
r
O
P(a，b)
y
M
π－α
π＋α
－α
α
M’
M
M
P(x,y)
P’
o
y
x
2
y
－4
P
x
y
x
o
1
-1
-1
1
o
x
y
y
x
1
－1
1
-4
-3
-2
5
4
3
2
-1
-
o
y
6
x
x
y
PAGE
4第二课时 两角和与差的正弦
教学目标：
掌握S（α＋β）与S（α－β）的推导过程及公式特征，利用上述公式进行简单的求值与证明；培养学生的推理能力，提高学生的数学素质.
教学重点：
两角和与差的正弦公式及推导过程.
教学难点：
灵活应用所学公式进行求值证明.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
首先，同学们回顾一下咱们前面所推导的两角和与差的余弦公式.
首先，我们利用单位圆及两点间的距离公式结合三角函数的定义，推导出了两角和的余弦公式，进而推导出了两角差的余弦公式及两个诱导公式，不妨，将cos （－θ）＝sinθ中的θ用α＋β代替，看会得到什么新的结论
Ⅱ.讲授新课
一、推导公式
由sinθ＝cos（－θ）
得：sin（α＋β）＝cos ［－（α＋β）］＝cos［（－α）－β］
＝cos（－α）cos β＋sin（－α）sinβ
又∵cos（－α）＝sinα，sin（－α）＝cos α
∴sin（α＋β）＝sinαcos β＋cos αsinβ
这一式子对于任意的α，β值均成立.
将此式称为两角和的正弦公式：
S（α＋β）：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
在前面，当我们推出两角和的余弦公式C（α＋β）时，将其中的β用－β代替，便得到了两角差的余弦公式，这里，也不妨将S（α＋β）中的β用－β代替，看会得到什么新的结论
sin［α＋（－β）］＝sinαcos（－β）＋cosαsin（－β）
＝sinαcosβ－cosαsinβ
即：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
这一式子对于任意的α，β的值均成立.
这一式子被称为两角差的正弦公式：
S（α－β）：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ下面，看他们的应用.
二、例题讲解
［例1］利用和(差)角公式求75°，15°的正弦、余弦、正切值.
分析：首先应将所求角75°，15°分解为某些特殊角的和或差.
解：sin75°＝sin（45°＋30°）
＝sin45°cos 30°＋cos 45°sin30°
＝·＋·＝
cos 75°＝cos（45°＋30°）＝cos 45°cos 30°－sin45°sin30°＝
tan75°＝＝＝2＋
sin15°＝sin（45°－30°)
＝sin45°cos 30°－cos 45°sin30°＝
或sin15°＝sin（60°－45°）
＝sin60°cos 45°－cos 60°sin45°＝
或sin15°＝sin（90°－75°）＝cos 75°＝
cos 15°＝cos （45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin45°sin30°＝
或cos 15°＝cos （60°－45°）＝
或cos 15°＝cos（90°－75°）＝sin75°＝
tan15°＝＝＝2－
［例2］已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝－，β∈（π，），求sin（α－β），cos（α＋β），tan（α＋β）.
分析：观察此题已知条件和公式C（α＋β），S（α－β），要想求sin（α－β），cos （α＋β），应先求出cosα，sinβ.
解：由sinα＝且α∈（，π)
得：cos α＝－＝－ eq \r(1－（）2) ＝－；
又由cosβ＝－且β∈（π，）
得：sinβ＝－＝－ eq \r(1－（－）2) ＝－.
∴sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝×（－）－（－）（－）＝
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝（－）（－）－×（－）＝
由公式S（α＋β）可得
sin（α＋β）＝
∴tan（α＋β）＝
＝＝
Ⅲ.课堂练习
1.求证：＝
证明：右＝
＝＝＝左.
∴原式得证.
2.在△ABC中，sinA＝ (0°＜A＜45°)，cos B＝ (45°＜B＜90°)，求sinC与cos C的值.
解：∵在△ABC中，∴A＋B＋C＝180°
即C＝180°－（A＋B）
又∵sinA＝且0°＜A＜45° ∴cos A＝
∵cos B＝且45°＜B＜90° ∴sinB＝
∴sinC＝sin［180°－（A＋B）］
＝sin（A＋B）＝sinAcos B＋cos AsinB
＝×＋×＝
cos C＝cos ［180°－（A＋B）］
＝－cos （A＋B）＝sinAsinB－cos Acos B＝
对于练习1这种类型的习题，首先要仔细观察题目的结构，回忆有关公式，认真分析，一般遵循由繁到简的原则.
对于练习2这种类型的习题，要仔细观察已知角与所求角的关系.做好准备工作，然后着手求解.
Ⅳ.课时小结
在前面推导出的C（α＋β）与cos（－α）＝sinα的基础上又推导出两公式，即：
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ (S（α＋β））
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））
同学们要注意它们之间的区别与联系，从而熟练掌握，以便灵活应用其解决一些相关的问题.
Ⅴ.课后作业
课本P100习题 1，2，3.
- 3 -2．1． 向 量
一、课题：向量
二、教学目标：1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；
2．能正确地表示向量，初步学会求向量的模长；
3．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。
三、教学重、难点：1．向量、相等向量、共线向量的概念；
2．向量的几何表示。
四、教学过程：
（一）问题引入：
老鼠由向西北方向逃窜，如果猫由向正东方向追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？
（二）新课讲解：
1．向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。
2．向量的表示方法：（1）用有向线段表示；
（2）用字母表示：
说明：（1）具有方向的线段叫有向线段。有向线段的三要素：起点、方向和长度；
（2）向量的长度（或称模）：线段的长度叫向量的长度，记作．
3．单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义：
（1）单位向量：长度为1的向量叫单位向量，即；
（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作；
（3）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作：；
（4）相等向量：长度相等，方向相同的向量叫相等向量。即：；
（5）共线向量：平行向量都可移到同一直线上。平行向量也叫共线向量。
说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作；
（2）零向量与零向量相等，记作；
（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。
4．例题分析：
例1 如图1，设是正六边形的中心，分别
写出图中与向量，，相等的向量。
解：；；
．
例2 如图2，梯形中，，分别是腰、
的三等分点，且，，求．
解：分别取，的中点分别记为，，
由梯形的中位线定理知：
∴ ∴．
例3 在直角坐标系中，已知，与轴正方向所成的角为，与轴正方向所成的角为，试作出．
解：
五、课堂练习：
六、课堂小结：1．正确理解向量的概念，并会用数学符号和有向线段表示向量；
2．明确向量的长度（模）、零向量、单位向量、平行向量、共线向量和相等
向量的意义。
七、作业：．
（图2）
（图1）
（起点）
（终点）
PAGE
- 2 -第21课时 对 数（一）
教学目标：
使学生理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化。
教学重点：
对数的概念
教学难点：
对数概念的理解
教学过程：
Ⅰ.复习引入
引例：假设1995年我国的国民生产总值为 a亿元，如每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是1995年的2倍？
设：经过x年国民生产总值是1995年的2倍
则有 a（1＋8%）x＝2a 1.08x＝2
用计算器或计算机作出函数图像，计算出x值
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式 ab＝N中，已知a 和N求b的问题。（这里 a＞0且a≠1）
活动设计：学生分析讨论，列出方程，无法求解，引起冲突，教师引导、整理，导入新课
Ⅱ.讲授新课
1．定义：
一般地，如果 a（a＞0且a≠1）的b次幂等于N, 就是 ab＝N，那么数 b叫做 a为底 N的对数，记作 log a N＝b，a叫做对数的底数，N叫做真数。
ab＝N log a N＝b
例如：42＝16 log416＝2 102＝100 log10100＝2
4＝2 log42＝ 10－2＝0.01 log100.01＝－2
探究：
⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）
⑵log a 1＝0，log a a＝1
∵对任意 a＞0且a≠1， 都有 a0＝1 ∴log a 1＝0
同样易知： log a a＝1
⑶对数恒等式
如果把 ab＝N 中的 b写成 log a N, 则有 a＝N
⑷常用对数
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N的常用对数log 10 N简记作lg N
例如：log 105简记作lg 5 log103.5简记作lg3.5.
⑸自然对数
在科学技术中常常使用以无理数e＝2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数log e N简记作ln N。
例如：loge3简记作ln3 loge10简记作ln10
2．对数式与指数式的互换
例1：将下列指数式写成对数式：
（1）54＝625 （2）2-6＝ （3）3a＝27 (4) （）m＝5.73
解：（1）log5625＝4； （2）log2 ＝－6；
（3）log327＝a； （4）log5.73＝m
例2：将下列对数式写成指数式：
（1）log16＝－4； （2）log2128＝－7；
（3）lg0.01＝－2； （4）ln10＝2.303
解：（1）（）－4＝16 （2）27＝128；
（3）10－2＝0.01； （4）e2.303＝10
活动设计：教师示范小题（1），其余学生完成，目的在于熟悉对数的定义
Ⅲ.课堂练习 课本第58页 练习1. 2. 3. 4
例3．计算： log927，，，
解法一：设 x＝log927 则 9x ＝27 32x ＝33, ∴x＝
设 x＝ 则（）x＝81, 3＝34, ∴x＝16
令 x＝＝,
∴（2＋）x＝（2＋）－1, ∴x＝－1
令 x＝, ∴（）x＝625, 5＝54, ∴x＝3
解法二：
log927＝log933＝3；
=
Ⅳ. 课时小结
⑴定义 ⑵互换 ⑶求值
大家要在理解对数概念的基础上，掌握对数式与指数式的互化，会计算一些特殊对数值。
Ⅵ.课后作业
课本第90页 习题2.7 1，2
理解对数概念.
2.能够进行对数式与指数式的互化.
3.培养学生应用数学的意识.
(三)德育渗透目标
1.认识事物之间的相互联系与相互转化.
2.用联系的观点看问题.
3.了解对数在生产、生活实际中的应用.
●教学重点
对数的定义.
●教学难点
对数概念的理解.
●教学方法
启发式
启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.
引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于对数定义的理解，为下一节学习对数的运算性质打好基础.
●教具准备
幻灯片三张
第一张：复习举例(记作§2.7.1 A)
第二张：导入举例(记作§2.7.1 B)
第三张：本节例题(记作§2.7.1 C)
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一单元，我们一起学习了指数与指数函数的有关知识，也就明确了如下问题：
(打出幻灯片§2.7.1 A)
由32＝９可得到
(1)9是3的平方
（2）3是9的平方根
［师］其中(1)式中9、3、2依次叫什么名称
［生］(1)式中，9叫幂值，3叫幂的底数，2叫幂的指数.
［师］(2)式中的9、3、2依次叫什么名称
［生］(2)式中，9叫被开方数，3叫根式值，2叫根指数.
［师］从上述过程不难看出，9与3、2有一定关系，即9=32,3与2、9之间也有一定的关系，即3=,其中根指数为2时省略不写.那么，我们自然提出一个问题：2与3、9之间是何关系，2能否用3、9表示呢 这就将牵涉到我们这一节将学习的对数问题.
Ⅱ.讲授新课
［师］我们来看下面的问题.(打出幻灯片§2.7.2 B)
(说明：由于对数概念是本节重点，所以在导入新课上有所侧重)
假设1995年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，
那么经过多少年国民生产总值是1995年时的2倍
假设经过x年国民生产总值为1995年时的2倍，根据题意有：
a(1+8%)x=2a
即1.08x=2
［师］上述问题是已知底数和幂的值，求指数的问题，也就是我们这节将要学习的对数问题.
1.对数的定义
一般地，当a＞0且a≠1时
若ab=N,则b叫以a为底N的对数.
记作：logaN=b
其中a叫对数的底数，N叫真数.
［师］从上述定义我们应明确对数的底数a＞0且a≠1，N＞0，真数N＞0，也就是说，负数和零没有对数.
2.常用对数
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数log10N简记
作lgN.
例如：log105简记作lg5
log103.5简记作lg3.5.
3.自然对数
［师］在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简记作lnN.
例如：loge3简记作ln3
loge10简记作ln10
［师］由对数的定义，可以看出指数与对数的密切关系.接下来，我们就学习指数式与对数式的互化.
4.例题讲解
［例1］将下列指数式写成对数式
(1)54=625
(2)2-6=
(3)3a=27
(4)()m=5.73
解：(1)log5625=4
(2)log2=－6
(3)log327=a
(4)5.73=m
［例2］将下列对数式写成指数式
(1)16=－4
(2)log2128=7
(3)lg0.01=－2
(4)ln10=2.303
解：(1)()－4=16
(2)27=128
(3)10-2=0.01
(4)e2.303=10
评述：例1、例2目的在于让学生熟悉对数的定义.
［师］为使大家进一步熟悉对数式与指数式的互化，我们来做课堂练习.
Ⅲ.课堂练习
课本P77练习
1.把下列指数式写成对数式
(1)23＝8
（2）25＝32
（3）2-1＝
(4)
解：(1)log28＝3
(2)log232＝5
(3)log2＝－1
(4)log27＝－
2.把下列对数式写成指数式
(1)log39＝2
（2）log5125＝3
（3）log2＝－2
（4）log3＝－4
解：(1)32＝9
(2)53＝125
(3)2-2＝
(4)3－4＝
3.求下列各式的值
(1)log525
（2）log2
（3）lg100
（4）lg0.01
（5）lg10000
（6）lg0.0001
解：(1)log525＝log552＝2
(2)log2＝－4
(3)∵102＝100 ∴lg100＝2
(4)∵10-2＝0.01 ∴lg0.01＝－2
(5)∵104＝10000 ∴lg10000＝4
(6)∵10-4＝0.0001 ∴lg0.0001＝－4
4.求下列各式的值
(1)log1515
（2）log0.41
（3）log981
（4）log2.56.25
（5）log7343
（6）log3243
解：(1)∵151＝15 ∴log1515＝1
(2)∵0.40＝1 ∴log0.41＝0
(3)∵92＝81 ∴log981＝2
(4)∵2.52＝6.25 ∴log2.56.25＝2
(5)∵73＝343 ∴log7343＝3
(6)∵35＝243 ∴log3243＝5
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家要能在理解对数概念的基础上，掌握对数式与指数式的互化.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P80习题2.7
1.把下列各题的指数式写成对数式
(1)4x＝16
（2）3x＝1
（3）4x＝2
（4）2x＝0.5
（5）3x＝81
（6）10x＝25
（7）5x＝6
（8）4x＝
解：(1)x＝log416
(2)x＝log31
(3)x＝log42
(4)x＝log20.5
(5)x＝log381
(6)x＝lg25
(7)x＝log56
(8)x＝log4
2.把下列各题的对数式写成指数式
(1)x＝log527
(2)x＝log87
(3)x＝log43
(4)x＝log7
(5)x＝lg5
(6)x＝lg0.3
解：(1)5x＝27
(2)8x＝7
(3)4x＝3
(4)7x＝
(5)10x＝5
(6)10x＝0.3
（二）1.预习内容：P78～P79
2.预习提纲：
(1)对数的运算性质有哪些
(2)如何证明对数的运算性质 第五课时 两角和与差的余弦、正弦、正切(二)
教学目标：
熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，理解公式：asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋)(其中cos＝ eq \f(a,) ，sin＝ eq \f(b,) ，θ为任意角)，灵活应用上述公式解决相关问题；培养学生的创新意识，提高学生的思维素质.
教学重点：
利用两角和与差的正、余弦公式将asinθ＋bcosθ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式.
教学难点：
使学生理解并掌握将asinθ＋bcosθ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式，并能灵活应用其解决一些问题.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
同学们，观察这些关系式，不难看出这是我们前面所推导出的两角和与差的正余弦公式的倒写形式.有时，直接利用这种形式可使问题简化，这节课，我们就来探讨一下它的运用.
Ⅱ.讲授新课
［例1］求证cosα＋sinα＝2sin(＋α)
证明：右边＝2sin(＋α)＝2(sincosα＋cossinα)
＝2(cosα＋sinα)＝左边
由于同学们对两角和的正弦公式比较熟悉，所以要证此式容易想到从右边往左边推证，只要将右边按照两角和的正弦公式展开，化简便可推出左边.
也可这样考虑：
左边＝cosα＋sinα＝2(cosα＋sinα)
＝2(sincosα＋cossinα)＝2sin(＋α)＝右边
(其中令＝sin，＝cos)
［例2］求证cosα＋sinα＝2cos(－α)
分析：要证此式，可从右边按照两角差的余弦公式展开，化简整理可证此式.
若从左边推证，则要仔细分析，构造形式
即：左＝cosα＋sinα＝2(cosα＋sinα)＝2(coscosα＋sinsinα)＝2cos(－α)
(其中令＝cos，＝sin)
综合上两例可看出对于左式cosα＋sinα可化为两种形式2sin(＋α)或2cos(－α)，右边的两种形式均为一个角的三角函数形式.那么，对于asinα＋bcosα的式子是否都可化为一个角的三角函数形式呢
推导公式：
asinα＋bcosα＝ ( eq \f(a,) sinα＋ eq \f(b,) cosα)
由于( eq \f(a,) )2＋( eq \f(b,) )2＝1，sin2θ＋cos2θ＝1
(1)若令 eq \f(a,) ＝sinθ，则 eq \f(b,) ＝cosθ
∴asinα＋bcosα＝ (sinθsinα＋cosθcosα)＝cos(θ－α)
或原式＝cos(α－θ)
(2)若令 eq \f(a,) ＝cos，则 eq \f(b,) ＝sin
∴asinα＋bcosα＝ (sinαcos＋cosαsin)＝sin(α＋)
例如：2sinθ＋cosθ＝ (sinθ＋cosθ)
若令cos＝，则sin＝
∴2sinθ＋cosθ＝(sinθcos＋cosθsin)＝sin(θ＋)
若令＝sinβ，则＝cosβ
∴2sinθ＋cosθ＝(cosθcosβ＋sinθsinβ)
＝cos(θ－β)或原式＝cos(β－θ)
看来，asinθ＋bcosθ均可化为某一个角的三角函数形式，且有两种形式.
Ⅲ.课堂练习
1.求证：
(1) sinα＋cosα＝sin(α＋) (2)cosθ＋sinθ＝sin(θ＋)
(3) (sinx＋cosx)＝2cos(x－)
证明：(1) sinα＋cosα＝sin(α＋)
证法一：左边＝sinαcos＋cosαsin＝sin(α＋)＝右边
证法二：右边＝sinαcos＋cosαsin＝sinα＋cosα＝左边
(2)cosθ＋sinθ＝sin(θ＋)
证法一：左边＝(cosθ＋sinθ)＝(sincosθ＋cossinθ)
＝sin(θ＋)＝右边
证法二：右边＝(sinθcos＋cosθsin)
＝(sinθ＋cosθ)＝cosθ＋sinθ＝左边
(3) (sinx+cosx)＝2cos(x－)
证法一：左边＝(sinx＋cosx)＝2(sinx＋cosx)
＝2(cosxcos＋sinxsin)＝2cos(x－)＝右边
证法二：右边＝2cos(x－)＝2(cosxcos＋sinxsin)
＝2(cosx＋sinx)＝(cosx＋sinx)＝左边
2.利用和(差)角公式化简：
(1) sinx＋cosx (2)3sinx－3cosx
(3) sinx－cosx (4) sin(－x)＋cos(－x)
解：(1) sinx＋cosx＝sinxcos＋cosxsin＝sin(x＋)
或：原式＝sinxsin＋cosxcos＝cos(x－)
(2)3sinx－3cosx＝6(sinx－cosx)
＝6(sinxcos－cosxsin)＝6sin(x－)
或：原式＝6(sinsinx－cos·cosx)＝－6cos(x＋)
(3) sinx－cosx＝2(sinx－cosx)
＝2sin(x－)＝－2cos(x＋)
(4) sin(－x)＋cos(－x)
＝［sin(－x)＋cos(－x)］
＝［sinsin(－x)＋coscos(－x)］
＝cos［－(－x)］＝cos(x－)
或：原式＝［sin(－x)cos＋cos(－x)sin］
＝sin［(－x)＋］＝sin(－x)
Ⅳ.课时小结
通过本节的学习，要在熟练掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的基础上，推导并理解公式：asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋)(其中cos＝ eq \f(a,) ，sin＝ eq \f(b,) )
mcosα＋nsinα＝cos(α－β)(其中cosβ＝ eq \f(m,) ，sinβ＝ eq \f(n,) )
进而灵活应用上述公式对三角函数式进行变形，解决一些问题.
Ⅴ.课后作业
课本P96 4，6；P101 4，5.
两角和与差的余弦、正弦、正切(一)
1．若0＜α＜β＜，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，则 ( )
A.ab＜1 B.a＞b C.a＜b D.ab＞2
2．已知α、β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，求β的值.
3．已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值.
4．若A＋B＝，求（1＋tanA)(1＋tanB)的值.
5．化简 eq \f(－tan180,1＋tan180)
6．化简（tan10°－)
7．求证：＝tan(x－)
8．已知tanA与tan(－A＋)是x2＋px＋q＝0的解，若3tanA＝2tan(－A)，求p和q的值.
两角和与差的余弦、正弦、正切(一)答案
1．C
2．已知α、β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，求β的值.
分析：注意观察α、α＋β及β间的关系，先求角β的一个三角函数值，再根据β为锐角求出β.
解：∵α为锐角，且cosα＝，∴sinα＝＝.
又∵α、β均为锐角，∴0＜α＋β＜π，且cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝＝.
则cosβ＝cos［(α＋β)－α］＝cos（α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝(－)×＋×＝ ∴β＝.
评述：（1）在和（差）角公式的运用中,要注意和、差的相对关系，如（α＋β)－α＝β.
(2)求角的基本步骤：①求角的范围；②求角的一个三角函数值；③写出满足条件的角.
3．已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值.
分析：注意观察α－β、α＋β和2α间的关系，再选择适当的公式进行计算.
解：由题设知α－β为锐角，所以sin（α－β）＝，
又∵α＋β是第三象限角，∴cos(α＋β)＝－，
由2α＝(α＋β)＋(α－β)
得sin2α＝sin［(α－β)＋(α＋β)］
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝－
评述：在三角变换中，角的变换是常用技巧，本题是将角2α变换成（α＋β)＋(α－β)，使已知式中的角与待求式中的角联系起来.
4．若A＋B＝，求（1＋tanA)(1＋tanB)的值.
分析：注意待求式与正切和角公式间的联系，将正切和角公式变形解题.
解：（1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB.
又tan(A＋B)＝且A＋B＝
∴tan(A＋B)＝1 ∴tanA＋tanB＝1－tanAtanB
即tanA＋tanB＋tanAtanB＝1
∴(1＋tanA)(1＋tanB)＝2.
评述：在解题过程中要注意分析条件和结论中的关系式与有关公式间的联系，并将公式进行变形加以运用.
5．化简 eq \f(－tan180,1＋tan180)
分析：注意把所要化简的式子与正切的差角公式进行比较.
解： eq \f(－tan180,1＋tan180) ＝＝tan(60°－18°)＝tan42°
评述：在三角函数的化简与求值时，通常将常数写成角的一个三角函数，再根据有关公式进行变形.
6．化简（tan10°－)
分析：切、弦混合式在不能直接运用公式的情况下，考虑将切化弦.
解：原式＝（tan10°－tan60°) ＝(－)
＝·＝＝－2.
评述：（1）切化弦是三角函数化简的常用方法之一.
（2）把函数值化成tan60°在本题的化简中是必经之路.
7．求证：＝tan(x－)
证明：左边＝ eq \f(sin(x－),cos(x－)) ＝tan(x－)＝右边
或：右边＝tan(x－)＝ eq \f(sin(x－),cos(x－))
＝ eq \f(sinxcos－cosxsin,cosxcos＋sinxsin) ＝＝左边
8．已知tanA与tan(－A＋)是x2＋px＋q＝0的解，若3tanA＝2tan(－A)，求p和q的值.
分析：因为p和q是两个未知数，所以须根据题设条件列出关于p、q的方程组，解出p、q.
解:设t＝tanA，则tan(－A)＝＝
由3tanA＝2tan(－A) 得3t＝
解之得t＝或t＝－2.
当t＝时，tan(－A)＝＝，
P＝－［tanA＋tan(－A)］＝－，q＝tanAtan(－A)＝ ×＝.
当t＝－2时，tan(－A)＝ ＝－3，
P＝－［tanA＋tan(－A)］＝5，q＝tanAtan(－A)＝6
∴满足条件的p、q的值为：
评述：(1)“列方程求解未知数”是基本的数学思想方法.
(2)如果tanα、tanβ是某一元二次方程的根，则由韦达定理可与公式T(α+β)联系起来；若cosα、sinα是某一元二次方程的根，则由韦达定理与公式sin2α＋cos2α＝1联系起来.
- 8 -直线与方程预习提纲
1．斜率及斜率公式：
倾斜角：
倾斜角与斜率的关系：
2．直线方程的五种形式
点斜式：
斜截式：
两点式：
截距式：
一般式：
3．两直线平行与垂直
4．方程组的解与交点个数的关系
直线系方程：
5．两点间距离公式：
中点公式：
点到直线的距离公式：
直线与方程教案
例1：已知直线l1的倾斜角α1＝300，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率。
例2：一条直线经过点P1(－2，3)，倾斜角＝45°，求这条直线方程，并画出图形.
例3：三角形的顶点是A(－5，0)、B（3，－3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。
例4：已知直线m的倾斜角θ的余弦值等于 ，在y轴上的截距为－2，求直线方程。
例5：求过点P（－5，－4），且与y轴夹角为 的直线方程。
例6：一条直线经过点A（－2，2），并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求这直线的方程。
例7：求通过点P（2，3），并在两坐标轴上截距相等的直线方程。
例8：求斜率为k且被两坐标轴截得线段为定长m的直线方程。
例9：已知直线l在x轴上的截距比y轴上的截距大6，且过点（4，4），求其直线方程。
例10：已知直线经过点A(6,-4),斜率为－,求直线的点斜式和一般式方程.
例11：把直线l的方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.
例12：直线l过P（3，2）且与l′：x＋3y－9 = 0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，求直线l的方程。
例13：已知点P（6，4）和直线l1：y = 4x，求过P点的直线l，使它与直线l1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。
例14：若一直线l被直线l1：4x＋y＋6 = 0和l2：3x－5y－6 = 0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程。
例15：已知直线方程l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5＝0，证明l1∥l2
例16：求过点A（1，-4）且与直线平行的直线的方程.
例17：求与直线l1：Ax＋By＋C = 0平行的直线方程。
例18：求和直线2x＋6y－11=0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程。
例19：△ABC中，A(1，1),B(3，5),C(5，－1),直线l∥AC,且l平分△ABC的面积，求l 的方程。
例20：求过点A(2,1),且与直线垂直的直线的方程.
例21：已知三角形两顶点是A(－10,2),B(6,4),垂心是H（5，2），求第三个顶点C的坐标。
例22：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:
例23：已知两条直线l1：x＋my＋6=0，l2：（m－2）x＋3y＋2m=0，当m为何值时，l1与l2（1）相交（2）平行（3）重合
例24：已知两条直线l1：x＋m 2y＋6=0，l2：（m－2）x＋3my＋2m=0，问当m为何值时，
l1与l2 （1）平行（2）重合（3）相交
例25：求点P0（-1，2）到下列直线的距离：
（1）
例26：求平行线和的距离.
例27：已知l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，求l1与l2间的距离。
例28：求与直线3x－7y＋5 = 0的距离为2的直线方程。
例29：求两直线l1：x＋y－2 = 0，l2：7x－y＋4 = 0所成角的平分线方程。
例30：求过点P（1，2）且与两点A（2，3），B（4，－5）距离相等的直线l的方程。
例31：求过点P（1，1）且被两平行直线3x－4y－13 = 0与3x－4y＋7 = 0截得线段的长为4的直线方程。
例32：求经过两已知直线l1：x＋3y＋5 = 0和l2：x－2y＋7 = 0的交点及点A（2，1）的直线l的方程。
例33：设直线方程为（2m＋1）x＋（3m－2）y－18m＋5 = 0，求证：不论m为何值时，所给的直线经过一定点。
直线与方程教案
例1：已知直线l1的倾斜角α1＝300，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率。
解：l1的斜率k1＝tanα1＝tan300＝
∵l2的倾斜角α2＝900＋300＝1200，
∴l2的斜率k2＝tanα2＝tan1200＝－tan600＝－
例2：一条直线经过点P1(－2，3)，倾斜角＝45°，求这条直线方程，并画出图形.
解：这条直线经过点P1(－2，3)，斜率是 k＝tan450＝1.
代入点斜式方程，得y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0
这就是所求的直线方程，图形略
例3：三角形的顶点是A(－5，0)、B（3，－3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。
解：直线AB过A(－5，0)、B（3，－3）两点，由两点式得
＝
整理得：3x＋8y＋15＝0，即直线AB的方程.
直线BC过C(0，2)，斜率是k＝＝－,
由点斜式得: y－3＝－（x－0）
整理得: 5x＋3y－6＝0，即直线BC的方程.
直线AC过A(－5，0)，C(0，2)两点，由两点式得: ＝
整理得：2x－5y＋10＝0，即直线AC的方程.
例4：已知直线m的倾斜角θ的余弦值等于 ，在y轴上的截距为－2，求直线方程。
解：∵cosθ＝ ，0≤θ＜π
∴k ＝ tanθ＝，得y ＝ x－2
例5：求过点P（－5，－4），且与y轴夹角为 的直线方程。
x－y＋5－4= 0 或 x＋y＋5＋4= 0
例6：一条直线经过点A（－2，2），并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求这直线的方程。
解法一：设直线方程为 ＋= 1，则有： eq \b\lc\{(\a\al(+= 1, ︱ab︱= 1))
解得a = －1，b = －2 或 a = 2，b = 1
∴直线方程为 ＋= 1或 ＋= 1
解法二：令y－2 = k（x＋2）
从y = 0得x = －－2
从x = 0得y = 2k＋2
∴︱（＋2）（2k＋2）︱＝1
得k = －或k = －2
例7：求通过点P（2，3），并在两坐标轴上截距相等的直线方程。
解：设直线方程为 ＋= 1，则有：
＋= 1 得a = 5
∴直线方程为 ＋= 1
又：直线过原点 k = ∴y = x
例8：求斜率为k且被两坐标轴截得线段为定长m的直线方程。
解：设直线方程为y = kx＋b，则有：
b2＋= m2 即 b = ±
∴y = kx±
例9：已知直线l在x轴上的截距比y轴上的截距大6，且过点（4，4），求其直线方程。
解：设直线方程为y－4 = k（x－4），则：
（4－，0），（0，4－4k）
∴4－= 4－4k＋6 得k = 2或k = －
即y－4 = 2（x－4）或y－4 = －（x－4）
例10：已知直线经过点A(6,-4),斜率为－,求直线的点斜式和一般式方程.
解：经过点A(6，－4)并且斜率等于－的直线方程的点斜式是:
y＋4＝－（x－6）化成一般式，得4x＋3y－12＝0.
例11：把直线l的方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.
解：将原方程移项,得2y＝x＋6
两边除以2，得斜截式y＝x＋3
因此，直线l的斜率k＝，它在y轴上的截距是3，
在上面的方程中令y＝0，可得x＝－6，即直线l在x轴上的截距是－6.
由上述内容可得直线l与x轴、y轴的交点为A（－6，0）、B（0，3），过点A、B作直线，就得直线l.（如右图）.
例12：直线l过P（3，2）且与l′：x＋3y－9 = 0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，求直线l的方程。
解法一：求k
解法二：求l与x轴的交点坐标
例13：已知点P（6，4）和直线l1：y = 4x，求过P点的直线l，使它与直线l1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。
解：设l与l1的交点为Q（x1，4x1）（x1＞1），则直线l的方程为y－4 = (x－6)
∴ l与x轴的交点为R（，0）
S△＝
10x12－Sx1＋S = 0
由△≥0,得：S≥40
当S＝40时，x1＝2，此时：
x＋y－10 = 0
例14：若一直线l被直线l1：4x＋y＋6 = 0和l2：3x－5y－6 = 0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程。
解：设l：y = kx
由 得x = －
由 得x =
∴－＋= 0 k = －
得l：x＋6y = 0
例15：已知直线方程l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5＝0，证明l1∥l2
证明:把l1、l2的方程写成斜截式l1：y＝x＋，l2：y＝x＋
∥
例16：求过点A（1，-4）且与直线平行的直线的方程.
解:已知直线的斜率是－,因为所求直线与已知直线平行,因此它的斜率也是－.
根据点斜式,得到所求直线的方程是:
即.
例17：求与直线l1：Ax＋By＋C = 0平行的直线方程。
解:∵所求直线l的斜率k＝－
∴所求直线方程为：y = －x＋b
即：Ax＋By－Bb = 0
也就是Ax＋By＋b′= 0
例18：求和直线2x＋6y－11=0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程。
解: 设所求直线方程为 2x＋6y＋b=0
则有：（0，－）,（－,0）
∴S = = 6
b2 = 144 b = ±12
即：2x＋6y＋12=0或2x＋6y－12=0
例19：△ABC中，A(1，1),B(3，5),C(5，－1),直线l∥AC,且l平分△ABC的面积，求l 的方程。
解:∵kAC= = －
∴设l：y =－x＋b 且交AB于D
∵l平分△ABC的面积
∴= = = ＋1
∴D点坐标：x =,y =
则：= －＋b
得 b =
∴l：x＋2y－13＋5= 0
例20：求过点A(2,1),且与直线垂直的直线的方程.
解:直线的斜率是-2,因为直线与已知直线垂直,所以它的斜率为:
根据点斜式,得到的方程:即.
解法二: 设所求直线方程为 x－2y＋b = 0
则：2－2×1＋b = 0 得b = 0
∴l：
例21：已知三角形两顶点是A(－10,2),B(6,4),垂心是H（5，2），求第三个顶点C的坐标。
解:∵kBH = 2 ∴kAC = －
∴lAC：y－2 = －（x＋10）
又 BC∥y轴 ∴C（6，－6）
解法二:∵kAB = ∴kCH = －8 又H（5，2）
∴lCH：y－2 = －8（x－5）
又BC∥y轴 ∴C（6，－6）
例22：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:
解:解方程组
所以, l1与l2的交点是(2,2).
设经过原点的直线方程为,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得,所以所求直线方程为
例23：已知两条直线l1：x＋my＋6=0，l2：（m－2）x＋3y＋2m=0，当m为何值时，l1与l2（1）相交（2）平行（3）重合
解: 当= 时，= ，解得m = －1或m = 3
当= 时，= ，解得m = 3
∴（1）当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交
（2）当m =－1时，l1∥l2
（3）当m = 3时，l1与l2重合。
例24：已知两条直线l1：x＋m 2y＋6=0，l2：（m－2）x＋3my＋2m=0，问当m为何值时，
l1与l2 （1）平行（2）重合（3）相交
解: 当m = 0时，l1：x＋6 = 0，l2： x = 0，此时l1∥l2
当m≠0时，= 得m = 3或m = －1
= 得m = 3
∴（1）当m = 0或m = －1时，l1∥l2
（2）当m = 3时，l1与l2重合
（3）当m≠0，m≠－1且m≠3时，l1与l2相交。
例25：求点P0（-1，2）到下列直线的距离：
（1）
解：（1）根据点到直线的距离公式得
（2）因为直线平行于y轴，所以
例26：求平行线和的距离.
解:在直线上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线的距离就是两平行线间的距离.因此:
.
例27：已知l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，求l1与l2间的距离。
略解：（0，－）∈l1
d =︱A·0＋B×(－)＋C 2︱/=︱C 2－C 1︱/
例28：求与直线3x－7y＋5 = 0的距离为2的直线方程。
解：设P（x，y）是所求直线上一点，则：
= 2
︱3x－7y＋5︱= 2
∴ 3x－7y＋5±2= 0
例29：求两直线l1：x＋y－2 = 0，l2：7x－y＋4 = 0所成角的平分线方程。
解一：设P（x,y）是角平分线上任意一点，则：
= 得 5（x＋y－2）＝±（7x－y＋4）
即：x－3y＋7 = 0（舍）或 6x＋2y－3 = 0
解二：∵k1= －1，k2= 7
∴ ＝ 得 k = （舍）或 k = －3
例30：求过点P（1，2）且与两点A（2，3），B（4，－5）距离相等的直线l的方程。
解：∵l与x轴不垂直
∴可设l的方程为：y－2 = k (x－1) 即：kx－y＋2－k = 0
得：=
k = －或 k = －4
∴所求直线方程为：4x＋y－6 = 0 或 3x＋2y－7 = 0
例31：求过点P（1，1）且被两平行直线3x－4y－13 = 0与3x－4y＋7 = 0截得线段的长为4的直线方程。
解：∵两平行线间的距离为：= 4
∴所求直线与平行线的夹角为45 0，设其斜率为k，则：
︱ eq \f(k－,1＋k)︱= 1 解得k = －或 k = 7
所求直线方程为：y－1 = 7(x－1) 或 y－1 = －(x－1)
即：7x－y－6 = 0 或 x＋7y－8 = 0
例32：求经过两已知直线l1：x＋3y＋5 = 0和l2：x－2y＋7 = 0的交点及点A（2，1）的直线l的方程。
略解：x＋3y＋5＋λ(x－2y＋7) = 0
将A（2，1）代入得：λ＝－
∴l：3x－41y＋35 = 0
例33：设直线方程为（2m＋1）x＋（3m－2）y－18m＋5 = 0，求证：不论m为何值时，所给的直线经过一定点。
略证：方程化为x－2y＋5＋m（2x＋3y－18）= 0
∴ 得（3，4）
- 16 -第一章算法初步
一、课标要求：
1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句，通过阅读中国古代教学中的算法案例，体会中国古代数学世界数学发展的贡献。
2、算法就是解决问题的步骤，算法也是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的基础，利用计算机解决问需要算法，在日常生活中做任何事情也都有算法，当然我们更关心的是计算机的算法，计算机可以解决多类信息处理问题，但人们必须事先用计算机熟悉的语言，也就是计算能够理解的语言（即程序设计语言）来详细描述解决问题的步骤，即首先设计程序，对稍复杂一些的问题，直接写出解决该问题的程序是困难的，因此，我们要首先研究解决问题的算法，再把算法转化为程序，所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。
3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析（如二元一次方程组的求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。理解并掌握几种基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。进一步体会算法的基本思想。
4、本章的重点是体会算法的思想，了解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经过通过设计程序框图解决问题的过程。点是在具体问题的解决过程中，理解三种基本逻辑结构，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本的算法语句。
二、编写意图与特色：
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。
1、结合熟悉的算法，把握算法的基本思想，学会用自然语言来描述算法。
2、通过模仿、操作和探索，经历设计程序流程图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中理解程序流程图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
3、通过实际问题的学习，了解构造算法的基本程序。
4、经历将具体问题的程序流程图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，体会算法的基本思想。
5、需要注意的问题
1) 从熟知的问题出发，体会算法的程序化思想，而不是简单呈现一些算法。
2) 变量和赋值是算法学习的重点之一，因为设置恰当的变量，学习给变量赋值，是构造算法的关键，应作为学习的重点。
3) 不必刻意追求最优的算法，把握算法的基本结构和程序化思想才是我们的重点。
4) 本章所指的算法基本上是能在计算机上实现的算法。
三、教学内容及课时安排：
1.1算法与程序框图 (约2课时)
1.2基本算法语句 （约3课时）
1.3算法案例 （约5课时）
复习与小结 （约2课时）
四、评价建议
1．重视对学生数学学习过程的评价
关注学生在数学语言的学习过程中，是否对用集合语言描述数学和现实生活中的问题充满兴趣；在学习过程中，能否体会集合语言准确、简洁的特征；是否能积极、主动地发展自己运用数学语言进行交流的能力。
2．正确评价学生的数学基础知识和基本技能
关注学生在本章（节）及今后学习中，让学生集中学习算法的初步知识，主要包括算法的基本结构、基本语句、基本思想等。算法思想将贯穿高中数学课程的相关部分，在其他相关部分还将进一步学习算法
1．1．1算法的概念
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。（2）能够用自然语言叙述算法。（3）掌握正确的算法应满足的要求。（4）会写出解线性方程（组）的算法。（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。（6）会应用Scilab求解方程组。
2、过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。
二、重点与难点：
重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
难点：把自然语言转化为算法语言。
三、学法与教学用具：
学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。
2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。
3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
四、教学设想：
创设情境：
算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。因此，算法其实是重要的数学对象。
探索研究
算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。
例题分析：
例1 任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数 [1] 做出判定。
算法分析：根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：
第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。
第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。
这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。
例2 用二分法设计一个求议程x2–2=0的近似根的算法。
算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤：
第一步：令f(x)=x2–2。因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1=1，x2=2。
第二步：令m=(x1+x2)/2，判断f(m)是否为0，若则，则m为所长；若否，则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0。
第三步：若f(x1)·f(m)>0，则令x1=m；否则，令x2=m。
第四步：判断|x1–x2|<0.005是否成立？若是，则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步。
小结：算法具有以下特性：(1)有穷性；(2)确定性；(3)顺序性；(4)不惟一性；(5)普遍性
典例剖析：
1、基本概念题
x-2y=-1,①
例3 写出解二元一次方程组 的算法
2x+y=1②
解：第一步，②-①×2得5y=3；③
第二步，解③得y=3/5；
第三步，将y=3/5代入①，得x=1/5
学生做一做：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？
老师评一评：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下面写出求方程组的解的算法：
第一步：②×A1-①×A2，得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0；③
第二步：解③，得；
第三步：将代入①，得。
此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公司可得到倒2的另一个算法：
第一步：取A1=1，B1=-2，C1=1，A2=2，B2=1，C2=-1；
第二步：计算与
第三步：输出运算结果。
可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。
基础知识应用题
例4 写出一个求有限整数列中的最大值的算法。
解：算法如下。
S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”。
S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。
S3 如果序列中还有其他整数，重复S2。
S4 在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。
学生做一做 写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。
老师评一评 在例2中我们是用自然语言来描述算法的，下面我们用数学语言来描述本题的算法。
S1 max=a
S2 如果b>max, 则max=b.
S3 如果C>max, 则max=c.
S4 max就是a,b,c中的最大值。
综合应用题
例5 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。
分析：可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1+2+…+n=进行，也可以根据加法运算律简化运算过程。
解：算法1：
S1：计算1+2得到3；
S2：将第一步中的运算结果3与3相加得到6；
S3：将第二步中的运算结果6与4相加得到10；
S4：将第三步中的运算结果10与5相加得到15；
S5：将第四步中的运算结果15与6相加得到21。
算法2：
S1：取n=6；
S2：计算；
S3：输出运算结果。
算法3：
S1：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7；
S2：计算3×7；
S3：输出运算结果。
小结：算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+…+10000，再用这种方法是行不通的；算法2与算法3都是比较简单的算法，但比较而言，算法2最为简单，且易于在计算机上执行操作。
学生做一做 求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。
老师评一评 算法1；第一步，先求1×3，得到结果3；
第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15；
第三步，再将15乘以7，得到结果105；
第四步，再将105乘以9，得到945；
第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。
算法2：用P表示被乘数，i表示乘数。
S1 使P=1。
S2 使i=3
S3 使P=P×i
S4 使i=i+2
S5 若i≤11，则返回到S3继续执行；否则算法结束。
小结 由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句。因此，上述算法2不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法。在上面的算法中，S3，S4，S5构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量P、i的值都发生了变化，并且生循环一次之后都要在步骤S5对i的值进行检验，一旦发现i的值大于11时，立即停止循环，同时输出最后一个P的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍。
4、课堂小结
本节课主要讲了算法的概念，算法就是解决问题的步骤，平时列论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言。
例如，某同学要在下午到体育馆参加比赛，比赛下午2时开始，请写出该同学从家里发到比赛地的算法。
若用自然语言来描述可写为
（1）1:00从家出发到公共汽车站
（2）1:10上公共汽车
（3）1:40到达体育馆
（4）1:45做准备活动。
（5）2:00比赛开始。
若用数学语言来描述可写为：
S1 1:00从家出发到公共汽车站
S2 1:10上公共汽车
S3 1:40到达体育馆
S4 1:45做准备活动
S5 2:00比赛开始
大家从中要以看出，实际上两种写法无本质区别，但我们在书写时应尽量用教学语言来描述，它的优越性在以后的学习中我们会体会到。
5、自我评价
1、写出解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个算法。
2、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法（打印结果）
6、评价标准
1、解：算法如下
S1 计算△=b2-4ac
S2 如果△〈0，则方程无解；否则x1=
S3 输出计算结果x1，x2或无解信息。
2、解：算法如下：
S1 使i=1
S2 i被3除，得余数r
S3 如果r=0，则打印i，否则不打印
S4 使i=i+1
S5 若i≤1000,则返回到S2继续执行，否则算法结束。
7、作业：1、写出解不等式x2-2x-3<0的一个算法。
解：第一步：x2-2x-3=0的两根是x1=3，x2=-1。
第二步：由x2-2x-3<0可知不等式的解集为{x | -1评注：该题的解法具有一般性，下面给出形如ax2+bx+c>0的不等式的解的步骤（为方便，我们设a>0）如下：
第一步：计算△= ；
第二步：若△>0，示出方程两根（设x1>x2），则不等式解集为{x | x>x1或x第三步：若△= 0，则不等式解集为{x | x∈R且x}；
第四步：若△<0，则不等式的解集为R。
2、求过P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线斜率有如下的算法：
第一步：取x1= a1，y1= b1，x2= a2，y1= b2；
第二步：若x1= x2；
第三步：输出斜率不存在；
第四步：若x1≠x2；
第五步：计算；
第六步：输出结果。
3、写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。
解：算法：第一步：取x1=-2，y1=-1，x2=2，y2=3；
第二步：计算；
第三步：在第二步结果中令x=0得到y的值m，得直线与y轴交点(0,m)；
第四步：在第二步结果中令y=0得到x的值n，得直线与x轴交点(n,0)；
第五步：计算S=；
第六步：输出运算结果
1．1．2 程序框图(第二、三课时)
一、教学目标：
1、知识与技能：掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构；掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图。
2、过程与方法：通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵活、正确地画程序框图。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对程序框图有一个基本的了解；掌握算法语言的三种基本逻辑结构，明确程序框图的基本要求；认识到学习程序框图是我们学习计算机的一个基本步骤，也是我们学习计算机语言的必经之路。
二、重点与难点：重点是程序框图的基本概念、基本图形符号和3种基本逻辑结构，难点是能综合运用这些知识正确地画出程序框图。
三、学法与教学用具：
1、通过上节学习我们知道，算法就是解决问题的步骤，在我们利用计算机解决问题的时候，首先我们要设计计算机程序，在设计计算机程序时我们首先要画出程序运行的流程图，使整个程序的执行过程直观化，使抽象的问题就得十分清晰和具体。有了这个流程图，再去设计程序就有了依据，从而就可以把整个程序用机器语言表述出来，因此程序框图是我们设计程序的基本和开端。
2、我们在学习这部分内容时，首先要弄清各种图形符号的意义，明确每个图形符号的使用环境，图形符号间的联结方式。例如“起止框”只能出现在整个流程图的首尾，它表示程序的开始或结束，其他图形符号也是如此，它们都有各自的使用环境和作用，这是我们在学习这部分知识时必须要注意的一个方面。另外，在我们描述算法或画程序框图时，必须遵循一定的逻辑结构，事实证明，无论如何复杂的问题，我们在设计它们的算法时，只需用顺序结构、条件结构和循环结构这三种基本逻辑就可以了，因此我们必须掌握并正确地运用这三种基本逻辑结构。
3、教学用具：电脑，计算器，图形计算器
四、教学设想：
1、创设情境：
算法可以用自然语言来描述，但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观，我们更经常地用图形方式来表示它。
基本概念：
（1）起止框图： 起止框是任何流程图都不可缺少的，它表明程序的开始和结束，所以一个完整的流程图的首末两端必须是起止框。
（2）输入、输出框： 表示数据的输入或结果的输出，它可用在算法中的任何需要输入、输出的位置。图1-1中有三个输入、输出框。第一个出现在开始后的第一步，它的作用是输入未知数的系数a11,a12,a21,a22和常数项b1,b2,通过这一步，就可以把给定的数值写在输入框内，它实际上是把未知数的系数和常数项的值通知给了计算机，另外两个是输出框，它们分别位于由判断分出的两个分支中，它们表示最后给出的运算结果，左边分支中的输出分框负责输出D≠0时未知数x1,x2的值，右边分支中的输出框负责输出D=0时的结果，即输出无法求解信息。
（3）处理框： 它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号。图1-1中出现了两个处理框。第一个处理框的作用是计算D=a11a22-a21a12的值，第二个处理框的作用是计算x1=(b1a22-b2a12)/D,x2=(b2a11-b1a21)/D的值。
（4）判断框： 判断框一般有一个入口和两个出口，有时也有多个出口，它是惟一的具有两个或两个以上出口的符号，在只有两个出口的情形中，通常都分成“是”与“否”（也可用“Y”与“N”）两个分支，在图1-1中，通过判断框对D的值进行判断，若判断框中的式子是D=0，则说明D=0时由标有“是”的分支处理数据；若D≠0，则由标有“否”的分支处理数据。例如，我们要打印x的绝对值，可以设计如下框图。
开始
输入x
是 x≥0？ 否
打印x -打印x
结束
从图中可以看到由判断框分出两个分支，构成一个选择性结构，其中选择的标准是“x≥0”，若符合这个条件，则按照“是”分支继续往下执行；若不符合这个条件，则按照“否”分支继续往下执行，这样的话，打印出的结果总是x 的绝对值。
在学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：
（1）使用标准的图形符号。
（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
（3）除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的惟一符号。
（4）判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。
（5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
2、典例剖析：
例1：已知x=4,y=2,画出计算w=3x+4y的值的程序框图。
解：程序框如下图所示：
开始
输入4，2 4和2分别是x和y的值
w=3×4+4×2
输出w
结束
小结：此图的输入框旁边加了一个注释框 ，它的作用是对框中的数据或内容进行说明，它可以出现在任何位置。
基础知识应用题
1）顺序结构：顺序结构描述的是是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。
例2：已知一个三角形的三边分别为2、3、4，利用海伦公式设计一个算法，求出它的面积，并画出算法的程序框图。
算法分析：这是一个简单的问题，只需先算出p的值，再将它代入公式，最后输出结果，只用顺序结构就能够表达出算法。
程序框图：
2）条件结构：一些简单的算法可以用顺序结构来表示，但是这种结构无法对描述对象进行逻辑判断，并根据判断结果进行不同的处理。因此，需要有另一种逻辑结构来处理这类问题，这种结构叫做条件结构。它是根据指定打件选择执行不同指令的控制结构。
例3：任意给定3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，画出这个算法的程序框图。
算法分析：判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，只需要验收这3个数当中任意两个数的和是否大于第3个数，这就需要用到条件结构。
程序框图：
a+b>c , a+c>b, b+c>a是 否
否同时成立？
是
3）循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。
循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：
（1）一类是当型循环结构，如图1-5（1）所示，它的功能是当给定的条件P1成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P1 是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P1 不成立为止，此时不再执行A框，从b离开循环结构。
（2）另一类是直到型循环结构，如下图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P2是否成立，如果P2 仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P2成立为止，此时不再执行A框，从b点离开循环结构。
A A
P1？
P2？ 不成立
不成立
成立
b b
当型循环结构 直到型循环结构
（1） （2）
例4：设计一个计算1+2+…+100的值的算法，并画出程序框图。
算法分析：只需要一个累加变量和一个计数变量，将累加变量的初始值为0，计数变量的值可以从1到100。
程序框图：
i≤100？
否 是
3、课堂小结：
本节课主要讲述了程序框图的基本知识，包括常用的图形符号、算法的基本逻辑结构，算法的基本逻辑结构有三种，即顺序结构、条件结构和循环结构。其中顺序结构是最简单的结构，也是最基本的结构，循环结构必然包含条件结构，所以这三种基本逻辑结构是相互支撑的，它们共同构成了算法的基本结构，无论怎样复杂的逻辑结构，都可以通过这三种结构来表达
4、自我评价：
1）设x为为一个正整数，规定如下运算：若x为奇数，则求3x+2；若x为偶数，则为5x，写出算法，并画出程序框图。
2）画出求21+22+23+…2100的值的程序框图。
5、评价标准：
1．解：算法如下。
S1 输入x
S2 若x为奇数，则输出A=3x+2；否则输出A=5x
S3 算法结束。
程序框图如下图：
i≤30 是
否
解：序框图如下图:
i≥100 否
是
6、作业：课本P11习题1.1 A组2、3
1.2.1输入、输出语句和赋值语句（第一课时）
教学目标：
知识与技能
（1）正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的结构。
（2）会写一些简单的程序。
（3）掌握赋值语句中的“=”的作用。
过程与方法
（1）让学生充分地感知、体验应用计算机解决数学问题的方法；并能初步操作、模仿。
（2）通过对现实生活情境的探究，尝试设计出解决问题的程序，理解逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观
通过本节内容的学习，使我们认识到计算机与人们生活密切相关，增强计算机应用意识，提高学生学习新知识的兴趣。
重点与难点
重点：正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的作用。
难点：准确写出输入语句、输出语句、赋值语句。
学法与教学用具
计算机、图形计算器
教学设想
【创设情境】
在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具，如：听MP3，看电影，玩游戏，打字排版，画卡通画，处理数据等等，那么，计算机是怎样工作的呢？
计算机完成任何一项任务都需要算法，但是，我们用自然语言或程序框图描述的算法，计算机是无法“看得懂，听得见”的。因此还需要将算法用计算机能够理解的程序设计语言（programming language）翻译成计算机程序。
程序设计语言有很多种。如BASIC，Foxbase，C语言，C++，J++，VB等。为了实现算法中的三种基本的逻辑结构：顺序结构、条件结构和循环结构，各种程序设计语言中都包含下列基本的算法语句：
这就是这一节所要研究的主要内容——基本算法语句。今天，我们先一起来学习输入、输出语句和赋值语句。（板出课题）
【探究新知】
我们知道，顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构。输入、输出语句和赋值语句基本上对应于算法中的顺序结构。（如右图）计算机从上而下按照语句排列的顺序执行这些语句。
输入语句和输出语句分别用来实现算法的输入信息，输出结果的功能。如下面的例子：
用描点法作函数的图象时，需要求出自变量与函数的一组对应值。编写程序，分别计算当时的函数值。
程序：(教师可在课前准备好该程序，教学中直接调用运行)
（学生先不必深究该程序如何得来，只要求懂得上机操作，模仿编写程序，通过运行自己编写的程序发现问题所在，进一步提高学生的模仿能力。）
〖提问〗：在这个程序中，你们觉得哪些是输入语句、输出语句和赋值语句呢？（同学们互相交流、议论、猜想、概括出结论。提示：“input”和“print”的中文意思等）
（一）输入语句
在该程序中的第1行中的INPUT语句就是输入语句。这个语句的一般格式是：
其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。如每次运行上述程序时，依次输入-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”,并按“x”新获得的值执行下面的语句。
INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：
例如，输入一个学生数学，语文，英语三门课的成绩，可以写成：
INPUT “数学，语文，英语”；a，b，c
注：①“提示内容”与变量之间必须用分号“；”隔开。
②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“，”隔开。但最后的变量的后面不需要。
（二）输出语句
在该程序中，第3行和第4行中的PRINT语句是输出语句。它的一般格式是：
同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”。例如下面的语句可以输出斐波那契数列：
此时屏幕上显示：
The Fibonacci Progression is：1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …
输出语句的用途：
（1）输出常量，变量的值和系统信息。（2）输出数值计算的结果。
〖思考〗：在1.1.2中程序框图中的输入框，输出框的内容怎样用输入语句、输出语句来表达？（学生讨论、交流想法，然后请学生作答）
参考答案：
输入框：INPUT “请输入需判断的整数n=”；n
输出框：PRINT n；“是质数。”
PRINT n；“不是质数。”
（三）赋值语句
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。
除了输入语句，在该程序中第2行的赋值语句也可以给变量提供初值。它的一般格式是：
赋值语句中的“=”叫做赋值号。
赋值语句的作用：先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值。
注：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。
②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。
③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）
④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。
〖思考〗：在1.1.2中程序框图中的输入框，哪些语句可以用赋值语句表达？并写出相应的赋值语句。（学生思考讨论、交流想法。）
【例题精析】
〖例1〗：编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。
分析：先写出算法，画出程序框图，再进行编程。
算法： 程序：
〖例2〗：给一个变量重复赋值。
程序：
[变式引申]：在此程序的基础上，设计一个程序，要求最后A的输出值是30。
（该变式的设计意图是学生加深对重复赋值的理解）
程序：
〖例3〗：交换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值。
分析：引入一个中间变量X,将A的值赋予X,又将B的值赋予A，再将X的值赋予B，从而达到交换A，B的值。（比如交换装满水的两个水桶里的水需要再找一个空桶）
程序：
〖补例〗：编写一个程序，要求输入一个圆的半径，便能输出该圆的周长和面积。（ 取3.14）
分析：设圆的半径为R，则圆的周长为，面积为，可以利用顺序结构中的INPUT语句，PRINT语句和赋值语句设计程序。
程序：
【课堂精练】
P15 练习 1. 2. 3
参考答案：
1.程序: INPUT “请输入华氏温度：”；x
y=(x-32)*5/9
PRINT “华氏温度：”；x
PRINT “摄氏温度：”；y
END
〖提问〗：如果要求输入一个摄氏温度，输出其相应的华氏温度，又该如何设计程序？（学生课后思考，讨论完成）
2. 程序： INPUT “请输入a（a0）=”；a
INPUT “请输入b（b0）=”；b
X=a+b
Y=a-b
Z=a*b
Q=a/b
PRINT a,b
PRINT X,Y,Z,Q
END
3. 程序： p=(2+3+4)/2
t=p*(p-2)*(p-3)*(p-4)
s=SQR(t)
PRINT “该三角形的面积为：”；s
END
注：SQR（）是函数名，用来求某个数的平方根。
【课堂小结】
本节课介绍了输入语句、输出语句和赋值语句的结构特点及联系。掌握并应用输入语句，输出语句，赋值语句编写一些简单的程序解决数学问题，特别是掌握赋值语句中“=”的作用及应用。编程一般的步骤：先写出算法，再进行编程。我们要养成良好的习惯，也有助于数学逻辑思维的形成。
【评价设计】
1．P23 习题1.2 A组 1（2）、2
2．试对生活中某个简单问题或是常见数学问题，利用所学基本算法语句等知识来解决自己所提出的问题。要求写出算法，画程序框图，并写出程序设计。
1.2.2-1.2.3条件语句和循环语句（第二、三课时）
教学目标：
知识与技能
（1）正确理解条件语句和循环语句的概念，并掌握其结构的区别与联系。
（2）会应用条件语句和循环语句编写程序。
过程与方法
经历对现实生活情境的探究，认识到应用计算机解决数学问题方便简捷，促进发展学生逻辑思维能力
情感态度与价值观
了解条件语句在程序中起判断转折作用，在解决实际问题中起决定作用。深刻体会到循环语句在解决大量重复问题中起重要作用。减少大量繁琐的计算。通过本小节内容的学习，有益于我们养成严谨的数学思维以及正确处理问题的能力。
重点与难点
重点：条件语句和循环语句的步骤、结构及功能。
难点：会编写程序中的条件语句和循环语句。
学法与教学用具
计算机、图形计算器
教学设想
【创设情境】
试求自然数1+2+3+……+99+100的和。
显然大家都能准确地口算出它的答案：5050。而能不能将这项计算工作交给计算机来完成呢？而要编程，以我们前面所学的输入、输出语句和赋值语句还不能满足“我们日益增长的物质需要”，因此，还需要进一步学习基本算法语句中的另外两种：条件语句和循环语句（板出课题）
【探究新知】
（一）条件语句
算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句。它的一般格式是：（IF-THEN-ELSE格式）
当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句1，否则执行ELSE后的语句2。其对应的程序框图为：（如上右图）
在某些情况下，也可以只使用IF-THEN语句：（即IF-THEN格式）
计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。其对应的程序框图为：（如上右图）
条件语句的作用：在程序执行过程中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理。
【例题精析】
〖例1〗：编写程序，输入一元二次方程的系数，输出它的实数根。
分析：先把解决问题的思路用程序框图表示出来，然后再根据程序框图给出的算法步骤，逐步把算法用对应的程序语句表达出来。
算法分析：我们知道，若判别式，原方程有两个不相等的实数根、；若，原方程有两个相等的实数根； 若，原方程没有实数根。也就是说，在求解方程之前，需要首先判断判别式的符号。因此，这个过程可以用算法中的条件结构来实现。
又因为方程的两个根有相同的部分，为了避免重复计算，可以在计算和之前，先计算，。程序框图：（参照课本）
程序：(如右图所示)
注：SQR（）和ABS（）是两个函数，分别用来求某个数的平方根和绝对值。
即 ，
〖例2〗：编写程序，使得任意输入的3个整数按从大到小的顺序输出。
算法分析：用a，b，c表示输入的3个整数；为了节约变量，把它们重新排列后，仍用a，b，c表示，并使a≥b≥c.具体操作步骤如下。
第一步：输入3个整数a，b，c.
第二步：将a与b比较，并把小者赋给b，大者赋给a.
第三步：将a与c比较. 并把小者赋给c，大者赋给a，此时a已是三者中最大的。
第四步：将b与c比较，并把小者赋给c，大者赋给b，此时a，b，c已按从大到小的顺序排列好。
第五步：按顺序输出a，b，c.
程序框图：（参照课本）
程序：(如右框图所示)
〖补例〗：铁路部门托运行李的收费方法如下：
y是收费额（单位：元），x是行李重量（单位：kg）,当0＜x≤20时，按0.35元/kg收费，当x＞20kg时，20kg的部分按0.35元/kg,超出20kg的部分，则按0.65元/kg收费，请根据上述收费方法编写程序。
分析：首先由题意得：该函数是个分段函数。需要对行李重量作出判断，因此，这个过程可以用算法中的条件结构来实现。
程序： INPUT “请输入旅客行李的重量（kg）x=”；x
IF x>0 AND x<=20 THEN
y=0.35*x
ELSE
y=0.35*20+0.65*(x-20)
END IF
PRINT “该旅客行李托运费为：”；y
END
【课堂精练】
1． 练习 2.（题略）
分析：如果有两个或是两个以上的并列条件时，用“AND”把它们连接起来。
2． 练习 1.（题略）
参考答案： INPUT “请输入三个正数a，b，c=”； a，b，c
IF a+b>c AND a+c>b AND b+c>a THEN
PRINT “以下列三个数：”；a，b，c，“可以构成三角形。”
ELSE
PRINT “以下列三个数：”；a，b，c，“不可以构成三角形！”
END IF
END
（二）循环语句
算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。
（1）WHILE语句的一般格式是：
其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。
当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。其对应的程序结构框图为：（如上右图）
（2）UNTIL语句的一般格式是：
其对应的程序结构框图为：（如上右图）
〖思考〗：直到型循环又称为“后测试型”循环，参照其直到型循环结构对应的程序框图，说说计算机是按怎样的顺序执行UNTIL语句的？（让学生模仿执行WHILE语句的表述）
从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。
〖提问〗：通过对照，大家觉得WHILE型语句与UNTIL型语句之间有什么区别呢？（让学生表达自己的感受）
区别：在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，而在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环体。
【例题精析】
〖例3〗：编写程序，计算自然数1+2+3+……+99+100的和。
分析：这是一个累加问题。我们可以用WHILE型语句，也可以用UNTIL型语句。由此看来，解决问题的方法不是惟一的，当然程序的设计也是有多种的，只是程序简单与复杂的问题。
程序： WHILE型： UNTIL型：
〖例4〗：根据1.1.2中的图1.1-2,将程序框图转化为程序语句。
分析：仔细观察，该程序框图中既有条件结构，又有循环结构。
程序：
〖思考〗：上述判定质数的算法是否还能有所改进？（让学生课后思考。）
〖补例〗：某纺织厂1997年的生产总值为300万元，如果年生产增产率为5﹪，计算最早在哪一年生产总值超过400万元。
分析：从1997年底开始，经过x年后生产总值为300×（1+5﹪）x,可将1997年生产总值赋给变量a，然后对其进行累乘，用n作为计数变量进行循环，直到a的值超过400万元为止。
解：
程序框图为： 程序：
【课堂精练】
1． 练习 2. 3（题略）
参考答案：
2.解：程序： X=1
WHILE X＜=20
Y=X^2-3*X+5
X=X+1
PRINT “Y=”；Y
WEND
END
3．解：程序： INPUT “请输入正整数n=”；n
a=1
i=1
WHILE i<=n
a=a*i
i=i+1
WEND
PRINT “n!=” ；a
END
【课堂小结】
本节课主要学习了条件语句和循环语句的结构、特点、作用以及用法，并懂得利用解决一些简单问题。条件语句使程序执行产生的分支，根据不同的条件执行不同的路线，使复杂问题简单化。有些复杂问题可用两层甚至多层循环解决。注意内外层的衔接，可以从循环体内转到循环体外，但不允许从循环体外转入循环体内。
条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，如判断一个数的正负，确定两个数的大小等问题，还有求分段函数的函数值等，往往要用条件语句，有时甚至要用到条件语句的嵌套。
循环语句主要用来实现算法中的循环结构，在处理一些需要反复执行的运算任务。如累加求和，累乘求积等问题中常用到。
【评价设计】
1． P23 习题1.2 A组 3、4
P24 习题1.2 B组 2.
2．试设计一个生活中某个简单问题或是常见数学问题，并利用所学基本算法语句等知识编程。（要求所设计问题利用条件语句或循环语句）
1.3算法案例
第一、二课时 辗转相除法与更相减损术
（1）教学目标
（a）知识与技能
1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
（b）过程与方法
在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
（c）情态与价值
1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。
（2）教学重难点
重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
（3）学法与教学用具
学法：在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
（4）教学设想
（一）创设情景，揭示课题
1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？
2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。
（二）研探新知
1.辗转相除法
例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）
解：8251＝6105×1＋2146
显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
6105＝2146×2＋1813
2146＝1813×1＋333
1813＝333×5＋148
333＝148×2＋37
148＝37×4＋0
则37为8251与6105的最大公约数。
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；
第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；
第三步：若r1＝0，则r1为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；
……
依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn－1即为所求的最大公约数。
练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）
2.更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。
更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
翻译出来为：
第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35
63－35＝28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98与63的最大公约数是7。
练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。（答案：12）
3.比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到
4. 辗转相除法与更相减损术计算的程序框图及程序
利用辗转相除法与更相减损术的计算算法，我们可以设计出程序框图以及BSAIC程序来在计算机上实现辗转相除法与更相减损术求最大公约数，下面由同学们设计相应框图并相互之间检查框图与程序的正确性，并在计算机上验证自己的结果。
（1）辗转相除法的程序框图及程序
程序框图：
程序：
INPUT “m=”;m
INPUT “n=”;n
IF mm=n
n=x
END IF
r=m MOD n
WHILE r<>0
r=m MOD n
m=n
n=r
WEND
PRINT m
END
5.课堂练习
一.用辗转相除法求下列各组数的最大公约数，并在自己编写的BASIC程序中验证。
（1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；119
二.思考：用求质因数的方法可否求上述4组数的最大公约数？可否利用求质因数的算法设计出程序框图及程序？若能，在电脑上测试自己的程序；若不能说明无法实现的理由。
三。思考：利用辗转相除法是否可以求两数的最大公倍数？试设计程序框图并转换成程序在BASIC中实现。
6.小结：
辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写。
（5）评价设计
作业：P38 A（1）B（2）
补充：设计更相减损术求最大公约数的程序框图
第三、四课时 秦九韶算法与排序
（1）教学目标
（a）知识与技能
1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。
2.掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。
（b）过程与方法
模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。能根据排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤，了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。
（c）情态与价值
通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。通过对排序法的学习，领会数学计算与计算机计算的区别，充分认识信息技术对数学的促进。
（2）教学重难点
重点：1.秦九韶算法的特点
2.两种排序法的排序步骤及计算机程序设计
难点：1.秦九韶算法的先进性理解
2.排序法的计算机程序设计
（3）学法与教学用具
学法：1.探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算。
2.模仿排序法中数字排序的步骤，理解计算机计算的一般步骤，领会数学计算在计算机上实施的要求。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
（4）教学设想
（一）创设情景，揭示课题
我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式
当时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。
根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算。
我们把多项式变形为：再统计一下计算当时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显然少了6次乘法运算。这种算法就叫秦九韶算法。
（二）研探新知
1.秦九韶计算多项式的方法
例1 已知一个5次多项式为
用秦九韶算法求这个多项式当时的值。
解：略
思考：（1）例1计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？
（2）在利用秦九韶算法计算n次多项式当时需要多少次乘法计算和多少次加法计算？
练习：利用秦九韶算法计算
当时的值，并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算？
例2 设计利用秦九韶算法计算5次多项式
当时的值的程序框图。
解：程序框图如下：
练习：利用程序框图试编写BASIC程序并在计算机上测试自己的程序。
2.排序
在信息技术课中我们学习过电子表格,电子表格对分数的排序非常简单,那么电子计算机是怎么对数据进行排序的呢
阅读课本P30—P31面的内容,回答下面的问题:
(1)排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤有什么区别
(2)冒泡法排序中对5个数字进行排序最多需要多少趟
(3)在冒泡法排序对5个数字进行排序的每一趟中需要比较大小几次
游戏:5位同学每人拿一个数字牌在讲台上演示冒泡排序法对5个数据4,11,7,9,6排序的过程,让学生通过观察叙述冒泡排序法的主要步骤.并结合步骤解决例3的问题.
例3 用冒泡排序法对数据7,5,3,9,1从小到大进行排序
解:P32
练习:写出用冒泡排序法对5个数据4,11,7,9,6排序的过程中每一趟排序的结果.
例4 设计冒泡排序法对5个数据进行排序的程序框图.
解: 程序框图如下:
思考:直接排序法的程序框图如何设计 可否把上述程序框图转化为程序
练习:用直接排序法对例3中的数据从小到大排序
3.小结:
(1)秦九韶算法计算多项式的值及程序设计
(2)数字排序法中的常见的两种排序法直接插入排序法与冒泡排序法
(3)冒泡法排序的计算机程序框图设计
（5）评价设计
作业：P38 A（2）（3）
补充：设计程序框图对上述两组数进行排序
第五课时 进位制
（1）教学目标
（a）知识与技能
了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
（b）过程与方法
学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律。
（c）情态与价值
领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系。
（2）教学重难点
重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换
难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计
（3）学法与教学用具
学法：在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k去余法。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
（4）教学设想
（一）创设情景，揭示课题
我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制 不同的进位制之间又又什么联系呢
（二）研探新知
进位制是一种记数方式，用有限的数字 ( http: / / zh.wikipedia.org / wiki / %E6%95%B0%E5%AD%97" \o "数字 )在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制 ( http: / / zh.wikipedia.org / wiki / %E5%8D%81%E8%BF%9B%E5%88%B6" \o "十进制 )，通常使用10个阿拉伯数字 ( http: / / zh.wikipedia.org / w / index.php title=%E9%98%BF%E6%8B%89%E4%BC%AF%E6%95%B8%E5%AD%97&action=edit" \o "阿拉伯數字 )0-9进行记数。
对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数 ( http: / / zh.wikipedia.org / wiki / %E5%8D%81%E8%BF%9B%E5%88%B6" \o "十进制 )57，可以用二进制 ( http: / / zh.wikipedia.org / wiki / %E4%BA%8C%E8%BF%9B%E5%88%B6" \o "二进制 )表示为111001，也可以用八进制 ( http: / / zh.wikipedia.org / wiki / %E5%85%AB%E8%BF%9B%E5%88%B6" \o "八进制 )表示为71、用十六进制 ( http: / / zh.wikipedia.org / wiki / %E5%8D%81%E5%85%AD%E8%BF%9B%E5%88%B6" \o "十六进制 )表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.
电子计算机一般都使用二进制,下面我们来进行二进制与十进制之间的转化
例1 把二进制数110011(2)化为十进制数.
解:110011=1*25+1*24+0*23+1*24+0*22+1*21+1*20
=32+16+2+1
=51
例2 把89化为二进制数.
解:根据二进制数满二进一的原则,可以用2连续去除89或所得商,然后去余数.
具体的计算方法如下:
89=2*44+1
44=2*22+0
22=2*11+0
11=2*5+1
5=2*2+1
所以:89=2*(2*(2*(2*(2*2+1)+1)+0)+0)+1
=1*26+0*25+1*24+1*23+0*22+0*21+1*20
=1011001(2)
这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:
把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到89=1011001(2)
上述方法也可以推广为把十进制化为k进制数的算法,这种算法成为除k取余法.
当数字较小时,也可直接利用各进位制表示数的特点,都是以幂的形式来表示各位数字,比如2*103表示千位数字是2,所以可以直接求出各位数字.即把89转换为二进制数时,直接观察得出89与64最接近故89=64*1+25
同理:25=16*1+9
9=8*!+1
即89=64*1+16*1+8*!+1=1*26+1*24+1*23+1*20
位数 6 5 4 3 2 1 0
数字 1 0 1 1 0 0 1
即89=1011001(2)
练习:(1)把73转换为二进制数
(2)利用除k取余法把89转换为5进制数
把k进制数a(共有n位)转换为十进制数b的过程可以利用计算机程序来实现,语句为:
INPUT a,k,n
i=1
b=0
WHILE i<=n
t=GET a[i]
b=b+t*k^(i-1)
i=i+1
WEND
PRINT b
END
练习:(1)请根据上述程序画出程序框图.
参考程序框图:
(2)设计一个算法,实现把k进制数a(共有n位)转换为十进制数b的过程的程序中的GET函数的功能,输入一个正5位数,取出它的各位数字,并输出.
小结:
(1)进位制的概念及表示方法
(2)十进制与二进制之间转换的方法及计算机程序
（5）评价设计
作业：P38 A（4）
补充：设计程序框图把一个八进制数23456转换成十进制数.
算法初步 复习课
（1）教学目标
（a）知识与技能
1.明确算法的含义，熟悉算法的三种基本结构：顺序、条件和循环，以及基本的算法语句。
2.能熟练运用辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、排序、进位制等典型的算法知识解决同类问题。
（b）过程与方法
在复习旧知识的过程中把知识系统化，通过模仿、操作、探索，经历设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中进一步理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
（c）情态与价值
算法内容反映了时代的特点，同时也是中国数学课程内容的新特色。中国古代数学以算法为主要特征，取得了举世公认的伟大成就。现代信息技术的发展使算法重新焕发了前所未有的生机和活力，算法进入中学数学课程，既反映了时代的要求，也是中国古代数学思想在一个新的层次上的复兴，也就成为了中国数学课程的一个新的特色。
（2）教学重难点
重点：算法的基本知识与算法对应的程序框图的设计
难点：与算法对应的程序框图的设计及算法程序的编写
（3）学法与教学用具
学法：利用实例让学生体会基本的算法思想，提高逻辑思维能力，对比信息技术课程中的程序语言的学习和程序设计，了解数学算法与信息技术上的区别。通过案例的运用，引导学生体会算法的核心是一般意义上的解决问题策略的具体化。面临一个问题时，在分析、思考后获得了解决它的基本思路（解题策略），将这种思路具体化、条理化，用适当的方式表达出来（画出程序框图，转化为程序语句）。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
（4）教学设想
一.本章的知识结构
二.知识梳理
(1)四种基本的程序框
(2)三种基本逻辑结构
顺序结构 条件结构 循环结构
(3)基本算法语句
（一）输入语句
单个变量
多个变量
（二）输出语句
（三）赋值语句
（四）条件语句
IF-THEN-ELSE格式
当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句1，否则执行ELSE后的语句2。其对应的程序框图为：（如上右图）
IF-THEN格式
计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。其对应的程序框图为：（如上右图）
（五）循环语句
（1）WHILE语句
其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。
当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。其对应的程序结构框图为：（如上右图）
（2）UNTIL语句
其对应的程序结构框图为：（如上右图）
(4)算法案例
案例1 辗转相除法与更相减损术
案例2 秦九韶算法
案例3 排序法：直接插入排序法与冒泡排序法
案例4 进位制
三.典型例题
例1 写一个算法程序,计算1+2+3+…+n的值(要求可以输入任意大于1的正自然数)
解：INPUT “n=”;n
i=1
sum=0
WHILE i<=n
sum=sum+i
i=i+1
WEND
PRINT sum
END
思考：在上述程序语句中我们使用了WHILE格式的循环语句，能不能使用UNTIL循环？
例2 设计一个程序框图对数字3,1,6,9,8进行排序(利用冒泡排序法)
思考：上述程序框图中哪些是顺序结构？哪些是条件结构？哪些是循环结构？
例3 把十进制数53转化为二进制数.
解：53＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20
＝110101（2）
例4 利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数与最小公倍数。
解：6497＝3869×1＋2628
3869＝2628×1＋1241
2628＝1241*2＋146
1241＝146×8＋73
146＝73×2＋0
所以3869与6497的最大公约数为73
最小公倍数为3869×6497/73＝344341
思考：上述计算方法能否设计为程序框图？
练习:P40 A(3) (4)
（5）评价设计
作业：P40 A（5）(6)
2.1.1 简单随机抽样
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤；
2、过程与方法：
（1）能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题；
（2）在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。
3、情感态度与价值观：通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系，认识数学的重要性。
4、重点与难点：正确理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法及随机数法的步骤，并能灵活应用相关知识从总体中抽取样本。
教学设想：
假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验，你准备怎样做？
显然，你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本。（为什么？）那么，应当怎样获取样本呢？
【探究新知】
一、简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。
【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：
（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的。
（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N。
（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。
（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。
（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/N。
思考？
下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？
（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。
（2）箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子。
二、抽签法和随机数法
1、抽签法的定义。
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
【说明】抽签法的一般步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）连续抽签获取样本号码。
思考？
你认为抽签法有什么优点和缺点：当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？
2、随机数法的定义：
利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法，这里仅介绍随机数表法。
怎样利用随机数表产生样本呢？下面通过例子来说明，假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。
第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，001，…，799。
第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第7列的数7（为了便于说明，下面摘取了附表1的第6行至第10行）。
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62
87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
第三步，从选定的数7开始向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下等），得到一个三位数785，由于785＜799，说明号码785在总体内，将它取出；继续向右读，得到916，由于916＞799，将它去掉，按照这种方法继续向右读，又取出567，199，507，…，依次下去，直到样本的60个号码全部取出，这样我们就得到一个容量为60的样本。
【说明】随机数表法的步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）在随机数表中选择开始数字。
（3）读数获取样本号码。
【例题精析】
例1：人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方法是否是简单随机抽样？
[分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张起牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样。
例2：某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
[分析] 简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法。
解法1：（抽签法）将100件轴编号为1，2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这个10个号签对应的轴的直径。
解法2：（随机数表法）将100件轴编号为00，01，…99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10件即为所要抽取的样本。
【课堂练习】P
【课堂小结】
1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法。
2、抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型。
3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为n/N，但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况区分开业，避免在解题中出现错误。
【评价设计】
1、为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是
A．总体是240 B、个体是每一个学生
C、样本是40名学生 D、样本容量是40
2、为了正确所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是 （ ）
A、总体 B、个体是每一个学生
C、总体的一个样本 D、样本容量
3、一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是 。
4、从3名男生、2名女生中随机抽取2人，检查数学成绩，则抽到的均为女生的可能性是 。
2.1.2 系统抽样
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解系统抽样的概念；
（2）掌握系统抽样的一般步骤；
（3）正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系；
2、过程与方法：通过对实际问题的探究，归纳应用数学知识解决实际问题的方法，理解分类讨论的数学方法，
3、情感态度与价值观：通过数学活动，感受数学对实际生活的需要，体会现实世界和数学知识的联系。
4、重点与难点：正确理解系统抽样的概念，能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题。
教学设想：
【创设情境】：某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级500名学生中抽取50名进行调查，除了用简单随机抽样获取样本外，你能否设计其他抽取样本的方法？
【探究新知】
一、系统抽样的定义：
一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。
【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证：
（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样。
（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为k＝[].
（3）预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。
思考？
（1）你能举几个系统抽样的例子吗？
（2）下列抽样中不是系统抽样的是 （ ）
A、从标有1~15号的15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到
大号排序，随机确定起点i,以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样
B工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验
C、搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止
D、电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈
点拨:（2）c不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样。
二、系统抽样的一般步骤。
（1）采用随机抽样的方法将总体中的N个个编号。
（2）将整体按编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N,L≤k).
（3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L（L∈N,L≤k）。
（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+K，再加上K得到第3个个体编号L+2K，这样继续下去，直到获取整个样本。
【说明】从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想。
【例题精析】
例1、某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程。
[分析]按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第1段的编号。
解：按照1：5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59，我们把259名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，59组是编号为291～295的5名学生。采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为k(1≤k≤5)，那么抽取的学生编号为k+5L(L=0,1,2,……，58)，得到59个个体作为样本，如当k=3时的样本编号为3，8，13，……，288，293。
例2、从忆编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是
A．5，10，15，20，25 B、3，13，23，33，43
C．1，2，3，4，5 D、2，4，6，16，32
[分析]用系统抽样的方法抽取至的导弹编号应该k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中d=50/5=10,k是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项B满足要求，故选B。
【课堂练习】P49 练习1. 2. 3
【课堂小结】
1、在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统抽样的方法进行抽样，系统抽样的步骤为：
（1）采用随机的方法将总体中个体编号；
（2）将整体编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N)；
（3）在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号L；
（4）按照事先预定的规则抽取样本。
2、在确定分段间隔k时应注意：分段间隔k为整数，当不是整数时，应采用等可能剔除的方剔除部分个体，以获得整数间隔k。
【评价设计】
1、从2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为 （ ）
A．99 B、99，5
C．100 D、100，5
2、从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是 （ ）
A．1，2，3，4，5 B、5，16，27，38，49
C．2, 4, 6, 8, 10 D、4，13，22，31，40
3、采用系统抽样从个体数为83的总体中抽取一个样本容量为10的样本，那么每个个体人样的可能性为 （ ）
A．8 B.8，3
C．8.5 D.9
4、某小礼堂有25排座位，每排20个座位，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是 抽样方法。
5、某单位的在岗工作为624人，为了调查工作上班时，从家到单位的路上平均所用的时间，决定抽取10%的工作调查这一情况，如何采用系统抽样的方法完成这一抽样？
2.1.3 分层抽样
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解分层抽样的概念；
（2）掌握分层抽样的一般步骤；
（3）区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当正确的方法进行抽样。
2、过程与方法：通过对现实生活中实际问题进行分层抽样，感知应用数学知识解决实际问题的方法。
3、情感态度与价值观：通过对统计学知识的研究，感知数学知识中“估计
与“精确”性的矛盾统一，培养学生的辩证唯物主义的世界观与价值观。
4、重点与难点：正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本，并恰当的选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题。
教学设想：
【创设情景】
假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，此地
教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的
小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？
【探究新知】
一、分层抽样的定义。
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。
【说明】分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：
（1）分层：将相似的个体归人一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则。
（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。
二、分层抽样的步骤：
（1）分层：按某种特征将总体分成若干部分。
（2）按比例确定每层抽取个体的个数。
（3）各层分别按简单随机抽样的方法抽取。
（4）综合每层抽样，组成样本。
【说明】
（1）分层需遵循不重复、不遗漏的原则。
（2）抽取比例由每层个体占总体的比例确定。
（3）各层抽样按简单随机抽样进行。
探究交流
（1）分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每层抽取若干个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行 （ ）
A、每层等可能抽样
B、每层不等可能抽样
C、所有层按同一抽样比等可能抽样
（2）如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n
样本，那么每个个体被抽到的可能性为 （ ）
A． B. C. D.
点拨：
（1）保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽
共同的特征，为了保证这一点，分层时用同一抽样比是必不可少的，故此选C。
（2）根据每个个体都等可能入样，所以其可能性本容量与总体容量
比，故此题选C。
知识点2 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较
类 别 共同点 各自特点 联 系 适 用范 围
简 单随 机抽 样 （1）抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等（2）每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样 从总体中逐个抽取 总体个数较少
将总体均分成几部 分，按预先制定的规则在各部分抽取 在起始部分样时采用简随机抽样 总体个数较多
系 统抽 样
将总体分成几层，分层进行抽取 分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成
分 层抽 样
【例选精析】
某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为
A.15,5,25 B.15,15,15
C.10,5,30 D15,10,20
[分析]因为300：200：400=3：2：4，于是将45分成3：2：4的三部分。设三部分各抽取的个体数分别为3x,2x,4x,由3x+2x+4x=45，得x=5，故高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为15，10，20，故选D。
例2：一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3：2：5：2：3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程。
[分析]采用分层抽样的方法。
解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下：
（1）将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层。
（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本。
300×3/15=60（人），300×2/15=100（人），300×2/15=40（人），300×2/15=60（人），因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、40人、60 人。
（3）将300人组到一起，即得到一个样本。
【课堂练习】P52 练习1. 2. 3
【课堂小结】
1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：
（1）、分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠。
（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。
（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。
2、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。
【评论设计】
1、某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽取方法是 （ ）
A．简单随机抽样
B．系统抽样
C．分层抽样
D．先从老人中剔除1人，然后再分层抽样
2、某校有500名学生，其中O型血的有200人，A型血的人有125人，B型血的有125人，AB型血的有50人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个20人的样本，按分层抽样，O型血应抽取的人数为 人，A型血应抽取的人数为 人，B型血应抽取的人数为 人，AB型血应抽取的人数为 人。
3、某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2,若该校取一个容量为n的样本，则n= 。
4、对某单位1000名职工进行某项专门调查，调查的项目与职工任职年限有关，人事部门提供了如下资料：
任职年限 5年以下 5年至10年 10年以上
人数 300 500 200
试利用上述资料设计一个抽样比为1/10的抽样方法。
２.2.1用样本的频率分布估计总体分布(2课时)
教学目标：
知识与技能
（1） 通过实例体会分布的意义和作用。
（2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。
（3）通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计。
过程与方法
通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观
通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。
重点与难点
重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。
难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。
教学设想
【创设情境】
在ＮＢＡ的2004赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕
甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50
乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33
请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？
如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布（板出课题）。
【探究新知】
〖探究〗：P55
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢 ？你认为，为了了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论）
为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等。因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况。（如课本P56）
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息。表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式。
下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律。可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况。
〈一〉频率分布的概念：
频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为：
计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差
决定组距与组数
将数据分组
列频率分布表
画频率分布直方图
以课本P56制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图。（让学生自己动手作图）
频率分布直方图的特征：
从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。
从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
〖探究〗：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形状也会不同。不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断，分别以0.1和1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象？（把学生分成两大组进行，分别作出两种组距的图，然后组织同学们对所作图不同的看法进行交流……）
接下来请同学们思考下面这个问题：
〖思考〗：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，根据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，（见课本P57）你能对制定月用水量标准提出建议吗？（让学生仔细观察表和图）
〈二〉频率分布折线图、总体密度曲线
1．频率分布折线图的定义：
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。
2．总体密度曲线的定义：
在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息。（见课本P60）
〖思考〗：
１．对于任何一个总体，它的密度曲线是不是一定存在？为什么？
２．对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来？为什么？
实际上，尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的，但一般很难想函数图象那样准确地画出来，我们只能用样本的频率分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确．
〈三〉茎叶图
１．茎叶图的概念：
当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。（见课本P6１例子）
2．茎叶图的特征：
（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。
（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。
【例题精析】
〖例1〗：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高
(单位ｃｍ)
(1)列出样本频率分布表﹔
(2)一画出频率分布直方图;
(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.。
分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。
解：（１）样本频率分布表如下：
（２）其频率分布直方图如下：
（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.
〖例2〗：为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.
第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由。
分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。
解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，
因此第二小组的频率为：
又因为频率=
所以
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为
（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。
【课堂精练】
P61 练习 1. 2. 3
【课堂小结】
总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。
总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。
【评价设计】
1．P72 习题2.2 A组 1、 2
２.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(2课时)
教学目标：
知识与技能
（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
过程与方法
在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观
会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。
重点与难点
重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
教学设想
【创设情境】
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。
【探究新知】
<一>、众数、中位数、平均数
〖探究〗：P62
（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？
（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）
初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见课本第62页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。
〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）
分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。
〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？
分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数的第一章算法初步 海口实验中学 李朝戟
第一章算法初步
一、课标要求：
1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句，通过阅读中国古代教学中的算法案例，体会中国古代数学世界数学发展的贡献。
2、算法就是解决问题的步骤，算法也是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的基础，利用计算机解决问需要算法，在日常生活中做任何事情也都有算法，当然我们更关心的是计算机的算法，计算机可以解决多类信息处理问题，但人们必须事先用计算机熟悉的语言，也就是计算能够理解的语言（即程序设计语言）来详细描述解决问题的步骤，即首先设计程序，对稍复杂一些的问题，直接写出解决该问题的程序是困难的，因此，我们要首先研究解决问题的算法，再把算法转化为程序，所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。
3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析（如二元一次方程组的求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。理解并掌握几种基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。进一步体会算法的基本思想。
4、本章的重点是体会算法的思想，了解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经过通过设计程序框图解决问题的过程。点是在具体问题的解决过程中，理解三种基本逻辑结构，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本的算法语句。
二、编写意图与特色：
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。
1、结合熟悉的算法，把握算法的基本思想，学会用自然语言来描述算法。
2、通过模仿、操作和探索，经历设计程序流程图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中理解程序流程图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
3、通过实际问题的学习，了解构造算法的基本程序。
4、经历将具体问题的程序流程图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，体会算法的基本思想。
5、需要注意的问题
1) 从熟知的问题出发，体会算法的程序化思想，而不是简单呈现一些算法。
2) 变量和赋值是算法学习的重点之一，因为设置恰当的变量，学习给变量赋值，是构造算法的关键，应作为学习的重点。
3) 不必刻意追求最优的算法，把握算法的基本结构和程序化思想才是我们的重点。
4) 本章所指的算法基本上是能在计算机上实现的算法。
三、教学内容及课时安排：
1.1算法与程序框图 (约2课时)
1.2基本算法语句 （约3课时）
1.3算法案例 （约5课时）
复习与小结 （约2课时）
四、评价建议
1．重视对学生数学学习过程的评价
关注学生在数学语言的学习过程中，是否对用集合语言描述数学和现实生活中的问题充满兴趣；在学习过程中，能否体会集合语言准确、简洁的特征；是否能积极、主动地发展自己运用数学语言进行交流的能力。
2．正确评价学生的数学基础知识和基本技能
关注学生在本章（节）及今后学习中，让学生集中学习算法的初步知识，主要包括算法的基本结构、基本语句、基本思想等。算法思想将贯穿高中数学课程的相关部分，在其他相关部分还将进一步学习算法
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21.1.2 弧度制（2）
一、课题：弧度制（2）
二、教学目标：1. 继续研究角度制与弧度制之间的转化；
2．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用；
3．求扇形面积的最值。
三、教学重、难点：弧长公式、扇形面积公式的应用。
四、教学过程：
（一）复习：
（1）弧度制角如何规定的？（其中表示所对的弧长）
（2）； ．
说出下列角所对弧度数．
（练习）写出阴影部分的角的集合：
（3）在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？
圆的半径为，圆心角为所对弧长为；
扇形面积为．
（二）新课讲解：
1．弧长公式：
在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？
∵（其中表示所对的弧长），
所以，弧长公式为．]
2．扇形面积公式：扇形面积公式为：．
说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；
②以上公式中的必须为弧度单位．
3．例题分析：
例1 （1）已知扇形的圆心角为，半径，求弧长及扇形面积。
（2）已知扇形周长为，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？
解：（1）因为，所以，．
（2）设弧长为，半径为，由已知，所以，，
从而，
当时，最大，最大值为，这时．
例2 如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。
解：设扇形的弧长为，半径为，则有
　，
所以，中心角为，弦长＝．
五、课堂练习：
1．集合的关系是 （ ）
（A） （B） （C） （D）以上都不对。
2．已知集合，则等于（ ）
（A） （B）
（C） （D）或
3．圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的　　 　倍。
4．若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是　　　　 　．
5．在以原点为圆心，半径为１的单位圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角
的弧度数为　　 　．
六、小结：1．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；
2．由将转化成，利用这个与的二次函数关系求出扇形面积的最值。
七、作业：
补充：1．一个扇形周长等于它的弧所在圆的周长的一半，若圆的半径为，求扇形的面积。
2．2弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长，及圆心角所夹扇形面
积（要求作图）。
3．已知扇形的周长为30，当它的半径和圆心角各取多少值时，扇形面积最大，
最大值为多少？
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- 2 -第20课时 斜线在平面内的射影习题课
教学目标：
使学生正确区分各个概念，并能结合线面平行和垂直的有关知识解决具体问题，进一步培养学生的空间想象能力和分析问题的能力。
教学重点、难点：
问题的分析、论证。
教学过程：
复习定义、定理。
例1：已知直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，两直角边AB、AC与α都斜交，点A在平面α内的射影是点A′，求证：∠BA′C是钝角三角形。
证明：过A作AD⊥BC于D，连结A′D
∵A A′⊥α，BCα
∴A A′⊥BC ∴BC⊥ A′D
∵tan∠BAD＝＜tan∠BA′D＝
tan∠CAD＝＜tan∠CA′D＝
∴∠BAD＜∠BA′D，∠CAD＜∠CA′D
∴∠BAC＜∠BA′C， 即∠BA′C是钝角。
推广：
（1）图中，若∠ABC、∠ACB均为钝角，则射影角较大。
（2）若∠ABC、∠ACB中有一钝角，则射影角较小。
（3）锐角的一边与面平行或者在面内，另一边是面的斜线时，射影角较小。
（4）角的两边都是面的斜线，顶点在面上时，大小关系不确定。
例2：如图，直角三角形ABC在平面α上的射影是正三角形A1B1C1，且A A1＝5，B B1＝4，C C1＝3，求Rt△ABC中，斜边BC的长。
解：过C作CD∥B1C1，CF∥A1C1，过B作BE∥A1B1
则△BCD、△ABE、△ACF均为Rt△，且
CD＝CF＝BE设为a，
∴BC2＝a 2＋4，AC2＝a 2＋1，AB2＝a 2＋1
得：a 2＝2
∴BC＝＝
例3：如图，四面体A－BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正切值。
解：过A作AO⊥面BCD，连结OD、OB、OC，则可证O是△BCD的中心
作QP⊥OD
∵QP∥AO ∴QP⊥面BCD
连结CP，则∠QCP即为所求的角
设四面体的棱长为a，则：
正△ACD中，Q是AD的中点 ∴CQ＝a
∵QP∥AO，Q是AD的中点
∴QP＝AO＝ eq \r(a 2－(a)2) ＝a＝a
得：sin∠QCP＝＝
练习题：
如图，线段AB的两端在平面α的同侧，斜线段AM、BN所在的直线分别与平面α成300、600的角，且AM⊥AB，BN⊥AB，AM＝6，BN＝2，AB＝6
（1）求证：AB∥α；（2）求MN的长。
（1）证明：作A、B在
平面α上的射影A′、B′
连结MA′、NB′、
A′B′。
（1） （2）
在Rt△AMA′中，AM＝6，∠AMA′＝300，AA′⊥A′M
∴AA′＝AM＝3，同理：BB′＝BN＝3
∴AA′＝BB′且AA′∥BB′
∴四边形AA′B′B为平行四边形
∵AB∥A′B′，且AB eq \o(,\\)α ∴AB∥α
（2）解：∵AM⊥AB，AB∥A′B′ ∴A′B′⊥AM
又：A′B′⊥AA′，AM∩AA′＝A
∴A′B′⊥面AMA′ ∴A′B′⊥A′M
同理：A′B′⊥B′N ∴MA′∥NB′
又：MA′＝AM·cos300＝3
NB′＝BN·cos600＝
由（1）知，A′B′＝AB＝6
如图（1），则MN＝＝4
如图（2），则MN＝＝2
课堂小结：
注意空间想象和空间问题转化为平面问题的方法，并紧密联系有关的定义、定理等。
课后作业：
- 2 -三角恒等变换单元练习题
一、选择题（5×12＝60分）
1．cos2－的值为
A.1 B. C. D.
2．tan－cot等于
A.－2 B.－1 C.2 D.0
3．若sin＝，cos＝－，则θ在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4．cos2＋cos2＋coscos的值等于
A. B. C. D.1＋
5．已知π＜α＜，且sin(＋α)＝，则tan等于
A.3 B.2 C.－2 D.－3
6．若tanθ＋cotθ＝m，则sin2θ等于
A. B. C.2m D.
7．下面式子中不正确的是
A.cos(－)＝coscos＋ B.cos＝cos·cos－sin
C.sin(＋)＝sin·cos＋cos D.cos＝cos－cos
8．如果tan＝，那么cosα的值是
A. B. C.－ D.－
9．化简 eq \f(cos（＋x）－sin（＋x）,cos（＋x）＋sin（＋x）) 的值是
A.tan B.tan2x C.－tanx D.cotx
10．若sinα＝，α在第二象限，则tan的值为
A.5 B.－5 C. D.－
11．设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于
A.－ B.－ C.－ eq \r() D.－ eq \r()
12．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则此三角形为
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题(4×6＝24分)
13．若tanα＝－2且sinα＜0，则cosα＝_____.
14．已知sinα＝，2π＜α＜3π，那么sin＋cos＝_____.
15．coscos＝_____.
16．已知π＜θ＜，cosθ＝－，则cos＝_____.
17．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝_____.
18．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，且＜α－β＜π，＜α＋β＜2π，则cos2α＝_____，cos2β＝_____.
第Ⅱ卷
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题
13 14 15
16 17 18
三、解答题(12＋13＋13＋14＋14＝66分)
19．已知sinα＋sinβ＝1，cosα＋cosβ＝0，求cos2α＋cos2β的值.
20．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，)，求sinα、tanα.
21．已知sin(x－)cos(x－)＝－，求cos4x的值.
22．求证cos3α＝4cos3α－3cosα
23．若函数y＝x2－4px－2的图象过点(tanα，1)及点(tanβ，1).
三角恒等变换单元练习题答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A D C D B D B C A D B
二、填空题
13 14 － 15 －
16 － 17 1 18 － －1
三、解答题(12＋13＋13＋14＋14＝66分)
19．已知sinα＋sinβ＝1，cosα＋cosβ＝0，求cos2α＋cos2β的值.
1
20．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，)，求sinα、tanα.
解：∵sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1
∴4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0
即：cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0cos2α(sinα＋1)(2sinα－1)＝0
又α∈(0，)，∴cos2α>0，sinα＋1>0.
故sinα＝，α＝，tanα＝.
21．已知sin(x－)cos(x－)＝－，求cos4x的值.
解析：由sin(x－)cos(x－)＝－
［sin(2x－π)＋sin(－)］＝－
sin2x＝－cos4x＝1－2sin22x＝.
22．求证cos3α＝4cos3α－3cosα
证明：左边＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos2α－1)cosα－2sin2αcosα
＝2cos3α－cosα－2sin2αcosα
＝2cos3α－cosα－2(1－cos2α)cosα
＝4cos3α－3cosα＝右边.
23．若函数y＝x2－4px－2的图象过点(tanα，1)及点(tanβ，1).
求2cos2αcos2β＋psin2(α＋β)＋2sin2(α－β)的值.
解：由条件知tanα、tanβ是方程
x2－4px－2＝1的两根.
∴
∴tan(α＋β)＝＝p.
∴原式＝2cos2αcos2β＋tan(α＋β)sin2(α＋β)＋2sin2(α－β)
＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋2sin2(α＋β)＋2sin2(α－β)
＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β)］＋［1－cos2(α－β)］＝2
- 4 -第十五课时 正切函数的图象和性质
教学目标：
会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，理解正切函数的性质，掌握性质的简单应用，会解决一些实际问题；用数形结合的思想理解和处理有关问题，发现数学规律，提高数学素质，培养实践第一观点.
教学重点：
正切函数的图象和性质
教学难点：
正切函数的性质的简单应用
教学过程：
Ⅰ.课题导入
常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质
Ⅱ.讲授新课
为了精确，我们还是利用单位圆中的正切线来画一下正切曲线.
∵tan(π＋x)＝＝＝tanx(其中x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z)
根据周期函数定义，可知正切函数也是周期函数，且π是它的周期.
现在利用正切线画出函数
y＝tanx，x∈(－，)的图象
引导学生完成.
引导学生观察得出正切曲线的特征：
正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的.
现在我们根据正切曲线来看一下正切函数有哪些主要性质.
(1)定义域：｛x｜x≠＋kπ，k∈Z｝
(2)值域：R
(3)周期性：正切函数是周期函数，且周期T＝π
(4)奇偶性：∵tan(－x)＝－tanx
∴正切函数是奇函数
∴正切曲线关于原点O对称
(5)单调性：正切函数在开区间(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z内都是增函数.
注意：①正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以不能说它在整个定义域内是增函数.②正切函数在每个单调区间内都是增函数
下面，来看性质的简单应用.
［例1］求函数y＝tan2x的定义域.
解：由2x≠kπ＋，(k∈Z) 得x≠＋，(k∈Z)
∴y＝tan2x的定义域为：｛x｜x∈R且x≠＋，k∈Z｝
［例2］观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0
解：画出y＝tanx在(－，)上的图象，不难看出在此区间上满足tanx＞0的x的范围为：0＜x＜
结合周期性，可知在x∈R,且x≠kπ＋上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋)(k∈Z)
［例3］不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小.
解：∵90°＜135°＜138°＜270°
又∵y＝tanx在x∈(90°，270°)上是增函数,
∴tan135°＜tan138°
［例4］求函数y＝tan(x＋)的定义域，并讨论它的单调性.
解：由x＋≠kπ＋，(k∈Z)
得x≠kπ＋，(k∈Z)
∴y＝tan(x＋)的定义域为｛x｜x∈R且x≠kπ＋，k∈Z｝
又由y＝tanx在每个区间(kπ－，kπ＋)k∈Z上是增函数可知：
当kπ－＜x＋＜kπ＋
即kπ－＜x＜kπ＋ (k∈Z)时，y＝tan(x＋)是增函数
∴y＝tan(x＋)在每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数.
［例5］函数y＝tan2x是否具有周期性，若具有，则最小正周期是什么
解：由y＝tanx是周期函数，且周期为π可知：只有必须当x至少增加到x＋π时，函数值才重复出现.
也就是说只有2x至少增加到2x＋π时，即x至少增加到x＋时，函数值才重复出现.
∴y＝tan2x具有周期性，且最小正周期为 .
由正、余弦函数最小正周期T＝得正切函数的最小正周期T＝
例如y＝5tan，x≠(2k＋1)π，(k∈Z)的周期T＝ eq \f(2π, ) ＝4π.
y＝tan3x，x≠＋ (k∈Z)的周期T＝.
Ⅲ.课堂练习
课本P35 1～4
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要掌握正切函数的图象，理解它具有的主要性质，并会应用它解决一些较简单问题.
Ⅴ.课后作业
课本P46习题 5
- 2 -第二课时 流程图（一）
教学目标：
使学生了解顺序结构的特点，并能解决一些与此有关的问题.
教学重点：
顺序结构的特性.
教学难点：
顺序结构的运用.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
算法内容是将数学中的算法与计算机技术建立联系，形式化地表示算法.为了有条理地、清晰地表达算法，往往需要将解决问题的过程整理成程序框图.流程图是一种传统的算法表示法，它利用几何图形的框来代表各种不同性质的操作，用流程线来指示算法的执行方向.由于它简单直观，所以应用广泛.
问题：
右面的“框图”可以表示一个算法吗？
按照这一程序操作时，输出的结果是多少？
若第一个“输入框”中输入的是77，则输出的
结果又是多少？
答：这个框图表示的是一个算法，按照这一程序
操作时，输出的结果是0；若第一个“输入框”中
输入的是77，则输出的结果是5。
Ⅱ.讲授新课
一般算法由顺序、条件和循环三种基本结构组成.
顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本主体结构.
例1：半径为r的球面的面积计算公式为S＝4πr2，当r＝10时，写出计算球面的面积的算法，画出流程图.
解析：算法如下：
第一步　将10赋给变量r；
第二步　用公式S＝4πr2计算球面的面积S；
第三步　输出球面的面积S.
例2：已知两个单元存放了变量x和y的值，试交换两个变量值.
解析：为了达到交换的目的，需要一个单元存放中间变量p.
其算法是
第一步　p←x；（先将x 的值赋给变量p，这时存放变量x的单元可作它用）
第二步　x←y；（再将y 的值赋给变量x，这时存放变量y的单元可作它用）
第三步　y←p.（最后将p 的值赋给y，两个变量x和y的值便完成了交换）
上述算法用流程图表示如右
例3：写出求边长为3，4，5的直角三角形内切圆面积的流程图.
解析：直角三角形的内切圆半径r＝（c为斜边）.
Ⅲ.课堂练习
课本P9 1，2.
Ⅳ.课时小结
顺序结构的特点：计算机按书写的先后次序，自上而下逐条顺序执行程序语句，中间没有选择或重复执行的过程.
Ⅴ.课后作业
课本P14 1，3.
- 2 -第五课时 等差数列的前n项和(一)
教学目标：
掌握等差数列前n项和公式及其获取思路，会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题；提高学生的推理能力，增强学生的应用意识.
教学重点：
等差数列前n项和公式的推导、理解及应用.
教学难点：
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：
（1）an－an－1＝d(n≥1)，d为常数.
（2）若a，A，b为等差数列，则A＝.
（3)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.（其中m，n，p，q均为正整数）
Ⅱ.讲授新课
随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题.
例：如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔
这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？
首先，我们来看这样一个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？
对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？
高斯的算法是：首项与末项的和：1＋100＝101，
第2项与倒数第2项的和：2＋99＝101，
第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，
……
第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是101×＝5050.
这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.
设等差数列{an}的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an ①
把项的次序反过来，Sn又可写成Sn＝an＋an－1＋…＋a1 ②
①＋②2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)
又∵a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3＝…＝an＋a1
∴2Sn＝n(a1＋an)
即：Sn＝
若根据等差数列{an}的通项公式，Sn可写为：Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n－1)d]①,把项的次序反过来，Sn又可写为：Sn=an+(an－d)+…+[an－(n－1)d ②],把①、②两边分别相加，得
2Sn＝＝n(a1＋an)
即：Sn＝.
由此可得等差数列{an}的前n项和的公式Sn＝.
也就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.
用这个公式来计算1＋2＋3＋…＋100＝？我们有S100＝＝5050.
又∵an＝a1+(n－1)d,
∴Sn＝＝＝na1＋d
∴Sn＝或Sn＝na1＋d
有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？
分析题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{an}，其中a1＝1，a120＝120，n＝120.
解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{an}，其中n＝120，a1＝1，a120＝120.
则：S120＝＝7260
答案：这个V形架上共放着7260支铅笔.
下面我们再来看一例题：
等差数列－10，－6，－2，2，…前多少项的和是54
分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.
解：设题中的等差数列为{an}，前n项为的Sn，由题意可知：a1＝－10，d＝(－6)－(－10)＝4，Sn＝54
由等差数列前n项求和公式可得：
－10n＋×4＝54
解之得：n1＝9，n2＝－3(舍去)
答案：等差数列－10，－6，－2，2，…前9项的和是54.
［例1］在等差数列{an}中，
（1）已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16
（2）已知a6＝20，求S11.
分析：（1）由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a1，a16，d，但由等差数列的性质，可以直接利用条件求出a1＋a16的和，于是问题得以解决.
（2）要求S11只需知道a1＋a11即可，而a1与a11的等差中项恰好是a6，从而问题获解.
解：（1）∵a2＋a15＝a5＋a12＝a1＋a16＝18
∴S16＝＝8×18＝144.
（2）∵a1＋a11＝2a6
∴S11＝＝11a6＝11×20＝220.
［例2］有一项数为2n＋1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比.
分析一：利用Sn＝na1＋d解题.
解法一：设该数列的首项为a1，公差为d，奇数项为a1，a1＋2d，…其和为S1，共n＋1项；偶数项为a1＋d，a1＋3d，a1＋5d，…，其和为S2，共n项.
∴＝ eq \f(（n＋1）a1＋（n＋1）[（n＋1）－1]2d,n（a1＋d）＋n（n－1）2d) ＝.
分析二：利用Sn＝解题.
解法二：由解法一知：
S1＝，S2＝
∵a1＋a2n+1＝a2＋a2n ∴＝
［例3］若两个等差数列的前n项和之比是（7n＋1）∶(4n＋27)，试求它们的第11项之比.
分析一：利用性质m＋n＝p＋qam＋an＝ap＋aq解题.
解法一：设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn.
则：a11＝，b11＝,
∴＝ eq \f(,) ＝ eq \f(·21,·21) ＝＝＝
分析二：利用等差数列前n项和Sn＝An2+Bn解题.
解法二：由题设，令Sn＝(7n＋1)·nk，Tn＝(4n＋27)·nk
由an＝Sn－Sn－1＝k(14n－6)，得a11＝148k，n≥2
bn＝Tn－Tn－1＝k(8n－23)，得b11＝111k，n≥2,
∴＝＝.
评述：对本例，一般性的结论有：已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，则：
（1）＝；(2) ＝·.
［例4］等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为
A.30 B.170 C.210 D.260 答案：C
分析一：把问题特殊化，即命m＝1来解.
解法一：取m＝1，则a1＝S1＝30，a2＝S2－S1＝70
∴d＝a2－a1＝40，a3＝a2＋d＝70＋40＝110，S3＝a1＋a2＋a3＝210
分析二：利用等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋d进行求解.
解法二：由已知，得
eq \b\lc\{(\a\al(Sm＝ma1＋d＝30,S2m＝2ma1＋d＝100))
解得a1＝＋，d＝
∴S2m＝3ma1＋d＝210.
分析三：借助等差数列的前n项和公式Sn＝及性质m＋n＝p＋qam＋an＝ap＋aq求解.
解法三：由已知得
由③－②及②－①结合④，得S3m＝210.
分析四：根据性质：“已知{an}成等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…(k≥2)成等差数列”解题.
解法四：根据上述性质，知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列.
故Sm＋(S3m－S2m)＝2(S2m－Sm),
∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.
分析五：根据Sn＝an2＋bn求解.
解法五：∵{an}为等差数列，
∴设Sn＝a·n2＋b·n,
∴Sm＝am2＋bm＝30，S2m＝4m2a＋2mb＝100
得a＝，b＝
∴S3m＝9m2a＋3mb＝210.
分析六：运用等差数列求和公式，Sn＝na1＋d的变形式解题.
解法六：由Sn＝na1＋d，即＝a1＋d
由此可知数列{}也成等差数列，也即，，成等差数列.
由＝＋，Sm＝30，S2m＝100
∴S3m＝210.
评述：一般地，对于等差数列{am}中，有＝ (p≠q).
[例5]在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列，求这10个数的和.
分析：求解的关键有二：其一是求和公式的选择；其二是用好等差数列的性质.
解法一：设插入的10个数依次为x1，x2，x3，…，x10，则a，x1，x2，…，x10，b成等差数列.
令S＝x1＋x2＋x3＋…＋x10，需求出首项x1和公差d.
∵b＝a12＝a1＋11d
∴d＝，x1＝a＋＝
∴S＝10x1＋d＝10·＋·＝5(a＋b)
解法二：设法同上，但不求d.依x1＋x10＝a＋b
∴S＝＝5(a＋b)
解法三：设法同上，正难则反
∴S＝S12－(a＋b)＝－(a＋b)＝5(a＋b)
评述：求和问题灵活多变，要注意理解和运用.
［例6］在凸多边形中，已知它的内角度数组成公差为5°的等差数列，且最小角是
120°，试问它是几边形？
解：设这是一个n边形，则
eq \b\lc\{(\a\al(Sm＝n×1200＋·50＝（n－2）×1800,1200＋（n－1）·50＜1800))
n＝9
所以这是一个九边形.
Ⅲ.课堂练习
课本P42练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n项和公式:
Sn＝＝na1＋d及其获取思路.
Ⅴ.课后作业
课本P45习题 1，2，3
- 5 -《数学必修模块2教学研究》
海南省国兴中学 颜仁海 陆臻 许启良 韩勋
一、教学实录
（一）在本模块的教学中，对课标和教材所作的研究内容：
为了更好地组织实施好本模块的教学，我们高一年级数学备课组成员以问题为载体，主要对如下课题进行了研究：（1）课标中所提倡的教育理念是什么？；（2）新课标与原来的教学大纲有什么不同？（3）本模块的教学内容包括哪些，每一部分的教学内容是如何展开和深入的，它所需要达到的三维目标是什么？（4）新教材与旧教材比较，在内容和结构特征上都发生了哪些变化？为什么这样变化，它所要达到的目的是什么？（5）如何把握立体几何初步和平面解析几何初步的教学难度？
（二）本模块教学实际上所花费的时间及其原因
包括考试在内，完成《数学2》教学，我们一共花了44课时，比课程标准的要求多了8课时．其中的主要原因有：（1）学生基础薄弱；（2）教科书整体编排内容覆盖面过广且容量大；（3）虽然学生经过第一个学段的学习后，学习方式有了转变，但转变的幅度还不够大，还不能完全适应新课程的需要．为了面向全体学生，夯实学生基础，我们只好增加课时，稍微放慢了教学进度，尽可能让每个学生不但学会，而且会学和乐学．
（三）教学体会
第一 通过对《数学2》的教学，我们深切体会到它具有如下特色：
1、在内容安排上，通过研读课标和作新旧教材的如下对比，我们发现新课程《数学2》
中立体几何初步的内容体现了从整体到局部，从具体到抽象的原则．而旧教材这部分的内容遵循的是从局部到整体的原则．
全日制普通高级中学教科书（实验修订本．必修） 人教A数学2
第九章 直线、平面、简单几何体 一 空间直线和平面9．1 平面9．2 空间直线9．3 直线和平面平行的判定和性质9．4 直线和平面垂直的判定和性质9．5 两个平面平行的判定和性质9．6 两个平面垂直的判定和性质9．7 棱柱9．8 棱锥研究性学习课题：多面体欧拉公式的发现9．9 球小结与复习 第一章 空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考 画法几何与蒙日1．3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章 点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考 欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题
同时在内容的难度要求上,《数学2》与旧教材比较，难度进行了降低，并且引入了合情推理．
《数学2》中解析几何初步的内容安排遵循了阶段性、螺旋式上行的原则，而旧教材遵循的是连续性、一步到位的原则．
全日制普通高级中学教科书（实验修订本．必修） 人教A数学2
第七章 直线和圆的方程7．1 直线的倾斜角和斜率7．2 直线的方程7．3 两条直线的位置关系7．4 简单的线性规划7．5 研究性课题与实习作业:线性规划的实际应用7．6 曲线和方程7．7 圆的方程7．8 小结与复习第八章 圆锥曲线方程一 椭圆二 双曲线三 抛物线 第三章 直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率探究与发现 魔术师的地毯3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考 笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章 圆与方程4．1圆的方程阅读与思考 坐标法与机器证明4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹（圆）小结复习参考题
2、突显“数学探究”和“数学文化”．从上表中我们不难发现《数学2》的这个特点．
3、所选择的素材贴近学生的生活实际，激发了学生学习数学的兴趣，并且在生活中自觉树立起了数学意识．如在第一章空间几何体中，习题1．2 B组第1题：右图是一个哑铃，说出它的几何结构特征，并画出它的三视图；1．3．2 球的体积和表面积中的例5：图1．3-10表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花？；本章复习参教题A组第7题： 为了欢度新年，高一（1）班订购了一个三层大蛋糕，如果蛋糕外层均匀包裹着厚度为0．1cm，密度为0．7g/cm3的奶油,那么全班同学约吃掉多少克奶油？；又如4．2直线、圆的位置关系的引例问题：一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否受到台风的影响．4．2．3直线与圆的方程的应用一节中的例4以及课后练习题的第2和3题．这些素材，都较好地反映了学生的生活实际，我们发现学生通过学习《数学2》了以后，学生的应用意识得到进一步增强，实践能力得到进一步提高．
4、注重与各学科之间的融合．如
（1）与信息技术的．在教材中多处提到用信息技术探索数学问题，如习题3．1第6题：经过点（0，-1）作直线，若直线与连结A（1，-2），B（2，1）的线段总有公共点，借助信息技术工具，找出直线的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由．习题3．2B组第6题：用信息技术工具画出直线：，并在平面上取若干点，度量它们的坐标，将这些点的坐标代入，求它的值，观察有什么规律．习题4．1B组第3题：已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为，先利用信息技术手段，探求点M的轨迹，然后求出它的方程．第四章复习参考题B组第6题：
已知圆C：直线．
①求证：直线过定点．
②运用信息技术，判断直线被圆C载得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m的值，以及最短长度．
在阅读材料中，根据需要穿插了“信息技术应用”栏目．
通过与信息技术的融合，提高了学生探索、发现和解决数学问题的能力，有利于学生认识数学的本质．
（2）与物理和化学的融合．如习题3．2A组的第6、第7和第11题等．通过与其他学科的融合，帮助学生在学习的过程中，自觉树立起了联系的观点，拓展了学生对问题的认识深度和广度，有利于学生体验数学作为基础学科的价值．
5、在教科书中，各节根据需要，开设了“思考”、“观察”和“探究”等栏目，把学生作为学习的主体来编排内容，符合新课程的理念．有利于学生开展自主和合作学习，实现教师教学和学生学习双重行为方式的转变．
6、在教材中所穿插的“阅读与思考”等内容，能很好地反映数学的历史、数学的应用和发展的最新信息，有利于帮助学生认识数学是人类文化的重要组成部分．
7、在编排方面．在每章均有章头图和引言，作为本章内容的导入，使学生对该章学习的内容产生悬念，发生兴趣，从而初步了解学习该章内容的必要性．
8、增加了教材旁注，并且多处提到解决问题的基本数学思想方法．如直线与平面平行判定定理的旁注：定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行．这是处理空间位置关系一种常用方法，即将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）．紧跟着例1完了以后，又指出：今后要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行，就可以断定已知直线与这个平面平行．这有利于提高学生自主学习的能力，使学生不但学会数学，而且会学数学．
第二 根据新课程的特色，我们积极探索和实践，转变教学方式，努力实现新课程理念和编者的意图：
1、认真研读课标，站在一个整体、全局的高度把握好教学的深浅度．
（1）从整套教材来看，几何教学、学习的要求不是一步到位，而是分阶段，分层次，多角度的．
一共分为三个阶段：
第一阶段 必修课程: 数学2：
立体几何初步、解析几何初步．
第二阶段 选修系列1和系列2 ：
系列1和系列2：圆锥曲线与方程；
系列2：空间向量与立体几何．
第三阶段 选修系列3，4
系列3-1，数学史选讲中的部分专题：
2．古希腊数学
毕达哥拉斯多边形数，从勾股定理到勾股数，不可公度问题．
欧几里得与《几何原本》，演绎逻辑系统，第五公设问题，尺规作图，公理化思想对近代科学的深远影响．
阿基米德的工作：求积法．
4．平面解析几何的产生——数与形的结合
函数与曲线．
笛卡儿方法论的意义．
7．千古谜题——伽罗瓦的解答
几何作图三大难题
系列3-3，球面上的几何；
系列3-5，欧拉公式与闭曲面分类；
系列3-6，三等分角与数域扩充；
系列4-1，几何证明选讲；
系列4-4，坐标系与参数方程
立体几何的学习也是分层次的：
第一层次：对几何体的认识，依赖于学生的直观感受，不做 任何推理的要求．
第二层次：以长方体为载体（包括其它的实物模型、身边的实际例子）
对图形（模型）进行观察、实验和说理．引入合情推理．
第三层次：严格的推理证明．如线面平行、垂直的性质定理的证明 ．
第四层次：空间向量与立体几何，用代数的方法研究几何问题．
为此，我们在教学时必须进行分阶段，分层次，多角度地教学，更多地关注学生学习的情感，防止学生对立体几何和解析几何的学习出现畏惧心理，丧失学习的信心．
（2）正确理解立体几何初步中，较容易处理的问题采用合情推理和综合方法处理，而较难处理的问题放在后面采用代数的方法（选修部分-空间向量与立体几何）的目的．一是有利于刚开始把更多的时间和精力放在培养学生空间感和对数学思想方法的掌握上．二是有利于化难为易，改变学生对立体几何的态度，建立起学生学好立体几何的信心．三是有利于加强了几何与代数的联系，培养学生数形结合的思想，完善学生对数学的认知结构．
2、在立体几何初步的教学中，注意利用学生身边的实物模型进行教学，遵循由直观到抽象，由感性认识到理性认识，强调平面问题与空间问题之间的互相转化方法和思想．
3、注重结合教材中的的阅读与思考，加强对学生进行数学文化的熏陶，开拓学生的视野，培养学生学习数学的热情。
4、利用“思考”、“观察”和“探究”等栏目，培养学生自主学习的能力和合作学习的精神，增强学生创新的意识．
第三 教师的教学和学生的学习所遇到的困难及克服方法
在本模块的教学和学习中，师生所遇到的困难主要有：1、教与学的深浅度不好把握；2、学生的课外辅导用书很多与课标的要求不相符合；3、整体编排内容覆盖面过广且容量大与课时少之间的矛盾；4、学生学习方式和方法还不能适应高中新课程的要求；5、学生用信息技术解决数学问题的能力比较弱．
所采取的克服方法：关于第1个困难的克服，上述已经谈及；关于第2个困难的克服，主要是向学生推荐好的学习资料；关于第3个困难的克服，主要抓住教学内容的本质、重点、难点和关键，正确把握好教学深浅度，有放矢地授课，培养学生自主学习和探究的能力，其次利用星期六进行适当辅导；关于第4个困难的克服，主要是通过开设学习方法讲座，向学生介绍自主学习的方式及方法；介绍高中数学的特点及应采取的学习方法；大力开展研究性学习活动；关于第5个困难的克服，主要是利用课余时间，加强对学生使用数学软件能力的培训．特别是让学生学会使用《几何画板》．
海南省国兴中学04级高一年级模块终结性考试
数学（2）
说明：本卷分第一卷和第二卷两部分．第一卷为选择题，第二卷为非选择题．考试时间：120分钟．全卷满分150分．
一、选择题（每小题4分，共48分，每小题只有一个正确答案）
1、直线的倾斜角是( )
（A）30° （B）120° （C）60° （D）150°
2、如图，平面不能用（ ） 表示．
（A） 平面α （B）平面AB
（C）平面AC （D）平面ABCD
3、点P(x,y)在直线x+y-4=0上，O是坐标原点，则│OP│的最小值是（ ）
（A） （B） （C）2 （D）
4、直线x-2y-2k=0与2x-3y-k=0的交点在直线3x-y=0上，则k的值为（ ）
（A）1（B）2（C）（D）0
5、有下列四个命题：
1）过三点确定一个平面 2）矩形是平面图形 3）三条直线两两相交则确定一个平面 4）两个相交平面把空间分成四个区域
其中错误命题的序号是（ ）．
（A）1）和2） （B）1）和3） （C）2）和4） （D）2）和3）
6、下列命题正确的是（ ）．
A、一直线与一个平面内的无数条直线垂直，则此直线与平面垂直
B、两条异面直线不能同时垂直于一个平面
C、直线倾斜角的取值范围是：0°<θ≤180°
D、两异面直线所成的角的取值范围是：0<θ<90°．
7、直线L1:ax+3y+1=0, L2:2x+(a+1)y+1=0, 若L1∥L2,则a=( )
A．-3 B．2 C．-3或2 D．3或-2
8、两直线3x+2y+m=0和（m2+1）x-3y-3m=0的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．重合 D．视M而定
9、如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，
那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直相交
C．异面 D．相交但不垂直
10、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD
在原正方体中的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交且垂直
C． 异面 D．相交成60°
11、圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，
则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为（ ）
A．1:(-1) B．1:2 C．1: D．1:4
12、设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线 y=x, 则被y=x 反射后,反射光线所在的直线方程是( )
A．x-2y-1=0 B．x-2y+1=0
C．3x-2y+1=0 D．x+2y+3=0
二、填空题（每小题4分，共4小题16分）
13、已知三点A（a,2） B(5,1) C(-4,2a)在同一条直线上，
则a= ．
14、直线3x+4y-12=0和6x+8y+6=0间的距离是 ．
15、在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D,
沿AD折成二面角B-AD-C后，BC=a,这时二面角B-AD-C的大小为 ．
16、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和他们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．
三、解答题（共6大题，共74分）
17、(12 分 )写出过两点A(5,0)、B(0,-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程．
18、(12 分 )已知，α∩β=m,b α,c β,b∩m=A,c∥m求证：b,c是异面直线．
19、(12 分 )△ABC中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且│AB│2=│AD│2+│BD│·│DC│．用解析法证明：△ABC为等腰三角形．
20、(12 分 )如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形
的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗
请用你的计算数据说明理由．
21、(12 分 )．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1) 求证：AC⊥平面B1D1DB;
(2) 求证：BD1⊥平面ACB1
(3) 求三棱锥B-ACB1体积．
22、为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC,RQ⊥BC,另外△AEF的内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m．
(1) 求直线EF的方程(4 分 )．
(2) 应如何设计才能使草坪的占地面积最大？(10 分 )．
海南省国兴中学04级高一年级模块终结性考试
数学（2）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B C D B B C B C D A A
二、填空题（每小题4分，共4小题16分）
13．2或 14． 3
15． 60° ， 16． 3:1:2
三、解答题（共6大题，共74分）
17、(12 分 )写出过两点A(5,0)、B(0,-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程．
解：两点式方程：；
点斜式方程：，即；
斜截式方程：，即；
截距式方程：；
一般式方程：．
18、(12 分 )已知，α∩β=m,b α,c β,b∩m=A,c∥m求证：b,c是异面直线．
证明：假设与共面，则或与相交．
①若，由得，平行，这与矛盾
②若，∵，，故，，故必在、的交线上，即与相交于点，这与矛盾，故也与不相交．
综合①②知与是异面直线．
19、(12 分 )△ABC中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且│AB│2=│AD│2+│BD│·│DC│．用解析法证明：△ABC为等腰三角形．
解：作，垂足为，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立直角坐标系．
设，，，．
因为，
所以，由距离公式可得，
所以，为等腰三角形．
20、(12 分 )如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形
的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗
请用你的计算数据说明理由．
解：因为
因为
所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．
21、(12 分 )．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(4) 求证：AC⊥平面B1D1DB;
(5) 求证：BD1⊥平面ACB1
(6) 求三棱锥B-ACB1体积．
(答案略)
22、为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC,RQ⊥BC,另外△AEF的内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m．
(3) 求直线EF的方程(4 分 )．
(4) 应如何设计才能使草坪的占地面积最大？(10 分 )．
解：（1）如图，在线段EF上任取一点Q，分别向BC,CD作垂线．
由题意，直线EF的方程为：
+=1
（2）设Q（x,20-x）,则长方形的面积
S=（100-x）[80-（20-x）] (0≤x≤30)
化简，得 S= -x2+x+6000 (0≤x≤30)
配方，易得x=5,y=时，S最大，其最大值为6017m2
试卷分析
本试题是以高考命制为基准，全卷满分150分，其中选择题12题共60分，填空题4小题共16分，解答题6小题共74分．
一、学生得分情况
本次考试共有599人参加，平均分为84．1分，90分以上有275人，及格率为45．9%，学生分段成绩及人数如下表：
分数段 50分以下 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 100- 109 110- 119 120- 129 130- 139 140- 149 150
人 数 64 40 80 74 66 94 72 55 35 14 3 2
累 计 64 104 184 258 324 418 490 545 580 594 597 599
分数段人数条形统计图如下：
二、学生答卷情况
选择题答卷情况较好，大部分学生都能拿到40分以上，填空题的平均分为8分，第17题是考察学生对直线的方程形式的认识与应用，答题较好；第18题是考察学生对立体几何的掌握情况，大多数同学在解题过程中，不能准确应用立体几何语言阐述证题过程；第19题是考察学生对平面解析几何知识的初步应用，考生得分最低，原因是很多同学没有建立直角坐标系来解题；第20题是考察学生对几种几何体体积公式的理解与几何体间等体积的转化，效果较好；第21题是考察学生对立体几何中线与线、线与面间的关系的掌握情况，同时考察学生对几何体体积公式中各种元素对几何体体积的影响，第（1）、（2）小题答题较好，第（3）小题的答题情况一般，原因是学生不善于观察几何图形而苦苦寻找公式中的元素，故得分较低；第22题是考察学生构建函数解决现实问题的能力，学生得分较高．
三、反思
本次命题主要考察学生的运算、分析问题、空间想象、逻辑思维等等能力．在命题的过程中，我们试图通过试题的命制和考试来发现学生对基础知识掌握的情况，并以此为基础，重新给学生的学习能力进行定位，并通过考试成绩来制定下个学段的教学目标．有了这一层的指导思想，故在命题时，从易到难的方式进行命题，让学生在考试中能充分发挥自己的学，在考试中享受数学学习的乐趣．从整个试卷的问题设置来看，我们认为试卷的命题是成功的，它能反映出学生的各种数学能力，考试结果达到我们的预期目标，但从评卷后的成绩来看，低分段的学生大有人在，这说明了我们在命题时，没有完全考虑“差生”答题的能力，这可能会打击部分学生学习数学的积极性．
三、模块教学反思
（一） （一）经验教训
1、取得的经验，归纳起来主要有以下几点：
（1）备课时，认真研读《高中数学课程标准》中有关数学2的相关内容，做到心中有课标，以课标审视教材中所提供的素材是否符合要求，是否需要更换，即树立起正确的教材观：用教材教，而不是教教材．如球的体积和表面积，根据课标要求只需了解公式即可．为此，在教这一节时，我们只要求学生初步了解公式导出过程中所隐含的数学思想方法，并不要求理解其证明过程．
（
（2）在教学内容与课时安排上，大胆突破小节与小节之间的框架结构束缚．如在“1．1．1柱、锥、台、球的结构”和“1．1．2简单组合体的结构特征”中，我们是这样安排课时的：第1课时安排学习“柱、锥的结构特征”，第2课时安排学习“台、球和简单体的结构特征”．
（3）抓住内容的本质和重点，有放矢地授课，培养学生自主学习和探究的能力．如“空间几何体的三视图”，由于来至非课改地区的学生在以前没有学过这部分知识，并且“柱、锥、台、球的三视图”是“简单组合体的三视图”的基础，因此在教学时，前部分的内容主要由教师引导学生完成学习，后一部分的内容则可由学生自主学习完成，教师给予检查反馈．又如在解析几何初步部分，重点是让学生掌握数形结合的思想，即懂得把“几何问题代数化”，又要懂得把“代数问题几何化”．为此，在讲完p112“例4 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．”后，我们把复习参考题P121 B组第7题，作为例题：设
求证：对于任意，
虽然此题的难度比较大，但通过这样的处理后，我们惊喜地发现学生对解析几何的基本思想和价值的认识更加全面，从而认识到坐标法不但解决几何问题的手段，也是解决代数问题的有力手段．
（4）善于通过多种途径和方法获取教学资源．
（5）在“第二章 点、直线、平面之间的位置关系”教学中，注意利用学生身边的实物模型进行教学，遵循由直观到抽象，由感性认识到理性认识，强调平面问题与空间问题之间的互相转化方法和思想．把重点放在引导学生如何学上．使学生的自学能力得到提高．
（6）学习掌握使用信息技术处理问题的方法
如第一章复习参考题B组第3题：你见过如图1所示的纸篓吗？仔细观察它的几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？
（ 图1） （图2）
对于教材中的这道题，如果只靠学生的凭空思考，许多学生是无法解决的．为此，老师可以让学生利用几何画板做如下数学实验：
如图2，所示的正方体，棱长为1，其中O，O/分别为下底面和上底面中心．如果以OO/为轴，转动正方体．
（1）如果跟踪线段AA/，那么它留下的轨迹是什么图形？
（2）如果跟踪正方体的一条对角线，如AC/，那么它留下的轨迹是什么图形？
（3）你认为应跟踪哪一条线段，它所留下的轨迹才能得到纸篓面？随着正方体的转动和学生不断调整跟踪的线段，可以发现正方体侧面对角线留下的轨迹即是纸篓面．
此题也可以在A组第2题的基础上启发学生得出答案．但同样要借助《几何画板》演示．
（7）在教具方面，注意黑板、实物模型和多媒体三者之间的合理相互配合使用，发挥各具的优点．一般情况下，重要的定义、定理、数学基本思想方法等在教学的过程中学生后继需要用来帮助解题的内容，则应板书；需要动态演示的可用多媒体（如简单几何体的结构特征，异面直线所成的角等）；实物模型则更有利于学生观察，省去做课件的时间．
（8）在教学中注重强调自然语言、数学符号语言和图形语言的使用．特别是图形语言的使用，应让学生养成习惯．图形语言有诸多优点．
2、应吸取的教训
在“1．3．2球的体积和表面积”这一小节的教学过程中，由于把重点放在公式的推导，而不是公式的使用，使本来应2课时完成的教学任务，实际用了3课时．今后在教学中，对两个公式的推导，只需让学生了解公式推导过程所含的数学思想方法即可，重点应放在公式的应用上．
（二）对教材的修订意见：
1、教材中的例题和课后所配套的有些练习题的深浅度反差过大，与课标结合得不够紧，容易使学生对学习数学失去信心，造成心理障碍．如第36页复习参考题第3题，第121页复习参考题第5题，应删去．
2、教科书在结构方面需要调整修改的地方
（1）建议1．3．2球的体积和表面积的公式推导过程，作为学生的阅读材料；
（2）把第130页习题4．1A组第6题改为B组题，同时给出定比分点坐标公式．
（3）第146练习第4题改为习题4．3B组的题目．
（4）“经过直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面”和“经过两条相交直线，有且只有一个平面”这两个结论，从教学角度来考虑，我们认为把它们调整为平面公理2的推论更好一些，而不是作为课后的判断题．
（5）4．3空间直角坐标系在引入过程中，我们认为有必要向学生提出一些问题，如“如何确定一架飞机在空中的位置？需要多少个实数表示？”，使学生认识到学习本节的必要性．
3、素材的选择
所选择的素材都比较好，没有修改建议，只需根据社会的发展变化，及时更新素材，使它能体现时代性即可．
4、关于例题和习题的修改建议
①第152页复习参考题A组第2题，建议修改为“求圆心在直线上，并经过原点和点（4，1）的圆的方程；第36页B组第3题，建议删除．②如果没有信息技术辅助，学生无法想象得出来．
5、表述错误或不恰当的内容（包括印刷性错误）
①教科书在表述作线段时，多处使用“连接XX”，如第13页例1画法步骤（3）等，应改为“连结XX”；②第18页习题1．2A组第1题的图（2）可见线不能画成虚线；③第63页例5的图（2）直线不能全画成实线．第71页倒数第二段“二面角的平面角”后应加句号；④第128页顺数第3行，“当”应改为“”．⑤第112页例4，应先“先画出图形，写出已知和求证，然后加以分析，再给予证明”．
（三）课标理念
通过《数学2》教学，我们认为《数学2》从编写所选择的素材，编排的内容、结构和设计等方面是比较科学、合理的，能很好地体现《高中数学课程标准》的要求和理念．但我们认为《课标》在课时安排上欠妥，主要反映为：没有考虑到全国各地教育水平的差异，硬性规定为36课时完成教学，实践证明与《数学2》所要完成的教学内容与规定的36课时产生的矛盾比较突出，普遍感到时间不够用，可弹性差．我们建议做什么事情都不能一刀切，应充分考虑到数学的基础性和重要性，以及各地教育水平的差距性．为此，我们认为《数学2》的课时安排应为每周5课时比较合理，给全国各地的教学留有一定的弹性．或者把第四章圆与方程的内容放到选修系列中．
C
D
B
A
C
A
B
D
M
D
C
A
B
D
A
B
C
M
T
_
12
cm
_
4
cm
D1
C1
B1
A1
C
D
B
A
b
A
c
m
β
α
_
12
cm
_
4
cm
D1
C1
B1
A1
C
D
B
A
B
A
y
x
C
D
F
E
Q
P
R
D
A
C
O
B
y
x
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数学教育网http:/// 主审戴刚锋第15课时 直线与平面平行的判定和性质（三）
教学目标：
通过运用定理解决具体问题，培养学生的空间想象能力、判断思维能力、逻辑推理能力，使学生进一步掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理，并能正确运用之解决一些具体问题；通过学生自主地学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生不断发现，探索新知的精神，提高观察问题、分析问题的能力，增强勇于战胜困难的勇气.
教学重点：
直线与平面平行的判定定理、性质定理的应用.
教学难点：
直线与平面平行的判定定理、性质定理的应用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］前面我们学习了直线与平面的三种位置关系，并且讨论了其中的一种关系——直线与平面的平行问题，学习了一个判定定理、一个性质定理，请同学们回忆一下判定定理和性质定理的具体内容.
［生］判定定理是“线线平行则线面平行”，性质定理是“线面平行则线线平行”.
［师］请具体阐述一下判定定理中前面的“线线”，性质定理中后面的“线线”.
［生］判定定理中前面的“线线”，一条在平面外，另一条在前述的平面内；性质定理后面的“线线”，一条是平行于平面的直线，另一条是过前一条直线的平面与已知平面的交线.
［师］好.应用定理应注意什么？
［生］结论成立的条件一个不能少.
［师］判定定理结论成立的条件有几个？分别是什么？
［生］有三个.分别是aα，bα，a∥b.
［师］性质定理结论成立的条件有几个？分别是什么？
［生］有三个.分别是a∥α，aβ，α∩β=b.
［师］应该注意.应用定理解决具体问题时，三个条件一个不能少.还有，如果证题过程中能应用“”符号，则尽可能使用，它能使你的推理更加严谨、简捷，给读者或老师或阅卷人一个简洁明了的印象.下面我们来讨论直线与平面平行的判定定理与性质定理的综合应用.
Ⅱ.新课讨论
［师］上节课，我们已经讨论了一个综合应用的例子，大家讨论、分析、研究得很投入，希望继续发扬这种钻研精神，来研究我们面临的问题.
［例1］已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
分析：欲证AP∥GH.只要证什么就可以了？
［生］因为GH是过AP的平面与面BDM的交线，所以
要证AP∥GH，只要证AP与含GH在内的平面平行就可以了.
［师］GH在哪一个平面内？
［生］GH在面BDM内.
［师］那也就是说，只要证AP与面BDM平行就行了.怎样
证AP与面BDM平行呢？
［生］只要证AP与面BDM内一条直线平行就行了.
［师］与面BDM内哪一条直线平行呢？能是GH吗？
［生］肯定不能是GH.
［师］那么证AP与哪一条直线平行呢？(稍停，给学生留出点思考的时间)，这就得在面BDM内找，找到的这条直线，要能较好地联系已知.
［生］连结AC，AC与BD的交点是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，设为O，因为M是PC的中点，连结OM，则OM在面BDM内，又是△PAC的中位线，所以AP平行MO，问题得证啦！
［师］××同学所谈有道理吗？
［众生］有.
［师］××同学的分析完全正确.下面请同学们整理证明过程(请一位同学写在黑板上，供教师做讲评).
证明：连结AC，设AC交BD于O，连结MO.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴O是AC的中点
又M是PC的中点 ∴MO∥PA
又MO面BDM、PA面BDM.
∴PA∥面BDM.
又经过PA与点G的平面交面BDM于GH.
∴AP∥GH.
［师］刚才我们分析所用的方法称为执果索因法，我们证题一般用的由因导果法(也叫综合法).前者是从结果(论)出发，寻找结果(论)成立的原因(条件)，一直追溯到已知；后者是从条件出发一直到推出结果.两者是完全不同的推理方法.请同学们注意：执果索因法是分析问题、寻求思路的一种有效方法.遇到问题，两者联用，在似乎“山穷水尽疑无路”之时，都能寻求到解(证)题的途径，达到“柳暗花明又一村”的境地.
［例2］如图，平面MNPQ∥AC，BD∥面MNPQ.
(1)求证：MNPQ是平行四边形；
(2)如果AC＝BD＝a，求证：四边形MNPQ的周长为定值；
(3)如果AC＝a，BD＝b，AC与BD成θ角，求四边形MNPQ面积的最大值，并确定此时M的位置.
［师］请同学们认真审题，并作出分析，以学习小组为单位
展开讨论，寻求答题途径.
(同学们人人积极思考，以学习小组为单位各抒己见，讨论很
热烈)
［生甲］对于(1)小题，欲证MNPQ是平行四边形，只要
证明MNPQ有一组对边平行且相等，或两组对边分别平行就可
以了，结合已知易证两组对边分别平行，因为AC平行于面MNPQ，
过AC的平面ACB交面MNPQ于MN，所以AC平行于MN，同理AC平行于PQ，由平行公理得MN平行于PQ，同理可证MQ平行于NP，所以四边形MNPQ是平行四边形.
［师］生甲同学分析得很好.
［生乙］对于(2)小题.因为MN平行于AC，所以 ＝，又AC＝a，所以MN
＝a，因为MQ平行于BD.所以 ＝.又BD＝a，所以MQ＝a，所以四边形MNPQ的周长＝2(MN＋MQ)＝2a(＋)＝2a(定值)
［师］很好.对于定值问题的证明，可以先探求定值，探求定值的方法，可以取特殊位置去探求.比如这个题，可把M、N、P、Q分别看作AB、BC、CD、DA的中点去探求定值.探求出定值之后，目标就明确了，利用已知向目标靠拢即可.但要注意，取特殊位置只能用以对定值的探求，而不能作为证明的依据.否则就使问题失去了普遍性、一般性.
［师］谁来谈一下第(3)小题的解题思路？
(谈这个小题没有谈前面两个小题那样踊跃，可能遇到了什么障碍)
［师］你是怎样想的就怎样谈，说多少算多少，说错了也没关系！(鼓励学生大胆发言)，其他同学要注意听，大家共同想办法，把这个问题解决了.
［生丙］要求四边形MNPQ面积的最大值，首先需要列出面积的函数关系式；要列出面积的函数关系式需要知道平行四边形MNPQ两邻边的长及其夹角，夹角就是异面直线AC、BD所成的角θ，两邻边的长表示不出来.虽然MN与AC有个关系，NP与BD也有个关系，但表示不出平行四边形的边长来.
［师］不错.生丙同学前面的分析很好，但到后来他犯愁了，谁来帮他想想办法？
(没有学生接这个“茬”)
［师］大家只顾找MN、NP怎样表示了，而忽略了一个重要的东西：列面积的函数关系式需要自变量啊，哪个量“扮演这个角色”呢？从题中再看看，审题万万不可不仔细！
［生丁］设AM＝x
［生丙］(生丁的一“点”，障碍排除，抢着回答)
只设AM还不行，再设AB＝l(l为定值)，这样就行了.(跑到讲台上，在黑板上书写).
设AM＝x，AB＝l
由(2)知：NP＝b＝b＝x MN＝a＝a ＝ (l－x)
设平行四边形MNPQ的面积为S.
则S＝MN·NP·sinMNP
＝x· (l－x)sinθ＝ (lx－x2)sinθ＝［－(x－)2＋］sinθ
∴当x＝，即M为AB的中点时，S最大值为 sinθ.
［师］生丁同学谈出了今天第(3)小题讨论中重要的一点，使我们问题的解决出现了转机.生丙同学又接着对第(3)小题作出了全面的解答，大家再仔细看一看，认真想一想，对生丙同学的解答过程还有没有什么补充或更正？
［生戊］在列出四边形MNPQ的面积的函数关系式前面应表述清楚∠MNP＝θ
［师］请你来补充在解答过程中.
［生戊］(上黑板板书，补充在设平行四边形MNPQ的面积为S之前).
∵MN∥AC，NP∥BD
∴∠MNP是AC、BD所成的角，即∠MNP＝θ.
［师］好.谁还有？
［生己］设AM=x，应标明x的取值范围，把前两步的位置调换一下，标明0＜x＜l.
［师］请来予以更正补充.
［生己］在黑板上将生丙同学的解答更正补充为：设AB=l(l为定值)AM=x(0＜x＜l)
［师］还有吗？(稍停顿)好了，这样再经过大家的补充，整个解答就完美了.今后在学习中，无论是解答题，还是证明题，表述必须清楚，推理必须严谨，千万不可粗枝大叶，丢三落四，要养成严密、严谨、细致的良好习惯.有根有据，有条有理，才是一种优美的、令人赞叹的、使人折服的精彩“表演”，尤其分析问题、解决问题的方法，更应引起每位同学重视.第(1)小题、第(2)小题的证明过程，大家下去以后自己整理，现在我们来练习一个题.
Ⅲ.课堂练习
如图，□EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH.
证明：EFGH是平行四边形
BD∥面EFGH，
同理可证AC∥面EFGH.
Ⅳ.课时小结
本节课我们讨论了直线与平面平行的判定定理、性质定理的综合应用，大家一起分析了两个题目，并且分析得很好.通过这节课，要求同学们初步掌握分析问题、寻求解题思路的方法——执果索因法、由因导果法(分析法、综合法)，并养成良好的思维习惯、严谨的治学态度，进行严密的逻辑推理.
Ⅴ.课后作业
(一) 思考与练习
一、选择题
1.m、n是平面α外的两条直线，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A
2.直线a∥面α、面α内有n条互相平行的直线，那么这n条直线和直线a( )
A.全平行 B.全异面
C.全平行或全异面 D.不全平行也不全异面 答案：C
3.直线a∥平面α，平面α内有n条直线相交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的( )
A.至少有一条 B.至多有一条
C.有且只有一条 D.不可能有 答案：B
4.a和b是两条异面直线，下列结论正确的是( )
A.过不在a、b上的任意一点，可作一个平面与a、b都平行
B.过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都相交
C.过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都平行
D.过a可以并且只可以作一个平面与b平行 答案：D
二、填空题
1.过平面外一点，与平面平行的直线有_________条，如果直线m∥平面α，那么在平面α内有_________条直线与m平行. 答案：无数 无数
2.n平面α，则m∥n是m∥α的______条件. 答案：既不充分也不必要
3.直线a∥平面α，在平面α内任取两点P、Q，当PQ与a的位置关系是_____时，直线a及点P确定的平面与α的交线和过直线a及点Q的平面与α的交线互相平行.
答案：PQ与a垂直
三、解答题
1.求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.
已知：a、b是异面直线.
求证：过b有且只有一个平面与a平行.
证明：(1)存在性
在直线b上任取一点A，显然Aa.
过A与a作平面β
在平面β内过点A作直线a′∥a
则a′与b是相交直线，它们确定一个平面，设为α
∵bα，a与b异面，∴aα
又a∥a′，a′α，∴a∥α
∴过b有一个平面α与a平行
(2)唯一性
假设平面γ是过b且与a平行的另一个平面
则bγ，∵A∈b，∴A∈γ
又A∈β，∴γ与β相交，设交线为a″，则A∈a″
∵a∥γ，aβ，γ∩β=a″∴a∥a″，又a∥a′，
∴a′∥a″
这与a′∩a″＝A矛盾.
∴假设错误，故过b与a平行的平面只有一个.
综上所述，过b有且只有一个平面与a平行.
2.如图：E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，
平面α过EH分别交BC、CD于F、G.
求证：EH∥FG.
证明：连结BD.
∵E、H分别是AB、AD的中点
∴EH∥BD
又BD面BCD，EH面BCD ∴EH∥面BCD
又EHα、α∩面BCD＝FG ∴EH∥FG.
3.已知：M、N分别是△ADB和△ADC的重心，A点不在平面α内，B、D、C在平面α内，求证：MN∥α.
证明：连结AM、AN并延长分别交BD、CD于P、Q，连结PQ.
∵M、N分别是△ADB、△ADC的重心，
∴＝＝2 ∴MN∥PQ，
又PQα，MNα
∴MN∥α.
4.三个平面两两相交得到三条交线，如果其中两条交线平行，则第三条也和它们分别平行.
已知：平面α∩β=l，平面β∩γ=m，平面γ∩α=n，m∥n.
求证：l∥m，l∥n.
同理可证l∥n.
线面平行的判定与性质定理是立体几何中的重要知识，也是高考考查的重点内容.因此，教学中应注意以下几点：
1.帮助学生理解好线面平行的定义、直线和平面没有公共点，直线才和平面平行，这一条件用来判定线面平行很困难，一般采用反证法，利用定义进行论证问题.
2.线面平行的判定定理把线面平行的判定转化为线线平行的判定，将立体几何题转化为平面几何问题，运用起来方便得多.
3.线面平行的性质定理可得线线平行，给我们作平行线提供了方法.
4.线面平行的判定定理是由线线平行到线面平行，性质定理是由线面平行到线线平行，实现了线面问题与线线问题间的相互转化.
(二)1.预习直线与平面垂直的判定和性质.
2.预习提纲
(1)直线与平面垂直的定义是什么？记法是怎样的？
(2)直线与平面垂直的图形语言是怎样的？
(3)过空间一点，垂直于已知直线的平面有几个？
(4)过空间一点，垂直于已知平面的直线有几条？
(5)直线与平面垂直的判定定理是什么？
(6)用符号语言怎样表示直线与平面垂直的判定定理.
(7)“直线l垂直于平面α内的无数条直线，则直线l与平面α垂直”，正确吗？
(8)“与一个平面垂直的直线有无数条”，这个命题正确吗？
- 6 -高一数学综合训练（二） 11.5
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝3}，N＝{(x，y)|x－y＝5}，那么集合M∩N为
A.x＝4，y＝－1 B.(4，－1) C.{4，－1} D.{(4，－1)}
2.已知集合A＝{x|x2－5x+6<0}，B＝{x|x< }，若AB，则实数a的范围为
A.［6，+∞ B.(6，+∞) C.(－∞，－1) D.(－1，+∞)
3.满足{x|x2－3x＋2＝0}M{x∈N|0A.2 B.4 C.6 D.8
4.若不等式mx2＋mnx＋n>0的解集为{x|1A. B. C.－ D.－
5.设函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间（－∞，上是减函数，则实数a的范围是
A.a≥－3 B.a≤－3 C.a≥3 D.a≤5
6.在直角坐标系中，函数y＝|x|的图象
A.关于对称轴、原点均不对称 B.关于原点对称
C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
7.已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于
A.－26 B.－18 C.－10 D.10
8.函数y＝log(x2－6x＋17)的值域是
A.R B.［8，+ C.(－∞，－ D.［－3，+∞)
9.若a>1，b>1，且lg(a＋b)＝lga＋lgb，则lg(a－1)＋lg(b－1)的值等于
A.0 B.lg2 C.1 D.－1
10.设有两个命题①关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对于一切x∈R恒成立，②函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a的范围是
A.(－2，2) B.(－∞，2) C.(－∞，－2) D.(－∞，－2］
11.已知函数y＝f(2x)定义域为［1，2］，则y＝f(log2x)的定义域为
A.［1，2］ B.［4，16］ C.［０，1］ D.（－∞，0］
12.已知f(x)＝x2－bx＋c，且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，则有
A.f(bx)≥f(cx) B.f(bx)≤f(cx)
C.f(bx)二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上)
13.高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有__________人.
14.已知f(x)＝x2＋ax＋b，满足f(1)＝0，f(2)＝0，则f(－1)=______.
15.函数y＝的最大值是______.
16. y＝(a2－1)x在R上单调递减，则实数a的取值范围是__________.
17.当x∈(1，2)，不等式(x－1)218.已知2x＝7y＝196，则 ＋＝__________.
第Ⅱ卷
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题
13 14 15
16 17 18
三、解答题(本大题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.设全集U＝{不超过5的正整数}，A＝{x|x2－5x＋q＝0}，B＝{x|x2＋px＋12＝0}，
(CUA)∪B＝{1，3，4，5}，求p、q和集合A、B.
20.设f(x)＝ (a>b>0)，求f(x)的单调区间并证明f(x)在其单调区间的单调性.
21.设函数f(x)＝|lgx|，若0f(b)，证明：ab<1.
22.某种细菌每隔两小时分裂一次，（每一个细菌分裂成两个，分裂所须时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y＝f(t).（1）写出函数y＝f(t)的定义域和值域.（2）在所给坐标系中画出y＝f(t)(0≤t<6)的图象.（3）写出研究进行到n小时（n≥0，n∈Z)时，细菌的总数有多少个（用关于n的式子表示）？
23. 设0≤x≤2，求函数y＝4－a·2x＋＋1的最大值和最小值.
高一数学综合训练（二）答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A C D B D A C A D B B
二、填空题
13. 20 14. 6 15. 4 16.－＜a＜－1或1＜a＜ 17. (1,2］ 18.
三、解答题(本大题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.设全集U＝{不超过5的正整数}，A＝{x|x2－5x＋q＝0}，B＝{x|x2＋px＋12＝0}，
(CUA)∪B＝{1，3，4，5}，求p、q和集合A、B.
P＝－7，q＝6，A＝{2，3}，B＝{3，4}
20.设f(x)＝ (a>b>0)，求f(x)的单调区间并证明f(x)在其单调区间的单调性.
考查函数单调性及逻辑推理能力.
【解】 函数f(x)＝ 的定义域(－∞，－b)∪(－b，+∞)，f(x)在(－∞，－b)是减函数，f(x)在(－b，+∞)内也是减函数，证明如下：
设x2>x1>－b,则f(x2)－f(x1)＝ －
＝(1＋)－(1＋)＝－＝
∵a>b>0，x2>x1>－b ∴a－b>0，x1－x2<0，x2＋b>0，x1＋b>0
即f(x2)同理，可证f(x)在(－∞，－b)上为减函数
21.设函数f(x)＝|lgx|，若0f(b)，证明：ab<1.
考查对数函数性质、分类讨论思想.
【解】 由题设，显然a、b不能同在（1，+∞)
否则，f(x)＝lgx，且a由0①当0②当b>1时，∵0由f(a)>f(b)，得－lga>lgb，即>b， ∴ab<1
由①②可知ab<1
22.某种细菌每隔两小时分裂一次，（每一个细菌分裂成两个，分裂所须时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y＝f(t).（1）写出函数y＝f(t)的定义域和值域.（2）在所给坐标系中画出y＝f(t)(0≤t<6)的图象.（3）写出研究进行到n小时（n≥0，n∈Z)时，细菌的总数有多少个（用关于n的式子表示）？
考查函数应用及分析解决问题能力.
【解】 （1）y＝f(t)定义域为t∈［0，+∞)
值域为{y|y＝2n，n∈N*}
（2）0≤t<6时，为一分段函数
y= 图象如图
（3）n为偶数时，y＝2， n为奇数时，y＝2
∴y＝
23. 设0≤x≤2，求函数y＝4－a·2x＋＋1的最大值和最小值.
解：设2x＝t，∵０≤x≤2，∴1≤t≤4
原式化为：y＝(t－a)2＋1
当a≤1时，ymin＝－a＋，ymax＝－4a＋9；
当1＜a≤时，ymin＝1，ymax＝－a＋；
当a≥4时，ymin＝－4a＋9，ymax＝－a＋.1．1．1算法的概念 海口实验中学 李朝戟
1．1．1算法的概念
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。（2）能够用自然语言叙述算法。（3）掌握正确的算法应满足的要求。（4）会写出解线性方程（组）的算法。（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。（6）会应用Scilab求解方程组。
2、过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。
二、重点与难点：
重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
难点：把自然语言转化为算法语言。
三、学法与教学用具：
学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。
2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。
3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
四、教学设想：
1、 创设情境：
算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。因此，算法其实是重要的数学对象。
2、 探索研究
算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。
3、 例题分析：
例1 任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数 [1] 做出判定。
算法分析：根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：
第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。
第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。
这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。
例2 用二分法设计一个求议程x2–2=0的近似根的算法。
算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤：
第一步：令f(x)=x2–2。因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1=1，x2=2。
第二步：令m=(x1+x2)/2，判断f(m)是否为0，若则，则m为所长；若否，则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0。
第三步：若f(x1)·f(m)>0，则令x1=m；否则，令x2=m。
第四步：判断|x1–x2|<0.005是否成立？若是，则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步。
小结：算法具有以下特性：(1)有穷性；(2)确定性；(3)顺序性；(4)不惟一性；(5)普遍性
典例剖析：
1、基本概念题
x-2y=-1,①
例3 写出解二元一次方程组 的算法
2x+y=1②
解：第一步，②-①×2得5y=3；③
第二步，解③得y=3/5；
第三步，将y=3/5代入①，得x=1/5
学生做一做：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？
老师评一评：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下面写出求方程组的解的算法：
第一步：②×A1-①×A2，得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0；③
第二步：解③，得；
第三步：将代入①，得。
此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公司可得到倒2的另一个算法：
第一步：取A1=1，B1=-2，C1=1，A2=2，B2=1，C2=-1；
第二步：计算与
第三步：输出运算结果。
可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。
基础知识应用题
例4 写出一个求有限整数列中的最大值的算法。
解：算法如下。
S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”。
S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。
S3 如果序列中还有其他整数，重复S2。
S4 在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。
学生做一做 写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。
老师评一评 在例2中我们是用自然语言来描述算法的，下面我们用数学语言来描述本题的算法。
S1 max=a
S2 如果b>max, 则max=b.
S3 如果C>max, 则max=c.
S4 max就是a,b,c中的最大值。
综合应用题
例5 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。
分析：可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1+2+…+n=进行，也可以根据加法运算律简化运算过程。
解：算法1：
S1：计算1+2得到3；
S2：将第一步中的运算结果3与3相加得到6；
S3：将第二步中的运算结果6与4相加得到10；
S4：将第三步中的运算结果10与5相加得到15；
S5：将第四步中的运算结果15与6相加得到21。
算法2：
S1：取n=6；
S2：计算；
S3：输出运算结果。
算法3：
S1：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7；
S2：计算3×7；
S3：输出运算结果。
小结：算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+…+10000，再用这种方法是行不通的；算法2与算法3都是比较简单的算法，但比较而言，算法2最为简单，且易于在计算机上执行操作。
学生做一做 求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。
老师评一评 算法1；第一步，先求1×3，得到结果3；
第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15；
第三步，再将15乘以7，得到结果105；
第四步，再将105乘以9，得到945；
第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。
算法2：用P表示被乘数，i表示乘数。
S1 使P=1。
S2 使i=3
S3 使P=P×i
S4 使i=i+2
S5 若i≤11，则返回到S3继续执行；否则算法结束。
小结 由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句。因此，上述算法2不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法。在上面的算法中，S3，S4，S5构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量P、i的值都发生了变化，并且生循环一次之后都要在步骤S5对i的值进行检验，一旦发现i的值大于11时，立即停止循环，同时输出最后一个P的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍。
4、课堂小结
本节课主要讲了算法的概念，算法就是解决问题的步骤，平时列论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言。
例如，某同学要在下午到体育馆参加比赛，比赛下午2时开始，请写出该同学从家里发到比赛地的算法。
若用自然语言来描述可写为
（1）1:00从家出发到公共汽车站
（2）1:10上公共汽车
（3）1:40到达体育馆
（4）1:45做准备活动。
（5）2:00比赛开始。
若用数学语言来描述可写为：
S1 1:00从家出发到公共汽车站
S2 1:10上公共汽车
S3 1:40到达体育馆
S4 1:45做准备活动
S5 2:00比赛开始
大家从中要以看出，实际上两种写法无本质区别，但我们在书写时应尽量用教学语言来描述，它的优越性在以后的学习中我们会体会到。
5、自我评价
1、写出解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个算法。
2、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法（打印结果）
6、评价标准
1、解：算法如下
S1 计算△=b2-4ac
S2 如果△〈0，则方程无解；否则x1=
S3 输出计算结果x1，x2或无解信息。
2、解：算法如下：
S1 使i=1
S2 i被3除，得余数r
S3 如果r=0，则打印i，否则不打印
S4 使i=i+1
S5 若i≤1000,则返回到S2继续执行，否则算法结束。
7、作业：1、写出解不等式x2-2x-3<0的一个算法。
解：第一步：x2-2x-3=0的两根是x1=3，x2=-1。
第二步：由x2-2x-3<0可知不等式的解集为{x | -1评注：该题的解法具有一般性，下面给出形如ax2+bx+c>0的不等式的解的步骤（为方便，我们设a>0）如下：
第一步：计算△= ；
第二步：若△>0，示出方程两根（设x1>x2），则不等式解集为{x | x>x1或x第三步：若△= 0，则不等式解集为{x | x∈R且x}；
第四步：若△<0，则不等式的解集为R。
2、求过P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线斜率有如下的算法：
第一步：取x1= a1，y1= b1，x2= a2，y1= b2；
第二步：若x1= x2；
第三步：输出斜率不存在；
第四步：若x1≠x2；
第五步：计算；
第六步：输出结果。
3、写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。
解：算法：第一步：取x1=-2，y1=-1，x2=2，y2=3；
第二步：计算；
第三步：在第二步结果中令x=0得到y的值m，得直线与y轴交点(0,m)；
第四步：在第二步结果中令y=0得到x的值n，得直线与x轴交点(n,0)；
第五步：计算S=；
第六步：输出运算结果
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^1第7课时 函数的图象
教学目标：
使学生掌握作函数图象的一般步骤，会运用平移变换和翻折变换作图.
教学重点：
用平移变换和翻折变换作图.
教学难点：
用平移变换和翻折变换作图.
教学过程：
(1)作函数图象的一般步骤：
①确定函数的定义域(决定图象的左、右位置)和值域(决定图象的上、下位置).
②化简函数的表达式(如含绝对值的函数应化为分段函数).
③讨论函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性等图象特征及图象上特殊点的位置).
④利用基本函数图象作出所需函数的图象.
(2)描绘函数图象的基本方法有
①描点法：通过列表、描点、连线三步，画出函数的图象.
②图象变换法：一个函数图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图象.
问题1：平移变换都有哪些内容？
【答】 平移变换主要有
①水平平移y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左或右平移a个单位得到.
②竖直平移y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上或向下平移b个单位而得到.
问题2：翻折变换都有哪些内容？
【答】 翻折变换主要有
①y＝f(|x|)的图象在y轴右侧(x>0)的部分与y＝f(x)的图象相同，在y轴左侧部分与其右侧部分关于y轴对称.
②y＝|f(x)|的图象在x轴上方部分与y=f(x)的图象相同，其他部分图象为y＝f(x)图象下方部分关于x轴的对称图形.
[例1]作函数y＝ eq \b\lc\{(\a\al(x＋1 x≤1,（5－x） 1＜x≤3,4－x x＞3)) 的图象.
[例2]作函数y＝x2－2︱x︱－2的图象.
[例3]作函数y＝︱x2－2x︱＋2的图象.
[例4]如何由函数y＝x2的图像变换得到函数y＝（x－1）2＋2的图象？
[例5]作函数y＝－3的图象.
总结：图像平移
[例6]作函数y＝x ＋ 的图象.
扩展：y＝ax ＋ （a＞0，b＞0）的图像.
练习题：
1.如图为函数f(x)的图象，那么f(x)是 ( )
A.f(x)＝ B.f(x)＝x2－2|x|＋1
C.f(x)＝|x2－1| D.f(x)＝
【解析】 ∵A:f(x)=||x|－1|;B:f(x)=(|x|－1)2;D:f(x)=|x＋1|
∴可以看出B、C对应的图象应是曲线，不符合要求，
而D在x=1时，不符合要求. 【答案】 A
2.若把函数f(x)的图象作平移变换，使图象上的点P(1，0)变换成点Q(2，－1)，则函数y＝f(x)的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( )
A.y＝f(x－1)－1 B.y＝f(x＋1)－1
C.y＝f(x－1)＋1 D.y＝f(x＋1)＋1 【答案】 A
EMBED PBrush
- 1 -第八课时 同角三角函数关系的应用
教学目标：
熟练运用同角三角函数化简三角函数式，活用同角三角函数关系证明三角恒等式，明确化简结果的要求，掌握证明恒等的方法；通过化简与证明，使学生提高三角恒等变形的能力，树立化归的思想方法.
教学重点：
三角函数式的化简，三角恒等式的证明.
教学难点：
同角三角函数关系的变用、活用.
教学过程：
［例1］化简
法一：原式＝
＝＝
法二：原式＝
＝
＝
＝＝＝
法三：原式＝
＝
＝＝＝
①以上三种解法虽思路不同，但都应用了公式sin2α+cos2α＝1,其中生2、3是顺用公式，1是逆用公式，显然1的解法简单明了.②在1的解法中逆用公式sin2α＋cos2α＝1，实质是“1”的一种三角代换“1＝sin2α＋cos2α”.
对于利用同角三角函数关系式化简时，其结果一般要求：①函数种类少；②式子项数少；③项的次数低；④尽量使分母或根号内不含三角函数式；⑤尽可能求出数值（不能查表））.
［例2］求证＝
证法一：由cosx≠0知1＋sinx≠0，于是
左＝＝＝＝＝右
证法二：由1－sinx≠0，cosx≠0于是
右＝＝＝＝＝左
证法三：左－右＝－＝
＝＝＝0
∴＝
证法四：(分析法) 欲证＝
只须证cos2x＝（1＋sinx）（1－sinx）
只须证cos2x＝1－sin2x 只须证sin2x＋cos2x＝1
∵上式成立是显然的，∴＝成立
分析法证题的思路是“执果索因”：从结论出发，逐步逆推，推出一个真命题或者推出的
与已知一致，从而肯定原式成立.要注意论证格式
Ⅲ.课堂练习
已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求tanθ的值.
分析：依据已知条件sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求得2sinθcosθ的值，进而求得sinθ－cosθ的值，结合sinθ、cosθ的值再求得tanθ即可.
解：∵sinθ＋cosθ＝，(1)
将其平方得，1＋2sinθcosθ＝ ∴2sinθcosθ＝－，
∵θ∈(0，π) ∴cosθ＜0＜sinθ
∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝ ∴sinθ－cosθ＝ (2)
由（1）（2）得
sinθ＝，cosθ＝－， ∴tanθ＝－
Ⅳ.课时小结
本节课我们讨论了同角三角函数关系式的两个方面的应用：化简与证明，与同学们讨论了化简的一般要求，证明恒等的常用方法，对于化简与证明另外还应注意两种技巧：一种是切化弦”，一种是“1”的代换，“1”的代换不要仅限于平方关系的代换，还要注意倒数关系的代换，究竟用哪一种，要由具体问题来决定.
Ⅴ.课后作业
课本P24习题 10、11、12.
同角三角函数关系的应用
1．式子sin4θ＋cos2θ＋sin2θcos2θ的结果是 （ ）
A. B. C. D.1
2．已知tanθ＝ (其中0＜a＜1，θ是三角形的一个内角)，则cosθ的值是 （ ）
A. B. C. D.±
3．若sinα＝，cosα＝，＜α＜π，则a的值满足 （ ）
A.a＝0 B.a＞3或a＜－5 C.a＝8 D.a＝0或a＝8
4．化简的结果为 （ ）
A.cos4 B.－cos4 C.±cos4 D.cos22
5．已知sinα＝，且α为第二象限角，那么tanα＝
6．已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为
7．若tanα＝,π<α<π，则sinα·cosα＝
8．若β∈［0，2π)，且＋＝sinβ－cosβ，求β的取值范围.
9．化简：－.
10．求证：tan2θ－sin2θ＝tan2θ·sin2θ.
同角三角函数关系的应用答案
1．D 2．C 3．C 4．B 5．－ 6．－ 7．
8．若β∈［0，2π)，且＋＝sinβ－cosβ，求β的取值范围.
分析：依据已知条件得cosβ≤0，sinβ≥0，利用同角三角函数之间的关系式求解.
解：∵＋
＝＋＝|sinβ|＋|cosβ|＝sinβ－cosβ
∴sinβ≥0，cosβ≤0
∴β是第二象限角或终边在x轴负半轴和y轴正半轴上的角
∵0≤β≤2π ∴≤β≤π
9．化简：－.
原式＝－
＝＝sinx＋cosx
10．求证：tan2θ－sin2θ＝tan2θ·sin2θ.
左边＝tan2θ－sin2θ＝－sin2θ
＝sin2θ·＝sin2θ·＝sin2θ·tan2θ＝右边
- 4 -1.1.2程序框图
教学目标：理解程序框图的概念，学会画程序框图的规则
教学重点：理解程序框图的概念，学会画程序框图的规则
教学过程：
1、 复习回顾
1、 算法的概念：算法是解决某个特定问题的一种方法或一个有限过程。
2、 算法的描述
（1） 自然语言
（2） 形式语言
（3） 框图
1、 程序框图的概念
1、通过例子：对任意三个实数a、b、c求出最大值。写出算法（两种方法）
2、程序框图也叫流程图，是人们将思考的过程和工作的顺序进行分析、整理，用规定的文字、符号、图形的组合加以直观描述的方法
3、程序框图的基本符号
起止框
输入输出框
处理框
判断框
连接点
循环框
用带有箭头的流程线连接图形符号
注释框
三、读图
例 1、读如下框图分析此算法的功能
四、画流程图的基本规则
1、使用标准的框图符号
2、从上倒下、从左到右
3、开始符号只有一个退出点，结束符号只有一个进入点，判断符号允许有多个退出点
4、判断可以是两分支结构，也可以是多分支结构
5、语言简练
6、循环框可以被替代
五、例子
1、 输入3个实数按从大到小的次序排序
2、 用二分法求方程的近似解
课堂练习：第10页，练习A,练习B
小结：本节介绍程序框图的概念，学习了画程序框图的规则
课后作业：第19页，习题1-1A第1、2题
EMBED PBrush§7 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质（1课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）进一步理解表达式y＝Asin(ωx＋φ)，掌握A、φ、ωx＋φ的含义；（2）熟练掌握由的图象得到函数的图象的方法；（3）会由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像讨论其性质；（4）能解决一些综合性的问题。
2、 过程与方法
通过具体例题和学生练习，使学生能正确作出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、 情感态度与价值观
通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。
二、教学重、难点
重点:函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质。
难点: 各种性质的应用。
三、学法与教学用具
在前面，我们讨论了正弦、余弦、正切函数的性质，如：定义域、值域、最值、周期性、单调性和奇偶性，那么，对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质会是什么样的呢？今天我们这一节课就研究这个问题。
教学用具:投影机、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题，是三角函数中的重要问题，是高中数学的重点内容，也是高考的热点，因为，函数y＝Asin(ωx＋φ)在我们的实际生活中可以找到很多模型，与我们的生活息息相关。
【探究新知】
复习提问：（1）如何由的图象得到函数的图象？
（2）如何用五点法作的图象？
（3）对函数图象的影响作用
函数的物理意义：
函数表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”
T：往复振动一次所需的时间，称为“周期”
f：单位时间内往返振动的次数，称为“频率”
：称为相位
：x = 0时的相位，称为“初相”
例一．函数的最小值是2，其图象最
高点与最低点横坐标差是3，又：图象过点(0,1)，求函数解析式。
解：易知：A = 2 半周期 ∴T = 6 即 从而：
设： 令x = 0 有
又： ∴ ∴所求函数解析式为
例二．函数f (x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位所得的曲线是的图像，试求的解析式。
解：将的图像向右平移个单位得：
即的图像再将横坐标压缩到原来的得：
∴
例三．求下列函数的最大值、最小值，以及达到最大值、最小值时x的集合。
（1）y＝sinx－2 (2)y＝sinx (3)y＝cos(3x＋)
解：（1）当x＝2kπ＋(k∈Z)时，sinx取最大值1，此时函数y＝sinx－2取最大值－1；
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，sinx取最小值－1，此时函数y＝sinx－2取最小值－3；
（2）、（3）略，见教材P59
例四．（1）求函数y＝2sin(x－)的递增区间；
（2）求函数y＝cos(4x＋)的递减区间。
解：略，见教材P60
【巩固深化，发展思维】
学生课堂练习：教材P60练习3
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业: 习题1-7第4，5，6题．
七、课后反思
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2第八课时 平面向量的坐标运算（二）
教学目标：
掌握已知平面向量的和、差，实数与向量的积的坐标表示方法并能熟练运用.
教学重点：
平面向量的坐标运算.
教学难点：
平面向量的坐标运算.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
平面向量的坐标运算法则.
Ⅱ.讲授新课
［例1］已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，那么与是否共线 线段AB与线段AC是否共线
解：∵＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，又2×6－3×4＝0，
∴∥，∴与共线.
又直线AB与直线AC显然有公共点A，
∴A、B、C三点共线，即线段AB与线段AC共线.
综上，与共线，线段AB与线段AC也共线.
［例2］已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标.
对此题，课本是利用向量相等(即＝)来求解的，较为简便.另外，此题若利用同学们刚学过且也较为熟悉的向量加法或减法都是可以顺利求解的，为开拓同学们的解题思路，下面就介绍这下面六种解法.
解法一：(利用向量加法)
先依题意在坐标系内作出ABCD(如图)，设顶点D的坐标为(x，y)，并连结OA、OD，则＝＋.
∵＝，∴＝＋
∴(x，y)＝(－2，1)＋(3－(－1)，4－3)
＝(－2，1)＋(4，1)＝(2，2)
∴顶点D的坐标为(2，2).
解法二：(利用向量减法)
先依题意在坐标系内作出ABCD(如图)，设顶点D的坐标为(x，y)，并连结OA、OD，则＝－
∵＝，∴＝－，
∴(x，y)＝(3－(－1)，4－3)－(0－(－2)，0－1)
＝(4，1)－(2，－1)＝(2，2)
∴顶点D的坐标为(2，2).
解法三：(利用中点的向量表达式)
如图，在ABCD中，AC的中点M即是BD的中点.
∵＝ (＋)＝ (＋)，
＋＝＋，
＝＋－
＝(－2，1)＋(3，4)－(－1，3)＝(2，2).
∴顶点D的坐标为(2，2).
解法四：(利用中点坐标公式)
如图，在ABCD中，AC的中点即为BD的中点，设点D的坐标为(x，y)，则
. 解得x＝2，y＝2.
∴顶点D的坐标为(2，2).
解法五：(利用平面内两点间的距离公式)
如图，设点D的坐标为(x，y).
在ABCD中，｜｜＝｜｜，｜｜＝｜｜，
有
解得，.
经检验是方程组的解.
∴顶点D的坐标为(2，2).
解法六：(利用平行四边形对边的向量相等)
如上图，设顶点D的坐标为(x，y)，
在ABCD中， ＝， ＝(x＋2，y－1)，
＝(4，1)，(x＋2，y－1)＝(4，1)，
即， 解得x＝2，y＝2，
∴顶点D的坐标为(2，2).
［例3］在△OAB中，＝a，＝b，设点M分所成的比为2∶1，点N分所成的比为3∶1，而OM和BN交于点P，试用a和b表示OP.
解：＝＋＝＋
＝＋ (－)＝＋
＝a＋b
∵与共线，设＝a＋b ①
又∵与共线，设＝s，
∴＝＋＝＋s＝＋s(－)
＝(1－s) ＋s＝ (1－s) ＋s
＝ (1－s)a＋sb ②
由①②知 ∴t＝，＝a＋b
［例4］向量b＝(－3，1)，c＝(2，1)，若向量a与c共线，求｜b＋a｜的最小值.
解：设a＝λc＝(2λ，λ)，
则b＋a＝(－3＋2λ，1＋λ)，
∴｜b＋a｜＝＝
＝≥
∴｜b＋a｜的最小值为，此时a＝c.
［例5］已知b的方向与a＝(－3，4)的方向相同，且｜b｜＝15，求b.
解：设a的单位向量为e，
则e＝＝(－，); ∵b与a方向相同
∴b＝｜b｜·e＝15·(－，)＝(－9，12)
∴b＝(－9，12).
Ⅲ.课堂练习
课本P76练习1，2，3
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的坐标表示，熟练平面向量的坐标运算，并能进行简单的应用.
Ⅴ.课后作业
课本P77习题 5，6，7，8
平面向量的坐标运算
1．已知a＝（－1，3），b＝（x，1），且a∥b，则x等于 （ ）
A.3 B. C.－3 D.－
2．已知A（x，2），B（5，y－2)，若＝（4，6），则x、y的值为 （ ）
A.x＝－1，y＝0 B.x＝1，y＝10
C.x＝1，y＝－10 D.x＝－1，y＝－10
3．已知M（3，－2），N（－5，－1），＝，则P点的坐标为 （ ）
A.（－8，1） B.（－1，－） C.（1，） D.（8，－1）
4．若a－b＝（1，2），a＋b＝(4，－10），则a等于 （ ）
A.（－2，－2） B.（2，2） C.（－2，2） D.（2，－2）
5．若向量a＝（－1，x)，b＝(－x，2）共线且方向相同，则x＝ .
6．已知向量＝（k，12），＝（4，5），＝（10，k）若A、B、C三点共线，则k＝ .
7．已知|a|＝2，b＝(－1，），且a∥b，则a＝ .
8．已知作用于坐标原点的三个力F1（3，4），F2（2，－5），F3（3，1），求作用于原点的合力F1＋F2＋F3的坐标.
9．设A、B、C、D四点坐标分别为（－1，0），（0，2），（2，），（，），求证：ABCD为梯形.
10．已知A（2，3），B（－1，5），满足＝，＝3，＝－，求C、D、E三点坐标.
平面向量的坐标运算答案
1．D 2．B 3．B 4．D 5． 6．11或－2 7．（－，3）或（，－3）
8．解：由F1＋F2＋F3＝（3，4）＋（2，－5）＋（3，1）＝（8，0）
9．证明：∵＝（1，2），＝（，1）＝
∴∥，且||＝2||
∴四边形ABCD为梯形.
10．解：由A（2，3），B（－1，5）得＝（－3，2）
∴＝＝（－1，） ∴C（1，）
＝3＝（－9，6） ∴D（－7，9）
又∵＝－＝（，－） ∴E（，）
- 6 -高一新课程数学必修（Ⅲ）教案3
流程图（2）
教学目的：进一步掌握流程图的概念与意义，会用流程图的方式表达算法的顺序及过程。
教学重点：会用三种逻辑结构来进行流程图的设计
教学过程：
一、知识回顾：
1．算法的三种重要结构是：
（1）顺序结构：描述的是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。
（2）条件分支结构：它是依据指定条件选择执行不同指令的控制结构。
（3）循环结构：根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构。其中有两种类型的循环：
直到型（Until型）循环：如图（1），先执行A框，再判断给定的条件P是否为“假”。若P为“假”，则再执行A框，如此反复，直到为“真”为止。
当型（While型）循环：如图（2）当给定的条件P成立时（“真”），反复执行A框操作，直到条件P为“假”时才停止循环。
2．下列三个问题，应分别用哪种逻辑结构给出流程图？
1．已知点和直线l：Ax+By+C=0，写出求点P到直线l的距离d的流程图。
2．写出求一元二次方程的根的流程图。
3．已知n个正数排成一行如下：，其中下脚码表示n个数的排列位置。这一行数满足条件：，画出计算第n项的程序框图。
二、知识运用
例1 设y为年份，按照历法的规定，如果y为闰年，那么或者y能被4整除不能被100整除，或者y能被400整除。对于给定的年份y，要确定索是否为闰年，如何设计算法，画出其流程图。
例2 一个三位数，各位数字互不相同，十位数字比个位、百位数字之和还要大，且十位数字、百位数字不是素数。设计一种算法，找出所有符合条件的三位数，要求画出流程图。
例3 已知算法：（1）指出其功能（用算式表示），（2）将该算法用流程图来描述之。
S1 输入X；
S2 若X<0，执行S3；否则，执行S6；
S3 ；
S4 输出Y；
S5 结束；
S6 若X=0，执行S7；否则执行S10；
S7 ；
S8 输出Y；
S9 结束；
S10 ；
S11 输出Y；
S12 结束。
解：这是一个输入x的值，求y值的函数的算法。其中其流程图如下。
三、学力发展
1．画出一个计算值的一个算法的程序框图。
2．写出计算的算法的程序框图。
3．画出任给一个有两位小数的实数，对末位用“四舍五入法”，求精确到一位小数的程序框图。
四、课外作业
1．课本习题5.1P14页：1-10。
2．已知函数，把区间分成10等分，画出求各等分点对应函数值的算法的程序框图。
3．分别标有1、2、3、4、5、6六个号码的小球，有一个最重，写出挑出此重球的算法并画出程序框图。
开始
否
100|y
是
输出y非闰年
输出y是闰年
是
4|y
否i
结束
输入y
否
400|y
是
输入A、B、C、
x0、y0
开始
z1=Ax0+By0+C
z2=A2+B2
输出d
结束
否
否
否
否
否
是
是
是
是
是
输出i
输出y
输出y
输出y
输入x
开始
结束
开始
结束2.3.1 平面向量基本定理
一、课题：平面向量基本定理
二、教学目标：1．理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；
2．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的
关系来用坐标表示；
3．掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标表示法。
三、教学重、难点：1．平面向量的坐标运算；
2．对平面向量的坐标表示的理解。
四、教学过程：
（一）复习：
1．平面向量的基本定理：；
2．在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数表示，那么，每一个向量可否也用
一对实数来表示？
（二）新课讲解：
1．向量的坐标表示的定义：
分别选取与轴、轴方向相同的单位向量，作为基底，对于任一向量，，（），实数对叫向量的坐标，记作．
其中叫向量在轴上的坐标，叫向量在轴上的坐标。
说明：（1）对于，有且仅有一对实数与之对应；
（2）相等的向量的坐标也相同；
（3），，；
（4）从原点引出的向量的坐标就是点的坐标。
例1 如图，用基底，分别表示向量、、、， 并求出它们的坐标。
解：由图知：；
；
；
．
2．平面向量的坐标运算：
问题：已知，，求，．
解：
即．
同理：．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
3．向量的坐标计算公式：
已知向量，且点，，求的坐标．
．
归纳：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；
（2）两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等。
4．实数与向量的积的坐标：
已知和实数，求
结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
例2 已知，，求，，的坐标．
解：=；；
．
例3 已知 ABCD的三个顶点的坐标分别为、、，求顶点的坐标。
解：设顶点的坐标为．
∵，，
由，得．
∴ ∴ ∴顶点的坐标为．
例4 （1）已知的方向与轴的正向所成的角为，且，则的坐标为，
．
（2）已知，，，且，求，．
解：（2）由题意，，
∴ ∴．
五、课堂小结：1．正确理解平面向量的坐标意义；
2．掌握平面向量的坐标运算；
3．能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题。
六、作业：
补充：1．已知向量与相等，其中，，求；
2．已知向量，，，，且，求．
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- 3 -第16课时 指数综合训练（一）
教学目标：
使学生进一步熟悉对数定义与幂的运算性质，理解对数运算性质的推导过程，熟悉对数的运算性质的内容，熟练运用对数的运算性质进而化简求值，明确对数的运算性质与幂的运算性质的区别.能运用联系的观点解决问题，认识事物之间的相互联系与相互转化.
教学重点：
证明对数运算性质.
教学难点：
对数运算性质的证明方法与对数定义的联系.
教学过程：
教学目的：
巩固根式和分数指数幂的概念和性质，并能熟练应用于有理指数幂的概念及运算法则进行相关计算
教学重点：根式和分数指数幂的概念和性质
教学难点：准确应用计算.
授课类型：巩固课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．根式的运算性质：
①当n为任意正整数时，()=a.
②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.
⑶根式的基本性质：，（a0）.
2．分数指数幂的运算性质：
二、讲解范例：
例1.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
(1) （２） （３）
（４） （５） （6）
解：（１）
(2)
(3)
（４）
（５）
（６）
例2(课本第77页 例4)计算下列各式（式中字母都是正数）：
⑴ ；⑵ .
解：⑴原式=[2×(-6)÷(-3)]；
⑵原式=
说明：该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题，第⑴小题是仿照单项式乘除法进行的，首先将系数相乘除，然后将同底数的幂相乘除；第⑵小题是先按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，在计算过程中要特别注意符号. 同学们在下面做题中，刚开始时，要严格按照象例题一样的解题步骤进行，待熟练以后再简化计算步骤.
例3(课本第77页 例5) 计算下列各式：
⑴ ；⑵ (a>0).
解：⑴原式=
=；
⑵原式=.
说明：本例是利用分数指数幂来进行根式计算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算；对于计算结果，若没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，若有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数
例4化简：
解：
评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决
例5 已知x+x-1=3,求下列各式的值：
分析：（1）题若平方则可出现已知形式，但开方时应注意正负的讨论；
（2）题若立方则可出现（1）题形式与已知条件，需将已知条件与（1）题结论综合；或者，可仿照（1）题作平方处理，进而利用立方和公式展开
解：
评述：（1）题注重了已知条件与所求之间的内在联系，但开方时正负的取舍容易被学生所忽视，应强调以引起学生注意
（2）题解法一注意了（1）题结论的应用，显得颇为简捷，解法二注重的是与已知条件的联系，体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用，耐用具有一定层次，需看透问题实质方可解决得彻底，否则可能关途而废另外，（2）题也体现了一题多解
三、练习：
1．练习：课本第78页 练习：4；习题：*6⑴，*7⑴.
答案：7⑴∵，
∴=，又由已知得x>0，于是>0，
∴=.
2. 练习求下列各式的值：
(1) （２） （３）
（4） （5） （6）
解：(1)
(2)
（３）
(4)
(5)
(6)
五、小结 本节课学习了以下内容：
熟练进行有关分数指数幂是计算，熟练掌握分数指数幂的定义和运算性质
六、课后作业：
1．求下列各式的值：
(1) （2） （３） （4）
解：（１）
（２）
(3)
(4)
2．课本第75页 习题2.5：6 ⑵，7 ⑵⑶⑷.
解：6.⑵ =；
7.⑵ ∵，
而(由⑴知)，，，
∴；
⑶ ∵，∴；
⑷ .
3．已知：，求证：.
证明：由已知得
，
⑴÷⑵，得，
∴，即
4．已知：，，求的值.
解：由，
又1∴原式==
=.
5．求值：.
解：设，由公式得
(1+)+(1-)+3x=x3，即x3+x-2=0，
分解因式得：，
∵，∴，即x=1，∴原式=1.
6．设mn>0，x=，化简：A=.
解：∵x-4=()-4=()，
∴A==，
又∵mn>0，∴m，n同号.
⑴设m>0，且n>0，则A=.
①若mn，则A=；②若m⑵设m<0，且n<0，则A=.
①若nm，则A=；②若n综上所述得：A=.
七、板书设计（略）
八、课后记：1.3.2 三角函数的图象和性质(6)
一、课题：正切函数的图象和性质（2）
二、教学目标：1．熟练掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题；
2．渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。
三、教学重点：正切函数的图象和性质的运用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。
2．回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
（二）新课讲解：
例1：求下列函数的周期：
（1） 答：。
（2） 答：。
说明：函数的周期．
【练习】P71．练习4．
例2：求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。
解：由得，
∴所求定义域为，值域为R，周期，是非奇非偶函数，在区间上是增函数。
将图象向右平移个单位，得到的图象；再将
的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），就得到函数的图象。
例3：用图象求函数的定义域。
解：由 得 ，
利用图象知，所求定义域为，
亦可利用单位圆求解。
五、课堂练习：
1．“”是“”的 既不充分也不必要 条件。
2．与函数的图象不相交的一条直线是（ D ）
3．函数的定义域是 ．
4．函数的值域是 ．
5．函数的奇偶性是 奇函数 ，周期是．
六、小结： 正切函数的性质。
七、作业：
A
T
0
0
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- 2 -MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 14.1.1 圆的标准方程
三维目标：
知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
教学重点：圆的标准方程
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
教学过程：
1、情境设置：
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？
探索研究：
2、探索研究：
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件 ①
化简可得： ②
引导学生自己证明为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究
例（1）：写出圆心为半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点与圆的关系的判断方法：
（1）>，点在圆外
（2）=，点在圆上
（3）<，点在圆内
例（2）： 的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程
师生共同分析：从圆的标准方程 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数.（学生自己运算解决）
例(3):已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程.
师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为的圆经过点和,由于圆心与A,B两点的距离相等，所以圆心在险段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。
（教师板书解题过程。）
总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出外接圆的标准方程的两种求法：
1、 根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到得值，写出圆的标准方程.
根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
练习：课本第1、3、4题
提炼小结：
1、 圆的标准方程。
2、 点与圆的位置关系的判断方法。
3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。
作业：课本习题4.1第2、3、4题
数学教育网http:/// 主审戴刚锋解三角形单元复习题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．在△ABC中，一定成立的是 （ ）
A.asinA＝bsinB B.acosA＝bcosB
C.asinB＝bsinA D.acosB＝bcosA
2．在△ABC中，cos(A－B)＋sin(A＋B)＝2，则△ABC的形状是 （ ）
A.等边三角形 B.等腰钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.锐角三角形
3．在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）
A.b＝20，A＝45°，C＝80° B.a＝14，b＝16，A＝45°
C.a＝30，c＝28，B＝60° D.a＝12，c＝15，A＝120°
4．在△ABC中，＝ eq \f(c－b,b) ，则∠A等于 （ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
5．在△ABC中，已知||＝4，||＝1，S△ABC＝，则·等于 （ ）
A.－2 B.2 C.±2 D.±4
6．在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＞0，则△ABC是 （ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.任意三角形
7．在△ABC中，下列三式：·>0，·>0，·>0中能够成立的个数为（ ）
A.至多1个 B.有且仅有1个
C.至多2个 D.至少2个
8．在△ABC中，若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，那么△ABC是 （ ）
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
9．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.由增加的长度决定
10．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是 （ ）
A. 0＜C≤ B. 0＜C＜
C. ＜C＜ D. ＜C≤
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则∠ABC的余弦值为___________.
12．在△ABC中，若 eq \f(a,cos) ＝ eq \f(b,cos) ＝ eq \f(c,cos) ，则△ABC的形状是_____________.
13．在△ABC中，A、B、C相对应的边分别是a、b、c，则acosB＋bcosA＝______.
14．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，求a＝__________.
15．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b－c)·(sinA＋sinB－sinC)＝3asinB，则C＝________.
16．在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2＜b2＋c2，则A的范围是_____________.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）a、b、c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝12，bc＝48，b－c＝2，求a.
18．(本小题满分14分)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若a2＋c2＝b2＋ac且＝ eq \f(＋1,2) ，求角C的大小.
19．(本小题满分14分)在△ABC中，已知＝，求∠A.
20．（本小题满分15分）如图，有长100米的斜坡AB，它的倾斜角是40°,现在要把斜坡的倾斜角改为25°，求伸长的坡底的长.（sin15°＝0.2588，sin25°＝0.4226）
21．（本小题满分15分）如图，有两条相交成60°角的直线xx′，yy′，交点是O，甲、乙分别在Ox，Oy上，起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两人同时用每小时4 km的速度，甲沿xx′方向，乙沿y′y方向步行，问：
（1）起初两人的距离是多少？
（2）用包含t的式子表示t小时后两人的?距离；?
（3）什么时候两人的距离最短？
解三角形单元复习题答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 6．A 7．D 8．B 9．A 10．A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11． 12．等边三角形 13．c 14．60 15．60° 16．＜A＜
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）a、b、c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝12，bc＝48，b－c＝2，求a. 2或2
18．(本小题满分14分)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若a2＋c2＝b2＋ac且＝ eq \f(＋1,2) ，求角C的大小.
【解】 由a2＋c2＝b2＋ac得：cosB＝＝＝，所以，B＝60°
又∵＝ eq \f(＋1,2)
∴＝＝ eq \f( eq \f(,2) cosC＋sinA,sinC) ＝ eq \f(,2) cotC＋＝ eq \f(＋1,2)
∴cotC＝1，C＝45°.
19．(本小题满分14分)在△ABC中，已知＝，求∠A.
【解】 已知等式可化为：
eq \f(－,＋) ＝，即＝
∴sinAcosB－cosAsinB＝sinC－sinB
∴sinAcosB－cosAsinB＝sin(A＋B)－sinB
2cosAsinB－sinB＝0，∵sinB≠0 ∴cosA＝ ∴∠A＝60°
20．（本小题满分15分）如图，有长100米的斜坡AB，它的倾斜角是40°,现在要把斜坡的倾斜角改为25°，求伸长的坡底的长.（sin15°＝0.2588，sin25°＝0.4226）
【解】 在△ABD中，∠BAD＝40°－25°＝15°
∵＝
∴BD＝＝＝≈61.7(米)
∴伸长的坡底长约为61.7米.
21．（本小题满分15分）如图，有两条相交成60°角的直线xx′，yy′，交点是O，甲、乙分别在Ox，Oy上，起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两人同时用每小时4 km的速度，甲沿xx′方向，乙沿y′y方向步行，问：
（1）起初两人的距离是多少？
（2）用包含t的式子表示t小时后两人的?距离；?
（3）什么时候两人的距离最短？
【解】 （1）如图，设甲、乙两人最初的位置是A、B，
则AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos60°＝32＋12－2×3×1×＝7
∴AB＝cm
（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，
则AP＝4t，BQ＝4t
(Ⅰ)当0≤t≤时，
PQ＝
＝
(Ⅱ)当t＞时，
PQ＝＝
综上（Ⅰ）、（Ⅱ）可知PQ＝＝
（3）∵PQ2＝48(t－)2＋4 ∴当t＝时，（PQ）min＝2
即在第15分钟末，PQ最短，最短距离为2 km.
- 5 -课题:赋值,输入和输出语句
(1) 教学目标
1.知识与技能目标
(1)初步了解基本的算法语句中的赋值,输入和输出语句特点.
(2)理解基本算法语句是将算法的各种控制结构转变成计算机能够理解的程序语言.
(3)结合Scilab的程序语言,初步掌握赋值,输入和输出语句的结构以及如何编写对应的Scilab程序及在计算机上实现算法.
2.过程与方法目标
(1) 通过上机编写程序,在了解三种语句的应用规则的基础上,运用算法语句实现运算.
(2) 通过模仿,操作,探索的过程,体会算法的基本思想和基本语句的用途,提高学生应用数学软件的能力.
3.情感,态度和价值观目标
(1) 通过对三种语句的了解和实现,发展有条理的思考,表达的能力,提高逻辑思维能力.
(2) 学习算法语句,帮助学生利用计算机软件实现算法,活跃思维,提高学生的数学素养.
(3) 结合计算机软件的应用, 增强应用数学的意识,在计算机上实现算法让学生体会成功的喜悦.
(2) 教学重点和难点
1.教学重点:赋值,输入和输出语句的基本结构特点及用法.
2.教学难点:三种语句的意义及作用.
(3) 教学方法
引导与合作交流相结合,学生在体会三种语句结构格式的过程中,让学生积极参与,讨论交流,充分挖掘三种算法语句的格式特点及意义,在分析具体问题的过程中总结三种算法语句的思想与特征.运用计算机教学,
(4) 教学过程
教学环节1:提出问题
教学内容:
教师提出前面的例子:鸡兔同笼问题的一个算法:
S1: 输入鸡和兔的总数量M
S2: 输入鸡兔腿的总数N
S3: 鸡的数量
S4: 兔的数量B=M-A
如何才能把这些文字语言写成计算机识别的程序语言并能够运行呢
对于题目中的输入,输出及鸡和兔的数量的表示A,B的表示使同学们对程序语言的表述产生了兴趣,抓住时机进入下一个环节,介绍定义.
在上一节,我们学习算法和程序框图时,就指出了用顺序结构,条件分支结构和循环结构就可以表示任何算法.如何将算法的这些控制结构,转变成计算机能够理解的程序语言和能在计算机上实现的程序呢 现在计算机能够直接或间接理解的程序语言有很多种,这些程序语言都包含了一些基本的语句结构:输入语句,输出语句,赋值语句,条件语句和循环语句.本节课我们就结合Scilab的程序语言,学习赋值语句,输入和输出语句进行分析,帮助大家更好地理解这些语句地结构以及在解决数学问题中的应用.
教学环节.2.概念形成及深化
(1)赋值语句:在表述一个算法时,经常要引入变量,并赋给该变量一个值,用来表明赋给某一个变量的一个具体的确定值的语句叫做赋值语句.
赋值语句的一般格式:变量名=表达式
教师引导对于赋值语言的格式和意义进行进一步的探究.
①“=”的意义和作用:赋值语句中的“=”号,称作赋值号.
教师指出:赋值号与等式中等号的区别.
②赋值语句的作用:先计算出赋值号右边表达式的值,然后把该值赋给赋值号左边的变量,使该变量的值等于表达式的值.
教师指出:赋值语句是程序中是最常用的一种语句.例如:
关于赋值语句,需要注意几点:
①赋值号左边只能是变量名,而不是表达式.例如都是错误的.
②赋值号左右不能对换.
教师指出:赋值语句是将赋值号右边的表达式赋值给赋值号左边的变量.例如:,表示用的值替代变量原先的取值,不能改写成,因为后者表示用Y的值替代变量X的值.
③不能利用赋值语句进行代数式(或符号)的演算.
教师指出:在赋值语句中的赋值符号右边的表达式中的每一个变量都必须事先赋值给确定的值,不能用赋值语句进行如化简,因式分解等演算,如是不能实现的.在一个赋值语句中只能给一个变量赋值,不能出现两个或多个“=”.
④赋值号和数学中的等号的意义不同.
教师指出:赋值号左边的变量如果原来没有值,则在执行赋值语句后,获得一个值.例如等;如果原来已经有值,则执行该语句后,以赋值号右边表达式的值代替该变量的原值,即将原值“冲掉”.例如:在数学中是不成立的,但在赋值语句中,意思是将的原值加1再赋给,即的值增加1.
⑤在一些程序中,也可以在界面窗口中直接赋值.
教师指出:比如在Scilab窗口界面内赋值并计算三个数的平均数,可在窗口中输入:
-->a=5;b=7;c=9
-->aver=(a+b+c)/3
aver=
7
这个程序中前2行是给变量赋值,后两行是显示变量aver的值.
(2)输入语句
在某些算法中,变量的初值要根据情况经常的改变,一般我们把程序和初始数据分开,每次算题时,即使初始数据改变,也不必改变程序部分,只要每次程序运行时,输入相应的数据即可,这个过程在程序语言中,用输入语言来控制.
教师指出:输入语句的意义是,在编写程序中可以把程序和初始数据分开,达到用程序解决一类问题的目的,也就是说在程序中用字母(变量)代替数,在解决具体问题时,对变量赋值.下面以Scilab为例,说明输入语句的用法.
输入语句的一般格式:变量=input(“提示内容”)
教师指出:我们来看一个例子
我们要计算任一个学生的语文,数学和外语三门考试的平均成绩,就要输入这个学生三门课的成绩,在Scilab文本编辑器中写出如下程序:
a=input(“Chinese”);
b= input(“math”);
b= input(“foreign language”);
av er=(a+b+c)/3
程序中分别请求输入语文,数学,英语成绩并分别赋值给a,b,c,并把(a+b+c)/3的值赋给aver.把程序保存在一个文件中,点击打开时立即会在Scilab截面中运行:
-->exec(`c:\gaobook\aver.sci`)
chinese--> 这时输入一个学生的语文成绩例如90,点“Enter”,界面出现:
math--> 这时输入一个学生的语文成绩例如80,点“Enter”,界面出现:
foreign language--> 这时输入一个学生的语文成绩例如79,点“Enter”,界面出现:
aver=83
学生通过这个例题的讲解,结合计算机程序上机运用,可以掌握在Scilab语言程序中,input叫做键盘输入语句,体会到输入语句在程序中的意义和作用.
几点说明:
①输入语句中a=input(“Chinese”)中,真正起作用的是a=input( ),它将键盘输入的数值赋给a,括号中的chinese仅仅是提示作用,提醒用户输入的是语文成绩.
②输入语句要求输入的值只能是具体的常数,不能是函数,变量或者表达式,例如等都不行;另外输入语句可以输入单个或者多个字符,例如:x=input(“I am a student”); x=input(“what is your name ”)等等.
③在Scilab中,还有“read”等其他输入语句,在其他各种语言程序中,一般都有自己的输入控制语言,它们的作用是相同的,只是每种语言的控制代码和表现形式不同.
④以鸡兔同笼为例写出一个算法程序,并写出每步程序语句的作用.解体过程见课本,巩固赋值语言和输入语言的作用和意义.
(3)输出语句
任何求解问题的算法,都要把求解的结果输出,因此任何的程序语言也都有自己的输出语句来控制输出,不同的程序语言都有自己的输出语句和表现形式,但功能是一样的,就是以某种形式把求解结果输出出来.以Scilab为例,有各种输出语句,入print,write,format,printf,disp.
输出语言一般格式: print(%io(2),表达式)
课本对“print”语句举例说明.
例题:一个算法是,用Scilab中的rand()函数,首先生成一个0~1之间的随机数并把它赋值给变量a,再把3赋值给变量b,把a+b赋值给变量c,最后把它们都输出到屏幕上.这个算法用Scilab程序写出,并用print(%io(2),a,b,c)语句控制输出,运行界面内写出程序如下:
a=rand();b=3;c=a+b; print(%io(2),a,b,c)
c=
307560439
b=
3.
a=
.7560439
教师指出:
①print(%io(2),表达式)中的表达式指程序要输出的数据,输出语句可以输出常量,变量或表达式的值,例如print(%io(2),B), print(%io(2),4*3)等.
②print(%io(2),a,b,c)在屏幕上输出的顺序是c,b,a
③print(%io(2),a,b,c)中的io表示input-output(输入-输出)
教学环节3:概念的初步应用.
教学内容:关于赋值,输入和输出三种语言的基本格式,应用和意义在概念深化中已经有所体现,并结合例题的讲解进行了适当的说明和补充,此处借助课本的课后练习对三种语言进行初步的应用,仿照课本例题的结构内容写出相应的程序,并按照要求写出每个语句的作用和意义,并借助计算机进行程序的实现.
练习1.课本25页A组第3题.
a=input(“a=”)
b= input(“h=”)
S=a*h
print(%io(2),S)
教师讲解:让学生自主发现每步程序的意义,体会赋值,输入和输出语句的意义和作用.
练习2.课本25页B组第4题
x1=input(“x1=”);
x2=input(“x2=”);
y1=input(“y1=”);
y2=input(“y2=”);
d=sqrt((x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1))
教师讲解:注意Scilab程序语言中一些常用的规定,比如表达式中的乘号*一定不能省略,也不能用原点或者代替;表达式中的括号一律用小括号,方括号[]另有它用;除法用符号“/”,不能写成分式的形式,被除式与除式必要时应各自加小括号,以免混淆;标准函数的自变量应放在小括号内,如sin(x),圆周率写成“%pi”,自然对数的底写成“%e”,绝对值写成abs(x),x的平方写成x*x或x^x.
教学环节4.归纳总结
学生总结:赋值语句,输入语句,输出语句的一般格式
教师介绍:本节课通过通过分析具体实例,掌握三种语言的特点和一般格式,会用三种语言编写最基本的程序.
课后作业:课本25页练习A组第1,2,4题,B组第3题.北京英才苑网站 http://www.ycy. ·版权所有·转载必究·
4.6.6 两角和与差的正切（2）
一、课题：两角和与差的正切（2）
二、教学目标：1.正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式解决问题；
2.能将简单的几何问题化归为三角问题，培养学生的数学转换能力及分析问题的能力。
三、教学重、难点：选用恰当的方法解决问题。
四、教学过程：
（一）复习：公式及变形公式.
（二）新课讲解：
例1：在非直角中，
（1）求证：；
（2）若成等差数列，且，求的三内角大小。
（1）证明：∵，∴，
∴
；
（2）解：成等差数列，
∴， 又，
∴， ∴，
，
又∵，
或
所以，或．
例2：已知，，求的值。
解：．
【变题】：已知，求的值。
解：， ∴，
∴
．
例3：如图，三个相同的正方形相接，求证：．
解：由题意：， ，
∴，
， ∴，所以，．
五、课堂练习：（1）巩固练习练习4，习题9；
（2）在非直角中，（1）求证．
六、小结：根据题中给定条件及所求的结论，认真分析题意，寻找恰当的方法，实现条件到结论的转化。
七、作业：习题4.6 第13题 ，复习参考题四 第16，18题，
补充：
1．已知锐角满足，，求；
2．求证：；
3．求值：．
PAGE
- 1 -数列单元复习题（二）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．已知两数的等差中项为10，等比中项为8，则以两数为根的一元二次方程是 （ ）
A.x2＋10x＋8＝0 B.x2－10x＋64＝0
C.x2＋20x＋64＝0 D.x2－20x＋64＝0
2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成 （ ）
A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个
3．等比数列{an}，an>0，q≠1，且a2、a3、a1成等差数列，则等于 （ ）
A. B. C. D.
4．已知数列、、、、3……那么7是这个数列的第几项 （ ）
A.23 B.24 C.19 D.25
5．等差数列{an}中，S9＝－36，S13＝－104，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，则b6等于（ ）
A.4 B.－4 C.±4 D.无法确定
6．数列{an}前n项和是Sn，如果Sn＝3＋2an(n∈N*)，则这个数列是 （ ）
A.等比数列 B.等差数列
C.除去第一项是等比 D.除去最后一项为等差
7．数列{an}中，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1…是首项为1、公比为的等比数列，则an等于 （ ）
A. （1－） B. (1－)
C. (1－) D. (1－)
8．Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n+1·n，则S100＋S200＋S301等于 （ ）
A.1 B.－1 C.51 D.52
9．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和为 （ ）
A.2n－n－1 B.2n+1－n－2 C.2n D.2n+1－n
10．一房地产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法定价，先定一个基价a元/m2，再据楼层的不同上下浮动，一层价格为(a－d)元/m2，二层价格a元/m2，三层价格为(a＋d)元/m2，第i层（i≥4)价格为［a＋d()i－3］元/m2.其中a>0，d>0，则该商品房的各层房价的平均值为 （ ）
A.a元/m2 B.a＋［(1－()17)d元/m2
C.a＋［1－()17］d元/m2 D.a＋［1－()18］d元/m2
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11．一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内各传给未知信息的另外两人.如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为_______小时.
12．在等比数列{an}中，已知Sn＝3n＋b，则b的值为_______.
13．已知an＝ (n∈N*)，则数列{an}的最大项为____ ___.
14．一个五边形的五个内角成等差数列，且最小角为46°，则最大角为_______.
15．每次用相同体积的清水洗一件衣物，且每次能洗去污垢的，若洗n次后，存在的污垢在1%以下，则n的最小值为_________.
16．已知等差数列lgx1，lgx2，…，lgxn的第r项为s，第s项为r(0三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）数列3、9、…、2187，能否成等差数列或等比数列？若能.试求出前7项和.
18．（本小题满分14分）已知三个实数成等比数列，在这三个数中，如果最小的数除以2，最大的数减7，所得三个数依次成等差数列，且它们的积为103，求等差数列的公差.
19．（本小题满分14分）已知y＝f(x)为一次函数，且f(2)、f(5)、f(4)成等比数列，f(8)＝15，求Sn＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的表达式.
20．（本小题满分15分）设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，求数列{an}的通项公式.
21．（本小题满分15分）已知等差数列{an}中，a2＝8，前10项和S10＝185.
（1）求通项；
（2）若从数列{an}中依次取第2项、第4项、第8项…第2n项……按原来的顺序组成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn.
数列单元复习题（二）答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．D 2．B 3．B 4．D 5．C 6．A 7．A 8．A 9．B 10．B
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11．【解析】 由题意，n小时后有2n人得知，此时得知信息总人数为1＋2＋22＋…＋2n＝2n+1－1≥55. 即2n+1≥56n＋1≥6n≥5.
12．－1
13．【解析】 设{an}中第n项最大，则有
即 eq \b\lc\{(\a\al(≥,≥)) ∴8≤n≤9，即a8、a9最大.
14．170°
15．【解析】（）n<1%，∴4n>100得n的最小值为4.
16．【解析】
lgxn+1－lgxn＝－1＝. ∴{xn}为等比数列，且q＝.
∴x1＋x2＋…＋xn＝＝.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）数列3、9、…、2187，能否成等差数列或等比数列？若能.试求出前7项和.
考查等差、等比数列概念、求和公式和运用知识的能力.
【解】 （1）若3，9，…，2187，能成等差数列，则a1＝3，a2＝9，即d＝6.则an＝3＋6(n－1)，令3＋6(n－1)＝2187，解得n＝365.可知该数列可构成等差数列，
S7＝7×3＋×6＝147.
（2）若3，9，…，2187能成等比数列，则a1＝3，q＝3，则an＝3·3n－1＝3n，令3n＝2187，得n＝7∈N，可知该数列可构成等比数列，S7＝＝3279.
18．（本小题满分14分）已知三个实数成等比数列，在这三个数中，如果最小的数除以2，最大的数减7，所得三个数依次成等差数列，且它们的积为103，求等差数列的公差.
考查等差、等比数列的基本概念、方程思想及分类讨论的思想.
【解】 设成等比数列的三个数为 ，a，aq，由·a·aq＝103，解得a＝10，即等比数列，10，10q.（1）当q>1时，依题意，＋(10q－7)＝20.解得q1＝ (舍去），q2＝.此时2，10，18成等差数列，公差d＝8.
(2)当0综上所述，d＝±8.
19．（本小题满分14分）已知y＝f(x)为一次函数，且f(2)、f(5)、f(4)成等比数列，f(8)＝15，求Sn＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的表达式.
考查用函数的观点认识数列的能力及等比数列的求和.
【解】 设y＝f(x)＝kx＋b，则f(2)＝2k＋b，f(5)＝5k＋b，f(4)＝4k＋b，
依题意：［f(5)］2＝f(2)·f(4).
即(5k＋b)2＝(2k＋b)(4k＋b)化简得k(17k＋4b)＝0.
∵k≠0，∴b＝－k ①
又∵f(8)＝8k＋b＝15 ②
将①代入②得k＝4，b＝－17.
∴Sn＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(4×1－17)＋(4×2－17)＋…＋(4n－17)
＝4(1＋2＋…＋n)－17n＝2n2－15n.
20．（本小题满分15分）设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，求数列{an}的通项公式.
考查已知前n项和Sn求通项an方法及运用等差、等比数列知识解决问题的能力.
【解】 ∵an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，∴（an＋2）＝
即Sn＝ (an＋2)2
当n＝1时，a1＝(a1＋2)2a1＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝［(an＋2)2－(an－1＋2)2］
即（an＋an－1)(an－an－1－4)＝0
又∵an＋an－1>0，∴an＝an－1＋4，即d＝4.
故an＝2＋(n－1)×4＝4n－2.
21．（本小题满分15分）已知等差数列{an}中，a2＝8，前10项和S10＝185.
（1）求通项；
（2）若从数列{an}中依次取第2项、第4项、第8项…第2n项……按原来的顺序组成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn.
考查等差、等比数列性质、求和公式及转化能力.
【解】 （1）设{an}公差为d，有 eq \b\lc\{(\a\al(a1＋d＝8,10a1＋d＝185))
解得a1＝5，d＝3
∴an＝a1＋(n－1)d＝3n＋2
(2)∵bn＝a＝3×2n＋2
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(3×21＋2)＋(3×22＋2)＋…＋(3×2n＋2)
＝3(21＋22＋…＋2n)＋2n＝6×2n＋2n－6.
- 6 -第17课时 直线与平面垂直的判定和性质（二）
教学目标：
使学生掌握直线和平面垂直的性质，点到面的距离，线到面的距离；对学生进行转化思想渗透，培养学生空间想象能力；使学生从问题解决过程，认识事物的发展、变化、规律。
教学重点：
直线和平面垂直的性质。
教学难点：
性质定理的证明、等价转化思想的渗透。
教学过程：
1．复习回顾：
1.判定直线和平面垂直的方法有几种？
［生］定义，例1的结论、判定定理.
2.各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？
［生］若能确定直线和平面内任意一线垂直，则运用定义说明.若能说明所证直线和平面的一条垂线平行，则可运用例题结论说明之.
若能说明直线和平面内两相交线垂直，则运用判定定理去完成判定.
2．讲授新课：
［师］直线和平面是否垂直的判定方法上节课已研究过，这节课我们来共同探讨：直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？
下面先思考一个问题：
例1：已知:a⊥α，b⊥α. 求证：b∥a.
［师］此问题是在a⊥α，b⊥α的条件下，研究a和b是否平行，若从正面去证明b∥a，则较困难，而利用反证法来完成此题，相对要容易，但难在辅助线b′的做出，这也是立体几何开始这部分较难的一个证明.
在师的指导下，学生尝试证明，待后给出过程.
证明：假定b不平行于a，设b∩α＝O，b′是经过点O与
直线a平行的直线
∵a∥b′，a⊥α ∴b′⊥α
即经过同一点O的两条直线b、b′都垂直于平面α，而这是不可能的，
因此，b∥a.
有了上述证明，师生可共同得到结论：
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行.
［师］下面给出点到面的距离.
从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间距离叫做这个点到这个平面的距离.
应明白，点到面的距离是一线段.
同学思考例2、考虑其证法，特别是其转化的思想.
例2：已知一条直线l和一个平面α平行，求证：直线l上各点到平面α的距离相等.
生依题思考片刻，师可指导生找解题途径.
［师］要证明结论，需说明其上任两点到面距离相等即可，而这两条相等的线段若是能使其夹在两平行线间最好，为此，去作辅助面完成证明.
证明：经过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线
AA′，BB′，垂足分别为A′、B′.
因AA′⊥α，BB′⊥α???∴AA′∥BB′
设经过AA′和BB′的平面为β，β∩α＝A′B′
∵l∥α????∴l∥A′B′????????∴AA′＝BB′
由A、B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等.
以上证明生在师指导下完成.
［师］从整个证明过程能否看出转化思想渗透.
在教师的指导下：
［生］从证明过程看出，这是一道空间图形的问题，问题的求解关键是利用辅助面β，平面β起了一个桥梁作用，它将空间问题转化为平面问题，即在同一平面内（β），解决平行线间的平行线段相等问题，这就容易多啦.
［师］说的很好，许多空间问题都需这样转化为平面问题，在以后的学习中，大家不妨体会该思想、感悟其意图，
其次由该题可得下面结论.
一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.
而线面距离也是通过转化为点面距离而完成的.
例3：如图，已知AC＝AB＝BD，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC和BD所成的角为600，求AB和CD所成的角。
解：分别作BE∥CD，CE∥BD，BE、CE相交于E，
连结AE
∵BD⊥AB，CE∥BD
∴AB⊥CE，又AC⊥AB
∴AB⊥平面ACE，得AB⊥AE
∵AC＝BD，CE＝BD ∴AC＝CE
又∠ACE＝600， ∴△ACE是正三角形
得AC＝AE，又AC＝AB
∴AB＝AE，得所求角为450。
另：当∠ACE＝1200时，所求角为600。
3．课堂练习：
?（一）P35 练习3.???
（二）补充练习
1）已知直线a、b、c和平面β，则a∥b的充分条件是 （ ）
A．a∥β，b∥β B．a⊥β,b⊥β
C．a⊥c，b⊥c D．a与c，b与c所成角相等
2）平面α外的点A到平面α内各点的线段中，以OA最短，那么OA所在直线?与平面α的关系是 （ ）
?A.平行?? B.垂直????C.在α内 D.不确定
3）如果平面外一直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平?面的位置关系是 （ ）
?A.平行??? B.相交????C.平行或相交 D.一定垂直
4）矩形ABEF和矩形EFCD不共面，已知EF＝4，BD＝5，
求平行直线AB与CD之间的距离.
解答：
1.排除法找满足题意的选择支B
［对于选择支A，平行于同一面的两线可能相交，也
可能异面，故不一定推出a∥b，排除A.
对于选择支C，因垂直于同一线的两线可能异面、故排除C.
对于选择支D，若a、b、c三线能围成三角形.
且a与c、b与c成角相等，则a与b不平行，排除D，故选B.
而B利用性质定理可验证其正确.］
2.此题也可用排除法找到正确选择支B
［满足题目的线段，其一个端点在平面外，故A、C应排除，因该线不会和平面又平行，也不会在平面α内，而满足OA最短的线只有一条，故应选B，或依平面外一点和平面内各点的连线垂线段最短，从而选B.］
3.利用分类讨论找选择支C
［平面外的直线上有两点到这个平面的距离相等，这条直线和这个平面的位置取决于点与平面的关系，与这两点在平面的同侧时，直线和平面平行，当这两点在平面的异侧时，直线和平面相交.］
4.［此题的解决主要是充分利用直线和平面垂直判定及平行线间的距离完成.］
解：因ABEF及EFCD都是矩形，故应有
EF⊥BE，EF⊥CE，而BE∩CE＝E 故EF⊥面BEC
而AB∥EF，CD∥EF 则AB⊥面BEC，CD⊥面BEC
BC面BEC 那么 AB⊥BC，CD⊥BC
BC就是AB与CD间的距离
BC2＝BD2－CD2＝25－16＝9 即BC＝3.
4．课时小结：
1.能正确利用性质定理解题.
2.等价转化思想在线面距离?点面距离中的渗透.
5．课后作业：
课本P38 习题第5，7，8，9题.
- 3 -第六课时 线性规划（一）
教学目标：
1．解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念；
2．在线性约束条件下求线性目标函数的最优解；
3．了解线性规划问题的图解法。
教学重点：线性规划问题。
教学难点：线性规划在实际中的应用。
教学过程：
1．复习回顾：
上一节，我们学习了二元一次不等式表示的平面区域，这一节，我们将应用这一知识来解决线性规划问题．所以，我们来简要回顾一下上一节知识．（略）
2．讲授新课：
例1：设z＝2x＋y，式中变量满足下列条件：
，求z的最大值和最小值.
解：变量x，y所满足的每个不等式都表示一个平面
区域，不等式组则表示这些平面区域的公共
区域．（如右图）．
作一组与l0：2x＋y＝0平行的直线l：2x＋y＝t.t∈Ｒ可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点（x，y）满足2x＋y＞0，即t＞0，而且，直线l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（５，２）的直线l2所对应的t最大，以经过点B（１，１）的直线l1所对应的t最小．所以
zmax＝2×5＋2＝12 zmin＝2×1＋1＝3
说明：例1目的在于给出下列线性规划的基本概念．
线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x，y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
Ex：P841，2，3
例2：在x≥0，y≥0，3x＋y≤3及2x＋3y≤6的条件下，试求x－y的最值。
解：画出不等式组的图形
设x－y＝t，则y＝x－t
由图知直线l：y＝x－t过A（1，0）时纵截距
最小，这时t＝1；过B（0，2）时纵截距最大，
这时t＝－2. 所以，x－y的最大值为1，最小值为－2。
例3：某工厂生产甲、乙两种产品。已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t。每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t。甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？
分析：将已知数据列成下表
消 产 耗 量 品资 源 甲产品（1t） 乙产品（1t） 资源限额（t）
A种矿石（t） 10 4 300
B种矿石（t） 5 4 200
煤（t） 4 9 360
利润（元） 600 1000
解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，那么
z＝600x＋1000y
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域。
作直线l：600x＋1000y＝0，即直线l：3x＋5y＝0
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大。此时 z＝600x＋1000y 取最大值。
解方程组
得M的坐标为 x＝≈12.4，
y＝≈34.4
答：应生产甲产品约12.4t，乙产
品34.4t，能使利润总额达到最大。
3．课堂练习：
课本P84 1，2，3
4．课堂小结：
通过本节学习，要求大家掌握线性规划问题，并能解决简单的实际应用.
5．课后作业：
课本P87习题 3，4
教学后记：
线性规划
例1：某工厂生产甲、乙两种产品。已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t。每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t。甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？
例2：某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15t，已知生产甲产品1t需煤9t，电力4kw，劳动力3个（按工作日计算）；生产乙产品l t需煤4t，电力5kw，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200 kw，劳动力只有300个，问每天各生产甲、乙两种产品多少吨，才能既保证完成生产任务，又能为国家创造最多的财富。
例3：一位农民有田2亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为400 kg；若种花生，则每亩每期产量为100 kg，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每 kg可卖5元，稻米每kg只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？
例3：要将两种大小不同的钢板截成Ａ、Ｂ、Ｃ三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
　　 规格类型钢板类型 Ａ规格 Ｂ规格 Ｃ规格
第一种钢板 ２ １ １
第二种钢板 １ ２ ３
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
- 3 -第三章 三角恒等变换
一、课标要求：
本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.
三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.
1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.
二、编写意图与特色
1. 本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；
2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；
3. 本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；
4. 本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.
三、教学内容及课时安排建议
本章教学时间约8课时，具体分配如下：
3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3课时
3.2简单的恒等变换 约3课时
复习 约2课时
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、课标要求：
本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.
二、编写意图与特色
本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.
三、教学重点与难点
1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；
2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.
3.1.1 两角差的余弦公式
一、教学目标
掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
二、教学重、难点
1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.
三、学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
四、教学设想：
（一）导入：我们在初中时就知道 ，，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？
根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式
（二）探讨过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）
展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索与、、、之间的关系，由此得到，认识两角差余弦公式的结构.
思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？
提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？
2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？
展示多媒体课件
比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.
思考：，，再利用两角差的余弦公式得出
（三）例题讲解
例1、利用和、差角余弦公式求、的值.
解：分析：把、构造成两个特殊角的和、差.
点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用.
例2、已知，是第三象限角，求的值.
解：因为，由此得
又因为是第三象限角，所以
所以
点评：注意角、的象限，也就是符号问题.
（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.
（五）作业：
（胡仕伟）
§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、教学目标
理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
三、学法与教学用具
学法：研讨式教学
四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：
；．
这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？
提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？
让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.
．
让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）
．
通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同时除以，得到．
注意：
以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？
注意：．
（二）例题讲解
例1、已知是第四象限角，求的值.
解：因为是第四象限角，得，
，
于是有
两结果一样，我们能否用第一章知识证明？
例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）、；（2）、；（3）、．
解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.
（1）、；
（2）、；
（3）、．
例3、化简
解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？
思考：是怎么得到的？，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的.
小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.
作业：
1、 已知求的值．（）
2、 已知，求的值．
（胡仕伟）
§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
一、教学目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.
三、学法与教学用具
学法：研讨式教学
四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
；
；
．
我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），
（二）公式推导：
；
；
思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？；
．
．
注意：
（三）例题讲解
例1、已知求的值．
解：由得．
又因为．
于是；
；．
例２、已知求的值．
解：，由此得
解得或．
（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.
（五）作业：
（胡仕伟）
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）
一、课标要求：
本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．
二、编写意图与特色
本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
三、教学目标
通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
四、教学重点与难点
教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
五、学法与教学用具
学法：讲授式教学
六、教学设想：
学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．
例1、试以表示．
解：我们可以通过二倍角和来做此题．
因为，可以得到；
因为，可以得到．
又因为．
思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
例２、求证：
（１）、；
（２）、．
证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
；．
两式相加得；
即；
（２）由（１）得①；设，
那么．
把的值代入①式中得．
思考：在例２证明中用到哪些数学思想？
例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．
例３、求函数的周期，最大值和最小值．
解：这种形式我们在前面见过，，
所以，所求的周期，最大值为２，最小值为．
点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．
小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．
作业：
　　
《三角恒等变换》复习课（2个课时）
一、教学目标
进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：
二、知识与方法：
1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。你能根据下图回顾推导过程吗？
2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；
3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。
4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。
5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cosα= cosβcos（α-β）- sinβsin（α-β），1= sin2α+cos2α，==tan（450+300）等。
例题
例1 已知sin（α+β）=，sin（α-β）=，求的值。
例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°
例3 化简（1）；（2）sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos2αcos2β。
例4 设为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=。
例5 如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值m，渠深8米。则水渠壁的倾角应为多少时，方能使修建的成本最低？
分析：解答本题的关键是把实际问题转化成数学模型，作出横断面的图形，要减少水与水渠壁的接触面只要使水与水渠断面周长最小，利用三角形的边角关系将倾角为和横断面的周长L之间建立函数关系，求函数的最小值
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
tan（α+β）=
tan（α-β）=
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α- sin2α
=2cos2α-1=1-2 sin2α
tan2α=
8
A
E D
B C1.2.2 同角三角函数的基本关系式（2）
一、课题：同角三角函数的基本关系（2）
二、教学目标：1.根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；
2.了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。
三、教学重、难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。
四、教学过程：
（一）复习：
1．同角三角函数的基本关系式。
（1）倒数关系：，，．
（2）商数关系：，．
（3）平方关系：，，．
（练习）已知，求．
（二）新课讲解：
例1 化简．
解：原式．
例2 化简．
解：原式
．
例3 已知，试确定使等式成立的角的集合。
解：∵=
==．
又∵，
∴， 即得或．
所以，角的集合为：或．
例4 化简．
解：原式=
．
说明：化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点：
（1）所含三角函数的种类最少；
（2）能求值（指准确值）尽量求值；
（3）不含特殊角的三角函数值。
例5 求证：．
证法一：由题义知，所以．
∴左边=右边．
∴原式成立．
证法二：由题义知，所以．
又∵，
∴．
证法三：由题义知，所以．
，
∴．
例6．求证：．
证明：左边
，
右边．
所以，原式成立。
总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；（2）证明左右两边同等于同一个式子（如例6）；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
例7 已知，求．
解：由等式两边平方：
．
∴（*），即，
可看作方程的两个根，解得．
又∵，∴．又由（*）式知
因此，．
五、小结：1．运用同角三角函数关系式化简、证明。
2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。
六、作业：
PAGE
- 2 -高一新课程数学必修（Ⅲ）教案1
算法的概念
教学目的：理解并掌握算法的概念与意义，会用“算法”的思想编制数学问题的算法。
教学重点：算法的设计与算法意识的的培养
教学过程：
一、问题情景：
请大家研究解决下面的一个问题
1．两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1 个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳。试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案。
（通过学生讨论得出渡河方案与步骤如下）
S1 两个小孩同船过河去；
S2 一个小孩划船回来；
S3 一个大人划船过河去；
S4 对岸的小孩划船回来；
S5 两个小孩同船渡过河去；
S6 一个小孩划船回来；
S7 余下的一个大人独自划船渡过河去；对岸的小孩划船回来；
S8 两个小孩再同时划船渡过河去。
2．一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共48，要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？
先列方程组解题，得鸡10只，兔7只；
再归纳一般二元一次方程组的通用方法，即用高斯消去法解一般的二元一次方程组。
令D，若D，方程组无解或有无数多解。
若D，则，。
由此可得解二元一次方程组的算法。
计算；
如果，则原方程组无解或有无穷多组解；否则（），
，
输出计算结果、或者无法求解的信息。
二、数学构建：
算法的概念：由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者是按照要求设计好的有限的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题。
算法的五个重要特征：
（1）有穷性：一个算法必须保证执行有限步后结束；
（2）确切性：算法的每一步必须有确切的定义；
（3）可行性：算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次即可完成；
（4）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件。所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件。
（5）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的。
三、知识运用：
例1．一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物。没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊。（1）设计过河的算法；（2）思考每一步算法所遵循的相同之处原则是什么。
解：算法或步骤如下：
S1 人带两只狼过河
S2 人自己返回
S3 人带一只羚羊过河
S4 人带两只狼返回
S5 人带两只羚羊过河
S6 人自己返回
S7 人带两只狼过河
S8 人自己返回带一只狼过河
例2．写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
解：为了便于理解，算法步骤用自然语言叙述：
先将序列中的第一个整数设为最大值；
将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时就假定“最大值”就是这个整数；
如果序列中还有其它整数，重复；
在序列中一直进行到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。
试用数学语言写出对任意3个整数中最大值的求法
max=a
如果b>max，则max=b
如果c>max，则max=c,
max就是中的最大值。
四、学力发展：
1．给出求的一个算法。
2．给出求点P关于直线的对称点的一个算法。
五、课堂小结：
算法的概念：由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者是按照要求设计好的有限的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题。
算法的五个重要特征：
（1）有穷性：一个算法必须保证执行有限步后结束；
（2）确切性：算法的每一步必须有确切的定义；
（3）可行性：算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次即可完成；
（4）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件。所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件。
（5）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的。
六、课外作业：
1．优化设计P3-4：变式练习1-10题。
2．课本P6：练习1-4题第三课时 子集、全集、补集(一)
教学目标：
使学生理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点.
教学重点：
子集的概念，真子集的概念.
教学难点：
元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
1.集合的表示方法 列举法、描述法
2.集合的分类 有限集、无限集
由集合元素的多少对集合进行分类，由集合元素的有限、无限选取表示集合的方法.故问题解决的关键主要在于寻求集合中的元素，进而判断其多少.
Ⅱ.讲授新课
［师］同学们从下面问题的特殊性，去寻找其一般规律.
幻灯片(A)：
我们共同观察下面几组集合
(1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}
(2)A＝{x｜x＞3}，B＝{x｜3x－6＞0}
(3)A＝{正方形}，B＝{四边形}
(4)A＝，B＝{0}
(5)A＝{直角三角形}，B＝{三角形}
(6)A＝{a，b}，B＝{a，b，c，d，e}
［生］通过观察上述集合间具有如下特殊性
(1)集合A的元素1，2，3同时是集合B的元素.
(2)集合A中所有大于3的元素，也是集合B的元素.
(3)集合A中所有正方形都是集合B的元素.
(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素.
(5)所有直角三角形都是三角形，即A中元素都是B中元素.
(6)集合A中元素A、B都是集合B中的元素.
［师］由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.
幻灯片(B)：
1.子集
定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作AB（或BA），这时我们也说集合A是集合B的子集.
［师］请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.
［师］当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB（或B A）.
如：A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则AB.
［师］依规定，空集是任何集合子集.
请填空：_____A(A为任何集合).
［生］A
［师］由A＝{正三角形}，B＝{等腰三角形}，C＝{三角形}，则从中可以看出什么规律？
［生］由题可知应有AB，BC.
这是因为正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形一定是三角形，那么正三角形也一定是三角形.故AC.
［师］从上可以看到，包含关系具有“传递性”.
(1)任何一个集合是它本身的子集
［师］如A＝{9，11，13}，B＝{20，30，40}，那么有AA，BB.
师进一步指出：
如果AB，并且A≠B，则集合A是集合B的真子集.
这应理解为：若AB，且存在b∈B，但bA，称A是B的真子集.
A是B的真子集，记作AB(或BA)真子集关系也具有传递性若AB，BC，则AC.
那么_______是任何非空集合的真子集.
［生］应填
2.例题解析
［例1］写出{a、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.
分析：寻求子集、真子集主要依据是定义.
解：依定义：{a，b}的所有子集是、{a}、{b}、{a，b}，其中真子集有、{a}、{b}.
注：如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n－1个.
［例2］解不等式x－3＞2，并把结果用集合表示.
解：由不等式x－3＞2知x＞5
所以原不等式解集是{x｜x＞5}
［例3］（1）说出0，｛0｝和的区别；（2）｛｝的含义
Ⅲ.课堂练习
1．已知A＝{x｜x＜－2或x＞3}，B＝{x｜4x＋m＜0}，当AB时，求实数m的取值范围.
分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系.需用数形结合.
解：将A及B两集合在数轴上表示出来
要使AB，则B中的元素必须都是A中元素
即B中元素必须都位于阴影部分内
那么由x＜－2或x＞3及x＜－知 －＜－2即m＞8
故实数m取值范围是m＞8
2．填空：
｛a｝ ｛a｝，a ｛a｝， ｛a｝，｛a，b｝ ｛a｝，0 ，｛0｝ ，1 ｛1,｛2｝｝，｛2｝ ｛1,｛2｝｝， ｛｝
Ⅳ.课时小结
1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集.
2.清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P10习题1.2 1，2
补充：
1.判断正误
(1)空集没有子集 （ ）
(2)空集是任何一个集合的真子集 （ ）
(3)任一集合必有两个或两个以上子集 （ ）
(4)若BA，那么凡不属于集合a的元素，则必不属于B （ ）
分析：关于判断题应确实把握好概念的实质.
解：该题的5个命题，只有(4)是正确的，其余全错.
对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集.
对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集.
对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则xA时也必有xB.
2.集合A＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集.
分析：区分子集与真子集的概念.空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的子集有2n，真子集有2n－1个.
则该题先找该集合元素，后找真子集.
解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0，1，2
即a＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}＝{0，1，2}
真子集：、{1}、{2}、{0}、{0，1}、{0，2}、{1，2}，共7个
3.(1)下列命题正确的是 （ ）
A.无限集的真子集是有限集 B.任何一个集合必定有两个子集
C.自然数集是整数集的真子集 D.{1}是质数集的真子集
(2)以下五个式子中，错误的个数为 （ ）
①{1}∈{0，1，2} ②{1，－3}＝{－3，1} ③{0，1，2}{1，0，2}
④∈{0，1，2} ⑤∈{0}
A.5 B.2 C.3 D.4
(3)M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是 （ ）
A.aM B.aM C.{a}∈M D.{a}M
解：(1)该题要在四个选择支中找到符合条件的选择支.必须对概念把握准确，并不是所有有限集都是无限集子集，如{1}不是{x｜x＝2k，k∈Z}的子集，排除A.由于只有一个子集，即它本身，排除B.由于1不是质数，排除D.故选C.
(2)该题涉及到的是元素与集合，集合与集合关系.
①应是{1}{0，1，2}，④应是{0，1，2}，⑤应是{0}
故错误的有①④⑤，选C.
(3)M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π
因3＜a＜4，故a是M的一个元素.
{a}是{x｜3＜x＜4}的子集，那么{a}M.选D.
4.判断如下a与B之间有怎样的包含或相等关系：
(1)A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}
(2)A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}
解：(1)因A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，故A、B都是由奇数构成的，即A＝B.
(2)因A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}，
又 x＝4n＝2·2n
在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数.
故集合A、B的元素都是偶数.但B中元素是由A中部分元素构成，则有BA.
评述：此题是集合中较抽象题目.注意其元素的合理寻求.
5.已知集合P＝{x｜x2＋x－6＝0}，Q＝{x｜ax＋1＝0}满足QP，求a所取的一切值.
解：因P＝{x｜x2＋x－6＝0}＝{2，－3}
当a＝0时，Q={x｜ax＋1＝0}＝，QP成立.
又当a≠0时，Q＝{x｜ax＋1＝0}＝{－}，
要QP成立，则有－＝2或－＝－3，a＝－或a＝.
综上所述，a＝0或a＝－或a＝
评述：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论.
本题易漏掉a＝0，ax＋1＝0无解，即Q为空集情况.
而当Q＝时，满足QP.
6.已知集合A＝{x∈R｜x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R｜（x＋1）（x2＋3x－4＝0}，要使APB，求满足条件的集合P.
解：由题A＝{x∈R｜x2－3x＋4＝0}＝
B＝{x∈R｜（x＋1）（x2＋3x－4）＝0}＝{－1，1，－4}
由APB知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为：
{1}或{－1}或{－4}或{－1，1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1，1，－4}
评述：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素.
而做到这点，必须化简A、B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件.
7.已知AB，AC，B＝{0，1，2，3，4}，C＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？
解：因AB，AC，B＝{0，1，2，3，4}，C＝{0，2，4，8}，由此，满足AB，有，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0，1}，{0，2}，{2，3}，{2，4}，{0，3}，{0，4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{3，4}，{0，2，4}，{0，1，2}，{0，1，3}，{0，1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{2，3，4}，{0，3，4}，{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3}，{1，3，4}，{0，1，2，4}，{0，2，3，4}，{0，1，2，3，4}，共25＝32个.
又满足AC的集合A有
，{0}，{2}{4}，{8}，{0，2}，{0，4}，{0，8}{2，4}，{2，8}，{4，8}，{0，2，4}，{0，2，8}，{0，4，8}，{2，4，8}，{0，2，4，8}，共24＝8×2＝16个.
其中同时满足AB，AC的有8个
，{0}，{2}，{4}，{0，2}，{0，4}，{2，4}，{0，2，4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁.由此得到解题途径.
有如下思路：
题目只要A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少.
显然公共元素有0、2、4，组成集合的子集有23＝8 (个)
8.设A＝{0，1}，B＝{x｜xA}，则A与B应具有何种关系？
解：因A＝{0，1}，B＝{x｜xA}
故x为，{0}，{1}，{0，1}，即{0，1}是B中一元素.故A∈B.
评注：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素.
9.集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，
(1)若BA，求实数m的取值范围. (2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数.
(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围.
解：(1)当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝满足BA.
当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使B≤A成立，
需，可得2≤m≤3
综上m≤3时有BA
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}
所以，A的非空真子集个数为：28－2＝254
(3)∵x∈R，且A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.
则①若B＝即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件.
②若B＝，则要满足条件有：或解之m＞4
综上有m＜2或m＞4
评述：此问题解决：（1）不应忽略；（2）找A中的元素；（3）分类讨论思想的运用.
（二）1.预习内容：课本P9
2.预习提纲：
(1)求一个集合补集应具备的条件.
(2)能正确表示一个集合的补集.
子集、全集、补集(一)
1.判断正误
(1)空集没有子集 （ ）
(2)空集是任何一个集合的真子集 （ ）
(3)任一集合必有两个或两个以上子集 （ ）
(4)若BA，那么凡不属于集合a的元素，则必不属于B （ ）
2.集合A＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集.
3.(1)下列命题正确的是 （ ）
A.无限集的真子集是有限集 B.任何一个集合必定有两个子集
C.自然数集是整数集的真子集 D.{1}是质数集的真子集
(2)以下五个式子中，错误的个数为 （ ）
①{1}∈{0，1，2} ②{1，－3}＝{－3，1} ③{0，1，2}{1，0，2}
④∈{0，1，2} ⑤∈{0}
A.5 B.2 C.3 D.4
(3)M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是 （ ）
A.aM B.aM C.{a}∈M D.{a}M
4.判断如下a与B之间有怎样的包含或相等关系：
(1)A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}
(2)A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}
5.已知集合P＝{x｜x2＋x－6＝0}，Q＝{x｜ax＋1＝0}满足QP，求a所取的一切值.
6.已知集合A＝{x∈R｜x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R｜（x＋1）（x2＋3x－4＝0），要使APB，求满足条件的集合P.
7.已知AB，AC，B＝{0，1，2，3，4}，C＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？
8.设A＝{0，1}，B＝{x｜xA}，则A与B应具有何种关系？
9.集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，
(1)若BA，求实数m的取值范围. (2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数.
(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围.
- 1 -高一数学月考试卷 12.17
说明：试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知U＝{x∈R|－1≤x≤3}，A＝{x∈R|x2－2x－3＜0}，B＝{x∈R|x2－2x－3＝0}，C＝{x|－1≤x＜3}，则有
A.CUA＝B B.CUB＝C C.CUAC D.AC
2.已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原象分别对应是6和9，则19在f作用下的象为
A.18 B.30 C. D.28
3.在直角坐标系中，函数y＝|x|的图象
A.关于对称轴、原点均不对称 B.关于原点对称
C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
4.若f(x)＝ ，则方程f(4x)＝x的根是
A. B.－ C.2 D.－2
5.设函数f(x)是（－∞，+∞）上的减函数，则
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)6.已知函数y＝f(x)(x∈［a，b］)，那么集合{(x，y)|y＝f(x)，x∈［a，b］}∩{(x，y)|x＝2}中所含元素的个数为
A.1 B.0 C.0或1 D.1或2
7.函数y＝log(x2－6x＋17)的值域是
A. R B.［8，+ C.(－∞，－ D.［－3，+∞)
8.设有两个命题①关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对于一切x∈R恒成立，②函数f(x)＝
－(5－2a)x是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a的范围是
A.(－2，2) B.(－∞，2) C.(－∞，－2) D.(－∞，－2］
9.下列说法正确的是
A.平面α和平面β只有一个公共点 B.两两相交的三条直线共面
C.不共面的四点中，任何三点不共线 D.有三个公共点的两平面必重合
10.在立体几何，以下命题中真命题个数为
①垂直于同一直线的两直线平行 ②到定点距离等于定长的点的轨迹是圆 ③有三个角是直角的四边形是矩形 ④自一点向一已知直线引垂线有且只有一条
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
11.若Rt∠ABC的边AB与平面α平行，另一边BC与α斜交，则∠ABC在α上的射影是
A.钝角 B.直角 C.锐角 D.一条射线
12.a，b是两条异面直线，下列结论正确的是
A.过不在a，b上的任一点，可作一个平面与a，b平行
B.过不在a，b上的任一点，可作一条直线与a，b相交
C.过不在a，b上的任一点，可作一条直线与a，b都平行
D.过a可以并且只可以作一平面与b平行
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13.函数y＝的最大值是______.
14.若不等式3>()x+1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为______.
15.方程log3(1－2·3x)＝2x＋1的解x＝______.
16.当x∈(1，2)，不等式(x－1)217.已知a、b、c、d是四条互不重合的直线，且c、d分别为a、b在平面α上的射影，给出两组判断：第一组①a⊥b②a∥b;第二组③c⊥d④c∥d，分别从两组中各选一个论断，使一个作条件，另一个作结论，写出一个正确的命题 .
18.α、β、γ是三个平面，a、b是两直线，有下列三个条件
①α∥γ，bβ ②a∥γ，b∥β ③b∥β，aγ
命题“α∩β＝a，bγ，且 ，则a∥b”是真命题，则所有可以在横线处填入的条件的序号是 .
三、解答题（本大题共5小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题满分12分）（1）已知x+x＝3，求的值
（2）已知lg(x＋y)＋lg(2x＋3y)－lg3＝lg4＋lgx＋lgy，求 值
20.（本小题满分13分）已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB.
（1）求证：CD∥α
（2）若AB＝4，EF＝，CD＝2，求AB与CD所成角大小.
21.（本小题满分13分）某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择.若该货物在运输过程中（含装卸时间）的损耗为300元/小时，其他主要参考数据如下：
运输工具 途中速度（千米/小时） 途中费用（元/千米） 装卸时间（小时） 装卸费用
汽车 50 8 2 1000
火车 100 4 4 1800
问如何根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程中的费用与损耗之和最小.
22.（本小题满分14分）如图，几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点.求证：
（1）DF∥面ABC；
（2）AF⊥BD.
23.(本小题满分14分)已知y＝log4(2x＋3－x2)
（1）求定义域；
（2）求f(x)的单调区间；
（3）求y的最大值，并求取最大值时x值.
高一数学月考试卷答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B D A D C C D C A B D
二、填空题
13. 4 14. －＜a＜ 15. －1 16. (1，2) 17. 若a∥b，则c∥d 18. ①③
三、解答题：
19．（1）已知x+x＝3，求的值
（2）已知lg(x＋y)＋lg(2x＋3y)－lg3＝lg4＋lgx＋lgy，求 值
【解】（1） ∵x＋x＝3
∴x＋x＝(x＋x)3－3(x＋x)＝33－3×3＝18
x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝［(x＋x)2－2］2－2＝(32－2)2－2＝47
∴原式＝＝
（2）由题意可得x>0，y>0，由对数运算法则得
lg(x＋y)(2x＋3y)＝lg(12xy) 则(x＋y)(2x＋3y)＝12xy
(2x－y)(x－3y)＝0 即2x＝y或x＝3y
故 ＝或 ＝3
20.已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB.
（1）求证：CD∥α
（2）若AB＝4，EF＝，CD＝2，求AB与CD所成角大小.
（1）【证明】 连结AD交α于G，连GF
∵AB∥α，面ADB∩α＝GFAB∥GF
又∵F为BD中点 ∴G为AD中点
又∵AC、AD相交，确定的平面ACD∩α＝EG
E为AC中点，G为AD中点
∴EG∥CD
（2）【解】 由（1）证明可知：
∵AB＝4，GF＝2，CD＝2
∴EG＝1，EF＝
在△EGF中，由余弦定理得：cosEGF＝－
∴∠EGF＝120° ∴AB、CD所成角为60°
21.某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择.若该货物在运输过程中（含装卸时间）的损耗为300元/小时，其他主要参考数据如下：
运输工具 途中速度（千米/小时） 途中费用（元/千米） 装卸时间（小时） 装卸费用
汽车 50 8 2 1000
火车 100 4 4 1800
问如何根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程中的费用与损耗之和最小.
考查函数的实际应用及解决问题的能力.
【解】 设两地相距x公里，汽车总费用为y1元，火车总费用y2元，则
y1＝(＋2)300＋8x＋1000＝14x＋1600
y2＝(＋4)300＋4x＋1800＝7x＋3000
又y1－y2＝7x－1400,故
（1）当x>200时，y1－y2>0，y1>y2，选火车
（2）当0（3）当x＝200时，y1＝y2，费用一样
22.如图，几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点.求证：
（1）DF∥面ABC；
（2）AF⊥BD.
【证明】 （1）取AB中点G，连结CG、FG.
∵F为EB中点，
∴四边形FGCD为平行四边形
∴DF∥CG，又CG面ABCDF∥面ABC
（2）∵△ABC为正三角形，G为AB中点.
23.已知y＝log4(2x＋3－x2)
（1）求定义域；（2）求f(x)的单调区间；
（3）求y的最大值，并求取最大值时x值.
考查对数函数、二次函数的单调性、最值.
【解】 （1）由2x+3－x2>0，解得－1∴f(x)定义域为{x|－1(2)令u＝2x＋3－x2，则u>0，y＝log4u
由于u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4
再考虑定义域可知，其增区间是（－1，1），减区间是［1,
又y＝log4u为(0，+∞)增函数，
故该函数单调递增区间为（－1，1），减区间为［1，3］
（3）∵u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4≤4
∴y＝log4u≤log44＝1
故当x＝1时，u取最大值4时，y取最大值1.第三课时 流程图（二）
教学目标：
使学生了解选择结构的特点，并能解决一些与此有关的问题.
教学重点：
选择结构的特性.
教学难点：
选择结构的运用.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
设计求解不等式ax＋b＞0（a≠0）的一个算法，并用流程图表示.
解：第一步 输入a，b；
第二步 判断a的符号；
第三步 若a＞0，解不等式，
若a＜0，解不等式；
第四步 输出不等式的解.
流程图为：
Ⅱ.讲授新课
选择结构是以条件的判断为起始点，根据条件是
否成立而决定执行哪一个处理步骤.
例1：有三个硬币A、B、C，其中一个是伪造的，另两个是真的，伪造的与真的质量不一样，现在提供天平一座，要如何找出伪造的硬币呢？试给出解决问题的一种算法，并画出流程图.
我的思路：要确定A、B、C中哪一个硬币是伪造的，只要比较它们的质量就可以了.比较A与B的质量，若A＝B，则C是伪造的;否则，再比较A与C的质量，若A＝C，则B是伪造的，若A≠C，则C是伪造的.
例2：若有A、B、C三个不同大小的数字，你能设计一个算法，找出其中的最大值吗？试给出解决问题的一种算法，并画出流程图.
解析：应先两两比较，算法和流程图如下：
S1　输入A，B，C；
S2　如果A＞B，那么转S3，否则转S4；
S3　如果A＞C，那么输出A，转S5，否则输出C，转S5；
S4　如果B＞C，那么输出B，否则输出C；
S5　结束.
点评：本题主要考查学生对选择结构的流程图的有关知识的正确运用.
Ⅲ.课堂练习
课本P11 1，2，3.
Ⅳ.课时小结
选择结构的特点：在程序执行过程中出现了分支，要根据不同情况选择其中一个分支执行.
Ⅴ.课后作业
课本P14 2，5.
- 2 -三角函数单元复习题（二）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知x∈(－，0)，cosx＝，则tan2x等于 （ ）
A. B.－ C. D.－
2．cos－sin的值是 （ ）
A.0 B.－ C. D.2
3．已知α，β均为锐角，且sinα＝，cosβ＝，则α＋β的值为 （ ）
A. 或 B. C. D.2kπ＋ (k∈Z)
4．sin15°cos30°sin75°的值等于 （ ）
A. B. C. D.
5．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin)等于 （ ）
A. B.－ C.－ D.
6．sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－cos(120°－x)的值为 （ ）
A. B. C.1 D.0
7．已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，那么sin2α，cos2α的值分别为 （ ）
A. ， B.－，
C.－，－ D.－，±
8．在△ABC中，若tanAtanB>1，则△ABC的形状是 （ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.不能确定
9．化简 eq \f(cos（＋α）－sin（＋α）,cos（－α）＋sin（－α）) 的结果为 （ ）
A.tanα B.－tanα C.cotα D.－cotα
10．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值为 （ ）
A.－ B. C.－1 D.1
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．的值等于_____________.
12．若＝4＋，则cot( ＋A)＝_____________.
13．已知tanx＝ (π＜x＜2π)，则cos(2x－)cos(－x)－sin(2x－)sin(－x)＝_____.
14．sin(－3x)cos(－3x)－cos(＋3x)sin(＋3x)＝_____________.
15．已知tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则sin(α＋)·sin(－α)的值为____________.
16．已知5cos(α－)＋7cos＝0，则tantan＝_____________.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知cos(α－)＝，＜α＜，求cosα.
18．（本小题满分14分）已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，)，
求sinα、tanα.
19．（本小题满分14分）在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，
求tan＋tan＋tantan的值.
20．（本小题满分15分）已知cosα＝－，cos(α＋β)＝，且α∈(π，π)，α＋β∈(π，2π)，求β.
21．（本小题满分15分）是否存在锐角α和β，使得（1）α＋2β＝π，(2)tantanβ＝2－同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，说明理由.
三角函数单元复习题（二）答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．D 2．C 3．C 4．B 5．C 6．D 7．C 8．A 9．B 10．A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．2－ 12．4＋ 13．－ 14．
15．【解析】 ∵tan(α＋)＝tan［(α＋β)－(β－)］＝
∴原式＝sin(α＋)cos(α＋)
＝ eq \f(sin(α＋)cos(α＋),sin2(α＋)＋cos2(α＋)) ＝ eq \f(tan(α＋),1＋tan2(α＋)) ＝.
16．【解析】 由5cos(α－)＋7cos＝0得：
5cos（＋）＋7 cos（－）＝0
展开得：12coscos＋2sinsin＝0，
两边同除以coscos得tantan＝－6.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知cos(α－)＝，＜α＜，求cosα.
【解】 由于0＜α－＜，cos(α－)＝
所以sin(α－)＝ eq \r(1－cos2(α－)) ＝
所以cosα＝cos［(α－)＋］＝
18．（本小题满分14分）已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，)，
求sinα、tanα.
【解】 ∵sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1
∴4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0
即：cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0cos2α(sinα＋1)(2sinα－1)＝0
又α∈(0， )，∴cos2α>0，sinα＋1>0.
故sinα＝，α＝，tanα＝.
19．（本小题满分14分）在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，
求tan＋tan＋tantan的值.
【解】 因为A、B、C成等差数列，A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＋＝
∴tan(＋)＝，由两角和的正切公式，得 eq \f(tan＋tan,1－tantan) ＝
tan＋tan＝－tantan
tan＋tan＋tantan＝.
20．（本小题满分15分）已知cosα＝－，cos(α＋β)＝，且α∈(π，π)，α＋β∈(π，2π)，求β.
【分析】 要求β就必须先求β的某一个三角函数值，对照已知与欲求的目标，宜先求出cosβ的值，再由β的范围得出β.
【解】 ∵π＜α＜π， π＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.
又∵cosα＝－，cos(α＋β)＝，∴sinα＝－，sin(α＋β)＝－
故cosβ＝cos［(α＋β)－α］＝×（－）＋（－）（－）＝－.
而0＜β＜π，∴β＝π.
【评注】 本题中若求sinβ，则由sinβ＝及0＜β＜π不能直接推出β＝π，因此本类问题如何选择三角函数值得考虑.
21．（本小题满分15分）是否存在锐角α和β，使得（1）α＋2β＝π，(2)tantanβ＝2－同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，说明理由.
【分析】 这是一道探索性问题的题目，要求根据（1）、（2）联解，若能求出锐角α和β，则说明存在，否则，不存在.由于条件（2）涉及到与β的正切，所以需将条件（1）变成＋β＝，然后取正切，再与（2）联立求解.
【解】 由（1）得：＋β＝
∴tan(＋β)＝ eq \f(tan＋tanβ,1－tantanβ) ＝
将（2）代入上式得tan＋tanβ＝3－.
因此，tan与tanβ是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根，解之得x1＝1，x2＝2－.
若tan＝1,由于0＜＜.所以这样的α不存在；
故只能是tan＝2－，tanβ=1.
由于α、β均为锐角，所以α＝，β＝
故存在锐角α＝，β＝使（1）、（2）同时成立.
- 7 -2.2.3 向量的数乘（1）
一、课题：向量的数乘（1）
二、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
3．理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。
三、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律，向量共线的充要条件；
2．向量共线的充要条件及其应用。
四、教学过程：
（一）复习：
已知非零向量，求作和．
如图：，．
（二）新课讲解：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当 时，．
2．实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
例1 计算：（1）； （2）； （3）．
解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=．
3．向量共线的充要条件：
定理：（向量共线的充要条件）向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得．
例2 如图，已知，．试判断与是否共线．
解：∵
∴与共线．
例3 判断下列各题中的向量是否共线：
（1），；
（2），，且，共线．
解：（1）当时，则，显然与共线．
当时， ，∴与共线．
（3）当，中至少有一个为零向量时，显然与共线．
当，均不为零向量时，设
∴，
若时，，，显然与共线．
若时，，
∴与共线．
例4 设是两个不共线的向量，已知，，，
若，，三点共线，求的值。
解：
∵，，三点共线，∴与共线，即存在实数，使得，
即是.
由向量相等的条件，得 ，∴．
五、课堂练习：
六、小结：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
3．理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。
七、作业：
补充：1．设是两个不共线的向量，而和共线，求实数的值；
2．设二个非零向量不共线，如果，，
，求证，，三点共线。
PAGE
- 2 -3．3．3两条直线的位置关系
―点到直线的距离公式
三维目标：
知识与技能：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；
能力和方法： 会用点到直线距离公式求解两平行线距离
情感和价值：1。 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题
教学重点：点到直线的距离公式
教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.
教学方法：学导式
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程
一、情境设置，导入新课：
前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离。
用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算？能否用两点间距离公式进行推导？
两条直线方程如下：
.
二、讲解新课：
1．点到直线距离公式：
点到直线的距离为：
（1）提出问题
在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，直线＝0或B＝0时，以上公式，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢
学生可自由讨论。
（2）数行结合，分析问题，提出解决方案
学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线的距离d是点P到直线的垂线段的长.
这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。
方案一：
设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥可知，直线PQ的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线的距离为d
此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法
方案二：设A≠0，B≠0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，
由得.
所以，｜PＲ｜＝｜｜＝
｜PS｜＝｜｜＝
｜ＲS｜＝×｜｜由三角形面积公式可知：·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜
所以
可证明，当A=0时仍适用
这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力。意志品质等方面得到了提高。
3．例题应用，解决问题。
例1 求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。
解：d=
例2 已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。
解：设AB边上的高为h，则
S=
，
AB边上的高h就是点C到AB的距离。
AB边所在直线方程为
即x+y-4=0。
点C到X+Y-4=0的距离为h
h=，
因此，S=
通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。
同步练习：114页第1，2题。
4．拓展延伸，评价反思。
（1） 应用推导两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线和的一般式方程为：，
：，则与的距离为
证明：设是直线上任一点，则点P0到直线的距离为
又
即，∴d＝
的距离.
解法一：在直线上取一点P(４，0)，因为∥
例3 求两平行线：，：，所以点P到的距离等于与的距离.于是
解法二：∥又.
由两平行线间的距离公式得
四、课堂练习：
1， 已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3。且该直线过点（2，3），求该直线方程。
五、小结 ：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式
六、课后作业：
13.求点P（2，-1）到直线2＋3－3＝0的距离.
14.已知点A（，6）到直线3－４＝2的距离d=4，求的值：
15.已知两条平行线直线和的一般式方程为：，
：，则与的距离为
七．板书设计：略
数学教育网http:/// 主审戴刚锋期末练习题
一、选择题
1.已知：a、b、c为三个向量，下列命题中正确的是
A．如果|a|＝|b|，那么a＝b
B．a－b＝b－a
C．|a＋b|≤|a|＋| b |
D．（a·b）·c＝a·（b·c）
答案：C
2.如果α、β都是第二象限的角，且α＞β，那么sinα与sinβ的大小关系是
A．sinα＞sinβ B．sinα＜sinβ
C．sinα＝sinβ D．大小关系不定
答案：D
3.tanx＝2，则的值是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
4.直线上有A、B、C三点，如果B分有向线段AC的比为－，则
A．B是线段AC的中点
B．A是线段BC的中点
C．C是线段AB的中点
D．B是线段AC的三等分点
答案：B
5.下面四个关系式中，正确的项的个数是
①0·a＝0 ②（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） ③a·b＝b·a ④|a·b|＝|a|| b |
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：C
6.将函数y＝f（x）图象上的点P（1，0）平移变为P′（2，0），平移后函数的新解析式为
A．y＝f（x＋1） B．y＝f（x－1）
C．y＝f（x）＋1 D．y＝f（x）－1
答案：B
7.在△ABC中，若acosA－bcosB＝0，则三角形的形状是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
答案：D
8.已知a＝（x，3），b＝（3，－1），且a∥b，则x等于
A．－1 B．9 C．－9 D．1
答案：C
9.已知a＝（λ，2），b＝（－3，5），且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A．λ＞ B．λ＜
C．λ＞－ D．λ＜－
答案：A
二、填空题
10.已知|a|＝3，|b|＝4，若向量a＋kb与向量a－kb互相垂直，则实数k＝ .
答案：±
11.设e1，e2是不共线的向量，e 1－4e2与λe1＋e2共线，则实数λ的值为 .
答案：－
12.已知a＝（2，－1），b＝（－1，3），则2a－3b的坐标是 .
答案：（7，－11）
13.把一个函数图象按向量a＝（，2）平移后，函数的解析式为y＝sin（x＋）＋2，则原来函数的解析式为 .
答案：y＝cosx
14.点P（4，3）关于点Q（5，－3）的对称点的坐标是 .
答案：（6，－9）
三、解答题
15.已知点A（0，2）、B（1，－1）、C（2，－4），求证：A、B、C三点共线.
证明：∵＝（1－0，－1－2）＝（1，－3）.
＝（2－0，－4－2）＝（2，－6）
又1×（－6）－2×（－3）＝0，
∴∥
又直线AB、直线AC有公共点A
∴A、B、C三点共线.
16.已知ABCD的顶点A的坐标为(－2，1)，一组对边AB、CD的中点分别为M(3，0)、N（－1，－2）.求ABCD的其余顶点坐标.
解：略
17.已知a＝（2x－y＋1，x＋y－2），b＝（2，－2），当x，y为何值时(1)a＝b (2)a∥b
解：（1）由题意可知：，解得
（2）由向量共线条件知：－2（2x－y＋1）－2（x＋y－2）＝0
化简得：3x－1＝0
18.如图，已知△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，求证：
（1）∥；
（2）＝0.
证明：（1）
∴∥
（2）
∴
同理可得
∴＝0
19.一船在海面A处望见两灯塔P、Q在北15°西的一条直线上.该船沿东北方向航行4海里到达B处，望见灯塔P在正西方向，灯塔Q在西北方向，求两灯塔距离.
解：如图，由题意可知：
∠A＝45°＋15°=60°，
∠ABP＝45°，∠PBQ＝45°
∴∠ABQ＝90°
∴∠AQB＝30°，∠APB＝75°
sin75°＝sin（45°＋30°）＝
在△ABP中，AB＝4，由正弦定理知
∴AP＝4（－1）
在△ABQ中，∠ABQ＝90°，AB＝4
∴AQ＝8
∴PQ＝AQ－AP＝8－4（－1）＝12－4
故两灯塔P、Q的距离为12－4海里.第4课时 复合函数
教学目标：
使学生掌握与复合函数有关的各类问题.
教学重点：
复合的含义.
教学难点：
复合函数的讨论.
教学过程：
[例1]已知f（x）＝x2－x＋7，求f（2x－1）
解：f（2x－1）＝（2x－1）2－（2x－1）＋7
＝4x2－6x＋9
[例2]已知f（x＋1）＝x2＋3x＋4，求f（x）
解法一：令t＝x＋1，则x＝t－1
有：f（t）＝（t－1）2＋3（t－1）＋4
＝t2＋t＋2
即：f（x）＝x2＋x＋2
解法二：f（x＋1）＝（x＋1）2＋x＋3
＝（x＋1）2＋（x＋1）＋2
∴ f（x）＝x2＋x＋2
练习：
1．已知f（x＋）＝x2＋，求f（x）
2．已知f（x－1）＝x2－3x＋4，求f（2x－3）
［例3］(1)已知函数f（x）的定义域为(0，1)，求f（x2）的定义域.
(2)已知函数f（2x＋1）的定义域为(0，1)，求f（x）的定义域.
(3)已知函数f（x＋1）的定义域为[－2，3]，求f（2x2－2）的定义域.
分析：(1)求函数定义域就是求自变量x的取值范围，求f（x2）的定义域就是求x的范围，而不是求x2的范围，这里x与x2的地位相同，所满足的条件一样.
(2)应由0＜x＜1确定出2x＋1的范围，即为函数f（x）的定义域.
(3)应由－2≤x≤3确定出x＋1的范围，求出函数f（x）的定义域进而再求f（2x2－2）的定义域.它是(1)与(2)的综合应用.
解：(1)∵f（x）的定义域为(0，1)
∴要使f（x2）有意义，须使0＜x2＜1，即－1＜x＜0或0＜x＜1∴函数f（x2）的定义域为{x｜－1＜x＜0或0＜x＜1}
(2)∵f（2x＋1）的定义域为（0，1），即其中的函数自变量x的取值范围是0＜x＜1，令t＝2x＋1，∴1＜t＜3，∴f（t）的定义域为1＜x＜3 ∴函数f（x）的定义域为{x｜1＜x＜3}
(3)∵f（x＋1）的定义域为－2≤x≤3，∴－2≤x≤3
令t＝x＋1，∴－1≤t≤4
∴f（t）的定义域为－1≤t≤4
即f(x)的定义域为－1≤x≤4，要使f（2x2－2）有意义，须使－1≤2x2－2≤4，
∴－≤x≤－或≤x≤
函数f（2x2－2）的定义域为{x｜－≤x≤－或≤x≤}
评述：（1）对于复合函数f [ｇ（x）]而言，如果函数f（x）的定义域为A，则f [ｇ（x）]的定义域是使得函数ｇ（x）∈A的x取值范围.
（2）如果f [ｇ（x）]的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数ｇ(x)的值域.
[例4]已知f（x）＝，求f（x2－1）
解：f（x2－1）＝
＝
[例5]已知f（f（x））＝2x－1，求一次函数f（x）
解：设f（x）＝kx＋b，则：
f（f（x））＝k f（x）＋b＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝2x－1
∴ 得：k＝，b＝1－或k＝－，b＝＋1
∴f（x）＝x＋1－或f（x）＝－x＋＋1
[例6]已知函数满足2f（x）＋f（ ）＝x，求f（x）
解：令t＝ ，则有2f（ ）＋f（t）＝
即：2f（ ）＋f（x）＝
∴f（x）＝
课后作业：
1．已知f（＋1）＝x＋2，求f(x)的解析式.
分析：此题目中的“f”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用.即：求出f及其定义域.
解：设t＝＋1≥1，则＝t－1，
∴x＝（t－1）2
∴f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1）
∴f（x）＝x2－1（x≥1）
2．（1）已知函数y＝f（x）的定义域为[0，1]，求f（x－1）的定义域.
解：∵f（x）中0≤x≤1
∴0≤x－1≤1，即1≤x≤2
（2）已知函数y＝f（x－1）的定义域为[0，1]，求f（x）的定义域.
解：函数y＝f（x－1）中0≤x≤1
∴－1≤x－1≤0
即：y＝f（x）的定义域为[－1，0]
（3）已知函数y＝f（x－2）的定义域为[1，2]，求y＝f（x＋3）的定义域.
3．已知函数f（x）是一次函数，且满足关系式3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f(x)的解析式.
解：设f（x）＝ax＋b则
3f（x＋1）－2f（x－1）
＝3ax＋3a＋2b＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17
∴a＝2，b＝7
∴f（x）＝2x＋7
- 1 -第28课时 幂函数
教学目标：
使学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，掌握从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习.
教学重点：
幂函数的定义和图象.
教学难点：
幂函数的图象.
教学过程：
Ⅰ.复习引入
幂函数的定义
Ⅱ.讲授新课
问题1：我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化．把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性．利用计算机画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点？
　　（1）y＝；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝．
　　思路：先将各式化为根式形式，函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断．（1）定义域为［0，＋），（2）（3）（4）定义域都是R；其中（1）既不是奇函数也不是偶函数，（2）是奇函数，（3）（4）是偶函数．它们的图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增．
　　问题2：仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？
　　（1）y＝x－1；（2）y＝x－2；（3）y＝；（4）y＝．
　　思路：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；（1）（2）（4）的定义域都是{x|x≠0}，（3）的定义域是（0，＋）；（1）（4）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线．
总结：研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断．问题1和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比．
［例1］讨论函数y＝的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．
　　思路：函数y＝是幂函数．
　　（1）要使y＝＝有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R．
　　（2）∵xR，∴x2≥0．∴ y≥0．
　　（3）f（－x）＝＝＝f（x），　　∴函数y＝是偶函数；
（4）∵n＝＞0，　　∴幂函数y＝在［0，＋］上单调递增．
　　由于幂函数y＝是偶函数，
　　∴幂函数y＝在（－∞，0）上单调递减．
　　（5）其图象如右图所示．
［例2］比较下列各组中两个数的大小：
　　（1）1.5，1.7；（2）0.71.5，0.61.5；（3）（－1.2），（－1.25）．
　　解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限内函数单调递增，
　　 ∵1.5＜1.7 ∴1.5＜1.7
　　（2）考查幂函数y＝的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．
　　（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，
　　∵（－1.2）＝1.2，（－1.25）＝1.25，又1.2＞1.25
　　∴（－1.2）＞（－1.25）
　　点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：
　　（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；
　　（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
　　（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．
　　［例3］求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．
　　解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．
　　当t＝－1时，ymin＝3．
　　∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋∞）．
点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．
Ⅲ.课堂练习
课本P73 1，2
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家能熟悉并掌握幂函数的图象，提高数学应用的能力.
Ⅴ.课后作业
课本P73 习题1，2，3，4
- 1 -1．1任意角和弧度制
1.1.2弧度制
农垦中学 刘国海
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.
2、过程与方法
创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.
3、情态与价值
通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.
二、教学重、难点
重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.
难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.
三、学法与教学用具
在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.
教学用具:计算器、投影机、三角板
四、教学设想
【创设情境】
有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）
显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.
在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.
【探究新知】
1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.
弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本，自行解决上述问题.
2.弧度制的定义
[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
3.探究:如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格.
弧的长 旋转的方向 的弧度数 的度数
逆时针方向
逆时针方向
我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
4.思考:如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么的弧度数是多少
角的弧度数的绝对值是：，其中，l是圆心角所对的弧长，是半径.
5.根据探究中填空:
,度
显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.
6.例题讲解
例1.按照下列要求,把化成弧度:
(1) 精确值；
(2) 精确到0.001的近似值.
例2.将3.14换算成角度(用度数表示,精确到0.001).
注意:角度制与弧度制的换算主要抓住,另外注意计算器计算非特殊角的方法.
7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:
度
弧度
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
8.例题讲评
例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
(1); (2); (3).
其中是半径,是弧长,为圆心角,是扇形的面积.
例4.利用计算器比较和的大小.
注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.
9.练习
教材.
9.学习小结
(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗
(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗
五、评价设计
1．作业：习题1.1 A组第7,8,9题．
2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函数值．
PAGE
1空间几何体的表面积和体积预习提纲
1．平面展开图
2．概念：
直棱柱：
正棱柱：
正棱锥：
正棱台：
3．面积公式：
S直棱柱侧＝ S正棱锥侧＝
S正棱台侧＝ S圆柱侧＝ ＝
S圆锥侧＝ ＝ S圆台侧＝ ＝
S球面＝
相互间的关系：
4．体积公式：
V长方体＝ ＝ V柱体＝
V锥体＝ V台体＝
V球＝
相互间的关系：
空间几何体的表面积和体积教案
例1：已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm，全面积为1440 cm2，求底面各边之长.
例2：正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积.
例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？
例4：假设正棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求对角面的面积和侧面积.
例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的表面积等于圆柱的侧面积；
（2）球的表面积等于圆柱全面积的
例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.
例7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.
练习：
1.已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的体积.
2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积.
例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.
例9：半径为R的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？
空间几何体的表面积和体积教案
例1：已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm，全面积为1440 cm2，求底面各边之长.
分析：这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题，从结论出发，欲
求底面各边之长，而各边之比已知，可分别设为17a、10a、
9a，故只须求出参数a即可，那么如何利用已知条件去求
a呢？
［生］设底面三边长分别是17a、10a、9a,
S侧＝（17a＋10a＋9a）·16＝576a
设17a所对三角形内角α，
则cosα＝＝－，sinα＝
S底＝·10a·9a·＝36a2
∴576a＋72a2＝1440 解得：a＝2
∴三边长分别为34 cm，20 cm，18 cm.
［师］此题中先设出参数a，再消去参数，很有特色.
例2：正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积.
分析：可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得.
解：如图所示，设正三棱锥S—ABC的高为SO，斜高为SD，
在Rt△SAO中，∴AO＝SA·cos45°
∵AO＝AD＝a ∴SA＝a
在Rt△SBD中
SD＝
∴S侧＝·3a·SD＝a2. ∵S底＝a2
∴S全＝（＋）a2
例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？
分析：在准确识图的基础上，求出所截得的每个三棱锥的
体积和正三棱锥A—BCD的体积即可.
解：设正方体体积为Sh,则每个截去的三棱锥的体积
为 ·Sh＝Sh.
∵三棱锥A—BCD的体积为
Sh－4·Sh＝Sh.
∴正三棱锥A—BCD的体积是正方体体积的.
例4：假设正棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求对角面的面积和侧面积.
解：如图所示，在正四棱锥P—ABCD中，AB＝a，PB＝2a，
作PO⊥底面ABCD于O.连结BD，则O∈BD，且PO⊥BC，
由AB＝a，得BD＝a，在Rt△PAB中，
PO2＝PB2－BO2＝（2a）2－（a）2
∴PO＝a，S对角面＝PO·BD＝a2.
又作PE⊥BC于E，这时E是BC的中点
∴PE2＝PB2－BE2＝（2a）2－（a）2
∴PE＝a ∴S侧＝4×PE·BC＝a2
∴对角面面积为a2,侧面积为 a2.
例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的表面积等于圆柱的侧面积；
（2）球的表面积等于圆柱全面积的
证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，
高为2R，得
S球＝4πR2，S圆柱侧＝2πR·2R＝4πR2 ∴S球＝S圆柱侧
（2）∵S圆柱全＝4πR2+2πR2＝6πR2 S球＝4πR2
∴S球＝S圆柱全
例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.
解：设正方体的棱长为a，则第一个球的半径为 ，第二个球的半径是a，第三个球的半径为a.
∴r1∶r2∶r3＝1∶∶ ∴S1∶S2∶S3＝1∶2∶3
例7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.
解：过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面SAB和球的大圆⊙O，且⊙O为
△SAB的内切圆.
设圆锥底面半径为r,母线长为l;内切圆半径为R，则
S锥全＝πr2＋πrl，S球＝4πR2，∴r2＋rl＝8R2 ①
又∵△SOE∽△SAO1
∴ ②
由②得：R2＝r2·代入①得：r2＋rl＝8r2·，得：
l＝3r
∴
∴圆锥侧面积与底面积之比为3∶1.
练习：
1.已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的体积.
2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积.
例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.
解：如图所示，等边△SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆圆O1.
设球的半径O1O＝R，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R，则有
OB＝O1O·cot30°＝R
SO＝OB·tan60°＝R·＝3R
∴V球＝πR3,V柱＝πR2·2R＝2πR3
V锥＝π（R）2·3R＝3πR3
∴V球∶V柱∶V锥＝ 4∶6∶9
［师］以上题目，通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相互关系.
让我们继续体会有关球的相接切问题.
例9：半径为R的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？
解：如图所示，大球O的半径为R；设正四面体
A—BCD的棱长为a，它的内切球半径为r，依题意
BO1＝a＝a，
AO1＝＝ eq \r(a2－（a）2) ＝a
又∵BO2＝BO12＋OO12，
∴R2＝（ ∴a＝R
连结OA，OB，OC，OD，内切球球心到正四面体各面距离为r,
VO—BCD＝VO—ABC＋VO—ACD＋VO—AOB＋VO—BCD
∴
∴r＝
∴r＝
∴V小球∶V大球＝π·（R）3∶π·R3＝1∶27
∴内切球与外接球的体积比为1∶27.
- 6 -中国古代数学中的算法案例
教学目标：
1． 知识与技能目标：
（１）了解中国古代数学中求两个正整数最大公约数的算法以及割圆术的算法；
（２）通过对“更相减损之术”及“割圆术”的学习，更好的理解将要解决的问题“算法化”
的思维方法，并注意理解推导“割圆术”的操作步骤。
2． 过程与方法目标：
（１）改变解决问题的思路，要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法，提高逻
辑思维能力；
（２）学会借助实例分析，探究数学问题。
3． 情感与价值目标：
（１）通过学生的主动参与，师生，生生的合作交流，提高学生兴趣，激发其求知欲，培养探索精神；
（２）体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。
教学重点与难点：
重点：了解“更相减损之术”及“割圆术”的算法。
难点：体会算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题。
教学方法：
通过典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑
结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。
教学过程：　
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
创设　　　情境引入新课 引导学生回顾人们在长期的生活，生产和劳动过程中，创造了整数，分数，小数，正负数及其计算，以及无限逼近任一实数的方法，在代数学，几何学方面，我国在宋，元之前也都处于世界的前列。我们在小学，中学学到的算术，代数，从记数到多元一次联立方程的求根方法，都是我国古代数学家最先创造的。更为重要的是我国古代数学的发展有着自己鲜明的特色，也就是“寓理于算”，即把解决的问题“算法化”。本章的内容是算法，特别是在中国古代也有着很多算法案例，我们来看一下并且进一步体会“算法”的概念。 教师引导，学生回顾。教师启发学生回忆小学初中时所学算术代数知识，共同创设情景，引入新课。 通过对以往所学数学知识的回顾，使学生理清知识脉络，并且向学生指明，我国古代数学的发展“寓理于算”，不同于西方数学，在今天看仍然有很大的优越性，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。
阅读课本探究新知 求两个正整数最大公约数的算法学生通常会用辗转相除法求两个正整数的最大公约数：例１：求７８和３６的最大公约数利用辗转相除法步骤：计算出７８３６的余数６，再将前面的除数３６作为新的被除数，３６６＝６，余数为０，则此时的除数即为７８和３６的最大公约数。理论依据： ，得与有相同的公约数更相减损之术指导阅读课本P----P，总结步骤步骤：以两数中较大的数减去较小的数，即７８－３６＝４２；以差数４２和较小的数3６构成新的一对数，对这一对数再用大数减去小数，即４２－３６＝６,再以差数６和较小的数３６构成新的一对数，对这一对数再用大数减去小数，即３６－６＝３０,继续这一过程,直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数即，理论依据：由，得与有相同的公约数算法： 输入两个正数； 如果，则执行，否则转到； 将的值赋予； 若，则把赋予，把赋予，否则把赋予，重新执行； 输出最大公约数程序:a=input(“a=”)b=input(“b=”)while a<>b if a>=ba=a-b;else b=b-aendendprint(%io(2),a,b) 学生阅读课本内容，分析研究，独立的解决问题。教师巡视，加强对学生的个别指导。由学生回答求最大公约数的两种方法，简要说明其步骤，并能说出其理论依据。由学生写出更相减损法和辗转相除法的算法，并编出简单程序。教师将两种算法同时显示在屏幕上，以方便学生对比。教师将程序显示于屏幕上，使学生加以了解。 数学教学要有学生根据自己的经验，用自己的思维方式把要学的知识重新创造出来。这种再创造积累和发展到一定程度，就有可能发生质的飞跃。在教学中应创造自主探索与合作交流的学习环境，让学生有充分的时间和空间去观察，分析，动手实践，从而主动发现和创造所学的数学知识。求两个正整数的最大公约数是本节课的一个重点，用学生非常熟悉的问题为载体来讲解算法的有关知识，，强调了提供典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。为了能在计算机上实现，还适当展示了将自然语言或程序框图翻译成计算机语言的内容。总的来说，不追求形式上的严谨，通过案例引导学生理解相应内容所反映的数学思想与数学方法。
应用举例 例1 ：用等值算法（更相减损术）求下列两数的最大公约数。（1）225，135 （2）98，280例2：用辗转相除法验证上例中两数的最大公约数是否正确。 学生练习，教师巡视检查。学生回答。 巩固所学知识，进一步加深对知识的理解，用辗转相除法步骤较少，而更相减损术虽然有些步骤较长，但运算简单。体会我国古代数学中“寓理于算”的思想。
深化算法应用举例 2．割圆术魏晋时期数学家刘徽，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”即从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些内接正多边形的面积，从而得到一系列逐次递增的数值。阅读课本P----P，步骤：第一，从半径为１的圆内接正六边形开始，计算它的面积；第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形，正二十四边形，正四十八边形…的面积，到一定的边数（设为２m）为止，得到一列递增的数，第三，在第二步中各正边形每边上作一高为余径的矩形，把其面积与相应的面积相加，得，这样又得到一列递增数：，，，…，。第四，圆面积满足不等式　估计的近似值，即圆周率的近似值。算法：设圆的半径为１，弦心距为，正边形的边长为，面积为，由勾股定理得，则图可知，正边形的面积等于正边形的面积加上个等腰三角形的面积和，即 （）利用这个递推公式，可以得到正六边形的面积为，由于圆的半径为１，所以随着的增大，的值不断趋近于圆周率。程序：n=6;x=1;s=6*sqrt(3)/4;for I=1:1:16h=sqrt(1-(x/2) 2);s=s+n*x*(1-h)/2;n=2*n;x=sqrt((x/2) 2+(1-h) 2);endprint(%io(2),n,s) 学生阅读课本，教师巡视注意个别指导，帮助学生识图，分析。教师概括割圆术的步骤，学生观察图形，引导学生提出问题并解答。步骤较复杂，教师注意结合图形帮助学生分析，理解。通过教师分析的割圆术的步骤，又学生讨论制定割圆术的算法，教师注意指导，适当提示，引导学生出现算法中的递推关系。教师将算法显现在屏幕上，又学生对应写出简单的程序。 割圆术是从圆内接六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些内接正多边形的面积，从而得到一系列逐次递增的数值。在但是要付出艰辛的劳动，现在有计算机，我们只需利用刘徽的思想，寻找割圆术中的算法，即运算规律，计算机会迅速得到所求答案。分析刘徽割圆术中的算法是难点所在，学生先阅读课本，有初步印象之后教师再与学生一起总结割圆术的步骤，在此基础上，又学生将所分析的步骤写为算法，引导学生体会算法的核心是一般意义上的解决问题策略的具体化。面临一个问题时，在分析、思考后获得了解决它的基本思路（解题策略），将这种思路具体化、条理化，用适当的方式表达出来（画出程序框图，转化为程序语句），这个过程就是算法设计过程，这是一个思维的条理化、逻辑化的过程。
归纳小结 1．求最大公约数的辗转相除法和更相减损法；2．割圆术的算法 学生小结并相互补充，师生共同整理完善。 学生学后反思总结，可以提高学生自己获得知识的能力以及归纳概括能力。
课后作业 习题1—3 1，2选作 习题1—3 巩固所学知识，是学有余力的同学的创造性得到进一步的发挥。第十四课时 正弦函数、余弦函数的图象和性质应用
教学目标：
掌握正、余弦函数的性质，灵活利用正、余弦函数的性质；渗透数形结合思想，培养联系变化的观点，提高数学素质.
教学重点：
1.熟练掌握正、余弦函数的性质；
2.灵活应用正、余弦函数的性质.
教学难点：
结合图象灵活运用正、余弦函数性质.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
回顾正、余弦函数的图象及其性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等等.
下面结合例子看其应用：
［例1］不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0.
(1)sin(－)－sin(－)；
(2)cos(－)－cos(－).
解：(1)∵－＜－＜－＜.
且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数.
∴sin(－)＜sin(－)， 即sin(－)－sin(－)＞0
(2)cos(－)＝cos＝cos
cos(－)＝cos＝cos
∵0＜＜＜π，且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数
∴cos＜cos， 即cos－cos＜0
∴cos(－)－cos(－)＜0
［例2］函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴方程是 ( )
A.x＝－ B.x＝－ C.x＝ D.x＝
方法一：运用性质1′，y＝sin(2x＋)的所有对称轴方程为xk＝－π(k∈Z)，令k＝－1，得x－1＝－，对于B、C、D都无整数k对应.
故选A.
方法二：运用性质2′，y＝sin(2x＋)＝cos2x，它的对称轴方程为xk＝ (k∈Z)，令k＝－1，得x－1＝－，对于B、C、D都无整数k对应，故选A.
［例3］求函数y＝的值域.
解：由已知：cosx＝｜｜＝｜cosx｜≤1
()2≤13y2＋2y－8≤0
∴－2≤y≤ ∴ymax＝，ymin＝－2
Ⅲ. 课时小结
通过本节学习，要掌握一结论：形如y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω≠0)的T＝；另外，要注意正、余弦函数性质的应用.
Ⅳ. 课后作业
课本P46习题 6、7、12、13
正弦函数、余弦函数的图象和性质应用
1．若<α<，以下不等式成立的是 （ ）
A.cosαC.cosα2．若sinx＝，则实数m的取值范围是 （ ）
A.［0，+∞) B.［－1，1］ C.(－∞，－1］∪［1，+∞) D.［0，1］
3．下列函数中，图象关于原点对称的是 （ ）
A.y＝－｜sinx｜ B.y＝－x·sin｜x｜
C.y＝sin(－｜x｜) D.y＝sin｜x｜
4．如果｜x｜≤，那么函数y＝cos2x＋sinx的最小值为 （ ）
A. B. C.－ D.－1
5．函数值sin1，sin2，sin3，sin4的大小顺序是 .
6．函数y＝的定义域是 .
7．cos，－cos，sin的大小关系是 .
8．函数y＝cos(sinx)的奇偶性是 .
9．已知＝cosα－sinα，则α的取值范围是 .
10．求函数y＝的值域.
11．已知y＝a－bcos3x的最大值为 ，最小值为－，求实数a与b的值.
12．(1)函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函数
(2)函数y＝3sin( －2x)在什么区间是减函数
正弦函数、余弦函数的图象和性质应用答案
1．A 2．A 3．B 4．B 5．sin2>sin1>sin3>sin4 6．［2kπ＋，2kπ＋］(k∈Z)
7．cos10．（－∞，］∪［3，+∞)
11．已知y＝a－bcos3x的最大值为 ，最小值为－，求实数a与b的值.
解：∵最大值为a＋|b|，最小值为a－|b|
∴ ∴a＝，b＝±1
12．(1)函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函数
(2)函数y＝3sin( －2x)在什么区间是减函数
解：(1)函数y＝sinx在下列区间上是增函数：
2kπ－＜x＜2kπ＋ (k∈Z)
∴函数y＝sin(x＋)为增函数，当且仅当2kπ－＜x＋＜2kπ＋
即2kπ－＜x＜2kπ＋ (k∈Z)为所求.
(2)∵y＝3sin(－2x)＝－3sin(2x－)
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋
得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)为所求.
或：令u＝－2x，则u是x的减函数
又∵y＝sinu在［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)上为增函数，
∴原函数y＝3sin(－2x)在区间［2kπ－，2kπ＋］上递减.
设2kπ－≤－2x≤2kπ＋
解得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)
∴原函数y＝3sin(－2x)在［kπ－，kπ＋］(k∈Z)上单调递减.
评述：在求三角函数的单调区间时，一定要注意复合函数的有关知识，忽略复合函数的条件，是同学们解题中常发生的错误.
- 3 -第九课时 平面向量的数量积及运算律(一)
教学目标：
掌握平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.
教学重点：
平面向量的数量积定义.
教学难点：
平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.
教学过程：
Ⅰ.课题引入
在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：
W＝｜F｜·｜s｜cosθ
其中θ是F与s的夹角.
从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念.
Ⅱ.讲授新课
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ (0≤θ≤π)叫a与b的夹角.
说明：(1)当θ＝0时，a与b同向；
(2)当θ＝π时，a与b反向；
(3)当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b；
(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.
2.数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即有a·b＝｜a｜｜b｜cosθ(0≤θ≤π).
说明：(1)零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0；
(2)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
3.数量积的几何意义
两个向量的数量积等于其中一个向量的长度与另一个向量在其上的投影值的乘积.
说明：这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.
4.数量积的重要性质
设a与b都是非零向量，e是单位向量，θ0是a与e夹角，θ是a与b夹角.
①e·a＝a·e＝｜a｜cosθ0
②a⊥ba·b＝0
③当a与b同向时，a·b＝｜a｜｜b｜
当a与b反向时，a·b＝－｜a｜｜b｜
特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝＝
④cosθ＝
⑤｜a·b｜≤｜a｜｜b｜
说明：上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证.
5.数量积的运算律
已知a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
①a·b＝b·a (交换律)
②(λa)·b＝λ (a·b)＝a·(λb) (数乘结合律)
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c (分配律)
说明：(1)一般地，(a·b)c≠a(b·c)
(2)a·c＝b·c，c≠0a＝b
(3)有如下常用性质：a2＝｜a｜2，
(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
［师］为使大家进一步熟悉数量积的性质，加深对数量积定义的理解，我们来看下面的例题.
［例题］判断正误，并简要说明理由.
①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④｜a·b｜＝｜a｜｜b｜；⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0；⑥a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；⑦对任意向量a，b，c都有(a·b)c＝a(b·c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断.
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0；
对于②：应有0·a＝0；
对于④：由数量积定义有｜a·b｜＝｜a｜｜b｜·｜cosθ｜≤｜a｜｜b｜，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜；
对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b＝0；
对于⑥：由a·b＝0可知a⊥b可以都非零；
对于⑦：若a与c共线，记a＝λc.
则a·b＝(λc)·b＝λ (c·b)＝λ (b·c)，
∴(a·b)c＝λ (b·c)c＝(b·c)λ c＝(b·c)a
若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.
说明：
1.概念辨析：正确理解向量夹角定义
对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：
［例1］已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，求·.
对此题，有同学求解如下：
解：如图，∵｜｜＝a＝5，｜｜＝b＝8，C＝60°，
∴·＝｜｜｜｜cosC＝5×8cos60°＝20.
分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于
没能正确理解向量夹角的定义，即上例中与两向量的起点并不同，因此，C并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角120°.
2.向量的数量积不满足结合律
分析：若有(a·b)·c＝a·(b·c)，设a、b夹角为α，b、c夹角为β，则
(a·b)·c＝｜a｜·｜b｜cosα·c，a·(b·c)＝a·｜b｜｜c｜cosβ.
∴若a＝c，α＝β，则｜a｜＝｜c｜，进而有：(a·b)c＝a·(b·c)
这是一种特殊情形，一般情况则不成立.举反例如下：
已知｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝，a与b夹角是60°，b与c夹角是45°，则：
(a·b)·c＝(｜a｜｜b｜cos60°)·c＝c，
a·(b·c)＝(｜b｜｜c｜cos45°)·a＝a
而c≠a，故(a·b)·c≠a·(b·c)
3.等式的性质“实数a、b、c，且ab＝ac，a≠0推出b＝c”这一性质在向量推理中不正确.
［例2］举例说明a·b＝a·c，且a≠0，推不出b＝c.
解：取｜a｜＝1，｜b｜＝，a与b的夹角为45°，｜c｜＝，a与c的夹角为0°，显然a·b＝a·c＝，但b≠c.
4.“如果ab＝0，那么a，b中至少有一个为零”这一性质在向量推理中不正确.
［例3］已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为90°，求a·b.
解：a·b＝2×3×cos90°＝0，显然a≠0，b≠0，由a·b＝0可推出以下四种可能：
①a＝0，b≠0; ②b＝0，a≠0;
③a＝0且b＝0; ④a≠0且b≠0但a⊥b.
Ⅲ.课堂练习
课本P80练习1，2，3
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.
Ⅴ.课后作业
课本P82习题 1，2，3
- 3 -第22课时 两个平面平行的判定和性质习题课
教学目标：
使学生能够充分运用所学定理进行分析、论证。
教学重点、难点：
如何根据条件、定理分析问题。
教学过程：
复习位置关系，判定与性质定理，距离
例1：如图，P是△ABC所在平面外的一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、
△PAB的重心
（1）求证：平面ABC∥平面A′B′C′；
（2）求△A′B′C′与△ABC的面积之比。
证明：（1）连结PA′、PB′、PC′并延长交BC、AC、AB于
D、E、F，连结DE、EF、DF
∵A′、C′分别是△PBC、△PAB的重心
∴PA′＝PD，PC′＝PF
∴A′C′∥DF， ∵A′C′ eq \o(,\\)平面ABC，DF平面ABC
∴A′C′∥平面ABC
同理 A′B′∥平面ABC
又A′C′∩A′B′＝A′，A′C′、A′B′平面A′B′C′
∴平面ABC∥平面A′B′C′
（2）由（1）知A′C′DF， 又DFAC
∴A′C′AC
同理：A′B′AB，B′C′BC
∴△A′B′C′∽△ABC
∴S△A′B′C′︰S△ABC＝1︰9
例2：如图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD平面α，AB∥α，M、N分别是AC、BD的中点，且AC是AB与CD的公垂线段
（1）求证：MN∥α；
（2）若AB＝CD＝b，AC＝a，BD＝c，求线段
MN的长。
（1）证明：过AB、AC有一个平面与平面α相交，
过B作此交线的垂线，垂足为F，由线面平行的
性质定理知：AB∥CF
又AC⊥AB ∴AC⊥CF
得：AC∥BF
∴四边形ABFC是平行四边形
由AC⊥CF，AC⊥CD 知：AC⊥平面α， ∴BF⊥平面α
取BF中点E，连接EM、EN，则：EM∥CF
可得：EM∥平面α，同理EN∥平面α
∴平面EMN∥平面α 又MN平面EMN
∴MN∥α
（2）即求等腰三角形CDF底边上的高
例3：如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点
（1）求证：平面AMN∥平面EFDB；
（2）求平面AMN与平面EFDB之间的距离；（）
（3）求异面直线BE与FN之间的距离。（）
课堂小结：
充分利用定理，对线线、线面、面面问题进行合理的转化。
- 2 -第四章检测题
一、选择题(本大题共14小题，第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.与－463°终边相同的角可以表示为(k∈Z)( )
A.k·360°＋463° B.k·360°＋103°
C.k·360°＋257° D.k·360°－257°
答案：C
2.已知是第三象限的角，且cos＜0，那么为( )
A.第一象限的角 B.第二象限的角
C.第三象限的角 D.第四象限的角
答案：B
3.若sinx＋cosx＝1，那么sinnx＋cosnx的值是( )
A.1 B.0
C.－1 D.不能确定
答案：A
4.在函数y＝｜tanx｜，y＝｜sin(x＋)｜，y＝｜sin2x｜，y＝sin(2x－)四个函数中，既是以为周期的偶函数，又是区间(0，)上的增函数个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：B
5.下列四个命题正确的是( )
A.sin2＜sin3＜sin4 B.sin4＜sin2＜sin3
C.sin3＜sin4＜sin2 D.sin4＜sin3＜sin2
答案：D
6.logsin＋log的值为( )
A.1 B.4
C.－4 D.－1
答案：C
7.满足等式sin4xcos5x＝－cos4xsin5x的x的一个值是( )
A.10° B.20°
C.50° D.70°
答案：B
8.若b＞a＞0，满足tan＝，且sin＝的角的集合是( )
A.｛｜0＜＜＝
B.｛｜＋2k≤≤＋2k，k∈Z｝
C.｛｜2k≤≤＋2k，k∈Z｝
D.｛｜＋2k＜＜＋2k，k∈Z｝
答案：D
9.要得到函数y＝sin(2x－)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象( )
A.向右平行移动个单位
B.向右平行移动个单位
C.向左平行移动个单位
D.向左平行移动个单位
答案：A
10.已知函数y＝Asin(ωx＋)，在同一周期内，当x＝时，取最大值y＝2，当x＝时，取得最小值y＝－2，那么函数的解析式为( )
A.y＝sin(x＋) B.y＝2sin(2x＋)
C.y＝2sin(－) D.y＝2sin(2x＋)
答案：B
11.若sin＝m，为第二象限角，则tan2的值为( )
A.－ B.
C.± D.以上全不对
答案：A
12.设f(x)＝asin(x＋)＋bcos(x＋)＋4，其中a、b、、均为非零实数，若f(1988)＝3，则f(2002)的值为( )
A.1 B.5
C.3 D.不确定
答案：C
13.函数f(x)＝｜sinx｜＋｜cosx｜的取值范围是( )
A.［0，］ B.［0，2］
C.［1，2］ D.［1，］
答案：D
14.若是三角形的一个内角，且函数y＝cos·x2－4sin·x＋6对于任意实数x均取正值，那么cos所在区间是( )
A.(，1) B.(0，)
C.(－2，) D.(－1，)
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.)
15.若、为锐角，且cos(＋)＝，cos(2＋)＝，则cos等于__________.
答案：
16.函数y＝sin＋cos，x∈(－2，2)为增函数的区间是__________.
答案：［－，］
17.设f(x)是以5为周期的函数，且当x∈［－，］时，f(x)＝x，则f(6.5)＝__________.
答案：1.5
18.已知函数f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)为偶函数，则值为__________.
答案：k－ (k∈Z)
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
19.(本小题满分12分)
已知tan(180°＋)－tan(450°－)＝2(0＜＜90°)，求的值.
答案：－1
20.(本小题满分12分)
已知cos(＋)cos＋sin(＋)sin＝－且450°＜＜540°，求cos2和sin(＋2).
答案：cos2＝，sin(＋2)＝.
21.(本小题满分12分)
如图，在半径为R，中心角为2(0＜2＜的扇形OAB内作矩形CDEF，使C、D两点在半径OA上，F点在半径OB上，E在弧AB上，求矩形CDEF面积的最大值.
解：设E(Rcos，Rsin)，则
S矩＝，
当＝时，Smax＝tan
22.(本小题满分12分)
已知tan＝ (0＜a＜1)，
化简.
答案：－2
23.(本小题满分12分)
已知:cos＝cosx·sin，cos＝sinx·sin
求证：sin2＋sin2＋sin2＝2
证明：(略)
24.(本小题满分14分)
在锐角△ABC中，A、B、C是它的三个内角，记S＝，求证：
(1)S＜1；(2)S＜
证明：(1)∵S＝
＝
又A＋B＞90°，∴90°＞A＞90°－B＞0
∴tanA＞tan(90°－B)＝cotB＞0
∴tanA·tanB＞1，∴S＜1
(2)
＝
＝
∴S＜成立.第四课时 流程图（三）
教学目标：
使学生了解循环结构的特点，并能解决一些与此有关的问题.
教学重点：
循环结构的特性.
教学难点：
循环结构的运用.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
问题：给出求满足1＋2＋3＋4＋…＋ ＞2008最小正整数的一种算法，并画出流程图.
我的思路：在解题的时候经常会遇到需要重复处理一类相同的事或类似的操作，如此题就需要重复地做加法运算.如果用逐一相加算法，步骤太多，采用循环结构可以很好地解决此类问题.算法如下：
S1　n←1;
S2　T←0;
S3　T←T+n;
S4　如果T＞2008，输出n，结束.否则使n的值增加1重新执行S3，S4.
流程图如下：
Ⅱ.讲授新课
循环结构分为两种——当型（while型）和直到型（until型）.当型循环在执行循环体前对控制循环条件进行判断，当条件满足时反复做，不满足时停止；直到型循环在执行了一次循环体之后，对控制循环条件进行判断，当条件不满足时反复做，满足时停止.
例1：求1×2×3×4×5×6×7，试设计不同的算法并画出流程图.
算法1　　　　　　　　　 算法2
点评：本题主要考查学生对顺序结构和循环结构的理解，学会推理分析.算法都可以由顺序结构、选择结构和循环结构这三块“积木”通过组合和嵌套来完成.
算法2具有通用性、简明性.流程图可以帮助我们更方便直观地表示这三种基本的算法结构.
　　例2：有一光滑斜面与水平桌面成α角，设有一质点在t=0时，从此斜面的顶点A处开始由静止状态自由释放，如下图所示.如果忽略摩擦力，斜面的长度S＝300 cm，α＝65°.求t＝0.1，0.2，0.3，…，1.0 s时质点的速度.试画出流程图.
解析：
从物理学知识知道：质点在斜面上运动时，它的加速度a＝gsinα.当在水平面上运动时，速度为常数，且保持它在B点时的速度.
从A点到B点间的速度v，
可由公式v＝at＝g（sinα）t求出，到B点时的速度vB为
vB＝at＝a==2Sg·sinα.
解题的过程是这样考虑的：
按公式v＝at＝g（sinα）t，求t＝0.1，0.2，0.3……时的速度v，每求出对应于一个t的v值后，即将v与vB相比较，如果v＜vB，表示质点还未到达B点，使t再增加0.1 s，再求下一个t时的v值，直到v≥vB时，此时表示已越过B点，此后的速度始终等于vB的值.
流程图如下：
例3：设y为年份，按照历法的规定，如果y为闰年，那么或者y能被4整除不能被100整除，或者y能被400整除.对于给定的年份y，要确定它是否为闰年，如何设计算法，画出流程图.
解析：
总结：
1.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、选择结构、循环结构.算法的表示方法：（1）用自然语言表示算法.（2）用传统流程图表示算法.
2.能够理解和掌握构成流程图的符号：
3.利用计算机进行数值计算，需要经过以下几个步骤：
（1）提出问题、分析问题.
（2）确定处理方案，建立数学模型，即找出处理此顺题的数学方法，列出有关方程式.
（3）确定操作步骤，写出流程图算法见下图.
（4）根据操作步骤编写源程序.
（5）将计算机程序输入计算机并运行程序.
（6）整理输出结果.
以上过程可用流程图表示如下：
Ⅲ.课堂练习
课本P14 1，2.
Ⅳ.课时小结
循环结构的特点：在程序执行过程中，一条或多条语句被重复执行多次（包括0次），执行的次数由循环条件确定.
Ⅴ.课后作业
课本P14 7，8，9.
练习
1.算法的三种基本结构是（　　）
A.顺序结构、选择结构、循环结构 B.顺序结构、流程结构、循环结构
C.顺序结构、分支结构、流程结构 D.流程结构、分支结构、循环结构
答案：A
2.流程图中表示判断框的是（　　）
A.矩形框 B.菱形框 C.圆形框 D.椭圆形框
答案：B
3.下面是求解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的流程图，请在空缺的地方填上适当的
标注.
　　答案：（1）Δ＜0　（2）x1←，x2←　（3）输出x1，x2
4.下面流程图表示了一个什么样的算法？
答案：输入三个数，输出其中最大的一个.
5.下面流程图是当型循环还是直到型循环？它表示了一个什么样的算法？
答案：此流程图为先判断后执行，为当型循环.它表示求1+2+3+…+100的算法.
6.已知梯形的上底、下底和高分别为5、8、9，写出求梯形的面积的算法，画出流程图.
答案：解：算法如下：
S1　a←5；
S2　b←8；
S3　h←9；
S4　S←（a+b）×h/2；
S5　输出S.
流程图如下：
7.设计算法流程图，输出2000以内除以3余1的正整数.
答案：
8.某学生五门功课成绩为80，95，78，87，65.写出求平均成绩的算法，画出流程图.
答案：解：算法如下：
S1　S←80；
S2　S←S+95；
S3　S←S+78；
S4　S←S+87；
S5　S←S+65；
S6　A←S/5；
S7　输出A.
流程图如下：
9.假设超市购物标价不超过100元时按九折付款，如标价超过100元，则超过部分按七折收费.写出超市收费的算法，并画出流程图.
答案：解：设所购物品标价为x元，超市收费为y元.则y=
收费时应先判断标价是否大于100，其算法如下：
S1　输入标价x；
S2　如果x≤100，那么y=0.9x；
否则y=0.9×100+0.7×（x－100）；
S3　输出标价x和收费y.
流程图如下：
10.写出求1×3×5×7×9×11的算法，并画出流程图.
答案：解：算法如下：
S1　 p←1；
S2　 I←3；
S3　 p←p×I；
S4　I←I＋2；
S5　若I≤11，返回S3；否则，输出p值，结束.
流程图：
11.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的
部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额 税　率
不超过500元的部分 5%
超过500元至2000元的部分 10%
超过2000元至5000元的部分 15%
试写出工资x（x≤5000元）与税收y的函数关系式，给出计算应纳税所得额的算法及流程图.
答案：解：研究这个表提供的信息，可以发现，如果以一个人的工资、薪金所得为自变量x，那么应纳税款y＝f（x）就是x的一个分段函数.
y=
算法为：
S1　输入工资x（x≤5000）；
S2　如果x≤800，那么y=0；
如果800＜x≤1300，那么y=0.05（x－800）；
如果1300＜x≤2800；
那么y=25＋0.1（x－1300）；
否则y=175＋15％（x－2800）；
S3　输出税收y，结束.
流程图如下：
12.根据下面的算法画出相应的流程图.
算法：
S1　T←0；
S2　I←2；
S3　T←T+I；
S4　I←I+2；
S5　如果I不大于200，转S3；
S6　输出T，结束.
答案：解：这是计算2+4+6+…+200的一个算法.
流程图如下：
13.一个三位数，各位数字互不相同，十位数字比个位、百位数字之和还要大，且十位、百位数字不是素数.设计算法，找出所有符合条件的三位数，要求画出流程图.
答案：
14.已知算法：①指出其功能（用算式表示）.②将该算法用流程图描述之.
S1　输入X;
S2　若X<0，执行S3；否则执行S6;
S3　Y←X + 1;
S4　输出Y;
S5　结束;
S6　若X=0，执行S7；否则执行S10;
S7　Y←0;
S8　输出Y;
S9　结束;
S10　Y←X;
S11　输出Y;
S12　结束.
答案: 解：这是一个输入x的值，求y值的算法.其中y=
流程图如下：
15.下面流程图表示了一个什么样的算法？试用当型循环写出它的算法及流程图.
答案：解：这是一个计算10个数的平均数的算法.
当型循环的算法如下：
S1　S←0；
S2　I←1；
S3　如果I大于10，转S7；
S4　输入G；
S5　S←S+G；
S6　I←I+1，转S3；
S7　A←S/10；
S8　输出A.
流程图：
- 10 -3.1 随机事件的概率
3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义(第一、二课时)
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；（2）正确理解事件A出现的频率的意义；（3）正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率fn（A）与事件A发生的概率P（A）的区别与联系；（3）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．
2、过程与方法：（1）发现法教学，通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高；（2）通过对现实生活中的“掷币”，“游戏的公平性”，、“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学知识解决数学问题的方法，理解逻辑推理的数学方法．
3、情感态度与价值观：（1）通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；（2）培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识．
二、重点与难点：（1）教学重点：事件的分类；概率的定义以及和频率的区别与联系；（2）教学难点：用概率的知识解释现实生活中的具体问题．
三、学法与教学用具：1、引导学生对身边的事件加以注意、分析，结果可定性地分为三类事件：必然事件，不可能事件，随机事件；指导学生做简单易行的实验，让学生无意识地发现随机事件的某一结果发生的规律性；2、教学用具：硬币数枚，投灯片，计算机及多媒体教学．
四、教学设想：
1、创设情境：日常生活中，有些问题是很难给予准确无误的回答的。例如，你明天什么时间起床？7：20在某公共汽车站候车的人有多少？你购买本期福利彩票是否能中奖？等等。
2、基本概念：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
（7）似然法与极大似然法：见课本P111
3、例题分析：
例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）“抛一石块，下落”.
（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；
（3）“某人射击一次，中靶”；
（4）“如果a＞b,那么a－b＞0”;
（5）“掷一枚硬币，出现正面”；
（6）“导体通电后，发热”；
（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；
（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；
（9）“没有水份，种子能发芽”；
（10）“在常温下，焊锡熔化”．
答：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件．
例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
分析：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率。
解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89。
小结：概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。
练习：一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数 5544 9607 13520 17190
男婴数 2883 4970 6994 8892
男婴出生的频率
（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；
（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？
答案：（1）表中依次填入的数据为：0.520，0.517，0.517，0.517.
（2）由表中的已知数据及公式fn（A）=即可求出相应的频率，而各个频率均稳定在常数0.518上，所以这一地区男婴出生的概率约是0.518．
例3 某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为多大？中10环的概率约为多大？
分析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以靶的频率为=0.9，所以中靶的概率约为0.9．
解：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2．
例4 如果某种彩票中奖的概率为，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释。
分析：买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有一张中奖。
解：不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖。
例5 在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。
分析：这个规则是公平的，因为每个运动员先发球的概率为0.5，即每个运动员取得先发球权的概率是0.5。
解：这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。
小结：事实上，只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。
4、课堂小结：概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索。
5、自我评价与课堂练习：
1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（ ）
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
2．下列说法正确的是（ ）
A．任一事件的概率总在（0.1）内
B．不可能事件的概率不一定为0
C．必然事件的概率一定为1 D．以上均不对
3．下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题。
每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000
发芽的粒数 2 4 9 60 116 282 639 1339 2715
发芽的频率
（1）完成上面表格：
（2）该油菜子发芽的概率约是多少？
4．某篮球运动员，在同一条件下进行投篮练习，结果如下表如示。
投篮次数
进球次数m
进球频率
（1）计算表中进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？
5．生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了。”学了概率后，你能给出解释吗？
6、评价标准：
1．B[提示：正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，即该事件为随机事件。]
2．C[提示：任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.]
3．解：（1）填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.（2）该油菜子发芽的概率约为0.897。
4．解：（1）填入表中的数据依次为0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.（2）由于上述频率接近0.80，因此，进球的概率约为0.80。
5．解：天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率，我们知道：在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的。
7、作业：根据情况安排
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43.1.3 概率的基本性质（第三课时）
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；
（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.
2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。
3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习 数学的情趣。
二、重点与难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。
三、学法与教学用具：1、讨论法，师生共同讨论，从而使加深学生对概率基本性质的理解和认识；2、教学用具：投灯片
四、教学设想：
1、 创设情境：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等；
（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1={出现1点}，C2={出现2点}，C3={出现1点或2点}，C4={出现的点数为偶数}……
师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？
2、 基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115；
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．
3、 例题分析：
例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件 哪些是对立事件
事件A：命中环数大于7环； 事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环； 事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.
分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。
解：A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生）.
例2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)=，P(B)=，求出“出现奇数点或偶数点”．
分析：抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公式求解．
解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件，所以P(C)=P(A)+ P(B)=+=1
答：出现奇数点或偶数点的概率为1
例3 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是，取到方块（事件B）的概率是，问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
分析：事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)=1—P(C)．
解：（1）P(C)=P(A)+ P(B)=（2）P(D)=1—P(C)=
例4 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．
解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、C、D，则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=；P(C∪D)=P(C)+P(D)=；P(B∪C∪D)=1-P(A)=1-=,解的P(B)=,P(C)=,P(D)=
答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是、、．
4、课堂小结：概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；3）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
5、自我评价与课堂练习：
1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品；
2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）=，P（B）=，求出现奇数点或2点的概率之和。
3．某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率。
4．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
6、评价标准：
1．解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的并不是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断：（2）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件。（3）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件。
2．解：“出现奇数点”的概率是事件A，“出现2点”的概率是事件B，“出现奇数点或2点”的概率之和为P（C）=P（A）+P（B）=+=
3．解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为0.21+0.23=0.44。（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97=0.03。
4．解：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和，即为+=
7、作业：根据情况安排
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7第四课时 正弦定理、余弦定理（二）
教学目标：
熟练掌握正、余弦定理应用，进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质，综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题；通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能，反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化.
教学重点：
正、余弦定理的综合运用.
教学难点：
1.正、余弦定理与三角形性质的结合；
2.三角函数公式变形与正、余弦定理的联系.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节课，我们一起研究了正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用，这一节，我们将综合正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质来求解三角形问题.首先，我们一起回顾正、余弦定理的内容.
Ⅱ.讲授新课
［例1］在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长.
分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系.其中sin2α利用正弦二倍角展开后出现了cosα，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的.
解：设三角形的三边长分别为x，x＋1，x＋2，其中x∈N*，又设最小角为α，则
＝＝，∴cosα＝ ①
又由余弦定理可得
x2＝（x＋1）2＋（x＋2）2－2（x＋1）（x＋2）cosα ②
将①代入②整理得x2－3x－4＝0
解之得x1＝4，x2＝－1（舍）
所以此三角形三边长为4，5，6.
评述：（1）此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的
方程；
（2）在求解过程中，用到了正弦二倍角公式，由此，要向学生强调三角公式的工具性作用，以引起学生对三角公式的重视.
［例2］如图，在△ABC中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分线AD＝2 cm，求此三角形面积.
分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式S△ABC＝AB·AC·sinA，需求出sinA，而△ABC面积可以转化为S△ADC＋S△ADB，而S△ADC＝AC·ADsin，S△ADB＝AB·AD·sin，因此通过S△ABC＝S△ADC＋S△ADB建立关于含有sinA，sin的方程，而sinA＝2sincos，sin2＋cos2＝1，故sinA可求，从而三角形面积可求.
解：在△ABC中，S△ABC＝S△ADB＋S△ADC，
∴AB·ACsinA＝·AC·AD·sin＋·AB·ADsin
∴·4·3sinA＝·3·2sin，∴6sinA＝7sin
∴12sincos＝7sin
∵sin≠0，∴cos＝，又0＜A＜π，∴0＜＜
∴sin＝ eq \r(1－cos2) ＝，
∴sinA＝2sincos＝，
∴S△ABC＝·4·3sinA＝（cm2）.
评述：面积等式的建立是求sinA的突破口，而sinA的求解则离不开对三角公式的熟悉.由此启发学生在重视三角形性质运用的同时，要熟练应用三角函数的公式.另外，在应用同角的平方关系sin2α＋cos2α＝1时，应对角所在范围讨论后再进行正负的取舍.
［例3］已知三角形的一个角为60°，面积为10cm2，周长为20 cm，求此三角形的各边长.
分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式S△ABC＝absinC表示面积，其三是周长条件应用.
解：设三角形的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得
eq \b\lc\{(\a\al(cos600＝,ac·sin600＝10,a＋b＋c＝20)) ∴
由①式得b2＝［20－（a＋c）］2＝400＋a2＋c2＋2ac－40（a＋c） ④
将②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0
再将③代入得a＋c＝13
由，解得或
∴b1＝7，b2＝7
所以，此三角形三边长分别为5 cm，7 cm，8 cm.
评述：（1）在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用；
（2）由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力.
［例4］在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长.
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为x后，建立关于x的方程.而正弦定理涉及到两个角，故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.
解：设BC边为x，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，
在△ADB中，cosADB＝＝ eq \f(42＋（）2－52,2×4×)
在△ADC中，cosADC＝＝ eq \f(42＋（）2－32,2×4×)
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC.
∴ eq \f(42＋（）2－52,2×4×) ＝－ eq \f(42＋（）2－32,2×4×)
解得，x＝2
所以，BC边长为2.
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型.
另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：
由三角形内角平分线性质可得＝＝，设BD＝5k，DC＝3k，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA.
为巩固本节所学的解题方法，下面我们进行课堂练习.
Ⅲ.课堂练习
1.半径为1的圆内接三角形的面积为0.25，求此三角形三边长的乘积.
解：设△ABC三边为a，b，c.
则S△ABC＝acsinB
∴＝＝
又＝2R，其中R为三角形外接圆半径
∴＝
∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0.25＝1
所以三角形三边长的乘积为1.
评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：＝＝＝2R，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式S△ABC＝acsinB发生联系，对abc进行整体求解.
2.在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB.
解：在△ADC中，
cosC＝＝＝，
又0＜C＜180°，∴sinC＝
在△ABC中，＝
∴AB＝AC＝··7＝.
评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用.
3.在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值.
解：∵cosA＝＜＝cos45°，0＜A＜π
∴45°＜A＜90°，∴sinA＝
∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π
∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°
若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符.
∴0°＜B＜30° cosB＝
∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝·－· ＝
又C＝180°－（A＋B）.
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－.
评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力.
Ⅴ.课后作业
1．在三角形中，三边长为连续自然数，且最大角是钝角，那么这个三角形的三边长分别为 .
答案：2，3，4
2．已知方程a（1－x2）＋2bx＋c（1＋x2）＝0没有实数根，如果a、b、c是△ABC的三条边的长，求证△ABC是钝角三角形.
备课资料
1.正、余弦定理的综合运用
余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得
sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA.
这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说
明之.
［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度数.
解：由定理得
sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB
∴－2sinAsinCcosB＝sinAsinC
∵sinAsinC≠0，∴cosB＝－
∴B＝150°
［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°·cos40°的值.
解：原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°·sin50°
在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA中，
令B＝10°，C＝50°，则A＝120°.
sin2120°＝sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°·cos120°
＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝（）2＝.
［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状.
解：在原等式两边同乘以sinA得2cosBsinAsinC＝sin2A，
由定理得sin2A＋sin2C－sin2B＝sin2A，
∴sin2C＝sin2B ∴B＝C
故△ABC是等腰三角形.
2.一题多证
［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形.
证法一：欲证△ABC为等腰三角形.可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数.由正弦定理得a＝
∴2bcosC＝，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC.
∴sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin（B－C）＝0，∴B－C＝nπ（n∈Z）.
∵B、C是三角形的内角，
∴B＝C，即三角形为等腰三角形.
证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，
又∵a＝2bcosC ∴2bcosC＝bcosC＋ccosB
∴bcosC＝ccosB，即 ＝.
又∵＝. ∴＝，即tanB＝tanC
∵B、C在△ABC中，∴B＝C
∴△ABC为等腰三角形.
证法三：∵cosC＝及cosC＝，
∴＝，化简后得b2＝c2. ∴b＝c
∴△ABC是等腰三角形.
3.参考例题
［例1］在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状.
解：由已知＝及正弦定理得＝
∴sin2A=sin2B
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
［例2］已知△ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列，又三边a、b、c依次成等比数列，求证：该三角形为正三角形.
证法一：∵A、B、C成等差数列，则2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，∴B＝60°，
再由a、b、c成等比数列，可得b2＝ac，
因此用余弦定理
b2＝a2＋c2－2accosB，∴ac＝a2＋c2－2ac·，
即（a－c）2＝0，∴a＝c，A＝C
又B＝60°，∴△ABC为正三角形.
证法二：∵A、B、C成等差数列，则2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，∴B＝60°，
再由a、b、c成等比数列，设公比为q，
于是b＝aq，c＝aq2，
∵cosB＝，即＝
整理得q4－2q2＋1＝0，解得q2＝1，q＝1
∵q＝1，∴三边长相等
故三角形为正三角形.
［例3］在△ABC中，若a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.
解法一：∵a2tanB=b2tanA，
∴＝＝ ①
由正弦定理得＝ ②
由余弦定理得
cosB＝, ③
cosA＝, ④
把②③④式代入①式得
＝ eq \f(,) ＝，
整理得（a2－b2）（c2－a2－b2）＝0，
∴a＝b或a2＋b2＝c2.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
解法二：由已知及正弦定理可得
（ksinA）2＝（ksinB）2，
∴2sinAcosA＝2sinBcosB ∴sin2A＝sin2B
∴2A＝2B或2A＝π－2B
即A＝B或A＋B＝
∴△ABC是等腰或直角三角形.
4.参考练习题
1.在△ABC中，若sinA＝，试判断△ABC的形状.
解：∵sinA＝，∴cosB＋cosC＝，
应用正、余弦定理得＋＝，
∴b（a2c2－b2）＋c（a2－b2c2）＝2bc（b＋c），
∴a2（b＋c）－（b＋c）（b2－2bc＋c2）＝2bc（b＋c）
即a2＝b2＋c2
故△ABC为直角三角形.
2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证：＝.
证明：由a2＝b2＋c2－2bccosA. b2＝a2＋c2－2accosB
两式相减得a2－b2＝c（acosB－bcosA），
∴＝.
又＝，＝，
∴＝＝.
3.在△ABC中，若（a＋b＋c）（b＋c－a）＝bc，并且sinA＝2sinBcosC，试判断△ABC的形状.
解：由已知条件（a＋b＋c）（b＋c－a）＝bc及余弦定理得
cosA＝＝＝
∴A＝60°
又由已知条件sinA＝2sinBcosC得sin（B＋C）＝sin（B＋C）＋sin（B－C）
∴sin（C－B）＝0，∴B＝C
于是有A＝B＝C＝60°，
故△ABC为等边三角形.
正弦定理、余弦定理
1．在△ABC中，已知A＝1050，B＝300，b＝2，则c等于 （ ）
A.2 B.2 C.4 D.4
2．一个三角形的三边之长分别是3、5、7，则最大角为 （ ）
A.arccos B.150° C.arccos D.120°
3．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是 （ ）
A.b＝10，A＝45°，C＝70° B.a＝60，c＝48，B＝60°
C.a＝7，b＝5，A＝80° D.a＝14，b＝16，A＝45°
4．在△ABC中，若sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinB·sinC，则角A等于 （ ）
A. B. C. D.
5．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC的形状是 （ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
6．在△ABC中，已知c＝10，C＝60°，a＝，则∠A＝ .
7．在△ABC中，已知三边满足（a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则∠C等于 .
8．在△ABC中，若 ＝，则△ABC是 .
9．在△ABC中，已知B＝135°，C＝15°，a＝5，那么此三角形的最大边的长是 .
10．在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求A，C及c.
11．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(＋1)∶(－1)∶，求最大角.
12．已知△ABC中，a＝2，c＝1，求角C的取值范围.
正弦定理、余弦定理答案
1．C 2．D 3．D 4．B 5．D
6．45° 7．60° 8．等腰或直角三角形 9．5
10．在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求A，C及c.
解：∵＝，∴sinA＝＝ eq \f(sin450, ) ＝
∵b＜a且b＞asinB
∴A有两解：A＝60°或120°.
（1）当A＝60°时，C＝180°－（A+B）＝75°
c＝＝ eq \f(sin750,sin450) ＝
(2)当A＝120°时，C＝180°－（A+B）＝15°
c＝＝ eq \f(sin150,sin450) ＝.
11．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(＋1)∶(－1)∶，求最大角.
解：∵＝＝＝k
∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(+1)∶(－1)∶
设a＝(＋1)k，b＝(－1)k，c＝k (k＞0)
则最大角为C.cosC＝
＝ eq \f((＋1)2＋(－1)2－2,2×(＋1) (－1)) ＝－
∴C＝120°.
12．已知△ABC中，a＝2，c＝1，求角C的取值范围.
解：由三角形三边关系得
b＜a＋c＝3
b＞a－c＝1
∴1＜b＜3
由c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2－4bcos2C＋3＝0
由Δ≥0，得cos2C≥
∴0＜C≤.
- 10 -2.1.1 简单随机抽样
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤；
2、过程与方法：
（1）能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题；
（2）在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。
3、情感态度与价值观：通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系，认识数学的重要性。
4、重点与难点：正确理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法及随机数法的步骤，并能灵活应用相关知识从总体中抽取样本。
教学设想：
假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验，你准备怎样做？
显然，你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本。（为什么？）那么，应当怎样获取样本呢？
【探究新知】
一、简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。
【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：
（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的。
（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N。
（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。
（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。
（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/N。
思考？
下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？
（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。
（2）箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子。
二、抽签法和随机数法
1、抽签法的定义。
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
【说明】抽签法的一般步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）连续抽签获取样本号码。
思考？
你认为抽签法有什么优点和缺点：当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？
2、随机数法的定义：
利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法，这里仅介绍随机数表法。
怎样利用随机数表产生样本呢？下面通过例子来说明，假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。
第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，001，…，799。
第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第7列的数7（为了便于说明，下面摘取了附表1的第6行至第10行）。
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62
87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
第三步，从选定的数7开始向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下等），得到一个三位数785，由于785＜799，说明号码785在总体内，将它取出；继续向右读，得到916，由于916＞799，将它去掉，按照这种方法继续向右读，又取出567，199，507，…，依次下去，直到样本的60个号码全部取出，这样我们就得到一个容量为60的样本。
【说明】随机数表法的步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）在随机数表中选择开始数字。
（3）读数获取样本号码。
【例题精析】
例1：人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方法是否是简单随机抽样？
[分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张起牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样。
例2：某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
[分析] 简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法。
解法1：（抽签法）将100件轴编号为1，2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这个10个号签对应的轴的直径。
解法2：（随机数表法）将100件轴编号为00，01，…99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10件即为所要抽取的样本。
【课堂练习】P
【课堂小结】
1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法。
2、抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型。
3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为n/N，但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况区分开业，避免在解题中出现错误。
【评价设计】
1、为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是
A．总体是240 B、个体是每一个学生
C、样本是40名学生 D、样本容量是40
2、为了正确所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是 （ ）
A、总体 B、个体是每一个学生
C、总体的一个样本 D、样本容量
3、一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是 。
4、从3名男生、2名女生中随机抽取2人，检查数学成绩，则抽到的均为女生的可能性是 。第24课时 两个平面垂直的判定和性质
教学目标：
使学生掌握两个平面互相垂直的判定与性质，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神。
教学重点：
两个平面垂直的判定、性质。
教学难点：
两个平面垂直的判定定理，性质定理运用；正确作出符合题意的空间图形。
教学过程：
1．复习回顾：
1）二面角、二面角的平面角.
2）求作二面角的平面角的途径及依据.
2．讲授新课：
［师］两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形.
教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.
两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，上一节的学习告诉我们二面角的取值范围是（0，π］，即二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角.
请同学给两个平面互相垂直下一定义：
［生］两个平面互相垂直的定义可表述为：
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.
［师］那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图.
师生共同动手，图画的是否直观，直接影响问题解决.
平面α和β垂直，记作α⊥β
［师］还以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面.即α⊥β,请同学给出面面垂直的判定定理.
［生］两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
［师］请两位同学给出分析，证明.
［生］已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB α
求证：α⊥β.
分析：要证α⊥β
需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.
证明：设α∩β＝CD，则由AB α知，AB、CD共面.
∵AB⊥β，CDβ
∴AB⊥CD，垂足为点B
在平面β内过点B作直线BE⊥CD
则∠ABE是二面角α—CD—β的平面角.
又AB⊥BE，即二面角α—CD—β是直二面角.
∴α⊥β.
［师］建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？
［生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线.
［师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：
线面垂直面面垂直
两个平面垂直的性质：
［师］在所给正方体中，下式是否正确
①平面ADD1A1⊥平面ABCD
②D1A⊥AB
③D1A⊥面ABCD
［生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB 面ABCD
∴平面ABCD⊥平面ADD1A1
②∵AB⊥面ADD1A1，D1A 面ADD1A1
∴AB⊥D1A
③∵AA1⊥面ABCD
∴AD1与平面ABCD不垂直
［师］平面ADD1A１⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD=AD，A是平面ADD1A1内一点.过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？
判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直.
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.
［师］从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直.也给了以后我们证明问题的一种思想方法.
请同学予以证明.
［生］证明过程如下：
已知：α⊥β、α∩β＝a, ABα，AB⊥a于B.
求证：AB⊥β.
证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B
则∠ABE就是二面角α—CD—β的平面角
由α⊥β可知，AB⊥BE
又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相交直线
∴AB⊥β.
［师］证明的难点在于“作BE⊥CD”.为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角，构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力.例1也可做为性质定理用.
例1：求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.
已知:α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.
求证：aα.
［师］请同学分析题的条件及结果，结合投影思考证明思路，为了证aα先作出直线bα然后证a与b是同一条线，生先证，尔后教师给予评注.
［生］证明：设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c，
∵α⊥β ∴b⊥β，而a⊥β，P∈a
因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直.
所以直线a应与直线b重合.
那么aα.
［师］利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.其结论可作性质定理用.
例2：如图，AB是⊙O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线DE与平面VBC有什么关系？试说明
理由.
［生］可从多角度解决该题.
解法一：∵VC⊥面ABC，AC?面ABC，BC 面ABC
∴VC⊥AC，VC⊥BC
则∠ACB就是面VBC—BC—面VAC的平面角.
因AB是⊙O的直径，故∠ACB=90°
∴面VBC⊥面VAC
又D、E分别是VA、VC的中点，则DE∥AC
而AC⊥VC即DE⊥VC
那么DE⊥面VBC.
［运用面面垂直的判定及面面垂直的性质
转化关系：二面角是直二面角?面面垂直?线面垂直.］
解法二：因VC⊥面ABC，AC面ABC
∴VC⊥AC
又AB是⊙O的直径，即有AC⊥BC
由此AC⊥面VBC
而D、E是VA、VC中点，DE∥AC
故DE⊥面VBC.
［此法比解法一简单明了，走的弯路较少.
转化关系：线垂直面线垂直面内线
线垂直面与此线平行的线也垂直平面.］
解法三：可找VB中点F，证∠DEF＝90°,进而证明ED⊥面VBC
（由AC⊥VC，BC⊥VC说明之）
3．课堂练习：
课本P47 练习2，3，4.
4．课时小结：
（1）证明两个平面垂直.关键在于找线，找到的直线在一个平面内而与另一个平面垂直.
（2）证明直线和平面垂直，若能说明该线在两个垂直平面其中一个内而与交线垂直，则这条直线和另一平面垂直.
（3）判定定理，性质定理有时要和其他定理结合起来用.
5．课后作业：
课本P47 6，7，8
- 4 -第十八课时 函数y＝Asin(ωx＋)的图象(三)
教学目标：
会用“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象，会用图象变换的方法画y＝Asin(ωx＋)的图象，会求一些函数的振幅、周期、最值等；数形结合思想的渗透，化归思想的渗透，提高数学素质.
教学重点：
1.“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象；
2.图象变换过程的理解；
3.一些相关概念.
教学难点：
多种变换的顺序
教学过程：
Ⅰ.课题导入
y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0，ω＞0，≠0)的图象又该如何得到
［例］画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图.
解：(五点法)
由T＝，得T＝π
令X＝2x＋
列表：
x －
2x＋ 0 π 2π
3sin(2x＋) 0 3 0 －3 0
描点画图：
这种曲线也可由图象变换得到：
一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：
先把正弦曲线上所有的点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动｜｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变).
注意一些物理量的概念：
A 称为振幅
T＝ 称为周期
f＝ 称为频率
ωx＋ 称为相位
x＝0时的相位 称为初相
Ⅲ.课堂练习
课本P42 1～6
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要熟练掌握“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象，理解图象变换法作图象的过程，体会它们之间的关系.进一步掌握三角函数的基本性质，解决一些实际问题.
Ⅴ.课后作业
课本P46 8
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(三)
1．若函数y＝f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移 个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y＝sinx的图象，则有y＝f(x)是 ( )
A.y＝sin(2x＋)＋1 B.y＝sin(2x－)＋1
C.y＝sin(2x－)＋1 D.y＝sin(x＋)＋1
2．函数y＝3sin(2x＋)的图象，可由y＝sinx的图象经过下述哪种变换而得到( )
A.向右平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍
B.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍
C.向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的倍
D.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标缩小到原来的倍
3．已知如图是函数y＝2sin(ωx＋)(｜｜＜)的图象，那么 ( )
A.ω＝，＝ B.ω＝，＝－
C.ω＝2，＝ D.ω＝2，＝－
4．已知函数y＝Asin(ωx＋)，在同一周期内，当x＝时函数取得最大值2，当x＝时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为 ( )
A.y＝2sin(3x－) B.y＝2sin(3x＋)
C.y＝2sin(＋) D.y＝2sin(－)
5．已知函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，0＜＜2π)图象的一个最高点(2，)，由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6，0)，试求函数的解析式.
6．已知函数y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0，｜｜＜)在同一周期内，当x＝时，y有最小值－2，当x＝时，y有最大值2，求函数的解析式.
7．已知函数f(x)＝ cos(2x＋) x∈［0，］.求f(x)的最大值，最小值.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(三)答案
1．B 2．B 3．C 4．B
5．已知函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，0＜＜2π)图象的一个最高点(2，)，由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6，0)，试求函数的解析式.
解：由已知可得函数的周期T＝4×(6－2)＝16
∴ω＝＝ 又A＝
∴y＝sin(x＋)
把(2，)代入上式得：＝sin(×2＋)·
∴sin( ＋)＝1，而0＜＜2π ∴＝
∴所求解析式为：y＝sin(x＋)
6．已知函数y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0，｜｜＜)在同一周期内，当x＝时，y有最小值－2，当x＝时，y有最大值2，求函数的解析式.
分析：由y＝Asin(ωx＋)的图象易知A的值，在同一周期内，最高点与最低点横坐标之间的距离即 ，由此可求ω的值，再将最高(或低)点坐标代入可求.
解：由题意A＝2，＝－
∴T＝π＝，∴ω＝2 ∴y＝2sin(2x＋)又x＝时y＝2
∴2＝2sin(2×＋) ∴＋＝ (＜)
∴＝
∴函数解析式为：y＝2sin(2x＋)
7．已知函数f(x)＝ cos(2x＋) x∈［0，］.求f(x)的最大值，最小值.
解：∵0≤x≤.∴≤2x＋≤
当2x＋＝时,cos(2x＋)取得最大值；
当2x＋＝π时，cos(2x＋)取得最小值－1.
∴f(x)在［0，］上的最大值为1，最小值为－.
- 5 -1.2 基本算法语句 · 海口实验中学 覃荣学·
第二、三课时 1.2.2-1.2.3条件语句和循环语句
教学目标：
知识与技能
（1）正确理解条件语句和循环语句的概念，并掌握其结构的区别与联系。
（2）会应用条件语句和循环语句编写程序。
过程与方法
经历对现实生活情境的探究，认识到应用计算机解决数学问题方便简捷，促进发展学生逻辑思维能力
情感态度与价值观
了解条件语句在程序中起判断转折作用，在解决实际问题中起决定作用。深刻体会到循环语句在解决大量重复问题中起重要作用。减少大量繁琐的计算。通过本小节内容的学习，有益于我们养成严谨的数学思维以及正确处理问题的能力。
重点与难点
重点：条件语句和循环语句的步骤、结构及功能。
难点：会编写程序中的条件语句和循环语句。
学法与教学用具
计算机、图形计算器
教学设想
【创设情境】
试求自然数1+2+3+……+99+100的和。
显然大家都能准确地口算出它的答案：5050。而能不能将这项计算工作交给计算机来完成呢？而要编程，以我们前面所学的输入、输出语句和赋值语句还不能满足“我们日益增长的物质需要”，因此，还需要进一步学习基本算法语句中的另外两种：条件语句和循环语句（板出课题）
【探究新知】
（一）条件语句
算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句。它的一般格式是：（IF-THEN-ELSE格式）
当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句1，否则执行ELSE后的语句2。其对应的程序框图为：（如上右图）
在某些情况下，也可以只使用IF-THEN语句：（即IF-THEN格式）
计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。其对应的程序框图为：（如上右图）
条件语句的作用：在程序执行过程中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理。
【例题精析】
〖例1〗：编写程序，输入一元二次方程的系数，输出它的实数根。
分析：先把解决问题的思路用程序框图表示出来，然后再根据程序框图给出的算法步骤，逐步把算法用对应的程序语句表达出来。
算法分析：我们知道，若判别式，原方程有两个不相等的实数根、；若，原方程有两个相等的实数根； 若，原方程没有实数根。也就是说，在求解方程之前，需要首先判断判别式的符号。因此，这个过程可以用算法中的条件结构来实现。
又因为方程的两个根有相同的部分，为了避免重复计算，可以在计算和之前，先计算，。程序框图：（参照课本）
程序：(如右图所示)
注：SQR（）和ABS（）是两个函数，分别用来求某个数的平方根和绝对值。
即 ，
〖例2〗：编写程序，使得任意输入的3个整数按从大到小的顺序输出。
算法分析：用a，b，c表示输入的3个整数；为了节约变量，把它们重新排列后，仍用a，b，c表示，并使a≥b≥c.具体操作步骤如下。
第一步：输入3个整数a，b，c.
第二步：将a与b比较，并把小者赋给b，大者赋给a.
第三步：将a与c比较. 并把小者赋给c，大者赋给a，此时a已是三者中最大的。
第四步：将b与c比较，并把小者赋给c，大者赋给b，此时a，b，c已按从大到小的顺序排列好。
第五步：按顺序输出a，b，c.
程序框图：（参照课本）
程序：(如右框图所示)
〖补例〗：铁路部门托运行李的收费方法如下：
y是收费额（单位：元），x是行李重量（单位：kg）,当0＜x≤20时，按0.35元/kg收费，当x＞20kg时，20kg的部分按0.35元/kg,超出20kg的部分，则按0.65元/kg收费，请根据上述收费方法编写程序。
分析：首先由题意得：该函数是个分段函数。需要对行李重量作出判断，因此，这个过程可以用算法中的条件结构来实现。
程序： INPUT “请输入旅客行李的重量（kg）x=”；x
IF x>0 AND x<=20 THEN
y=0.35*x
ELSE
y=0.35*20+0.65*(x-20)
END IF
PRINT “该旅客行李托运费为：”；y
END
【课堂精练】
1． 练习 2.（题略）
分析：如果有两个或是两个以上的并列条件时，用“AND”把它们连接起来。
2． 练习 1.（题略）
参考答案： INPUT “请输入三个正数a，b，c=”； a，b，c
IF a+b>c AND a+c>b AND b+c>a THEN
PRINT “以下列三个数：”；a，b，c，“可以构成三角形。”
ELSE
PRINT “以下列三个数：”；a，b，c，“不可以构成三角形！”
END IF
END
（二）循环语句
算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。
（1）WHILE语句的一般格式是：
其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。
当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。其对应的程序结构框图为：（如上右图）
（2）UNTIL语句的一般格式是：
其对应的程序结构框图为：（如上右图）
〖思考〗：直到型循环又称为“后测试型”循环，参照其直到型循环结构对应的程序框图，说说计算机是按怎样的顺序执行UNTIL语句的？（让学生模仿执行WHILE语句的表述）
从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。
〖提问〗：通过对照，大家觉得WHILE型语句与UNTIL型语句之间有什么区别呢？（让学生表达自己的感受）
区别：在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，而在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环体。
【例题精析】
〖例3〗：编写程序，计算自然数1+2+3+……+99+100的和。
分析：这是一个累加问题。我们可以用WHILE型语句，也可以用UNTIL型语句。由此看来，解决问题的方法不是惟一的，当然程序的设计也是有多种的，只是程序简单与复杂的问题。
程序： WHILE型： UNTIL型：
〖例4〗：根据1.1.2中的图1.1-2,将程序框图转化为程序语句。
分析：仔细观察，该程序框图中既有条件结构，又有循环结构。
程序：
〖思考〗：上述判定质数的算法是否还能有所改进？（让学生课后思考。）
〖补例〗：某纺织厂1997年的生产总值为300万元，如果年生产增产率为5﹪，计算最早在哪一年生产总值超过400万元。
分析：从1997年底开始，经过x年后生产总值为300×（1+5﹪）x,可将1997年生产总值赋给变量a，然后对其进行累乘，用n作为计数变量进行循环，直到a的值超过400万元为止。
解：
程序框图为： 程序：
【课堂精练】
1． 练习 2. 3（题略）
参考答案：
2.解：程序： X=1
WHILE X＜=20
Y=X^2-3*X+5
X=X+1
PRINT “Y=”；Y
WEND
END
3．解：程序： INPUT “请输入正整数n=”；n
a=1
i=1
WHILE i<=n
a=a*i
i=i+1
WEND
PRINT “n!=” ；a
END
【课堂小结】
本节课主要学习了条件语句和循环语句的结构、特点、作用以及用法，并懂得利用解决一些简单问题。条件语句使程序执行产生的分支，根据不同的条件执行不同的路线，使复杂问题简单化。有些复杂问题可用两层甚至多层循环解决。注意内外层的衔接，可以从循环体内转到循环体外，但不允许从循环体外转入循环体内。
条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，如判断一个数的正负，确定两个数的大小等问题，还有求分段函数的函数值等，往往要用条件语句，有时甚至要用到条件语句的嵌套。
循环语句主要用来实现算法中的循环结构，在处理一些需要反复执行的运算任务。如累加求和，累乘求积等问题中常用到。
【评价设计】
1． P23 习题1.2 A组 3、4
P24 习题1.2 B组 2.
2．试设计一个生活中某个简单问题或是常见数学问题，并利用所学基本算法语句等知识编程。（要求所设计问题利用条件语句或循环语句）
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF
满足条件？
语句1
语句2
是
否
IF 条件 THEN
语句
END IF
否
是
语句
WHILE 条件
循环体
WEND
满足条件？
否
是
循环体
满足条件？
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
否
是
循环体
满足条件？
a>400
开始
INPUT “Please input a，b，c =”;a，b，c
d=b*b-4*a*c
p=-b/(2*a)
q=SQR(ABS(d))/(2*a)
IF d>=0 THEN
x1=p+q
x2=p-q
IF x1=x2 THEN
PRINT “One real root:”;x1
ELSE
PRINT “Two real roots:x1”;x1,“and x2”;x2
END IF
ELSE
PRINT “No real root!”
END IF
END
INPUT “a，b，c =”;a，b，c
IF b>a THEN
t=a
a=b
b=t
END IF
IF c>a THEN
t=a
a=c
c=t
END IF
IF c>b THEN
t=b
b=c
c=t
END IF
PRINT a，b，c
END
i=1
sum=0
WHLIE i<=100
sum=sum+i
i=i+1
WEND
PRINT sum
END
i=1
sum=0
DO
sum=sum+i
i=i+1
LOOP UNTIL i>100
PRINT sum
END
INPUT “n=”;n
flag=1
IF n>2 THEN
d=2
WHILE d<=n-1 AND flag=1
IF n MOD d=0 THEN
flag=0
ELSE
d=d+1
END IF
WEND
ELSE
IF flag=1 THEN
PRINT n；“是质数。”
ELSE
PRINT n；“不是质数。”
END IF
END IF
END
a=300,p=1.05,n=1997
a=a*p
n=n+1
输出n
结束
否
是
a=300
p=1.05
n=1997
DO
a=a*p
n=n+1
LOOP UNTIL a>400
PRINT n
END
PAGE
26高中数学必修3第一章教案 湛师附中 肖海生
1．1．1算法的概念
一、三维目标：
1、 知识与技能：
（1）了解算法的含义，体会算法的思想。（2）能够用自然语言叙述算法。（3）掌握正确的算法应满足的要求。（4）会写出解线性方程（组）的算法。（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。（6）会应用Scilab求解方程组。
2、 过程与方法：
通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
3、 情感态度与价值观：
通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。
二、重点与难点：
重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
难点：把自然语言转化为算法语言。
三、学法与教学用具：
学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。
2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。
3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
四、教学设想：
1、 创设情境：
算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。因此，算法其实是重要的数学对象。
2、 探索研究
算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。
3、 例题分析：
例1 任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数 [1] 做出判定。
算法分析：根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：
第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。
第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。
这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。
例2 用二分法设计一个求议程x2–2=0的近似根的算法。
算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤：
第一步：令f(x)=x2–2。因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1=1，x2=2。
第二步：令m=(x1+x2)/2，判断f(m)是否为0，若则，则m为所长；若否，则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0。
第三步：若f(x1)·f(m)>0，则令x1=m；否则，令x2=m。
第四步：判断|x1–x2|<0.005是否成立？若是，则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步。
小结：算法具有以下特性：(1)有穷性；(2)确定性；(3)顺序性；(4)不惟一性；(5)普遍性
典例剖析：
1、基本概念题
x-2y=-1,①
例3 写出解二元一次方程组 的算法
2x+y=1②
解：第一步，②-①×2得5y=3；③
第二步，解③得y=3/5；
第三步，将y=3/5代入①，得x=1/5
学生做一做：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？
老师评一评：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下面写出求方程组的解的算法：
第一步：②×A1-①×A2，得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0；③
第二步：解③，得；
第三步：将代入①，得。
此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公司可得到倒2的另一个算法：
第一步：取A1=1，B1=-2，C1=1，A2=2，B2=1，C2=-1；
第二步：计算与
第三步：输出运算结果。
可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。
基础知识应用题
例4 写出一个求有限整数列中的最大值的算法。
解：算法如下。
S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”。
S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。
S3 如果序列中还有其他整数，重复S2。
S4 在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。
学生做一做 写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。
老师评一评 在例2中我们是用自然语言来描述算法的，下面我们用数学语言来描述本题的算法。
S1 max=a
S2 如果b>max, 则max=b.
S3 如果C>max, 则max=c.
S4 max就是a,b,c中的最大值。
综合应用题
例5 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。
分析：可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1+2+…+n=进行，也可以根据加法运算律简化运算过程。
解：算法1：
S1：计算1+2得到3；
S2：将第一步中的运算结果3与3相加得到6；
S3：将第二步中的运算结果6与4相加得到10；
S4：将第三步中的运算结果10与5相加得到15；
S5：将第四步中的运算结果15与6相加得到21。
算法2：
S1：取n=6；
S2：计算；
S3：输出运算结果。
算法3：
S1：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7；
S2：计算3×7；
S3：输出运算结果。
小结：算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+…+10000，再用这种方法是行不通的；算法2与算法3都是比较简单的算法，但比较而言，算法2最为简单，且易于在计算机上执行操作。
学生做一做 求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。
老师评一评 算法1；第一步，先求1×3，得到结果3；
第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15；
第三步，再将15乘以7，得到结果105；
第四步，再将105乘以9，得到945；
第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。
算法2：用P表示被乘数，i表示乘数。
S1 使P=1。
S2 使i=3
S3 使P=P×i
S4 使i=i+2
S5 若i≤11，则返回到S3继续执行；否则算法结束。
小结 由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句。因此，上述算法2不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法。在上面的算法中，S3，S4，S5构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量P、i的值都发生了变化，并且生循环一次之后都要在步骤S5对i的值进行检验，一旦发现i的值大于11时，立即停止循环，同时输出最后一个P的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍。
4、课堂小结
本节课主要讲了算法的概念，算法就是解决问题的步骤，平时列论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言。
例如，某同学要在下午到体育馆参加比赛，比赛下午2时开始，请写出该同学从家里发到比赛地的算法。
若用自然语言来描述可写为
（1）1:00从家出发到公共汽车站
（2）1:10上公共汽车
（3）1:40到达体育馆
（4）1:45做准备活动。
（5）2:00比赛开始。
若用数学语言来描述可写为：
S1 1:00从家出发到公共汽车站
S2 1:10上公共汽车
S3 1:40到达体育馆
S4 1:45做准备活动
S5 2:00比赛开始
大家从中要以看出，实际上两种写法无本质区别，但我们在书写时应尽量用教学语言来描述，它的优越性在以后的学习中我们会体会到。
5、自我评价
1、写出解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个算法。
2、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法（打印结果）
6、评价标准
1、解：算法如下
S1 计算△=b2-4ac
S2 如果△〈0，则方程无解；否则x1=
S3 输出计算结果x1，x2或无解信息。
2、解：算法如下：
S1 使i=1
S2 i被3除，得余数r
S3 如果r=0，则打印i，否则不打印
S4 使i=i+1
S5 若i≤1000,则返回到S2继续执行，否则算法结束。
7、作业：1、写出解不等式x2-2x-3<0的一个算法。
解：第一步：x2-2x-3=0的两根是x1=3，x2=-1。
第二步：由x2-2x-3<0可知不等式的解集为{x | -1评注：该题的解法具有一般性，下面给出形如ax2+bx+c>0的不等式的解的步骤（为方便，我们设a>0）如下：
第一步：计算△= ；
第二步：若△>0，示出方程两根（设x1>x2），则不等式解集为{x | x>x1或x第三步：若△= 0，则不等式解集为{x | x∈R且x}；
第四步：若△<0，则不等式的解集为R。
2、求过P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线斜率有如下的算法：
第一步：取x1= a1，y1= b1，x2= a2，y1= b2；
第二步：若x1= x2；
第三步：输出斜率不存在；
第四步：若x1≠x2；
第五步：计算；
第六步：输出结果。
3、写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。
解：算法：第一步：取x1=-2，y1=-1，x2=2，y2=3；
第二步：计算；
第三步：在第二步结果中令x=0得到y的值m，得直线与y轴交点(0,m)；
第四步：在第二步结果中令y=0得到x的值n，得直线与x轴交点(n,0)；
第五步：计算S=；
第六步：输出运算结果
1．1．2 程序框图(第二、三课时)
一、三维目标：
1、知识与技能：
掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构；掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图。
2、过程与方法：
通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵活、正确地画程序框图。
3、情感态度与价值观：
通过本节的学习，使我们对程序框图有一个基本的了解；掌握算法语言的三种基本逻辑结构，明确程序框图的基本要求；认识到学习程序框图是我们学习计算机的一个基本步骤，也是我们学习计算机语言的必经之路。
二、重点与难点：
重点是程序框图的基本概念、基本图形符号和3种基本逻辑结构，难点是能综合运用这些知识正确地画出程序框图。
三、学法与教学用具：
1、通过上节学习我们知道，算法就是解决问题的步骤，在我们利用计算机解决问题的时候，首先我们要设计计算机程序，在设计计算机程序时我们首先要画出程序运行的流程图，使整个程序的执行过程直观化，使抽象的问题就得十分清晰和具体。有了这个流程图，再去设计程序就有了依据，从而就可以把整个程序用机器语言表述出来，因此程序框图是我们设计程序的基本和开端。
2、我们在学习这部分内容时，首先要弄清各种图形符号的意义，明确每个图形符号的使用环境，图形符号间的联结方式。例如“起止框”只能出现在整个流程图的首尾，它表示程序的开始或结束，其他图形符号也是如此，它们都有各自的使用环境和作用，这是我们在学习这部分知识时必须要注意的一个方面。另外，在我们描述算法或画程序框图时，必须遵循一定的逻辑结构，事实证明，无论如何复杂的问题，我们在设计它们的算法时，只需用顺序结构、条件结构和循环结构这三种基本逻辑就可以了，因此我们必须掌握并正确地运用这三种基本逻辑结构。
3、教学用具：电脑，计算器，图形计算器
四、教学设计：
1、创设情境：
算法可以用自然语言来描述，但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观，我们更经常地用图形方式来表示它。
基本概念：
（1）起止框图： 起止框是任何流程图都不可缺少的，它表明程序的开始和结束，所以一个完整的流程图的首末两端必须是起止框。
（2）输入、输出框： 表示数据的输入或结果的输出，它可用在算法中的任何需要输入、输出的位置。图1-1中有三个输入、输出框。第一个出现在开始后的第一步，它的作用是输入未知数的系数a11,a12,a21,a22和常数项b1,b2,通过这一步，就可以把给定的数值写在输入框内，它实际上是把未知数的系数和常数项的值通知给了计算机，另外两个是输出框，它们分别位于由判断分出的两个分支中，它们表示最后给出的运算结果，左边分支中的输出分框负责输出D≠0时未知数x1,x2的值，右边分支中的输出框负责输出D=0时的结果，即输出无法求解信息。
（3）处理框： 它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号。图1-1中出现了两个处理框。第一个处理框的作用是计算D=a11a22-a21a12的值，第二个处理框的作用是计算x1=(b1a22-b2a12)/D,x2=(b2a11-b1a21)/D的值。
（4）判断框： 判断框一般有一个入口和两个出口，有时也有多个出口，它是惟一的具有两个或两个以上出口的符号，在只有两个出口的情形中，通常都分成“是”与“否”（也可用“Y”与“N”）两个分支，在图1-1中，通过判断框对D的值进行判断，若判断框中的式子是D=0，则说明D=0时由标有“是”的分支处理数据；若D≠0，则由标有“否”的分支处理数据。例如，我们要打印x的绝对值，可以设计如下框图。
开始
输入x
是 x≥0？ 否
打印x -打印x
结束
从图中可以看到由判断框分出两个分支，构成一个选择性结构，其中选择的标准是“x≥0”，若符合这个条件，则按照“是”分支继续往下执行；若不符合这个条件，则按照“否”分支继续往下执行，这样的话，打印出的结果总是x 的绝对值。
在学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：
（1）使用标准的图形符号。
（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
（3）除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的惟一符号。
（4）判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。
（5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
2、典例剖析：
例1：已知x=4,y=2,画出计算w=3x+4y的值的程序框图。
解：程序框如下图所示：
开始
输入4，2 4和2分别是x和y的值
w=3×4+4×2
输出w
结束
小结：此图的输入框旁边加了一个注释框 ，它的作用是对框中的数据或内容进行说明，它可以出现在任何位置。
基础知识应用题
1）顺序结构：顺序结构描述的是是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。
例2：已知一个三角形的三边分别为2、3、4，利用海伦公式设计一个算法，求出它的面积，并画出算法的程序框图。
算法分析：这是一个简单的问题，只需先算出p的值，再将它代入公式，最后输出结果，只用顺序结构就能够表达出算法。
程序框图：
2）条件结构：一些简单的算法可以用顺序结构来表示，但是这种结构无法对描述对象进行逻辑判断，并根据判断结果进行不同的处理。因此，需要有另一种逻辑结构来处理这类问题，这种结构叫做条件结构。它是根据指定打件选择执行不同指令的控制结构。
例3：任意给定3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，画出这个算法的程序框图。
算法分析：判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，只需要验收这3个数当中任意两个数的和是否大于第3个数，这就需要用到条件结构。
程序框图：
a+b>c , a+c>b, b+c>a是 否
否同时成立？
是
3）循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。
循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：
（1）一类是当型循环结构，如图1-5（1）所示，它的功能是当给定的条件P1成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P1 是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P1 不成立为止，此时不再执行A框，从b离开循环结构。
（2）另一类是直到型循环结构，如下图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P2是否成立，如果P2 仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P2成立为止，此时不再执行A框，从b点离开循环结构。
A A
P1？
P2？ 不成立
不成立
成立
b b
当型循环结构 直到型循环结构
（1） （2）
例4：设计一个计算1+2+…+100的值的算法，并画出程序框图。
算法分析：只需要一个累加变量和一个计数变量，将累加变量的初始值为0，计数变量的值可以从1到100。
程序框图：
i≤100？
否 是
3、课堂小结：
本节课主要讲述了程序框图的基本知识，包括常用的图形符号、算法的基本逻辑结构，算法的基本逻辑结构有三种，即顺序结构、条件结构和循环结构。其中顺序结构是最简单的结构，也是最基本的结构，循环结构必然包含条件结构，所以这三种基本逻辑结构是相互支撑的，它们共同构成了算法的基本结构，无论怎样复杂的逻辑结构，都可以通过这三种结构来表达
4、自我评价：
1）设x为为一个正整数，规定如下运算：若x为奇数，则求3x+2；若x为偶数，则为5x，写出算法，并画出程序框图。
2）画出求21+22+23+…2100的值的程序框图。
5、评价标准：
1．解：算法如下。
S1 输入x
S2 若x为奇数，则输出A=3x+2；否则输出A=5x
S3 算法结束。
程序框图如下图：
i≤30 是
否
2、 解：序框图如下图:
i≥100 否
是
6、作业：课本P11习题1.1 A组2、3
第一课时 1.2.1输入、输出语句和赋值语句
一、三维目标：
1、知识与技能
（1）正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的结构。
（2）会写一些简单的程序。
（3）掌握赋值语句中的“=”的作用。
2、过程与方法
（1）让学生充分地感知、体验应用计算机解决数学问题的方法；并能初步操作、模仿。
（2）通过对现实生活情境的探究，尝试设计出解决问题的程序，理解逻辑推理的数学方法。
3、情感态度与价值观
通过本节内容的学习，使我们认识到计算机与人们生活密切相关，增强计算机应用意识，提高学生学习新知识的兴趣。
二、重点与难点
重点：正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的作用。
难点：准确写出输入语句、输出语句、赋值语句。
三、学法与教学用具
计算机、图形计算器
四、教学设计
【创设情境】
在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具，如：听MP3，看电影，玩游戏，打字排版，画卡通画，处理数据等等，那么，计算机是怎样工作的呢？
计算机完成任何一项任务都需要算法，但是，我们用自然语言或程序框图描述的算法，计算机是无法“看得懂，听得见”的。因此还需要将算法用计算机能够理解的程序设计语言（programming language）翻译成计算机程序。
程序设计语言有很多种。如BASIC，Foxbase，C语言，C++，J++，VB等。为了实现算法中的三种基本的逻辑结构：顺序结构、条件结构和循环结构，各种程序设计语言中都包含下列基本的算法语句：
这就是这一节所要研究的主要内容——基本算法语句。今天，我们先一起来学习输入、输出语句和赋值语句。（板出课题）
【探究新知】
我们知道，顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构。输入、输出语句和赋值语句基本上对应于算法中的顺序结构。（如右图）计算机从上而下按照语句排列的顺序执行这些语句。
输入语句和输出语句分别用来实现算法的输入信息，输出结果的功能。如下面的例子：
用描点法作函数的图象时，需要求出自变量与函数的一组对应值。编写程序，分别计算当时的函数值。
程序：(教师可在课前准备好该程序，教学中直接调用运行)
（学生先不必深究该程序如何得来，只要求懂得上机操作，模仿编写程序，通过运行自己编写的程序发现问题所在，进一步提高学生的模仿能力。）
〖提问〗：在这个程序中，你们觉得哪些是输入语句、输出语句和赋值语句呢？（同学们互相交流、议论、猜想、概括出结论。提示：“input”和“print”的中文意思等）
（一）输入语句
在该程序中的第1行中的INPUT语句就是输入语句。这个语句的一般格式是：
其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。如每次运行上述程序时，依次输入-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”,并按“x”新获得的值执行下面的语句。
INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：
例如，输入一个学生数学，语文，英语三门课的成绩，可以写成：
INPUT “数学，语文，英语”；a，b，c
注：①“提示内容”与变量之间必须用分号“；”隔开。
②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“，”隔开。但最后的变量的后面不需要。
（二）输出语句
在该程序中，第3行和第4行中的PRINT语句是输出语句。它的一般格式是：
同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”。例如下面的语句可以输出斐波那契数列：
此时屏幕上显示：
The Fibonacci Progression is：1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …
输出语句的用途：
（1）输出常量，变量的值和系统信息。（2）输出数值计算的结果。
〖思考〗：在1.1.2中程序框图中的输入框，输出框的内容怎样用输入语句、输出语句来表达？（学生讨论、交流想法，然后请学生作答）
参考答案：
输入框：INPUT “请输入需判断的整数n=”；n
输出框：PRINT n；“是质数。”
PRINT n；“不是质数。”
（三）赋值语句
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。
除了输入语句，在该程序中第2行的赋值语句也可以给变量提供初值。它的一般格式是：
赋值语句中的“=”叫做赋值号。
赋值语句的作用：先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值。
注：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。
②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。
③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）
④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。
〖思考〗：在1.1.2中程序框图中的输入框，哪些语句可以用赋值语句表达？并写出相应的赋值语句。（学生思考讨论、交流想法。）
【例题精析】
〖例1〗：编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。
分析：先写出算法，画出程序框图，再进行编程。
算法： 程序：
〖例2〗：给一个变量重复赋值。
程序：
[变式引申]：在此程序的基础上，设计一个程序，要求最后A的输出值是30。
（该变式的设计意图是学生加深对重复赋值的理解）
程序：
〖例3〗：交换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值。
分析：引入一个中间变量X,将A的值赋予X,又将B的值赋予A，再将X的值赋予B，从而达到交换A，B的值。（比如交换装满水的两个水桶里的水需要再找一个空桶）
程序：
〖补例〗：编写一个程序，要求输入一个圆的半径，便能输出该圆的周长和面积。（ 取3.14）
分析：设圆的半径为R，则圆的周长为，面积为，可以利用顺序结构中的INPUT语句，PRINT语句和赋值语句设计程序。
程序：
【课堂精练】
P15 练习 1. 2. 3
参考答案：
1.程序: INPUT “请输入华氏温度：”；x
y=(x-32)*5/9
PRINT “华氏温度：”；x
PRINT “摄氏温度：”；y
END
〖提问〗：如果要求输入一个摄氏温度，输出其相应的华氏温度，又该如何设计程序？（学生课后思考，讨论完成）
2. 程序： INPUT “请输入a（a0）=”；a
INPUT “请输入b（b0）=”；b
X=a+b
Y=a-b
Z=a*b
Q=a/b
PRINT a,b
PRINT X,Y,Z,Q
END
3. 程序： p=(2+3+4)/2
t=p*(p-2)*(p-3)*(p-4)
s=SQR(t)
PRINT “该三角形的面积为：”；s
END
注：SQR（）是函数名，用来求某个数的平方根。
【课堂小结】
本节课介绍了输入语句、输出语句和赋值语句的结构特点及联系。掌握并应用输入语句，输出语句，赋值语句编写一些简单的程序解决数学问题，特别是掌握赋值语句中“=”的作用及应用。编程一般的步骤：先写出算法，再进行编程。我们要养成良好的习惯，也有助于数学逻辑思维的形成。
【评价设计】
1．P23 习题1.2 A组 1（2）、2
2．试对生活中某个简单问题或是常见数学问题，利用所学基本算法语句等知识来解决自己所提出的问题。要求写出算法，画程序框图，并写出程序设计。
第二、三课时 1.2.2-1.2.3条件语句和循环语句
一、三维目标：
1、知识与技能
（1）正确理解条件语句和循环语句的概念，并掌握其结构的区别与联系。
（2）会应用条件语句和循环语句编写程序。
2、过程与方法
经历对现实生活情境的探究，认识到应用计算机解决数学问题方便简捷，促进发展学生逻辑思维能力
3、情感态度与价值观
了解条件语句在程序中起判断转折作用，在解决实际问题中起决定作用。深刻体会到循环语句在解决大量重复问题中起重要作用。减少大量繁琐的计算。通过本小节内容的学习，有益于我们养成严谨的数学思维以及正确处理问题的能力。
二、重点与难点
重点：条件语句和循环语句的步骤、结构及功能。
难点：会编写程序中的条件语句和循环语句。
三、学法与教学用具
计算机、图形计算器
四、教学设计
【创设情境】
试求自然数1+2+3+……+99+100的和。
显然大家都能准确地口算出它的答案：5050。而能不能将这项计算工作交给计算机来完成呢？而要编程，以我们前面所学的输入、输出语句和赋值语句还不能满足“我们日益增长的物质需要”，因此，还需要进一步学习基本算法语句中的另外两种：条件语句和循环语句（板出课题）
【探究新知】
（一）条件语句
算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句。它的一般格式是：（IF-THEN-ELSE格式）
当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句1，否则执行ELSE后的语句2。其对应的程序框图为：（如上右图）
在某些情况下，也可以只使用IF-THEN语句：（即IF-THEN格式）
计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。其对应的程序框图为：（如上右图）
条件语句的作用：在程序执行过程中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理。
【例题精析】
〖例1〗：编写程序，输入一元二次方程的系数，输出它的实数根。
分析：先把解决问题的思路用程序框图表示出来，然后再根据程序框图给出的算法步骤，逐步把算法用对应的程序语句表达出来。
算法分析：我们知道，若判别式，原方程有两个不相等的实数根、；若，原方程有两个相等的实数根； 若，原方程没有实数根。也就是说，在求解方程之前，需要首先判断判别式的符号。因此，这个过程可以用算法中的条件结构来实现。
又因为方程的两个根有相同的部分，为了避免重复计算，可以在计算和之前，先计算，。程序框图：（参照课本）
程序：(如右图所示)
注：SQR（）和ABS（）是两个函数，分别用来求某个数的平方根和绝对值。
即 ，
〖例2〗：编写程序，使得任意输入的3个整数按从大到小的顺序输出。
算法分析：用a，b，c表示输入的3个整数；为了节约变量，把它们重新排列后，仍用a，b，c表示，并使a≥b≥c.具体操作步骤如下。
第一步：输入3个整数a，b，c.
第二步：将a与b比较，并把小者赋给b，大者赋给a.
第三步：将a与c比较. 并把小者赋给c，大者赋给a，此时a已是三者中最大的。
第四步：将b与c比较，并把小者赋给c，大者赋给b，此时a，b，c已按从大到小的顺序排列好。
第五步：按顺序输出a，b，c.
程序框图：（参照课本）
程序：(如右框图所示)
〖补例〗：铁路部门托运行李的收费方法如下：
y是收费额（单位：元），x是行李重量（单位：kg）,当0＜x≤20时，按0.35元/kg收费，当x＞20kg时，20kg的部分按0.35元/kg,超出20kg的部分，则按0.65元/kg收费，请根据上述收费方法编写程序。
分析：首先由题意得：该函数是个分段函数。需要对行李重量作出判断，因此，这个过程可以用算法中的条件结构来实现。
程序： INPUT “请输入旅客行李的重量（kg）x=”；x
IF x>0 AND x<=20 THEN
y=0.35*x
ELSE
y=0.35*20+0.65*(x-20)
END IF
PRINT “该旅客行李托运费为：”；y
END
【课堂精练】
1． 练习 2.（题略）
分析：如果有两个或是两个以上的并列条件时，用“AND”把它们连接起来。
2． 练习 1.（题略）
参考答案： INPUT “请输入三个正数a，b，c=”； a，b，c
IF a+b>c AND a+c>b AND b+c>a THEN
PRINT “以下列三个数：”；a，b，c，“可以构成三角形。”
ELSE
PRINT “以下列三个数：”；a，b，c，“不可以构成三角形！”
END IF
END
（二）循环语句
算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。
（1）WHILE语句的一般格式是：
其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。
当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。其对应的程序结构框图为：（如上右图）
（2）UNTIL语句的一般格式是：
其对应的程序结构框图为：（如上右图）
〖思考〗：直到型循环又称为“后测试型”循环，参照其直到型循环结构对应的程序框图，说说计算机是按怎样的顺序执行UNTIL语句的？（让学生模仿执行WHILE语句的表述）
从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。
〖提问〗：通过对照，大家觉得WHILE型语句与UNTIL型语句之间有什么区别呢？（让学生表达自己的感受）
区别：在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，而在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环体。
【例题精析】
〖例3〗：编写程序，计算自然数1+2+3+……+99+100的和。
分析：这是一个累加问题。我们可以用WHILE型语句，也可以用UNTIL型语句。由此看来，解决问题的方法不是惟一的，当然程序的设计也是有多种的，只是程序简单与复杂的问题。
程序： WHILE型： UNTIL型：
〖例4〗：根据1.1.2中的图1.1-2,将程序框图转化为程序语句。
分析：仔细观察，该程序框图中既有条件结构，又有循环结构。
程序：
〖思考〗：上述判定质数的算法是否还能有所改进？（让学生课后思考。）
〖补例〗：某纺织厂1997年的生产总值为300万元，如果年生产增产率为5﹪，计算最早在哪一年生产总值超过400万元。
分析：从1997年底开始，经过x年后生产总值为300×（1+5﹪）x,可将1997年生产总值赋给变量a，然后对其进行累乘，用n作为计数变量进行循环，直到a的值超过400万元为止。
解：
程序框图为： 程序：
【课堂精练】
1． 练习 2. 3（题略）
参考答案：
2.解：程序： X=1
WHILE X＜=20
Y=X^2-3*X+5
X=X+1
PRINT “Y=”；Y
WEND
END
3．解：程序： INPUT “请输入正整数n=”；n
a=1
i=1
WHILE i<=n
a=a*i
i=i+1
WEND
PRINT “n!=” ；a
END
【课堂小结】
本节课主要学习了条件语句和循环语句的结构、特点、作用以及用法，并懂得利用解决一些简单问题。条件语句使程序执行产生的分支，根据不同的条件执行不同的路线，使复杂问题简单化。有些复杂问题可用两层甚至多层循环解决。注意内外层的衔接，可以从循环体内转到循环体外，但不允许从循环体外转入循环体内。
条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，如判断一个数的正负，确定两个数的大小等问题，还有求分段函数的函数值等，往往要用条件语句，有时甚至要用到条件语句的嵌套。
循环语句主要用来实现算法中的循环结构，在处理一些需要反复执行的运算任务。如累加求和，累乘求积等问题中常用到。
【评价设计】
1． P23 习题1.2 A组 3、4
P24 习题1.2 B组 2.
2．试设计一个生活中某个简单问题或是常见数学问题，并利用所学基本算法语句等知识编程。（要求所设计问题利用条件语句或循环语句）
第一、二课时 辗转相除法与更相减损术
一、三维目标
（a）知识与技能
1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
（b）过程与方法
在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
（c）情态与价值观
1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。
二、教学重难点
重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
三、学法与教学用具
学法：在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
四、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？
2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。
（二）研探新知
1.辗转相除法
例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）
解：8251＝6105×1＋2146
显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
6105＝2146×2＋1813
2146＝1813×1＋333
1813＝333×5＋148
333＝148×2＋37
148＝37×4＋0
则37为8251与6105的最大公约数。
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；
第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；
第三步：若r1＝0，则r1为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；
……
依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn－1即为所求的最大公约数。
练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）
2.更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。
更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
翻译出来为：
第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35
63－35＝28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98与63的最大公约数是7。
练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。（答案：12）
3.比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到
4. 辗转相除法与更相减损术计算的程序框图及程序
利用辗转相除法与更相减损术的计算算法，我们可以设计出程序框图以及BSAIC程序来在计算机上实现辗转相除法与更相减损术求最大公约数，下面由同学们设计相应框图并相互之间检查框图与程序的正确性，并在计算机上验证自己的结果。
（1）辗转相除法的程序框图及程序
程序框图：
程序：
INPUT “m=”;m
INPUT “n=”;n
IF mm=n
n=x
END IF
r=m MOD n
WHILE r<>0
r=m MOD n
m=n
n=r
WEND
PRINT m
END
5.课堂练习
一.用辗转相除法求下列各组数的最大公约数，并在自己编写的BASIC程序中验证。
（1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；119
二.思考：用求质因数的方法可否求上述4组数的最大公约数？可否利用求质因数的算法设计出程序框图及程序？若能，在电脑上测试自己的程序；若不能说明无法实现的理由。
三。思考：利用辗转相除法是否可以求两数的最大公倍数？试设计程序框图并转换成程序在BASIC中实现。
6.小结：
辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写。
五、评价设计
作业：P38 A（1）B（2）
补充：设计更相减损术求最大公约数的程序框图
第三、四课时 秦九韶算法与排序
一、三维目标
（a）知识与技能
1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。
2.掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。
（b）过程与方法
模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。能根据排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤，了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。
（c）情态与价值观
通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。通过对排序法的学习，领会数学计算与计算机计算的区别，充分认识信息技术对数学的促进。
二、教学重难点
重点：1.秦九韶算法的特点
2.两种排序法的排序步骤及计算机程序设计
难点：1.秦九韶算法的先进性理解
2.排序法的计算机程序设计
三、学法与教学用具
学法：1.探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算。
2.模仿排序法中数字排序的步骤，理解计算机计算的一般步骤，领会数学计算在计算机上实施的要求。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
四、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式
当时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。
根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算。
我们把多项式变形为：再统计一下计算当时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显然少了6次乘法运算。这种算法就叫秦九韶算法。
（二）研探新知
1.秦九韶计算多项式的方法
例1 已知一个5次多项式为
用秦九韶算法求这个多项式当时的值。
解：略
思考：（1）例1计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？
（2）在利用秦九韶算法计算n次多项式当时需要多少次乘法计算和多少次加法计算？
练习：利用秦九韶算法计算
当时的值，并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算？
例2 设计利用秦九韶算法计算5次多项式
当时的值的程序框图。
解：程序框图如下：
练习：利用程序框图试编写BASIC程序并在计算机上测试自己的程序。
2.排序
在信息技术课中我们学习过电子表格,电子表格对分数的排序非常简单,那么电子计算机是怎么对数据进行排序的呢
阅读课本P30—P31面的内容,回答下面的问题:
(1)排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤有什么区别
(2)冒泡法排序中对5个数字进行排序最多需要多少趟
(3)在冒泡法排序对5个数字进行排序的每一趟中需要比较大小几次
游戏:5位同学每人拿一个数字牌在讲台上演示冒泡排序法对5个数据4,11,7,9,6排序的过程,让学生通过观察叙述冒泡排序法的主要步骤.并结合步骤解决例3的问题.
例3 用冒泡排序法对数据7,5,3,9,1从小到大进行排序
解:P32
练习:写出用冒泡排序法对5个数据4,11,7,9,6排序的过程中每一趟排序的结果.
例4 设计冒泡排序法对5个数据进行排序的程序框图.
解: 程序框图如下:
思考:直接排序法的程序框图如何设计 可否把上述程序框图转化为程序
练习:用直接排序法对例3中的数据从小到大排序
3.小结:
(1)秦九韶算法计算多项式的值及程序设计
(2)数字排序法中的常见的两种排序法直接插入排序法与冒泡排序法
(3)冒泡法排序的计算机程序框图设计
五、评价设计
作业：P38 A（2）（3）
补充：设计程序框图对上述两组数进行排序
第五课时 进位制
一、三维目标
（a）知识与技能
了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
（b）过程与方法
学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律。
（c）情态与价值观
领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系。
二、教学重难点
重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换
难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计
三、学法与教学用具
学法：在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k去余法。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
四、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制 不同的进位制之间又又什么联系呢
（二）研探新知
进位制是一种记数方式，用有限的数字 ( http: / / zh.wikipedia.org / wiki / %E6%95%B0%E5%AD%97" \o "数字 )在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制 ( http: / / zh.wikipedia.org / wiki / %E5%8D%81%E8%BF%9B%E5%88%B6" \o "十进制 )，通常使用10个阿拉伯数字 ( http: / / zh.wikipedia.org / w / index.php title=%E9%98%BF%E6%8B%89%E4%BC%AF%E6%95%B8%E5%AD%97&action=edit" \o "阿拉伯數字 )0-9进行记数。
对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数 ( http: / / zh.wikipedia.org / wiki / %E5%8D%81%E8%BF%9B%E5%88%B6" \o "十进制 )57，可以用二进制 ( http: / / zh.wikipedia.org / wiki / %E4%BA%8C%E8%BF%9B%E5%88%B6" \o "二进制 )表示为111001，也可以用八进制 ( http: / / zh.wikipedia.org / wiki / %E5%85%AB%E8%BF%9B%E5%88%B6" \o "八进制 )表示为71、用十六进制 ( http: / / zh.wikipedia.org / wiki / %E5%8D%81%E5%85%AD%E8%BF%9B%E5%88%B6" \o "十六进制 )表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.
电子计算机一般都使用二进制,下面我们来进行二进制与十进制之间的转化
例1 把二进制数110011(2)化为十进制数.
解:110011=1*25+1*24+0*23+1*24+0*22+1*21+1*20
=32+16+2+1
=51
例2 把89化为二进制数.
解:根据二进制数满二进一的原则,可以用2连续去除89或所得商,然后去余数.
具体的计算方法如下:
89=2*44+1
44=2*22+0
22=2*11+0
11=2*5+1
5=2*2+1
所以:89=2*(2*(2*(2*(2*2+1)+1)+0)+0)+1
=1*26+0*25+1*24+1*23+0*22+0*21+1*20
=1011001(2)
这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:
把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到89=1011001(2)
上述方法也可以推广为把十进制化为k进制数的算法,这种算法成为除k取余法.
当数字较小时,也可直接利用各进位制表示数的特点,都是以幂的形式来表示各位数字,比如2*103表示千位数字是2,所以可以直接求出各位数字.即把89转换为二进制数时,直接观察得出89与64最接近故89=64*1+25
同理:25=16*1+9
9=8*!+1
即89=64*1+16*1+8*!+1=1*26+1*24+1*23+1*20
位数 6 5 4 3 2 1 0
数字 1 0 1 1 0 0 1
即89=1011001(2)
练习:(1)把73转换为二进制数
(2)利用除k取余法把89转换为5进制数
把k进制数a(共有n位)转换为十进制数b的过程可以利用计算机程序来实现,语句为:
INPUT a,k,n
i=1
b=0
WHILE i<=n
t=GET a[i]
b=b+t*k^(i-1)
i=i+1
WEND
PRINT b
END
练习:(1)请根据上述程序画出程序框图.
参考程序框图:
(2)设计一个算法,实现把k进制数a(共有n位)转换为十进制数b的过程的程序中的GET函数的功能,输入一个正5位数,取出它的各位数字,并输出.
小结:
(1)进位制的概念及表示方法
(2)十进制与二进制之间转换的方法及计算机程序
五、评价设计
作业：P38 A（4）
补充：设计程序框图把一个八进制数23456转换成十进制数.
算法初步 复习课
一、三维目标
（a）知识与技能
1.明确算法的含义，熟悉算法的三种基本结构：顺序、条件和循环，以及基本的算法语句。
2.能熟练运用辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、排序、进位制等典型的算法知识解决同类问题。
（b）过程与方法
在复习旧知识的过程中把知识系统化，通过模仿、操作、探索，经历设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中进一步理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
（c）情态与价值观
算法内容反映了时代的特点，同时也是中国数学课程内容的新特色。中国古代数学以算法为主要特征，取得了举世公认的伟大成就。现代信息技术的发展使算法重新焕发了前所未有的生机和活力，算法进入中学数学课程，既反映了时代的要求，也是中国古代数学思想在一个新的层次上的复兴，也就成为了中国数学课程的一个新的特色。
二、教学重难点
重点：算法的基本知识与算法对应的程序框图的设计
难点：与算法对应的程序框图的设计及算法程序的编写
三、学法与教学用具
学法：利用实例让学生体会基本的算法思想，提高逻辑思维能力，对比信息技术课程中的程序语言的学习和程序设计，了解数学算法与信息技术上的区别。通过案例的运用，引导学生体会算法的核心是一般意义上的解决问题策略的具体化。面临一个问题时，在分析、思考后获得了解决它的基本思路（解题策略），将这种思路具体化、条理化，用适当的方式表达出来（画出程序框图，转化为程序语句）。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
四、教学设想
一.本章的知识结构
二.知识梳理
(1)四种基本的程序框
(2)三种基本逻辑结构
顺序结构 条件结构 循环结构
(3)基本算法语句
（一）输入语句
单个变量
多个变量
（二）输出语句
（三）赋值语句
（四）条件语句
IF-THEN-ELSE格式
当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句1，否则执行ELSE后的语句2。其对应的程序框图为：（如上右图）
IF-THEN格式
计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。其对应的程序框图为：（如上右图）
（五）循环语句
（1）WHILE语句
其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。
当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。其对应的程序结构框图为：（如上右图）
（2）UNTIL语句
其对应的程序结构框图为：（如上右图）
(4)算法案例
案例1 辗转相除法与更相减损术
案例2 秦九韶算法
案例3 排序法：直接插入排序法与冒泡排序法
案例4 进位制
三.典型例题
例1 写一个算法程序,计算1+2+3+…+n的值(要求可以输入任意大于1的正自然数)
解：INPUT “n=”;n
i=1
sum=0
WHILE i<=n
sum=sum+i
i=i+1
WEND
PRINT sum
END
思考：在上述程序语句中我们使用了WHILE格式的循环语句，能不能使用UNTIL循环？
例2 设计一个程序框图对数字3,1,6,9,8进行排序(利用冒泡排序法)
思考：上述程序框图中哪些是顺序结构？哪些是条件结构？哪些是循环结构？
例3 把十进制数53转化为二进制数.
解：53＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20
＝110101（2）
例4 利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数与最小公倍数。
解：6497＝3869×1＋2628
3869＝2628×1＋1241
2628＝1241*2＋146
1241＝146×8＋73
146＝73×2＋0
所以3869与6497的最大公约数为73
最小公倍数为3869×6497/73＝344341
思考：上述计算方法能否设计为程序框图？
练习:P40 A(3) (4)
五、评价设计
作业：P40 A（5）(6)
开始
p=(2+3+4)/2
s=√p(p-2)(p-3)(p-4)
输出s
结束
开始
输入a,b,c
不存在这样的三角形
存在这样的三角形
结束
开始
i=1
Sum=0
i=i+1
Sum=sum+i
输出sum
结束
开始
i=1
p=0
i=i+1
p=pxi
输出p
结束
开始
i=1
p=0
i=i+1
p=p+2i
输出p
结束
输入语句 输出语句 赋值语句 条件语句 循环语句
语句n+1
语句n
INPUT “x=”;x
y=x^3+3*x^2-24*x+30
PRINT x
PRINT y
END
INPUT “提示内容”；变量
INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，变量2，变量3，…
PRINT “提示内容”；表达式
PRINT “The Fibonacci Progression is：”；
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 “…”
变量=表达式
开始
输入a,b,c
结束
输出y
INPUT “数学=”;a
INPUT “语文=”;b
INPUT “英语=”;c
y=(a+b+c)/3
PRINT “The average=”;y
END
A=10
A=A+10
PRINT A
END
A=10
A=A+15
PRINT A
A=A+5
PRINT A
END
INPUT A
INPUT B
PRINT A，B
X=A
A=B
B=X
PRINT A，B
END
INPUT “半径为R=”；R
C=2*3.14*R
S=3.14*R^2
PRINT “该圆的周长为：”；C
PRINT “该圆的面积为：”；S
END
满足条件？
语句1
语句2
是
否
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF
满足条件？
语句
是
否
IF 条件 THEN
语句
END IF
INPUT “Please input a，b，c =”;a，b，c
d=b*b-4*a*c
p=-b/(2*a)
q=SQR(ABS(d))/(2*a)
IF d>=0 THEN
x1=p+q
x2=p-q
IF x1=x2 THEN
PRINT “One real root:”;x1
ELSE
PRINT “Two real roots:x1”;x1,“and x2”;x2
END IF
ELSE
PRINT “No real root!”
END IF
END
INPUT “a，b，c =”;a，b，c
IF b>a THEN
t=a
a=b
b=t
END IF
IF c>a THEN
t=a
a=c
c=t
END IF
IF c>b THEN
t=b
b=c
c=t
END IF
PRINT a，b，c
END
满足条件？
循环体
是
否
WHILE 条件
循环体
WEND
满足条件？
循环体
是
否
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
i=1
sum=0
WHLIE i<=100
sum=sum+i
i=i+1
WEND
PRINT sum
END
i=1
sum=0
DO
sum=sum+i
i=i+1
LOOP UNTIL i>100
PRINT sum
END
INPUT “n=”;n
flag=1
IF n>2 THEN
d=2
WHILE d<=n-1 AND flag=1
IF n MOD d=0 THEN
flag=0
ELSE
d=d+1
END IF
WEND
ELSE
IF flag=1 THEN
PRINT n；“是质数。”
ELSE
PRINT n；“不是质数。”
END IF
END IF
END
开始
a>400
a=a*p
a=300,p=1.05,n=1997
n=n+1
输出n
结束
否
是
a=300
p=1.05
n=1997
DO
a=a*p
n=n+1
LOOP UNTIL a>400
PRINT n
END
89
44
22
11
5
2
1
2
2
2
2
2
2
2
0
余数
1
0
0
1
1
0
1
INPUT “提示内容”；变量
INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，变量2，变量3，…
PRINT “提示内容”；表达式
变量=表达式
满足条件？
语句1
语句2
是
否
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF
满足条件？
语句
是
否
IF 条件 THEN
语句
END IF
满足条件？
循环体
是
否
WHILE 条件
循环体
WEND
满足条件？
循环体
是
否
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
PAGE
14
^1第13课时 映射
教学目标：
使学生掌握作函数图象的一般步骤，会运用平移变换和翻折变换作图.
教学重点：
用平移变换和翻折变换作图.
教学难点：
用平移变换和翻折变换作图.
教学过程：
教学目的：
（1）了解映射的概念及表示方法
（2）了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.
（3）会结合简单的图示，了解一一映射的概念
教学重点：映射的概念
教学难点：映射的概念
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节是在集合与简易逻辑和函数的概念之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识因此，要联系前一章的内容和函数的概念来学习本节，映射是是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念映射中涉及的“原象的集合A”“象的集合B”以及 “从集合A到集合B的对应法则f”可以更广泛的理解集合A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合等，本章主要是指数的集合随着内容的增多和深入，可以逐渐加深对映射概念的理解，例如实数对与平面点集的对应，曲线与方程的对应等都是映射的例子映射是现代数学的一个基本概念
教学过程：
一、复习引入：
在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答）
①看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系
②对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与此相对应
③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应
④任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应
⑤高一（2）班的每一个学生与学号一一对应
函数的概念
本节我们将学习一种特殊的对应—映射.
二、讲解新课：看下面的例子：
设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集
说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中
的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应
映射：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合
A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，
这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫
做集合A到集合B的映射 记作：
象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且，如
果元素和元素对应，则元素叫做元素的象，元素叫
做元素的原象
关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）
①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；
②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；
③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；
④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.
指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B
的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一
思考：（1）为什么不是集合A到集合B的映射？
回答：对于（1），在集合A中的每一个元素，在集合B中都
有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A到集
合B的映射
思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射
一对一，多对一是映射 但一对多显然不是映射
辨析：
①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；
②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；
③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；
④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；
⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.
映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可；
三、例题讲解
例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？
a e a e a e
b f b f b f
c g c g c g
d d
(是) （不是） （是）
是映射的有对应法则，对应法则是用图形表示出来的
例2下列各组映射是否同一映射？
a e a e d e
b f b f b f
c g c g c g
例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，
对应法则
（2）设，对应法则
（3），，
（4）设
（5），
四、练习：
1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A中的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？（是）
2．设A=N*，B={0，1}，集合A中的元素x按照对应法则“x除以2得的余数”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？（不是（A中没有象））
3．A=Z，B=N*，集合A中的元素x按照对应法则“求绝对值”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）
4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A中的元素x按照对应法则“f ：a b=(a1)2”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）
5．在从集合A到集合B的映射中，下列说法哪一个是正确的？
（A）B中的某一个元素b的原象可能不止一个
（B）A中的某一个元素a的象可能不止一个
（C）A中的两个不同元素所对应的象必不相同
（D）B中的两个不同元素的原象可能相同
6．下面哪一个说法正确？
（A）对于任意两个集合A与B，都可以建立一个从集合A到集合B的映射
（B）对于两个无限集合A与B，一定不能建立一个从集合A到集合B的映射
（C）如果集合A中只有一个元素，B为任一非空集合，那么从集合A到集合B只能建立一个映射
（D）如果集合B只有一个元素，A为任一非空集合，则从集合A到集合B只能建立一个映射
7．集合A=N，B={m|m=,n∈N},f:x→y=，x∈A，y∈B.请计算在f作用下，象，的原象分别是多少.( 5，6.)
分析：求象的原象只需解方程=求出x即可.同理可求的原象.
五、小结 本节课学习了以下内容：对应、映射概念，特征、要素
六、课后作业：课本第52页习题2.1：7，8
七、板书设计（略）
八、课后记：第29课时 函数与方程
教学目标：
使学生掌握二次函数与二次方程这二者之间的相互联系，能运用数形结合、等价转化等数学思想.
教学重点：
利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.
教学难点：
利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.
教学过程：
Ⅰ.复习引入
初中二次函数的图象及有关的问题
Ⅱ.讲授新课
　　问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）之间有怎样的关系？
　　我的思路：（1）当△＝b2－4ac＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），（不妨设x1＜x2）对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个不等实根x1、x2；
　　（2）当△＝b2－4ac＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且只有一个交点（x0，0），对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个相等实根x0；
　　（3）当△＝b2－4ac＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）没有实根．
　　［例1］已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0，aR}，若A∪B＝A，求a的取值范围．
　　解析：本例主要考查学生对于二次方程的根的分布解决能力和灵活转化意识．
　　∵A＝［1，4］，A∪B＝A，∴BA．
　　若B＝，即x2－2ax＋a＋2＞0恒成立，则△＝4a2－4（a＋2）＜0，
　　∴－1＜a＜2；
　　若B≠，解法一：△＝4a2－4（a＋2）≥0，　　∴a≥2或a≤－1．
　　∵方程x2－2ax＋a＋2＝0的两根为x1，2＝a±．
　　则B＝{x|a－≤x≤a＋}，由题意知
　　 eq \b\lc\{(\a\al(a－≥1,a＋≤4))
　　解之得2≤a≤，综合可知a（－1，］．
　　解法二：f（x）＝x2－2ax＋a＋2，
　　如图知
　　解之得2≤a≤，综上可知a（－1，］．
　　［例2］已知x的不等式＞ax的解区间是（0，2），求a的值．
　　解析：本题主要考查含参数无理不等式的解法，运用逆向思维解决问题．
　　解法一：在同一坐标系中，分别画出两个函数y1＝和y2＝ax的图象．
如下图所示，欲使解区间恰为（0，2），则直线y＝ax必过点（2，2），则a＝1．
解法二：∵0＜x＜2，当a≥0时，则4x－x2＞a2x2．
　　∴0＜x＜，则＝2，∴a＝1．
　　当a＜0时，原不等式的解为（0，4），与题意不符，
∴a＜0舍去．
综上知a＝1．
　　［例3］已知函数f（x）＝x2＋2bx十c（c＜b＜1），f（1）＝0，且方程f（x）＋1＝0有实根，
　　（1）证明：－3＜c≤－1且b≥0；
　　（2）若m是方程f（x）＋1＝0的一个实根，判断f（m－4）的正负，并说明理由．
　　解析：（1）由f（1）＝0，则有b＝－，
　　又因为c＜b＜1，消去b解之得－3＜c＜－；　　　　　　　　　　　　　　　　①
　　又方程f（x）＋1＝0有实根，即x2＋2bx＋c＋1＝0有实根，
　　故△＝4b2－4（c＋1）≥0，消去b解之得c≥3或c≤－1；　　　　　　　　　　　②
　　由①②可知，－3＜c≤－1且b≥0．
　　（2）f（x）＝x2＋2bx＋c＝（x－c）（x－1），f（m）＝－1＜0，∴c＜m＜1，
　　从而c－4＜m－4＜－3＜c，
　　∴f（m－4）＝（m－4－c）（m－4－1）＞0，即f（m－4）的符号为正．
Ⅲ.课后作业
1．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是（－∞，－）∪（，＋∞），求ab的值
　 解析：方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－、，
　　则 ∴ ∴ab＝24．
2．方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范围．
　　解析：方法一：利用韦达定理，设方程x2－2ax＋4＝0的两根为x1、x2，
　　则解之得2≤a＜．
　　方法二：利用二次函数图象的特征，设f（x）＝x2－2ax＋4，
　　则解之得2≤a＜．
3．已知不等式ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜－2}，求不等式6x2－5x＋a＞0的解集．
解析：由题意，方程ax2－5x＋b＝0的两根为－3、－2，由韦达定理得
则所求不等式为6x2－5x－1＞0，解之得x＜－或x＞1．
4．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．
　　解析：不等式组可化为，
　　∵x＝－2，（如下图）
　　∴（2x＋5）（x＋k）＜0必为－＜x＜－k，－2＜－k≤3，得－3≤k＜2．
　　
- 3 -高一数学综合训练（一） 11.5
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集I＝{0，1，2}，且满足CI (A∪B)＝{2}的A、B共有组数
A.5 B.7 C.9 D.11
2.如果集合A＝{x|x＝2kπ+π，k∈Z}，B＝{x|x＝4kπ+π，k∈Z}，则
A.AB B.BA C.A=B D.A∩B=
3.设A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B的元素个数是
A.5 B.4 C.3 D.2
4.若集合P＝{x|3A.(1，9) B.［1，9］ C.［6，9 D.(6，9］
5.已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f:x→y＝ax＋b，若4和10的原象分别对应是6和9，则19在f作用下的象为
A.18 B.30 C. D.28
6.函数f(x)＝ (x∈R且x≠2)的值域为集合N，则集合{2,－2,－1,－3}中不属于N的元素是
A.2 B.－2 C.－1 D.－3
7.已知f(x)是一次函数，且2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为
A.3x－2 B.3x＋2 C.2x＋3 D.2x－3
8.下列各组函数中，表示同一函数的是
A.f(x)＝1，g(x)＝x0 B.f(x)＝x＋2，g(x)＝
C.f(x)＝|x|，g(x)＝ D.f(x)＝x，g(x)＝()2
9. f(x)＝，则f{f［f(－3)］}等于
A.0 B.π C.π2 D.9
10.已知2lg(x－2y)＝lgx＋lgy，则的值为
A.1 B.4 C.1或4 D. 或4
11.设x∈R，若aA.a≥1 B.a>1 C.012.若定义在区间（－1，0）内的函数f(x)＝log2a(x＋1)满足f(x)>0，则a的取值范围是
A.(0，) B.(0， C.( ，+∞) D.(0，+∞)
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上)
13.若不等式x2＋ax＋a－2>0的解集为R，则a可取值的集合为__________.
14.函数y＝的定义域是______，值域为__ ____.
15.若不等式3>()x+1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为___ ___.
16. f(x)＝，则f(x)值域为_____ _.
17.函数y＝的值域是__________.
18.方程log2(2－2x)＋x＋99＝0的两个解的和是______.
第Ⅱ卷
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题
13 14 15
16 17 18
三、解答题(本大题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.全集U＝R，A＝{x||x|≥1}，B＝{x|x2－2x－3＞0}，求(CUA)∩(CUB).
20.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.
（1）求证：f(8)＝3 (2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集.
21.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
22.已知函数f(x)＝log2x－logx+5，x∈［2，4］，求f(x)的最大值及最小值.
23.已知函数f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)是R上的增函数，求a的取值范围.
高一数学综合训练（一）答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C D B D A C C B D A
二、填空题
13. 14. R ［，+∞) 15. －< a <
16. (－2，－1］ 17. (0，1) 18. －99
三、解答题(本大题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.全集U＝R，A＝{x||x|≥1}，B＝{x|x2－2x－3＞0}，求(CUA)∩(CUB).
(CUA)∩(CUB)＝{x|－1＜x＜1}
20.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.
（1）求证：f(8)＝3 (2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集.
考查函数对应法则及单调性的应用.
（1）【证明】 由题意得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)
又∵f(2)＝1 ∴f(8)＝3
(2)【解】 不等式化为f(x)>f(x－2)+3
∵f(8)＝3 ∴f(x)>f(x－2)＋f(8)＝f(8x－16)
∵f(x)是（0，+∞）上的增函数
∴解得221.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
考查函数的应用及分析解决实际问题能力.
【解】 （1）当每辆车月租金为3600元时，未租出的车辆数为 ＝12，所以这时租出了88辆.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则公司月收益为
f(x)＝(100－)(x－150)－×50
整理得:f(x)＝－＋162x－2100＝－(x－4050)2＋307050
∴当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050 元
22.已知函数f(x)＝log2x－logx+5，x∈［2，4］，求f(x)的最大值及最小值.
考查函数最值及对数函数性质.
【解】 令t＝logx ∵x∈［2，4］，t＝logx在定义域递减有
log4∴f(t)＝t2－t＋5＝(t－)2＋,t∈［－1,－］
∴当t＝－时，f(x)取最小值
当t＝－1时，f(x)取最大值7.
23.已知函数f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)是R上的增函数，求a的取值范围.
考查指数函数性质.
【解】 f(x)的定义域为R，设x1、x2∈R，且x1则f(x2)－f(x1)＝ (a－a－a+a)
＝ (a－a)(1+)
由于a>0，且a≠1，∴1＋>0
∵f(x)为增函数，则(a2－2)( a－a)>0
于是有，
解得a>或0教学目标：
掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导；培养学生的发现意识，提高学生创新意识，提高学生的逻辑推理能力，增强学生的应用意识.
教学重点：
等比数列的定义及通项公式.
教学难点：
灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容.
Ⅱ.讲授新课
下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点
1，2，4，8，16，…，263； ①
5，25，125，625，…； ②
1，－，，－，…； ③
仔细观察数列，寻其共同特点.
对于数列①，an＝2n－1；＝2(n≥2)
对于数列②，an＝5n；＝5(n≥2)
对于数列③，an＝(－1)n+1·；＝－ (n≥2)
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.
也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点.
1.定义
等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q≠0)，即：an∶an－1＝q(q≠0)
如：数列①，②，③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，－.与等差数列比较，仅一字之差.
总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”.
注意（1）公差“d”可为0，（2）公比“q”不可为0.
等比数列的通项公式又如何呢
2.等比数列的通项公式
请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一下等比数列的通项公式.
解法一：由定义式可得：a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…，
an＝an－1q＝a1qn－1(a1，q≠0)，n＝1时，等式也成立，即对一切n∈N*成立.
解法二：由定义式得：(n－1)个等式
eq \b\lc\{(\a\al(＝q ①,＝q ②,… …,＝q n－1))
若将上述n－1个等式相乘，便可得：
×××…×＝qn－1
即：an＝a1·qn－1(n≥2)
当n＝1时，左＝a1，右＝a1，所以等式成立，
∴等比数列通项公式为：an＝a1·qn－1(a1，q≠0)
如：数列①，an＝1×2n－1＝2n－1(n≤64)
数列②：an＝5×5n－1＝5n，数列③：an＝1×(－)n－1＝(－1)n－1与等差数列比较，两者均可用归纳法求得通项公式.
或者，等差数列是将由定义式得到的n－1个式子相“加”，便可求得通项公式；而等比数列则需将由定义式得到的n－1个式子相“乘”，方可求得通项公式.
下面看一些例子：
［例1］培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？
分析：下一代的种子数总是上一代种子数的120倍，逐代的种子数可组成一等比数列，然后可用等比数列的有关知识解决题目所要求的问题.
解：由题意可得：逐代的种子数可组成一以a1＝120，q＝120的等比数列{an}.
由等比数列通项公式可得：an＝a1·qn－1＝120×120n－1＝120n
∴a5＝1205≈2.5×1010.
答：到第5代大约可以得到种子2.5×1010粒.
评述：遇到实际问题，首先应仔细分析题意，以准确恰当建立数学模型.
［例2］一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式.
解：设这个等比数列的首项是a1，公比是q
则：
②÷①得：q＝ ③
③代入①得：a1＝
∴an＝a1·qn－1＝×（）n－1，a2＝a1·q＝×＝8.
答：这个数列的第1项与第2项分别是和8.
评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.
Ⅲ.课堂练习
课本P48练习1，2，3
已知{an}是无穷等比数列，公比为q.
(1)将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？
解：设{an}为：a1，a2，…，ak，ak+1，…
则去掉前k项的数可列为：ak+1，ak+2，…，an，…
可知，此数列是等比数列，它的首项为ak+1，公比为q.
(2)取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？
解：设{an}为：a1，a2，a3，…，a2k－1，a2k，…，取出{an}中的所有奇数项，分别为：a1，a3，a5，a7，…，a2k－1，a2k+1，…
∵＝＝q2(k≥1)
∴此数列为等比数列，这个数列的首项是a1，公比为q2.
(3)在数列{an}中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？
解：设数列{an}为：a1，a2，…，an，…
每隔10项取出一项的数可列为：a11，a22，a33，……
可知，此数列为等比数列，其公式为：＝＝q11.
评述：注意灵活应用等比数列的定义式和通项公式.
Ⅳ.课时小结
本节课主要学习了等比数列的定义，即：＝q(q≠0，q为常数，n≥2)
等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1(n≥2)及推导过程.
Ⅴ.课后作业
课本P52习题 1，2，3，4
等比数列(一)
1．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn，那么数列{an}是 （ ）
A.等比数列 B.当p≠0时为等比数列
C.当p≠0，p≠1时为等比数列 D.不可能为等比数列
2．公差不为0的等差数列{an}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于 （ ）
A. B. C.2 D.3
3．数列{an}的前n项之和是Sn＝an＋b(a、b为常数且a≠0，1)，问数列{an}是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由.
4．已知等比数列x，－，y，－，，…，求x，y.
5．已知数列{an}是等比数列，首项为a1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t，k，p项，求数列{an}的通项公式.
6．已知数列{an}为等比数列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4的值.
等比数列(一)答案
1．D 2．D
3．数列{an}的前n项之和是Sn＝an＋b(a、b为常数且a≠0，1)，问数列{an}是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由.
分析：利用等比数列的定义解题.
解：a1＝S1＝a＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1
又a1＝(a－1)·a0＝a－1
∴若a－1≠a＋b，即b≠－1时，显然数列{an}不是等比数列.
若a－1＝a＋b，即b＝－1时，由an＝(a－1)an－1(n≥1)，得＝a(n≥2)
故数列{an}是等比数列.
4．x＝，y＝
5．已知数列{an}是等比数列，首项为a1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t，k，p项，求数列{an}的通项公式.
分析一：先从等比数列入手解决问题.
解法一：设符合题设的等比数列{an}中的连续三项为am，am+1，am+2，则：
am+1＝amq，am+2＝am+1q (q为公比)
两式相减，得q＝
又am+1＝am＋(k－t)d，即am+1－am＝(k－t)d
同理am+2－am+1＝(p－k)d(d为公差），故q＝＝
∴所求通项公式为an＝a1( )n－1.
分析二：先从等差数列入手解决问题.
解法二：设等差数列为{bn}，公差为d，则
由题设知，bt，bk，bp是等比数列{an}中的连续三项：故q＝＝
利用等比定理，可得
＝＝＝
∴q＝，an＝a1()n－1.
6．已知数列{an}为等比数列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4的值.
分析：要求a4可以先求an，这样求基本量a1和q的值就成了关键，结合条件考虑运用方程思想解决.
解：设此数列的公比为q,由已知得：
eq \b\lc\{(\a\al(a1＋a1 q2＝10,a1 q3＋a1 q5＝)) eq \b\lc\{(\a\al(a1（1＋q2）＝10 ①,a1 q3（1＋q2）＝ ②))
由a1≠0，1＋q2≠0，②÷①得，q3＝q＝a1＝8. a4＝a1q3＝8×＝1.
评述：本题在求基本量a1和q时，运用方程思想把两个方程相除达到消元的目的，此法应重视.
- 4 -第19课时 指数函数（二）
教学目标：
使学生巩固指数函数性质的理解与掌握、并能应用；培养学生观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
教学重点：
指数函数的性质的应用
教学难点：
指数函数的性质的应用
教学过程：
教学目标
(一)教学知识点
1.指数形式的函数.
2.同底数幂.
(二)能力训练要求
1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质.
2.掌握指数形式的函数求定义域、值域.
3.掌握比较同底数幂大小的方法.
4.培养学生数学应用意识.
(三)德育渗透目标
1.认识事物在一定条件下的相互转化.
2.会用联系的观点看问题.
●教学重点
比较同底幂大小.
●教学难点
底数不同的两幂值比较大小.
●教学方法
启发引导式
启发学生根据指数函数的形式特点来理解指数形式的函数，并能够利用指数函数的定义域、值域，结合指数函数的图象，进行同底数幂的大小的比较.
在对不同底指数比较大小时，应引导学生联系同底幂大小比较的方法，恰当地寻求中间过渡量，将不同底幂转化同底幂来比较大小，从而加深学生对同底数幂比较大小的方法的认识.
●教具准备
幻灯片三张
第一张：指数函数的定义、图象、性质(记作§2.6.2 A)
第二张：例3(记作§2.6.2B）
第三张：例4(记作§2.6.2 C）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节，我们一起学习了指数函数的概念、图象、性质，现在进行一下
回顾.
(打出幻灯片内容为指数函数的概念、图象、性质)
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 (1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过点(0，1)
(4)在R上增函数 (4)在R上减函数
［师］这一节，我们主要通过具体的例子来熟悉指数函数的性质应用.
Ⅱ.讲授新课
［例3］求下列函数的定义域、值域
(1)y=；
(2)y=.
(3)y=2x+1
分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象.注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围.
解：(1)由x－1≠0得x≠1
所以，所求函数定义域为{x｜x≠1}
由≠0得y≠1
所以，所求函数值域为{y｜y＞0且y≠1}
评述：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令=t.考查指数函数y=0.4t，并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理.
(2)由5x－1≥0得x≥
所以，所求函数定义域为{x｜x≥}
由≥0得y≥1
所以，所求函数值域为{y｜y≥1}
(3)所求函数定义域为R
由2x＞0可得2x+1＞1
所以，所求函数值域为{y｜y＞1}
［师］通过此例题的训练，大家应学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性.
［例4］比较下列各题中两个值的大小
(1)1.72.5,1.73
(2)0.8－0.1,0.8－0.2
(3)1.70.3，0.93.1
要求：学生练习(1)、(2)，并对照课本解答，尝试总结比较同底数幂大小的方法以及一般步骤.
解：(1)考查指数函数y=1.7x
又由于底数1.7＞1，所以指数函数y=1.7x在R上是增函数
∵2.5＜3
∴1.72.5＜1.73
(2)考查指数函数y=0.8x
由于0＜0.8＜1,所以指数函数y=0.8x在R上是减函数.
∵－0.1＞－0.2
∴0.8－0.1＜0.8－0.2
［师］对上述解题过程，可总结出比较同底数幂大小的方法，即利用指数函数的单调性，其基本步骤如下：
(1)确定所要考查的指数函数；
(2)根据底数情况指出已确定的指数函数的单调性；
(3)比较指数大小，然后利用指数函数单调性得出同底数幂的大小关系.
解：(3)由指数函数的性质知：
1.70.3＞1.70=1,
0.93.1＜0.90=1,
即1.70.3＞1，0.93.1＜1，
∴1.70.3＞0.93.1.
说明：此题难点在于解题思路的确定，即如何找到中间值进行比较.(3)题与中间值1进行比较，这一点可由指数函数性质，也可由指数函数的图象得出，与1比较时，还是采用同底数幂比较大小的方法，注意强调学生掌握此题中“1”的灵活变形技巧.
［师］接下来，我们通过练习进一步熟悉并掌握本节方法.
Ⅲ.课堂练习
1.课本P78练习2
求下列函数的定义域
(1)y＝;
(2)y＝5.
解：(1)由有意义可得x≠0
故所求函数定义域为{x｜x≠0}
(2)由x－1≥0
得x≥1
故所求函数定义域为{x｜x≥1}.
2.习题2.6 2
比较下列各题中两个值的大小
(1)30.8，30.7
(2)0.75－0.1，0.750.1
(3)1.012.7，1.013.5
(4)0.９９3.3，0.９９4.5
解：(1)考查函数y＝3x
由于3＞1，所以指数函数y＝3x在R上是增函数.
∵0.8＞0.7
∴30.8＞30.7
(2)考查函数y＝0.75x
由于0＜0.75＜1，所以指数函数y＝0.75x在R上是减函数.
∵－0.1＜0.1
∴0.75－0.1＞0.750.1
(3)考查函数y＝1.01x
由于1.01＞1，所以指数函数y＝1.01x在R上是增函数.
∵2.7＜3.5
∴1.012.7＜1.013.5
(4)考查函数y＝0.９９x
由于0＜0.９９＜1，所以指数函数y＝0.９９x在R上是减函数.
∴3.3＜4.5
∴0.９９3.3＞0.９９4.5.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，掌握指数函数的性质应用，并能比较同底数幂的大小，
提高应用函数知
识的能力.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P78习题2.6
1.求下列函数的定义域
(1)y＝23－x
(2)y＝32x＋1
(3)y＝（）5x
(4)y＝
解：(1)所求定义域为R.
(2)所求定义域为R.
(3)所求定义域为R.
(4)由x≠0得
所求函数定义域为{x｜x≠0}.
3.已知下列不等式，比较m、n的大小
(1)2m＜2n
(2)0.2m＞0.2n
(3)am＜an（0＜a＜1）
(4)am＞an（a＞1）
解：(1)考查函数y＝2x
∵2＞1，∴函数y＝2x在R上是增函数.
∵2m＜2n
∴m＜n；
(2)考查函数y＝0.2x
∵0＜0.2＜1
∴指数函数y＝0.2x在R上是减函数.
∵0.2m＞0.2n
∴m＜n；
(3)考查函数y＝ax
∵0＜a＜1
∴函数y＝ax在R上是减函数.
∵am＜an
∴m＞n；
(4)考查函数y＝ax
∵a＞1
∴函数y＝ax在R上是增函数，
∴am＞an
∴m＞n.
（二）1.预习内容：
函数单调性、奇偶性概念
2.预习提纲
(1)函数单调性，奇偶性的概念.
(2)函数奇偶性概念.
(3)函数单调性，奇偶性的证明通法是什么 写出基本的证明步骤.
●板书设计
§2.6.2 指数函数的性质应用(一)
1.比较同底数幂的方法：利用函数的单调性.
［例3］ ［例4］
(1) (1)
(2) (2)
(3) (3)
2.基本步骤
(1)确定所要考查的指数函数.
(2)确定考查函数的单调性.
(3)比较指数大小，然后利用指数函数单调性.
3.学生练习
Ⅰ.复习引入
指数函数的定义与性质
Ⅱ.讲授新课
［例1］某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%. 画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半（结果保留一个有效数字）.
解：⑴先求出函数关系式：
设这种物质最初的质量是1，经过 x 年，剩留量是 y. 那么
经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841;
经过2年，剩留量y＝0.84×84%＝0.842;
…………
经过x年，剩留量y＝0.84x（x≥0）.
⑵描点作图：根据函数关系式列表如下：
x 0 1 2 3 4 5 6 …
y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35 …
根据上表描点作出指数函数y＝0.84x（x≥0）的图象（图略）.从图上看出y＝0.5，只需x≈4.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半.
［例2］求下列函数的定义域和值域：
⑴ y＝ ⑵ y＝（）
活动设计：学生用图形计算器作出函数图像，观察图像，分析讨论定义域值域，然后准确解答，教师引导、整理
解：⑴要使函数有意义，必须1－ax≥0，即ax≤1
当a＞1时 x≤0； 当0＜a＜1时 x≥0
∵ax＞0 ∴0≤1－ax＜1 ∴值域为0≤y＜1
⑵要使函数有意义，必须 x＋3≠0 即 x≠－3
∵≠0 ∴y＝（）≠（）0＝1
又∵y＞0 ∴值域为 （0，1）∪（1，＋∞）
［例3］求函数y＝（）的单调区间，并证明
活动设计：学生用图形计算器作出函数图像，观察图像，分析讨论单调区间，然后准确解答，教师引导、整理（图见上）
解（用复合函数的单调性）：
设：u＝x2－2x 则：y＝（）u
对任意的1＜x1＜x2，有u1＜u2，又∵y＝（）u是减函数
∴y1＜y2 ∴y＝（）在[1，＋∞）是减函数
对任意的x1＜x2≤1，有u1＞u2，又∵y＝（）u是减函数
∴y1＜y2 ∴y＝（）在[1，＋∞）是增函数
引申：求函数y＝（）的值域 （0＜y≤2）
Ⅲ. 课堂总结
对于函数y＝f（u）和u＝g（x），如果u＝g（x）在区间（a，b）上是具有单调性，当x∈（a，b）时，u∈（m，n），且y＝f（u）在区间（m，n）上也具有单调性，则复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）具有单调性：
①若u＝g（x）在（a，b）上单调递增，y＝f（u）在（m，n）上单调递增，则复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）上单调递增；
②若u＝g（x）在（a，b）上单调递增，y＝f（u）在（m，n）上单调递减，则复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）上单调递减；
③若u＝g（x）在（a，b）上单调递减，y＝f（u）在（m，n）上单调递增，则复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）上单调递减；
④若u＝g（x）在（a，b）上单调递减，y＝f（u）在（m，n）上单调递减，则复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）上单调递增；
复合函数单调性的规律见下表：
y＝f（u） 增 ↗ 减 ↘
u＝g（x） 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘
y＝f（g（x）） 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
活动设计：教师提出问题，学生思考、分析讨论，教师引导、整理
下面只证明① 设x1、x2∈（a，b），且x1＜x2
∵u＝g（x）在（a，b）上是增函数，∴g（x1）＜g（x2），且g（x1）、g（x2）∈（m，n）
∵y＝f（u）在（m，n）上是增函数，∴f（g（x1））＜f（g（x2））.
所以复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）上是增函数。
Ⅳ. 课后作业
课本P54 习题：3，4，5，6.
- 7 -1.2.3 三角函数的诱导公式（2）
一、课题：三角函数的诱导公式(2)
二、教学目标：1.引导学生利用公式一、二、三推导公式四、五；
2.在理解、记忆五组诱导公式的基础上，正确运用公式求任意角的三角函数值及对三角函数式的化简、证明；
3．加深理解化归思想。
三、教学重、难点：五组诱导公式的记忆、理解、运用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．复习诱导公式一、二、三；
2．对“函数名不变，符号看象限”的理解。
（二）新课讲解：
1．公式推导：
我们继续推导公式：即的同名三角函数的关系。
（1）请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系。
（2）启发学生讨论：能否根据诱导公式一、二、三推导出它们的关系。
[推导过程]；
；
；
．
[结论]诱导公式四：；
．
诱导公式五：；
．
说明：①公式二中的指任意角；
②在角度制和弧度制下，公式都成立；
③公式特点：函数名不变，符号看象限；
④可以导出正切：；．
2．五组诱导公式：
五组公式可概括如下：的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。
说明：（1）要化的角的形式为（为常整数）；
（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；
（3）利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”。
3．例题分析：
例1 求下列三角函数值：（1）；（2）．
解：（1）；
（2）．
例2 化简：
（1）；
（2）．
解：（1）原式．
（2）原式
．
五、课堂练习：
六、小结：1．五组诱导公式的形式及记忆口诀“函数名不变，符号看象限”；
2．求任意角的三角函数值的一般步骤；
3．熟练运用公式化简、求值。
七、作业：
PAGE
- 2 -第三课时 弧度制(一)
教学目标：
理解1弧度的角、弧度制的定义，掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解.
教学重点：
使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.
教学难点：
弧度的概念及其与角度的关系.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢
周角的为1°的角.
这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，今天我们再来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的单位制——弧度制.
Ⅱ.讲授新课
［师］弧度制的单位符号是rad，读作弧度.
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.
请同学们考虑一下，周角的弧度数是多少 平角呢 直角呢
因为周角所对的弧长l＝2πr，所以周角的弧度数是＝2π.同理平角的弧度数是＝π，直角的弧度是.
由此可知，任一0°到360°的角的弧度数x（x＝），必然适合不等式0≤x＜2π.角的概念推广后，弧度的概念也随之推广.如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长l＝4πr时，这个圆心角的弧度数是多少呢 此时，我们应该先求出这个角的绝对值，然后在其前面放上“－”号，即所求圆心角的弧度数是－＝－＝－4π
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.任一角α的弧度数的绝对值｜α｜＝，其中l是以角α为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
从定义中我们可以看出，弧度制实质上是用弧长与其半径的比值来反映弧所对圆心角的大小，这个比值与半径的大小有没有关系呢
这个比值与半径的大小无关而只与角的大小有关，即这样定义是合理的.
用角度制和弧度制度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)，用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同.下面我们来讨论角度与弧度的换算.
因为周角的弧度数是2π，而在角度制下它是360°，所以360°＝2π rad.
180°＝π rad1°＝rad 角度化弧度时用之.
1 rad＝（）° 弧度化角度时用之
Ⅲ.例题分析
［例1］把67°30′化成弧度
解：∵67°30′＝（67）°
∴67°30′＝rad×67＝π rad.
［例2］把 π rad化成度
解：π rad＝π×（）°＝×180°＝108°
注意：
(1)今后用弧度制表示角时，或者说“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或符号“rad”可以省略不写，而只写这个角的弧度数.(此时的弧度在形式上是不名数，但应当把它理解为名数.如α＝2，即α是2 rad的角，sin3表示3 rad角的正弦，π＝180°即π rad＝180°).但用角度制表示角时，或者用“度”为单位度量角时，“度”即“°”不能省去.
(2)用弧度制表示角时，或者说用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数.
(3)今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k·360°＋或者
2kπ－60°一类的写法.
Ⅳ.课堂练习
课本P10练习 1、2、3、4、7
对于练习中的1题再补充将60°、135°、150°化成弧度；3题再补充将11°15′化成弧度.
Ⅴ.课堂小结
本节课我们学习了弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法.应该注意，角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记.
Ⅵ.课后作业
（一）课本P10习题 3、6、7
（二）预习内容：课本P9
弧度制(一)
1．角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，当终边过点A（，）时，角α是 （ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2．若－＜α＜β＜，则α－β的范围是 （ ）
A.－π＜α－β＜0 B.－＜α－β＜0
C.－＜α－β＜π D.－π＜α－β＜
3．设集合M＝{α|α＝－，k∈Z}，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N等于 （ ）
A.{－，} B.{－，}
C.{－，，－，} D.{ ，－ }
4. 下列各组角中，终边相同的角是 （ ）
A. 与kπ＋ (k∈Z) B.kπ±与 (k∈Z)
C.(2k＋1)π与(4k±1)π (k∈Z) D.kπ＋与2kπ± (k∈Z)
5．若角α、β的终边关于y轴对称，则α、β的关系一定是（其中k∈Z） （ ）
A.α＋β＝π B.α－β＝
C.α－β＝（2k＋1）π D.α＋β＝(2k＋1)π
6．在与210°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为_________.
7．4弧度角的终边在第 象限.
8．－πrad化为角度应为 .
9．钝角α的终边与它的5倍角的终边关于y轴对称，则α＝_________.
10．自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是多少度？多少弧度?？
11．如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.
弧度制(一)答案
1．B 2．A 3．C 4. C 5．D 6．－ 7．三 8．－345° 9．
10．自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是多少度？多少弧度?？
分析：在相同时间内，两轮转动的齿数相同，是解决问题的关键，因此，两轮转过的圈数之比与它们的齿数成反比，使问题得以解决.
解：由于大链轮与小链轮在相同时间内转过的齿数相同，所以两轮转过的圈数之比与它们的齿数成反比，于是大轮转过的圈数：小转轮过的圈数=20∶48
据此解得当大轮转1周时，小轮转2.4周.
故小轮转过的角度为360°×2.4＝864°
小轮转过的弧度为864°×＝rad.
答：当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是864°，弧度是rad.
11．如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.
解：A点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜
14分钟后回到原位，∴14θ＝2kπ,
θ＝，且＜θ＜，
∴θ＝或
- 5 -第五课时 基本算法语句（一）
教学目标：
通过伪代码学习基本的算法语句，更好地了解算法思想.
教学重点：
如何进行算法分析.
教学难点：
如何进行算法分析.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
算法基本语句包括赋值语句、输入输出语句、条件语句、循环语句.
伪代码
问题：已知某学生一次考试中语文、数学和英语学科的得分分别为85，90，95，试设计适当的算法求出这名学生三科的总分和平均分.
解：sum←0
　 C←85
　 M←90
　 E←95
　 sum←C＋M＋E
A←sum /3
Print sum，A
end
Ⅱ.讲授新课
例1：设计一个解二元一次方程组的通同算法.
设二元一次方程组为
（a1b2－a2b1≠0）
用消元法解得
eq \b\lc\{(\a\al(x＝,y＝))
用伪代码表示为 用伪代码表示为
Read a1，b1，c1，a2，b2，c2
x ←
y ←
Print x，y
例2：已知三角形的三边，试用流程图和伪代码表示求这个三角形的周长的算法.
解：流程图 伪代码
Read a，b，c
M ← a＋b＋c
Print M
End
例3：已知一匀变速运动的物体的初速度、末速度和加速度分别为V1，V2，a，求物体运动的距离s.试编写求解这个问题的一个算法的流程图，并用伪代码表示这个算法.
解：由题意可知，V2＝V1＋a t，故运动时间t＝
所以，物体运动的距离s＝V1 t＋a t2＝.
据此，可设计算法如下： 将此算法程序用伪代码表示为：
Read V1，V2，a
s ←
Print s
End
例4：写出下列用伪代码描述的算法执行后的结果.
（1）算法开始
a←2；
a←4；
a←a+a；
输出a的值；
算法结束
执行结果：（　　　　）
答案：8
（2）算法开始
n←10；
i←2；
sum←0；
while（i≤n）
sum←sum+i；
i←i+2；
输出sum的值；
算法结束
执行结果：（　　　　）
答案：30
点评：本题主要考查学生对基本算法语句的灵活准确应用和自然语言与符号语言的转化，让学生理解用伪代码表示的算法.
Ⅲ.课堂练习
课本P17 1，2，3.
Ⅳ.课时小结
Read是输入语句的一种，输入数据还有其它方式；输入语句与赋值语句不同，赋值语句可以将一个代数表达式的赋于一个变量，而输入语句只能读入具体的数据.
Ⅴ.课后作业
课本P24 1，2.
- 3 -第二课时 一元二次不等式解法(一)
教学目标：
通过由图象找解集的方法提高学生逻辑思维能力，渗透数形结合思想，提高运算(变形)能力，渗透由具体到抽象思想.
教学重点：
一元二次不等式解法
教学难点：
一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系.
数形结合思想渗透.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
1.｜x｜＞a及｜x｜＜a(a＞0)型不等式解法.
2.｜ax＋b｜＜c及｜ax＋b｜＞c（c＞0）解的结果.
3.绝对值符号去掉的依据是什么
Ⅱ.讲授新课
1.“三个一次”关系
在初中我们学习了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数.它们之间具有什么关系呢
我们共同来看下面问题：
y＝2x－7 其部分对应值表
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
－3 －2 －1 0 1 2 3
图象：
填表：
当x＝3.5时，y＝0，即2x－7＝0
当x＜3.5时，y＜0，得2x－7＜0
当x＞3.5时，y＞0，得2x－7＞0
注：(1)引导学生由图象得结论.(数形结合)，(2)由学生填空.
从上例的特殊情形，可得到什么样的一般结论？
教师引导下让学生发现其结论.
一般地，设直线y＝ax＋b与x轴的交点是(x0，0)就有如下结果.
一元一次方程 ax＋b＝0的解集是{x｜x＝x0}
一元一次不等式ax＋b＞0（＜0)解集
(1)当a＞0时，一元一次不等式
ax＋b＞0的解集是{x｜x＞x0}，一元
一次不等式ax＋b＜0的解集是
{x｜x＜x0}.
(2)当a＜0时，一元一次不等式
ax＋b＞0的解集是{x｜x＜x0}；一元
一次不等式ax＋b＜0的解集是{x｜x＞x0}.
2.“三个二次”的关系
一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间关系.
从下面特例寻求“三个二次”关系.
举例：y＝x2－x－6，对应值表
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
图象：
方程x2－x－6＝0的解x＝－2或x＝3
不等式x2－x－6＞0的解集{x｜x＜－2或x＞3}
不等式x2－x－6＜0的解集{x｜－2＜x＜3}
结合函数的对应值表，可以确定函数的图象，与x轴交点的
坐标，进而确定对应的一元二次方程x2－x－6＝0的根.
要确定一元二次不等式x2－x－6＞0与x2－x－6＜0的解集，那么就要在一元二次方程根的基础上结合图象完成.
我们仿“三个一次”关系，y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴相关位置，情形如下：
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴相关位置，分三种情况：
以上三种情况，从图象我们可以发现其与Δ有关.
由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac的三种情况(Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0）来确定.
师引导学生发现：
要分三种情况讨论，以寻
求对应的一元二次不等式
ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0
的解集.
请同学们思考，若a＜0，则一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0及ax2＋bx＋c＜0其解集如何，课后仿上表给出结果.
3.例题解析
［例1］解不等式2x2－3x－2＞0
解析：由“三个二次”关系，相应得到所求解集.
解：由2x2－3x－2＝0知Δ＝9＋16＞0，a＝2＞0
2x2－3x－2＝0的解集为{x｜x1＝－或x2＝2}
∴2x2－3x－2＞0的解集为{x｜x＜－或x＞2}
由例1解题过程可知，问题要顺利求解，应先考虑对应方程的判别式及二次项系数是否大于零，然后按照不等式解集情况求得原不等式的解集.
［例2］解不等式－3x2＋6x＞2.
解析：通过观察－3x2＋6x＞2与表格中不等式形式比较可发现，它们不同地方在于二次项系数.
故首先将其变形为二次项系数大于零情形，转化为熟知类型，然后求解.
解：原不等式－3x2＋6x＞2变形为3x2－6x＋2＜0
3x2－6x＋2＝0对应的Δ＝36－24＞0，3＞0
方程 3x2－6x＋2＝0解得：x1＝1－，x2＝1＋
所以原不等式的解集是{x｜1－＜x＜1＋}
［例3］解不等式4x2－4x＋1＞0
解析：因4＞0解法同例1
解：因4x2－4x＋1＝0对应的Δ＝16－16＝0
则方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝
所以，原不等式的解集是{x｜x≠}
［例4］解不等式－x2＋2x－3＞0.
解：将原不等式变形为：x2－2x＋3＜0
因x2－2x＋3＝0对应Δ＝4－12＜0
故x2－2x＋3＝0无实数解，即其解集为
那么原不等式解集是
上述几例每一例都有各自特点，反映在两个方面：一是二次项系数，二是判别式Δ对于二次项系数不大于零的要化成大于零的式子，然后求解.
[例5]若不等式＜0对一切x恒成立，求实数m的范围.
解析：合理等价变形，正确分类是解决问题关键.
解：由题x2－8x＋20＝（x－4）2＋4＞0
则原不等式等价于 mx2－mx－1＜0成立
那么，①当m＝0时，－1＜0不等式成立；
②当m≠0时，要使不等式成立，应有
，解之得：－4＜m＜0
由①②可知，－4＜m≤0
[例6]设不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜α＜x＜β}(0＜α＜β}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.
解：由题 eq \b\lc\{(\a\al(a＜0,α＋β＝－,α·β＝)) 得： eq \b\lc\{(\a\al(c＜0,＋＝－,·＝))
故cx2＋bx＋a＜0的解集是{x｜x＜}∪{x｜x＞}
Ⅲ.课堂练习
课本P71练习 1～4
Ⅳ.课时小结
一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系，给出了解一元二次不等式的方法.即解一元二次不等式的步骤：先把二次项系数化成正数，再解对应的一元二次方程，最后，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集.
Ⅴ.课后作业
课本：P73习题 1，2，3
- 4 -1.1.2 任意角（2）
一、课题：任意角（2）
二、教学目标：1．熟练掌握象限角与非象限角的集合表示；
2．会写出某个区间上角的集合。
三、教学重、难点：区间角的表示。
四、教学过程：
（一）复习：
1．角的分类：按旋转方向分；按终边所在位置分。
2．与角同终边的角的集合表示。
3．练习：把下列各角写成的形式，并指出它们所在的象限或终边位置。
（1）； （2）； （3）．
（答案）（1） 第三象限角。
（2）， 第一象限角。
（3），终边在轴非正半轴。
（二）新课讲解：
1．轴线角的集合表示
例1：写出终边在轴上的角的集合。
分析：（1）到的角落在轴上的有；
（2）与终边分别相同的角的集合为：
（3）所有终边在轴上的角的集合就是和并集：
．
拓展：（1）终边在轴线的角的集合怎么表示？ ；
（2）所有轴线角的集合怎么表示？ ；
（3）相对于轴线角的集合，象限角的集合怎么表示？ ．
提问：第一、二、三、四象限角的集合又怎么表示？ （略）
例2：写出第一象限角的集合．
分析：（1）在内第一象限角可表示为；
（2）与终边相同的角分别为；
（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为：
．
学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：
；
；
．
说明：区间角的集合的表示不唯一。
例3 写出所夹区域内的角的集合。
解：当终边落在上时，角的集合为；
当终边落在上时，角的集合为；
所以，按逆时针方向旋转有集合：．
五、课堂练习：
1．若角的终边在第一象限或第三象限的角平分线上，则角的集合是 ．
2．若角与的终边在一条直线上，则与的关系是 ．
3．（思考）若角与的终边关于轴对称，则与的关系是 ．
若角与的终边关于轴对称，则与的关系是 ．
若角与的终边关于原点对称，则与的关系是 ．
六、小结：1．非象限角（轴线角）的集合表示；
2．区间角集合的书写。
七、作业：
补充：1．试写出终边在直线上所有角的集合，并指出上述集合中介于与之间的角。
2．若角是第三象限角，问是哪个象限的角？是哪个象限的角？
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- 1 -第五课时 交集、并集(一)
教学目标：
使学生正确理解交集与并集的概念，会求两个已知集合交集、并集；通过概念教学，提高逻辑思维能力，通过文氏图的利用，提高运用数形结合解决问题的能力；通过本节教学，渗透认识由具体到抽象过程.
教学重点：
交集与并集概念.数形结合思想.
教学难点：
理解交集与并集概念、符号之间区别与联系.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
集合的补集、全集都需考虑其元素，集合的元素是什么这一问题若解决了，涉及补集、全集的问题也就随着解决.
Ⅱ.讲授新课
［师］我们先观察下面五个图
幻灯片：
请回答各图的表示含义.
［生］图(1)给出了两个集合A、B.
图(2)阴影部分是A与B公共部分.
图(3)阴影部分是由A、B组成.
图(4)集合A是集合B的真子集.
图(5)集合B是集合A的真子集.
师进一步指出
图(2)阴影部分叫做集合A与B的交集.
图(3)阴影部分叫做集合A与B的并集.
由(2)、(3)图结合其元素的组成给出交集定义.
幻灯片：
1.交集
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集.
记作A∩B（读作“A交B”）
即A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}
借此说法，结合图(3)，请同学给出并集定义
幻灯片：
2.并集
一般地，由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集.
A与B的并集记作A∪B（读作“A并B”）
即A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}
学生归纳以后，教师给予纠正.
那么图(4)、图(5)及交集、并集定义说明A∩B＝A{图（4）}，A∩B＝B{图（5)}
3.例题解析(师生共同活动)
［例1］设A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x＜3}，求A∩B.
解析：此题涉及不等式问题，运用数轴即利用数形结合是最佳方案.
解：在数轴上作出A、B对应部分，如图A∩B为阴影部分
A∩B＝{x｜x＞－2}∩{x｜x＜3}＝{x｜－2＜x＜3}
［例2］设A＝{x｜x是等腰三角形}，B＝{x｜x是直角三角形}，求A∩B.
解析：此题运用文氏图，其公共部分即为A∩B.
解：如右图表示集合A、集合B，其阴影部分为A∩B.
A∩B＝{x｜x是等腰三角形}∩{x｜x是直角三角形}＝{x｜x是等腰直角三角形}
［例3］设A＝{4，5，6，8},B＝{3，5，7，8}，求A∪B.
解析：运用文氏图解答该题
解：如右图表示集合A、集合B，其阴影部分为A∪B
则A∪B＝{4,5,6,8}∪{3,5,7,8}＝{3,4,5,6,7,8}.
［例4］设A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x是钝角三角形}，求A∪B.
解：A∪B＝{x｜x是锐角三角形}∪{x｜x是钝角三角形}＝{x｜x是斜三角形}
{例5}设A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜1＜x＜3}，求A∪B.
解析：利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求.
解：将A＝{x｜－1＜x＜2}及B＝{x｜1＜x＜3}在数轴上表示出来.如图阴影部分即为所求.
A∪B＝{x｜－1＜x＜2}∪{x｜1＜x＜3}＝{x｜－1＜x＜3}
［师］设a,b是两个实数，且a＜b，我们规定：
实数值R也可以用区间表示为（-∞,+∞）,“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们还可以把满足x≥a,x＞a,x≤b,x＜b的实数x的集合分别表示为[a,+∞],(a,+∞),(-∞,b),(-∞,b).
Ⅲ.课堂练习
1.设a＝{3，5，6，8}，B＝{4，5，7，8}，
(1)求A∩B，A∪B.
(2)用适当的符号(、)填空：
A∩B_____A，B_____A∩B，A∪B______A，A∪B______B，A∩B_____A∪B.
解：(1)因A、B的公共元素为5、8
故两集合的公共部分为5、8,则A∩B＝{3，5，6，8}∩{4，5，7，8}＝{5，8}
又A、B两集合的元素3、4、5、6、7、8.
故A∪B＝{3，4，5，6，7，8}
(2)由文氏图可知
A∩BA，BA∩B，A∪BA，A∪BB，A∩BA∪B
2.设A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x≥0}，求A∩B.
解：因x＜5及x≥0的公共部分为 0≤x＜5
故A∩B＝{x｜x＜5}∩{x｜x≥0}＝{x｜0≤x＜5}
3.设A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x是钝角三角形}，求A∩B.
解：因三角形按角分类时，锐角三角形和钝角三角形彼此孤立.故A、B两集合没有公共部分.
A∩B＝{x｜x是锐角三角形}∩{x｜x是钝角三角形}=
4.设A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≥3}，求A∪B.
解：在数轴上将A、B分别表示出来，阴影部分即为A∪B，故A∪B＝{x｜x＞－2}
5.设A＝{x｜x是平行四边形}，B＝{x｜x是矩形}，求A∪B.
解：因矩形是平行四边形.故由A及B的元素组成的集合为A∪B，A∪B
＝{x｜x是平行四边形}
6.已知M＝{1}，N＝{1，2}，设A＝{（x，y）｜x∈M，y∈N}，B＝{（x，y）｜x∈N， y∈M}，求A∩B，A∪B.
解析：M、N中元素是数.A、B中元素是平面内点集，关键是找其元素.
解：∵M＝{1}，N＝{1，2}则A＝{（1，1），（1，2）}，B＝{（1，1），（2，1）}，故A∩B＝{（1，1）}，A∪B＝{（1，1），（1，2），（2，1）}.
Ⅳ.课时小结
在求解问题过程中要充分利用数轴、文氏图，无论求解交集问题，还是求解并集问题，关键还是寻求元素.
Ⅴ.课后作业
课本P13习题1.3 2～7
参考练习题:
1.设A＝{x｜x＝2n，n∈N*}，B＝{x｜x＝2n，n∈N}，则A∩B＝_______，A∪B＝_______.
解：对任意m∈A，则有m＝2n＝2·2n－1，n∈N*因n∈N*，故n－1∈N，有2n－1∈N，那么m∈B
即对任意m∈A有m∈B，所以AB，而10∈B但10A，即AB，那么A∩B＝A，A∪B＝B.
评述：问题的求解需要分析各集合元素的特征，以及它们之间关系，利用真子集的定义证明A是B的真子集，这是一个难点，只要突破该点其他一切都好求解.
2.求满足{1，2}∪B＝{1，2，3}的集合B的个数.
解：满足{1，2}∪B＝{1，2，3}的集合B一定含有元素3，B＝{3}还可含1或2，其中一个有{1，3}，{2，3}，还可含1、2，即{1，2，3},那么共有4个满足条件的集合B.
评述：问题解决的关键在于集合B的元素可以是什么数，分类讨论在解题中作用不可忽视.以集合B元素多少进行分类.
3.A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＞0}，C＝{x｜x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么
解：因A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＞0}，C＝{x｜x≥10}，在数轴上作图，则A∩B＝{x｜0＜x＜5}，B∪C＝{x｜0＜x}，A∩B∩C＝
评述：将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行.
4.设A＝{－4，2，a－1，a2}，B＝{9，a－5，1－a}，已知A∩B＝{9}，求A.
解：因A∩B＝{9}，则a－1＝9或a2＝9
a＝10或a＝±3
当a＝10时，a－5＝5，1－a＝－9
当a＝3时，a－1＝2不合题意.
a＝－3时，a－1＝－4不合题意.
故a＝10，此时A＝{－4，2，9，100}，B＝{9，5，－9}，满足A∩B＝{9}，那么a＝10.
评述：合理利用元素的特征——互异性找A、B元素.
5.已知A＝{y｜y＝x2－4x＋6，x∈R , y∈N}，B＝{y｜y＝－x2－2x＋7，x∈R ,y∈N}，
求A∩B，并分别用描述法，列举法表示它.
解：y＝x2－4x＋6＝（x－2）2＋2≥2，A＝{y｜y≥2，y∈N}
又y＝－x2－2x＋7＝－（x＋1）2＋8≤8
∴B＝{y｜y≤8，y∈N}
故A∩B＝{y｜2≤y≤8}＝{2，3，4，5，6，7，8}.
评述：此题注意组成集合的元素有限，还是无限.集合的运算结果，应还是一个集合.
6.已知非空集合A＝{x｜2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x｜3≤x≤22}，则能使A(A∩B)成立的所有a值的集合是什么？
解：由题有：AA∩B，即AB， A非空，用数轴表示为，
那么
由方程表示为：6≤a≤9
评述：要使AA∩B，需AA且AB，又AA恒成立，故AB，由数轴得不等式.注意A是非空.若去掉这一条件效果如何.求解过程及结果是否会变化.请思考.
交集、并集(一)
1.设A＝{x｜x＝2n，n∈N*}，B＝{x｜x＝2n，n∈N}，则A∩B＝_______，A∪B＝_______.
2.求满足{1，2}∪B＝{1，2，3}的集合B的个数.
3.A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＞0}，C＝{x｜x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么
4.设A＝{－4，2，a－1，a2}，B＝{9，a－5，1－a}，已知A∩B＝{9}，求A.
5.已知A＝{y｜y＝x2－4x＋6，x∈R , y∈N}，B＝{y｜y＝－x2－2x＋7，x∈R ,y∈N}，
求A∩B，并分别用描述法，列举法表示它.
6.已知非空集合A＝{x｜2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x｜3≤x≤22}，则能使A(A∩B)成立的所有a值的集合是什么？
- 5 -1.3.2 三角函数的图像与性质(5)
一、课题：正切函数的图象和性质（1）
二、教学目标：1．了解利用正切线画出正切函数图象的方法；
2．了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题；
3．掌握正切函数的性质。
三、教学重、难点：1．正切函数图象的作法；2．正切函数的性质。
四、教学过程：
（一）复习：
问题：正弦曲线是怎样画的？
（二）新课讲解：
1．正切函数的定义域是什么？
2．正切函数是不是周期函数？
，
∴是的一个周期。
是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作，的图象
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
，且的图象，称“正切曲线”。
（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：；
（2）值域：R
观察：当从小于，时，
当从大于，时，。
（3）周期性：；
（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。
思考：
例：求函数的定义域。 答案：．
五、课堂练习：
六、小结：1．作图的方法和图象特征；
2．正切函数的性质；
七、作业：
x
0
y
y
PAGE
- 1 -第二章 平面向量
本章内容介绍
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.
本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）
第1课时
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
教学目标：
1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、情景设置：
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
二、新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）
1、数量与向量有何区别？
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
（三）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：；
④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
（四）理解和巩固：
例1 书本86页例1.
例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
例3下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.
例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（）
课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.
2．书本88页练习
三、小结 ：
1、 描述向量的两个指标：模和方向.
2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点.
四、课后作业：
书本88页习题2.1第3、5题
（吴春霞）
第2课时
§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
1、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
1、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
学 法：
数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、设置情景：
1、 复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
1、 情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：
（4）船速为，水速为，则两速度和：
二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ，规定： a + 0-= 0 + a
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||；
（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例一、已知向量、，求作向量+
作法：在平面内取一点，作 ，则.
４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中+的结果与+是否相同？ 验证结果相同
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：+=+
５．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
证：如图：使， ，
则(+) +=，+ (+) =
∴(+) +=+ (+)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二（P94—95）略
练习：P95
四、小结
1、向量加法的几何意义；
２、交换律和结合律；
３、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：
P103第２、３题
六、板书设计（略）
七、备用习题
1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度.
2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
3、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.
4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h
５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.
６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
（吴春霞）
第3课时
§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
1. 了解相反向量的概念；
2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
1、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律：
例：在四边形中， .
解：
2、 提出课题：向量的减法
1． 用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 a
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a) = a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = b， b = a， a + b = 0
（3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.
即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2． 用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
作法：在平面内取一点O，
作= a， = b
则= a b
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意：1表示a b.强调：差向量“箭头”指向被减数
2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.
4． 探究：
1） 如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b a.
２）若a∥b， 如何作出a b　？
3、 例题：
例一、（P９７ 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.
解：在平面上取一点O，作= a， = b， = c， = d，
作， ， 则= ab， = cd
例二、平行四边形中，a，b，
用a、b表示向量、.
解：由平行四边形法则得：
= a + b， = = ab
变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a， b互相垂直）
变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）
练习：Ｐ98
4、 小结：向量减法的定义、作图法|
5、 作业：P103第4、５题
6、 板书设计（略）
7、 备用习题：
1.在△ABC中， =a， =b，则等于( )
A.a+b? B.-a+(-b) C.a-b? D.b-a
2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设=a， =b， =c， =d，则
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：
a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .
４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=，c-d=，并画出b-c和a+d.
（吴春霞）
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
第4课时
§2.3.1 平面向量基本定理
教学目的：
（1）了解平面向量基本定理；
（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
1、 复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
2．运算定律
结合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ， λ(+)=λ+λ
3. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
二、讲解新课：
平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.
探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
三、讲解范例：
例1 已知向量， 求作向量2.5+3.
例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和
例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4
例4（1）如图，，不共线，=t (tR)用，表示.
（2）设不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且.求证：A、B、P三点共线.
例5 已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数与c共线.
四、课堂练习：
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )
A.e1、e2一定平行
B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)
2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )
A.3 B.-3 C.0 D.2
4.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= .
5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).
五、小结（略）
六、课后作业（略）：
七、板书设计（略）
八、课后记：
第5课时
§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
…………
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.
特别地，，，.
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1） 若，，则，
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为、，则
即，同理可得
（2） 若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
==( x2， y2) (x1，y1)= (x2 x1， y2 y1)
（3）若和实数，则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为、，则，即
三、讲解范例：
例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐标.
例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.
例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2， 2)
当平行四边形为ACDB时，得D2=(4， 6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6， 0)
例4已知三个力 (3， 4)， (2， 5)， (x， y)的合力++=，求的坐标.
解：由题设++= 得：(3， 4)+ (2， 5)+(x， y)=(0， 0)
即： ∴ ∴(5，1)
四、课堂练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 ， 求P点的坐标
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则2= .
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD是梯形.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：
（王海）
第6课时
§2.3.4 平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，.
2．平面向量的坐标运算
若，，
则，，.
若，，则
二、讲解新课：
∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0
设=(x1， y1) ，=(x2， y2) 其中.
由=λ得， (x1， y1) =λ(x2， y2) 消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1， y2有可能为0， ∵ ∴x2， y2中至少有一个不为0
（2）充要条件不能写成 ∵x1， x2有可能为0
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：∥ ()
三、讲解范例：
例1已知=(4，2)，=(6， y)，且∥，求y.
例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.
例3设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1) 当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
例4若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，求x
解：∵=(-1，x)与=(-x， 2) 共线 ∴(-1)×2- x (-x)=0
∴x=± ∵与方向相同 ∴x=
例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， =(2-1，7-5)=(1，2)
又 ∵2×2-4×1=0 ∴∥
又 ∵ =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，=(2， 4)，2×4-2×60 ∴与不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
四、课堂练习：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.若=i+2j， =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为（ ）
A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= .
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为 .
6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x= .
五、小结 （略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：
（王海）
§2.4平面向量的数量积
第7课时
一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.
教学过程：
一、复习引入：
1． 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
2．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
3．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
4．平面向量的坐标运算
若，，则，，.
若，，则
5．∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0
6．线段的定比分点及λ
P1， P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1， P2的任一点，存在实数λ，
使 =λ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
7. 定比分点坐标公式：
若点P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2，y2)，λ为实数，且＝λ，则点P的坐标为（），我们称λ为点P分所成的比.
8. 点P的位置与λ的范围的关系：
①当λ＞０时，与同向共线，这时称点P为的内分点.
②当λ＜０()时，与反向共线，这时称点P为的外分点.
9.线段定比分点坐标公式的向量形式：
在平面内任取一点O，设＝ａ，＝ｂ，
可得=.
10．力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角.
二、讲解新课：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是ab = bc a = c
如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|
ab = bc 但a c
(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.
3．“投影”的概念：作图
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1 ea = ae =|a|cos
2 ab ab = 0
3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或
4 cos =
5 |ab| ≤ |a||b|
三、讲解范例：
例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b.
例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b).
例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.
例4 判断正误，并简要说明理由.
①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；
对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；
对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；
对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；
对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.
则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），
∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ
若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.
例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.
解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；
若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，
∴ａ·ｂ＝０；
③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有
ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×＝9
评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.
四、课堂练习：
1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）
A.2 B.2 C.6 D.12
3.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（ ）
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|= .
5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b= .
6.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)２＝______.
7.已知|a|=1，|b|=，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.
8.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.
9.对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、教学后记：
（王海）
第8课时
二、平面向量数量积的运算律
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质. ?
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．“投影”的概念：作图
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1 ea = ae =|a|cos； 2 ab ab = 0
3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或
4cos = ；5|ab| ≤ |a||b|
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1．交换律：a b = b a
证：设a，b夹角为，则a b = |a||b|cos，b a = |b||a|cos
∴a b = b a
2．数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)
证：若> 0，(a)b =|a||b|cos， (ab) =|a||b|cos，a(b) =|a||b|cos，
若< 0，(a)b =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos，(ab) =|a||b|cos，
a(b) =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos.
3．分配律：(a + b)c = ac + bc
在平面内取一点O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2
∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， ∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc
说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
三、讲解范例：
例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角.
解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0 ①
(a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30ab + 8b2 = 0 ②
两式相减：2ab = b2
代入①或②得：a2 = b2
设a、b的夹角为，则cos = ∴ = 60
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
解：如图：平行四边形ABCD中，，，=
∴||2=
而= ，
∴||2=
∴||2 + ||2 = 2=
例3 四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.
解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２
即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２
由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①
同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②
由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.
评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.
四、课堂练习：
1.下列叙述不正确的是（ ）
A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律 D.a·b是一个实数
2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（ ）
A.72 B.-72 C.36 D.-36
3.|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（ ）
A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直
4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)２＝ .
5.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，则|a+b|=______，|a-b|= .
6.设|a|=3，|b|=5，且a+λb与a－λb垂直，则λ＝ .
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：
（王海）
第9课时
三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.
⑶能用所学知识解决有关综合问题.
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
4．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1 ea = ae =|a|cos； 2 ab ab = 0
3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或
4 cos = ；5|ab| ≤ |a||b|
5．平面向量数量积的运算律
交换律：a b = b a
数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)
分配律：(a + b)c = ac + bc
二、讲解新课：
⒈ 平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量，，试用和的坐标表示.
设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，
所以
又，，，所以
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
2. 平面内两点间的距离公式
8、 设，则或.
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)
9、 向量垂直的判定
设，，则
10、 两向量夹角的余弦（）
cos =
11、 讲解范例：
12、 设a = (5， 7)，b = (6， 4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)
例2 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足xa = 9与xb = 4的向量x.
解：设x = (t， s)，
由 ∴x = (2， 3)
例4 已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１）
有a·b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２．
记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例5 如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，求点B和向量的坐标.
解：设B点坐标(x， y)，则= (x， y)，= (x5， y2)
∵ ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x 2y = 0
又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29
由
∴B点坐标或；=或
例6 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值.
解：当A = 90时，= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
当B = 90时，= 0，== (12， k3) = (1， k3)
∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k =
当C = 90时，= 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k =
13、 课堂练习：
1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|２－４a·b＝（ ）
A.23 B.57 C.63 D.83
2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形
3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（ ）
A.或? B.或
C.或? D.或
4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)·(a-b)= .
5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x= .
6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，则a与b的夹角为 .
14、 小结（略）
15、 课后作业（略）
16、 板书设计（略）
17、 课后记：
（王海）
第12课时
复习课
一、教学目标
1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.
3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么 )和向量形式的平行四边形定理：2(||+||)=|－|+|+|.
5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
6. 向量的坐标概念和坐标表示法
7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8. 数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直
三、典型例题
例1.对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜
证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜
(3)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
例2 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，
且||=2，||=1，| |=3，用与表示
解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中, 是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是= －, =， =-3所以-3=3+|即=3－3
例3.下面5个命题：①|·|=||·||②(·)=·③⊥(－)，则·=· ④·=0，则|+|=|－|⑤·=0，则=或=，其中真命题是（ ）
A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤
3、 巩固训练
1.下面5个命题中正确的有（ ）
①=·=·； ②·=·=；③·（+）=·+·； ④·（·）=（·）·； ⑤.
A..①②⑤ B.①③⑤ C. ②③④ D. ①③
2.下列命题中，正确命题的个数为（ A ）
①若与是非零向量 ，且与共线时，则与必与或中之一方向相同；②若为单位向量，且∥则=|| ③··=|| ④若与共线，与共线，则与共线；⑤若平面内四点A.B.C.D，必有+=+
A 1 B 2 C 3 D 4
3.下列5个命题中正确的是
①对于实数p,q和向量,若p=q则p=q②对于向量与，若||=||则=③对于两个单位向量与，若|+|=2则=④对于两个单位向量与，若k=，则=
4.已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),求证：四边形ABCD为正方形。
A
B
C
D
A(起点)
B
（终点）
a
A B C
C A B
A B
C
A B
C
A
B
C
a+b
a+b
a
a
b
b
a
ｂ
ｂ
ａ＋ｂ
a
a
a
O
A
B
a
a
a
b
b
b
A B
D C
O
a
b
B
a
b
ab
O
A
B
a
B’
b
b
b
B
a+ (b)
a
b
ab
A
A
B
B
B’
O
ab
a
a
b
b
O
A
O
B
ab
ab
B
A
O
b
A
B
C
b
a
d
c
D
O
A B
D C
第３题
C
C
C第五课时 任意角的三角函数(一)
教学目标：
理解并掌握任意角三角函数的定义，理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号，理解三角函数是以实数为自变量的函数，掌握正弦、余弦、正切函数的定义域；使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解.
教学重点：
任意角三角函数的定义，正弦、余弦、正切函数的定义域.
教学难点：
正弦、余弦、正切函数的定义域.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数，前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数.
Ⅱ.讲授新课
对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究.
设α是一个顶点在原点，始边在x轴正半轴上的任意角，α的终边上任意一点P的坐标是（x，y）(非顶点).它与原点的距离是r(r＝＞0）
注意：(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的正半轴重合.
(2)OP是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角α是任意的.
(3)角α的终边只要不落在坐标轴上，就只能是象限角.
(4)角α的终边不是不能落在坐标轴上，而是说落在坐标轴上的情况属于特殊情形，我们将在研究问题的过程中对其进行讨论.
那么，(1)比值 叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝ .
(2)比值 叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝.
(3)比值 叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝ .
以上三种函数统称为三角函数.
确定的角α，它的终边上任意一点P的坐标都是变量，它与原点的距离r也是变量，这三个变量的三个比值究竟是确定的还是变化的？
根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角α，上述三个比值都不会随P点在α的终边上的位置的改变而改变.当角α的终边在纵轴上时，即α＝kπ＋（k∈Z)时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tanα无意义，除此之外，对于确定的角α，上面的三个比值都是唯一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.
注意：(1)sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余两个符号也是这样.
(2)定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没有说α的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与α的终边位置无关.
(3)比值只与角的大小有关.
我们已经给出了任意角三角函数的定义，请同学们考虑并比较一下，我们给出的任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义，有什么联系与区别
正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离，正切函数值是纵坐标比横坐标.
由于角的集合与实数集R之间是一一对应的，所以三角函数可以看成是以实数为自变量的函数.我们知道，函数有三个要素，即定义域、值域、对应法则，下面我们就来研究正弦、余弦、正切函数的定义域，值域问题待后再作研究.
对于正弦函数sinα＝，因为r＞0，所以 恒有意义，即α取任意实数，恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanα＝，因为x＝0时，无意义，即tanα无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，恒有意义，即tanα恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠kπ＋（k∈Z).
为了几何表示的需要，我们先来看单位圆的概念：以原点为圆心，单位长为半径的圆称为单位圆.单位长——如1 cm、1 dm、1m、1 km等等，都是1个单位长，它们的单位虽不同，但长度都是1个单位长.即单位圆的半径是1(个单位长).
在平面直角坐标系内，作单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y），x轴的正半轴与单位圆相交于A（1，0），过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.
显然，线段OM的长度为｜x｜，线段MP的长度为｜y｜，它们都只能取非负值.
当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段。
如果x＞0，OM与x轴同向，规定此时OM具有正值x；如果x＜0，OM与x轴正向相反(即反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OM＝x.
如果y＞0，把MP看作与y轴同向，规定此时MP具有正值y；如果y＜0，把MP看作与y轴反向，规定此时MP具有负值y，所以不论哪一种情况，都有MP＝y，由上面所述，OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段（即规定了起点和终点），把它们的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB
于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有
sinα＝ ＝ ＝y＝MP
cosα＝ ＝＝x＝OM
这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线、余弦线.
类似地，我们把OA、AT也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的
知识，就有tanα＝ ＝＝AT
这条与单位圆有关的有向线段AT，叫做角α的正切线.
注意：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.
(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.
(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆.
(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点.
(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.
正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.
Ⅲ.例题分析
［例1］已知角α的终边经过点P(2，－3)(如图)，求α的三个三角函数值.
解：∵x＝2，y＝－3
∴r＝＝
于是sinα＝ ＝＝－
cosα＝＝＝
tanα＝ ＝－
［例2］求下列各角的三个三角函数值.
(1)0 (2)π (3)
解：(1)因为当α＝0时，x＝r，y＝0，所以
sin0＝0 cos0＝1 tan0＝0
(2)因为当α＝π时，x＝－r，y＝0，所以
sinπ＝0 cosπ＝－1 tanπ＝0
(3)因为当α＝时，x＝0，y＝－r，所以
sin＝－1 cos＝0 tan不存在
Ⅳ.课堂练习
课本P16练习 1、2、3.
Ⅴ.课时小结
任意角三角函数的定义，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，单位圆的概念，有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示.
Ⅵ.课后作业
课本P23习题 1、2、3.
任意角的三角函数(一)
1．sin1、cos1、tan1的大小关系是 （ ）
A.tan1＜cos1＜sin1 B.sin1＜cos1＜tan1
C.sin1＜tan1＜cos1 D.cos1＜sin1＜tan1
2．已知角α的正弦线和余弦线是方向一正一反、长度相等的有向线段，则α的终边在（ ）
A.第一象限角平分线上 B.第二象限角平分线上
C.第二或第四象限角平分线上 D.第一或第三象限角平分线上
3．如果＜θ＜，那么下列各式中正确的是 （ ）
A.cosθ＜tanθ＜sinθ B.sinθ＜cosθ＜tanθ
C.tanθ＜sinθ＜cosθ D.cosθ＜sinθ＜tanθ
4．若点P(－3，y)是角α终边上一点，且sinα＝－，则y的值是________.
5．已知角α终边上一点P的坐标是（4a，3a)(a＜0)，则sinα＝_________，cosα＝_________，tanα＝_________.
6．如果角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合.终边在函数y＝－3x(x≤0)的图象上，则sinα＝_________，cosα＝_________，tanα＝_________.
7．已知角θ的终边上一点P的坐标是（x，－2)(x≠0），且cosθ＝，求sinθ和tanθ的值.
8．已知角α终边上有一点P（x，1)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα的值.
9．已知θ是第一象限角，试利用三角函数线证明：sinα+cosα＞1.
任意角的三角函数(一)答案
1．D 2．C 3．D 4．－ 5．－ － 6． － －3
7．已知角θ的终边上一点P的坐标是（x，－2)(x≠0），且cosθ＝，求sinθ和tanθ的值.
分析：r＝，又cosθ＝＝，即rx＝3x
由于x≠0，∴r＝3
∴x2＋4＝9 x2＝5，x＝±.
当x＝时，P点的坐标是（，－2）.
sinθ＝ ＝＝－，tanθ＝ ＝＝－.
当x＝－时，P点的坐标是（－，－2）
sinθ＝ ＝＝－，tanθ＝ ＝＝.
答案：当x＝时，sinθ＝－，tanθ＝?－?
当x＝－时，sinθ＝－，tanθ＝
8．已知角α终边上有一点P（x，1)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα的值.
分析：由任意角的三角函数的定义
cosα＝＝x，∴r＝2 ∴sinα＝＝.
另：用x、1表示出r，即r＝
再由cosα＝x，求出x.
进一步求得sinα也可.
9．已知θ是第一象限角，试利用三角函数线证明：sinα+cosα＞1.
提示：作出单位圆以及正弦线、余弦线，利用三角形两边和大于第三边可证得.
- 5 -第6课时 平面的基本性质（二）
教学目标：
使学生进一步掌握平面的画法、表示方法；会用集合符号语言推证简单命题；掌握确定平面的依据。
教学重点：公理的理解与运用。
教学难点：用符号语言推证简单命题。
教学过程：
一、复习巩固：
1、复习公理1、2；
2、将下列命题改写成语言叙述，并判断它们是否正确：
⑴当A∈α，Bα时，线段ABα；
⑵Aα，Bα，CAB，则Cα；
⑶Aα，Aβ，Aа，则а=α∩β。
3、如图，△ABC的两边AB、AC分别与平面α交于点D、E，R若直线BC与平面α交于点F，请画出F的位置。
二、新课讲解：
1、公理3及三个推论：
（1）问题：经过一点有几个平面？经过二点、三点、四点？……。（注意“经过”的意思），四边形一定是平面图形吗？
（2）由上述讨论，归纳出
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（或叙述为：不共线的三点确定一个平面）。
强调：⑴“不共线”，⑵这个公理是确定一个平面的依据。
过A、B、C三点的平面又可记为“平面ABC”。
（3）推论：
推论一：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面。
从“存在性”和“唯一性”两方面口述证明本推理的正确性，以及和公理3的关系。
证明：（1）存在性
点A是直线a外的一点，在a上任取两点B、C，根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有一个平面，设为平面α。
因为点B、C都在平面α内，所以根据公理1，直线a在平面α内，即平面α是经过直线a和点A的平面。
（2）唯一性（反证法）
假设过直线a和点A还有另一个平面β，因为点B、C在直线a上，所以点B、C在平面β内，即不共线的三点A、B、C在平面β内，这样过不共线的三点A、B、C有两个平面α、β，这与公理3矛盾，所以过直线a和点A只有一个平面。
由（1）、（2）可知，命题成立。
说明：唯一性问题一般可以用反证法。
推论二：两条相交直线确定一个平面；
推论三：两条平行直线确定一个平面。（直接提出即可，也可证明）
说明：在立体几何中，平面几何中的定义、公理、定理等，对于同一个平面内的图形仍然成立。
2、“平面的基本性质”小结：
名 称 作 用
公理1 判定直线在平面内的依据
公理2 两个平面相交的依据
公理3以及三个推论 确定一个平面的依据
三、课堂练习：
教材P235
四、课堂小结：
确定平面的条件有四个：不共线的三点、两条相交直线、两条平行直线、直线与直线外一点。
五、课后作业：
教材P281、2、3
- 2 -第十课时 诱导公式（二）
教学目标：
理解诱导公式的推导方法，掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明，培养学生化归、转化的能力；通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.
教学重点：
理解并掌握诱导公式.
教学难点：
诱导公式的应用——求三角函数值，化简三角函数式，证明简单的三角恒等式.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
公式一～公式四
函数名不变，正负看象限.
Ⅱ.检查预习情况
由－α与α的终边关于直线y＝x对称，可得：
公式五：sin（－α）＝cosα，cos（－α）＝sinα
利用公式二和公式五可得：
公式六：sin（＋α）＝cosα，cos（＋α）＝－sinα
公式一～公式六统称为诱导公式
Ⅲ.例题分析
课本P22例3，例4
补充例题：
［例1］化简
解：原式＝
＝＝－
［例2］化简
解：原式＝
＝
＝＝
＝＝＝cos300＝
［例2］已知关于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值.
分析：依据已知条件及根与系数关系，列出关于m的方程去求解.
解：设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则可得α＋β＝，
∴cosα＝sinβ
∵方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0中
Δ＝4（m＋1)2－4·4m＝4(m－1)2≥0
∴当m∈R，方程恒有两实根.
又∵cosα＋cosβ＝sinβ＋cosβ＝
cosα·cosβ＝sinβcosβ＝
∴由以上两式及sin2β＋cos2β＝1，得
1＋2·＝()2 解得m＝±
当m＝时，cosα＋cosβ＝＞0，
cosα·cosβ＝＞0，满足题意，
当m＝－时，
cosα＋cosβ＝＜0，这与α、β是锐角矛盾，应舍去.
综上，m＝
Ⅳ.课堂练习
课本P23练习 1、2、3、4.
Ⅴ.课时小结
本节课同学们自己导出了公式五、公式六，完成了教材中诱导公式的学习任务，为求任意角的三角函数值“铺平了道路”.利用这些公式，可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，为求值带来很大的方便，这种转化的思想方法，是我们经常用到的一种解题策略，要细心去体会、去把握.利用这些公式，还可以化简三角函数式，证明简单的三角恒等式，我们要多练习，在应用中达到熟练掌握的程度.
Ⅵ.课后作业
课本P24习题14、15、18.
诱导公式（二）
1．下列不等式中，正确的是 （ ）
A.sinπ＞sinπ B.tanπ＞tan(－)
C.sin(－)＞sin(－) D.cos(－π)＞cos(－π)
2．tan300°＋sin450°的值为 （ ）
A.1＋ B.1－ C.－1－ D.－1＋
3．已知cos(π＋θ)＝－，θ是第一象限角，则sin（π＋θ）和tanθ的值分别为（ ）
A. ，－ B.－， C.－，－ D.－，－
4．已知x∈(1，)，则|cosπx|＋|cos|－|cosπx＋cos|的值是 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.－1
5．＝ .
6．若α是第三象限角，则= .
7．sin2(－x)＋sin2(＋x)＝ .
8．已知sin（π－α）－cos(π＋α)＝ (＜α＜π，
求sinα－cosα与sin3（＋α）＋cos3(＋α)的值.
9．设sinα＝，cosβ＝－，且α、β不在同一象限，求sin（α＋β)的值.
10．已知cos(75°＋α)＝，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.
诱导公式（二）答案
1．B 2．B 3．B 4．A 5． 6．－sinα－cosα 7．1
8．已知sin（π－α）－cos(π＋α)＝ (＜α＜π，
求sinα－cosα与sin3（＋α）＋cos3(＋α)的值.
分析：对已知条件中的式子与所求式子先利用诱导公式化简，求得sinαcosα，进而求得sinα－cosα的值.
解：∵sin（π－α）－cos(π＋α) ＝ (＜α＜π)
∴sinα＋cosα＝
将其两边平方得：1＋2sinαcosα＝
∴sinαcosα＝－， ∵＜α＜π
∴sinα－cosα
＝＝
又sin3（＋α）＋cos3(＋α)
＝sin3［π－(－α)］＋cos3［π－(－α)］
＝sin3(－α)－cos3(－α)＝－sin3α＋cos3α
＝(cosα－sinα)(cos2α＋sinαcosα＋cos2α)
＝－·（1－)＝－
9．设sinα＝，cosβ＝－，且α、β不在同一象限，求sin（α＋β)的值.
分析：依据已知条件可得α、β满足条件的情况有：
（1）α在第一象限，β在第二象限；
（2）α在第一象限，β在第三象限；
（3）α在第二象限，β在第三象限.
解：（1）当α在第一象限，β在第三象限时，
α＝2kπ＋ (k∈Z)，β＝2nπ＋ (n∈Z)，则有：
α＋β＝2(k＋n)π＋π
sin(α＋β)＝sinπ＝
(2)当α在第一象限，β在第二象限时，α＝2kπ＋ (k∈Z)，β＝2nπ＋π(n∈Z)则有：α＋β＝2(k＋n)π＋π
sin(α＋β)＝sinπ＝sinπ＝－1
(3)当α在第二象限，β在第三象限时，α＝2kπ＋π(k∈Z)，β＝2nπ＋π(n∈Z)则有：α＋β＝2(k＋n)π＋π
sin(α+β)＝sinπ＝sin＝
综上，得sin（α+β）＝
10．已知cos(75°＋α)＝，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.
分析：依据已知条件与所求结论，寻求它们的关系（75°＋α)＋(105°－α)＝180°，结合三角函数诱导公式求得.
解：∵cos(105°－α)＝cos［180°－(75°＋α)］＝－cos(75°＋α)＝－
sin(α－105°)＝－sin［180°－(75°＋α)］＝－sin(75°＋α)
∵cos(75°＋α)＝ ＞0
又∵α为第三象限角，∴75°＋α为第四象限角
∴sin（75°＋α)＝－
＝－ eq \r(1－（）2) ＝－
∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)
＝－＋＝
- 7 -第25课时 对数函数（二）
教学目标：
使学生掌握对数函数的单调性，掌握比较同底与不同底对数大小的方法，培养学生数学应用意识；用联系的观点分析、解决问题，认识事物之间的相互转化.
教学重点：
利用对数函数单调性比较同底对数大小.
教学难点：
不同底数的对数比较大小.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节，大家学习了对数函数的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即：
当a＞1时，y＝logax在（0,+∞）上是增函数；
当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上是减函数.
这一节，我们主要学习对数函数单调性的应用.
Ⅱ.讲授新课
［例1］比较下列各组数中两个值的大小：
（1）log23.4，log28.5 (3)log0.31.8，log0.32.7 (3)loga5.1，loga5.9(a＞0，a≠1)
分析：此题主要利用对数函数的单调性比较两个同底数的对数值大小.
解：（1）考查对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log23.4＜log28.5
(2)考查对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7
［师］通过（1）、（2）的解答，大家可以试着总结两个同底数的对数比较大小的一般步骤：
（1）确定所要考查的对数函数；（2）根据对数底数判断对数函数增减性；（3）比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.
解：（3）当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上是增函数，于是loga5.1＜loga5.9
当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9
评述：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明，因此需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握.
［例2］比较下列各组中两个值的大小：
（1）log67，log76 (2)log3π，log20.8
分析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数值的大小.
解：（1）∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴log67＞log76
（2）∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴log3π＞log20.8
评述：例2仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小，例2（2）题也可与1比较.
［例3］求下列函数的定义域、值域：
⑴ y＝ eq \r(2－) ⑵ y＝log2（x2＋2x＋5）
⑶ y＝log（－x2＋4x＋5） ⑷ y＝（0＜a＜1）
解：⑴要使函数有意义，则须：
2－≥0 即：－x2－1≥－2 得－1≤x≤1
∵－1≤x≤1 ∴－1≤－x2≤0 从而 －2≤－x2－1≤－1
∴≤2≤ ∴0≤2－≤ ∴0≤y≤
∴定义域为[－1，1]，值域为[0，]
⑵∵x2＋2x＋5＝（x＋1）2＋4≥4对一切实数都恒成立
∴函数定义域为R
从而log2（x2＋2x＋5）≥log24＝2 即函数值域为[2，＋∞）
⑶要使函数有意义，则须：
－x2＋4x＋5＞0得x2－4x－5＜0解得－1＜x＜5
由－1＜x＜5 ∴在此区间内 （－x2＋4x＋5）max＝9
∴ 0≤－x2＋4x＋5≤9
从而 log（－x2＋4x＋5）≥log9＝－2 即：值域为 y≥－2
∴定义域为[－1，5]，值域为[－2，＋∞）
⑷要使函数有意义，则须：
由①：－1＜x＜0
由②：∵0＜a＜1时 则须 －x2－x≤1，x∈R
综合①②得 －1＜x＜0
当－1＜x＜0时 （－x2－x）max＝ ∴0＜－x2－x≤
∴loga（－x2－x）≥loga ∴ y≥ eq \r(loga)
∴定义域为(－1，0)，值域为[ eq \r(loga) ，＋∞）
Ⅲ.课堂练习
课本P69练习3
补充：比较下列各题中的两个值的大小
（1）log20.7，log0.8 （2）log0.30.7， log0.40.3
（3）log3.40.7，log0.60.8，（） （4）log0.30.1， log0.20.1
解：（1）考查函数y＝log2x
∵2＞1， ∴函数y＝log2x在（0，+∞）上是增函数
又0.7＜1， ∴log20.7＜log21＝0
再考查函数y＝logx
∵0＜＜1 ∴函数y＝logx在（0，+∞）上是减函数
又1＞0.8， ∴log0.8＞log1＝0
∴log20.7＜0＜log0.8 ∴log20.7＜log0.8
（2）log0.30.7＜log0.40.3
（3）log3.40.7＜log0.60.8＜（）
（4）log0.30.1＞log0.20.1
要求：学生板演，老师讲评
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并要能够逐步掌握分类讨论的思想方法.
Ⅴ.课后作业
课本P70习题 3
- 3 -§3 弧度制（1课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）理解1弧度的角及弧度的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式；（3）熟练进行角度与弧度的换算；（4）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系；（5）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
2、 过程与方法
通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。
3、 情感态度与价值观
通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。
二、教学重、难点
重点: 理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。
难点: 弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。
三、学法与教学用具
在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。
教学用具:多媒体、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在初中几何里我们学过角的度量，当时是用度做单位来度量角的．我们把周角的规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。下面我们就来学习弧度制的有关概念．(板书课题)弧度制的单位是rad，读作弧度．
【探究新知】
1．1弧度的角的定义．
(板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角(打开课件)．如图1—14(见教材)，弧AB的长等于半径r，则弧AB所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad。
在图1（课件）中，圆心角∠AOC所对的弧长l＝2r，那么∠AOC的弧度数就是2rad；圆心角∠AOD所对的弧长l＝r，那么∠AOC的弧度数就是rad；圆心角∠AOE所对的弧长为l，那么∠AOE的弧度数是多少呢？学生思考并交流，此我们可以得到弧度制的定义．
2．弧度制的定义：
一般地，(板书)正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数
是o；角α的弧度数的绝对值|α|＝，其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆
的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．
在弧度制的定义中，我们是用弧长与其半径的比值来反映弧所对的圆心角的大小的．为什么可以用这个比值来度量角的大小呢 这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系 请同学们自主学习课本P12—P13，从课本中我们可以看出，这个比值与所取的半径大小无关，只与角的大小有关。有兴趣的同学们可以对它进行理论上的证明：
(论证)如图1—13（见教材），设∠α为n°(n°＞0)的角，圆弧AB和AlBl的长分别为l和l1，点A和Al到点O的距离(即圆的半径)分别为r(r＞0)和rl(rl＞0)，由初中所学的弧长公式有l＝r，l1＝r1，所以＝＝，这表明以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，与所取的半径大小无关，只与角α的大小有关．
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．但它们既然是表示同一个角，那这二者之间就应该可以进行换算，下面我们来讨论角度与弧度的换算．
3．角度制与弧度制的换算．
现在我们知道：1个周角＝360°＝r，所以，(板书)360°＝2πrad，由此可以得到180°＝πrad，1°＝≈0．01745rad，1rad＝（）°≈57.30°＝57°18’。
说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°＝πrad这一关系式．
今后我们用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数．例如，角α＝2就表示是2rad的角，sin就表示rad的角的正弦，但用角度制表示角时，“度”或“°”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数，如45°＝rad ，不必写成45°＝0．785弧度．
前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法，而角度制与弧度制可以相互转化，所以与角α终边相同的角(连同角α在内)，也可以用弧度制来表示．但书写时要注意前后两项所采用的单位制必须一致．
角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角。
【巩固深化，发展思维】
1．例题讲评
例1．把45°化成弧度。
解：45°＝×45rad＝rad.
例2．把rad化成度。
解：rad＝×180°＝108°.
例3．利用弧度制证明扇形面积公式S＝lr，其中l是扇形的弧长，r是圆的半径。
证：∵圆心角为1的扇形的面积为·πr2，又∵弧长为l的扇形的圆心角的大小为，∴扇形的面积S＝··πr2＝lr.
2．学生课堂练习
（1）填表
度 0° 45° 60° 180° 360°
弧度
说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算．
（2）用弧度制写出终边落在y轴上和x轴上的角集合。
五、归纳整理，整体认识
（1）主要学习了弧度制的定义；角度与弧度的换算公式；特殊角的弧度数。
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业：习题1—3中的1、2、6.
七、课后反思
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1第八课时 算法案例
教学目标：
本节通过算法案例的学习，进一步理解算法的含义，掌握算法设计的常用方法.
教学重点：
如何在伪代码中运用条件语句.
教学难点：
如何在伪代码中运用条件语句.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
1.中国古代数学中算法的内容是非常丰富的，比如，中国古代数学著作《九章算术》中介绍了下述“约分术”：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”给出了求任意两个数的最大公约数的一种算法，被后人称为“更相减损术”.这种方法与欧氏的辗转相除法异曲同工，本质上是相同的.
2.中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究.秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来.研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时决定解的个数；③求出所有的解.
二分法是用计算机求解多项式方程的一种常用方法.基本思想是：如果取［a，b］的中点x0=（a+b）/2；若f(x0)=0，则x0就是方程的根，若f(a)f(x0)>0，则解在（x0，b）上，以x0代替a，否则解在（a，x0）之间，以x0代替b，重复上述步骤，直到|a－b|Ⅱ.讲授新课
例1：古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算.为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血.我国东汉的数学家刘徽利用“割圆术”计算圆的面积及圆周率π.“割圆术”被称为千古绝技，它的原理是用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积，具体计算如下：
在单位圆内作内接正六边形，其面积记为A1，边长记为a1，在此基础上作圆内接正12边形，面积记为A2，边长为a2……一直做下去，记该圆的内接正6×2n－1边形面积为An，边长为an.由于所考虑的是单位圆，计算出的An即为圆周率π的近似值，n越大，An与π越接近.
你能设计这样计算圆周率的一个算法吗？
我的思路：应首先推导出an，an－1，An，An－1的关系.如图，设PQ为圆内接正6×2n－1边形的一边，即PQ=an－1，OR为与PQ垂直的半径，R为PQ弧的平分点，显然PR=an.
a1=1，
an=PR==
=
=（n=2，3，4），
A1=6××1×=，
An=6×2n－1××|OR||PT|=3×2n－2an－1（n=2，3，4）.
通过上面两式，从a1＝1开始进行迭代，可逐步计算出an与An.由于所考虑的是单位圆，计算出的An即为圆周率π的近似值，n越大，An与π越接近.算法和流程图如下：
Begin
Read n
1←a
For I from 2 to n
A←3×2I－2×a
a←Sqrt［2－2×Sqrt［1－a2/4］］；
Print I，A，a
End for
End
流程图：
例2：有一个故事是讲唐代大官杨埙提拔官员的经过.他让两个资格职位相同的候选人解答下面这个问题，谁先答出就提拔谁.“有人在林中散步，无意中听到几个强盗在商量怎样分配抢来的布匹.若每人分6匹，就剩5匹；若每人分7匹，就差8匹.问共有强盗几个？布匹多少？”你能用一个简单算式求出强盗个数和布匹数吗？
我的思路：这个问题可看作二元一次方程组问题.问题的特点是给出两种分配方案，一种分法分不完，一种分法不够分.
中国古代的《九章算术》一书中搜集了许多这类问题，各题都有完整的解法，后人称这种算法为——“盈不足术”.
这种算法可以概括为两句口诀：有余加不足，大减小来除.
公式：（盈＋不足）÷两次所得之差＝人数，
每人所得数×人数＋盈＝物品总数，
求得强盗有（8＋5）÷（7－6）＝13（人），布匹有6×13＋5＝83（匹）.
伪代码：
Read a，b，c，d
x←（a+b）/（d－c）
y←cx+a
print x，y
流程图：
例3：由F0=1，F1=1，Fn=Fn－2+Fn－1所定义的数列｛Fn｝，称为斐波那契数列，试设计一个求数列｛｝的前100项的值的算法，画出流程图并用伪代码表示.
我的思路：数列｛Fn｝有个特点，前两个数都是1，从第3个数开始，每个数都是前两个数的和，例如：3是1和2的和；13是5和8的和等等.
此问题的算法用流程图和伪代码表示：a←1；
b←1；
n←1；
输出n，；
while n<100；
n←n+1；
c←a+b；
输出n，；
a←b；
b←c；
End while
流程图：
例4：输入两个正整数a和b（a>b），求它们的最大公约数.
解析：求两个正整数a、b（a>b）的最大公约数，可以归结为求一数列：
a，b，r1，r2，…，rn－1，rn，rn+1，0
此数列的首项与第二项是a和b，从第三项开始的各项，分别是前两项相除所得的余数，如果余数为0，它的前项rn+1即是a和b的最大公约数，这种方法叫做欧几里得辗转相除法，其算法如下：
S1　输入a，b（a>b）；
S2　求a/b的余数r；
S3　如果r≠0，则将b→a，r→b，再次求a/b的余数r，转至S2；
S4　输出最大公约数b.
伪代码如下：
10　Read a，b
20　r←mod（a，b）
30　If　r=0　then　Goto 80
40　Else
50　a←b
60　b←r
70　Goto 20
80　Print b
流程图如下：
点评：算法的多样性：对于同一个问题，可以有不同的算法.例如求1+2+3+…+100的和，可以采用如下方法：先求1+2，再加3，再加4，一直加到100，最后得到结果5050.也可以采用这样的方法：1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）=50×101=5050.显然，对于算法来说，后一种方法更简便，而循环累加更适用于计算机解题.因此，为了有效地进行解题，不仅要保证算法正确，还要选择好的算法，即方法简单、运算步骤少，能迅速得出正确结果的算法.
例5：求1734，816，1343的最大公约数.
分析：三个数的最大公约数分别是每个数的约数，因此也是任意两个数的最大公约数的约数，也就是说三个数的最大公约数是其中任意两个数的最大公约数与第三个数的最大公约数.
解：用“辗转相除法”.
先求1734和816的最大公约数，
1734=816×2+102；
816=102×8；
所以1734与816的最大公约数为102.
再求102与1343的最大公约数，
1343=102×13+17；
102=17×6.
所以1343与102的最大公约数为17，即1734，816，1343的最大公约数为17.
例6：猴子吃桃问题：有一堆桃子不知数目，猴子第一天吃掉一半，觉得不过瘾，又多吃了一只，第二天照此办法，吃掉剩下桃子的一半另加一个，天天如此，到第十天早上，猴子发现只剩一只桃子了，问这堆桃子原来有多少个？
解析：此题粗看起来有些无从着手的感觉，那么怎样开始呢？假设第一天开始时有a1只桃子，第二天有a2只……第9天有a9只，第10天有a10只.在a1，a2，…，a10中，只有a10=1是知道的，现要求a1，而我们可以看出a1，a2，…，a10之间存在一个简单的关系：
a9=2×（a10+1），
a8=2×（a9+1），
a1=2×（a2+1）.
也就是：ai=2×（ai+1+1）　i=9，8，7，6，…，1.
这就是此题的数学模型.
再考察上面从a9，a8直至a1的计算过程，这其实是一个递推过程，这种递推的方法在计算机解题中经常用到.另一方面，这九步运算从形式上完全一样，不同的只是ai的下标而已.由此，我们引入循环的处理方法，并统一用a0表示前一天的桃子数，a1表示后一天的桃子数，将算法改写如下：
S1　a1←1；｛第10天的桃子数，a1的初值｝
S2　i←9；｛计数器初值为9｝
S3　a0←2×（a1+1）；｛计算当天的桃子数｝
S4　a1←a0；｛将当天的桃子数作为下一次计算的初值｝
S5　i←i－1；
S6　若i≥1，转S3；
S7　输出a0的值；
伪代码如下：
10　a1←1
20　i←9
30　a0←2×（a1+1）
40　a1←a0.
50　i←i－1
60　If　i≥1 then Goto 30
70　Else
80　Print a0
流程图如下：
点评：这是一个从具体到抽象的过程，具体方法：
（1）弄清如果由人来做，应该采取哪些步骤；
（2）对这些步骤进行归纳整理，抽象出数学模型；
（3）对其中的重复步骤，通过使用相同变量等方式求得形式的统一，然后简练地用循环解决.
Ⅲ.课堂练习
课本P30 1，2.
Ⅳ.课时小结
算法是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则.通俗点说，就是计算机解题的过程.
1.本节通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如求两个数的最大公约数），体会算法的思想，进一步了解算法的含义.
2.本节通过阅读中国古代数学中的算法案例，如约分术，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献.通过学生自己的亲身实践，亲自去解决几个算法设计的问题，才能体会到算法的基本思想.数学的其他内容与算法密切相关，如函数、数列等.我们在学习这些内容时要和算法联系起来
Ⅴ.课后作业
课本P31 1，3.
变式练习
1.数4557、1953、5115的最大公约数是（　　）
A.31　　 B.93　　 C.217　 D.651
答案：B
2.下面的伪代码的算法目的是（　　）
10　Read x，y
20　m←x
30　n←y
40　If m/n=int（m/n） then Goto 90
50　c←m－int（m/n）×n
60　m←n
70　n←c
80　Goto 40
90　a←（x×y）/n
100 Print a
A.求x，y的最小公倍数
B.求x，y的最大公约数
C.求x被y整除的商
D.求y除以x的余数
答案：B
3.下面的伪代码的算法目的是　　　　.
Read　X，Y
If X>Y then
Print X
Else
Print Y
End if
答案：输出x，y两个值中较大的一个值
4.下面的伪代码的算法目的是　　　　.
Read　a，b，c，
If a>b then
t←a
a←b
b←t
Else if a>c then
t←a
a←c
c←t
Else if b>c then
t←b
b←c
c←b
End if
Print a，b，c
答案：输入三个数，要求由小到大的顺序输出
5.流程图填空：
输入x的值，通过函数y=求出y的值.其算法流程图如下：
答案：①x　②1≤x<10　③3x－11
6.根据下面的流程图写出其算法的伪代码.
答案：解：这是计算2+4+6+…+200的一个算法，可以用循环语句表示为
T←0
For I from 2 to 200 step 2
T←T+I
End for
7.输入一个华氏温度，要求输出摄氏温度.公式为C=（F－32）.写出其算法的伪代码.
答案：解：这是顺序结构.其伪代码如下：
Read F
C←（F－32）
Print C
8.一个小球从100 m高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半，再落下.设计一个算法，求它在第10次落地时共经过多少米？第10次反弹多高？画出流程图并用伪代码表示.
答案：解：这是一个循环结构，可以用循环语句实现.
伪代码：
S←100
H←S/2
For n from 2 to10
S←S+2×H
H←H/2
End for
Print S，H
流程图：
9.用秦九韶算法求多项式
f(x)=3x6+12x5+8x4－3.5x3+7.2x2+5x－13当x=6时的值.
答案：243168.2.
10.区间二分法是求方程近似解的常用算法，其解法步骤为
S1　取［a，b］的中点x0=（a+b）/2；
S2　若f(x0)=0，则x0就是方程的根，否则
若f(a)f(x0)>0，则a←x0；否则b←x0；
S3　若|a－b|写出用区间二分法求方程2x3－4x2+3x－6=0在区间（－10，10）之间的一个近似解（误差不超过0.001）的一个算法.
答案：解：伪代码：
10　Read a，b，c
20　x0←（a+b）/2
30　f（a）←2a3－4a2+3a－6
40　f（x0）←2x3－4x2+3x－6
50　If f（x0）=0 then Goto 120
60　If f（a）f（x0）<0 then
70　b←x0
80　Else
90　a←x0
100　End if
110　If |a－b|≥c　then Goto 20
120　Print x0
流程图：
11.求三个数390，455，546的最大公约数.
答案：13.
12.迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法.设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：
（1）选一个方程的近似根，赋给变量x0；
（2）将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0；
（3）当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算.
若方程有根，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根.试用迭代法求某个数的平方根，用流程图和伪代码表示问题的算法.
已知求平方根的迭代公式为x1=（x0+）.
答案：解：设平方根的解为x，可假定一个初值x0=a/2（估计值），根据迭代公式得到一个新的值x1，这个新值比初值x0更接近要求的值x；再以新值作为初值，即x1→x0，重新按原来的方法求x1，重复这一过程直到|x1－x0|<ε（某一给定的精度）.此时可将x0作为问题的解.
伪代码：
Read　x0，ε
Repeat
x1←（x0+a/x0）/2
r←|x1－x0|
x0←x1
Until　r<ε
Print　x0
流程图：
13.写出计算1+2!+3!+…+20!的算法的伪代码和流程图.
答案：解析：这是一个循环结构，可以用循环语句实现.
伪代码和流程图如下：
T←1
S←0
For n from 1 to 20
T←T×n
S←S+T
End for
Print S
14.未知数的个数多于方程个数的方程（组）叫做不定方程.最早提出不定方程的是我国的《九章算术》.
实际生活中有很多不定方程的例子，例如“百鸡问题”：公元五世纪末，我国古代数学家张丘建在《算经》中提出了“百鸡问题”：“鸡母一，值钱三；鸡翁一，值钱二；鸡雏二，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”
算法设计：
（1）设母鸡、公鸡、小鸡数分别为I、J、K，则应满足如下条件：I+J+K=100；3I+2J+1/2K=100.
（2）先分析一下三个变量的可能值.①I的最小值可能为零，若全部钱用来买母鸡，最多只能买33只，故I的值为0～33中的整数.②J的最小值为零，最大值为50.③K的最小值为零，最大值为100.
（3）对I、J、K三个未知数来说，I取值范围最少.为提高程序的效率，先考虑对I的值进行一一列举.
（4）在固定一个I的值的前提下，再对J值进行一一列举.
（5）对于每个I，J，怎样去寻找满足百钱买百鸡条件的K.由于I，J值已设定，便可由下式得到：K=100－I－J.
（6）这时的I，J，K是一组可能解，它只满足“百鸡”条件，还未满足“百钱”条件.是否真实解，还要看它们是否满足3I+2J+1/2K=100，满足即为所求解.
根据上述算法思想，画出流程图并用伪代码表示.
答案：解：这是一个循环结构的嵌套，可以用循环语句实现.
伪代码：
For I from 0 to 32
For J from 0 to 49
K←100－I－J
If 3I+2J+0.5K=100 then
Print I，J，K
End for
End for
流程图：
- 7 -第2课时 圆柱、圆锥、圆台和球
教学目标：
使学生掌握函数图像的画法.
教学重点：
函数图像的画法.
教学难点：
函数图像的画法.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾平面向量单元复习题（一）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下列命题正确的是 （ ）
A.单位向量都相等
B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C.若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b
D.对于任意向量a、b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
2．如图，四边形ABCD中，＝，则相等的向量是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
3．下列命题中，正确的是 （ ）
A.若|a|＝|b|，则a＝b B.若a＝b，则a与b是平行向量
C.若|a|＞|b|，则a＞b D.若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量
4．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3（a－b），则 （ ）
A.A、B、D三点共线 B.A、B、C三点共线
C.B、C、D三点共线 D.A、C、D三点共线
5．当|a|＝|b|≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是 （ ）
A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等
6．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，
，，，，，，，，中与
共线的向量有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7．若M是△ABC的重心，则下列向量中与共线的是 （ ）
A. ＋＋ B. ＋＋
C. ＋＋ D.3＋
8．已知正方形的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于（ ）
A.0 B.3 C. D.2
9．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD
为平行四边形，则 （ ）
A.a＋b＋c＋d＝0 B.a－b＋c－d＝0
C.a＋b－c－d＝0 D.a－b－c＋d＝0
10．已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
且＝a，＝b，＝c，则下列各式：①＝
c－b ②＝a＋b ③＝－a＋b ④＋＋＝0
其中正确的等式的个数为 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．如图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，
若＝a，＝b，则＝__ _____.
12．已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式
3xa＋(10－y)b＝2xb＋(4y＋4)a，则x＝_____，y＝_____.
13．设a表示“向东走4 km”，b表示“向北走3 km”，
则a＋b表示_____________.
14．a、b是给定的不共线的向量，且，则向量x＝_________，y＝________.
15．已知ABCDEF为正六边形，且＝a，＝b，则用a，b表示为___________.
16．已知四个力F1＝（－2，－1），F2＝（－3，2），F3＝（4，－3），F4作用于物体的同一点，若物体受力后保持平衡，则F4＝_____________.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，试用a、b表示和.
18．（本小题满分14分）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证＋＋＋＝4.
19．（本小题满分14分）四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，
求证：＝（＋）
20．（本小题满分15分）在△ABC中，＝，DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，试用a，b表示.
21． (本小题满分15分）对于两个向量a，b，求证：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
平面向量单元复习题（一）答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．D 2．D 3．B 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．B 10．C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．（b－a） 12．4 2 13．向东偏北arcsin方向走5 km.
14．a＋b，－a＋b 15．a－b 16．(1，2)
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，
试用a、b表示和.
【解法一】 连结CN，则AN DC
∴四边形ANCD是平行四边形.
＝－＝－b，又∵＋＋＝0
∴＝－－＝b－a
∴＝－＝＋＝－b＋a＝a－b
【解法二】 ∵＋＋＋＝0
即：a＋＋（－a）＋（－b）＝0，∴＝b－a
又∵在四边形ADMN中，有＋＋＋＝0，
即：b＋a＋＋（－a）＝0，∴＝a－b.
【评注】 比较两种解法，显然解法二更简捷.
18．（本小题满分14分）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证＋＋＋＝4.
【证明】 ∵E是对角线AC与BD的交点，∴＝＝－，＝＝－.
在△OAC中，＋＝，
同理有＋＝，＋＝，＋＝.
四式相加可得：＋＋＋＝4.
19．（本小题满分14分）四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，
求证：＝（＋）
【证法一】 ∵E、F分别为DA、BC的中点.
∴＝，＝
又∵＋＋＋＝0 ①
＋＋＋＝0 ②
①＋②，得2＋（＋）＋（＋）＋（＋）＝0
∴2＝－＋（－）＝＋
∴＝（＋）
【证法二】 连结EC，EB
∵＋＝ ①
＋＝ ②
①＋②，得2＋0＝＋
∴＝（＋）
又∵＝＋ ③
＝＋ ④
③＋④，得＝（＋＋＋），又∵＋＝0，
∴＝（＋）.
20．（本小题满分15分）在△ABC中，＝，DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，试用a，b表示.
【解】 因为M为BC的中点，所以有
＝＝（－）＝（b－a）
＝＋＝（a＋b），因为∥，∥.
根据向量共线的充要条件，存在实数λ和μ，使得
＝λ＝λ（b－a），＝μ＝μ（a＋b）
因为＝＋＝a＋λ(b－a)＝(－)a＋b
根据基本定理有 eq \b\lc\{(\a\al(－＝,＝)) ，解方程得λ＝μ＝，可得＝（b－a）.
21． (本小题满分15分）对于两个向量a，b，求证：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
【证明】 （1）若a、b中有一个为0时，不等式显然成立.
（2）若a，b都不等于0时，作＝a，＝b，
则＝a＋b.
①当a、b不共线时，如图（1）有
|||－|||＜||＜||＋|| （1）
即：||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|.
②当a、b共线时
1°若a、b同向，如图（2）有 （2）
||＝||＋||
即：|a＋b|＝|a|＋|b|.
2°若a，b反向时，如图（3）有 （3）
|||－|||＝||
即：||a|－|b||＝|a＋b|
综上可知：
||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
- 7 -第六课时 基本算法语句（二）
教学目标：
使学生能结合选择结构的流程图学习条件语句，能用条件语句编写程序.
教学重点：
如何在伪代码中运用条件语句.
教学难点：
如何在伪代码中运用条件语句.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
某百货公司为了促销，采用购物打折的优惠办法：每位顾客一次购物
（1）在1000元以上者，按九五折优惠.
（2）在2000元以上者，按九折优惠.
（3）在3000元以上者，按八五折优惠.
（4）在5000元以上者，按八折优惠.
编写程序求优惠价.
解析：设购物款数为x元，优惠价为y元，则优惠付款公式为
y=
用条件语句表示为：
Read x
If x<1000 then
y=x
Else
If x<2000 then
y=0.95x
Else
If x<3000 then
y=0.9x
Else
If x<5000 then
y=0.85x
Else
y=0.8x
End if
Print y
点评：在准确理解算法的基础上，学会条件语句的使用.
Ⅱ.讲授新课
例1：写出下面流程图所表述的算法的功能并用伪代码表示.
答案：解：输出两个不同的数中小的一个数.用伪代码表示为
Begin
Read a，b
If a>b then
Print b
Else
Print a
End if
End
例2：某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算；每月用电超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过部分每度按0.50元计算.问：如何设计一个计算应交电费的算法？
答案：解：设月用电x度时，应交电费y元，当x≤100和x＞100时，写出y关于x的函数关系式为
y=
所以，计算应交电费的算法可以用伪代码表示为
Begin
Read x
If x≤100 then
y←0.57x
Else
y←57+0.5（x－100）
End if
Print y
End
例3：试用条件语句描述计算应纳税所得额的算法过程，其算法如下：
S1　输入工资x（x≤5000）；
S2　如果x≤800，那么y=0；
如果800＜x≤1300，那么y=0.05（x－800）；
如果1300＜x≤2800，
那么y=25＋0.1（x－1300），
否则y=175＋0.15（x－2800）；
S3　输出税收y，结束.
答案：解：这个算法用条件语句描述为
Begin
Read x
If x≤800 then
y←0
Else if 800y←0.05（x－800）
Else if 1300y←25＋0.1（x－1300）
Else
y←175＋0.15（x－2800）
End if
Print y
End
例4：在水果产地批发水果，100 kg为批发起点，每100 kg 40元；100 kg至1000 kg 8折优惠；1000 kg至5000 kg，超过1000 kg部分7折优惠；5000 kg至10000 kg，超过5000 kg的部分6折优惠；超过10000 kg，超过部分5折优惠.请写出销售金额y与销售量x之间的函数关系，并用伪代码表示计算销售金额的算法.
答案：y=
这个算法用条件语句描述为
Begin
Read x
If 100y←0.32x
Else if 1000y←0.28x+40
Else if 5000y←0.24x+240
Else
y←0.2x+640
End if
Print y
End
Ⅲ.课堂练习
课本P20 1，2，3.
Ⅳ.课时小结
算法中的选择结构可以用条件语句实现.
if选择结构： 　　　if/else选择结构：
　　　　　　　　　　　　　
Ⅴ.课后作业
课本P24 3，4.
- 1 -1.3.1 三角函数的周期性
一、课题：三角函数的周期性
二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；
2.会求正、余弦函数的最小正周期。
三、教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。
四、教学过程：
（一）引入：
1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：
自变量
函数值
正弦函数性质如下：
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当增加（）时，总有．
也即：（1）当自变量增加时，正弦函数的值又重复出现；
（2）对于定义域内的任意，恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
（二）新课讲解：
1．周期函数的定义
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
说明：（1）必须是常数，且不为零；
（2）对周期函数来说必须对定义域内的任意都成立。
【思考】
（1）对于函数，有，能否说是它的周期？
（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且）
（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？
（是，其原因为：）
2．最小正周期的定义
对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期。
说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；
（2）从图象上可以看出，；，的最小正周期为；
（3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （没有最小正周期）
3．例题分析：
例1：求下列函数周期：
（1），；
（2），；
（3），．
解：（1）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
（2）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
（3）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中 为常数，且，）的周期；
（2）若，例如：①，；②，；
③，．
则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数及函数，的周期．
例2：求下列函数的周期：
（1）； （2）；
（3）； （4）； （5）．
解：（1），∴周期为；
（2），∴周期为；
（3） ∴周期为；
（4），∴周期为；
（5），∴周期为．
说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为的形式，再利用公式进行求解。
五、课堂练习：求下列函数的周期：
（1），； （2），； （3），；
（4），；（5），；（6），．
六、小结：1.周期函数、最小正周期的定义 2. 型函数的周期的求法。
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- 2 -第13课时 直线与平面平行的判定和性质（一）
教学目标：
使学生理解直线与平面平行的定义，了解直线与平面的位置关系，能够正确画出直线与平面各种位置关系的图形，理解并掌握直线与平面平行的判定定理，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力，通过运用化归与转化的数学思想方法，实现空间和平面的转换，使问题得以解决，提高学生分析问题和解决问题的能力；培养学生逻辑思维能力的同时，养成学生办事仔细认真的习惯、实事求是的精神.
教学重点：
直线和平面平行的判定定理及应用.
教学难点：
直线和平面平行的判定定理的反证法证明.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］上节课我们讨论了异面直线的证明，证明两条直线为异面直线常用的方法是反证法，同学们回忆一下，反证法证题的步骤是什么？
［生］反证法证题三步曲.
第一步假设结论的反面成立；
第二步在假设的前提下，按照正确的推理，推出矛盾；
第三步否定假设，肯定结论.
［师］好！三步曲中关键的一步是(学生接后音)
［生］第二步，对推出矛盾要认真分析，不能盲目乱推.
［师］很好！反证法是非常重要的一种证题方法.关于唯一的问题、关于无限的问题、关于否定形式的题目、关于结论以至多至少形式出现的题目、关于结论的反面较结论更明确、更具体、更简单的题目、关于异面直线的证明，都常用反证法来证.请同学们务必掌握这种证明方法.前面我们研究了两条直线的位置关系；相交、平行、异面，那么直线与平面的位置关系是怎样的呢？从这节课开始，我们就来研究这个问题.(板书课题)
Ⅱ.指导自学
［师］课下同学们已对直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定进行了预习，现在大家再把这部分内容快速浏览一遍，对照老师列下的预习提纲，把不清楚的地方提出来.
(生再看课本)
［师］直线与平面平行的定义是什么？
［生］如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行(学生回答，教师板书：直线和平面没有公共点叫做直线和平面平行)
［师］应该注意：这里所说的直线是向两方无限伸展的，平面是向四周无限扩展的.
［师］直线与平面的位置关系有几种？
［生］直线与平面的位置关系有三种：
①直线在平面内——有无数个公共点
②直线与平面相交——有且只有一个公共点
③直线与平面平行——没有公共点
［师］我们把直线与平面相交或直线与平面平行的情况统称为直线在平面外.今后凡谈到直线在平面外，则有两种情形：直线与平面相交，直线与平面平行.
［师］直线与平面的三种位置关系的图形语言、符号语言各是怎样的？谁来画图表示一下和书写一下.
［生］(上讲台在黑板上画图)
直线a在面α内的
图形语言是
符号语言是aα.
直线a与面α相交的图形语言是
符号语言是a∩α＝A.
直线a与面α平行的图形语言是
符号语言是a∥α.
［师］好.应该注意：画直线在平面内时，要把直线画在表示平面的平行四边形内；画直线在平面外时，应把直线或它的一部分画在表示平面的平行四边形外.
［生］请问老师.直线a与平面α平行，按照其特征，符号语言能不能表示为a∩α＝.
［师］能！从理论上讲，这样表示完全正确.但习惯上直线a与平面α平行常用a∥α表示.
［师］直线a在平面α外，是不是能够断定a∥α呢？
［生］不能！直线a在平面α外包含两种情形：一是a与α相交，二是a与α平行，因此，由直线a在平面α外，不能断定a∥α.
［师］直线与平面平行的判定定理是什么？
［生］如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
［师］(学生回答后，将此判定定理板书)回答得好！大家仔细分析一下，判定定理告诉我们直线与平面平行应具备几个条件？
［生］三个，分别是平面外的一条直线，这个平面内的一条直线，两直线平行.
［师］完整了吗？还有没有补充？
(教师这样一问，同学觉得似乎漏了点什么，再细观察、分析，发现没有什么补充)
［生］没有补充，完整啦！
［师］所述的三个条件，有没有哪一个是多余的？
［生］没有多余的.
［师］直线与平面平行应具备三个条件，三个条件缺一不可！谁来把这个判定定理用符号语言表达出来？
［生］(一位同学主动地到讲台上板书)
a∥α
［师］正确！这个判定定理可以简述为“线线平行则线面平行”，不过要注意，前面的线线位置有区别.
［生］一条在平面外，一条在平面内.
［师］很好！关于定理的证明，大家也进行了预习，对于证明过程有什么不清楚的地方吗？
(学生或许由于能看懂而不提什么，稍停片刻，突然一位学生冒出一个问题)
［生］请问老师，定理证明过程中，怎样突然用起了反证法，这究竟是一种什么证法？
［师］定理的证明实质上用的就是反证法，不过假设结论的反面成立，不是一开始，而是到了推理的一定程度，在运用反证法证题时，这样的做法也不是罕见的.
［生］为什么不开始就假设结论的反面成立呢？
［师］不存在为什么.一开始就假设结论的反面成立也行.证明这个定理，方法不是唯一的，课本上给出的证法，告诉了我们运用反证法证题的又一种格式.大家可以尽情的展开想象的翅膀，从不同角度，运用不同方法来证明.
［生］假设直线a与平面α有公共点P，那么P∈b或Pb.若P∈b，则a∩b=P，这与a∥b矛盾.若Pb，则a、b是异面直线，这与a∥b也矛盾，所以假设错误，因而a∥α.
［师］若点Pb，则a、b是异面直线，为什么？
［生］从图形上看出来的.
［师］图形上观察到的，只能帮助我们分析问题，而不能作为推理的依据.这点大家学了平面几何，还不清楚吗？
［生］由上节课的例题知道的.
［师］例题的结论一段不能作为推理的依据.上节课的例1在旧教材中，是异面直线的判定定理，用上也可，但要注意表述方法，因为现行教材中没有把它作为定理，所以用的时候，表述要完整、清楚.
［生甲］老师，这样证行不行，因为aα，所以a与α相交或a∥α，再证明a与α不相交不就行了吗？
［师］继续讲下去！
［生甲］若a与α相交，设交点为P，则P∈b或Pb.若P∈b，则a∩b=P.这与a∥b矛盾(至此，该生不再继续讲下去了，他已意识到这与刚刚讨论的到一块了).
［生丙］也可以在假设a与α有公共点P之后，这样做：则P∈α，因a∥b，所以Pb，过P在面α再作一条直线c，使c∥b，则a∥c，这与a∩c=P矛盾，所以假设错误，从而肯定结论.
［师］很好.生丙同学的想法是又一种引出矛盾的思路.
［生乙］也可以直接证明a与α没有公共点，因为a∥b，所以a、b确定一个平面，设为β，则bβ，aβ，因为aα，aβ，所以α、β不是同一个平面，因为bβ、bα，所以α∩β＝b.因为a∥b，所以a与b没有公共点，进一步得到a与α没有公共点，所以a∥α.
［师］请详细说一下a与b没有公共点，怎样就能得到a与α没有公共点.
［生乙］因为α∩β＝b，aβ，如果a与α有公共点，这个公共点必在b上，这样a就与b相交，与已知矛盾，所以a与α没有公共点.
［师］生乙同学的解释大家明白了吗？他从a与b没有公共点，得到a与α没有公共点，实质上仍然是反证了一下，对吗？(生表示赞同).下面同学们把定理的证明整理一下(可让学生把不同的证法板书于黑板上)
证法一：∵a∥b，
∴a、b确定一个平面，设为β. ∴aβ，bβ
∵aα，aβ ∴α和β是两个不同平面.
∵bα且bβ ∴α∩β＝b
假设a与α有公共点P
则P∈α∩β＝b，即点P是a与b的公共点，这与已知a∥b矛盾
∴假设错误，故a∥α.
证法二：假设直线a与平面α有公共点P 则点P∈b或点Pb
若点P∈b，则a∩b＝P，这与a∥b矛盾.
若点Pb，又bα，a∩α＝P
由于与平面相交的直线和这个平面内不过交点的直线是异面直线
∴a、b异面，这与a∥b也矛盾
综上所述，假设错误，故a∥α.
证法三：假设a∩α＝P. ∵a∥b， ∴Pb
在面α内过P作c∥b
则c∥a，这与a∩c＝P矛盾.
∴假设错误，故a∥α.
证法四：∵a∥b，
∴a、b确定一个平面，设为β
∴aβ，bβ ∵aα，aβ
∴α、β是两个不同的平面
∵bα，又bβ ∴α∩β＝b
∵a与b没有公共点 ∴a与α没有公共点
(若有公共点，公共点必在b上，则与a∥b矛盾).
∴a∥α.
［师］上面同学们对定理的证明给出了四种证法.四种证明方法都是正确的.比较一下这几种证法，第三种比较简便，第四种证法虽然看起来也不复杂，且是直接证法，但其实质与证法一类同，第二种证法较繁.
［师］有了直线与平面平行的判定定理，我们便可以很方便地推证直线与平面的平行，但要注意，应用这个定理时，三个条件缺一不可.下面我们来看一个例子.
例：求证空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面.
已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.
求证：EF∥面BCD.
分析：EF在面BCD外，要证明EF∥面BCD.只要证明
EF与面BCD内一条直线平行即可.EF与面BCD内哪一条直线
平行呢？连结BD立刻就清楚了.
证明：连结BD
EF∥面BCD
Ⅲ.课堂练习
课本P32练习1、2.
Ⅳ.课时小结
本节课我们学习了直线与平面的位置关系；直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.三种位置关系的特征分别是：直线在平面内——有无数个公共点、直线与平面相交——有且只有一个公共点、直线与平面平行——没有公共点，需要注意的是直线在平面外包含直线与平面相交、平行两种情形，同学们一定要记好了，即直线不在平面内，我们就说直线在平面外.关于直线与平面平行的判定定理，可以简记为“线线平行则线面平行”，要注意前面的线线：一条在平面外，一条在平面内.有了这个判定定理，我们可以很方便地判定直线是否与平面平行，但必须切记：三个条件缺一不可.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P37习题 1、2、3、4.
(二)1.预习课本P31直线和平面平行的性质定理.
2.预习提纲
(1)直线和平面平行的性质定理是什么？
(2)直线和平面平行的性质定理用符号语言怎样表示？
(3)定理证明中所谈到平面β是怎样的平面？这样的平面有几个？
思考与练习
一、选择题
1.a、b两直线平行于平面α，那么a、b的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.可能平行、可能相交、可能异面
答案：D
2.直线a∥b，bα，则a与α的位置关系是( )
A.a∥α B.a与α相交 C.a与α不相交 D.aα
答案：C
3.直线m与平面α平行的充分条件是( )
A.nα、m∥n
B.mα、nα、m∥n
C.nα，l∥α，m∥n、m∥l
D.nα，M∈m、P∈m、N∈n、Q∈n且MN＝PQ
答案：B
4.在以下的四个命题中，其中正确的是( )
①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行 ②直线上有两点到平面的距离相等(距离不为零)，则直线与平面平行 ③直线与平面内的任一条直线不相交，则直线与平面平行 ④直线与平面内无数条直线不相交，则直线与平面平行
A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④
答案：B
二、填空题
1.过直线外一点，与这条直线平行的直线有_________条，过直线外一点，与这条直线平行的平面有_________个. 答案：1 无数
2.过两条异面直线中的一条可作_________个平面与另一条平行. 答案：1
3.过平面外一点，与这个平面平行的直线有_________条. 答案：无数
4.P是两条异面直线a、b外一点，过点P可作_________个平面与a、b都平行. 答案：1
三、解答题
1.在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法的理由.
画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于E，过点M在
面PBC内作MF∥BC交PB于F，连结E、F，则平面MNEF为
所求，其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线.
BC∥平面MNEF.
2.已知：AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点.
求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG.
证明：连结AC、BD、EF、FG、EG.
在△ABC中，
∵E、F分别是AB、BC的中点
∴AC∥EF
又EF面EFG，AC面EFG
∴AC∥面EFG
同理可证BD∥面EFG.
- 6 -数列单元复习题（一）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．在正整数100至500之间能被11整除的个数为 （ ）
A.34 B.35 C.36 D.37
2．在数列{an}中，a1＝1，an+1＝an2－1(n≥1)，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5等于 （ ）
A.－1 B.1 C.0 D.2
3．{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9的值是 （ ）
A.24 B.27 C.30 D.33
4．设函数f(x)满足f(n＋1)＝ (n∈N*)且f(1)＝2，则f(20)为 （ ）
A.95 B.97 C.105 D.192
5．等差数列{an}中，已知a1＝－6，an＝0，公差d∈N*，则n(n≥3)的最大值为 （ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
6．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第几项的和最大 （ ）
A.第10项 B.第11项 C.第10项或11项 D.第12项
7．已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7＝－12，a4＋a6＝－4，则S20为 （ ）
A.180 B.－180 C.90 D.－90
8．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为 （ ）
A.9 B.10 C.19 D.29
9．由公差为d的等差数列a1、a2、a3…重新组成的数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…是（ ）
A.公差为d的等差数列 B.公差为2d的等差数列
C.公差为3d的等差数列 D.非等差数列
10．在等差数列{an}中，若S9＝18，Sn＝240，an－4＝30，则n的值为 （ ）
A.14 B.15 C.16 D.17
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11．已知f(n＋1)＝f(n)－(n∈N*)且f(2)＝2，则f(101)＝_______.
12．在首项为31，公差为－4的等差数列中，与零最接近的项是_______.
13．在等差数列{an}中，已知S100＝10，S10＝100，则S110＝_________.
14．在－9和3之间插入n个数，使这n＋2个数组成和为－21的等差数列，则n＝_____.
15．等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第_________项.
16．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝_______.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.
(1)求通项an；(2)求此数列前30项的绝对值的和.
18．（本小题满分14分）在等差数列{an}中，若a1＝25且S9＝S17，求数列前多少项和最大.
19．（本小题满分14分）数列通项公式为an＝n2－5n＋4，问
（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值.
20．（本小题满分15分）甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后，几分钟相遇；（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
21．（本小题满分15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求证：{}是等差数列；（2）求an表达式；
（3）若bn＝2(1－n)an(n≥2)，求证：b22＋b32＋…＋bn2<1.
数列单元复习题（一）答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．C 7．A 8．B 9．B 10．B
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11．－ 12．－1 13．－110 14．5 15．6 16．9
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.
(1)求通项an；(2)求此数列前30项的绝对值的和.
考查等差数列的通项及求和.
【解】 （1）a17＝a1＋16d，即－12＝－60＋16d，∴d＝3
∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63.
(2)由an≤0，则3n－63≤0n≤21，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a21)＋(a22＋a23＋…＋a30)
＝(3＋6＋9＋…＋60）＋（3＋6＋…＋27）＝×20＋×9＝765.
18．（本小题满分14分）在等差数列{an}中，若a1＝25且S9＝S17，求数列前多少项和最大.
考查等差数列的前n项和公式的应用.
【解】 ∵S9＝S17，a1＝25，∴9×25＋d＝17×25＋d
解得d＝－2，∴Sn＝25n＋ (－2)＝－(n－13)2＋169.
由二次函数性质，故前13项和最大.
注：本题还有多种解法.这里仅再列一种.由d＝－2，数列an为递减数列.
an＝25＋(n－1)(－2)≥0，即n≤13.5
∴数列前13项和最大.
19．（本小题满分14分）数列通项公式为an＝n2－5n＋4，问
（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值.
考查数列通项及二次函数性质.
【解】 （1）由an为负数，得n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N*，故n＝2或3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项.
（2）∵an＝n2－5n＋4＝(n－)2－，∴对称轴为n＝＝2.5
又∵n∈N*，故当n＝2或n＝3时，an有最小值，最小值为22－5×2＋4＝－2.
20．（本小题满分15分）甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后，几分钟相遇；（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
考查等差数列求和及分析解决问题的能力.
【解】 （1）设n分钟后第1次相遇，依题意得2n＋＋5n＝70
整理得：n2＋13n－140＝0，解得：n＝7，n＝－20(舍去）
∴第1次相遇在开始运动后7分钟.
（2）设n分钟后第2次相遇，依题意有：2n＋＋5n＝3×70
整理得：n2＋13n－6×70＝0，解得：n＝15或n＝－28(舍去）
第2次相遇在开始运动后15分钟.
21．（本小题满分15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求证：{}是等差数列；（2）求an表达式；
（3）若bn＝2(1－n)an(n≥2)，求证：b22＋b32＋…＋bn2<1.
考查数列求和及分析解决问题的能力.
【解】 （1）∵－an＝2SnSn－1，∴－Sn＋Sn－1＝2SnSn－1(n≥2)
Sn≠0，∴－＝2，又＝＝2
∴{}是以2为首项，公差为2的等差数列.
（2）由（1）＝2＋(n－1)2＝2n，∴Sn＝
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－
n＝1时，a1＝S1＝，∴an＝ eq \b\lc\{(\a\al( （n＝1）,－（n≥2）))
(3)由（2）知bn＝2(1－n)an＝
∴b22＋b32＋…＋bn2＝＋＋…＋<＋＋…＋
＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－<1.
- 6 -第一课时 角的概念的推广(一)
教学目标：
推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法；理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.
教学重点：
理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.
教学难点：
终边相同的角的表示.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
有一块以点O为圆心的半圆空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B、C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A、D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大
分析：设OA＝t（0＜t＜a)，矩形的面积为S，则S＝２t，求S的最值即可.
将S＝2t两边平方，得S2＝4t2（a2－t2）.令y＝S2，x＝t2，则上式化为y＝4x（a2－x）， 是以x为自变量的二次函数，其最值不难求得.
这种转化的方法，是一种常用的解题策略，同学们要切记并灵活运用，且将此问题的解求出来，不过请同学们注意，求出的y的最值是不是就是矩形面积的最值呢？相应的x的值是不是就是A、D的位置呢
不是.求出y与x的值后，还须进一步确定S、t的值，才能确定A、D的位置.因为y、x、S、t都是正数，根据y与S的关系、x与t的关系，容易确定S、t的值.
分析二：设矩形的面积为S，∠AOB＝θ（0°＜θ＜90°），则AB＝asinθ，
OA＝acosθ，S＝asinθ·2acosθ＝a2·2sinθcosθ.求S的最值即可.
这个函数式的最值我们会求!但现在还不行，待我们再学习一些基础知识之后，这个问题便可迎刃而解，并且这个办法比法一要简便的多，下面我们就来学习、研究与我们生活密切相关的、解决问题十分便利的、并且在各门科学技术中有着广泛应用的重要的基础知识(板书课题).
Ⅱ.讲授新课
我们知道，角可以看作平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，在P5图中，一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，形成了一个角α，点O是角的顶点，射线OA、OB分别是角α的始边和终边.
我们规定：一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.
为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”.
体操中转体720°(即转体两周).转体1080°(即转体三周)的动作名称；紧固螺丝时，扳手旋转所形成的角.
［师］这就是说角度可以不限于0°～３60°范围内，如750°(它实际上是射线OA绕端点O逆时针转过两圈再继续逆时针转了30°)；210°(射线OA绕端点O逆时针旋转了210°)，负角β＝－150°(射线OA绕端点O顺时针旋转了150°)，γ＝－660°(射线OA绕端点O顺时针转过一圈后再继续顺时针转了300°).
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角，也就是说，零角的始边与终边重合，如果α是零角，那么α＝0°.
角的概念经过这样推广后，就包括正角、负角、零角.
今后，我们常在直角坐标系内讨论角，为此，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
例如30°、390°、－330°都是第一象限角， 300°、－60°都是第四象限角，585°角是第三象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限，称为轴线角.
在直角坐标系内，使三角板角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，之后，提问学生这是第几象限的角，是多少度的角，我们能否把这些角用一个集合表示出来呢 比如说，我们把这些角记为β，把β的集合记为S，那么S可以怎样表示呢
S＝｛β｜β＝k·360°＋60°，k∈Z｝
容易看出，所有与60°角终边相同的角，连同60°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素，即集合S中的任意一个角显然与60°角终边相同.
我们再来考虑一下，是不是任意一个角，都与0°到360°内的某一个角终边相同呢
任意一个角都可以表示成0°到360°间的某一角与k（k∈Z）个周角的和，那么大家再看一下，角390°、－330°、585°、－60°它们分别与0°到360°间的哪个角终边相同，用0°到360°的角表示它们该怎样表示呢
［生］390°＝360°＋30°
－330°＝－360°＋30°
585°＝360°＋225°
－60°＝－360°＋300°
［师］一般地，我们有：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可构成一个集合
S＝｛β｜β＝k·360°＋α，k∈Z｝
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和.
Ⅲ.例题分析
［例1］在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.
(1)－120° （2）240° （3）－950°12′
解：(1)－120°＝－360°＋240°
所以与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限角.
(2)640°＝360°＋280°
所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角.
(3)－950°12′＝（－3）×360°＋129°48′
所以与－950°12′终边相同的角是129°48′，它是第二象限角.
Ⅳ.课堂练习
P7练习 1、2、3、4.
Ⅴ.课时小结
为了解决实际问题的需要，本节课我们开始学习数学学科中的一门基础知识：三角函数.本节课我们学习推广了角的概念，学习了正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法，注意：正角、负角是用射线绕端点的旋转方向定义的，零角是射线没有做任何旋转.一个角是第几象限角，关键是看这个角的终边落在第几象限，终边相同的角的表示有两方面的内容：
一、与角α终边相同的角，这些角的集合为S＝｛β｜β＝k·360°＋α，k∈Z｝；
二、在0°到360°内找与已知角终边相同的角α，其方法是，用所给角除以360°，所得的商为k，余数为α(α为正数)，α即为所找的角.
Ⅵ.课后作业
（一）P10习题1.1 1、2、5、10.
（二）预习内容：课本P6例2
角的概念的推广(一)
1．下列命题中的真命题是 （ ）
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.第一象限的角是锐角
C.第二象限的角比第一象限的角大 D.角α是第四象限角2kπ－＜α＜2π(k∈Z)
2．A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限的角}，则A∩B等于 （ ）
A.{小于90°的角} B.{第一象限的角}
C.{锐角} D.以上都不对
3．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，下列四个命题：①A＝B＝C ②AC ③CA ④A∩C＝B，其中正确的命题个数为 （ ）
A.0个 B.2个 C.3个 D.4个
4．若α是第一象限角，则下列各角中第四象限角的是 （ ）
A.90°－α B.90°+α C.360°－α D.180°+α
5．若－540°＜α＜－180°且α与40°角的终边相同，则α＝ .
6．终边落在x轴负半轴的角α的集合为 .
7．与－1178°的终边相同且绝对值最小的角是 .
8．经过5小时25分钟，时钟的时针和分针各转了多少度？
9．求－720°和360°之间与－756°角终边相同的角.
10．求与－1692°终边相同的最大负角是多少？
角的概念的推广(一)答案
1．D 2．D 3．A 4．C 5．－320° 6．180°＋ k·360°（k∈Z） 7．－98°
8．分析：依据已知条件先求出时针和分针每小时转动的角度，进而求出问题的结果.
解：∵时针12小时转－360°，
∴时针每小时转－360°÷12＝－30°.
∴时针转动的角度为：5·（－30°)＝－162.5°，
∵分针每小时转－360°，∴分针转动的角度为
5·（－360°)＝－1950°
9．分析：依据已知条件先写出终边相同的角的一般形式，再通过解不等式求出k的值.
解：∵－765°＝－2×360°－36°
∴与－765°角终边相同的角为
α＝k·360°－36°（k∈Z)(*)
∴－720°＜k·360°－36°＜360°（k∈Z）.
∴－＜k＜ (k∈Z）
∴k＝－1，0，1
分别代入（*）式得
α＝－396°，－36°，324°
∴－396°，－36°，324°为所求的角.
10．与－1692°终边相同的角为α＝－1692°+k·360°，k∈Z，当k＝4时，
取得最大负角－252°.
- 5 -第五章检测题
一、选择题：
1.a与b是非零向量，下列结论正确的是
A．|a|＋|b|＝|a＋b| B．|a|－|b|＝|a－b|
C．|a|＋|b|＞|a＋b| D．|a|＋|b|≥|a＋b|
解析：在三角形中，两边之和大于第三边，当a与b同向时，取“＝”号.
答案：D
2.在四边形ABCD中，，且||＝||，那么四边形ABCD为
A．平行四边形 B．菱形
C．长方形 D．正方形
解析：由＝可得四边形ABCD是平行四边形，由||＝||得四边形ABCD的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形.
答案：B
3.已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（3，4）、（－1，3），则第四个顶点D的坐标为
A．（2，2） B．（－6，0）
C．（4，6） D．（－4，2）
解析：设D（x，y），则＝（5，3），＝（－1－x，3－y），
＝（x＋2，y－1），＝（－4，－1）.
又∵∥，∥，
∴5（3－y）＋3（1＋x）＝0，－（x＋2）＋4（y－1）＝0，
解得x＝－6，y＝0.
答案：B
4.有下列命题：①＝0；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c；③若a＝（m，4），则|a|＝的充要条件是m＝；④若的起点为A（2，1），终点为B（－2，4），则与x轴正向所夹角的余弦值是.其中正确命题的序号是
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
解析：∵，∴①错.
②是数量积的分配律，正确.
当m＝－时，|a|也等于，∴③错.
在④中，＝（4，－3）与x轴正向夹角的余弦值是，故④正确.
答案：C
5.已知a＝（－2，5），|b|＝2|a|，若b与a反向，则b等于
A．（－1，） B．（1，－）
C．（－4，10） D．（4，－10）
解析：b＝－2a＝（4，－10），选D.
答案：D
6.已知|a|＝8，e是单位向量，当它们之间的夹角为时，a在e方向上的投影为
A．4 B．4 C．4 D．8＋2
解析：由两个向量数量积的几何意义可知：a在e方向上的投影即：
a·e＝|a||e|cos＝8×1×＝4.
答案：B
7.若|a|＝|b|＝1，a⊥b且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则k的值为
A．－6 B．6 C．3 D．－3
解析：∵a⊥b
∴a·b＝0
又∵（2a＋3b）⊥（ka－4 b）
∴（2a＋3b）·（ka－4 b）＝0
得2ka2－12b2＝0又a2=|a|2=1，b2=|b|2=1
解得k＝6.
答案：B
8.已知a＝（3，4），b⊥a，且b的起点为（1，2），终点为（x，3x），则b等于
A．（－） B．（－）
C．（－） D．（）
解析：b＝（x－1，3x－2）
∵a⊥b，∴a·b＝0
即3（x－1）＋4（3x－2）＝0，
解得x＝.
答案：C
9.等边△ABC的边长为1，＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于
A．0 B．1 C．－ D．－
解析：由已知|a|＝|b|＝|c|＝1，
∴a·b＋b·c＋c·a
＝cos120°＋cos120°＋cos120°＝－.
答案：D
10.把函数y＝的图象按a＝（－1，2）平移到F′，则F′的函数解析式为
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析：把函数y＝的图象按a＝（－1，2）平移到F′，则F′的函数解析式为A，即按图象向左平移1个单位，用（x＋1）换掉x，再把图象向上平移2个单位，用（y－2）换掉y，可得y－2＝.
整理得y＝
答案：A
11.已知向量e1、e2不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，若a与b共线，则k等于（ ）
A．±1 B．1 C．－1 D．0
解析：∵a与b共线
∴a＝λb（λ∈R），
即ke1＋e2＝λ（e1＋ke2），
∴（k－λ）e1＋（1－λk）e2＝0
∵e1、e2不共线.
∴
解得k＝±1，故选A.
答案：A
12.已知a、b均为非零向量，则|a＋b|＝|a－b|是a⊥b的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
解析：|a＋b|＝| a－b|（a＋b）2＝（a－b）2a·b＝0a⊥b.
答案：C
二、填空题
13.如图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，＝a，＝b，则＝ .
解析：＝b－a，
∴＝（b－a）.
答案：（b－a）
14.a、b、a－b的数值分别为2，3，，则a与b的夹角为 .
解析：∵（a－b）2＝7
∴a2－2a·b＋b 2＝7
∴a·b＝3
∴cosθ＝
∴θ＝.
答案：
15.把函数y＝－2x2的图象按a平移，得到y＝－2x2－4x－1的图象，则a＝ .
解析：y＝－2x2－4x－1＝－2（x＋1）2＋1
∴y－1＝－2（x＋1）2
即原函数图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，∴a＝（－1，1）.
答案：（－1，1）
16.已知向量a、b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b||a－b|的值是 .
解析：∵a·b＝|a||b|cos＝2×1×＝1
∴|a+b|2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×1＋12＝7，
|a－b|2＝a2－2 a·b＋b2＝22－2×1＋1＝3
∴|a＋b|2|a－b |2＝3×7＝21
∴|a＋b||a－b |＝.
答案：
三、解答题：
17.（本小题满分10分）
已知A（4，1），B（1，－），C（x，－），若A、B、C共线，求x.
解：∵＝（－3，－），＝（x－1，－1）
又∵∥
∴根据两向量共线的充要条件得－（x－1）＝3
解得x＝－1.
18.（本小题满分12分）
已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－b，c⊥d，求m的值.
解：a·b＝|a||b|cos60°＝3
∵c⊥d，∴c·d＝0
即（3a＋5b）（ma－b）＝0
∴3ma2＋（5m－3）a·b－5b2＝0
∴27m＋3（5m－3）－20＝0
解得m＝.
19.（本小题满分12分）
已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
解：由已知，（a＋3b）·（7 a－5b）＝0，
（a－4b）·（7a－2 b）＝0，
即7a2＋16a·b－15 b 2＝0 ①
7a－30a·b＋8 b 2＝0 ②
①－②得2a·b＝b2
代入①式得a2＝b2
∴cosθ＝，
故a与b的夹角为60°.
20.（本小题满分12分）
已知：在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AB上的中线CD＝m，求证：a2＋b2＝c2＋2m2.
证明：∵，
两式平方相加可得
a2＋b2＝c2＋2m2＋2（·＋·）
∵·＋·
＝||||·cosBDC＋||||cosCDA＝0
∴a2＋b2＝c2＋2m2.
21.（本小题满分14分）
设i、j分别是直角坐标系x轴、y轴上的单位向量，若在同一直线上有三点A、B、C，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，⊥，求实数m、n的值.
解：∵⊥，
∴－2n＋m＝0 ①
∵A、B、C在同一直线上，
∴存在实数λ使＝λ，
＝－＝7i＋［－（m＋1）j］
＝－＝（n＋2）i＋（1－m）j，
∴7＝λ（n＋2）
m＋1＝λ（m－1）
消去λ得mn－5m＋n＋9＝0 ②
由①得m＝2n代入②解得
m＝6，n＝3；或m＝3，n＝.
22.（本小题满分14分）
如图，△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c，A为圆心，直径PQ＝2ｒ，问：当P、Q取什么位置时，·有最大值
解：·＝（）·（）
＝（）·（－）
＝－r2＋··
设∠BAC＝α，PA的延长线与BC的延长线相交于D，∠PDB＝θ，则
·＝－r2＋cbcosθ＋racosθ
∵a、b、c、α、r均为定值，
∴当cosθ＝1，即AP∥BC时，·有最大值.第20课时 指数函数（三）
教学目标：
使学生了解函数图象的变换；能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题，培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
教学重点：
函数图象的变换；指数函数性质的运用
教学难点：
函数图象的变换；指数函数性质的运用
教学过程：
教学目标
(一)教学知识点
1.指数形式的复合函数.
2.指数形式复合函数的单调性.
3.指数形式复合函数的奇偶性.
(二)能力训练要求
1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法.
2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法.
3.培养学生的数学应用意识.
(三)德育渗透目标
1.认识从特殊到一般的研究方法.
2.用联系的观点看问题.
3.了解数学在生产实际中的应用.
●教学重点
1.函数单调性的证明通法.
2.函数奇偶性的证明通法.
●教学难点
指数函数的性质应用.
●教学方法
启发式
启发学生运用证明函数单调性的基本步骤对指数形式的复合函数的单调性进行证明，但应在变形这一关键步骤帮助学生总结、归纳有关指数形式的函数变形技巧，以利于下一步的判断.
在运用证明函数奇偶性的基本步骤对指数形式的复合函数的奇偶性证明时，应提醒学生考查函数的定义域是否关于原点对称，以培养学生的定义域意识，并引导学生得指数形式的复合函数判断奇偶性的常用等价形式，以帮助学生形成系统的知识结构.
●教具准备
幻灯片三张
第一张：判断及证明函数单调性的基本步骤、判断及证明函数奇偶性的基本步骤(记作
§2.6.3 A）
第二张：例5证明过程(记作§2.6.3 B）
第三张：例6证明过程(记作§2.6.3 C）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节，我们一起学习了指数函数的性质应用，这一节，我们学习指数形式的复合函数的单调性、奇偶性的证明方法.首先，大家来回顾一下第二章第一单元所学的证明函数单调性、奇偶性的基本步骤.
［生］判断及证明函数单调性的基本步骤：
假设→作差→变形→判断.
［生］判断及证明函数奇偶性的基本步骤：
(1)考查函数定义域是否关于原点对称；
(2)比较f（－x）与f（x）或者－f（x）的关系；
(3)根据函数奇偶性定义得出结论.
(给出幻灯片§2.6.3 A，老师结合幻灯片内容加以强调说明)
［师］在函数单调性的证明过程中，“变形”是一关键步骤，变形的目的是为了易于判断，判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断.
另外，在函数奇偶性的判断及证明过程中，定义域的考查容易被大家忽略，而函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，大家应予以重视.
下面，我们通过例题来一起熟悉并掌握证明函数单调性，奇偶性的方法.
Ⅱ.讲授新课
[例5]当a＞1时，证明函数f(x)=是奇函数.
分析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数范围内的指数幂运算性质.同时，应注意首先考查函数的定义域.
证明：由ax－1≠0 得x≠0
故函数定义域{x｜x≠0}关于原点对称.
又f(－x)=
=
－f(x)=－
∴f(－x)=－f(x)
所以函数f(x)=是奇函数.
［师］对于f（－x）与f（x）关系的判断，也可采用如下证法：
＝－1
即f（－x）＝－f（x）
评述：对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明，常利用如下的变形等价形式：
f（－x）＝f（x）＝1（f（x）≠0），
f（－x）＝－f（x）
＝－1（f（x）≠0）.
这种变形的等价形式主要是便于实数指数幂运算性质，要求学生在解决相关类型题时，予以尝试和体会.
［例6］设a是实数，f(x)=a－ (x∈R)
(1)试证明对于任意a,f(x)为增函数；
(2)试确定a值，使f(x)为奇函数.
分析：此题的形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明.还应要求学生注意不同题型的解答方法.
(1)证明：设x1,x2∈R,且x1＜x2
则f(x1)－f(x2)=(a－
=
=
由于指数函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2,所以即＜0
又由2x＞0得+1＞0，+1＞0
所以f(x1)－f(x2)＜0
即f(x1)＜f(x2)
因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)为增函数.
评述：上述证明过程中，对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性.
(2)解：若f(x)为奇函数，则f(－x)=－f(x)
即a－
变形得:
2a=
=
解得a=1
所以当a=1时，f(x)为奇函数.
评述：此题并非直接确定a值，而是由已知条件逐步推导a值.应要求学生适应这种探索性题型.
Ⅲ.课堂练习
已知函数f(x)为偶函数，当x∈(0,+∞)时，f(x)=－2x+1,求当x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式.
解：设x∈（－∞，0），则－x∈（0，＋∞），由x∈（0，＋∞）时，f（x）＝－2x＋1得f（－x）＝－2-x＋1
又由函数f（x）为偶函数得
f（－x）＝f（x）
∴f（x）＝－2-x＋1.
即当x∈（－∞，0）时，f（x）＝－2-x＋1.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家进一步熟悉指数函数的性质应用，并掌握函数单调性.奇偶性证明的通法.
Ⅴ.课后作业
（一）1.课本P75习题2.6
4.求证：
(1)f（x）＝（a＞0，a≠1)是奇函数；
(2)f（x）＝（a＞0，a≠1）是偶函数.
证明：(1)∵f（－x）＝＝－f（x）
即f（－x）＝－f（x），故f（x）是奇函数.
(2)f（－x）＝
＝－
＝＝f（x）
即f（－x）＝f（x），故f（x）＝是偶函数.
2.已知函数f(x)=，
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求证函数f(x)在(－∞,+∞)上是增函数.
(1)解：首先考查函数定义域R，故定义域关于原点对称.
又∵f（－x）＝
＝＝－f（x）
即f（－x）＝－f（x）
∴f（x）是奇函数.
(2)证明：设x1＜x2，则
f（x1）－f（x2）＝
＝
＝
＝
∵x1＜x2 ∴
∴＜0.
又∵2＞＋1＞0，＋1＞0
∴＜0
∴f（x1）－f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（－∞，＋∞)上是增函数.
（二）1.预习内容：课本P76
2.预习提纲：
(1)对数与指数有何联系
(2)对数式与指数式如何互化
●板书设计
§2.6.3 指数函数的性质应用(二)
1.单调性证明通法：比较自变量大小与相应函数值大小是具有一致性，还是相反性.
2.奇偶性证明通法
①考查定义域
②比较f（－x），f（x），－f（x）三者的关系
3.[例5]
4.［例6］
5.学生练习
Ⅰ.复习引入
指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的定义、图象、性质：定义域、值域、单调性、奇偶性
Ⅱ.讲授新课
［例1］用计算器或计算机作出的图象，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系
⑴y＝2x+1与y＝2x+2. ⑵y＝2x－1与y＝2x－ 2.
活动设计：学生用计算器或计算机作出的图象，观察分析讨论，教师引导、整理
解：⑴作出图象，显示出函数数据表
比较函数y＝2x+1、y＝2x+2与y＝2x的关系：
从上表可以看出，y＝2－3+1与y＝2－2相等，y＝2－2+1与y＝2－1相等，y＝22+1与y＝23相等，…. 由此可知，将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x+1的图象，将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x+2的图象。
⑵作出图象，显示出函数数据表
比较函数y＝2x－1、y＝2x－2与y＝2x的关系：
从上表可以看出，y＝2－1－2与y＝2－3相等，y＝20－2与y＝2－2相等，y＝23－2与y＝21相等，…. 由此可知，将指数函数y＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x－1的图象，将指数函数y＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x－2的图象。
小结：⑴ y＝2x－m与y＝2x的关系
当m>0时，将指数函数y＝2x的图象向右平行移动m个单位长度，就得到函数y＝2x－m的图象，当m<0时，将指数函数y＝2x的图象向左平行移动m个单位长度，就得到函数y＝2x+m的图象
［例2］⑴已知函数 y＝（）︱x︱用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨y＝（）x与y＝（）︱x︱图像的关系。
解： 定义域：x∈R 值域：0＜y≤1
关系：将y＝（）x的图像y轴右侧的部分翻折到y轴左侧的到y＝（）︱x︱的图像，y＝（）︱x︱是偶函数，关于y轴对称
⑵已知函数 y＝（）︱x－1︱用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨y＝（）x－1与y＝（）︱x－1︱图像的关系。
解： 定义域：xR 值域：0＜y≤1
关系：将y＝（）x－1的图像在直线x=1右侧的部分翻折到直线x=1左侧的到
y＝（）︱x－1︱的图像，y＝（）︱x－1︱不是偶函数，但是关于直线x=1对称
⑵推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：
基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，如上例，这种方法我们遇到的有以下几种形式：
函 数 y=f(x)
y=f(x+a) a>0时，向左平移a个单位；a<0时，向右平移|a|个单位.
y=f(x)+a a>0时，向上平移a个单位；a<0时，向下平移|a|个单位.
y=f(-x) y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=-f(x) y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
y=-f(-x) y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
y=f(|x|) y=f(|x|)是偶函数，图象关于y轴对称，x0时函数即y=f(x)，所以x<0时的图象与x0时y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=|f(x)| ∵，∴y=|f(x)|的图象是y=f(x)0与y=f(x)<0图象的组合.
y=f-1(x) y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
以上是在高一阶段我们看到的几种函数图象的变换，但随着知识的增加，还会有许多较复杂的变换，以后再作研究.
［例3］探讨函数y＝ax和y＝a－x （a＞0且a≠1）的图象的关系，并证明
活动设计：学生用计算器作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理
证：设P1(x1, y 1)是函数y＝ax （a＞0且a≠1）的图象上任意一点
则y1＝a 而P1(x1, y 1)关于y轴的对称点Q是(x1, y 1)
∴ y1＝a＝a－（－） 即Q在函数y＝a－x的图象上
由于P1是任意取的
所以y＝ax上任一点关于y轴的对称点都在y＝a－x的图象上
同理可证：y＝a－x 图象上任意一点也一定在函数y＝ax的图象上
∴ 函数y＝ax和y＝a－x的图象关于y轴对称。
［例4］已知函数 y＝ 求：
⑴函数的定义域、值域 ⑵判断函数的奇偶性
活动设计：学生用计算器作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理
解：⑴ 定义域为 R
由y＝ 得 22x－2y－2x＋1＝0
∵x∈R, ∴△≥0, 即 4y2－4≥0， ∴y2≥1, 又∵y＞0，∴y≥1
⑵ ∵定义域为 R （是关于原点的对称区间）
又∵ f（－x）＝＝f（x）, ∴f（x） 是偶函数。
Ⅲ. 课时小结
函数图像的变换
Ⅳ. 课后作业
课本P55习题 7~10
- 6 -第5、6课时 函数的值域
教学目标：
使学生掌握如何求二次函数、无理函数和分式函数的值域.
教学重点：
联系图像求值域.
教学难点：
联系图像求值域.
教学过程：
[例1]求函数y＝x2在下列范围内的值域：
（1）x∈[1，2] （2）x∈[－1，2] （3）x∈[－3，2]
（4）x∈[a，2] （5）x∈[T，T＋2]
[例2] 求函数y＝的值域.
解：令t＝－x2＋2x＋3，则：
y＝且t∈[0，4]
∴所求函数的值域为：[0，2]
[例3] 求函数y＝2x－3＋的值域.
分析：对于没有给定自变量的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域.
解：∵4x－13≥0 ∴x∈[，＋∞） 令t＝则得：x＝
∴y＝t2＋t＋ ∴y＝（t＋1）2＋3
∵x≥ ∴t≥0根据二次函数图象可得y∈[，＋∞）
[例4] 求函数y＝ eq \r(x＋4) － eq \r(x－4) 的值域.
解：y＝（＋2）－｜－2｜
＝ eq \b\lc\{(\a\al(4 x≥8,2 4≤x＜8))
∴y∈[0，4]
[例5] 求函数y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域.
分析：对于y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的理解，从几何意义入手，即利用绝对值的几何意义可知，｜x＋1｜表示在数轴上表示x的点到点－1的距离，｜x－2｜表示在数轴上表示x的点到点2的距离，在数轴上任取三个点xA≤－1，－1＜xB＜2，xC≥c，如图所示，可以看出｜xA＋1｜－｜xA－2｜＝－3
－3＜｜xB＋1｜－｜xB－2｜＜3，｜xC＋1｜－｜xC－2｜＝3，由此可知，对于任意实数x，都有－3≤｜x＋1｜－｜x－2｜≤3
所以函数y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域为y∈[－3，3]
[例6] 求函数y＝的值域.
解：∵函数定义域为x∈R由原函数可化得：
y＝＝
＝＋＝＋
＝－＋1 令t＝
∵x∈R ∴t∈(0，1]
∴y＝5t2－t＋1＝5（t－）2＋根据二次函数的图象得当t＝时
ymin＝当t＝1时，ymax＝5
∴函数的值域为y∈[，5]
[例7] 求下列函数的值域.
（1）y＝ （2）y＝ （k≠0，k是常数）
（3）y＝（a、b是常数，a≠0）
（4）y＝（a、b、k是常数，a、k≠0）
[例8] 求函数y＝（x≠0）在下列定义域范围内的值域.
（1）x∈（1，2）； （2）x∈（0，2）； （3）x∈（－1，2）；
（4）x∈（2，+∞）； （5）x∈（－2，+∞）
[例9] 求下列函数的值域：
（1）y＝；（2）y＝
解：（1）∵y＝＝2－
∴函数的值域为{ y︱y≠0}
（2）∵y＝－＋ eq \f(,2x＋5)
∵ eq \f(,2x＋5) ≠0 ∴y≠－
∴函数y的值域为y∈（－∞，－）∪（－，＋∞）
[例10] 求函数y＝的值域.
解：由y＝可知，x∈R且yx2＋2y＝3x2－1
即（3－y）x2＝2y＋1
若y＝3时，则有0＝7，这是不可能的.
∴y≠3
得：x2＝ ∵x2≥0 ∴≥0
解得：－≤y＜3
∴函数值域为y∈[－，3）
[例11] 求下列函数的值域：
（1）y＝；（2）y＝
[例12] 求函数y＝的值域.
解：由y＝得x∈R且可化为：
（2y－1）x2＋2（y＋1）x＋（y＋3）＝0
∴当y≠时，Δ＝[2（y＋1）]2－4（2y－1）（y＋3）≥0
∴y2＋3y－4≤0 ∴－4≤y≤1且y≠
又当y＝时，2（1＋）x＋（＋3）＝0
得：x＝－，满足条件
∴函数的值域为y∈[－4，1]
评述：（1）求函数的值域是一个相当复杂的问题，它没有现成的方法可套用，要结合函数表达式的特征，以及与所学知识联系，灵活地选择恰当的方法.
（2）对于以上例题也可以采取不同的方法求解每一个值域，请读者不妨试一试.
（3）除以上介绍的方法求函数值域外，随着学生的继续学习，我们今后还会有“反函数”法、“单调性”法、“三角换元”法、“不等式”法及“导数法”等.
课后作业：
- 1 -第9课时 平行直线（二）
教学目标：
使学生了解并掌握等角定理及其推论；通过对等角定理证题思路的分析，帮助同学进一步熟悉分析法、综合法，提高同学的解题能力；会应用等角定理及其推论证明简单的几何问题；使学生认识事物之间的相似性和变异性，培养学生科学的严谨态度。
教学重点、难点：
等角定理及其推论.
等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下，角的大小不变.它是两条异面直线所成角的依据，也是以后研究二面角及与角有关的内容的理论基础，而且还提供了一个研究角之间关系的重要方法——平移法。
教学过程：
1．复习回顾：
［师］上节课我们讨论了空间两条直线的位置关系和平行公理，请同学们回忆一下，空间两条直线的位置关系有几种，其特征各是什么？平行公理的具体内容是怎样的？
［生甲］空间两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、异面，它们各自的特征是：相交直线——有且仅有一个公共点；平行直线——在同平面内，没有公共点；异面直线——不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线.
［生乙］平行公理是：平行于第三条直线的两条直线互相平行.
［师］好！同学们的回答完全正确.我们来看这样一个问题：
（如图）在正方体AC1中，求证BC1 AD1.
分析：要想证明BC1 AD1，只要证明——
［生］只要证明四边形ABC1D1是平行四边形就
行了.（学生若答不出来，教师可做必要的提示、诱导）.
［师］怎样证明四边形ABC1D1是平行四边形呢？
［生］只要证明C1D1 AB就行了.
［师］怎样证明C1D1 AB呢？
［生］因为C1D1 A1B1,AB A1B1，由平行公理C1D1 AB.
［师］至此，我们找到了证明的思路，请一位同学在黑板上写出证明过程，其余同学在下面自己整理，写出证明.
证明： eq \b\lc\{(\a\al(C1D1 A1B1 ,AB A1B1)) C1D1 AB四边形ABC1D1是平行四边形BC1 AD1
［师］通过刚才的分析与证明，我们是否可类似地说正方体中AB1 DC1呢？
［生］（观察，答）可以.
［师］为什么？
［生］道理与刚才的证明相同.
［师］可不可以说，正方体相对两个面上的同向或逆向的两条对角线平行且相等呢？
［生］可以.
［师］大家再观察一下，正方体上的哪些棱是平行且相等的呢？
［生］……（让学生答一答是有好处的）.
［师］到今天为止，我们学习立体几何已有好几天了，大家是否想过：直线有长短吗？平面有大小吗？
［生］直线没有长短，它是向两个方向无限伸长的，平面没有大小，它是向四面无限扩展的.
［师］直线不仅没有长短，而且没有粗细；平面不仅没有大小，而且没有厚薄，同样的点没有大小.大家再考虑一下，确定一条直线的条件是什么？确定一个平面的条件是什么？
［生］两点确定一条直线；不在同一直线上的三点确定一个平面，直线与它外面的一点确定一个平面，两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面.
［师］很好！平行的传递性在平面内是成立的，在空间也是成立的，这就是我们学行公理，也可以说平行的传递性从平面推广到空间仍是成立的.
在平面几何中，顺次连结四边形各边的中点，可以得到一个平行四边形，昨天我们做的一个作业题，顺次连结空间四边形各边的中点，同样也可以得到一个平行四边形，这个可不可以说也是从平面到空间的一个推广呢？
［生］可以.
［师］从上面的这些例子可以看出，有些平面图形的性质，可以推广到空间图形中来，这种根据事物的特性，由已知性质推导出未知性质的方法叫类比法，类比法是人类发现真理的一种重要方法.
［师］大家再来看这样一个问题：在平面几何中，我们学过这样一个定理：“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等”，这个定理能不能推广到空间图形呢？
（学生不知该怎样回答）
［师］今天我们就来讨论这个问题.
2．新课讨论：
［师］请大家先用竹签比试比试.看这两个角是否相等.
（学生动手、观察）
［师］一艘大货轮与一只小船在大海中都向东北方向航行，他们前行的方位角怎样呢？
（学生思考，通过动手演示、观察，实例思考，不难从感性上对这个命题加以肯定）.
［师］我们已观察到“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等”，（板书定理）现在让我们从理论上对这个命题加以证明.
已知：∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，并且方向相同，（AB∥
A′B′且方向相同，即的方向相同，AC∥A′C′且方向相同，即
的方向相同）.
求证：∠BAC＝∠B′A′C′.
分析：对于∠BAC和∠B′A′C′在同一平面内的情形，
在初中平面几何中已作过证明，下面我们证明两个
角不在同一平面内的情形.
［师］在平面几何中，要证明两个角相等，我们用过哪些方法？
（学生回忆、思考、发言）
［生］对顶角相等；
同腰三角形的两底角相等；
平行线中的同位角（或内错角）相等；
全等三角形的对应角相等；
相似三角形的对应角相等，等等.
［师］现在∠BAC与∠B′A′C′是不在同一平面内的两个角，如何证明它们相等呢？
（同学们议论、发言）
［生］因为它们不是对顶角，也不是同一个三角形的两个角，因而不能用“对顶角相等”或“等腰三角形的两底角相等”来证明，它们不在同一平面内，因而也不可能是同位角或内错角，因此也就不能用平行线的性质去证明.考虑能不能用全等三角形或相似三角形的性质来证.
［师］××同学的分析很好！要想用全等三角形或相似三角形的性质证.首先得有三角形，而现在的图中仅是两个角，为此需要以这两个角为基础，构造出两个三角形，既然是要构造三角形，干脆从全等考虑好了.
在AB、A′B′、AC、A′C′上分别截取AD＝A′D′、AE＝A′E′，连结DE、
D′E′，得到△ADE和△A′D′E′
我们来看这两个三角形是否全等.
［生］这两个三角形已经有两条边对应相等（AD＝A′D′，AE＝A′E′，所作），再有一个条件两个三角形就能全等了.
［师］再找个什么条件呢？找角虽然不可能.若能，我们的问题就解决了，还麻烦什么呢？那就只有集中精力证DE＝D′E′了.大家看怎样来证明DE＝D′E′呢？DE、
D′E′孤零零的两条线段，没有联系，怎样证呢？
［生］（受到孤零零，找联系的启示）添辅助线将DE、D′E′联系起来，连结
DD′、EE′，若能证明DEE′D′是平行四边形就好了
［师］怎样证明四边形DEE′D′是平行四边形呢？大家再想想办法看.
［生］只要证明DD′EE′就行了.
［师］要想证明DD′EE′，还得再找一个“媒介”.能否再找到一条线段，使DD′、EE′都和它平行并且相等呢？
（同学们观察图形、思考分析）
［生］连结AA′.在四边形AA′E′E中，因为AE=A′E′，AE∥A′E′,所以四边形AA′E′E是平行四边形，所以EE′AA′，同样道理
可得DD′AA′，由平行公理DD′EE′.
［师］至此，问题得到解决，请同学们再把思路理一理，写出定理的证明过程.
（学生再看题，理顺思路，整理信息，请一位同学将证明过程板书于黑板上）
证明：在AB、A′B′、AC、A′C′上分别截取AD＝A′D′，AE＝A′E′，连DE、
D′E′，连DD′、EE′、AA′.
［师］通过理论上的证明.我们说“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等”，无论在平面，还是在空间都是成立的.
把上面两个角的两边都反向延长，可得出下面的推论：
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行.那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.
［师］请同学们注意：这个定理及其推论对于平面图形是成立的，对于空间图形也是成立的.平面图形的性质可以推广到空间图形的例子，尽管我们举了数个，但并不是所有平面图形的性质都可以推广到空间图形中来.例如，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，但在空间，垂直于同一条直线的两直线可以平行，也可以相交，还可以是异面直线.以后当我们学习了更多的空间图形的性质就会发现，还有许多平面图形的性质不能推广到空间图形.由此可见，根据事物的相似性，我们可以用类比的方法推导出许多新的性质.但又不能滥用类比，若忽视了事物的变异性，就会产生错误的推理，这是在推理过程中需要特别注意的地方.一般地说，要把关于平面图形的结论推广到空间图形，必须经过证明，绝不能单凭自己的主观猜测。
3．课堂练习：
课本P26练习.
4．课堂小结：
本节课我们讨论了等角定理及其推论，它是我们学习后续知识的基础.对于等角定理，特别要注意条件的把握——对应的两边分别平行并且方向相同.（方向完全相反、方向一同一反，结论是怎样的，请同学们下去自行探讨）另外要注意，平面图形的性质并不是都可以推广到空间的，这点绝不能忽视.
5．课后作业：
1、E、F、G、H依次是空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，设AC＋BD＝a，AC·BD＝b，求EG2＋FH2的值。
2、如图，已知棱长为a的正方体ABCD——A1B1C1D1中，M、N分别是DC、DA的中点。
（1）求证：四边形MNA1C1是梯形
（2）求四边形MNA1C1的面积。
1.预习课本P26~P28
2.预习提纲
（1）异面直线的概念.
（2）异面直线怎样画、关键显示什么？
（3）异面直线所成角的定义是什么？
（4）异面直线所成角的范围是怎样的？
（5）怎样的两条异面直线互相垂直？
（6）互相垂直的两异面直线怎样表示？
（7）两条异面直线的公垂线的定义是什么？
（8）两条异面直线的公垂线有什么特征？
（9）两条异面直线的公垂线有几条？
（10）两条异面直线的距离的定义是什么？
思考与练习：
1.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，但方向都相反，这两个角关系怎样？试画图并证明.
提示：证明方法与等角定理的证法相同.
2.空间的两个角的两边分别平行，则这两个角的大小关系是_______.
答案：相等或互补
3.在空间一个角的两边与另一个角的两边分别垂直相交，则这两个角的大小关系是_______.
答案：不能确定
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∠CBB1的两边与哪个角的两边平行且方向相同？
∠CBB1的两边与哪个角的两边平行且方向相反？∠CBB1的两边和哪个角的两边平行，且一边方向相同而另一边方向相反？
答案：∠CBB1与∠DAA1的两边平行且方向相同；
∠CBB1与∠DD1A1、∠CC1B1的两边平行且方向相反；
∠CBB1与∠ADD1、∠AA1D1的两边平行，
且一边方向相同而另一边方向相反.
5.如图，已知线段AA′、BB′、CC′相交于O，
且.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：∽△AOB
△ABC∽△A′B′C′.
- 6 -1.3.2 三角函数的图像与性质（4）
一、课题：正、余弦函数的值域（2）
二、教学目标：1.进一步掌握与正、余弦相关函数的值域的求法；
2.正、余弦函数的值域在应用题中的应用。
三、教学重、难点：与正、余弦函数值域相关的应用题的解法。
四、教学过程：
（一）复习：
练习：求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）．
（二）新课讲解：
1．三角函数模型的应用题
例1：如图，有一快以点为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形辟为绿地，使其一边落在半圆的直径上，另两点、落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为，如何选择关于点对称的点、的位置，可以使矩形的面积最大？
解：设，
则，，
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，
此时，，，
答：、应该选在离点处，才能使矩形的面积最大，最大面积为．
2．含字母系数的函数最值
例2：已知函数（）的最大值为，最小值为，求函数
的最大值和最小值。
解：（）
当时，， ①
当时，， ②
由①②得， ∴，
所以，当时，，当时，．
例3：已知函数的定义域是，值域是，求常数．
解：
∵，∴， ∴，
若，则当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，
∴，解得：，
若时，则当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，
∴，解得：， 所以，或．
五、小结：1．三角函数模型的应用题的解法；
2．函数字母系数的函数最值问题的解法。
六、作业：
补充：
1．求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）．
2．已知的定义域为，值域为，求．
3．如图，四边形是一个边长为米的正方形地皮，其中是一个半径为米的扇形小山，是弧上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在与上的长方形停车场，求长方形停车场面积的最大值、最小值。
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- 2 -4.1.2圆的一般方程
三维目标：
知识与技能　：　 (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．
(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
课题引入：
问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。
探索研究：
请同学们写出圆的标准方程：
(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．
　　把圆的标准方程展开，并整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
取得
①
这个方程是圆的方程．
反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？
把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得
② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；
（2）当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;
（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形
综上所述，方程表示的曲线不一定是圆
只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程
我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．
　②没有xy这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
知识应用与解题研究：
例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。
学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于来说，这里的
.
例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程
解：设所求的圆的方程为：
∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，
即
解此方程组，可得：
∴所求圆的方程为：
；
得圆心坐标为（4，-3）.
或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3)
学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：
1、 根据提议，选择标准方程或一般方程；
2、 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
3、 解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。
例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。
解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是 ①
上运动，所以点A的坐标满足方程,即
②
把①代入②，得
课堂练习：课堂练习第1、2、3题
小结 ：
1．对方程的讨论(什么时候可以表示圆)
2．与标准方程的互化
3．用待定系数法求圆的方程
4．求与圆有关的点的轨迹。
课后作业：习题4.1第2、3、6题
数学教育网http:/// 主审戴刚锋两条直线的平行与垂直(3.1.2)
教学目标
　 (一)知识教学
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
(二)能力训练
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．
(三)学科渗透
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．
　 重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．
难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．
注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．
　 教学过程
　 (一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．
讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．
(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直
设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系
首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)
∴tgα1=tgα2．
即　 k1=k2．
反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．
由于0°≤α1＜180°，　 0°≤α＜180°，
∴α1=α2．
又∵两条直线不重合，
∴L1∥L2．
结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.
下面我们研究两条直线垂直的情形．
如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
α1=90°+α2．
因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．
，
可以推出　: α1=90°+α2． L1⊥L2．
结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.
(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等).
例题
例1　 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)
解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,
直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,
因为 k1=k2=0.5, 所以 直线BA∥PQ.
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)
解同上.
例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.
解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,
直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,
因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.
例4　已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)
课堂练习
P94 练习 1. 2.
课后小结
(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.
(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.
布置作业
P94 习题3.1 5. 8.
板书设计
数学教育网http:/// 主审戴刚锋第五课时 二元一次不等式表示平面区域
教学目标：
能画出二元一次不等式组表示的平面区域；会把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示并能解决一些有关问题。
教学重点、难点：确定二元一次不等式表示平面区域并运用。
教学过程：
例1：将如图阴影部分用二元一次不等式组表示出来。
解：
例2：画出不等式组 表示的平面区域.
例3：已知点（3，1）和（－4，6）在直线3x－2y＋a＝0的两侧，求a的取值范围。
解：9－2＋a＞0，－12－12＋a＜0
得－7＜a＜24
例4：求满足不等式组的整数解
解：画出由这三个不等式所表示的区域的公共部分，即可看出所求整数解只有一个，
为（－1，1）
例5：用不等式组写出以A（1，2）、B（4，3）、C（3，5）为顶点的三角形区域（含三角形的三边）。
小结：
课后作业：
课本P87习题 2
补充作业：
1．将如图阴影部分用二元一次不等式组表示出来。
2．如图，求PQR内任一点（x，y）所满足的关系式。
3．求不等式组 所表示的平面区域内的整数点坐标。（1，1）
4．求不等式组所表示的平面区域内的面积。
教学后记：
- 1 -1.3.3 函数的图象（1）
一、课题：函数的图象（1）
二、教学目标：1．会画函数的简图；
2．弄清与函数的图象之间的关系；
3．理解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。
三、教学重、难点：五点法画函数的图象。
四、教学过程：
（1） 新课讲解：
1．型函数的图象
例1 画出函数，，，，的简图。
解：先画出它们在上的图象，再向左右扩展，
由图可知，对于同一个，，的图象上的点的纵坐标等于，的图象上的点的纵坐标的倍，因此，，的图象可以看作正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变的情况下）而得到的。，的图象的情况也类似：纵坐标变为原来的（横坐标不变情况下）。
一般地，函数，的图象可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（时）或缩短（时）到原来的倍（横坐标不变的情况下）而得到，因此，，的值域是，最大值为，最小值为．
2．型函数的图象
例2 画出函数，，，的函数简图。
解：先画出它们在一个周期内的图象，再向左、右扩展，
一般地，函数，（）的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（时）或伸长（时）到原来的倍（纵坐标不变的情况下）而得到的。
3．型的函数图象
例3 画出函数，，，的简图。
解：由函数图象的平移知：
，的图象可看作，的图象向左平移个单位得到；
，的图象可看作，的图象向右平移个单位得到。
可得图象如下：
一般地，函数（），的图象，可看作把正弦曲线上所有点向左（时）或向右（时）平行移动个单位而得到。
五、课堂练习：画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（五点法）。
（1），； （2），．
六、小结：1．型函数的图象；
2．型函数的图象；
3．型函数的图象。
七、作业：
–
–
–
–
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- 1 -2.1.3 分层抽样
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解分层抽样的概念；
（2）掌握分层抽样的一般步骤；
（3）区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当正确的方法进行抽样。
2、过程与方法：通过对现实生活中实际问题进行分层抽样，感知应用数学知识解决实际问题的方法。
3、情感态度与价值观：通过对统计学知识的研究，感知数学知识中“估计
与“精确”性的矛盾统一，培养学生的辩证唯物主义的世界观与价值观。
4、重点与难点：正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本，并恰当的选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题。
教学设想：
【创设情景】
假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，此地
教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的
小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？
【探究新知】
一、分层抽样的定义。
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。
【说明】分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：
（1）分层：将相似的个体归人一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则。
（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。
二、分层抽样的步骤：
（1）分层：按某种特征将总体分成若干部分。
（2）按比例确定每层抽取个体的个数。
（3）各层分别按简单随机抽样的方法抽取。
（4）综合每层抽样，组成样本。
【说明】
（1）分层需遵循不重复、不遗漏的原则。
（2）抽取比例由每层个体占总体的比例确定。
（3）各层抽样按简单随机抽样进行。
探究交流
（1）分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每层抽取若干个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行 （ ）
A、每层等可能抽样
B、每层不等可能抽样
C、所有层按同一抽样比等可能抽样
（2）如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n
样本，那么每个个体被抽到的可能性为 （ ）
A． B. C. D.
点拨：
（1）保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽
共同的特征，为了保证这一点，分层时用同一抽样比是必不可少的，故此选C。
（2）根据每个个体都等可能入样，所以其可能性本容量与总体容量
比，故此题选C。
知识点2 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较
类 别 共同点 各自特点 联 系 适 用范 围
简 单随 机抽 样 （1）抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等（2）每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样 从总体中逐个抽取 总体个数较少
将总体均分成几部 分，按预先制定的规则在各部分抽取 在起始部分样时采用简随机抽样 总体个数较多
系 统抽 样
将总体分成几层，分层进行抽取 分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成
分 层抽 样
【例选精析】
例1、 某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为
A.15,5,25 B.15,15,15
C.10,5,30 D15,10,20
[分析]因为300：200：400=3：2：4，于是将45分成3：2：4的三部分。设三部分各抽取的个体数分别为3x,2x,4x,由3x+2x+4x=45，得x=5，故高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为15，10，20，故选D。
例2：一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3：2：5：2：3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程。
[分析]采用分层抽样的方法。
解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下：
（1）将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层。
（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本。
300×3/15=60（人），300×2/15=100（人），300×2/15=40（人），300×2/15=60（人），因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、40人、60 人。
（3）将300人组到一起，即得到一个样本。
【课堂练习】P52 练习1. 2. 3
【课堂小结】
1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：
（1）、分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠。
（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。
（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。
2、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。
【评论设计】
1、某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽取方法是 （ ）
A．简单随机抽样
B．系统抽样
C．分层抽样
D．先从老人中剔除1人，然后再分层抽样
2、某校有500名学生，其中O型血的有200人，A型血的人有125人，B型血的有125人，AB型血的有50人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个20人的样本，按分层抽样，O型血应抽取的人数为 人，A型血应抽取的人数为 人，B型血应抽取的人数为 人，AB型血应抽取的人数为 人。
3、某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2,若该校取一个容量为n的样本，则n= 。
4、对某单位1000名职工进行某项专门调查，调查的项目与职工任职年限有关，人事部门提供了如下资料：
任职年限 5年以下 5年至10年 10年以上
人数 300 500 200
试利用上述资料设计一个抽样比为1/10的抽样方法。1.3.2 三角函数的图像与性质（2）
一、课题：正、余弦函数的定义域、值域
二、教学目标：1.能指出正弦、余弦函数的定义域，并用集合符号来表示；
2.能说出函数，和，的值域、最大值、最小值，以及使函数取得这些值的的集合。
三、教学重、难点：与正、余弦函数相关的函数的定义域的求法。
四、教学过程：
（一）复习：
1．三角函数的定义。
（二）新课讲解：
1．正弦、余弦函数的定义域
函 数
定义域
例1：求下列函数的定义域：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
解：（1）， ∴； （2）， ∴；
（3）， ∴；
（4），∴， ∴且；
（5） ∴ ∴ ．
2．正、余弦函数的值域
函 数
值 域
例2：求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么？
（1），； （2），．
解：（1）使函数，取得最大值的的集合，就是使函数， 取得最大值的的集合，
所以，函数，的最大值是．
（2）令，那么必须并且只需，且使函数，取得最大值
的 的集合是，由，得，
即：使函数，取得最大值的的集合是，函数的最大值是．
说明：函数，的最值：最大值，最小值．
例3：求下列函数的值域：
（1）； （2）．
解：（1）∵，∴， ∴
所以，值域为．
（2）， ∴， ∴，
解得， 所以，值域为．
五、练习：
六、小结：1．正、余弦函数的定义域、值域；
2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值域。
七、作业：
补充：求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）（其中为常数）．
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- 2 -第1章 三角函数
1.1任意角和弧度制
1.1.1任意角
农垦中学 刘国海
1、 教学目标：
1、知识与技能
（1）推广角的概念、引入大于角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.
2、过程与方法
通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转”，角有大于角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.
二、教学重、难点
重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.
难点: 终边相同的角的表示.
三、学法与教学用具
之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.
教学用具:电脑、投影机、三角板
四、教学设想
【创设情境】
思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25
小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？
[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.
【探究新知】
1．初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？
[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.
2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体” （即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题 又该如何区分和表示这些角呢
[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).
[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.
3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1-4中的角、角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.
4.[展示投影]练习:
(1)(口答)锐角是第几象限角 第一象限角一定是锐角吗 再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
(2)(回答)今天是星期三那么天后的那一天是星期几 天前的那一天是星期几 100天后的那一天是星期几
5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线(如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一 如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系 请结合4.(2)口答加以分析.
[展示课件]不难发现,在教材图1.1-5中,如果的终边是,那么角的终边都是,而,.
设,则角都是的元素,角也是的元素.因此,所有与角终边相同的角,连同角在内,都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与角终边相同.
一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合
,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.
6.[展示投影]例题讲评
例1. 例1在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：是指）
例2.写出终边在轴上的角的集合.
例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式
的元素写出来.
7.[展示投影]练习
教材第3、4、5题.
注意: （1）；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.
8.学习小结
(1) 你知道角是如何推广的吗
(2) 象限角是如何定义的呢
(3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗 会写终边落在轴、轴、直
线上的角的集合.
五、评价设计
1．作业：习题1.1 A组第1,2,3题．
2．多举出一些日常生活中的“大于的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，
进一步理解具有相同终边的角的特点．
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1第23课时 对 数（三）
教学目标：
使学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题；培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力.
教学重点：
换底公式及推论.
教学难点：
换底公式的证明和灵活应用.
教学过程：
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
对数的运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)
Ⅱ.讲授新课
1.对数换底公式：
log a N＝ (a＞0，a≠1，m＞0 ，m≠1，N＞0)
证明：设log a N＝x , 则 ax＝N
两边取以m为底的对数：log m ax＝log m Nx log m a＝log m N
从而得：x＝ ∴ log a N＝
2.两个常用的推论:
① log a b·log b a＝1
② log bn＝log a b（ a、b＞0且均不为1）
证：①log a b·log b a＝＝1
②log bn＝＝＝log a b
Ⅲ.例题分析
例1 已知 log 23＝a， log 37＝b, 用 a, b 表示log 4256
解：因为log 23＝a，则＝log 32 , 又∵log 37＝b,
∴log 4256＝＝＝
例2计算：① 5 ② log 43·log 92－log
解：①原式＝
②原式＝log 23·log 32＋log 22＝＋＝
例3设 x、y、z∈（0，＋∞）且3x＝4y＝6z
1 求证 ＋＝； 2 比较3x，4y，6z的大小
证明1：设3x＝4y＝6z＝k ∵x、y、z∈（0，＋∞） ∴k＞1
取对数得：x＝， y＝， z＝
∴＋＝＋＝＝＝＝
2 3x－4y＝（－）lgk＝lgk＝ eq \f(lgk·lg,lg 3lg4) ＜0
∴3x＜4y
又：4y－6z＝（－）lgk＝lgk＝ eq \f(lgk·lg,lg 2lg6) ＜0
∴4y＜6z ∴3x＜4y＜6z
例4已知log a x＝log ac＋b，求x
分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c移到等式左端，或者将b变为对数形式
解法一：
由对数定义可知：
解法二：
由已知移项可得log ax－log ac＝b， 即log a ＝b
由对数定义知：＝ab ∴x＝c·ab
解法三：
∵b＝log a ab ∴log ax＝log ac＋log a ab＝log a c·ab ∴x＝c·ab
Ⅳ.课堂练习
①已知 log 189＝a , 18b＝5 , 用 a, b 表示log 3645
解：∵log 189＝a ∴log 18＝1－log 182＝a ∴log 182＝1a
∵18b＝5 ∴ log 185＝b
∴log 3645＝＝＝
②若log 83＝p ，log 35＝q, 求 lg5
解：∵log 83＝p ∴ ＝p log23＝3plog 32＝
又∵log 35＝q ∴ lg5＝＝＝
Ⅴ.课时小结
本节课学习了以下内容：换底公式及其推论
Ⅵ.课后作业
1．证明：
证法1： 设 ，，
则：
∴ 从而
∵ ∴ 即：（获证）
证法2： 由换底公式 左边＝＝右边
2．已知
求证：
证明：由换底公式 由等比定理得：
∴
∴
- 3 -第八课时 等比数列(二)
教学目标：
灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强学生的应用意识.
教学重点：
1.等比中项的理解与应用.
2.等比数列定义及通项公式的应用.
教学难点：
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
等比数列定义，等比数列通项公式
Ⅱ.讲授新课
根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质
(1)若a，A，b成等差数列a＝，A为等差中项.
那么，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，……
则即＝，即G2＝ab
反之，若G2＝ab，则＝，即a，G，b成等比数列
∴a，G，b成等比数列G2＝ab (a·b≠0)
总之，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G＝±，(a，b同号)
另外，在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，那么，在等比数列中呢？
由通项公式可得：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ap＝a1qp－1，aq＝a1·qq－1
不难发现：am·an＝a12qm+n－2，ap·aq＝a12qp+q－2
若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq
下面看应用这些性质可以解决哪些问题
［例1］在等比数列{an}中，若a3·a5＝100，求a4.
分析：由等比数列性质，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq可得：
解：∵在等比数列中，∴a3·a5＝a42
又∵a3·a5＝100，∴a4＝±10.
［例2］已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证{an·bn}是等比数列.
分析：由等比数列定义及通项公式求得.
解：设数列{an}的首项是a1，公比为p；{bn}的首项为b1，公比为q.
则数列{an}的第n项与第n＋1项分别为a1pn－1，a1pn
数列{bn}的第n项与第n＋1项分别为b1qn－1，b1qn.
数列{an·bn}的第n项与第n＋1项分别为a1·pn－1·b1·qn－1与a1·pn·b1·qn，即为
a1b1(pq)n－1与a1b1(pq)n
∵·＝＝pq
它是一个与n无关的常数，
∴{an·bn}是一个以pq为公比的等比数列.
特别地，如果{an}是等比数列，c是不等于0的常数，那么数列{c·an}是等比数列.
［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数.
解：设m，G，n为此三数
由已知得：m＋n＋G＝14，m·n·G＝64，
又∵G2＝m·n，∴G3＝64，∴G＝4，∴m＋n＝10
∴或
即这三个数为2，4，8或8，4，2.
评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径.
Ⅲ.课堂练习
课本P50练习1，2，3，4，5.
Ⅳ.课时小结
本节主要内容为：
(1)若a，G，b成等比数列，则G2＝ab，G叫做a与b的等比中项.
(2)若在等比数列中，m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq
Ⅴ.课后作业
课本P52习题 5，6，7，9
等比数列(二)
1．已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ ）
A.5 B.10 C.15 D.20
2．在等比数列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于 （ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
3．非零实数x、y、z成等差数列，x＋1、y、z与x、y、z＋2分别成等比数列，则y等于（ ）
A.10 B.12 C.14 D.16
4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.
5．在数列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.
6．设x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.
7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.
等比数列(二)答案
1．已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ ）
A.5 B.10 C.15 D.20
分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a1和q，再求a3＋a5的方法是不行的，而应寻求a3＋a5整体与已知条件之间的关系.
解法一：设此等比数列的公比为q，由条件得a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝25
即a12q4(q2＋1)2＝25，又an＞0，得q＞0
∴a1q2(q2＋1）＝5
a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(q2＋1)＝5
解法二：∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25
由等比数列性质得a32＋2a3a5＋a52＝25
即(a3＋a5)2＝25，又an＞0，∴a3＋a5＝5
评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的.
2．在等比数列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于 （ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
解：∵am＝a1a2a3a4a5＝a15q1+2+3+4＝a15q10＝a15q11－1
又∵a1＝1，∴am＝q11－1，∴m＝11. 答案：C
3．非零实数x、y、z成等差数列，x＋1、y、z与x、y、z＋2分别成等比数列，则y等于（ ）
A.10 B.12 C.14 D.16
解：由已知得y＝12
答案：B
4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.
解：设所求的四个数分别为a，x－d，x，x＋d
则
解得x＝4，代入①、②得
解得或
故所求四个数为25，－10，4，18或9，6，4，2.
5．在数列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.
分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转换.
解：由题意知：
∴an+1＝，an＝ (n≥2)
代入①得2bn＝＋
即2＝＋ (n≥2)
∴{}成等差数列，设公差为d
又b1＝2，b2＝＝，
∴d＝－＝－＝
∴＝＋（n－1）＝（n＋1），bn＝（n＋1）2，
当n≥2时，an＝＝ ③
且a1＝1时适合于③式，故 ＝.
评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.
6．设x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.
分析：先由x＞y＞2，可知x－y＜x＋y＜xy，下来只需讨论 和x－y的大小关系，分成两种情况讨论.
解：∵x＞y＞2，x＋y＞x－y，xy＞x＋y，而 ＜1＜x－y
当 ＜x－y时，由 ，x－y，x＋y，xy顺次构成等比数列.
则有 eq \b\lc\{(\a\al( ·xy＝（x－y）（x＋y）,（x＋y）2＝（x－y）xy))
解方程组得x＝7＋5，y＝5＋
∴所求等比数列为，2＋，12＋，70＋.
当 ＞x－y时，由x－y， ，x＋y，xy顺次构成等比数列
则有 eq \b\lc\{(\a\al(·xy＝（x＋y）2,（x＋y）＝（x－y）xy))
解方程组得y＝ eq \r() ，这与y＞2矛盾，故这种情况不存在.
7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.
分析一：从后三个数入手.
解法一：设所求的四个数为 ，x－d，x，x＋d，根据题意有
eq \b\lc\{(\a\al(＋（x＋d）＝21,（x－d）＋x＝18)) ，解得或 eq \b\lc\{(\a\al(x＝,d＝))
∴所求四个数为3，6，12，18或，，，.
分析二：从前三数入手.
解法二：设前三个数为 ，x，xq，则第四个数为2xq－x.
依题设有 eq \b\lc\{(\a\al(＋2xq－x＝21,x＋xq＝18)) ，解得或 eq \b\lc\{(\a\al(x＝,q＝))
故所求的四个数为3，6，12，18或，，，.
分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.
解法三：设欲求的四数为x，y，18－y，2－x，由已知得：
，解得或 eq \b\lc\{(\a\al(x＝,y＝))
∴所求四数为3，6，12，18或，，，.
- 6 -对称变换
对称变换都有哪些内容？
【答】 对称变换主要有
①y=f(－x)与y=f(x)的图象关于y轴对称;
若f(－x)=f(x),则函数自身的图象关于y轴对称.
②y=－f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
③y=－f(－x)与y=f(x)的图象关于原点对称;
若f(－x)=－f(x),则函数自身的图象关于原点对称.
④y=f－1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
⑤y=－f－1(－x)与y=f(x)的图象关于直线y=－x对称.
⑥y=f(2a－x)与y=f(x)的图象关于直线x=a对称；
若f(x)=f(2a－x)(或f(a＋x)=f(a－x))则函数自身的图象关于直线x=a对称.
⑦y=2b－f(x)与y=f(x)的图象关于直线y=b对称.
⑧y=2b－f(2a－x)与y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
［案例1］证明函数y= (a≠1)的图象关于直线y=x对称.
本题考查对函数图象本身关于直线对称的理解.
【分析】 利用函数解析式与它的反函数的解析式若为同一个函数，则函数图象关于直线y=x对称，也可利用函数图象上任意点关于直线的对称点也在已知函数的图象上，则函数图象关于直线y=x对称.
【证法一】 ∵a≠1,y= (1＋) ∴y
由y= 得x(ay－1)=y－1,x=
∴y=(a≠1)的反函数是y=
∴y=的图象关于直线y=x对称.
【证法二】 设点P(x′,y′)是这个函数图象上任一点，则x′≠且y′=①
易知点P关于直线y=x的对称点P′的坐标为(y′,x′)由①得y′(ax′－1)=x′－1②
即x′(ay′－1)=y′－1
如果ay′－1=0,则y′=,代入①得=.
解得a=1,与已知矛盾.
于是ay′－1≠0,∴由②得x′=
这说明点P′(y′,x′)也在已知函数的图象上.
因此，这个函数的图象关于直线y=x成对称图形.
【评注】 要分清函数本身关于直线y=x对称与两个函数关于直线y=x对称的区别.
1.已知函数y=f(x)的图象如图2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( )
A.y=|f(x)|
B.y=f(|x|)
C.y=f(－x)
D.y=－f(x)
【解析】 y=f(|x|)是偶函数，图象关于y轴对称. 【答案】 B
8.设函数y=2x的图象为C，某函数的图象C′与C关于直线x=2对称，那么这个函数是( )
A.y=2－x B.y=22－x
C.y=24－x D.y=2x－4
【解析】 ∵y=f(x)的图象与y=f(4－x)的图象关于直线x=2对称，设f(x)=2x,则f(4－x)=24－x.
【答案】 C
10.设函数y=f(x)的定义域是R，且f(x－1)=f(1－x),那么f(x)的图象有对称轴( )
A.直线x=0 B.直线x=1
C.直线y=0 D.直线y=1
【解析】 设x－1=t,则f(t)=f(－t)，函数为偶函数，关于y轴对称. 【答案】 A
12.已知函数f(x)=(x≠2),那么函数f(x＋1)的图象关于直线y=x成对称图形的函数是( )
A.y=(x≠1) B.y=(x≠1)
C.y=(x≠1) D.y=(x≠0)
【解析】 ∵f(x＋1)=y==1＋ (x≠1)
∴x=1＋,即上式的反函数是y=(x≠1). 【答案】 B
13.函数y=的图象关于点_____对称.
【解析】 y==－1＋,y=的图象是由y=的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，－1). 【答案】 (1，－1)
16.定义在R上的函数y=f(x)、y=f(－x)、y=－f(x)、y=－f(－x)的图象重合，它们的值域为_____.
【解析】 函数y=f(x)与y=f(－x)的图象重合，说明函数y=f(x)的图象关于y轴对称；y=f(x)与y=－f(x)图象重合，说明y=f(x)的图象关于x轴对称；y=f(x)与y=－f(－x)的图象重合，说明y=f(x)的图象关于原点对称.即若y=f(x)上任一点(x,y),则也有点(－x,y)、(x,－y)、(－x,－y);根据函数的定义，对于任一x∈R,只能有惟一的y与之对应，从而y=－y,即y=0，故函数的值域为{0}.
17.已知函数f(x)定义域为R，则下列命题中
①y=f(x)为偶函数，则y=f(x＋2)的图象关于y轴对称.
②y=f(x＋2)为偶函数，则y=f(x)关于直线x=2对称.
③若f(x－2)=f(2－x),则y=f(x)关于直线x=2对称.
④y=f(x－2)和y=f(2－x)的图象关于x=2对称.
其中正确命题序号有_____(填上所有正确命题序号).
【解析】 ①y=f(x)是偶函数，而f(x＋2)是将f(x)的图象向左平移2个单位得到的，则对称轴左移2个单位为x=－2,所以f(x＋2)图象关于直线x=－2对称.
②y=f(x＋2)为偶函数，则f(x＋2)=f(2－x),所以y=f(x)图象关于直线x=2对称.
③令x－2=t,则2－x=－t,得f(t)=f(－t),y=f(x)的图象关于y轴对称.
④f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称，将f(x)与f(－x)的图象分别向右平移2个单位，分别得到f(x－2)与f(2－x)的图象，对称轴右移2个单位为直线x=2. 【答案】 ②④
18.若函数y=f(x)=的图象关于直线y=x对称，求a,b应满足的条件.
【解】 由y=f(x)= (x≠),得2xy－by=2ax＋1
∴2(y－a)x=by＋1,∴x=
∴y=f(x)的反函数是f－1(x)= (x≠a)
∵y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则函数y=f(x)反函数就是它本身.
∴=，比较系数得b=2a.
即为a,b所满足的条件.
20.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)=－f(x),又当－1≤x≤1时，f(x)=x3.
(1)证明直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴；(2)当x∈［1,5］时，求f(x)的解析式.
【解】 (1)设(x0,y0)是f(x)的图象上任意一点，它关于x=1对称的点为(x1,y1),则y0=y1,x0=2－x1,
∴y1=f(2－x1)=－f(－x1)=f(x1)
∴(x1,y1)也在y=f(x)的图象上，命题成立.
(2)∵f(x)的图象关于x=1对称，故当1≤x≤3时，f(x)=(2－x)3
又当3∴f(x)=
图2—31.2.1 任意角的三角函数（2）
一、课题：任意角的三角函数（2）
二、教学目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；
2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
三、教学重点：正弦、余弦、正切线的概念及利用。
四、教学过程：
（一）复习：（提问）
1．三角函数的定义及定义域、值域：
练习1：已知角的终边上一点，且，求的值。
解：由题设知，，所以，得，
从而，解得或．
当时，， ；
当时，，；
当时，，．
2．三角函数的符号：
练习2：已知且，
（1）求角的集合；（2）求角终边所在的象限；（3）试判断的符号。
3．诱导公式：
练习3：求下列三角函数的值：
（1）， （2）， （3）．
（二）新课讲解：
当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P，
过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反
向延长线交与点.
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
， ，
．
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦
线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。
③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。
④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4．例题分析：
例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：图略。
例2 利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。
（1）； （2）；
（3）且；
（4）； （5）且．
答案：（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）．
五、小结：1．三角函数线的定义；2．会画任意角的三角函数线
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。
六、作业： 1．利用余弦线比较的大小；
2．若，则比较、、的大小；
3．分别根据下列条件，写出角的取值范围：
（1） ； （2） ； （3）
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅳ）
（Ⅲ）
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- 2 -1．1．2程序框图 海口实验中学 李朝戟
1．1．2 程序框图(第二、三课时)
一、教学目标：
1、知识与技能：掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构；掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图。
2、过程与方法：通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵活、正确地画程序框图。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对程序框图有一个基本的了解；掌握算法语言的三种基本逻辑结构，明确程序框图的基本要求；认识到学习程序框图是我们学习计算机的一个基本步骤，也是我们学习计算机语言的必经之路。
二、重点与难点：重点是程序框图的基本概念、基本图形符号和3种基本逻辑结构，难点是能综合运用这些知识正确地画出程序框图。
三、学法与教学用具：
1、通过上节学习我们知道，算法就是解决问题的步骤，在我们利用计算机解决问题的时候，首先我们要设计计算机程序，在设计计算机程序时我们首先要画出程序运行的流程图，使整个程序的执行过程直观化，使抽象的问题就得十分清晰和具体。有了这个流程图，再去设计程序就有了依据，从而就可以把整个程序用机器语言表述出来，因此程序框图是我们设计程序的基本和开端。
2、我们在学习这部分内容时，首先要弄清各种图形符号的意义，明确每个图形符号的使用环境，图形符号间的联结方式。例如“起止框”只能出现在整个流程图的首尾，它表示程序的开始或结束，其他图形符号也是如此，它们都有各自的使用环境和作用，这是我们在学习这部分知识时必须要注意的一个方面。另外，在我们描述算法或画程序框图时，必须遵循一定的逻辑结构，事实证明，无论如何复杂的问题，我们在设计它们的算法时，只需用顺序结构、条件结构和循环结构这三种基本逻辑就可以了，因此我们必须掌握并正确地运用这三种基本逻辑结构。
3、教学用具：电脑，计算器，图形计算器
四、教学设想：
1、创设情境：
算法可以用自然语言来描述，但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观，我们更经常地用图形方式来表示它。
基本概念：
（1）起止框图： 起止框是任何流程图都不可缺少的，它表明程序的开始和结束，所以一个完整的流程图的首末两端必须是起止框。
（2）输入、输出框： 表示数据的输入或结果的输出，它可用在算法中的任何需要输入、输出的位置。图1-1中有三个输入、输出框。第一个出现在开始后的第一步，它的作用是输入未知数的系数a11,a12,a21,a22和常数项b1,b2,通过这一步，就可以把给定的数值写在输入框内，它实际上是把未知数的系数和常数项的值通知给了计算机，另外两个是输出框，它们分别位于由判断分出的两个分支中，它们表示最后给出的运算结果，左边分支中的输出分框负责输出D≠0时未知数x1,x2的值，右边分支中的输出框负责输出D=0时的结果，即输出无法求解信息。
（3）处理框： 它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号。图1-1中出现了两个处理框。第一个处理框的作用是计算D=a11a22-a21a12的值，第二个处理框的作用是计算x1=(b1a22-b2a12)/D,x2=(b2a11-b1a21)/D的值。
（4）判断框： 判断框一般有一个入口和两个出口，有时也有多个出口，它是惟一的具有两个或两个以上出口的符号，在只有两个出口的情形中，通常都分成“是”与“否”（也可用“Y”与“N”）两个分支，在图1-1中，通过判断框对D的值进行判断，若判断框中的式子是D=0，则说明D=0时由标有“是”的分支处理数据；若D≠0，则由标有“否”的分支处理数据。例如，我们要打印x的绝对值，可以设计如下框图。
开始
输入x
是 x≥0？ 否
打印x -打印x
结束
从图中可以看到由判断框分出两个分支，构成一个选择性结构，其中选择的标准是“x≥0”，若符合这个条件，则按照“是”分支继续往下执行；若不符合这个条件，则按照“否”分支继续往下执行，这样的话，打印出的结果总是x 的绝对值。
在学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：
（1）使用标准的图形符号。
（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
（3）除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的惟一符号。
（4）判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。
（5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
2、典例剖析：
例1：已知x=4,y=2,画出计算w=3x+4y的值的程序框图。
解：程序框如下图所示：
开始
输入4，2 4和2分别是x和y的值
w=3×4+4×2
输出w
结束
小结：此图的输入框旁边加了一个注释框 ，它的作用是对框中的数据或内容进行说明，它可以出现在任何位置。
基础知识应用题
1）顺序结构：顺序结构描述的是是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。
例2：已知一个三角形的三边分别为2、3、4，利用海伦公式设计一个算法，求出它的面积，并画出算法的程序框图。
算法分析：这是一个简单的问题，只需先算出p的值，再将它代入公式，最后输出结果，只用顺序结构就能够表达出算法。
程序框图：
2）条件结构：一些简单的算法可以用顺序结构来表示，但是这种结构无法对描述对象进行逻辑判断，并根据判断结果进行不同的处理。因此，需要有另一种逻辑结构来处理这类问题，这种结构叫做条件结构。它是根据指定打件选择执行不同指令的控制结构。
例3：任意给定3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，画出这个算法的程序框图。
算法分析：判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，只需要验收这3个数当中任意两个数的和是否大于第3个数，这就需要用到条件结构。
程序框图：
a+b>c , a+c>b, b+c>a是 否
否同时成立？
是
3）循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。
循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：
（1）一类是当型循环结构，如图1-5（1）所示，它的功能是当给定的条件P1成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P1 是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P1 不成立为止，此时不再执行A框，从b离开循环结构。
（2）另一类是直到型循环结构，如下图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P2是否成立，如果P2 仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P2成立为止，此时不再执行A框，从b点离开循环结构。
A A
P1？
P2？ 不成立
不成立
成立
b b
当型循环结构 直到型循环结构
（1） （2）
例4：设计一个计算1+2+…+100的值的算法，并画出程序框图。
算法分析：只需要一个累加变量和一个计数变量，将累加变量的初始值为0，计数变量的值可以从1到100。
程序框图：
i≤100？
否 是
3、课堂小结：
本节课主要讲述了程序框图的基本知识，包括常用的图形符号、算法的基本逻辑结构，算法的基本逻辑结构有三种，即顺序结构、条件结构和循环结构。其中顺序结构是最简单的结构，也是最基本的结构，循环结构必然包含条件结构，所以这三种基本逻辑结构是相互支撑的，它们共同构成了算法的基本结构，无论怎样复杂的逻辑结构，都可以通过这三种结构来表达
4、自我评价：
1）设x为为一个正整数，规定如下运算：若x为奇数，则求3x+2；若x为偶数，则为5x，写出算法，并画出程序框图。
2）画出求21+22+23+…2100的值的程序框图。
5、评价标准：
1．解：算法如下。
S1 输入x
S2 若x为奇数，则输出A=3x+2；否则输出A=5x
S3 算法结束。
程序框图如下图：
i≤30 是
否
2、 解：序框图如下图:
i≥100 否
是
6、作业：课本P11习题1.1 A组2、3
不存在这样的三角形
输入a,b,c
开始
结束
输出s
s=√p(p-2)(p-3)(p-4)
p=(2+3+4)/2
开始
存在这样的三角形
结束
开始
i=1
Sum=0
i=i+1
Sum=sum+i
输出sum
结束
开始
i=1
p=0
p=pxi
输出p
结束
i=i+1
开始
i=1
p=0
p=p+2i
输出p
结束
i=i+1
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14第三课时 正弦定理、余弦定理（一）
教学目标：
进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式；通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁作用来反映事物之间的内在联系；通过三角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化而内在实质的不变性.
教学重点：
利用正、余弦定理进行边角互换.
教学难点：
1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向；
2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
前面两节课，我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容，并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面，我们先来回顾一下正、余弦定理的内容.正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可以进行边与角之间的转换，这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用.
Ⅱ.讲授新课
［例1］已知△ABC，BD为B的平分线，求证：AB∶BC＝AD∶DC
分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而
B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为＝，＝，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.
证明：在△ABD内，利用正弦定理得：
＝，即＝
在△BCD内，利用正弦定理得：
＝，即＝.
∵BD是B的平分线.∴∠ABD＝∠DBC，
∴sinABD＝sinDBC.
∵∠ADB＋∠BDC＝180°，∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC
∴＝＝＝，∴＝
评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.
［例2］在△ABC中，求证：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC
分析：此题所证结论包含关于△ABC的边角关系，证明时可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系，若是余弦形式则通过余弦定理；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理.
另外，此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式，如sin2B＝2sinB·cosB等，以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.
证明一：（化为三角函数）
a2sin2B＋b2sin2A
＝（2RsinA）2·2sinB·cosB＋（2RsinB）2·2sinA·cosA
＝8R2sinA·sinB（sinAcosB＋cosAsinB）＝8R2sinAsinBsinC
＝2·2RsinA·2RsinB·sinC＝2absinC
所以原式得证.
证明二：（化为边的式子）
左边＝a2·2sinBcosB＋b2·2sinA·cosA
＝a2··＋b2··
＝（a2＋c2－b2＋b2＋c2－a2）
＝·2c2＝2ab·＝2absinC
评述：由边向角转化，通常利用正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，在转化为角的关系式后，要注意三角函数公式的运用，在此题用到了正弦二倍角公式sin2A＝2sinA·cosA，正弦两角和公式sin（A＋B）＝sinA·cosB＋cosA·sinB；由角向边转化，要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二.
三角形的有关证明问题，主要围绕三角形的边和角的三角函数展开，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.
［例3］已知A、B、C是△ABC的三个内角，且满足（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinAsinB
求证：A＋B＝120°
分析：要证A＋B＝120°，由于A＋B＋C＝180°，只要证明C＝60°，而已知条件为三角函数关系，故应考虑向三角函数的转化，又在0°～180°之间，余弦值所对应角唯一，故可证明cosC＝，而由余弦定理cosC＝，所以应考虑把已知的角的关系式转化为边的关系.
证明：由（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinA·sinB
可得sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA·sinB
又∵sinA＝，sinB＝，sinC＝，
∴＋－＝·
整理得a2＋b2－c2＝ab
∴cosC＝＝
又0°＜C＜180°，∴C＝60°
∴A＋B＝180°－C＝120°
评述：（1）有关三角形内角的证明，选择余弦值与正弦值相比较，要省去取舍的麻烦.但注意在根据三角函数值求角时，应先确定角的范围；
（2）在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，要求学生熟练掌握.
［例4］在△ABC中，bcosA＝acosB，试判断三角形的形状.
分析：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在已知条件的运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边，下面，我们从这两个角度进行分析.
解法一：利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA＝acosB
∴b·＝a·
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2
∴a2＝b2 ∴a＝b
故此三角形是等腰三角形.
解法二：利用正弦定理将边转化为角.
∵bcosA＝acosB
又b＝2RsinB，a＝2RsinA
∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB
∴sinAcosB－cosAsinB＝0
∴sin（A－B）＝0
∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π
∴A－B＝0，即A＝B
故此三角形是等腰三角形.
评述：（1）在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理；
（2）解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sinB·cosA＝sinAcosB两端同除以sinAsinB得cotA＝cotB，再由0＜A，B＜π，而得A＝B.
为巩固本节所学的解题方法，下面我们进行课堂练习.
Ⅲ.课堂练习
1.在△ABC中，证明下列各式：
（1）（a2－b2－c2）tanA＋（a2－b2＋c2）tanB＝0
（2）－＝－.
证明：（1）左边＝（a2－b2－c2）＋（a2－b2＋c2）
＝（a2－b2－c2）··＋（a2－b2＋c2）··
＝[＋]
＝（－1＋1）＝0＝右边
故原命题得证.
（2）左边＝－＝（－）－＋
＝－－＋＝－＝右边
故原命题得证.
评述：（1）在（1）题证明时应注意两点：一是切化弦的思路，二是结合正、余弦定理将角的关系转化为边的关系；
（2）（2）题证明过程中用到了余弦二倍角的公式，而此公式有三种形式cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A，由于考虑到等式右端为边的关系，故选用第三种形式，在转化为边的关系时较为简便.
2.在△ABC中，已知sinB·sinC＝cos2，试判断此三角形的类型.
解：∵sinB·sinC＝cos2，∴sinB·sinC＝
∴2sinB·sinC＝1＋cos［180°－（B＋C）］
将cos（B＋C）＝cosBcosC－sinBsinC代入上式得cosBcosC＋sinBsinC＝1
∴cos（B－C）＝1
又0＜B，C＜π，∴－π＜B－C＜π
∴B－C＝0，∴B＝C
故此三角形是等腰三角形.
评述：（1）此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式cosA＝2cos2－1的逆用，要求学生注意；
（2）由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒等变形.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断.其中，要求大家重点体会正、余弦定理的边角转换功能.
Ⅴ.课后作业
补充作业：
1.在△ABC中，已知＝，求证：2b2＝a2＋c2.
证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）
cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B
2cos2B＝cos2A＋cos2C
2·＝＋
∴2sin2B＝sin2A＋sin2C
由正弦定理可得2b2＝a2＋c2.
2.在△ABC中，A＝30°，cosB＝2sinB－sinC.
（1）求证：△ABC为等腰三角形；（提示B＝C＝75°）
（2）设D为△ABC外接圆的直径BE与AC的交点，且AB＝2，求AD∶DC的值.
答案：（1）略 （2）1∶
- 4 -秦九韶算法
一、教学目标：使学生掌握秦九韶算法的基本思想方法，并会设计其程序框图，且会将其转化为程序语句。
二、德育目标：通过学习使学生了解中国古代数学对世界数学发展的贡献。
三、教学重点和难点：程序框图的设计。
四、教学过程：
1、引入：秦九韶简介：秦九韶 （公元1202-1261年）南宋，数学家。他在1247年（淳佑七年）着成『数书九章』十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。这是一部划时代的巨著，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对「大衍求一术」﹝一次同余组解法）和「正负开方术」﹝高次方程的数值解法）等有十分深入的研究。其中的”大衍求一术”﹝一次同余组解法），在世界数学史上占有崇高的地位。在古代＜孙子算经＞中载有”物不知数”这个问题，举例说明：有一数，三三数之余二，五五数之余二，七七数之余二，问此数为何？这一类问题的解法可以推广成解一次同余式组的一般方法．奏九韶给出了理论上的证明，并将它定名为”大衍求一术”。这节课我们主要研究的是秦九韶算法中的一种。即f(x)=1+x+0.5x2+0.16667x3+0.04167x4+0.00833x5
在x=-0.2的值
2、新授：
（1） 问题的转化：
先由学生直接代入计算的结果；然后再代入
f(x)=1+(1+(0.5+（0.16667+（0.04167+0.00833x）x）x)x)x
计算并把两算法进行比较，显然后者的计算量要少的多。因此计算类似问题可以用逐次提取的办法，然后利用递推公式：
进行计算，于是可以利用循环结构设计出算法。
（2）程序及框图：
（3）Scilab语言：
x=input("Please Enter x:");
n=input("Please Enter n:");
result=input("The first xishu");
for i=1:1:n
a=input("xishu: ");
result=result*x+a;
end
disp(result,"The result is:");
3、课堂小结：
4、课堂练习：
（1） 用秦九韶算法求多项式
f(x)=9x6+21x5+7x4+64x3+34x2+8x+1的值时，需要的乘法运算次数是 ，加法运算次数是 。
（2）写出求x=23时，多项式7x3+3x2-5x+11的值的一个算法。
5、课后作业：
课本39页习 题1—3A组 第4题
开始
输入 x,n;a0,a1,a2,…,an
k=n,s=an
k>0
否
是
k=k-1
S=ak+Sx
输出S
结束第八课时 基本不等式（一）
教学目标：
1． 学会推导并掌握均值不等式定理；
2． 能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。
教学重点：均值不等式定理的证明及应用。
教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。
教学过程：
重要不等式：如果a、b∈R，那么a 2＋b 2 ≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）
证明：a 2＋b 2－2ab＝（a－b）2
当a≠b时，（a－b）2＞0，当a＝b时，（a－b）2＝0
所以，（a－b）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab
由上面的结论，我们又可得到
定理：如果a，b是正数，那么 ≥（当且仅当a＝b时取“＝”号）
证明：∵（）2＋（）2≥2
∴a ＋b≥2 即 ≥
显然，当且仅当a＝b时，＝
说明：1）我们称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2）a 2＋b 2≥2ab和≥成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.
3）“当且仅当”的含义是充要条件.
4）数列意义
问：a，b∈R－？
例题讲解：
例1 已知x，y都是正数，求证：
（1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2
证明：因为x，y都是正数，所以 ≥
（1）积xy为定值P时，有≥ ∴x＋y≥2
上式当x＝y时，取“＝”号，因此，当x＝y时，和x＋y有最小值2.
（2）和x＋y为定值S时，有≤ ∴xy≤ S 2
上式当x=y时取“＝”号，因此，当x=y时，积xy有最大值S 2.
说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：
ⅰ）函数式中各项必须都是正数;
ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
ⅲ）等号成立条件必须存在。
师：接下来，我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用.
例2 ：已知a、b、c、d都是正数，求证：
（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd
分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.
证明：由a、b、c、d都是正数，得
≥＞0，≥＞0，
∴≥abcd
即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd
例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.
解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得
l＝240000＋720（x＋）≥240000＋720×2 eq \r(x·)
＝240000＋720×2×40＝297600
当x＝，即x＝40时，l有最小值297600
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.
为了进一步熟悉均值不等式定理在证明不等式与求函数最值中的应用，我们来进行课堂练习.
课本P91练习1，2，3，4.
3．课堂小结
通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
4．课后作业
P94习题 1，2，3
教学后记：
- 3 -2.2 用样本估计总体 · 海口实验中学 覃荣学·
２.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(2课时)
教学目标：
知识与技能
（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
过程与方法
在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观
会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。
重点与难点
重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
教学设想
【创设情境】
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。
【探究新知】
<一>、众数、中位数、平均数
〖探究〗：P62
（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？
（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）
初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见课本第62页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。
〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）
分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。
〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？
分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为2.02。（图略见课本63页图2.2-6）
〖思考〗：2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）
（课本63页图2.2-6）显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。
〖思考〗：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？（让学生讨论，并举例）
<二>、标准差、方差
１．标准差
平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断。某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为１７６㎝，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高。但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质。因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态。
例如，在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？
我们知道，。
两个人射击的平均成绩是一样的。那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察Ｐ６６图２.２-８）直观上看，还是有差异的。很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据。
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。
样本数据的标准差的算法：
（1） 、算出样本数据的平均数。
（2） 、算出每个样本数据与样本数据平均数的差：
（3） 、算出（２）中的平方。
（4） 、算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。
（5） 、算出（４）中平均数的算术平方根，，即为样本标准差。
其计算公式为：
显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
〖提问〗：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？
从标准差的定义和计算公式都可以得出：。当时，意味着所有的样本数据都等于样本平均数。
（在课堂上，如果条件允许的话，可以给学生简单的介绍一下利用计算机来计算标准差的方法。）
２．方差
从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方（即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：
在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。
【例题精析】
〖例1〗：画出下列四组样本数据的直方图，说明他们的异同点。
(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５
(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６
(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７
(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８
分析：先画出数据的直方图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差。
解：（图略，可查阅课本Ｐ６８）
四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。
他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的。
〖例2〗：（见课本Ｐ６９）
分析： 比较两个人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本数据的平均数、标准差，以此作为两个总体之间的差异的估计值。
【课堂精练】
P７１ 练习 1. 2. 3　４
【课堂小结】
1． 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：
（1） 用样本平均数估计总体平均数。
（2） 用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大，估计就越精确。
2． 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。
3． 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度。
【评价设计】
1．P７２ 习题2.2 A组 ３、 ４、１０
PAGE
3第三课时 两角和与差的正切
教学目标：
掌握T（α＋β），T（α－β)的推导及特征，能用它们进行有关求值、化简；提高学生简单的推理能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.
教学重点：
两角和与差的正切公式的推导及特征.
教学难点：
灵活应用公式进行化简、求值.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ（S（α＋β））
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β））
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ（C（α－β））
要准确把握上述各公式的结构特征.
Ⅱ.讲授新课一、推导公式
上述公式结合同角三角函数的基本关系式，我们不难得出：
当cos（α＋β）≠0时
tan（α＋β）＝＝
如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0，我们可以
将分子、分母都除以cosαcosβ，从而得到：
tan（α＋β）＝
不难发现，这一式子描述了两角α与β的和的正切与这两角的正切的关系.
同理可得：tan（α－β）＝
或将上式中的β用－β代替，也可得到此式.
这一式子又描述了两角α与β的差的正切与这两角的正切的关系.
所以，我们将这两式分别称为两角和的正切公式、两角差的正切公式，
简记为T（α＋β），T（α－β）.
但要注意：运用公式T（α±β）时必须限定α、β、α±β都不等于＋kπ（k∈Z），因为tan（＋kπ）不存在.
下面我们看一下它们的应用
二、例题讲解
［例1］不查表求tan75°，tan15°的值.
解：tan75°＝tan（45°＋30°）
＝＝ eq \f(＋1,1－) ＝2＋
tan15°＝tan（45°－30°）
＝＝ eq \f(1－,1＋) ＝2－
［例2］求下列各式的值
（1） （2）
(1)分析：观察题目结构，联想学过的公式，不难看出可用两角差的正切公式.
解：＝tan（71°－26°）＝tan45°＝1
(2)分析：虽不可直接使用两角和的正切公式，但经过变形可使用之求解.
解：由tan150°＝tan（75°＋75°）＝
得：＝2·
＝2·＝2cot150°＝2cot（180°－30°）＝－2cot30°＝－2
说明：要熟练掌握公式的结构特征，以灵活应用.
［例3］利用和角公式计算的值.
分析：因为tan45°＝1，所以原式可看成
这样,我们可以运用正切的和角公式，把原式化为tan（45°＋15°）,从而求得原式的值.
解：∵tan45°＝1
∴＝＝tan（45°＋15°)＝tan60°＝
说明：在解三角函数题目时，要注意“1”的妙用.
［例4］若tan（α＋β）＝，tan（β－）＝，求tan（α＋）的值.
分析：注意已知角与所求角的关系，则可发现（α＋）＋（β－）＝α＋β，所以可将α＋化为（α＋β）－（β－），从而求得tan（α＋）的值.
解：tan（α＋）＝tan［（α＋β）－（β－)］
＝ eq \f(tan（α＋β）－tan（β－）,1＋tan（α＋β）tan（β－）)
将tan（α＋β）＝，tan（β－)＝代入上式，则，原式＝ eq \f(－,1＋×) ＝
［例5］已知tanα＝，tan（α－β）＝－，求tan（β－2α).
解：∵α＋（α－β）＝2α－β
∴tan（β－2α）＝tan［－（2α－β）］
＝－tan（2α－β）＝－tan［α＋（α－β)］
＝＝ eq \f(＋（－）,×（－）－1) ＝－
4.证明tan－tan＝
分析：细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系：＋＝2x，－＝x
∴sinx＝sincos－cossin ①
cosx＋cos2x＝2coscos ②
①÷②即得：
＝ eq \f(sin,cos) － eq \f(sin,cos) ＝tan－tan.
Ⅲ.课堂练习
1.化简下列各式
(1)tan（α＋β）·（1－tanαtanβ） (2) －1
(3)
解：（1）tan（α＋β）（1－tanαtanβ）
＝（1－tanαtanβ）＝tanα＋tanβ
(2) －1＝ eq \f(tanα－tanβ, ) －1 ＝1＋tanαtanβ－1＝tanαtanβ
(3) ＝tan［（α－β）＋β］＝tanα
说明：这一题目若将tan（α－β）用两角差的正切公式展开，则误入歧途，要注意整体思想.
2.求值：
(1) (2)
(3)tan21°（1＋tan24°）＋tan24°
解：(1) ＝tan（35°＋25°）＝tan60°＝
(2) ＝tan（86°－26°）＝tan60°＝
（3）分析：因为tan21°＝tan（45°－24°）＝
又因为tan45°＝1
所以，1＋tan24°＝1＋tan45°tan24°
这样，可将原式化为：
tan（45°－24°）（1＋tan45°tan24°）＋tan24°
从而求得原式的值.
解：tan21°（1＋tan24°）＋tan24°
＝tan（45°－24°）（1＋tan45°tan24°）＋tan24°
＝（1＋tan45°tan24°）＋tan24°＝1
Ⅳ.课时小结
正切的和、差角公式以及它们的等价变形.
即：tan（α±β）＝ eq \f(tanα±tanβ,1tanαtanβ)
Tanα±tanβ＝tan（α±β）［1tanαtanβ］
1tanαtanβ＝ eq \f(tanαtanβ,1±tanαtanβ)
这些公式在化简、求值、证明三角恒等式时都有不少用处.
Ⅴ.课后作业
课本P105习题 1，2，3，4
- 4 -第三课时 等差数列(一)
教学目标：
明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题；培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识.
教学重点：
1.等差数列的概念的理解与掌握.
2.等差数列的通项公式的推导及应用.
教学难点：
等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子
Ⅱ.讲授新课
1，2，3，4，5，6； ①
10，8，6，4，2，…； ②
21，21，22，22，23，23，24，24，25 ③
2，2，2，2，2，… ④
首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点 是否可以写出这些数列的通项公式？（引导学生积极思考，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点）
数列①是一递增数列，后一项总比前一项多1，其通项公式为：an＝n(1≤n≤6).
数列②是由一些偶数组成的数列，是一递减数列，后一项总比前一项少2，其通项公式为：an＝12－2n(n≥1).
数列③是一递增数列，后一项总比前一项多，其通项公式为：an＝20＋n（1≤n≤9)
数列④的通项公式为：an＝2(n≥1)是一常数数列.
综合上述所说，它们的共同特点是什么呢？
它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数.
也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.
1.定义
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.
如：上述4个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，－2，，0.
2.等差数列的通项公式
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：
(n－1)个等式
若将这n－1个等式左右两边分别相加，则可得：an－a1＝(n－1)d 即：an＝a1＋(n－1)d
当n＝1时，等式两边均为a1，即上述等式均成立，则对于一切n∈N*时上述公式都成立，所以它可作为数列{an}的通项公式.
或者由定义可得：a2－a1＝d即：a2＝a1＋d；a3－a2＝d即：a3＝a2＋d＝a1＋2d；a4－a3＝d即：a4＝a3＋d＝a1＋3d；……；an－an－1＝d，即：an＝an－1＋d＝a1＋(n－1)d
看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项.
如数列①：an＝1＋(n－1)×1＝n(1≤n≤6),
数列②：an＝10＋(n－1)×(－2)＝12－2n(n≥1),
数列③：an＝22＋(n－1) ＝21－n (n≥1),
数列④：an＝2＋(n－1)×0＝2(n≥1)
由通项公式可类推得：am＝a1＋(m－1)d，即：a1＝am－(m－1)d，则：
an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.
如：a5＝a4＋d＝a3＋2d＝a2＋3d＝a1＋4d
3.例题讲解
［例1］(1)求等差数列8，5，2…的第20项.
分析：由给出的三项先找到首项a1,求出公差d，写出通项公式，然后求出所要项.
解：由题意可知：a1＝8，d＝5－8＝2－5＝－3
∴该数列通项公式为：an＝8＋(n－1)×(－3)，即：an＝11－3n(n≥1)，当n＝20时，则a20＝11－3×20＝－49.
答案：这个数列的第20项为－49.
(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13…的项 如果是，是第几项
分析：要想判断－401是否为这数列的一项，关键要求出通项公式，看是否存在正整数n，可使得an＝－401.
解：由题意可知：a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4,
∴数列通项公式为：an＝－5－4(n－1)＝－4n－1.
令－401＝－4n－1，解之得n＝100.
∴－401是这个数列的第100项.
［例2］在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.
解：由题意可知，
这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a1＝－2，d＝3.
即这个等差数列的首项是－2，公差是3.
［例3］在等差数列{an}中，已知a5＝10，a15＝25，求a25.
思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a1和d，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a25.
解法一：设数列{an}的首项为a1,公差为d,则根据题意可得：
这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a1＝4，d＝.
∴这个数列的通项公式为：an＝4＋×(n－1)，即：an＝n＋.
∴a25＝×25＋＝40.
思路二：若注意到已知项为a5与a15，所求项为a25，则可直接利用关系式an＝am＋(n－m)d.这样可简化运算.
解法二：由题意可知：a15＝a5＋10d，即25＝10＋10d,
∴10d＝15.
又∵a25＝a15＋10d，∴a25＝25＋15＝40.
思路三：若注意到在等差数列{an}中，a5，a15，a25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a25的值.
解法三：在等差数列{an}中，a5，a15，a25成等差数列
∴2a15＝a5＋a25，即a25＝2a15－a5,
∴a25＝2×25－10＝40.
［例4］已知等差数列{an}中，a15＝33，a45＝153，试问217是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由.
分析：这是一个探索性问题，但由于在条件中已知道两项的值，所以，在求解方法上，可以考虑运用方程思想求解基本量a1和d，也可以利用性质求d，再就是考虑运用等差数列的几何意义.
解法一：由通项公式，
知 得：
由217＝－23＋4(n－1)，得n＝61.
解法二：由等差数列性质，得a45－a15＝30d＝153－33，即d＝4
又an＝a15＋(n－15)d，217＝33＋4(n－15)，解得n＝61.
解法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点
由于P（15，33），Q（45，153），R（n，217）在同一条直线上.
故有＝，解得n＝61.
评述：运用等差数列的通项公式，知三求一.如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质，几何意义去考虑也可以，因此要根据具体问题具体分析.
［例5］已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值.
解法一：利用通项公式，设数列{an}的首项为a1,公差为d
则 eq \b\lc\{(\a\al(a1＋2d＝,a1＋6d＝－)) 解之得 eq \b\lc\{(\a\al(a1＝,d＝－))
a15＝a1＋14d＝＋14×(－)＝－
解法二：利用等差数列的性质a7＝a3＋4d把已知条件代入,得：d＝－
∴a15＝a7＋(15－7)d＝－.
解法三：∵{an}为等差数列，
∴a3,a7,a11,a15……也成等差数列
由a3＝，a7＝－
知上述数列首项为，公差为－2
∴a15＝＋(3－1)·（－2）＝－
［例6］两个等差数列5，8，11，……和3，7，11，……都有100项，那么它们共有多少相同的项？
分析：显然，已知的两数列的所有相同的项将构成一个新的数列{an}，这样问题就转化为一个研究数列{an}的项数问题了.
解法一：设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn}，c1=11,
又数列5，8，11，……的通项公式为an＝3n＋2，数列3，7，11，……的通项公式为bn＝4n－1.
∴数列{cn}为等差数列，且d＝12.∴cn＝12n－1
又∵a100＝302，b100＝399，∴cn＝12n－1＜302
得n≤25，可见已知两数列共有25个相同的项.
解法二：∵an＝3n＋2，bn＝4n－1，设an＝bm
则有3n＋2＝4m－1(n，m∈N*)，即n＝m－1(n，m∈N*)
要使n为正整数，m必须是3的倍数.
设m＝3k(k∈N*)，代入前式得n＝4k－1
又∵1≤3k≤100，且1≤4k－1≤100，解得1≤k≤25
∴共有25个相同的项.
［例7］一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？
解：由 得－4.6＜d＜－ 答案：－4
Ⅲ.课堂练习
课本P34练习1，2，3
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.
解：根据题意可知：a1＝3，d＝7－3＝4.
∴该数列的通项公式为：an＝3＋(n－1)×4，即an＝4n－1(n≥1，n∈N*)
∴a4＝4×4－1＝15，a10＝4×10－1＝39.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
解：根据题意可知：a1＝10，d＝8－10＝－2.
∴该数列的通项公式为：an＝10＋(n－1)×(－2)，即：an＝－2n＋12，
∴a20＝－2×20＋12＝－28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.
解：根据题意可得：a1＝2，d＝9－2＝7.
∴此数列通项公式为：an＝2＋(n－1)×7＝7n－5.
令7n－5＝100，解得：n＝15,
∴100是这个数列的第15项.
（4）－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
解：由题意可知：a1＝0，d＝－3
∴此数列的通项公式为：an＝－n＋
令－n＋＝－20，解得n＝
因为－n＋＝－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.
2.在等差数列{an}中，（1）已知a4＝10，a7＝19，求a1与d；
(2)已知a3＝9，a9＝3，求a12.
解：（1）由题意得： 解之得：
(2)解法一：由题意可得： 解之得：
∴该数列的通项公式为：an＝11＋(n－1)×(－1)＝12－n
∴a12＝0
解法二：由已知得：a9＝a3＋6d，即：3＝9＋6d
∴d＝－1
又∵a12＝a9＋3d，∴a12＝3＋3×(－1)＝0.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an－1＝d(n≥2).其次，要会推导等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d(n≥1)，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：an＝am＋(n－m)d的理解与应用.
Ⅴ.课后作业
课本P39习题 1，2，3，4
- 6 -2.1.3 分层抽样
教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解分层抽样的概念；
（2）掌握分层抽样的一般步骤；
（3）区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当正确的方法进行抽样。
2、过程与方法：通过对现实生活中实际问题进行分层抽样，感知应用数学知识解决实际问题的方法。
3、情感态度与价值观：通过对统计学知识的研究，感知数学知识中“估计
与“精确”性的矛盾统一，培养学生的辩证唯物主义的世界观与价值观。
4、重点与难点：正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本，并恰当的选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题。
教学设想：
【创设情景】
假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，此地
教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的
小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？
【探究新知】
一、分层抽样的定义。
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。
【说明】分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：
（1）分层：将相似的个体归人一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则。
（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。
二、分层抽样的步骤：
（1）分层：按某种特征将总体分成若干部分。
（2）按比例确定每层抽取个体的个数。
（3）各层分别按简单随机抽样的方法抽取。
（4）综合每层抽样，组成样本。
【说明】
（1）分层需遵循不重复、不遗漏的原则。
（2）抽取比例由每层个体占总体的比例确定。
（3）各层抽样按简单随机抽样进行。
探究交流
（1）分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每层抽取若干个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行 （ ）
A、每层等可能抽样
B、每层不等可能抽样
C、所有层按同一抽样比等可能抽样
（2）如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n
样本，那么每个个体被抽到的可能性为 （ ）
A． B. C. D.
点拨：
（1）保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽
共同的特征，为了保证这一点，分层时用同一抽样比是必不可少的，故此选C。
（2）根据每个个体都等可能入样，所以其可能性本容量与总体容量
比，故此题选C。
知识点2 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较
类 别 共同点 各自特点 联 系 适 用范 围
简 单随 机抽 样 （1）抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等（2）每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样 从总体中逐个抽取 总体个数较少
将总体均分成几部 分，按预先制定的规则在各部分抽取 在起始部分样时采用简随机抽样 总体个数较多
系 统抽 样
将总体分成几层，分层进行抽取 分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成
分 层抽 样
【例选精析】
例1、 某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为
A.15,5,25 B.15,15,15
C.10,5,30 D15,10,20
[分析]因为300：200：400=3：2：4，于是将45分成3：2：4的三部分。设三部分各抽取的个体数分别为3x,2x,4x,由3x+2x+4x=45，得x=5，故高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为15，10，20，故选D。
例2：一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3：2：5：2：3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程。
[分析]采用分层抽样的方法。
解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下：
（1）将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层。
（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本。
300×3/15=60（人），300×2/15=100（人），300×2/15=40（人），300×2/15=60（人），因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、40人、60 人。
（3）将300人组到一起，即得到一个样本。
【课堂练习】P52 练习1. 2. 3
【课堂小结】
1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：
（1）、分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠。
（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。
（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。
2、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。
【评论设计】
1、某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽取方法是 （ ）
A．简单随机抽样
B．系统抽样
C．分层抽样
D．先从老人中剔除1人，然后再分层抽样
2、某校有500名学生，其中O型血的有200人，A型血的人有125人，B型血的有125人，AB型血的有50人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个20人的样本，按分层抽样，O型血应抽取的人数为 人，A型血应抽取的人数为 人，B型血应抽取的人数为 人，AB型血应抽取的人数为 人。
3、某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2,若该校取一个容量为n的样本，则n= 。
4、对某单位1000名职工进行某项专门调查，调查的项目与职工任职年限有关，人事部门提供了如下资料：
任职年限 5年以下 5年至10年 10年以上
人数 300 500 200
试利用上述资料设计一个抽样比为1/10的抽样方法。第27课时 对数函数的运用
教学目标：
使学生掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法，掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法，培养学生的数学应用意识；认识事物之间的内在联系及相互转化，用联系的观点分析问题、解决问题.
教学重点：
复合函数单调性、奇偶性的讨论方法.
教学难点：
复合函数单调性、奇偶性的讨论方法.
教学过程：
［例1］设loga＜1，则实数a的取值范围是
A.0＜a＜ B. ＜a＜1
C.0＜a＜或a＞1 D.a＞
解：由loga＜1＝logaa得
(1)当0＜a＜1时，由y＝logax是减函数，得：0＜a＜
(2)当a＞1时，由y＝logax是增函数，得：a＞，∴a＞1
综合（1）(2)得：0＜a＜或a＞1 答案：C
［例2］三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是
A.0.76＜log0.76＜60.7 B.0.76＜60.7＜log0.76
C.log0.76＜60.7＜0.76 D.log0.76＜0.76＜60.7
解：由于60.7＞1，0＜0.76＜1，log0.76＜0 答案：D
［例3］设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1+x)|的大小
解法一：作差法
|loga(1－x)|－|loga(1+x)|＝| |－| |
＝(|lg(1－x)|－|lg(1+x)|)
∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1+x
∴上式＝－ [（lg(1－x)+lg(1+x)]＝－·lg(1－x2)
由0＜x＜1，得lg(1－x2)＜0，∴－·lg(1－x2)＞0，
∴|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|
解法二：作商法
＝|log(1－x)(1+x)|
∵0＜x＜1 ∴0＜1－x＜1+x
∴|log(1－x)(1+x)|＝－log(1－x)(1+x)＝log(1－x)
由0＜x＜1 ∴1+x＞1，0＜1－x2＜1
∴0＜(1－x)(1+x)＜1 ∴＞1－x＞0
∴0＜log(1－x) ＜log(1－x)(1－x)＝1
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
解法三：平方后比较大小
∵loga2（1－x）－loga2(1＋x)＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga（1－x）－loga(1＋x)]
＝loga(1－x2)·loga＝·lg(1－x2)·lg
∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜＜1
∴lg(1－x2)＜0，lg＜0
∴loga2(1－x)＞loga2(1+x)
即|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|
解法四：分类讨论去掉绝对值
当a＞1时，|loga（1－x）|－|loga(1+x)|
＝－loga(1－x)－loga(1+x)＝－loga(1－x2)
∵0＜1－x＜1＜1+x，∴0＜1－x2＜1
∴loga(1－x2)＜0， ∴－loga(1－x2)＞0
当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga（1－x）＞0，loga(1+x)＜0
∴|loga(1－x)|－|loga(1+x)|＝|loga(1－x)+loga(1+x)|＝loga(1－x2)＞0
∴当a＞0且a≠1时，总有|loga（1－x）|＞|loga(1+x)|
［例4］已知函数f(x)＝lg[（a2－1）x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.
解：依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立.
当a2－1≠0时，其充要条件是：
解得a＜－1或a＞
又a＝－1，f(x)＝0满足题意，a＝1不合题意.
所以a的取值范围是：（－∞，－1]∪（，+∞）
［例5］已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，比较f(x)与g(x)的大小
解：易知f(x)、g(x)的定义域均是：（0，1）∪（1，+∞）
f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx(x).
①当x＞1时，若x＞1，则x＞，这时f(x)＞g(x).
若x＜1，则1＜x＜，这时f(x)＜g(x)
②当0＜x＜1时，0＜x＜1，logxx＞0，这时f(x)＞g(x)
故由（1）、（2）可知：当x∈(0，1)∪（，+∞）时，f(x)＞g(x)
当x∈（1，）时，f(x)＜g(x)
［例6］解方程：2(9x－1－5)＝[4（3x－1－2）]
解：原方程可化为
(9x－1－5)＝[4（3x－1－2）]
∴9x－1－5＝4(3x－1－2) 即9x－1－4·3x－1+3＝0
∴(3x－1－1)(3x－1－3)＝0 ∴3x－1＝1或3x－1＝3
∴x＝1或x＝2 经检验x＝1是增根
∴x＝2是原方程的根.
［例7］解方程log2（2-x－1）(2-x+1－2)＝－2
解：原方程可化为：
log2（2-x－1）(－1)log2[2（2-x－1）]＝－2
即：log2(2-x－1)[log2(2-x－1)＋1]＝2
令t＝log2(2-x－1)，则t2＋t－2＝0
解之得t＝－2或t＝1
∴log2(2-x－1)＝－2或log2(2-x－1)＝1
解之得：x＝－log2或x＝－log23
- 3 -2.4 向量的数量积（1）
一、课题：向量的数量积（1）
二、教学目标：1．理解平面向量数量积的概念；
2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围；
3．掌握两向量共线及垂直的充要条件；
4．掌握向量数量积的性质。
三、教学重、难点：向量数量积及其重要性质。
四、教学过程：
（一）引入：
物理课中，物体所做的功的计算方法：
（其中是与的夹角）．
（二）新课讲解：
1．向量的夹角：
已知两个向量和（如图2），作，，则
（）叫做向量与的夹角。
当时，与同向；
当时，与反向；
当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作．
2．向量数量积的定义：
已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即．
说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角
有关；
②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实
数与向量的积是一个向量；
③规定，零向量与任一向量的数量积是．
3．数量积的几何意义：
（1）投影的概念：
如图，，，过点作垂直于直线，垂足为，则．
叫做向量在方向上的投影，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它
是一负值；当时，它是；当时，它是；当时，它是．
（2）的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影
的乘积。
【练习】：①已知，，与的夹角，则；
②已知，在上的投影是，则 8 ；
③已知，，，则与的夹角．
（3）数量积的性质：
设、都是非零向量，是与的夹角，则
①；
②当与同向时，；当与反向时，；
特别地：或；
③；
④；
若是与方向相同的单位向量，则
⑤．
4．例题分析：
例1 已知正的边长为，设，，，求．
解：如图，与、与、与夹角为，
∴原式
．
例2 已知，，，且，求．
解：作，，
∵， ∴，
∵且，
∴中，， ∴，∴，，
所以，．
五、课后练习：
补充：1．若非零向量与满足，则 0 ．
六、课堂小结：1．向量数量积的概念；
2．向量数量积的几何意义；
3．向量数量积的性质。
七、作业：
（图1）
（图2）
PAGE
- 3 -第一课时 正弦定理
教学目标：
掌握正弦定理推导过程，会利用正弦定理证明简单三角形问题，会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.
教学重点：
正弦定理证明及应用.
教学难点：
正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
在初中，我们已经会解直角三角形.就是说，已会根据直角三角形中已知的边与角求出未知的边与角，而在直角三角形中，有如下的边角关系.
＝＝
那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢 这也是我们这一节课将要研究的问题.
Ⅱ.讲授新课
对于＝＝这一关系的证明，我们一起来看下面的证法.
如图，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC
的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B′，设BB′＝2R.
则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以
得到：
∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′
∴sinC＝sinB′＝ ∴＝2R
同理可得＝2R，＝2R
∴＝＝＝2R
这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立.因此，我们得到下面的定理.
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，即
＝＝
说明：上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证，此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受，并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.
接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一处知识点体现边角关系呢
向量的数量积的定义式：
a·b＝｜a｜｜b｜cosθ，其中θ为两向量的夹角.
但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢
可以通过三角函数的诱导公式
sinθ＝cos(90°－θ)进行转化.
这一转化产生了新角90°－θ，这就为辅助向量j的添加提供了线索，为方便进一步的运算，辅助向量选取了单位向量j，而j垂直于三角形一边，且与一边夹角出现了90°－θ这一形式，这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因.
在向量方法证明过程中，构造向量是基础，并由向量的加法原则可得
＋＝.
而添加垂直于的单位向量j是关键，为了产生j与、、的数量积，而在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算，也就在情理之中了.
下面，大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程，并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.
说明：(1)在给予学生适当自学时间后，应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提，以及两向量垂直的充要条件的运用.
(2)要求学生在巩固向量知识的同时，进一步体会向量知识的工具性作用.
向量法证明过程：
(1)△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于，
则j与的夹角为90°－A，j与的夹角为90°－C.
由向量的加法原则可得：＋＝
为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算，得到：j·(＋)＝j·
由分配律可得：j·＋j·＝j·
∴｜j｜｜｜cos90°＋｜j｜｜｜cos(90°－C)＝｜j｜｜｜cos(90°－A)
∴asinC＝csinA
∴＝
另外，过点C作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为
90°＋C，j与的夹角为90°＋B，可得＝.
(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j与的夹角为90°－C，j与的夹角为90°－B)
∴＝＝.
(2)△ABC为钝角三角形，不妨设A＞90°过点A作与垂直
的单位向量j，则j与的夹角为A－90°，j与的夹角
为90°－C.
由＋＝得：j·＋j·＝j·
即a·cos(90°－C)＝c·cos(A－90°)
∴asinC＝csinA
∴＝
另外，过点C作与垂直的单位向量j，则j与夹角为90°＋C，j与夹角为90°＋B，同理可得＝
∴＝＝
综上所述，正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.
在证明了正弦定理之后，我们来进一步学习正弦定理的应用.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题.
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.
这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易.
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.此类问题变化较多。
(1)A为锐角
(2)A为直角或钝角
接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结.
［例1］在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求b(保留两个有效数字).
分析：如图，此题属于已知两角和其中一角求对边的问题，
直接应用正弦定理可求出边a，若求边b，则需通过三角形
内角和为180°，求出角B，再利用正弦定理求出边b.
解：∵B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°，
＝，
∴b＝＝≈19
评述：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和180°求出第三角，再利用正弦定理.
(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器，但应注意如下约定：当计算器所示结果为准确数时，或者为不少于四个有效数字的近似数而需要保留四个有效数字时，一律使用等号；保留的有效数字不少于四个时，使用约等号.
［例2］在△ABC中，已知a＝20，b＝28，A＝40°，求B(精确到1°)和c(保留两个有效数字).
分析：此例题属于bsinA＜a＜b的情形，故有两解.这样在求解之后呢，可以无需作进一步的检验，使学生在运用正弦定理求边、角时，感到目的很明确，同时体会分析问题的重要性.
解：∵sinB＝＝＝0.8999，
∴B1＝64°，B2＝116°
当B1＝64°时，C1＝180°－(B1＋A)
＝180°－(64°＋40°)＝76°，
∴c1＝＝≈30.
当B2＝116°时，C2＝180°－(B2＋A)
＝180°－(116°＋40°)＝24°，
∴c2＝＝≈13.
评述：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理所求角有两种可能，但是都不符合题意，可以通过分析获得，这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符题意的解的取舍，也可通过三角形的有关性质来判断，对于这一点，我们通过下面的例题来体会.
［例3］在△ABC中，已知a＝60，b＝50，A＝38°，求B(精确到1°)和c(保留两个有效数字).
分析：此例题属于a≥b这一类情形，有一解，也可根据三角形内大角对大边，小角对小边这一性质来排除B为钝角的情形.
解：已知b＜a，所以B＜A，因此B也是锐角.
∵sinB＝＝＝0.5131，
∴B＝31°，
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(38°＋31°)＝111°
∴c＝＝≈91.
评述：同样是已知两边和一边对角，但可能出现不同的结果，应强调学生注意解题的灵活性.对于例3，如果没有考虑到角B所受限制而求出角B的两个解，进而求出边c两解，也可利用三角形内两边之和大于第三边，两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符题意的解.
［例4］在△ABC中，已知a＝28，b＝20，A＝120°，求B(精确到1°)和c(保留两个有效数字).
分析：此例题属于A为钝角且a＞b的情形，有一解.也可应用正弦定理求解角B后，利用三角形内角和为180°排除角B为钝角情形.
解：∵sinB＝＝＝0.6187
∴B1＝38°，B2＝142°(舍)
∴C＝180°－(A＋B)＝22°
∴c＝＝≈8.7
评述：(1)此题要求学生注意考虑问题的全面性.对于角B为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.
(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围，已知两角一边或两边与其中一边的对角.
(3)对于已知两边夹角这一类型，将通过下一节所学习的余弦定理求解.
为巩固本节我们所学内容，接下来进行课堂练习.
Ⅲ.课堂练习
1.在△ABC中(结果保留两个有效数字).
(1)已知c＝，A＝45°，B＝60°，求b；
(2)已知b＝12，A＝30°，B＝120°，求a.
解：(1)∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°
＝
∴b＝＝ eq \f(·sin600,sin750) ≈1.6
(2)∵＝
∴a＝＝≈6.9
评述：此题为正弦定理的直接应用，意在使学生熟悉正弦定理的内容，可以让数学成绩较弱的学生进行板演，以增强其自信心.
2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°，边长精确到1)：
(1)b＝11，a＝20，B＝30°；
(2)a＝28，b＝20，A＝45°；
(3)c＝54，b＝39，C＝115°；
(4)a＝20，b＝28，A＝120°.
解：(1)∵＝
∴sinA＝＝＝0.9091
∴A1＝65°，A2＝115°
当A1＝65°时，C1＝180°－(B＋A1)＝180°－(30°＋65°)＝85°
∴c1＝＝≈22.
当A2＝115°时，C2＝180°－(B＋A2)＝180°－(30°＋115°)＝35°
∴c2＝＝≈13.
(2)∵sinB＝＝＝0.5051
∴B1＝30°，B2＝150°
由于A＋B2＝45°＋150°＞180°，故B2＝150°应舍去(或者由b＜a知B＜A，故B应为锐角)
∴C＝180°－(45°＋30°)＝105°
∴c＝＝≈38
(3)∵＝，∴sinB＝＝
∴B1＝41°，B2＝139°
由于b＜c故B＜C ∴B2＝139°应舍去
∴B＝41°，A＝180°－(41°＋115°)＝24°
a＝＝≈24.
(4)∵sinB＝＝＝1.212＞1
∴本题无解
评述：此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理，同时加强解斜三角形的能力，既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能，又要结合题目的具体情况进行正确取舍.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，我们一起研究了正弦定理的证明方法，同时了解了向量的工具性作用，并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知两角一边；已知两边和其中一边的对角.
Ⅴ.课后作业
课本习题P11 1，2，3，4.
- 7 -3.2.1 二倍角的正弦、余弦、正切（1）
一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（1）
二、教学目标：1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，了解它们的内在联系；
2.会利用倍角公式进行求值运算，培养运算和逻辑推理能力；
3.领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生
学数学的兴趣。
三、教学重、难点：倍角公式的形成，及公式的变形形式的运用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式；
2．提出问题：若，则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。
（二）新课讲解：
1．二倍角公式的推导：
说明：（1）“倍角”的意义是相对的，如：是的二倍角；
（2）观察公式特征：“倍角”与“二次”的关系；
（3）利用三角函数关系式，
可将余弦的倍角公式变形为：，
，，统称为升
幂公式。 类似地也有公式（降幂公式）：
， 这两个形式今后常用；
（4）注意公式成立的条件，特别是二倍角的正切公式成立的条件：
．
【练习1】求值：（1）．
（2）． （3）．
（4）．
2．例题分析：
例1：已知，求，，的值。
解：∵， ∴．
∴；；．
【练习2】①已知：，则；．
②已知：，则．
例2：化简（1）；（2）；（3）；（4）．
解：（1）
；
（2）；
（3）；
（4）．
说明：形如与的化简方法及基本形式。
五、小结：1．二倍角公式是和角公式的特例，体现了一般化归为特殊的基本的数学思想方法；
2．二倍角公式与和角、差角公式一样，反映的都是如何用单角的三角函数值复角（和、差、倍）的三角函数值没，结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。
六、作业：
补充：1．化简；
2．已知为第三象限角，且，求的值。
PAGE
- 1 -§4.4 正弦函数的性质（2课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）进一步熟悉单位圆中的正弦线；（2）理解正弦诱导公式的推导过程；（3）掌握正弦诱导公式的运用；（4）能了解诱导公式之间的关系，能相互推导；（5）理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；（6）能熟练运用正弦函数的性质解题。
2、 过程与方法
通过正弦线表示α,－α,π－α,π＋α,2π－α,从而体会各正弦线之间的关系；或从正弦函数的图像中找出α,－α,π－α,π＋α,2π－α，让学生从中发现正弦函数的诱导公式；通过正弦函数在R上的图像，让学生探索出正弦函数的性质；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、 情感态度与价值观
通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。
难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。
三、学法与教学用具
在上一节课的基础上，运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系，引发学生探索出正弦函数的诱导公式；通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用；在正弦函数的图像中，直观判断出正弦函数的性质，并能上升到理性认识；理解掌握正弦函数的性质；以学生的自主学习和合作探究式学习为主。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 正弦函数诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2kπ＋α)＝sinα (k∈Z)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值。如果还能把0°～360°间的角转化为锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查表求出。这就是我们这一节课要解决的问题。
【探究新知】
1． 复习：（公式1）sin(360k+) = sin
2． 对于任一0到360的角，有四种可能（其中为不大于90的非负角）
（以下设为任意角）
3． 公式2：
设的终边与单位圆交于点P(x,y)，则180+终边与单位圆交于点P’(-x,-y)，由正弦线可知：
sin(180+) = sin
4．公式3：
如图：在单位圆中作出α与－α角的终边，
同样可得：
sin() = sin,
5． 公式4：由公式2和公式3可得：
sin(180) = sin[180+()] = sin() = sin,
同理可得： sin(180) = sin,
6．公式5：sin(360) = sin
【巩固深化，发展思维】
1． 例题讲评
例1． 求下列函数值
（1）sin(－1650)； （2）sin(－15015’)； (3)sin(－π)
解：（1）sin(－1650)＝－sin1650＝－sin(4×360＋210)＝－sin210
＝－sin(180＋30)＝sin30＝
(2) sin(－15015’)＝－sin15015’＝－sin(180－2945’)
＝－sin2945’＝－0.4962
(3) sin(－π)＝sin(－2π＋)＝sin＝
例2．化简：
解：（略，见教材P24）
2． 学生练习
教材P24练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 正弦函数的性质
1、 教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y＝sinx在R上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？
【探究新知】
让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：
（1） 正弦函数的定义域是什么？
（2） 正弦函数的值域是什么？
（3） 它的最值情况如何？
（4） 它的正负值区间如何分？
（5） (x)＝0的解集是多少？
师生一起归纳得出：
1． 定义域：y=sinx的定义域为R
2． 值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1（有界性）
再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y＝sinx的值域为[-1，1]
3．最值：1对于y＝sinx 当且仅当x＝2k＋ ,kZ时 ymax＝1
当且仅当时x＝2k－, kZ时 ymin＝－1
2当2k＜x＜(2k+1) (kZ)时 y＝sinx＞0
当(2k-1)＜x＜2k (kZ)时 y＝sinx＜0
4．周期性：（观察图象） 1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）
3这个规律由诱导公式sin(2k＋x)＝sinx也可以说明
结论：y＝sinx的最小正周期为2
5.奇偶性
sin(－x)＝－sinx (x∈R) y＝sinx (x∈R)是奇函数
6．单调性
x － … 0 … … π …
sinx －1 0 1 0 －1
增区间为[－＋2kπ， ＋2kπ]（k∈Z），其值从－1增至1；
减区间为[＋2kπ， ＋2kπ]（k∈Z），其值从1减至－1。
【巩固深化，发展思维】
1． 例题讲评
例1．利用五点法画出函数y＝sinx－1的简图，根据函数图像和解析式讨论它的性质。
解：（略，见教材P26）
2．课堂练习
教材P27的练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：习题1—4第3、4、5、6、7题．
四、课后反思
x
y
o
P (x,y)
P ，(-x,-y)
x
y
o
P’(x,-y)
P(x,y)
M
1
-4
-3
-2
5
4
3
2
-1
-
o
y
6
x
PAGE
3第一课时 算法的含义
教学目标：
使算法思想成为学生的一种数学素养.
教学重点：
掌握算法的五个特性.
教学难点：
掌握算法的五个特性.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础.随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养.
算法是高中数学课程中的新增内容，其思想是非常重要的，但并不神秘.例如，运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数等的过程就是算法.一般地，机械式地按照某种确定的步骤行事，通过一系列小的简单计算操作完成复杂计算的过程，被人们称为“算法”过程.例如，人们很容易完成的基本计算是一位数的加、减、乘和进位借位等，复杂计算过程实际上都是通过这些操作，按照一定的工作次序与步骤组合完成的.
为解决某一个问题而采取的方法和步骤，称为算法.或者说算法是解决一个问题的方法的精确描述.
Ⅱ.讲授新课
例1：给出求1＋2＋3＋4＋5＋6＋7的一个算法.
解析：本例主要是培养学生理解概念的程度，了解解决数学问题都需要算法.
算法一：按照逐一相加的程序进行.
第一步　计算1＋2，得到3；
第二步　将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；
第三步　将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；
第四步　将第三步中的运算结果10与5相加，得到15；
第五步　将第四步中的运算结果15与6相加，得到21；
第六步　将第五步中的运算结果21与7相加，得到28.
算法二：可以运用公式1＋2＋3＋…＋n＝直接计算.
第一步　取n＝7；
第二步　计算；
第三步　输出运算结果.
点评：本题主要考查学生对算法的灵活准确应用和自然语言表达一个问题的算法的方法.算法不同，解决问题的繁简程度也不同，我们研究算法，就是要找出解决问题的最好的算法.
例2：给出求解方程组的一个算法.
解析：消元法，步骤：
第一步　方程①不动，将方程②中的x的系数除以方程①中x的系数，得到乘数m＝＝2；
第二步　方程②减去m乘以方程①，消去方程②中的x项，得到
第三步　将上面的方程组自下而上回代求解，得到y＝1，x＝2，所以原方程组的解为，这种消元回代的算法适用于一般线性方程组的求解.
点评：一个算法，就是一个有穷规则的集合，它为某个特定类型问题提供了解决问题的运算序列.其中的每条规则必须是明确定义的、可行的.序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答.
例3：一个人带三只狼和三只羚羊过河.只有一条船，同船可以容一个人和两只动物.没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊.
（1）设计安全渡河的算法;
（2）思考每一步算法所遵循的相同原则是什么.
解析：（1）S1　人带两只狼过河.
S2　人自己返回.
S3　人带两只羚羊过河.
S4　人带一只狼返回.
S5　人带一只羚羊过河.
S6　人自己返回.
S7　人带两只狼过河.
（2）在人运送动物过河的过程中，人离开岸边时必须保证每个岸边的羚羊数目要大于狼的数目.
点评：这是一个实际问题，生活中解决任何问题都需要算法，我们要在处理实际问题的过程中理解算法的含义，体会算法设计的思想方法.
Ⅲ.课堂练习
课本P6 1，2，3，4.
问题1：两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳.同学们现在想一想，他们怎样渡过河去？请写一写你的渡河方案.
我的思路：因为一次只能渡过一个大人，而船还要回来渡其他人，所以只能让两个小孩先过河，渡河的方法与步骤为
第一步　两个小孩同船渡过河去；
第二步　一个小孩划船回来；
第三步　一个大人独自划船渡过河去；
第四步　对岸的小孩划船回来；
第五步　两个小孩再同船渡过河去；
第六步　一个小孩划船回来；
第七步　余下的一个大人独自划船渡过河去；
第八步　对岸的小孩划船回来；
第九步　两个小孩再同船渡过河去.
问题2：电脑与人脑的思维方式有什么不同？为什么要学习算法？
我的思路：电脑运算的高速度和超强的记忆能力是人脑无法比拟的，但人脑能够推理、归纳、判断、分析、计算……这些电脑都不会，电脑只会算术运算与逻辑运算.要让电脑为我们做事，就要把我们的意图转成电脑能懂的语法，这就需要算法设计.计算机解题的核心是算法设计，一个算法应具有以下五个重要特征：
（1）有穷性：一个算法必须保证执行有限步之后结束；
（2）确切性：算法的每一步骤必须有确切定义；
（3）可行性：算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次即可完成；
（4）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件.所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件；
（5）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果.没有输出的算法是毫无意义的.
Ⅳ.课时小结
要正确地设计一个算法就需要掌握算法的五个特性：①有穷性，算法中执行的步骤总是有限次数的，不能无休止地执行下去.②确切性，算法中的每一步操作的内容和顺序必须含义确切，不能有二义性.③可行性，算法中的每一步操作都必须是可执行的，也就是说算法中的每一步都能通过手工和机器在有限时间内完成，这称之为有效性.④输入，一个算法中有零个或多个输入.这些输入数据应在算法操作前提供.⑤输出，一个算法中有一个或多个输出.算法的目的是用来解决一个给定的问题，因此，它应向人们提供产生的结果，否则，就没有意义了.
Ⅴ.课后作业
补充.
1．下面的结论正确的是 （　　）
A.一个程序的算法步骤是可逆的 B.一个算法可以无止境地运算下去
C.完成一件事情的算法有且只有一种 D.设计算法要本着简单方便的原则
答案：D
2．早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5 min）、刷水壶（2 min）、烧水（8 min）、泡面（3 min）、吃饭（10 min）、听广播（8 min）几个步骤.从下列选项中选最好的一种算法 （　　）
A.S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播
B.S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播
C. S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播
D.S1吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶
答案：C
3．著名数学家华罗庚“烧水泡茶”的两个算法.
算法一：
第一步　烧水；
第二步　水烧开后，洗刷茶具；
第三步　沏茶.
算法二：
第一步　烧水；
第二步　烧水过程中，洗刷茶具；
第三步　水烧开后沏茶.
这两个算法的区别在哪里？哪个算法更高效？为什么？
答案：第二个算法更高效.因为节约时间.
4．写出求1＋2＋3＋…＋100的一个算法.可以运用公式1＋2＋3＋…＋n＝直接计算.
第一步　　　　①　　　；
第二步　　　　②　　　；
第三步　输出运算结果. 答案：①取n＝100　②计算
5．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求他的总分和平均成绩的一个算法为：
第一步　取A＝89，B＝96，C＝99;
第二步　　　　①　　　；
第三步　　　　②　　　；
第四步　输出D，E.
答案：①计算总分D＝A+B+C　②计算平均成绩E＝
6．“鸡兔同笼”是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的题目：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问雉兔各几何.”
用方程组的思想不难解决这一问题，请你设计一个这类问题的通用算法.
答案：解析：鸡兔同笼，设鸡兔总头数为H，总脚数为F，求鸡兔各有多少只.算法如下：
第一步　输入总头数H，总脚数F；
第二步　计算鸡的个数x＝（4H－F）/2；
第三步　计算兔的个数y＝（F－2H）/2；
第四步　输出x，y.
7．已知直角坐标系中的两点A（－1，0），B（3，2），写出求直线AB的方程的一个算法.
答案：解析：可以运用公式＝直接求解.
第一步　取x1＝－1，y1＝0，x2＝3，y2＝2；
第二步　代入公式＝，得直线AB的方程；
第三步　输出直线AB的方程.
8．写出交换两个大小相同的杯子中的液体（A水、B酒）的两个算法.
答案：解析：算法1：
1.再找一个大小与A相同的空杯子C；
2.将A中的水倒入C中；
3.将B中的酒倒入A中；
4.将C中的水倒入B中，结束.
算法2：
1.再找两个空杯子C和D；
2.将A中的水倒入C中，将B中的酒倒入D中；
3.将C中的水倒入B中，将D中的酒倒入A中，结束.
注意：一个算法往往具有代表性，能解决一类问题，如，例一可以引申为：交换两个变量的值.
9．写出1×2×3×4×5×6的一个算法.
答案：解析：按照逐一相乘的程序进行.
第一步　计算1×2，得到2；
第二步　将第一步中的运算结果2与3相乘，得到6；
第三步　将第二步中的运算结果6与4相乘，得到24；
第四步　将第三步中的运算结果24与5相乘，得到120；
第五步　将第四步中的运算结果120与6相乘，得到720；
第六步　输出结果.
10．已知一个三角形的三边边长分别为2、3、4，设计一个算法，求出它的面积.
答案：解析：可利用公式
S＝求解.
第一步　取a＝2，b＝3，c＝4；
第二步　计算p＝；
第三步　计算三角形的面积S＝；
第四步　输出S的值.
- 1 -三角函数的图象和性质单元练习题
一、选择题（5×12＝60分）
1．函数y＝tanx是
A.周期为π的偶函数 B.周期为π的奇函数
C.周期为π的偶函数 D.周期为π的奇函数
2．已知f(x)＝sin(x＋),g(x)＝cos(x－），则f(x)的图象
A.与g(x)的图象相同 B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移个单位，得到g(x)的图象
D.向右平移个单位，得到g(x)的图象
3．若x∈(0，2π)，函数y＝＋的定义域是
A.( ,π］ B.( ,π) C.(0,π) D.( ,2π)
4．函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴方程为
A.x＝ B.x＝－ C.x＝ D.x＝
5．函数y＝logcos1cosx的值域是
A.［－1，1］ B.(－∞，＋∞) C. D.［0，＋∞)
6．如果｜x｜≤，那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是
A. B. C.－ D.－1
7．函数f(x)＝sin，g(x)＝cos，则
A.f(x)与g(x)皆为奇函数 B.f(x)与g(x)皆为偶函数
C.f(x)是奇函数，g(x)是偶函数 D.f(x)是偶函数，g(x)是奇函数
8．下列函数中，图象关于原点对称的是
A.y＝－｜sinx｜ B.y＝－x·sin｜x｜
C.y＝sin(－｜x｜) D.y＝sin｜x｜
9．要得到函数y＝sin(2x－)的图象，只要将y＝sin2x的图象
A.向左平移 B.向右平移
C.向左平移 D.向右平移
10．下图是函数y＝2sin(ωx＋)(||＜）的图象，那么
A.ω＝，＝ B.ω＝，＝－
C.ω＝2，＝ D.ω＝2，＝－
11．在［0，2π］上满足sinx≥的x的取值范围是
A.［0，］ B.［，］ C.［，］ D.［，π］
12．函数y＝5＋sin22x的最小正周期为
A.2π B.π C. D.
二、填空题（4×6＝24分）
13．若函数y＝Acos(ωx－3)的周期为2，则ω＝ ；若最大值是5，则A＝ .
14．由y＝sinωx变为y＝Asin(ωx＋)，若“先平移，后伸缩”，则应平移 个单位；若“先伸缩，后平移”，则应平移 个单位即得y＝sin(ωx＋)；再把纵坐标扩大到原来的A倍，就是y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0).
15．不等式sinx＞cosx的解集为 .
16．函数y＝sin(－2x＋)的递增区间是 .
17．已知f(x)＝ax＋bsin3x＋1(a，b为常数)，且f (5)＝7，则f (－5)＝ .
18．使函数y＝2tanx与y＝cosx同时为单调递增的区间是 .
第Ⅱ卷
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题
13 14 15
16 17 18
三、解答题
19．求y＝的定义域.
20．已知：＝3，
求： eq \f(2cos2（＋α）＋3sin（π＋α）cos（π＋α）,cos（2π＋α）＋sin（－α）cos（――α）) 的值.
21．若f(x)＝Asin(x－)＋B，且f()＋f()＝7，f(π)－f(0)＝2，求f(x).
22．若，试求y＝f(x)的解析式.
23．设A、B、C是三角形的三内角，且lgsinA＝0，又sinB、sinC是关于x的方程
4x2－2(＋1)x＋k＝0的两个根，求实数k的值.
三角函数的图象和性质单元复习题答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A B D B D B D C B C
二、填空题
13 π 5 14 || || 15 x∈(2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z)
16 kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z） 17 －5 18 (kπ－，kπ)k∈Z
三、解答题
19．求y＝的定义域.
解：由题意得(kZ)
2kπ－＜x＜2kπ或2k20．
21．若f(x)＝Asin(x－)＋B，且f()＋f()＝7，f(π)－f(0)＝2，求f(x).
解：由已知得：
f(x)＝2sin(x－)＋3
22．若，试求y＝f(x)的解析式.
解：由x＝sinθ＋cosθx2＝1＋2sinθcosθsinθcosθ＝
∴y＝f(x)＝sinθcosθ＝
23．设A、B、C是三角形的三内角，且lgsinA＝0，又sinB、sinC是关于x的方程
4x2－2(＋1)x＋k＝0的两个根，求实数k的值.
解：已知得sinA＝1，又0＜A＜π
∴A＝，∴B＋C＝
则sinB＝sin(－C)＝cosC
∴
∴1＋2sinC·cosC＝
∴2sinCcosC＝ ∴k＝4sinCcosC＝
PAGE1.3.2 三角函数的图像与性质（3）
一、课题：正弦、余弦函数的值域（1）
二、教学目标：1.理解正、余弦函数的值域；
2.会求与正、余弦函数相关的函数的值域和最值。
三、教学重、难点：与正、余弦函数相关的函数的值域的求法。
四、教学过程：
（一）复习：
1．正、余弦函数的定义域、值域；
2．练习：求下列函数的定义域：
（1）；（2）．
（答案：（1）；（2））．
（二）新课讲解：
例1：求函数的值域。
解：，
∵，∴，
所以，函数的值域是．
例2：求函数的值域。
解：
∵，∴，
所以，函数的值域为．
【变题】若把本题再加上的条件，则结果又如何？
说明：形式的函数求值域时，可考虑先将函数化为形式的函数来求解。
例3：求函数的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的的值。
解：
，
令，则，
∴（），
∴当，即或（）时，，
当，即（）时，．
例4：求函数的值域。
解：令，则，
又∵，
∴，
当时，，
当时，，
所以，函数的值域为．
五、练习：1．求函数（）的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的的值。
六、小结：1．可化为型的函数值域；
2．可化为求二函数的函数的值域；
3．含，的函数的值域的求法。
七、作业：补充：
求下列函数的值域：
（1）； （2） ；
（3）；
（4）；
（5）（）；
（6）．
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