2022-2023学年安徽省芜湖市重点中学高三（下）期中数学试卷（含解析）

芜湖重点中学2022-2023学年高三（下）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则的实部是( )
A. B. C. D.
3. 在数列中，“对任意大于的正整数，都有”是“为等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 积极参加公益活动是践行社会主义核心价值观的具体行动现将包含甲、乙两人的位同学分成个小组分别去敬老院和老年活动中心参加公益活动，每个小组至少一人，则甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法的总数为( )
A. B. C. D.
5. 在中，点满足，则( )
A. B.
C. D.
6. 已知函数的图象过点与，则函数在区间上的最大值为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数在上恰有个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 设，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 年月日，平江益阳高速公路通车运营，湖南省交通运输厅统计了平益高速年月日至月日的高速公路车流量单位：万车次，并与年月日至月日比较，得到同比增长率同比增长率数据，绘制了如图下统计图，则下列结论正确的是( )
A. 年月日至月日的高速公路车流量的极差为
B. 年月日至月日的高速公路车流量的中位数为
C. 年月日至月日的高速公路车流量比年月日至月日高速公路车流量大的有天
D. 年月日的高速公路车流量小于万车次
10. 若圆：与圆：的公共弦的长为，则下列结论正确的有( )
A. B. 直线的方程为
C. 中点的轨迹方程为 D. 四边形的面积为
11. 如图所示，正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于点，，以下四个命题中正确的是( )
A. 四边形一定为矩形
B. 平面平面
C. 四棱锥体积为
D. 四边形的周长最小值为
12. 如图，已知是抛物线：的焦点，过点和点分别作两条斜率互为相反数的直线，，交抛物线于，，，四点，且线段，相交于点，则下列选项中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知展开式中所有项的系数之和为，则展开式中的系数为______ ．
14. 中国古代经典数学著作孙子算经记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二除以余，五五数之剩三除以余，问物几何？”现将到共个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为______ ．
15. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的左支上，交的右支于点，，，则的焦距为______ ，的面积为______ ．
16. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列的前项和为，数列与满足关系，对于，有，．
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，，求的值．
18. 本小题分
如图，在平面四边形中，，，，，．
求和的值；
记，求的值．
19. 本小题分
近年来，一种全新的营销模式开始兴起短视频营销短视频营销以短视频平台为载体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、需求的心理旅程企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播带货．
已知小李月日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为，，且小李如果第一天选“抖音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为；如果第一天选择“快手”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为求月日小李选择“抖音”平台购物的概率；
三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为，，，三人是否抢购成功互不影响若为三人下单成功的总人数，且，求的值及的分布列．
20. 本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，、分别为、的中点．
求直线与平面所成角的大小；
求平面与平面所成二面角的大小．
21. 本小题分
已知椭圆：且
若，求椭圆的离心率；
设、为椭圆的左右顶点，椭圆上一点的纵坐标为，且，求实数的值；
过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围．
22. 本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．故选：．
2.【答案】
【解析】解：设，则，
由，得，
所以，，
则，解得，
所以的实部是．故选：．
3.【答案】
【解析】解：在数列中，“对任意大于的正整数，当时，都有”，但是数列不为等比数列，
当数列为等比数列时，对任意大于的正整数，都有，
故“对任意大于的正整数，都有”是“为等比数列”的必要不充分条件．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：若按：分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有种；
若按：分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有种，
故甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有种．故选：．
5.【答案】
【解析】解：，
，故选：．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得，解得．
，
，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：，
函数在上恰有个不同的零点，
则，即在上恰有个不同的解，
，
，
由正弦函数图象可知，，解得，
故实数的取值范围是 故选：．
8.【答案】
【解析】解：设，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
，当且仅当当，等号成立，
，
，
，
设，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
，当且仅当当，等号成立，
，
，
，又，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于：根据统计图表可知，年月日至月日的高速公路车流量的极差为，故A错误；
对于：根据统计图表可知，年月日至月日的高速公路车流量的中位数为，故B正确；
对于：根据统计图表可知，年月日，月日，月日，月日这天的同比增长率均大于，
所以年月日至月日的高速公路车流量比年月日至月日高速公路车流量大的有天，故C正确；
对于：根据统计图表可知，年月日的高速公路车流量为万车次，同比增长率为，
设年月日的高速公路车流量为万车次，则，解得，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，圆：与圆：，
两圆的方程相减可得：，
即两圆公共弦的方程为，
圆：的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
而两个圆的公共弦的长为，
则有，变形可得，A正确，
对于，由于两圆公共弦的方程为，且，
故两圆公共弦的方程为，变形可得；B正确；
对于，设的中点坐标为，
由于垂直平分，则到中点的距离就是到直线的距离，则有，
即中点的轨迹方程为，C错误；
对于，两圆的半径相等，则四边形为菱形，其面积，D正确．故选：．
11.【答案】
【解析】解：对于，由正方体的性质得平面平面，
平面平面，平面平面，故，
同理得，又，四边形为菱形，故A错误；
对于，连接，，，由题意得，，
，平面，平面平面，故B正确；
对于，四棱锥的体积为：
，故C正确；
对于，四边形是菱形，
四边形的周长，
当点，分别为，的中点时，四边形的周长最小，
此时，即周长的最小值为，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：选项，显然两直线的斜率均存在且不为，
由题意得，设直线：，与：联立得，
设，，则，，
设直线：，与：联立得，
设，，则，，
则，
则，A正确；
选项，延长交轴于点，延长交轴于点，
因为，所以，
因为直线，的斜率互为相反数，所以，
故，即，
又，所以∽，故，
所以，B正确；
选项，因为，且，所以∽，故，C正确；
选项，由选项可知，由于与不一定相等，故D错误．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：已知展开式中所有项的系数之和为，
则，
即，
则二项式的展开式的通项公式为，
令，
则，
即展开式中的系数为．故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：三三数之剩二的数为：，，，，，，，，，；
五五数之剩三的数为：，，，，，，，
同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数最小是，最大为，
数列最大项和最小项之和为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：取的中点，则，
因为，所以，
所以，
所以，设，由双曲线的定义得，
，所以，
在中，，，，
所以，，所以，
在中，，
解得，
则双曲线的焦距为，
因为，
所以的面积为．
故答案为：；．
16.【答案】
【解析】解：设，，则，，
若时，，
在上单调递增，且时，，
不恒成立，
，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
，又恒成立，
，，
，，
设，，
，在单调递增，又，
时，可得，
实数的取值范围为．
故答案为：．
17.【答案】解：当时，，，
当时，，，
，，
得，且
，两边同除“”后减去“”得，
，，
是首项为，公比为得等比数列，
，
又，
；
，
当时，，，
当为奇数时，，则为偶数，，
，即；
当为偶数时，，则为奇数，，
，即，
，
当为奇数时，，当为偶数时，，
．
【解析】利用与的关系和构造法，求出的通项公式，进而求得的通项公式；
利用余弦函数的值可求出和，从而即可求出前项和．
本题考查的是求数列的通项公式和数列求和，以及余弦函数的性质，属于中档题．
18.【答案】解：在中，由正弦定理得．
由题设知，，所以．
所以．
在中，由余弦定理得
．
所以．
因为，所以．
，．
所以．
19.【答案】解：设“第一天选择抖音平台”，“第一天选择快手平台”，“第二天选择抖音平台”，
则，，，，
则 ．
由题意得，的取值为，，，，
且，
，
，
，
所以，解得．
故的分布列为：

20.【答案】解：建立如图空间直角坐标系，
可得点的坐标，，，，故，
易知，是平面的一个法向量，设直线与平面所
成角的大小为，则，
所以，直线与平面所成角的大小为．
设是平面的法向量，，
不妨取，得到平面的一个法向量，
故平面与平面所成的二面角是与．
21.【答案】解：若，则，，，，；
由已知得，，设，
，即，
，，，
，代入求得；
设直线，联立椭圆可得，
整理得，
由，，
联立双曲线可得，整理得，
由，，
，
，
又，，，
综上所述：．
22.【答案】解：Ⅰ当时，函数，，
则，，
故切线方程为，即．
Ⅱ解法一：
由，可得，
在区间上单调递增，在区间上恒成立，
设，可得，令，；
当，即时，，，单调递减，
，不满足题意；
当，即时，时，，单调递增；
时，，单调递减，
由，，，得；
当，即时，，，单调递增，
由，，得；
综上，，即实数的取值范围是．
解法二：
．
由题意，在区间上恒成立，
，，
在区间上恒成立．
令，
则，
在区间上单调递增，
的最大值为，
，即实数的取值范围是．
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