浙江地区2023年中考数学全真模拟卷（含解析）

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浙江地区中考数学全真模拟卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马速度的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数，当自变量为时，其函数值大于零；当自变量为，时，其函数值分别为，，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．据调查，某班名学生所穿校服尺码统计如下：
尺码
频数 1 6 8 5 4 2
则该班名学生所穿校服尺码的中位数是（ ）
A．8 B． C． D．
4．随着5G网络建设的不断发展，目前5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的100倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快4秒，设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，四边形是一个由5张纸片拼成的菱形（相邻纸片之间互不重叠），其中四张纸片为大小形状相同的平行四边形，连结．记，，若，则平行四边形纸片长与宽的比值为（ ）

A．3 B．4 C． D．
7．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．宁波位于长三角地带，是富饶的鱼米之乡，据2021年GDP数据显示，宁波GDP总量高达14594.9亿元，全国排名进位至第10位，其中14594.9亿元用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
9．的倒数是（ ）
A． B．2023 C． D．
10．已知二次函数的图象过两点，下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题
11．在矩形中，，，点在对角线上，的半径为2，如果与矩形只有一个公共点，那么线段的长是______．
12．直线过点，将它向下平移2个单位后所得直线的表达式是______．
13．已知圆锥的底面半径和母线的长分别是一元二次方程的两个根，则圆锥的侧面积为______．
14．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”，若，两点为“等距点”，则k的值为__________．
15．抛物线的顶点落在一次函数的图象上，则b的最小值为__________．
16．如图1，在中，，过上一点作，交于点，以点为圆心，的长为半径作半圆，交，于点，，交直线于点，（点在左侧）．当点与点重合时（如图2），_____；当时，__________．

三、解答题
17．（1）计算：．
（2）解不等式组：．
18．如图，中，，圆O为的外接圆，弦于点F，交于点E，连接．

求证：．
若，求的长．
19．如图，在6×6的方格纸上，请按要求作画．

在图1中画一个以A、B、C、D为顶点的中心对称图形．
在图2中以点A为位似中心，作△ABC的位似图形并把△ABC的边长扩大两倍．注：图1，图2在答题纸上．
20．已知抛物线经过点，．
(1)求抛物线解析式及对称轴．
(2)关于该函数在的取值范围内，有最小值，有最大值1，求m的取值范围．
解不等式：．
22．如图，的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，轴于点B，．
求k的值；
求A、C两点的坐标；
根据图像直接写出时x的取值范围．
23．已知中，，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接．

如图（1），当时，连接，求的度数；
如图（2），连接，问的值是否为定值？若是，请说明理由并求出此值；
(3)在旋转过程中，当以B，C，A，E为顶点的四边形是平行四边形时，求的长．
参考答案：
1．B
【分析】根据题意先求得快马的速度和慢马的速度，根据快马的速度是慢马的2倍列分式方程即可．
【详解】解：设规定时间为x天，
慢马的速度为，快马的速度为，
快马的速度是慢马的倍，
故选∶B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．
2．B
【分析】解析式化为顶点式，，注意参数c变化，图象形状不变，对称轴不变，根据图象性质求解．
【详解】
如图，抛物线与x轴交于C、D两点，抛物线与x轴交于A、B两点，可知，，自变量为时，其函数值大于零，则点位于x轴上方的抛物线上，故点在点A的左侧，在点B的右侧，故均在x轴下方，所以，；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象性质，注意随着参数变化，理清函数图象的动态变化是解题的关键．
3．D
【分析】根据中位数的定义进行求解即可．
【详解】解：由题意知，中位数是第、位的数的平均数，
∵，，
，
∴中位数为尺码，
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数．解题的关键在于熟练掌握中位数的定义并正确求解．
4．A
【分析】由题意：在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络传输的时间、4G网络传输的时间可以分别表示出来，则等量关系：在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G网络快4秒，列出分式方程即可．
【详解】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，则设5G网络的峰值速率为每秒传输100x兆数据，
由题意得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了列分式方程，关键是理解题意、找到等量关系并列出方程．
5．C
【分析】如图，连接，由圆周角定理可得，由、三角形内角和定理可得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，

由圆周角定理可得，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
6．B
【分析】作交的延长线于，交的延长线于，设小平行四边形的宽是，长是，，，根据图形可知，，根据代入计算即可得到答案．
【详解】解：如图，作交的延长线于，交的延长线于，
，
设小平行四边形的宽是，长是，，，
周围四张小平行四边形纸片都全等，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和面积，用参数表示线段的长和面积并计算是解本题的关键．
7．C
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法以及幂的乘方的知识求解即可得到答案．
【详解】解：A. 不是同类项不能相加，故A错误，不符合题意；
B. ，故B错误，不符合题意；
C. ，故C正确，符合题意；
D. ，故D错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法以及幂的乘方的知识，熟记运算法则是解题的关键．
8．D
【分析】科学记数法的表示形式为形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当绝对值时，n是正整数，当原数的绝对值时，n负整数．
【详解】解：14594.9亿元，
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法的表现形式，熟记概念是解题关键．
9．D
【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为1，则这两个数互为倒数，即可求解．
【详解】解：的倒数是，
故选：D．
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键．
10．C
【分析】根据根据二次函数的解析式得到对称轴为直线，再利用二次函数的性质对各项判断即可解答．
【详解】解：∵二次函数的图象过两点，
∴二次函数的顶点式为：，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
∵，
∴，
∴，
∴，
故错误；
∵二次函数的顶点式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
若，
∴解得：，
∴当时，和关于对称，
∴当时，；当时，，
故错误，正确；
当时，随的增大而增大，
∵，
∴，
故错误；
故选．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴，掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．或
【分析】根据勾股定理得到，如图1，设与边相切于点，连接，如图2，设与边相切于，连接，根据三角形相似的性质，分别求出两种情况下的的长，即可得到答案．
【详解】解：在矩形中，，，
，
如图1，设与边相切于点，连接，

则，
，
，
，即，
；
如图2，设与边相切于，连接，

则，
，
，
，即，
，
，
综上所述，如果与矩形只有一个公共点，那么线段的长是或．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出图形是解题的关键．
12．
【分析】直线过点可求出，即可得到直线的解析式，再根据直线平移的规律“上加下减”即可得到答案．
【详解】解：直线过点，
，
，
直线表达式为：，
将直线向下平移2个单位后所得直线的表达式是：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移、待定系数法求函数解析式，熟练掌握函数图象的平移规律“上加下减、左加右减”，是解题的关键．
13．
【分析】设圆锥底面半径为r，母线长为h，根据圆锥的侧面积计算公式可得：圆锥的侧面积，根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
【详解】解：设圆锥底面半径为r，母线长为h，
∵圆锥的侧面积，圆锥的底面半径和母线的长分别是一元二次方程的两个根，
∴，
∴圆锥的侧面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及圆锥侧面积的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积计算公式，难度不大．
14．或
【分析】根据等距点的定义求出不同情况下的的值即可；
【详解】当时，，
解得：或（舍去）；
当时，，
解得：（舍去）或；
∴或；
故答案是：或．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系的知识点，属于阅读理解类题目，关键是要读懂题目里定义的“等距点”．
15．3
【分析】首先求出抛物线的顶点坐标，然后代入一次函数，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：，
∴顶点坐标为，
∵抛物线的顶点落在一次函数的图象上，
∴在一次函数的图象上，
∴
∴
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，b有最小值3．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了二次函数的最值，二次函数的顶点式，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
16．，
【分析】作辅助线过点作交于点，连接，利用相似可以得到中，可设，则可表示出、，根据圆的性质可得，即在中可利用勾股定理列方程求解，再求出，最后利用勾股定理即可求出；作辅助线过点作交于点，连接、，根据可证，再可证，同上理可得，，可设，则，可表示出、、、，即可求出的半径，在中可利用勾股定理列方程求解即可求出．
【详解】作辅助线过点作交于点，连接，

∵，，且为与的公共角，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∵由题意分析得、、都为的半径，
∴，
∴在中可利用勾股定理列方程：，
解得：（舍），，
∴，，
∴，
∴在中由勾股定理可求得：．
作辅助线过点作交于点，连接、，

∵由题意分析得、、、为的半径，
∴，
∵，
∴在与中：
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵在与中：
∴
∴，
同上理：，
∴，
设，则，，，，，
同上理：，
∴，
∴，
∴在中可利用勾股定理得：，
列方程得：，
解得：（舍），，
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形，其中涉及全等三角形、勾股定理等知识点，属于综合题型，解题的关键是能根据平行关系找到对应的相似三角形，结合三角形中的比例关系求解．
17．（1）；（2）
【分析】（1）先分别计算零指数幂、绝对值，余弦，然后进行加减运算即可；
（2）分别求解不等式的解集，然后可得不等式组的解集．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：，
解得，，
解得，，
∴不等式组的解为．
【点睛】本题考查了零指数幂，化简绝对值，余弦，解一元一次不等式组．解题的关键在于正确的运算．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理推出，证明从而推出；
（2）先根据求出，再利用勾股定理求出，最后利用得出，即可求出的长．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，，
∴．
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴．
由（1）知，，
∴，即．
∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等知识，熟练掌握垂径定理，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据中心对称图形的定义：把一个图形绕其几何中心旋转180度后能够和原来的图形互相重合的图形叫中心对称图形，作图即可；
（2）根据位似图形的特征：是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点（对应边互相平行或共线）作图即可．
【详解】（1）解：如图所示：

画出一个即可；
（2）解：如图所示：

【点睛】本题考查了对中心对称图形和位似图形概念的理解，熟练掌握两个概念是解本题的关键．
20．(1)抛物线解析式为，对称轴为；
(2)
【分析】（1）把点，，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意画出图象，结合图象即可求解．
【详解】（1）解：将点，代入抛物线，得
，
得，
∴抛物线解析式为，
对称轴为：；
（2）解：如图，由抛物线的对称性可画出草图，

由图象可知：当时，y的最小值为，最小值为1，
∴当时，对应的函数的的最小值为，最小值为1，m的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
21．
【分析】根据解一元一次不等式的方法步骤求解即可．
【详解】解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】题目主要考查解一元一次不等式的方法步骤，熟练掌握运算法则是解题关键．
22．(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）欲求这两个函数的解析式，关键求k值．根据反比例函数性质，k绝对值为3且为负数，由此即可求出k；
（2）由函数的解析式组成方程组，解之即可求得A、C的坐标；
（3）根据图像即可求得．
【详解】（1）解：设A点坐标为，且，
则，
∴，
又∵，
即，
∴；
（2）解：由（1）得：两个函数的解析式分别为，，
∵A、C是双曲线与直线的交点，
∴，解得，，
∴，；
（3）解：使成立的x的取值范围是：或．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数中是定值这一知识点是解答此题的关键．
23．(1)；
(2)是，，理由见解析；
(3)或
【分析】（1）根据旋转的性质推出，从而得到，即可求解；
（2）根据旋转的性质推出，从而得到，即可求解；
（3）当以B，C，A，E为顶点的四边形是平行四边形时，满足，则考虑旋转至上方和下方两种情况，并结合（2）的结论计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴的值是定值，定值为；
（3）解：①旋转到图1位置，使，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由（2）可知：，
∴；

②旋转到图2位置，使，连结，

∵，
∴四边形菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）可知：，
∴，
综上所述，当B，C，A，E四点构成平行四边形时的长是或．
【点睛】本题考查旋转综合问题，包括全等三角形、相似三角形的判定与性质，平行四边形、菱形的判定与性质等，掌握图形全等和相似的证明方法，熟练运用平行四边形和特殊平行四边形的性质是解题关键．
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