高二上数学 椭圆的标准方程-苏教版[上学期]

第一课时 椭圆的标准方程
一、教学目标
1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；
2．根据条件确定椭圆的标准方程；
3．熟练运用这两个公式解决问题
二、教学重点、难点
重点：椭圆的标准方程的应用；
难点：椭圆标准方程的推导；
三、教学过程
1．复习回顾
上节课我们已经学习了椭圆，请大家回忆一下椭圆的定义，想一想我们是怎么画椭圆的？
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
注：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？
(1) 平面内；若把“平面内 ”去掉，则轨迹是什么？
(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；
(3)常数2a＞F1F2
思考：（1）2a= F1F2，则轨迹是什么？ (线段F1F2)
（2）2a< F1F2, 则轨迹是什么？ (无轨迹)
2．椭圆的标准方程的推导
问题1：回忆求圆的方程的一般步骤是什么？
（建系、设点、列式、化简）
问题2：本题中可以怎样建立直角坐标系？
设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1、F2的距离的和为2a ( 2a > 2c )．
方案1：如图，焦点落在x轴上
⑴建系：以F1、F2所在直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy．
⑵设点：设点P（x，y）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为．
⑶列式：依据椭圆的定义式PF1 + PF2 = 2a 列方程，并将其坐标化为
．
这是一个比较复杂的根式变形，化简的关键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，那怎样平方去根式会较简单呢？
⑷化简：通过移项、两次平方后得,，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令，可的椭圆的标准方程为
．
总结含有根式的化简步骤：
（1）方程中只有一个根式时，需将根式单独留在方程的一边，把其他项移到方程的另一边，然后两边平方；
（2）方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项，再两边平方．
方案2：类似地，如图，焦点落在y轴上
试想：推断此时椭圆的标准方程又是什么？
焦点，焦距为2c，椭圆的方程为
根据所学知识让同学们完成下表
标准方程
不同点 图形
焦点坐标
相同点 定 义 平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a、b、c的关系
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
注：①是；②是（要区别与习惯思维下的勾股定理）；③是定方程“型”与曲线“形”．
3．典型例题：
例1． 化简（1）
化简（2）
例2．（1）已知,，求焦点分别在x、y轴上的椭圆的标准方程
（2）已知椭圆的焦点坐标是，，椭圆上的任意一点到、的距离之和是10，求椭圆的标准方程．
例3．
（1）平面内有两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。
例4．已知三角形ABC的一边 BC 长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程
变式1：已知B(-3,0)，C(3,0)，CA,BC,AB的长组成一个等差数列，求点A的轨迹方程。
变式2：在△ABC中， B(-3,0)，C(3,0)，，求A点的轨迹
四、小结：
（1）椭圆的定义及标准方程；
（2）椭圆的标准方程有两个；标准方程中的关系；
（3）掌握判断焦点的方法；
在一定的条件之下可以表示椭圆，有时利于解题；
如何来求椭圆方程？
（4）用定义法求椭圆的方程
五、作业
1．判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标：
，，。
2.已知椭圆方程,，则这个椭圆的焦距为( )
A 2 B 3 C D
3．下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是　　　　　　　　　　（ ）
4．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆经过两点P（，0），Q(0, )
(2)焦点坐标是（，0）和（，0），且经过点（，）
5．已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程．
6．在三角形ABC中BC=24,AB、AC边上的中线长之和等于39，求三角形ABC的重心的轨迹方程