数学人教A版（2019）必修第二册10.2事件的相互独立性（共20张ppt）

(共20张PPT)
10.2事件的相互独立性
学习目标
1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.
复习引入
性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，
即 P(Ω)=1，P( )=0；
性质3 如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4 事件A与事件B互为对立事件，那么
P(A)＝1－P(B)，P(B)＝1－P(A)；
性质5 如果A B，那么P(A) ≤ P(B)；
对于任意事件A，0≤ P(A)≤1；
性质6 设A，B是一个试验中的两个事件，我们有
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
新知探究
我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生. 因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关. 那么，这种关系会是怎样的呢？
试验：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”；分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现
用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为
Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点，
A={(1,1)，(1,0)}，B={(1,0)，(0,0)}，所以AB={(1,0)}．
由古典概型概率计算公式，P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，
于是 P(AB)=P(A)P(B)．
积事件AB的概率P(AB)等于P(A)，P(B)的乘积.
新知探究
设A，B两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．
对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件．
两个事件相互独立
P(AB)=P(A)P(B) 事件A与B相互独立.
注意：
①互斥事件：两个事件不能同时发生.
②相互独立事件：两个事件的发生彼此互不影响.
新知探究
必然事件与任意事件是否相互独立？
必然事件与任意事件相互独立，不可能事件与任意事件相互独立
不可能事件与任意事件是否相互独立？
必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响
不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响
当然，它们也不影响其他事件的发生.
新知探究
若事件A与B相互独立， 那么它们的对立事件是否也相互独立？
那么 是否相互独立？
A
B
证明∵ 事件A与B相互独立
∴ P(AB)=P(A)P(B)
也相互独立
新知探究
（1）必然事件 及不可能事件 与任何事件A相互独立.
（2）若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
注意：当三个事件A、B、C两两独立时，
等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
相互独立事件的性质
新知探究
例1 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”，那么事件A与B是否独立？
解 样本空间 Ω={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4}，m≠n}，包含12个等可能样本点，
A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，
B={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，
所以AB={(1,2)，(2,1)}．所以 P(A)=P(B)=6/12=1/2，P(AB)=2/12=1/6，
此时 P(AB)≠P(A)P(B)，因此事件A与B不独立．
新知探究
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立. (　　)
(2)必然事件与任何一个事件相互独立. (　　)
(3)“P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件. (　　)
(4)一枚硬币掷两次,A=“有正面向上,也有反面向上”,B=“最多一次反面
向下”,则A,B相互独立.( 　)
练习1 判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ” .
√
√
√
提示：一枚硬币掷两次的样本点为(正,正),(正,反),(反,正),(反,反), 这时
A={(正,反),(反,正)}，B={(正,正),(正,反),(反,正)}，AB={(正,反),(反,正)}，
于是P(A)= , P(B)= , P(AB)= .
由此可知P(AB)≠P(A)·P(B),所以事件A,B不相互独立.
新知探究
练习2 判断下列事件是否为相互独立事件.
① 篮球比赛的“罚球两次”中，
事件A：第一次罚球，球进了.
事件B：第二次罚球，球进了.
② 袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.
事件A：第一次从中任取一个球是白球.
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
③ 袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.
事件A：第一次从中任取一个球是白球.
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
新知探究
判断两个事件相互独立的方法
①定义法：P(AB)=P(A)P(B)
②直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响.
③转化法：判断A与B是否相互独立, 转化为判断A与 , 与B, 与 是否具有独立性.
新知探究
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶．
解 设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”, A=“甲脱靶”, B= “乙脱靶”, 由于 甲、乙射击互不影响，∴A与B相互独立，∴ A与B ，A与 B， A与 B也相互独立，
由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P( A)=0.2，P( B)=0.1.
(1) AB = “两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB) =P(A)P(B) =0.8×0.9=0.72.
新知探究
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶．
(2)“恰好有一人中靶” =A B∪ AB, 且A B与 AB互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
P(A B∪ AB) =P(A B)＋P( AB) =P(A)P( B)＋P( A)P(B)
=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.
(3)事件“两人都脱靶” = A B，所以
P( A B) =P( A)P( B)=(1－0.8) × (1－0.9) =0.02.
新知探究
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶．
(4) ①事件“至少有一人中靶 ,
②
∵事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”
∴事件“至少有一人中把”的概率为
“大化小”
“正难则反”
新知探究
例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语, 已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 . 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. 求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个, 乙猜对1个”的和事件发生.
解：设A1 , A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1 , B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得
P(A1)=2× × =
1
4
3
4
3
8
P(A2)=( )2= ，
3
4
9
16
P(B1)=2× × = ； P(B2)=( )2= .
1
3
2
3
2
3
4
9
4
9
新知探究
设A=“两轮活动'星队'猜对3个成语”，则
A=A1B2 ∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，
所以 P(A) = P(A1B2)＋P(A2B1) ；
P(A) = P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)
= × ＋ × =
3
8
4
9
4
9
9
16
5
12
例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语, 已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 . 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. 求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
新知探究
归纳：求较为复杂事件的概率的方法
已知两个事件A,B,那么:
(1)A,B中至少有一个发生为事件A+B.
2.对事件分解时,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”
“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
(2)A,B中至多有一个发生为事件 .
(3)A,B恰好有一个发生为事件 .
(5)A,B都不发生为事件 .
(4)A,B都发生为事件AB.
(6)A,B不都发生为事件 .
1.对事件进行分解,一方面分解为互斥的几类简单事件求概率;
另一方面分解为独立的事件, 利用事件同时发生(乘法)求出概率.
梳理总结
P(AB)=P(A)P(B) A与B相互独立
再 见