等比数列教学设计(共2课时)
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文档简介
（一）教学目标
1．知识与技能：通过实例理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式；理解这种数列的模型应用，体会等比数列与指数函数的关系．
２．过程与方法：通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义；通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式；通过与指数函数的图象比较，探索等比数列的通项公式的图象特征及与与指数函数的关系。通过例题体会通项公式与方程、方程组之间的联系。
３．情态与价值：感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力．
（二）教学重、难点
重点：等比数列的定义和通项公式
难点：等比数列通项公式的推导过程
（三）学法与教学用具
学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式，通过与指数函数的图象比较，探索等比数列的通项公式的图象特征及与指数函数的关系。
教学用具：投影仪
（四）教学设想
首先先创设情境，从具体四个实例引入新课，得到四组数列；通过类比等差数列得出等比数列的定义；类比等差中项得出等比中项；探究首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；类比等差数列的通项公式得出等比数列通项公式；例题巩固；等比数列的对称性；探究等比数列与指数函数的关系，小结。
（五）教学过程
Ⅰ.课题导入
1、复习：等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差；公差通常用字母d表示?
－=d ，（n≥2，n∈N ）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。
2、[创设情景]解答下列问题（课本P41页的4个例子）：【多媒体展示4个问题】
①观察图书P54 2.4-1，细胞的分裂有什么规律，你能写出一个数列来表示细胞的分裂的个数吗？
【1，2，4，8，16，…】
②《庄子》中有这样的论述“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”你能用现代语言叙述这段话吗？若把“一尺之锤”看成单位“1”，那么“日取其半”会得到一个怎样的数列？
【1， ， ， ， ，…】
③一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依次类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，你能写出一个数列描述这种病毒每一轮感染的计算机数吗？
【1，20， ， ， ，…】
④我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式除了单利，还有一种支付利息的方式――复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”。
学生观察书上的表格，列出5年内各年末本利和，说说它们是怎样得到的？
【 ， ， ， ， ，……】
3、[探索研究]问题：【多媒体展示问题】
（1）、请同学们回忆数列的等差关系和等差数列的定义，并仔细观察一下，以上①、②、③、④四个数列是等差数列吗？若不是，看看它们有什么共同特征？该叫什么数列呢？
【共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。即具有等比关系】
（2）、如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给出等比数列一个什么样的定义？可类比等差数列完成。
Ⅱ.讲授新课
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即： =q（q≠0）。
与等差数列定义区别在哪里？
1°“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
｛ ｝成等比数列 =q（ ,q≠0）
2° 隐含：任一项
3° q= 1时，{an}为常数。
2、类比等差中项的定义【多媒体展示定义】，得等比中项
若三个 数a，A，b组成的等差数列，则A叫做a与b的等差中项。且 ，或A- = -A 由此可可得： 成等差数列
类比等差中项的概念，请学生自己给出等比中项的概念。
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等差中项。
这时a、b的符号有什么特点？你能用a与b表示G吗？
这时,a,b一定同号,G2=ab
与等差数列等差中项区别在哪里？
3、探究【多媒体展示问题】：决定一个等比数列的必要条件
（1）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？如果存在，你能举出例子吗？
（2）写出一个首项为1的等比数列的前5项，同桌的互相比较是否相同？
写出一个公比为2的等比数列的前5项，同桌的互相比较是否相同？
（3）两个数列的任一项｛an｝及公比q相同，则这两个数列相同吗？
（4）若两个等比数列相同，需要什么条件？
【学生先完成，讨论交流，解答完成】
探究目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件，为等比数列的通项公式的推导做准备。
4.问题：回顾等差数列的通项公式的推导过程【多媒体展示推导过程】，你能推导等比数列的通项公式吗？【学生分三组分别就三种方法完成，学生上台板书过程】
等比数列的通项公式1:
方法1：
由等比数列的定义，有：
； ； ；
… … … … … … …
方法2：由= = =…==q,
得
观察上式，每一道式子里，项的下标与q的指数，你能发现什么共同的特征吗？
【项的下标与q的指数的和都是n】
等比数列的通项公式2:
方法 3：由= = =…= =q,
得：=q ，=q, =q,…= =q
? ? ???= qn-1
等差数列与等比数列的通项公式区别在哪里？
5、[范例讲解]
例1 P58例3 【多媒体展示例题】一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项。
解：设这个等比数列的第一项是a1，公比q，
那么a1q2=12 ,a1q3=18
解得：a1= q=
∴a2=8
例2、课本P57例1、【多媒体展示例题】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％。这种物质的的半衰期为多少（精确到1年）？
解：设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是 。由条件可得，数列｛ ｝是一个等比数列，其中：a1=0.84,q=0.84.
设an=0.5,则0.84n=0.5.
两边取对数，得nlg0.84=lg0.5. n≈4.
答：这种物质的的半衰期为4年。
6.课堂练习
课本P59练习1、已知 是一个等比数列，在下表中填入恰当的数：
q
2 8
2 0.2
7．[补充练习] 【多媒体展示练习】
2.（1） 一个等比数列的第9项是 ，公比是－ ，求它的第1项（答案： =2916）
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案： = =5, = q=40）
8、类比等差数列的对称性【多媒体展示】，得等比数列的对称性
对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即
类比等差数列的对称性，请写出等比数列类似的性质？
与等差数列的对称性区别在哪里？
9、探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系【多媒体展示问题】
1、回顾《数学必修1》中也有“P64细胞分裂”、“P110计算机病毒传播”、“P66复利计算”的练习或习题，那里我们是用什么 方法来研究问题的？
如：某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设本利和为y元，存期为x。 （1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
（2）若存入本金为10000元，每期利率为1.98％，试计算5期后的本利和为多少？
解：
（1）
（2）当a=10000,r=1.98%,x=5时，
比较必修1与必修5的两种方法，思考它们的异同，两者有何关系？
2、借助几何画板做出P56探究（2）、（3）图形，观察图形之间的关系。探究归纳等比数列的图象与指数函数的图象之间的关系。
等比数列与指数函数的关系：【多媒体展示结论】
等比数列｛ ｝的通项公式 ,它的图象是分布在曲线 （q>0）上的一些孤立的点，等比数列是特殊的指数函数。
Ⅲ.课时小结
本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式。从定义、通项公式与函数3个角度类比等差数列与等比数列，并填下表：【多媒体展示问题】
等差数列 等比数列
定义
首项、公差（公比）
取值有无限制
通项公式
相应图象的特点
Ⅳ.课后作业
课本P60习题A组1（1）（2）、2、3题
●板书设计
等比数列的概念及通项公式
1、等比数列的定义 实例四个数列 例1
等比中项 例2
2、等比数列的通项公式
等比数列的对称性
1．知识与技能：通过实例理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式；理解这种数列的模型应用，体会等比数列与指数函数的关系．
２．过程与方法：通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义；通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式；通过与指数函数的图象比较，探索等比数列的通项公式的图象特征及与与指数函数的关系。通过例题体会通项公式与方程、方程组之间的联系。
３．情态与价值：感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力．
（二）教学重、难点
重点：等比数列的定义和通项公式
难点：等比数列通项公式的推导过程
（三）学法与教学用具
学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式，通过与指数函数的图象比较，探索等比数列的通项公式的图象特征及与指数函数的关系。
教学用具：投影仪
（四）教学设想
首先先创设情境，从具体四个实例引入新课，得到四组数列；通过类比等差数列得出等比数列的定义；类比等差中项得出等比中项；探究首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；类比等差数列的通项公式得出等比数列通项公式；例题巩固；等比数列的对称性；探究等比数列与指数函数的关系，小结。
（五）教学过程
Ⅰ.课题导入
1、复习：等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差；公差通常用字母d表示?
－=d ，（n≥2，n∈N ）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。
2、[创设情景]解答下列问题（课本P41页的4个例子）：【多媒体展示4个问题】
①观察图书P54 2.4-1，细胞的分裂有什么规律，你能写出一个数列来表示细胞的分裂的个数吗？
【1，2，4，8，16，…】
②《庄子》中有这样的论述“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”你能用现代语言叙述这段话吗？若把“一尺之锤”看成单位“1”，那么“日取其半”会得到一个怎样的数列？
【1， ， ， ， ，…】
③一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依次类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，你能写出一个数列描述这种病毒每一轮感染的计算机数吗？
【1，20， ， ， ，…】
④我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式除了单利，还有一种支付利息的方式――复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”。
学生观察书上的表格，列出5年内各年末本利和，说说它们是怎样得到的？
【 ， ， ， ， ，……】
3、[探索研究]问题：【多媒体展示问题】
（1）、请同学们回忆数列的等差关系和等差数列的定义，并仔细观察一下，以上①、②、③、④四个数列是等差数列吗？若不是，看看它们有什么共同特征？该叫什么数列呢？
【共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。即具有等比关系】
（2）、如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给出等比数列一个什么样的定义？可类比等差数列完成。
Ⅱ.讲授新课
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即： =q（q≠0）。
与等差数列定义区别在哪里？
1°“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
｛ ｝成等比数列 =q（ ,q≠0）
2° 隐含：任一项
3° q= 1时，{an}为常数。
2、类比等差中项的定义【多媒体展示定义】，得等比中项
若三个 数a，A，b组成的等差数列，则A叫做a与b的等差中项。且 ，或A- = -A 由此可可得： 成等差数列
类比等差中项的概念，请学生自己给出等比中项的概念。
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等差中项。
这时a、b的符号有什么特点？你能用a与b表示G吗？
这时,a,b一定同号,G2=ab
与等差数列等差中项区别在哪里？
3、探究【多媒体展示问题】：决定一个等比数列的必要条件
（1）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？如果存在，你能举出例子吗？
（2）写出一个首项为1的等比数列的前5项，同桌的互相比较是否相同？
写出一个公比为2的等比数列的前5项，同桌的互相比较是否相同？
（3）两个数列的任一项｛an｝及公比q相同，则这两个数列相同吗？
（4）若两个等比数列相同，需要什么条件？
【学生先完成，讨论交流，解答完成】
探究目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件，为等比数列的通项公式的推导做准备。
4.问题：回顾等差数列的通项公式的推导过程【多媒体展示推导过程】，你能推导等比数列的通项公式吗？【学生分三组分别就三种方法完成，学生上台板书过程】
等比数列的通项公式1:
方法1：
由等比数列的定义，有：
； ； ；
… … … … … … …
方法2：由= = =…==q,
得
观察上式，每一道式子里，项的下标与q的指数，你能发现什么共同的特征吗？
【项的下标与q的指数的和都是n】
等比数列的通项公式2:
方法 3：由= = =…= =q,
得：=q ，=q, =q,…= =q
? ? ???= qn-1
等差数列与等比数列的通项公式区别在哪里？
5、[范例讲解]
例1 P58例3 【多媒体展示例题】一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项。
解：设这个等比数列的第一项是a1，公比q，
那么a1q2=12 ,a1q3=18
解得：a1= q=
∴a2=8
例2、课本P57例1、【多媒体展示例题】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％。这种物质的的半衰期为多少（精确到1年）？
解：设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是 。由条件可得，数列｛ ｝是一个等比数列，其中：a1=0.84,q=0.84.
设an=0.5,则0.84n=0.5.
两边取对数，得nlg0.84=lg0.5. n≈4.
答：这种物质的的半衰期为4年。
6.课堂练习
课本P59练习1、已知 是一个等比数列，在下表中填入恰当的数：
q
2 8
2 0.2
7．[补充练习] 【多媒体展示练习】
2.（1） 一个等比数列的第9项是 ，公比是－ ，求它的第1项（答案： =2916）
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案： = =5, = q=40）
8、类比等差数列的对称性【多媒体展示】，得等比数列的对称性
对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即
类比等差数列的对称性，请写出等比数列类似的性质？
与等差数列的对称性区别在哪里？
9、探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系【多媒体展示问题】
1、回顾《数学必修1》中也有“P64细胞分裂”、“P110计算机病毒传播”、“P66复利计算”的练习或习题，那里我们是用什么 方法来研究问题的？
如：某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设本利和为y元，存期为x。 （1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
（2）若存入本金为10000元，每期利率为1.98％，试计算5期后的本利和为多少？
解：
（1）
（2）当a=10000,r=1.98%,x=5时，
比较必修1与必修5的两种方法，思考它们的异同，两者有何关系？
2、借助几何画板做出P56探究（2）、（3）图形，观察图形之间的关系。探究归纳等比数列的图象与指数函数的图象之间的关系。
等比数列与指数函数的关系：【多媒体展示结论】
等比数列｛ ｝的通项公式 ,它的图象是分布在曲线 （q>0）上的一些孤立的点，等比数列是特殊的指数函数。
Ⅲ.课时小结
本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式。从定义、通项公式与函数3个角度类比等差数列与等比数列，并填下表：【多媒体展示问题】
等差数列 等比数列
定义
首项、公差（公比）
取值有无限制
通项公式
相应图象的特点
Ⅳ.课后作业
课本P60习题A组1（1）（2）、2、3题
●板书设计
等比数列的概念及通项公式
1、等比数列的定义 实例四个数列 例1
等比中项 例2
2、等比数列的通项公式
等比数列的对称性