鲁教版八年级数学下册 《9.4探索三角形相似的条件》同步练习题（含解析）

鲁教版八年级数学下册《9.4探索三角形相似的条件》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．下列四组图形中，不一定相似的是（　　）
A．两直角边之比为1：2的两个直角三角形 B．任意两个等边三角形
C．有一锐角相等的两个直角三角形 D．有一个角相等的两个等腰三角形
2．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与如图中的△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
3．在下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（　　）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．＝且∠B＝∠E
C．＝＝ D．＝且∠A＝∠D
4．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
5．如图，∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，则CD的长为（　　）
A． B． C．2 D．3
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．2
二．填空题
7．有一个角相等的两个等腰三角形 　 　相似（填“一定”或“不一定”）．
8．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有　 　对．
9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，N是AB的中点，MN⊥BC于点M，则△BMN∽△　 　，相似比为 　 　．
10．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的点，连接AE，交CD于点F，那么该图形中与△CEF相似的三角形共有 　 　个．
11．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是　 　．
12．如图，已知BD⊥AB于点B，AC⊥AB于点A，且BD＝3，AC＝2，AB＝m，在线段AB上找一点E，使△BDE与△ACE相似，若这样的点E有且只有两个，则m的值是　 　．
三．解答题
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E、F分别是AC、BC上的点，∠EDF＝45°，求证：△ADE∽△BFD．
14．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且AQ⊥PQ，△ADQ与△QCP是否相似？并证明你的结论．
15．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，求证：△ACD∽△CBD．
16．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过顶点D作DF⊥AE，垂足为F，求证：△ABE∽△DFA．
17．如图，△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE．
18．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝9cm，动点P从点A开始沿AB边以4cm/s的速度向点B运动；动点Q从点B开始沿BC边以2cm/s的速度向点C运动．点P和点Q同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．设动点的运动时间为ts，请问当△QBP与△ABC相似时，t的值是多少？
20．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．
求证：（1）△BAC∽△DAE；
（2）△BAD∽△CAE．
21．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．
（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于16cm2？
（2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？
22．如图，在平面直角坐标系中，点B（12，10），过点B作x轴的垂线，垂足为A．作y轴的垂线，垂足为C点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从O出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动．当E点运动到点A时，三点随之停止运动．设运动时间为t．
（1）用含t的代数式分别表示点E，点F的坐标．
（2）若△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值．
参考答案
一．选择题
1．解：A、∵＝，＝，
∴＝，即＝，又∠B＝∠E＝90°，
∴△ABC∽△DEF，不合题意；
B、∵△ABC与△DEF都为等边三角形，
∴∠A＝∠D＝60°，∠B＝∠E＝60°，
∴△ABC∽△DEF，不合题意；
C、∵∠A＝∠D，∠B＝∠E＝90°，
∴△ABC∽△DEF，不合题意；
D、∵AB＝AC，DE＝DF，
∴当∠B＝∠D＝30°时，∠A＝120°，∠E＝∠F＝75°，
此时△ABC与△DEF不相似，符合题意，
故选：D．
2．解：由勾股定理得：AC＝＝，BC＝2，AB＝＝，
∴AB：BC：AC＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．
3．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
B、＝，且∠B＝∠E，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
C、＝＝，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠D＝∠DCB＝90°，
∴∠PCF＝90°，
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEP＝90°，
∴∠ABE＝∠DEP，
∵AD∥BC，
∴∠DEP＝∠F，
∴∠ABE＝∠DEP＝∠F，
∴△ABE∽△DEP∽△EFB∽△CFP，
∴图中共有相似三角形有6对，
故选：A．
5．解：∵∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，
∴△ABD∽△BDC，
∴＝，即＝，
解得CD＝．
故选：B．
6．解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
根据勾股定理得：AB＝5，
而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，
∴∠BDE＝90°，∠B＝∠B，
∴△ACB∽△EDB，
∴BC：BD＝AB：（BC+CE），
又∵BC＝3，AC＝4，AB＝5，
∴3：2.5＝5：（3+CE），
从而得到CE＝．
解法二：连接AE．
∵DE垂直平分线段AB，
∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，则EC＝x﹣3，
在Rt△ACE中，∵AE2＝AC2+EC2，
∴x2＝42+（x﹣3）2，
解得x＝，
∴EC＝﹣3＝．
故选：B．
二．填空题
7．解：有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，如图，
当AB＝AC，DE＝DF，∠B＝∠D时，
△ABC与△DEF不相似．
故答案为：不一定．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，
∵DE＝CE，FC＝BC，
∴DE：CF＝AD：EC＝2：1，
∴△ADE∽△ECF，
∴AE：EF＝AD：EC，∠DAE＝∠CEF，
∴AE：EF＝AD：DE，
即AD：AE＝DE：EF，
∵∠DAE+∠AED＝90°，
∴∠CEF+∠AED＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴∠D＝∠AEF，
∴△ADE∽△AEF，
∴△AEF∽△ADE∽△ECF，
即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．
故答案为：3．
9．解：∵MN⊥BC，
∴∠NMB＝90°，
∴∠A＝∠NMB，
∵∠B＝∠B，
∴△BMN∽△BAC，
∴∠BNM＝∠C＝30°，，
∴AB＝BC；
∵N是AB的中点，
∴BN＝AB；
∴BN＝BC；
∴相似比为BN：BC＝1：4．
故答案为：BAC；1：4．
10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
即AD∥CE，AB∥CF，
∴△ADF∽△ECF，△ABE∽△FCE，
∴该图形中与△CEF相似的三角形共有2个，
故答案为：2．
11．解：∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC+60°，
∠BAE＝∠BAC+60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE＝DC．
∴∠ADC＝∠ABE，
∵∠BOD+∠BDO+∠DBO＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣∠BDO﹣∠DBO
＝180°﹣（60°﹣∠ADC）﹣（60°+∠ABE）＝60°，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC＝∠ABE，∠AEB＝∠ACD，
∵∠DBO＝∠ABD+∠ABE＝60°+∠ABE，∠OCE＝∠ACE+∠ACO＝60°+∠ACD，
∵∠ABE≠∠ACD，
∴∠DBO≠∠OCE，
∴两个三角形的最大角不相等，
∴△BOD不相似于△COE；
故答案为：①②．
12．解：∵BD⊥AB于点B，AC⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
当∠ACE＝∠BDE时，△ACE∽△BDE，
∴＝＝，
∴AE＝BE①，
当∠ACE＝∠BED时，△ACE∽△BED，
∴＝，即AE×BE＝AC×BD＝2×3＝6②，
由①②得：BE2＝6，
解得：BE＝3，
∴AE＝2，
∴AB＝AE+BE＝5，即m＝5；
当AE＝2时，BE＝3，两个三角形相似；
当AE＝3时，BE＝2，两个三角形全等，符合题目要求；
设AE＝x，则BE＝m﹣x，
∴x：3＝2：（m﹣x），
整理得：x2﹣mx+6＝0，
方程有唯一解时，△＝m2﹣24＝0，
解得：m＝±2（负值舍去），
∴m＝2；
当m＝2时，
AE：BE＝2：3时，两个三角形相似；
AE＝BE＝时，两个三角形相似；同样是两个点可以满足要求；
综上所述，△BDE与△ACE相似，若这样的点E有且只有两个，则m的值是5或2；
故答案为：5或2．
三．解答题
13．证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵∠EDB是△ADE的外角，
∴∠EDF+∠FDB＝∠A+∠AED，
∵∠EDF＝45°，
∴∠AED＝∠FDB，
∴△ADE∽△BFD．
14．解：相似，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∵AQ⊥PQ，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°，∠PQC+∠QPC＝90°，∠AQD+∠PQC＝90°，
∴∠DAQ＝∠PQC，
∴△ADQ∽△QCP．
15．证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
16．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAE＝∠AEB，
又∵∠B＝∠DFA＝90°，
∴△ABE∽△DFA．
17．证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCE．
18．解：△ABC和△DEF相似；
理由如下：由图形可知AB＝2，根据勾股定理得，BC＝2，AC＝2；DE＝，DF＝，EF＝2，
∵，
∴△ABC∽△DEF．
19．解：由题意AB＝12cm，BC＝9cm，AP＝4t，BQ＝2t，则BP＝（12﹣4t）cm．
当＝时，两三角形相似，
∴＝，
解得t＝．
当＝时，两三角形相似，
∴＝，
解得t＝，
综上所述，当△QBP与△ABC相似时，t的值是或．
20．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．
∴△BAC∽△DAE；
（2）∵△BAC∽△DAE，
∴，
∴，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE．
21．解：（1）设经过x秒，△PCQ的面积等于16cm2，
2x （8﹣x）＝16，
解得：x1＝x2＝4，
答：经过4秒后，△PCQ的面积等于16cm2；
（2）设经过t秒，△PCQ与△ABC相似，
因为∠C＝∠C，
所以分为两种情况：①，
∴，
解得：t＝；
②，
∴，
解得：t＝；
答：经过秒或秒时，△PCQ与△ABC相似
22．解：（1）由题可得OE＝3t，OD＝t，BF＝2t．
∵BA⊥x轴，BC⊥y轴，∠AOC＝90°，
∴∠AOC＝∠BAO＝∠BCO＝90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC，BC＝OA．
∵B（12，10），
∴BC＝OA＝12，AB＝OC＝10，
∴AF＝10﹣2t，AE＝12﹣3t，
∴点E的坐标为（3t，0），点F的坐标为（12，10﹣2t）；
（2）①当△ODE∽△AEF时，
则有＝，
∴＝，
解得t1＝0（舍），t2＝；
②当△ODE∽△AFE时，
则有＝，
∴＝，
解得t1＝0（舍），t2＝6．
∵点E运动到点A时，三点随之停止运动，
∴3t≤12，
∴t≤4．
∵6＞4，
∴t＝6舍去，
综上所述：t的值为．