必修5 第一章 解三角形 正弦定理 同步训练B卷（含详细解析）
文档属性
| 名称 | 必修5 第一章 解三角形 正弦定理 同步训练B卷（含详细解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 245.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-09-07 06:32:23 | ||
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文档简介
必修5 第一章 解三角形 正弦定理 同步训练B卷（含详细解析）
一．选择题（共10小题）
1．在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A=60°，=（ ）
A． B． 1 C． D．
2．在△ABC中，a=10，B=60°，C=45°，则c等于（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a=2bcosC，这个三角形一定是（ ）www-2-1-cnjy-com
A． 等腰三角形 B．直角三角形
C． 等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
4．已知锐角三角形ABC中，||=4，||=1，三角形的面积为，则的值为（ ）
A． 4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
5．在△ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，如果∠A=35°，a=10，b=15，则此三角形有（ ）【版权所有：21教育】
A． 一解 B． 两解 C．无解 D．无穷多解
6．在△ABC中，AB=，AC=1，B=，则△ABC的面积是（ ）
A． B． C．或 D．或
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（ ）www.21-cn-jy.com
A． 2+2 B． C．2﹣2 D．﹣1
8．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（ ）
A． B． C． （0，2） D．
9．在△ABC中，BC=2，AC=2，S△ABC=，则∠C等于（ ）
A． B． C． 或 D． 或
10．在△ABC中，a=4，，5cos（B+C）+3=0，则角B的大小为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．在△ABC中，，，a=14，则∠A= _________ ．
12．在△ABC中，，CA=1，A=45°，则角C= _________ ．
13．△ABC中，，则S△ABC= _________ ．
14．锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，a=2bsinA，ac=8，则△ABC的面积是 ________ ．21世纪教育网版权所有
15．在△ABC中，，则△ABC的形状是 _________ ．
16．△ABC中，a、b、c分别∠A、∠B、∠C所对的边长，且满足条件c=2，b=2，△ABC面积的最大值为 _________ ．21cnjy.com
17．在△ABC中，若三个内角A、B、C成等差数列，且b=2，则△ABC外接圆半径为 _________ ．21·cn·jy·com
18．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a=4，c=3，则△ABC的面积等于 _________ ．2-1-c-n-j-y
三．解答题（共4小题）
19．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=accosB．21教育名师原创作品
（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；
（2）若a=2，且A=，求△ABC的面积．
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
（1）求sinB的值；
（2）若，求△ABC的面积．
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=60°，sinA=，b=．
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积．
22．在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量 =（a+c，a﹣b），=（sinB，sinA﹣sinC），且∥，21教育网
（1）求∠C的大小；
（2）求sinA+sinB的取值范围．
参考答案及解析
一．选择题（共10小题）
1．在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A=60°，=（ ）
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a=2bcosC，这个三角形一定是（ ）21*cnjy*com
A． 等腰三角形 B．直角三角形
C． 等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
答案：A
解：由正弦定理得sinA=2sinBcosC，
即sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
整理得sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，
即B=C，
则三角形为等腰三角形，
故选：A．
4．已知锐角三角形ABC中，||=4，||=1，三角形的面积为，则的值为（ ）
A． 4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
答案：D
解：三角形ABC的面积S=||?||?sinA=×4×1×sinA=
∴sinA=
又∵三角形ABC是锐角三角形
∴由平方关系的cosA=
6．在△ABC中，AB=，AC=1，B=，则△ABC的面积是（ ）
A． B． C．或 D．或
答案：D
解：由正弦定理知=，
∴sinC==，
∴C=，A=，S=AB?ACsinA=
或C=，A=，S=AB?ACsinA=．
故选D
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（ ）2·1·c·n·j·y
A． 2+2 B． C．2﹣2 D．﹣1
答案：B
解：∵b=2，B=，C=，
∴由正弦定理=得：c===2，A=，
∴sinA=sin（+）=cos=，
则S△ABC=bcsinA=×2×2×=+1．
故选B
8．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（ ）
9．在△ABC中，BC=2，AC=2，S△ABC=，则∠C等于（ ）
A． B． C． 或 D． 或
答案：C
解：∵S△ABC=BC?AC?sinC=?2?2?sinC=，
∴sinC=，
∵0＜∠C＜π，
∴∠C=或，
故选C．
10．在△ABC中，a=4，，5cos（B+C）+3=0，则角B的大小为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解：∵5cos（B+C）+3=0，
∴cos（B+C）=﹣，又cos（B+C）=﹣cosA，
∴cosA=，又A为三角形的内角，
∴sinA==，
又a=4，b=，
∴根据正弦定理=得：
sinB===，
∵b＜a，∴B＜A，又B为锐角，
则B=．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
11．在△ABC中，，，a=14，则∠A= ．
解：∵在△ABC中，B=，b=7，a=14，
12．在△ABC中，，CA=1，A=45°，则角C= 105° ．
解：在△ABC中，，CA=1，A=45°，
由正弦定理可知：，所以sinB=，所以B=30°或150°，
因为A=45°所以B=30°，
由三角形的内角和180°，所以C=105°．
故答案为：105°．
13．△ABC中，则S△ABC= ．
解：∵，
∴，
即，
∴sinC=，
∴C=30°，即A=180°﹣120°﹣30°=30°，
∴S△ABC=，
故答案为：．
14．锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，a=2bsinA，ac=8，则△ABC的面积是 2 ．【来源：21·世纪·教育·网】
解：（1）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA
又sinA＞0，所以sinB=
故三角形的面积为S=acsinB=×8×=2
故答案为：2．
15．在△ABC中，，则△ABC的形状是 等腰或直角三角形 ．
解：∵
由正弦定理可得，
三角形中，sinC≠0
∴
即sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
则有2A=2B或2A+2B=π
∴A=B 或A+B=
故答案为：等腰三角形或直角三角形
16．△ABC中，a、b、c分别∠A、∠B、∠C所对的边长，且满足条件c=2，b=2，△ABC面积的最大值为 2 ．21·世纪*教育网
解：因为△ABC中，a、b、c分别∠A、∠B、∠C所对的边长，且满足条件c=2，b=2，
S△ABC==2sinA≤2，
当A=90°时取等号，三角形的面积最大．
故答案为：2．
17．在△ABC中，若三个内角A、B、C成等差数列，且b=2，则△ABC外接圆半径为 ．
解：∵三个内角A、B、C成等差数列'
∴2B=A+C，A+B+C=180°，
∴B=60°，
设外接圆的半径为 r，则由正弦定理可得 ，
∴=2r，∴r=，
故答案为：．
18．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a=4，c=3，则△ABC的面积等于 ．
解：由题意，∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列
∴B=60°
∴S= ac×sinB=
故答案为
三．解答题（共4小题）
19．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=accosB． 21*cnjy*com
（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；
（2）若a=2，且A=，求△ABC的面积．
解：由已知及三角形面积公式得S=acsinB=accosB，
化简得sinB=cosB，
即tanB=，又0＜B＜π，∴B=．
（1）由c=2a，及正弦定理得，sinC=2sinA，
又∵A+B=，
∴sin（﹣A）=2sinA，
化简可得tanA=，而0＜A＜，
∴A=，C=．
（2）由A=，B=．可得△ABC为正三角形，又a=2，
∴．
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
（1）求sinB的值；
（2）若，求△ABC的面积．
解：（1）因为，，
所以．
由已知得．
所以=．
（2）由（1）知C=，所以sinC=且．
由正弦定理得．
又因为，
所以c=5，．
所以．
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=60°，sinA=，b=．
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积．
解：（1）在△ABC中，∠B=60°，sinA=，
∴cosA=±=±，
∵sinA＜sinB，
∴a＜b即A＜B，A为锐角，
∴cosA=，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
==；
（2）由正弦定理得，，
∴c=2sinC=，
∴△ABC的面积为S=bcsinA=
=．
22．在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量 =（a+c，a﹣b），=（sinB，sinA﹣sinC），且∥，【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求∠C的大小；
（2）求sinA+sinB的取值范围．
解：（1）∵=（a+c，a﹣b），=（sinB，sinA﹣sinC），且∥，
∴（a+c）（sinA﹣sinC）﹣（a﹣b）sinB=0，
根据正弦定理得∴（a+c）（a﹣c）﹣（a﹣b）b=0，
即a2﹣c2﹣ab+b2=0，
∴a2﹣c2+b2=ab，
由余弦定理得cosC=，
∴C=；
（2）∵C=，∴A+B=，
∴B=﹣A，0＜A＜，
∴sinA+sinB=sinA+sin（﹣A）=sinA+=sinA+cos A=sin（A），【出处：21教育名师】
∵0＜A＜，
∴＜A+＜，
∴当A+=时，sinA+sinB取得最大值，
当A+=或时，sinA+sinB取得最小值×，
∴sinA+sinB，
即sinA+sinB的取值范围是（]．
一．选择题（共10小题）
1．在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A=60°，=（ ）
A． B． 1 C． D．
2．在△ABC中，a=10，B=60°，C=45°，则c等于（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a=2bcosC，这个三角形一定是（ ）www-2-1-cnjy-com
A． 等腰三角形 B．直角三角形
C． 等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
4．已知锐角三角形ABC中，||=4，||=1，三角形的面积为，则的值为（ ）
A． 4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
5．在△ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，如果∠A=35°，a=10，b=15，则此三角形有（ ）【版权所有：21教育】
A． 一解 B． 两解 C．无解 D．无穷多解
6．在△ABC中，AB=，AC=1，B=，则△ABC的面积是（ ）
A． B． C．或 D．或
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（ ）www.21-cn-jy.com
A． 2+2 B． C．2﹣2 D．﹣1
8．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（ ）
A． B． C． （0，2） D．
9．在△ABC中，BC=2，AC=2，S△ABC=，则∠C等于（ ）
A． B． C． 或 D． 或
10．在△ABC中，a=4，，5cos（B+C）+3=0，则角B的大小为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．在△ABC中，，，a=14，则∠A= _________ ．
12．在△ABC中，，CA=1，A=45°，则角C= _________ ．
13．△ABC中，，则S△ABC= _________ ．
14．锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，a=2bsinA，ac=8，则△ABC的面积是 ________ ．21世纪教育网版权所有
15．在△ABC中，，则△ABC的形状是 _________ ．
16．△ABC中，a、b、c分别∠A、∠B、∠C所对的边长，且满足条件c=2，b=2，△ABC面积的最大值为 _________ ．21cnjy.com
17．在△ABC中，若三个内角A、B、C成等差数列，且b=2，则△ABC外接圆半径为 _________ ．21·cn·jy·com
18．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a=4，c=3，则△ABC的面积等于 _________ ．2-1-c-n-j-y
三．解答题（共4小题）
19．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=accosB．21教育名师原创作品
（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；
（2）若a=2，且A=，求△ABC的面积．
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
（1）求sinB的值；
（2）若，求△ABC的面积．
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=60°，sinA=，b=．
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积．
22．在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量 =（a+c，a﹣b），=（sinB，sinA﹣sinC），且∥，21教育网
（1）求∠C的大小；
（2）求sinA+sinB的取值范围．
参考答案及解析
一．选择题（共10小题）
1．在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A=60°，=（ ）
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a=2bcosC，这个三角形一定是（ ）21*cnjy*com
A． 等腰三角形 B．直角三角形
C． 等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
答案：A
解：由正弦定理得sinA=2sinBcosC，
即sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
整理得sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，
即B=C，
则三角形为等腰三角形，
故选：A．
4．已知锐角三角形ABC中，||=4，||=1，三角形的面积为，则的值为（ ）
A． 4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
答案：D
解：三角形ABC的面积S=||?||?sinA=×4×1×sinA=
∴sinA=
又∵三角形ABC是锐角三角形
∴由平方关系的cosA=
6．在△ABC中，AB=，AC=1，B=，则△ABC的面积是（ ）
A． B． C．或 D．或
答案：D
解：由正弦定理知=，
∴sinC==，
∴C=，A=，S=AB?ACsinA=
或C=，A=，S=AB?ACsinA=．
故选D
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（ ）2·1·c·n·j·y
A． 2+2 B． C．2﹣2 D．﹣1
答案：B
解：∵b=2，B=，C=，
∴由正弦定理=得：c===2，A=，
∴sinA=sin（+）=cos=，
则S△ABC=bcsinA=×2×2×=+1．
故选B
8．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（ ）
9．在△ABC中，BC=2，AC=2，S△ABC=，则∠C等于（ ）
A． B． C． 或 D． 或
答案：C
解：∵S△ABC=BC?AC?sinC=?2?2?sinC=，
∴sinC=，
∵0＜∠C＜π，
∴∠C=或，
故选C．
10．在△ABC中，a=4，，5cos（B+C）+3=0，则角B的大小为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解：∵5cos（B+C）+3=0，
∴cos（B+C）=﹣，又cos（B+C）=﹣cosA，
∴cosA=，又A为三角形的内角，
∴sinA==，
又a=4，b=，
∴根据正弦定理=得：
sinB===，
∵b＜a，∴B＜A，又B为锐角，
则B=．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
11．在△ABC中，，，a=14，则∠A= ．
解：∵在△ABC中，B=，b=7，a=14，
12．在△ABC中，，CA=1，A=45°，则角C= 105° ．
解：在△ABC中，，CA=1，A=45°，
由正弦定理可知：，所以sinB=，所以B=30°或150°，
因为A=45°所以B=30°，
由三角形的内角和180°，所以C=105°．
故答案为：105°．
13．△ABC中，则S△ABC= ．
解：∵，
∴，
即，
∴sinC=，
∴C=30°，即A=180°﹣120°﹣30°=30°，
∴S△ABC=，
故答案为：．
14．锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，a=2bsinA，ac=8，则△ABC的面积是 2 ．【来源：21·世纪·教育·网】
解：（1）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA
又sinA＞0，所以sinB=
故三角形的面积为S=acsinB=×8×=2
故答案为：2．
15．在△ABC中，，则△ABC的形状是 等腰或直角三角形 ．
解：∵
由正弦定理可得，
三角形中，sinC≠0
∴
即sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
则有2A=2B或2A+2B=π
∴A=B 或A+B=
故答案为：等腰三角形或直角三角形
16．△ABC中，a、b、c分别∠A、∠B、∠C所对的边长，且满足条件c=2，b=2，△ABC面积的最大值为 2 ．21·世纪*教育网
解：因为△ABC中，a、b、c分别∠A、∠B、∠C所对的边长，且满足条件c=2，b=2，
S△ABC==2sinA≤2，
当A=90°时取等号，三角形的面积最大．
故答案为：2．
17．在△ABC中，若三个内角A、B、C成等差数列，且b=2，则△ABC外接圆半径为 ．
解：∵三个内角A、B、C成等差数列'
∴2B=A+C，A+B+C=180°，
∴B=60°，
设外接圆的半径为 r，则由正弦定理可得 ，
∴=2r，∴r=，
故答案为：．
18．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a=4，c=3，则△ABC的面积等于 ．
解：由题意，∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列
∴B=60°
∴S= ac×sinB=
故答案为
三．解答题（共4小题）
19．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=accosB． 21*cnjy*com
（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；
（2）若a=2，且A=，求△ABC的面积．
解：由已知及三角形面积公式得S=acsinB=accosB，
化简得sinB=cosB，
即tanB=，又0＜B＜π，∴B=．
（1）由c=2a，及正弦定理得，sinC=2sinA，
又∵A+B=，
∴sin（﹣A）=2sinA，
化简可得tanA=，而0＜A＜，
∴A=，C=．
（2）由A=，B=．可得△ABC为正三角形，又a=2，
∴．
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
（1）求sinB的值；
（2）若，求△ABC的面积．
解：（1）因为，，
所以．
由已知得．
所以=．
（2）由（1）知C=，所以sinC=且．
由正弦定理得．
又因为，
所以c=5，．
所以．
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=60°，sinA=，b=．
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积．
解：（1）在△ABC中，∠B=60°，sinA=，
∴cosA=±=±，
∵sinA＜sinB，
∴a＜b即A＜B，A为锐角，
∴cosA=，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
==；
（2）由正弦定理得，，
∴c=2sinC=，
∴△ABC的面积为S=bcsinA=
=．
22．在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量 =（a+c，a﹣b），=（sinB，sinA﹣sinC），且∥，【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求∠C的大小；
（2）求sinA+sinB的取值范围．
解：（1）∵=（a+c，a﹣b），=（sinB，sinA﹣sinC），且∥，
∴（a+c）（sinA﹣sinC）﹣（a﹣b）sinB=0，
根据正弦定理得∴（a+c）（a﹣c）﹣（a﹣b）b=0，
即a2﹣c2﹣ab+b2=0，
∴a2﹣c2+b2=ab，
由余弦定理得cosC=，
∴C=；
（2）∵C=，∴A+B=，
∴B=﹣A，0＜A＜，
∴sinA+sinB=sinA+sin（﹣A）=sinA+=sinA+cos A=sin（A），【出处：21教育名师】
∵0＜A＜，
∴＜A+＜，
∴当A+=时，sinA+sinB取得最大值，
当A+=或时，sinA+sinB取得最小值×，
∴sinA+sinB，
即sinA+sinB的取值范围是（]．