【考前必刷】浙江地区2023年中考数学全真模拟卷12（含解析）

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【考前必刷】浙江地区中考数学全真模拟卷12
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某学校计划购买甲、乙两种品牌的电子白板共40台．甲、乙两种品牌电子白板的单价分别为2.5万元/台和1.5万元/台，若购买甲品牌电子白板费用为万元，则购买乙品牌电子白板费用为（ ）
A．万元 B．万元 C．万元 D．万元
2．已知点，，都在抛物线上，，点，在对称轴的两侧，下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．用代入法解二元一次方程组时，将方程①代入方程②，得到结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．城市书房有一群学生在看书，现统计他们的年龄如下表．他们年龄的中位数为（ ）
人数（人） 2 3 8 2
年龄（岁） 11 12 13 14
A．11岁 B．12岁 C．岁 D．13岁
5．一个不透明的袋中装有11个只有颜色不同的球，其中4个白球，5个红球，2个黄球．从中任意摸出1个球是红球的概率为( )
A． B． C． D．
6．小刚从家里出发，以400米/分钟的速度匀速骑车5分钟后就地休息了6分钟，然后以500米/分钟的速度匀速骑回家里掎回家里.表示离家路程，表示骑行时间，下列函数图象能表达这一过程的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，点A，B是半径为2的⊙O上的两点且，则下列说法正确的是（　　）

A．圆心O到的距离为 B．在圆上取异于A，B的一点C，则面积的最大值为2
C．取的中点C，当绕点O旋转一周时，点C运动的路线长为π D．以为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积为
8．如图，是的直径，点C是延长线上的一点，与相切于点D，连接．若，则（ ）
A． B．
C． D．
9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，小正方形的对角线向两边延长，分别交边于点，交边于点．若是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．不等式的解是______．
12．我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设鸡只，兔只，则由头数可列出方程，那么由足数可列出的方程为______．
13．如图是某单位20名职工参加“海霞故事”演讲比赛的成绩频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），由图可知，比赛成绩在80分及以上的人数有___．
14．小明利用折射定律，（，为折射率，为入射角，为折射角）制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点A按固定角度从空气射入液面，通过调节液面高度，使光线折射后恰好落到点C．已知，空气折射率为1，正方形ABCD的边长为36cm．如图1装入某款家用食用油时，恰好CF=15cm，该食用油的折射率为____．如图2装入纯净水时，水的折射率为，通过度量CF=20cm（存在误差），问此次度量的误差为_____cm．
15．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，整个阴影部分的面积______．
16．不等式组的解为__________．
三、解答题
17．4月23日是“世界读书日”，梅州某学校为了更好地营造读书好、好读书、读好书的书香校园．学校图书馆决定去选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
(2)如果学校图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该学校图书馆最多可以购买甲和乙图书共多少本？
18．织里童装城某拉链专卖店出售甲、乙两种拉链，已知该店进货甲种拉链100条和乙种拉链60条共需280元，进货甲种拉链160条和乙种拉链100条共需456元．
(1)求出甲、乙两种拉链的进价；
(2)已知专卖店将甲种拉链提价0.4元出售，乙种拉链提价25%出售．小明在该专卖店购买甲、乙两种拉链，共花费45元，求有哪几种购买方案；
(3)在（2）条件下，不同方案专卖店获利是否发生变化，如果变化，请求出最大值；如果不变，请说明理由．
计算：﹣110+|2﹣（﹣3）2|+÷（﹣）．
20．如图，在中，AD平分，过点B作AD的垂线，垂足为点D，，交AB于点E，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：．
21．如图，抛物线（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，作直线BC．
(1)若OB＝OC，求抛物线的表达式；
(2)P是线段BC下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交线段BC于点E．若EB＝EC＝EP，求a的值．
22．如图，△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D点作⊙O的切线DE，交AC于点E．
(1)证明：DE⊥AC；
(2)连接OE，当，S△OCE＝6时，求⊙O的半径．
23．如图，已知⊙C过菱形ABCD的三个顶点B，A，D，连结BD，过点A作AEBD交射线CB于点E.
(1)求证：AE是⊙C的切线.
(2)若半径为2，求图中阴影部分的面积.
(3)在（2）的条件下，在⊙C上取点F，连结AF，使∠DAF＝15°，求点F到直线AD的距离.
参考答案：
1．A
【分析】根据购买甲品牌电子白板费用为万元可得购买甲品牌电子白板台，可求出购买乙品牌电子白板的数量为台，再根据“单价×数量”可得结论．
【详解】解：∵甲品牌电子白板的单价分别为2.5万元/台，且购买甲品牌电子白板费用为万元，
∴购买甲品牌电子白板台，
∴购买乙品牌电子白板的数量为台，
∴购买乙品牌电子白板费用为万元
故选：A
【点睛】本题主要考查了列代数式，理解题意是解答本题的关键．
2．C
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断当时，、的大小关系或当时，、的大小关系．
【详解】解：抛物线，
该抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
点，，都在抛物线上，点在点左侧，
若，则，故选项、均不符合题意；
若，则，故选项符合题意，选项不符合题意；
故选： ．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．B
【分析】方程组利用代入消元法变形得到结果，即可作出判断．
【详解】解：用代入法解二元一次方程组时，将方程①代入方程②，得：，
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．D
【分析】根据中位数的定义，把这组数据从小到大排列找出最中间的数即可．
【详解】解：这组年龄数据共有15个数，
他们年龄的中位数是第8个数，
把这组数据从小到大排列，第8个数是13岁，
他们年龄的中位数为13岁，
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数，熟记中位数的定义是解题关键．
5．D
【分析】利用红球的个数除以球的总个数解答即可．
【详解】解：一个不透明的布袋里装有11个有颜色不同的球，从布袋里任意摸出1个球，所有可能一共有11种情况，
其中红球有5个，从布袋里任意摸出1个球，红球出现的可能情况只有5种，
从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单事件的概率，属于基础题型，熟知概率的计算方法是解题关键．
6．D
【分析】因为小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，可求其行驶的路程对照排除错误选项，“在原地休息”对应在图象上表示时间在增加，而距离不变，即这一线段与x轴平行，“回到原出发地”表示终点的纵坐标为0，综合分析选出正确答案．
【详解】解：∵（米）=2（千米），
∴小刚以400米/分的速度匀速骑车5分行驶的路程为2千米，
而选项A与B中纵轴表示速度，且速度为变量，这与事实不符，故排除选项A与B，
又∵“回到原出发地”表示终点的纵坐标为0，
∴排除选项C，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是理解函数图象的意义．
7．D
【分析】由垂径定理，勾股定理求出，延长交圆于，即可求出的最大面积，当绕点旋转一周时，点运动的路线是以为圆心半径是1的圆，即可求出运动的路线长，以为边向上作正方形，与的公共部分的面积扇形的面积+的面积，于是可以得到答案．
【详解】解：如图①，于，

，
，
，
故A不符合题意；
如图①延长交圆于，此时的面积最大，
，，
的面积，
故B不符合题意；
取的中点，连接，，，
，
，
，
当绕点旋转一周时，点运动的路线是以为圆心半径是1的圆，
运动的路线长是，
故C不符合题意；
如图②四边形是正方形，连接，，则过圆心O，作于，

的面积，
，
的面积的面积的面积，
，
扇形的面积，
以为边向上作正方形，与的公共部分的面积扇形的面积的面积，
故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，垂径定理，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
8．B
【分析】连接．根据切线的性质可得出，根据直径所对圆周角为直角得出，结合题意易证为等边三角形，最后由含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理逐项计算判断即可．
【详解】解：如图，连接．
∵与相切于点D，
∴．
∵，
∴，，
∴，即．
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，故A错误，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，故B正确，符合题意；
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，故C错误，不符合题意；
∵是的直径，
∴．
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故D错误，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理．连接常用的辅助线是解题关键．
9．B
【分析】此题考查一元一次不等式组的解法以及解集在数轴上的表示，如果带等号用实心表示，如果不带等号用空心表示．
【详解】解：此题考查一元一次不等式组的解法以及解集在数轴上的表示，如果带等号用实心表示，如果不带等号用空心表示；
，当；
当；
当；
当解集不存在；
分别对应下图中的图；
此题中原不等式组可以化为：，所以由图可知，故选B．
【点睛】本题考查不等式解集在数轴上的表示，掌握方法是关键．
10．B
【分析】根据正方形的性质得到，，再利用锐角三角形函数得到，最后根据勾股定理及全等三角形判定与性质即可解答．
【详解】解：过点作于点，设，
∵是的中点，
∴，
∴,
∵在正方形中，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角形函数，掌握锐角三角形函数是解题的关键．
11．
【分析】去括号，根据不等式的性质即可求解．
【详解】解
3-3x＞2-4x
-3x+4x＞2-3
x＞-1
故答案为：．
【点睛】此题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是熟知不等式的性质．
12．
【分析】根据题意得x只鸡的足数+y只兔的足数=94，再根据等量关系列出方程即可．
【详解】根据题意，得
2x+4y=94．
故答案为：2x+4y=94．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，确定等量关系是列方程的关键．
13．11
【分析】根据成绩频数直方图中各组频数进行计算即可．
【详解】解：由直方图知，成绩在80分及以上的人数共有：8+3=11人，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，从频数分布直方图中得到各组频数是解题关键．
14． 1.7
【分析】设EP=4x，则AP=5x，AE=3x，得到PF=36-4x，CF=36-3x，图1中由CF=15求出x=7，得到CP=17，表示出sin∠2的值，由此求出折射率n2；图2中由水的折射率为，即，求出sin∠3，得到，列得，解得x由此得到答案．
【详解】解：∵∠1=∠EAP，，
∴，
设EP=4x，则AP=5x，AE=3x，
图1中PF=36-4x，CF=36-3x，
∴36-3x=15，
解得x=7，
∴PF=36-4x=8，
∴CP=17，
∴，
∵，
∴，
∴；
图2，∵水的折射率为，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得x=，
∴，
∴误差为，
故答案为：1.7；．
【点睛】此题考查了正方形的性质，三角函数问题，正确理解题意及掌握相应的物理知识是解题的关键．
15．
【分析】首先连接OD，由折叠的性质，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD是等边三角形，继而求得OC的长，即可求得△OBC与△BCD的面积，又在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6，即可求得扇形OAB的面积，继而求得阴影部分面积．
【详解】解：如图，连接OD，
根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=OD=BD，
即△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∴∠CBO=∠DBO=30°，
∵∠AOB=90°，
∴OC=OB tan∠CBO=6，
∴S△BDC=S△OBC=×OB×OC=×6×=6，
S扇形AOB=π×62=9π，
∴整个阴影部分的面积为：S扇形AOB-S△BDC-S△OBC=9π-6-6=9π-12，
故答案为：.
【点睛】本题考查了折叠的性质、扇形面积公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
16．
【分析】分别求出不等式，得到不等式的解集即可；
【详解】解：解得：
解得：
故不等式的解集为：
故答案为：
【点睛】本题主要考查不等式组解集的求解，掌握不等式组解集的求解方法是解题的关键．
17．(1)甲图书每本价格是50元，乙图书每本价格为20元
(2)该学校图书馆最多可以购买甲和乙图书共38本
【分析】（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，由题意：用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲种图书a本，则购买乙种图书（2a+8）本，由题意：用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，列出一元一次不等式，解不等式，进而得出结论．
【详解】（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，
根据题意得：，
解得：x=20，
经检验：x=20是原方程的根，
则2.5x=50，
答：甲图书每本价格是50元，乙图书每本价格为20元；
（2）设购买甲种图书a本，则购买乙种图书（2a+8）本，
由题意得：50a+20（2a+8）≤1060，
解得：a≤10，
∴2a+8≤28， 则10+28=38，
答：该学校图书馆最多可以购买甲和乙图书共38本．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
18．(1)甲种拉链的进价为1.6元，乙种拉链的进价为2元
(2)有4种购买方案：①甲种拉链5条，乙种拉链14条；②甲种拉链10条，乙种拉链10条；③甲种拉链15条，乙种拉链6条；④甲种拉链20条，乙种拉链2条
(3)不发生变化，理由见解析
【解析】（1）解：设甲种拉链的进价为每条x元，乙种拉链的进价为每条y元，由题意得：，解得：，答：甲种拉链的进价为1.6元，乙种拉链的进价为2元．
（2）解：设购买甲种拉链m条，乙种拉链n条，由题意得：（1.6+0.4）m+2（1+25%）n＝45，整理得：n＝18﹣m，∵m、n为正整数，∴或或或，即有4种购买方案：①甲种拉链5条，乙种拉链14条；②甲种拉链10条，乙种拉链10条；③甲种拉链15条，乙种拉链6条；④甲种拉链20条，乙种拉链2条．
（3）解：不发生变化，理由如下：∵利润w＝0.4m+2×25%×（18﹣m）＝9（元），∴不同方案专卖店获利不发生变化．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出二元一次方程组或二元一次方程是解题的关键．
19．
【分析】先计算乘方及绝对值运算，再计算除法运算，最后算算加减运算即可求出值．
【详解】解：原式＝﹣1+|2﹣9|+×（﹣）
＝﹣1+7﹣
＝6﹣
＝
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
20．(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：如图，∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵，CD∥AB，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：由（1）得
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）由OB＝OC得出C的坐标，再利用待定系数法即可得出结论；
（2）先根据BE＝EC求出点E的坐标，再求出BE的长度，把P的坐标用含a的式子表示出来，根据EB＝EP即可得出答案．
【详解】（1）解：∵OB＝OC，
∴C（0，﹣3），
把A，B，C代入中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接BC，
∵EB＝EC，
∴E是BC的中点，
∴E的坐标为（，），
∴P的横坐标为，
把A，B代入中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
把x＝代入，得y＝，
∴P（，），
∴EP＝＝，
解得a＝，
∴a的值为．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，牢记勾股定理的公式．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，根据DE是⊙O的切线，可得∠ODE＝90°，由AC＝BC，可得∠OBD＝∠A，进而可得∠A＝∠ODB，可得ODAC，即可证明结论；
（2）连接CD，证明∠CDE＝∠ABC，由得，设CE＝3x，CD＝5x，则DE＝4x，根据S△OCE＝6可求出x的值，可得CD的长，由可得BC的长，即可得⊙O的半径．
【详解】（1）证明：如图1，连接OD，则OD为⊙O的半径，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AC＝BC，
∴∠OBD＝∠A，
∴∠A＝∠ODB，
∴ODAC，
∴∠DEC＝180°－∠ODE＝90°，
∴DE⊥AC；
（2）解：连接CD，如图2，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝∠CDA＝90°，
∴∠CDE+∠EDA＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠A＝90°，
∴∠A＝∠CDE，
∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B，
∴∠CDE＝∠ABC，
∴，
设CE＝3x，CD＝5x，则DE＝＝4x，
∵S△OCE＝CE DE＝6＝6，
∴x＝1或x＝﹣1（不合题意，舍去），
∴x＝1，
∴CD＝5，
∵，
∴BC＝，
∴⊙O的半径为．
【点睛】此题主要考查了圆的切线的性质定理、圆周角定理、锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
(3)2-或-1
【分析】（1）连接AC．证明AE⊥AC即可解决问题．
（2）证明△ABC是等边三角形，推出∠ACB=60°，AE=AC tan60°=2，根据求解即可．
（3）分两种情形：①如图2中，当点F在上时．②如图3中，当点F在优弧上时，分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图1中，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵BDAE，
∴AC⊥AE，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又∵AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵AC=2，
∴AE=AC tan60°=2，
∴
=
=．
（3）解：分两种情形：①如图2中，当点F在上时，
∵∠DAF=15°，
∴∠DCF=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACF=∠FCD，
∴点F是弧AD的中点，
∴CF⊥AD，
∴点F到直线AD的距离=CF-CA cos30°=2-．
②如图3中，当点F在优弧上时，
∵∠DAF=15°，
∴∠DCF=30°，
过点C作CG⊥AD于G，过点F作FH⊥CG于H，
可得∠AFH=15°，∠HFC=30°，
∴CH=1，
∴点F到直线AD的距离=CG-CH=AC cos30°-CH=-1．
综上所述，满足条件的点F到直线AD的距离为2-或-1．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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